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s
t
 
= ⋅ = ⋅
= ⇒
θ θ 
∆∆
∆
∆
∆
∆ ∆
t
s
v
a
v
t
a
v d
s
v
v
s
d
cp
cp
=
=
=
⋅
=


 θ
θ
2
 a
v
R
cp

=
2
Atenção! 
Essa expressão pode ser utilizada em todo movimento curvilíneo, 
desde que se encontre o raio de curvatura do referido trecho da curva 
(basta trocar o R pelo raio de curvatura).
Ex.: Um corpo lançado obliquamente possui no ponto mais alto da trajetória 
uma velocidade de 5 m/s (horizontal). Considerando que nesse local o 
corpo fica sujeito somente à aceleração da gravidade (10 m/s2) determine 
o raio de curvatura nesse mesmo ponto.
Solução: No ponto de altura máxima a aceleração é ortogonal a velocidade 
e, portanto, é a componente centrípeta. Em outras palavras, nessa situação, 
a aceleração da gravidade desempenha o papel de aceleração centrípeta 
(já que é perpendicular à velocidade).
a
v
R R
R mcp = → = → =
2 2
10
5
2 5,
2.6 Movimento relativo e composição de 
movimentos
Quando se quer mudar o referencial de um vetor, matematicamente, 
basta seguir a seguinte regra: Xa,b = Xa,c + Xc,b = Xa,c – Xb,c.
Importante: note que todas as contas desse assuntos são vetoriais!!!
Ex.: Considere a figura seguinte, em que um barco atravessa um rio. Seja 
v
→
B,A a velocidade do barco em relação às águas e v
→
A,T a velocidade das 
águas em relação às margens (Terra)
Aplicando a definição de velocidade relativa v
→
B,A= v
→
B,T – v
→
A,T ,
obtemos a velocidade do barco em relação as margens (mesmo 
referencial da velocidade das águas):
 v
→
B, T = v
→
B,A + v
→
A,T 
Exemplo: (Ufal) De dentro de um automóvel em movimento retilíneo 
uniforme, numa estrada horizontal, um estudante olha pela janela lateral e 
observa a chuva caindo, fazendo um ângulo q com a direção vertical, com 
senq = 0,8 e cosq = 0,6. Para uma pessoa parada na estrada, a chuva cai 
verticalmente, com velocidade constante de módulo v. Se o velocímetro do 
automóvel marca 80,0 km/h, pode-se concluir que o valor de v é igual a: 
(A) 48,0 km/h. 
(B) 60,0 km/h. 
(C) 64,0 km/h. 
(D) 80,0 km/h. 
(E) 106,7 km/h. 
Solução: A figura mostra o automóvel e as velocidades do automóvel v
→
aut e 
da chuva (v
→
), para a pessoa parada na beira da estrada. O diagrama vetorial 
mostra a composição dessas velocidades para o estudante.
 Referencial estrada Referencial estudante
tg
v
v
sen v
v v
v km haut autθ
θ
θ
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
cos
,
,
/
0 8
0 6
80
60 
 
Ex.: Um disco roda sobre uma superfície plana, sem deslizar. A velocidade 
do centro O é v
→
0. Em relação ao plano:
 
