Aula_3_Leis_de_newton_Atrito

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Física I para Engenharia
1º Semestre de 2014
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 3 Leis de Newton
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdirg@if.usp.br 
Reversão temporal e leis da física
Um carro faz uma curva enquanto mantém uma velocidade constante.
Há alguma força resultante sobre o carro enquanto este faz a curva?
1. Não, sua velocidade é constante
2. Sim.
3. Depende da curvatura da curva e da velocidade do carro
Um carro em uma montanha russa desce o trilho mostrado abaixo.
Enquanto o carro desce para além do ponto mostrado, o que ocorre com
sua velocidade e aceleração na direção do movimento?
1. Ambas decrescem
2. A velocidade decresce, mas a aceleração aumenta
3. Ambas permanecem constantes
4. A velocidade aumenta, mas a aceleração decresce
5. Ambas aumentam
6. Outro
Primeira Lei de Newton: Lei da Inércia
 Um corpo em repouso permanece em repouso a não ser que uma 
força externa atue sobre ele. 
 Um corpo em movimento continua em movimento com rapidez
(velocidade) constante e em linha reta a não ser que uma força
externa atue sobre ele.
 A Lei da Inércia não faz distinção entre objeto em repouso ou em
movimento com velocidade constante. 
Referenciais Inerciais:
Se não há forças atuando sobre um corpo, qualquer referencial no 
qual a aceleração do corpo permanece zero é um Referencial Inercial.
Usando a Primeira Lei de Newton e o conceito
de Referenciais Inerciais, podemos definir
uma Força como uma influência externa, ou
ação, sobre um corpo que provoca uma
variação de velocidade do corpo, isto é,
acelera o corpo em relação a um referencial
inercial.
Assim, podemos testar se um referencial é
inercial quando na ausência de forças um
corpo está em repouso ou em movimento
retilineo uniforme.
A Terra é um bom referencial inercial ?
Raio da Terra ~ 6400 km
Período de rotação = 24 horas
r
v
a
T
r
v
c
2
2



2
2
6
2
6
/034,0
/
104,6
465
/1674/465
/
606024
104,62
sma
sm
x
a
hkmsmv
sm
xx
x
v
c
c





A Terra é um Referencial Inercial ?
Segunda Lei de Newton
A aceleração de um corpo é diretamente
proporcional à força resultante que atua
sobre ele e o inverso da massa do corpo é a
constante de proporcionalidade.
Uma força resultante de 1N em uma massa de 1 kg fornece uma 
aceleração de 1 m/s2.



FF
m
F
a
amF
res
res
res




22 /1)/1)(1(1 smkgsmkgN 
Massa
Os corpos resistem a serem acelerados. Essa propriedade intrínsica da 
matéria é chamada de massa do corpo. É uma medida da inércia do corpo.
Força e Quantidade de Movimento
Derivando-se esta expressão, temos:
vmp


Vamos definir um novo conceito que é a Quantidade de
Movimento Linear (ou Momento Linear) de uma partícula.
unidades: kg.m/s
am
dt
vd
m
dt
vmd
dt
pd 


)(
a massa foi suposta constante.
dt
pd
Fres


definição de Newton para a 
sua segunda lei.
Terceira Lei de Newton: Lei da Ação e Reação
Quando dois corpos interagem entre si,
a força exercida pelo corpo B sobre o
corpo A tem a mesma magnitude e o
sentido oposto ao da força exercida
pelo corpo A sobre o corpo B.
ABBA FF


Interações Fundamentais da Natureza:
 Interação Gravitacional – interação de longo alcance entre partículas
devida às suas massas (através de grávitons).
 Interação Eletromagnética – interação de longo alcance entre
partículas eletricamente carregadas (através de fótons).
 Interação Fraca – interação de curtíssimo alcance entre partículas
subnucleares (através de bósons W e Z). Foi unificada com a
eletromagnética, passando a se chamar eletrofraca.
 Interação Forte – interação de curto alcance entre hádrons (quarks)
que mantém unidos prótons e neutrons formando os núcleos atômicos
(através de mésons e glúons).
Pendulo de torção e medida da Gravitação Universal
2r
mM
GF 

