Lista de exercícios 12

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
12a lista de exerc´ıcios (10/06/2019 a 14/06/2019)
Parte 1. Esta lista e´ dedicada a`s func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica. Os exerc´ıcios 1 a 7, 10 e
11 trabalham a construc¸a˜o de gra´ficos de func¸o˜es exponenciais. O objetivo e´ conseguir fazer, de forma
conforta´vel, os gra´ficos da questa˜o 7 e questa˜o 10. O mesmo assunto e´ tratado nos exerc´ıcios 1 a 6, 13 e
14 da lista complementar.
1. Considere f(x) = 5x. Calcule f(1), f(2), f(3), f(0), f(−1), f(−3), f(1/2) e f(−3/5).
2. Considere f(x) = 3x. Utilize uma calculadora para determinar, aproximadamente, f(pi), f(
√
2),
f(34/439) e f(−33/8). Arredonde com duas casas decimais.
3. Associe as func¸o˜es aos gra´ficos.
f(x) = 2x.(a) g(x) = 2−x.(b) h(x) = −2x.(c) k(x) = −2−x.(d)
x
y
(I)
x
y
(II)
x
y
(III)
x
y
(IV)
1
4. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo montando uma tabela de valores. Se necessa´rio, use uma calculadora.
f(x) = 3x.(a) g(x) =
(
1
2
)x
.(b)
5. Em cada item, fac¸a o gra´fico das func¸o˜es em um mesmo plano.
f(x) = 2x e g(x) = 2−x.(a) f(x) = 4x e g(x) = 7x.(b)
6. Encontre a func¸a˜o exponencial f(x) = ax cujo gra´fico esta´ representado.
1
(2, 9)
x
y
(a)
1 (2, 1/16) x
y
(b)
7. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo, partindo de gra´ficos conhecidos.
f(x) = −3x.(a) f(x) = 10−x.(b)
f(x) = 2x − 3.(c) f(x) = 2x−3.(d)
f(x) = 4 +
(
1
2
)x
.(e) f(x) = 6− 3x.(f)
Parte 2. Nos exerc´ıcios 8, 9 e 12, ha´ problemas aplicados em que voceˆ deve interpretar o problema e
depois aplicar o conteu´do matema´tico. Na lista complementar, o mesmo assunto esta´ nos exerc´ıcios 8
a 12, 15 e 16.
8. Uma cultura de bacte´rias conte´m, inicialmente, 1500 bacte´rias e dobra de populac¸a˜o a cada hora.
Encontre uma func¸a˜o que modela o nu´mero de bacte´rias apo´s t horas.(a)
Encontre o nu´mero de bacte´rias apo´s 24 horas.(b)
9. Seu professor de matema´tica pediu para fazer o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x para x de 0 a 40 usando
uma escala de 10 unidades para cada cent´ımetro da folha. Quais sa˜o as dimenso˜es da folha necessa´ria
para o gra´fico?
10. Considere f(x) = ex. Utilize uma calculadora para determinar f(3), f(0,23), f(−2) e f(1). Arredonde
com 3 casas decimais.
11. Utilize o gra´fico da func¸a˜o f(x) = ex para fazer os gra´ficos das func¸o˜es abaixo.
f(x) = −ex.(a) f(x) = 1− ex.(b)
f(x) = e−x − 1.(c) f(x) = −e−x.(d)
2
12. Quando um certo medicamento e´ administrado a um paciente, o nu´mero de miligramas do medicamento
na corrente sangu´ınea do paciente apo´s t horas da aplicac¸a˜o e´ dado por
D(t) = 50e−0,2t.
Quantos miligramas do medicamento restara˜o na corrente sangu´ınea 3 horas apo´s a aplicac¸a˜o?
Parte 3. Nos exerc´ıcios 13 e 14, esta˜o definidas func¸o˜es as func¸o˜es hiperbo´licas, as quais possuem
grande importaˆncia na matema´tica. O mesmo assunto e´ tratado nos exerc´ıcios 17 a 20 da lista com-
plementar.
