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Exemplos de Dimensionamento de Lajes 1) Dimensionar e detalhar as lajes de uma escola representadas na figura baixo. Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm e bviga=15cm . L2L1 L1=7/3=2,33 (1 direção) L2=6/2,5=2,4 (1 direção) Carregamento nas lajes (L1= L2): → Peso próprio (pp) ................ 2500 x 0,10 = 250 kgf/m2 → Revestimento (rev.) .....................................100 kgf/m2 → Sobrecarga (sob.) ........................................ 300 kgf/m2 Carregamento total ........................................... 650 kgf/m2 Critério para engastamento de lajes: 7 x 0,7 = 4,9 m (pode engastar) Cálculo dos momentos: M = qL2/14,22 = 650x3,152/14,22 M = 454 kgf⋅m (positivo) L1) 650 3,15 m + - X = -qL2/8 = -650x3,152/8 X = -806 kgf⋅m (negativo) M = qL2/14,22 = 650x2,652/14,22 M = 321 kgf⋅m (positivo) L2) 650 2,65 m + - X = -qL2/8 = -650x2,652/8 X = -571 kgf⋅m (negativo) Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 1 Cálculo das flechas: Laje L1: cm Lf 05,1 300 315 300 ==≤ (flecha limite) EI qLf 384 2 4= MPaE 96,25043205600 == E = 250439,6 kgf/cm2 I = b⋅h3/12 → b = 1m, h = 0,1m 34 4 10,0106,250439384 12)15,3(6502 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅=f f = 0,0016 m = 0,16 cm (ok!) Laje L2: cm Lf 88,0 300 265 300 ==≤ (flecha limite) EI qLf 384 2 4= 34 4 10,0106,250439384 12)65,2(6502 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅=f f = 0,0008 m = 0,08 cm (ok!) L2L1 454 80 6 57 1 321 Equilíbrio de Momento Negativo (utilizar o maior momento) a) b) (806+571)/2 = 689 kgf⋅m 80% do maior momento = 0,8⋅806 = 645 kgf⋅m O momento de equilíbrio utilizado no cálculo: 689 kgf⋅m Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 2 obs1.: cobertura da armadura (cobrimentos mínimos – norma antiga): cobrimento de concreto pelo menos igual ao diâmetro da barra, mas não menor que: 1. Concreto revestido com pelos menos 1cm de argamassa: 9 9 9 9 9 9 9 Lajes no interior de edifícios .................................... 0,5 cm Paredes no interior de edifícios ............................... 1,0 cm Lajes e paredes ao ar livre ...................................... 1,5 cm Vigas, pilares e arcos no interior de edifícios .......... 1,5 cm Vigas, pilares e arcos ao ar livre ............................. 2,0 cm 2. Concreto aparente: No interior de edifícios ............................................ 2,0 cm Ao ar livre ................................................................ 2,5 cm 3. Concreto em contato com o solo: ................................. 3,0 cm 4. Concreto em meio fortemente agressivo: ..................... 4,0 cm O esquema: ah av Pastilha de argamassa ou espaçador plástico c c Quando c > 6 deve-se empregar armadura de pele cujo cobrimento mínimo deve respeitar os valores já dados. Como informação adicional dão-se valores mínimos de: ah 2 cm 1 φ 1,2 dagregado av 2 cm 1 φ 0,5 dagregado Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 3 Determinação da armadura positiva: Conhecendo a resistência do concreto fck = 20MPa e o tipo de aço, CA 50, determina-se o valor de k6 através da equação: M dbk 2 6 ⋅= . onde: b = 100 cm (cálculo por metro) d = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura em cm. d = h -2cm para maior momento positivo d = h -2,5cm para menor momento positivo d = h -2cm para