Forças de contato e interação à distância
 As forças que observamos no dia-a-dia envolvem interações 
gravitacionais e eletromagnéticas.
 As forças de contato são de origem eletromagnética. 
 Interações à distância agem através de campos produzidos no 
espaço. Sendo que estes agem sobre os objetos.
Quando uma mola é esticada ou comprimida, ela reage
com uma força que é proporcional à sua deformação.
(Lei de Hooke)
Onde k é uma constante de proporcionalidade
positiva, chamada de constante elástica
interações moleculares 
podem ser simuladas 
por forças elásticas.
kxFx 
Forças Elásticas: Molas
Se uma superfície é empurrada, ela empurra de
volta.
Na região de contato, a roda empurra o solo,
com uma força vertical, comprimindo a distância
entre as moléculas na superfície do solo.
As moléculas comprimidas empurram de volta a
roda.
Esta força perpendicular às superfícies de
contato, é chamada de Força Normal.
Ao mesmo tempo existe uma outra força de contato, que é paralela à 
superfície e impede o deslizamento relativo entre as superfícies.
Esta força é chamada de Força de Atrito.
Forças de contato: Sólidos
Um jogador de basquete de 110 kg segura o aro enquanto enterra a bola.
Ele fica suspenso no aro, que é defletido de 15 cm em sua parte frontal.
Suponha que o aro possa ser aproximado por uma mola e calcule a sua
constante elástica.
jkxFmola
ˆ

Exemplo
jmgFpeso
ˆ

x
mNxk
k
mgkx
FF gx
/102,7
8,911015,0
0
0
3




molaF

pesoF

Princípio da Superposição
Se duas ou mais forças individuais atuam simultaneamente sobre
um corpo, o resultado é como se uma única força, igual a soma
vetorial das forças individuais, atuasse no lugar das forças
individuais.
Força resultante


 21 FFFres
Força é uma grandeza vetorial
Exemplo
Uma partícula de 0,40 kg de massa está submetida simultaneamente a 
duas forças
Se a partícula está na origem e parte do repouso em t=0, encontre a 
sua posição e velocidade em t= 1,60 s.
mjitatvrr )ˆ2,3ˆ7,14(
2
1 2
00 

jiF ˆ0,4ˆ0,21 

2/)ˆ5,2ˆ5,11( smji
m
F
a res 

jiF ˆ0,5ˆ6,22 

smjitavv /)ˆ0,4ˆ4,18(0 

NjiFFFF res )ˆ0,1ˆ6,4(21 

Aceleração
Velocidade
posição
Voce está à deriva no espaço, afastado de sua nave. Porém, voce tem uma
unidade de propulsão que fornece uma força constante por 3,0 segundos.
Após 3,0 s voce se moveu 2,25 m. Se sua massa é 68 kg, encontre o valor
da força.
Força
Como a força é constante, a aceleração 
também é constante
2
2
00
2
1
2
1
atx
attvxx


iNismkgimaF ˆ34ˆ)/50,0)(68(ˆ 2 

2
2
/50,0
2
sm
t
x
a 


Exemplo
 Fios são usados para puxar coisas. Podemos pensar em um fio como uma
mola de constante elástica muito alta, cuja elongação seja desprezível.
 Fios são flexíveis e não servem para empurrar.
 A magnitude da força que um segmento do fio exerce sobre outro é 
chamada de Tensão (T).
 A massa do fio e o seu atrito, em geral são supostos desprezíveis.
 Fios em geral permitem a alteração da direção de aplicação de forças.
Forças de contato: Fios
Um trenó é puxado por uma força de 150 N aplicada com um ângulo de 25°
em relação à horizontal. Considere a massa do trenó 80 kg e que o atrito
seja desprezível. Encontre a aceleração do trenó e a magnitude da força
normal exercida pelo gelo sobre o trenó.
xxres
n
n
maFT
TmgF
TPF



_25cos
025sin
0

NxTmgFn
2102,725sin 
Tsinq
Tcosq
Na direção x:
Na direção y:
2/7,1 smax 
Exemplo
nF

P

Voce necessita descarregaruma caixa frágil, usando uma
rampa. Se a componente vertical da velocidade da caixa ao
atingir a base for superior a 2,5 m/s, a caixa se quebra.
Qual é o maior ângulo que permite um descarregamento
seguro? A rampa tem 1 m de altura.
xres
n
maFmg
mgF


q
q
sin
0cos
mhx 1sin q
ghvx 2
Em x:
Em y:
ghxgxav xx 2sin22
2  q
Exemplo
qsingax 
 4,34sin2sin maxqqq ghvv xb
xv
Enquanto o seu avião rola na pista, voce decide determinar sua
aceleração, tomando o seu ioiô (40,0g) e vendo que, suspenso, o cordão
faz um ângulo de 22,0° com a vertical.
a) Qual é a aceleração do avião?
b) Qual é a tensão no cordão?
xmaT
mgT


q
q
sin
0cos
amPT


qcos
mg
T 
N
mg
T
smgax
423,0
cos
/96,3tan 2


q
q
Tcosq
Tsinq
Em x:
Em y:
xma
mg
q
q
sin
cos
Exemplo
Um montanhista cai acidentalmente de uma
geleira e fica dependurado por uma corda presa a
seu companheiro. Antes do segundo fazer uso de
seu piquete, ele escorrega sem atrito pelo gelo.
Encontre a aceleração de cada montanhista e a
tensão na corda.
TTT
aaa ps