R
0v
→
0
A
(A) Qual a velocidade do ponto A?
(B) Qual a velocidade do ponto B?
Solução: Os pontos A e B têm dois movimentos: um provocado pela 
rotação do disco, e outro provocado pela translação. O movimento 
resultante, observado do plano de rolagem, é a composição desses 
movimentos parciais. A figura abaixo ilustra essa composição.
Movimentos circulares e cinemática vetorial
279AFA-EFOMM
Note que a velocidade linear de toda a roda (referente à translação) é igual à velocidade linear de rotação dos pontos da roda. Isso só acontece se 
pudermos supor que não há deslizamento entre a roda e o chão. Se não houver deslizamento, o arco percorrido pela roda em um intervalo de tempo 
qualquer é igual à distância percorrida pelo centro da roda. Por esse motivo, as velocidades são iguais.
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
 01 (EFOMM) Uma bomba centrífuga gira a 1800 rpm. A velocidade 
tangencial de um volume de fluido impelido pelo seu rotor, de raio igual a 
12 cm, é em m/s de:
(A) 6,1 π (D) 9,3 π
(B) 7,2 π (E) 10,4 π
(C) 8,6 π
 02 
RB
RARC
Na figura acima, temos um sistema de transmissão de movimento de 
um dos motores auxiliares de um navio, formado por três discos A, B e C. Os 
raios dos discos B e C são iguais e correspondem à metade do raio do disco 
A. Sabe-se que o disco A move-se solidariamente com o disco B através de 
uma correia, e que os discos A e C estão ligados ao mesmo eixo central.
Analise as afirmativas abaixo:
I. A velocidade angular do disco C é metade do disco B.
II. A velocidade escalar de um ponto do perímetro do disco A é o dobro 
da velocidade escalar de um ponto do perímetro do disco C.
II. Os discos B e C têm a mesma velocidade escalar em pontos de seus 
perímetros.
III. O período do disco C é o dobro do período do disco B.
IV. As freqüências dos discos A e B são iguais.
Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(B) As afirmativas II e I são verdadeiras.
(C) As afirmativas III e IV são verdadeiras.
(D) As afirmativas I, II, IV são verdadeiras.
(E) As afirmativas I e IV são verdadeiras.
 03 (AFA) No avião de treinamento T-25 utilizado na AFA, a hélice gira 2700 
rpm durante a corrida no solo e, após a decolagem, a rotação é reduzida 
para 2450 rpm em apenas 5 segundos. Supondo-se que a hélice sofre 
uma desaceleração uniforme, a aceleração angular da hélice, em valor 
absoluto, vale aproximadamente, em rad/s2:
(A) 1,67. (C) 5,23.
(B) 3,14. (D) 8,72.
 04 (AFA) Duas partículas partem da mesma posição, no mesmo instante, 
e descrevem a mesma trajetória circular de raio R. Supondo que elas girem 
no mesmo sentido a 0,25 rps e 0,2 rps, após quantos segundos estarão 
juntas novamente na posição de partida?
(A) 5.
(B) 10.
(C) 15.
(D) 20.
 05 (AFA) O odômetro de um automóvel é um aparelho que mede a distância 
percorrida. Na realidade, esse aparelho é ajustado para fornecer a distância 
percorrida através do número de voltas e do diâmetro do pneu. Considere 
um automóvel cujos pneus, quando novos, têm diâmetro D. Suponha que 
os pneus tenham se desgastado e apresentem 98% do diâmetro original. 
Quando o velocímetro assinalar 100 km/h, a velocidade real do automóvel 
será:
(A) 104 km/h.
(B) 102 km/h.
(C) 98 km/h.
(D) 96 km/h.
 06 Uma lancha atravessa um rio, deslocando-se segundo uma trajetória 
perpendicular à margem. Sua velocidade em relação à água é constante 
e tem módulo igual a 2 3 m/s. A velocidade da correnteza do rio em 
relação a um observador parado na sua margem é constante e vale 4 m/s. 
O módulo da velocidade da lancha em relação a este observador é:
(A) 2 m/s. 
(B) 4 m/s. 
(C) 6m/s. 
(D) 8 m/s. 
(E) 10 m/s.
 07 (EFOMM) Observe as figuras a seguir. 
N N
A
B
60o
VA=5,0 nós
VB=2,0 nós
Física I – Assunto 3
280 Vol. 1
Em uma região de mar calmo, dois navios, A e B, navegam com 
velocidades, respectivamente, iguais a vA=5,0 nós no rumo norte e vB=2,0 
nós na direção 60oNEE, medidas em relação à terra, conforme indica a 
figura acima. O comandante do navio B precisa medir a velocidade do navio A 
em relação ao navio B. Que item informa o módulo, em nós, e esboça a 
direção e sentido do vetor velocidade a ser medido?
Dado: cos60o=0,5.
(A) 2,2 
VA/B
(B) 4, 4 
VA/B
(C) 4, 4 
VA/B
(D) 6, 6 
VA/B
(E) 6, 6 
VA/B
 08 (AFA) As figuras abaixo apresentam pontos que indicam as posições 
de um móvel, obtidas em intervalos de tempos iguais. Em quais figuras o 
móvel apresenta aceleração não nula?
(A) Apenas em I, III e IV. 
(B) Apenas em II e IV. 
(C) Apenas I, II e III. 
(D) Em I, II, III e IV.
 09 (AFA) Considere que dois vetores A
→ 
e B
→ 
fazem entre si um ângulo de 
60º, quando têm suas origens sobre um ponto em comum. Além disso, 
considere também, que o módulo de B
→
 é duas vezes maior que o de A
→
, 
ou seja, B = 2A. Sendo o vetor soma S
→
 = A
→
 + B
→
 e o vetor diferença 
D
→
 = A
→
 + B
→
, a razão entre os módulos S/D vale:
(A) 21
3
. (C) 7 .
(B) 1. (D) 3.

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