momentos negativos M = momento em tf⋅cm d centro de gravidade da armadura metro M borda mais comprimida c obs1.: As tabelas que serão utilizadas, já incorporam os coeficientes de minoração de resistência dos materiais e os coeficientes de majoração de cargas. M = 45,4 tf⋅cm (L1) d = 8,0 cm 97,140 4,45 0,8100 2 6 =⋅=k (tabela) 336,03 =k M = 32,1 tf⋅cm (L2) d = 8,0 cm 38,199 1,32 0,8100 2 6 =⋅=k (tabela) 332,03 =k Encontrados os valores de k3, determina-se a seção de aço em cm2/m através da equação: d Mk As ⋅= 3 Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 4 Laje L1: 0,8 4,45336,0 ⋅=sA → cm1,91As = 2/m Armadura Principal → φ5.0mm c/10cm Laje L2: 0,8 1,32332,0 ⋅=sA → cm1,33As = 2/m norma → )10100( 100 15,0)%(15,0min ⋅=⋅= hbAs 501,As = cm2/m (adotada) Armadura Principal → φ5.0mm c/13cm Armadura Secundária → φ5.0mm c/22cm Armadura Secundária → φ5.0mm c/22cm obs2.: De um modo geral o diâmetro das barras utilizadas em lajes é de 4 a 10mm. Obs3.: Para lajes, as barras são dispostas com espaçamentos que deverão obedecer: 9 9 espaçamento mínimo = 7cm; espaçamento máximo = 20cm (armada em cruz); = 2xh (armada em uma direção). Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 5 Detalhe da Armadura Positiva 70φ5.0 c/10-2,55 14φ 5.0 c/2 2- 7, 15 47φ5.0 c/13-2,15 12φ 5.0 c/2 2- 6, 15 armadura de complemento obs4.: Critérios para contrafiamento de armadura positiva (gera economia). 1. Se a φ utilizada for de 5.0 mm, e estando espaçada acima de 13cm, não deve ser contrafiada; 2. Se a φ utilizada for de 5.0 mm, e estiver espaçada de 13cm ou abaixo, deve contrafiar, sendo que o comprimento da barra deve ser 80% da medida de eixo a eixo do apoio; 3. Se a φ utilizada for de 6.3 mm ou mais grossa, deve-se contrafiar, independente do espaçamento, sendo o comprimento da barra 80% da medida de eixo a eixo de apoio. obs5.: Critérios para armadura mínima. 1. A armadura mínima de tração deve possuir área igual ou maior que 0,15% de bw⋅h; 2. O diâmetro máximo da barras das armaduras não deve ser superior a 10% da espessura da laje; 3. Nas regiões centrais das lajes, onde agem os máximos momentos fletores, o espaçamento das barras da armadura principal não deve ser superior a 20cm. No caso de lajes armadas numa direção, esse espaçamento, além de atender a exigência acima, também não deve ser superior a 2h; Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 6 4. A armadura secundária de flexão deve corresponder à percentagem de armadura igual ou superior a 20% da armadura principal ou 0,9cm2/m, prevalecendo a maior taxa de armadura, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33cm. Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da armadura positiva. M = 689 kgf⋅m , d = 8 cm 02,93 9,68 8100 2 6 =⋅=k (tabela) 344,03 =k d MkAs ⋅= 3 8 9,68344,0 ⋅=sA → cm2,96As = 2/m Armadura Negativa → φ6.3mm c/10cm Detalhe da Armadura Negativa 3,15/4 ≅ 0,80 0,80/3 ≅ 30 ancoragem = h-2 10 -2 = 8 cm 60φ6.3 c/10-1,46 Detalhe: 130 8 8 Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 7 2) Dimensionar e detalhar as lajes de uma lavanderia industrial representadas na figura abaixo. Considerara resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm, bviga=15cm e o revestimento em granito. LAJE 1 LAJE 2 LAJE 3 Classificação: L1 → λ = 6,0/4,0 = 1,5 (armada em 2 direções) L2 → λ = 5,0/4,0 = 1,25 (armada em 2 direções) L3 → λ = 7,0/3,0 = 2,33 (armada em 1 direção) Carregamento nas lajes (L1=L2= L3): → Peso próprio (pp) .................. 