PROVA ANÁLISE MATEMÁTICA AVA 1

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Disciplina: Análise Matemática (MAT27) 
Avaliação: Avaliação I 
 
Nota da Prova: 10,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não 
eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa 
CORRETA: 
 a) Os números inteiros são fechados com relação à adição. 
 b) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. 
 c) Os números naturais são fechados com relação à divisão. 
 d) Os números inteiros são fechados com relação à divisão. 
 
2. O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes 
aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é 
importante também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em 
outras palavras, entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os 
números naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos axiomas de 
Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém. 
( ) Um número natural possui apenas um sucessor. 
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence 
a X, então X = N. 
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - V - F - V. 
 b) F - F - V - F. 
 c) V - V - V - F. 
 d) V - V - F - F. 
 
3. A multiplicação de números naturais é uma operação fundamental, mas que em Análise 
Matemática exige uma visão mais ampla para permitir realizar-se vários dos procedimentos 
de cálculo que utilizamos sem perceber. Por exemplo, em uma equação 2m = 2n, podemos 
cancelar os valores iguais em ambos os membros da igualdade. Isso se deve ao fato de 
existir a Lei do corte, uma propriedade importante desta operação. Sobre as propriedades 
válidas para a multiplicação de números naturais, classifique V para as opções verdadeiras 
e F para as falsas: 
 
( ) Associatividade. 
( ) Comutatividade. 
( ) Distributividade. 
( ) Elemento Neutro. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - V - V. 
 b) F - F - F - V. 
 c) V - V - V - F. 
 d) F - F - V - F. 
 
4. Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise 
matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. 
Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de 
somar números. Sobre as propriedades da adição dos números naturais, analise as opções 
a seguir: 
 
I- Comutatividade. 
II- Associatividade. 
III- Elemento inverso. 
IV- Lei do corte. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I e III estão corretas. 
 b) As sentenças II e III estão corretas. 
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 d) As sentenças III e IV estão corretas. 
 
5. Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente 
concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais: 
 a) n(n+2)/2 
 b) n(n²+2)/2n 
 c) (n²+n)/2 
 d) (n²+n)/2n 
 
6. Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum 
enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas 
intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, 
chega ao resultado. Historicamente, a matemática foi construída através de demonstrações 
que constituíram os alicerces até hoje conhecidos. A figura anexa faz a alusão a um dos 
teoremas mais intrigantes de todos os tempos, o famoso Último Teorema de Fermat. Ele, 
apesar de ter sido enunciado no século XVII, apenas há poucas décadas, através do 
matemático Andrew Willes, conseguiu ser demonstrado. 
 
FONTE DA IMAGEM: Disponível em: <http://www.editions-
harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=12972>. Acesso em: 24 jul. 2018. 
 
 a) Indução, demonstração direta e absurdo. 
 b) Absurdo, demonstração direta e indução. 
 c) Demonstração direta, indução e absurdo. 
 d) Indução, absurdo e demonstração direta. 
 
7. Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de 
Mathematiques, de Giuseppe Peano. 
 
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. 
Ferramenta que desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles: 
 
? Zero é um número. 
? Se a é um número, o sucessor de a é um número. 
? Zero não é o sucessor de um número. 
? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais. 
? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, 
então todo número está em S. 
 
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso 
destes axiomas: 
 a) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). 
 b) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no 
máximo o mesmo número de elementos de X. 
 c) Raiz de 2 é um número irracional. 
 d) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável. 
 
8. Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. 
Isto significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano 
considerou a existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números 
naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma? 
 a) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. 
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro. 
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o 
sucessor de n também é elemento de X, então X = N. 
 b) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. 
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor. 
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X 
= N. 
 c) I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais. 
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento. 
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X 
= N. 
 d) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. 
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento. 
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X 
= N. 
 
9. Existe uma técnica de demonstração muito parecida com a demonstração por absurdo, 
chamada de contrapositiva. Ela consiste em negar a tese e concluir a negação da hipótese. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a contrapositiva da seguinte sentença: 
Se Paulo come pouco, então Paulo é magro. 
 a) Se Paulo é gordo, então Paulo come muito. 
 b) Paulo não come pouco, e nem é magro. 
 c) Paulo é gordo e come muito. 
 d) Paulo é magro e, portanto, come pouco. 
 
10. Analisando a matemática, as operações realizadas são pautadas em conjuntos numéricos. 
Verifique as sentenças a seguir: 
 
I- {-1, 0, 1} pertence ao conjunto dos números Inteiros. 
II- {1, 2, 3, 4} pertence ao conjunto dos números Naturais. 
III- {-2; -1/2; 0; 0,5; (pi)} pertence ao conjunto dos números Racionais. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) As opções I e II estão corretas. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) As opções II e III estão corretas.