21
sssn amTPF

 1 ppp amTP

 2
amTgm pp 
g
mm
m
a
ps
p


amT s
Exemplo
g
mm
mm
T
ps
ps


Em y:Em x:
TTT
aaa ps


21
sssn amTPF

 1
ppp amTP

 2
amgmT ss  qsin
g
mm
mm
T
g
mm
mm
a
ps
ps
ps
ps
)sin1(
sin
q
q






Sergio
Em x
PauloSergio Paulo
amTgm pp 
Um montanhista cai acidentalmente de uma
geleira e fique dependurado por uma corda presa
a seu companheiro. Antes do segundo fazer uso
de seu piquete, ele escorrega sem atrito pelo
gelo. Encontre a aceleração de cada montanhista
e a tensão na corda.
Um astronauta está construindo uma
estação espacial e empurra uma caixa de
massa m1 com um força F. A caixa está em
contato com uma segunda caixa de massa
m2. (a) qual a aceleração das caixas; (b)
qual a magnitude da força que cada caixa
exerce sobre a outra?
121221
21
FFF
aaa



1121 amFF


2212 amF


amFF 112 
F
mm
m
F
mm
F
a
21
2
12
21




amF 212 
Caixa 2Caixa 1
amMgsenT 2
10
1
 q
MaamT x
10
9
1 
qgsena
10
1

Mm
10
9
1 
Mm
10
1
2 
Mm
10
1
1 
Mm
10
9
2 
MaMgsenMa
10
1
10
1
10
9
 q
amMgsenT 2
10
9
 q
MaamT x
10
1
1 
qgsena
10
9

MaMgsenMa
10
9
10
9
10
1
 q
Atrito
Objetos comuns que parecem lisos, são ásperos e corrugados em
escala atômica. Quando as superfícies entram em contato, elas se
tocam apenas nas saliências (asperezas). Assim, apenas algumas
moléculas de sua superfície interagem quimicamente (atração
eletromagnética) com as moléculas do corpo vizinho. Essas interações
são responsáveis pelas forças de atrito.
 Atrito estático é a força de atrito que atua quando não existe 
deslizamento entre as duas superfícies em contato.
 Ele se opõe ao movimento relativo entre as superfícies.
 É proporcional às forças que pressionam as duas superfícies entre si.
Atrito Estático
nee Ff max
μe é o coeficiente 
de atrito estático
ef

NF

P

fe_max é um limite superior para a força de atrito estático. Além
deste limite, as interações químicas se rompem, permitindo o
movimento relativo entre as superfícies.
A orientação da força de atrito 
estático é tal que se opõe à 
tendência dos deslizamentos.
Atrito Estático
nee Ff 
μe é o coeficiente 
de atrito estático
Se o esforço entre as superfícies for alto, pode
haver movimento relativo. Nestas circunstâncias
haverá um atrito entre as superfícies, chamado de
atrito cinético (de deslizamento) que se opõe ao
movimento.
Este atrito é também proporcional às forças de
interação entre as superfícies.
A orientação da força de
atrito é tal que se opõe à
tendência dos deslizamentos.
Atrito Cinético
ncc Ff 
μc é o coeficiente 
de atrito cinético
ec  
nee Ff 
aplicadae Ff 
ncc Ff 
Atrito Estático e Cinético
ec  
Em um jogo de Curling, o jogador lança uma pedra na forma de disco (massa=
0,40 kg) que está inicialmente em repouso. A pedra parte inicialmente com uma
rapidez de 8,5 m/s e desliza por uma distância de 8,0 m antes de parar.
Encontre o coeficiente de atrito cinético entre a pedra e o chão.
Exemplo
Direção x:
xresxc
n
maFf
mgF


_
0
mgFn 
ga
mamg
maF
maf
cx
xc
xnc
xc







xgv
xgv
xavv
c
c
x





2
20
2
2
0
2
0
2
0
2
46,0c
Usando Torricelli, temos:
Direção y:
amFfFF rescgn


Exemplos
mas:
0sin
0cos


q
q
mgf
mgF
e
n
nee Ff 
qtanne Ff 
maxtanq e
No limite de escorregamento
Direção y:
Direção x:
Uma moeda foi colocada sobre a capa de um livro, que está sendo aberto
progressivamente. O ângulo θmax é o ângulo que a capa forma com a horizontal,
quando a moeda começa a se mover. Encontre o coeficiente de atrito estático
entre a capa e a moeda.
no limite quando 
a moeda começa 
a se mover 
0 amFfPF resen