13. A func¸a˜o cosseno hiperbo´lico e´ definida como
coshx =
ex + e−x
2
.
Calcule cosh 0, cosh 1 e cosh(−2).(a)
Qual e´ o domı´nio desta func¸a˜o?(b)
Verifique que esta func¸a˜o e´ par.(c)
Fac¸a o gra´fico. Sugesta˜o. Fac¸a o gra´fico de
ex
2
e
e−x
2
e utilize a adic¸a˜o de gra´ficos.(d)
14. A func¸a˜o seno hiperbo´lico e´ definida como
senhx =
ex − e−x
2
.
Calcule senh 0, senh 1 e senh(−2).(a)
Qual e´ o domı´nio desta func¸a˜o?(b)
Verifique que esta func¸a˜o e´ ı´mpar.(c)
Fac¸a o gra´fico. Sugesta˜o. Fac¸a o gra´fico de
ex
2
e
e−x
2
e utilize a subtrac¸a˜o de gra´ficos.(d)
Parte 4. Os exerc´ıcios 15 a 24 teˆm como objetivo praticar logaritmos e suas propriedades. O mesmo
assunto e´ trabalhado nos exerc´ıcios 21 a 25 da lista complementar.
15. Reescreva as identidades abaixo utilizando logaritmos.
53 = 125.(a) 10−4 = 0,0001.(b) 103 = 1000.(c) 811/2 = 9.(d)
8−1 =
1
8
.(e) 2−3 =
1
8
.(f) 4−3/2 = 0,125.(g) ex = 2.(h)
e3 = y.(i) ex+1 = 0,5.(j) e0,5x = t.(k)
16. Reescreva as identidades abaixo utilizando a forma exponencial.
log5 25 = 2.(a) log5 1 = 0.(b) log 0,1 = −1.(c) log8 512 = 3.(d)
log8 2 =
1
3
.(e) log2
1
8
= −3.(f) log3 81 = 4.(g) log8 4 =
2
3
.(h)
ln 5 = x.(i) ln y = 5.(j) ln(x+ 1) = 2.(k) ln(x− 1) = 4.(l)
17. Calcule o valor das expresso˜es abaixo.
3
log3 3.(a) log3 1.(b) log3 3
2.(c) log6 36.(d)
log7 7
10.(e) log3
1
27
.(f) log
√
10.(g) log5 0,2.(h)
log49 7.(i) log9
√
3.(j) 2log2 37.(k) 3log3 8.(l)
eln
√
5.(m) 10log 5.(n) ln e4.(o) ln
1
e
.(p)
18. Utilize a definic¸a˜o do logaritmo para determinar x.
log2 x = 5.(a) log2 16 = x.(b) log5 x = −1.(c) log 0,1 = x.(d)
log3 x =
3
5
.(e) log x = −2
3
.(f) lnx = 3.(g) logx 16 = 4.(h)
logx 6 =
1
2
.(i) logx 25 = 2.(j) logx 3 =
1
3
.(k) logx 3 = −
1
3
.(l)
19. Utilize uma calculadora para determinar com quatro casas decimais as expresso˜es abaixo.
log 2.(a) log
2
3
.(b) log
√
2.(c)
ln 5.(d) ln 25,3.(e) ln(1 +
√
3).(f)
20. Diga quais itens sa˜o verdadeiros ou falsos. Ignore os valores das varia´veis que na˜o esta˜o no domı´nio da
expressa˜o.
