Lista de Calculo I - L4-2019-1

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
4a Lista de Exercícios de Cálculo I
Questão 1. Usando a definição de derivada,
calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos in-
dicados.
(a) f(x) = x2 + x em p = 1;
(b) f(x) =
√
x em p = 3;
(c) f(x) =
1
x2
em p = 2;
(d) f(x) = cosx em p = pi;
(e) f(x) = ex2 em p = −1.
Questão 2. Calcule a equação da reta tangente
em (p, f(p)) sendo dados:
(a) f(x) = x5 em p = 4;
(b) f(x) = x4 − x3 + 3x2 em p = 3;
(c) f(x) =
1
x2
+ 3 tanx em p = 2pi;
(d) f(x) = cosx+ ex + 6 lnx em p = pi;
(e) f(x) = xex2 em p = −1.
Questão 3. Dê exemplo, por meio de um grá-
fico, de uma função f , definida e derivável em , tal que
f ′(1) = 0.
Questão 4. Mostre que a função
g(x) =
{
2x+ 1, se x < 1,
−x+ 4, se x ≥ 1,
não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de g.
Questão 5. Dê exemplo, por meio de um grá-
fico, de uma função f definida, definida e derivável
em , tal que f ′(x) > 0 para x < 0, f ′(x) < 0 para
0 < x < 2 e f ′(x) > 0 para x > 2.
Questão 6. Seja
g(x) =
{
x2 + 2, se x < 1,
2x+ 1, se x ≥ 1.
(a) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g′(1).
(b) Esboce o gráfico de g.
Questão 7. Seja f(x) = x3−2x+1. Determine
o(s) ponto(s) do gráfico que f que tem reta tangente
paralela à reta y = −2x+ 1.
Questão 8. Seja
f(x) =
{
2, se x ≥ 0,
x2 + 2, se x < 0.
1. Esboce o gráfico de f .
2. f é derivável em p = 0? Em caso afirmativo,
calcule f ′(0).
Questão 9. Seja g(x) = 2 cosx+1. Determine
o(s) ponto(s) do gráfico que f que tem reta tangente
paralela ao eixo x.
Questão 10. Seja
f(x) =
{
x+ 1, se x < 2,
1, se x ≥ 2.
(a) f é contínua em 2? Por quê?
(b) f é derivável em 2? Por quê?
Questão 11. Seja f(x) =
x
x+ 1
. Determine
o(s) ponto(s) do gráfico que f que tem reta tangente
ortogonal à reta y = −x− 5.
Questão 12. Seja
f(x) =
{
x2, se x ≤ 0,
−x2, se x > 0.
1. f é contínua em 0? Justifique.
2. f é derivável em 0? Justifique.
Questão 13. Seja h(x) = 4 sinx. Determine
o(s) ponto(s) do gráfico que f que tem reta tangente
ortogonal à reta y = x.
Questão 14. Calcule f ′(x) e f ′(p) onde
(a) f(x) = x6 + 4x e p =
3
5
(b) f(x) = x
3
20 + pix−7 e p =
1
2
(c) f(x) = x
3
20 + pix−7 e p = 3
(d) f(x) =
lnx
2x3 − 3ex e p = 1
1
(e) f(x) =
1
x7
e p = 1
(f) f(x) =
1
x2
+ ex(x3 − 4x) e p = 1
(g) f(x) =
sen x cosx
x7
e p = pi
(h) f(x) = log3 x e p = 1
Questão 15. Seja f(x) = ax em que a > 0 e
a 6= 1 é um real dado. Mostre que f ′(x) = ax ln a.
Questão 16. Calcule as derivadas das funções
abaixo
(a) f(x) = tanx+ ex cosx
(b) g(x) = sec(x2 + 3x)
(c) h(x) = (4x2 − x)7e2x
(d) y = cos(sen x)cossec x
(e) f(x) = esen t
(f) u =
√
x+ ex
(g) y =
(
x− 1
x+ 1
)1/3
(h) f(x) = [ln(x2 + 1)]3
(i) f(x) = pix
(j) h(x) = 5x
(k) g(x) =
ln(x3ex)
x4 + 1
(l) y = (sen x+ cosx)4
(m) f(x) = ln(2t+ 1)
(n) u =
√
x2 + e
√
x
(o) x = te
1
t
(p) u = (t2 + cotan t2)3
Questão 17. Determine f ′, f ′′ e f ′′′
(a) f(x) = 4x2 + 2x
(b) f(x) = 5x2 − 1
x3
(c) f(x) = x|x|
(d) f(x) =
1
x
(e) f(x) = 3x3 − 6x+ 1
(f) f(x) =
{
x2 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1
Questão 18. Determine a derivada de ordem
n.
(a) f(x) = ex
(b) g(x) = sen x
(c) f(x) = lnx
(d) h(x) = cosx
Questão 19. Seja y = tet. Verifique que
d2y
dt2
− 2dy
dt
+ y = 0.
Obs:
diy
dti
é a notação de Leibniz para derivada de
ordem i, 1 < i ∈.
Questão 20. Seja y =
−2
x2 + k
, k constante.
Verifique que
dy
dx
− xy2 = 0.
Questão 21. Considere a função y = xt3, na
qual x = x(t) é uma função derivável. Calcule
dy
dt
∣∣∣∣
t=2
sabendo que
dx
dt
∣∣∣∣
t=2
= 3 e que x(2) = 1 (isto é, x = 1
para t = 2).
Referências:
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. V. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. V. 1. São Paulo: Cengage, 2006.
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