2500 x 0,10 = 250 kgf/m2 → Revestimento (rev.) ......................................150 kgf/m2 → Sobrecarga (sob.) .........................................200 kgf/m2 Carregamento total ............................................600 kgf/m2 Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 8 Condição de engastamento: LAJE 1 LAJE 2 LAJE 3 X X Cálculo dos momentos e das reações: L1) Laje armada em duas direções: Utilizar o Processo de Marcus O processo de Marcus faz a divisão da laje por uma grelha de vigas e depois aplica adequados coeficientes que levam em conta o aspecto de continuidade da laje, que solidariza toda a malha de vigas. As tabelas de Marcus já fazem os cálculos diretamente permitindo facilmente os cálculos dos momentos positivos e os negativos. 1. Escolha das direções principal e secundária. Direção principal: Lx Direção secundária: Ly Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 9 Ex.: 4 6 4 6 4 6 4 6 Lx = 6 Ly = 4 Lx = 4 Ly = 6 Lx = 6 Ly = 4 Lx = 4 Ly = 6 4 6 4 6 Lx = 4 Ly = 6 Lx = 4 Ly = 6 obs.: 9 9 Para o mesmo número de engastes, Lx será o menor vão; Para número de engastes diferentes o Lx corta o maior número de engastes. 2. Utilizar as fórmulas para os cálculos dos momentos: O dado de entrada nas tabelas é a relação entre lados, Ly/Lx. Das tabelas retiram- se os coeficientes: mx, my, nx e ny que permitem calcular os momentos. Momento positivo Momento negativo Direção x: x 2 x m qlxM = x 2 x n qlxX −= Direção y: y 2 y m qlxM = y 2 n qlxXy −= Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 10 4,15 6,15 67,0 15,6 15,4 == Lx Ly 335,0=Xk 0,66=Xm 7,35=ym 9,23=Xn Momento Positivo: mkgf343,8 mx qlxMx 2 ⋅=×== 66 )15,6(600 2 Momento Negativo: mkgfXx ⋅=×= 5,949 9,23 )15,6(600 2 mkgf635,7 my qlxMy 2 ⋅=×== 7,35 )15,6(600 2 0Xy = Carregamento na direção X: qkqx X ⋅= 6000qx ⋅= 335, kgf201qx = Carregamento na direção Y: qx-qqy = 201-600qy = kgfqy 399= Reações na direção X: 201 kgf ql 8 5R engaste = kgf/m5R engaste 73315,62018 =×= ql 8 3R apoio = kgf/m3R apoio 46415,62018 =×= Carregamento na direção Y: 399 kgf 2 qlRR 21 == kgf/m4,15RR 21 8282 399 =×== Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 11 L2) Laje armada em duas direções 5,15 4,15 81,0 15,5 15,4 Lx Ly == 518,0k X = 6,43mX = 4,15n X = 3,34my = Momento Positivo: m365kgf 6,43 )15,5(600 mx qlxMx 22 ⋅=×== Momento Negativo: mkgf1033 4,15 )15,5(600Xx 2 ⋅=×= m464kgf 3,34 )15,5(600 my qlxMy 22 ⋅=×== 0Xy = Carregamento na direção X: qkqx X ⋅= 600518,0qx ⋅= 311kgfqx = Carregamento na direção Y: qx-qqy = 311-600qy = kgf289qy = Reações na direção X: 311 kgf ql 8 5R engaste = kgf/m100115,5113 8 5R engaste =×= ql 8 3R apoio = kgf/m60115,5113 8 3R apoio =×= Reações na direção Y: 289 kgf 2 qlRR 21 == kgf/m600 2 4,15289RR 21 =×== Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 12 L3) Laje armada em uma direção 7,15 3,15 7/3 = 2,33 (01 direção) Reações 600 kgf kgf/m3ql3R apoio 70915,360088 =×== kgf/m5ql5R engaste 118115,360088 =×== X = -qL2/8 = 600x3,152/8 X = 744 kgf⋅m (negativo) M = qL2/14,22 = 600x3,152/14,22 M = 419 kgf⋅m (positivo) Equilíbrio dos Momentos Negativos: (utilizar o maior momento) LAJE 1 LAJE 2 LAJE 3 744 744 949,5 0 10 33 0 L1/L2 = 1033 L1/L3 = 949,5/744 L1/L3 = 846,75 L2/L3 = 744 6,15 