log
x
y
=
log x
log y
.(a) log2(x− y) = log2 x− log2 y.(b)
log5
a
b2
= log5 a− 2 log5 b.(c) log 2z = z log 2.(d)
(logP )(logQ) = logP + logQ.(e)
log a
log b
= log a− log b.(f)
(log2 7)
x = x log2 7.(g) loga a
a = a.(h)
log(x− y) = log x
log y
.(i) − ln 1
A
= lnA.(j)
21. Utilize as propriedades dos logaritmos para determinar o valor das expresso˜es abaixo.
log3
√
27.(a) log2 160− log2 5.(b)
log 4 + log 25.(c) log
1√
1000
.(d)
log4 192− log4 3.(e) log12 9 + log12 16.(f)
22. Uilize as propriedades dos logaritmos para expandir as expresso˜es abaixo.
log2(2x).(a) log3(5y).(b) log2(x(x− 1)).(c)
log5
x
2
.(d) log2(AB
2).(e) log3(x
√
y).(f)
log2(xy)
10.(g) loga
(
x2
yz3
)
.(h) ln
3
√
3r2s.(i)
log2
(
x(x2 + 1)√
x2 − 1
)
.(j) log
√
x2 + 4
(x2 + 1)(x3 − 7)2 .(k) ln
(
ex
x(x2 + 1)(x4 + 2)
)3
.(l)
4
23. Uilize as propriedades dos logaritmos para combinar as expresso˜es abaixo.
log3 5 + 5 log3 2.(a) log 12 +
1
2
log 7− log 2.(b)
log2A+ log2B − 2 log2C.(c) log5(x2 − 1)− log5(x− 1).(d)
4 log x− 1
3
log(x2 + 1) + 2 log(x− 1).(e) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln c.(f)
24. Utilize a fo´rmula de mudanc¸a de base e uma calculadora para determinar o valor das expresso˜es abaixo.
Aproxime com quatro casas decimais.
log2 5.(a) log5 2.(b) log6 532.(c) log1/3 45,6.(d)
Parte 5. Os exerc´ıcios 25 a 29 trabalham func¸o˜es logar´ıtmicas e seus gra´ficos. O mesmo assunto esta´
nos exerc´ıcios 26 a 28 da lista complementar.
25. Associe as func¸o˜es aos gra´ficos.
f(x) = log2 x.(a) g(x) = log2(−x).(b) h(x) = − log2(x).(c)
k(x) = − log2(−x).(d) l(x) = log2 |x|.(e)
x
y
(I)
x
y
(II)
x
y
(III)
x
y
(IV)
5
x
y
(V)
26. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo montando uma tabela de valores. Se necessa´rio, use uma calculadora.
f(x) = log3 x.(a) g(x) = log1/2 x.(b)
27. Encontre a func¸a˜o logar´ıtmica f(x) = loga x cujo gra´fico esta´ representado.
1
(5, 1)
x
y
(a)
1 (2,−1)
x
y
(b)
1
(1/9,−2)
x
y
(c)
1
(3, 1/2)
x
y
(d)
28. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es abaixo, partindo de gra´ficos conhecidos.
6
f(x) = log2(x− 4).(a) f(x) = − log x.(b)
f(x) = log5(−x).(c) f(x) = ln(x+ 2).(d)
29. Encontre o domı´nio das func¸o˜es abaixo.
f(x) = log(x+ 3).(a) f(x) = log3(x
2 − 1).(b)
f(x) = ln x+ ln(2− x).(c) f(x) = logx−3(x2 − 1).(d)
Parte 6. O exerc´ıcio 30 e´ um exerc´ıcio aplicado, assim como os exerc´ıcios 29 e 30 da lista comple-
mentar.30. A idade de um artefato antigo pode ser determinada pela quantidade de carbono-14 remanescente. Se
D0 e´ a quantidade original de carbono-14 e D e´ a quantidade remanescente, enta˜o a idade A (em anos)
do artefato pode ser calculada por
A = −8267 ln
(
D
D0
)
.
Determine a idade de um objeto cuja quantidade de carbono-14 remanescente e´ 73% da quantidade
original.
Lista de exerc´ıcios parcialmente retirada e adaptada de
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
7