Duas crianças estão sentadas em um trenó em repouso. Voce começa a puxá-las
por uma corda que faz um ângulo de 40° em relação à horizontal. A massa total
das crianças é 45 kg e do trenó 5 kg. Os coeficientes de atrito estático e
cinético são 0,20 e 0,15. Encontre a força de atrito entre o trenó e a neve e a
aceleração do trenó, se a tensão na corda for (a) 100 N e (b) 140 N.
Exemplos
0cos
0sin


q
q
Tf
mgTF
e
n
em x:
em y:
mgTFn  qsin
0 amTfPFn

se movendo 
no limite quando 
começa a se mover 
Verificar se a condição é estática
xe maTf  qcos
Antes de se mover 
nee Ff 
ou
nee Ff 
Para T= 100 N
NT 77cos q
NmgTFf enee 85)sin(max_  q nee
FTf q  cos
Para T= 140 N
NT 107cos q
qcosTfe 
mgTFn  qsin
2/64.0
50
75107cos
cos
sm
m
fT
a
maTf
cin
cin






q
q
NFf nccin 75 
Temos que considerar atrito cinético
Antes de se mover 
NmgTFf enee 80)sin(max_  q
0cos  qTfe
Atrito
0cos
0)0(sin


q
q
mgF
mfmgF
N
e
no limite de se mover 
q

cos
max_
mgf
Fff
ee
neee


qq
qq
q
cossin
0cossin
0sin
mgmgF
mgmgF
fmgF
e
e
e



Para bloco de m=2000 kg
e=0,40 e q=52 graus
F=2,027x104 N
Se cada pessoa pode carregar 
686 N então precisamos 30 operários 
Problema da pirâmide
Quando um objeto se move através de um fluido, este
exerce uma força de arraste, que se opõe ao movimento
do objeto.
A força de arraste depende da forma do objeto, das
propriedades do fluido e da rapidez do objeto em
relação ao fluido.
Tipicamente a força de arraste é do tipo Fa=bv
n , onde b
é uma constante.
Porém, para pequenas velocidades, n= 1.
Forças de arraste
mabvmg n Considere um objeto 
largado do repouso, 
caindo no ar. 
n
l
b
mg
v
/1







nv
m
b
ga 
Na medida que o objeto cai, sua
velocidade aumenta, até que a
aceleração se torne nula,
atingindo uma velocidade limite vl.
Um para-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus 
braços e pernas estendidos. (a) Qual a magnitude da força de arraste, sobre o 
para-quedista? (b) Se n=2, qualé o valor de b?
(a) Velocidade constante
Força de arraste
NF
mgF
a
a
628

mkg
v
mg
b
bvFa
/251,0
2
2


(b) Valor de b
Exemplo
(a)
(b)
Sua massa é de 80 kg e voce está sobre uma 
balança presa ao piso de um elevador. Qual a 
leitura da escala quando 
(a) o elevador está subindo com uma aceleração 
para cima de magnitude a; 
(b) o elevador está descendo com uma 
aceleração para baixo de magnitude a’; 
(c) o elevador está subindo a 20 m/s e sua 
rapidez diminui a uma taxa de 8,0 m/s2?
)(
)(
agmF
agmF
mamgF
n
n
n



amPFn


(c) Aceleração para baixo
NxF
gmF
n
n
2104,1
)0,8(


A indicação da balança é dada pela força normal
Exemplo
Um quadro pesando 8,0 N é suspenso por dois fios com tensões T1 e T2. 
Determine cada tensão.



60cos
30cos1
2
T
T NT
NT
9,6
0,4
2
1


060sin30sin
060cos30cos
21
21


PTT
TT
Na direção y:
Na direção x:
Em equilibrio = Força resultante é zero
021  amPTT

Exemplo
P
T
T 


 60sin
60cos
30cos
30sin 11
Os materiais reais (pneus e estradas) estão 
continuamente se deformando, o que gera calor e 
portanto dissipação de energia. Assim, existe uma 
força de atrito de rolamento, que se opõe ao 
movimento e depende da dissipação de energia.
Valores típicos para μr são de 0,01 a 
0,02 entre pneus de borracha e 
concreto e 0,001 e 0,002 entre rodas 
de aço e trilhos de aço.
Atrito de Rolamento
ecr  
nrr Ff 
μr é o coeficiente de 
atrito de rolamento
Forças de atrito de rolamento são 
frequentemente desprezadas.