3,15 1,55 1,546,15 = 4 < 3,15/2 (certo) 0,80 4 3,15 = (errado) Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 13 Cálculo das flechas: L1) 4,15 6,15 67,0 15,6 15,4 == Lx Ly 2mkgfqx /201= 384EI 2qlf 4 = 2mkgfqy /399= 384EI 5qlf 4 = Flecha na direção X: (flecha limite) f ≤ L/300 = 615/300 = 2,05 cm MPa96,25043205600E == E = 25043,96⋅105 kgf/m2 I = b⋅h3/12 → b = 1x0,13/12 = 8,33⋅10-5 m4 55 4 1033,81096,25043384 15,62012 −⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅== 384EI 2qxlxfx 4 cm0,7mfx == 007,0 Ok! Flecha na direção Y: (flecha limite) f ≤ L/300 = 415/300 = 1,38 cm 55 4 1033,81096,25043384 15,43995 −⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅== 384EI 5qylyfy 4 cm0,7mfy == 007,0 Ok! L2) 5,15 4,15 81,0 15,5 15,4 Lx Ly == 2m/kgf311qx = 2m/kgf289qy = f ≤ L/300 = 515/300 = 1,72 cm (flecha limite) Flecha na direção X: 55 4 33,81096,25043384 15,53112 −⋅⋅⋅ ⋅⋅== 384EI 2qxlxfx 4 cm0,54mfx == 0054,0 Ok! Flecha na direção Y: 55 4 33,81096,25043384 15,42895 −⋅⋅⋅ ⋅⋅== 384EI 5qylyfy 4 cm0,54mfy == 0054,0 Ok! L3) 7,15 3,15 f ≤ L/300 = 315/300 = 1,05 cm (flecha limite) 2m/kgf600q = 55 4 33,81096,25043384 15,36002 −⋅⋅⋅ ⋅⋅== 384EI 2qlf 4 cm0,15mf == 0015,0 Ok! Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 14 Determinação da armadura positiva: Conhecendo a resistência do concreto fck = 20MPa e o tipo de aço, CA 50, determina se a seção de aço através das seguintes equações: M dbk 2 6 ⋅= , d MkAs 3= Laje 1 Laje 2 Laje 3 Direção X cmtfMx ⋅= 4,34 Direção Y cmtfMy ⋅= 6,63 Direção X cmtf5,36Mx ⋅= Direção Y cmtf4,46My ⋅= Uma direção cmtf9,41M ⋅= 34,4 8100k 2 6 ⋅= 05,186k 6 = 63,6 8100k 2 6 ⋅= 63,100k 6 = 36,5 8100k 2 6 ⋅= 34,175k 6 = 46,4 8100k 2 6 ⋅= 93,137k 6 = 41,9 8100k 2 6 ⋅= 74,152k 6 = 333,0k 3 = 343,0k 3 = 334,0k 3 = 337,0k 3 = 335,0k 3 = 8 34,4333,0As = 8 63,6343,0As = 8 36,5334,0As = 8 46,4337,0As = 8 41,9335,0As = m cm43,1As 2 = m cm73,2As 2 = m cm52,1As 2 = m cm95,1As 2 = m cm75,1As 2 = Asmin = 1,5cm2/m φ5.0mm c/13cm φ5.0mm c/7cm φ5.0mm c/13cm φ5.0mm c/10cm φ5.0mm c/11cm Detalhe da Armadura Positiva 31φ 5.0 c/1 3- 4, 95 86φ5.0 c/7-3,35 31φ5.0 c/13-4,15 50φ 5.0 c/1 0- 3, 35 64φ 5.0 c/1 1- 2, 55 14φ5.0 c/22-7,15 Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas15 Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da armadura positiva. L1/L2 – cmtfM ⋅= 3,103 L1/L3 – cmtfM ⋅= 7,84 103,3 8100k 2 6 ⋅= → 96,61k 6 = 84,7 8100k 2 6 ⋅= → 56,75k 6 = tabela → 360,0k 3 = tabela → 352,0k 3 = 8 103,3360,0As = → m cm65,4As 2 = 8 84,7352,0As = → m cm73,3As 2 = φ8.0mm c/10cm φ8.0mm c/13cm Detalhe da Armadura Negativa 5,15/4 ≅ 1,30 m 1,30/3 ≅ 0,45 m ancoragem = h-2 10-2 = 8 cm 252,5/10 ≅ 25 bar. Detalhe: 215 8 8 6,15/4 ≅ 1,55 m 1,55/3 ≅ 0,55 m ancoragem = h-2 10-2 = 8 cm 700/13 ≅ 54 bar. viga contínua viga biapoiada 25φ8.0 c/10-2,35 54 φ8 .0 c/ 13 -2 ,7 5 armadura de canto armadura de canto 0, 55 1, 55 Detalhe: 255 8 8 obs1.: Critérios para a interrupção de armadura negativa. 1. Se o cruzamento for de duas vigas biapoiadas ou de duas contínuas, a que tiver maior momento tem prioridade para prosseguir; 2. Se o cruzamento for entre uma viga contínua e uma biapoiada, a armadura que prosseguirá será aquela que estiver por cima da viga contínua. Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 16 Determinação da armadura de canto. Em cada canto das lajes retangulares livremente apoiadas (articuladas) nas quatro bordas, quando não for calculada armadura para resistir os momentos volventes, deverá ser colocada uma armadura superior na direção da bissetriz e uma na direção perpendicular à bissetriz, possuindo cada uma área não inferior à metade da área da armadura máxima no centro da laje. Armadura Superior Armadura Inferior 1/5 do menor vão 1/5 do menor vão 1/5 do menor vão 1/5 do menor vão 9 9 9 9 9 O vão escolhido será o maior dos menores das lajes que precisem de armadura de canto; A armadura de canto utilizada será aquela da laje que apresentar maior momento positivo (das lajes que precisem da armadura de canto); Armadura de canto somente em lajes armadas em duas direções; Somente em lajes acima de 12 m2; A armadura será única para todos os cantos; 0,80 0,80 barras16 0,07 1,13 = 2x16φ5.0-c/7-variado colocados em apenas dois cantos, onde não há armadura negativa. Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 17 3. Dimensionar e detalhar a laje de uma sacada representada na figura abaixo, sabendo-se que o parapeito é de alvenaria acabada de tijolos furados, com largura de 10cm. Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm e bviga=10cm. Obs.: Ao longo de parapeitos e balcões deve ser considerada uma carga horizontal de 0,80 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m. J Parapeito: 0,1⋅1,0⋅1300 = 130 kgf/m 1,45 m 200 kgf/m 80 kgf/m 1,0 m Peso-próprio: 2500⋅0,1 = 250 kgf/m2 Revestimento de piso: 100 kgf/m2 Forro de gesso: 50 kgf/m2 Sobrecarga (residência): 150 kgf/m2 Total da carga distribuída: 550 kgf/m2 LAJE ENGASTADA SACADA PLANTA BAIXA 550kgf/m2 1,45 m R M 80x1=80 kgf·m/m 200 + 130 = 330 kgf/m Reações: kgf/m5,1127)45,1550(330R =×+= 80 2 45,155045,1330M 2 +×+×= m/mkgf7,1136M ⋅= J arm. negativa Determinação da armadura negativa: Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 18 M dbk 2 6 ⋅= → 113,7 5,7100k 2 6 ⋅= 47,49k 6 = → 373,0k 3 = CORTE 36φ8.0 c/8,5-3,0 7,52,85 m cm65,5 5,7 113,7373,0As 2 == → φ8.0-c/8,5 obs1.: O comprimento da armadura que se deve colocar para dentro da laje vizinha é o mesmo comprimento do balanço, e não pode ser contrafiada. Armadura para absorver esforço de retração do concreto “Positiva”. Armadura secundária nas duas direções, pois não existe momento positivo. Armadura secundária: 0,9 cm2/m emáx. = 33 cm 14φ 5.0 c/2 2- 1, 35 7φ5.0 c/22-2,97 Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 19 Exemplos de Dimensionamento de Lajes Equilíbrio de Momento Negativo (utilizar o maior momento) (806+571)/2 = 689 kgf(m 80% do maior momento = 0,8(806 = 645 kgf(m O momento de equilíbrio utilizado no cál� obs1.: cobertura da armadura (cobrimentos mínimos – norma an Determinação da armadura positiva: M = 45,4 tf(cm (L1) M = 32,1 tf(cm (L2) Detalhe da Armadura Positiva obs4.: Critérios para contrafiamento de armadura positiva (g obs5.: Critérios para armadura mínima. Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da a M = 689 kgf(m , d = 8 cm (tabela) Detalhe da Armadura Negativa Detalhe: Momento positivo Equilíbrio dos Momentos Negativos: (utilizar o maior momento L1/L2 = 1033 Cálculo das flechas: L1) L2) L3) Detalhe da Armadura Positiva Detalhe da Armadura Negativa 10-2 = 8 cm Detalhe: 10-2 = 8 cm Detalhe: obs1.: Critérios para a interrupção de armadura negativa.
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