Matemática C

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Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 1 
 UNIDADE 1 
 
NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas 
de duas grandezas na mesma unidade. 
Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao 
quociente de a por b e indica-se por 
b
a
 
Obs.: a razão 
b
a
é usualmente lida assim: “a está para b”. 
A igualdade entre duas razões é uma proporção. 
 
Representação: 
d
c
b
a
 
onde: a, d = extremos b, c = meios 
A expressão 
d
c
b
a
 lê-se assim: a está para b, assim 
como c está para d. 
 
Observações: 
 
Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas 
sucessões numéricas dadas nessa ordem. 
 
 A e B são diretamente proporcionais se: 
 
k
f
c
e
b
d
a
 
 
 k é a constante de proporção. 
 
Propriedade: 
fed
cba
f
c
e
b
d
a
 
 
 A e B são inversamente proporcionais se: 
a . d = b . e = c . f = k 
Propriedade: a . d = b . e = c . f = 
f
1
c
e
1
b
d
1
a
 
Exercícios de Sala  
 
1. Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão 
entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-
la é: 
 
2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é 
42 e que a razão entre eles é 
4
3 . 
 
3. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3, 
5 e 7. 
 
 b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 
 3 e 4. 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos 
para o curso de Odontologia. Sabendo que foram 
fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de 
candidatos em relação ao número de vagas? 
 
2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é 
60 e que a razão entre eles é 
3
2
. 
3. Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 e 
3
1
x
y
 
 
4. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números 
diretamente proporcionais, então: 
 
 a) x = 1 e y = 6 
 b) x = 2 e y = 12 
 c) x = 1 e y = 12 
 d) x = 4 e y = 2 
 
5. Divida o número 360 em partes proporcionais aos 
números 2, 3, 4 e 6. 
 
Tarefa Complementar 
 
6. Divida o número 220 em partes inversamente 
proporcionais aos números 
7
4
4
3
,
3
2
e
. 
 
7. A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e 
estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas 
pessoas. 
 
8. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente 
proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade 
20
5
8
x
y
9
, os valores de x e y devem ser 
respectivamente: 
 a) 2 e 36 b) 
5
1
 e 
4
1
 
 c) 2 e 5 d) 5 e 35 
 e) n.d.a. 
 
9. (F.Carlos Chagas) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b) 
são de números inversamente proporcionais e a + mb = 
10, então m é igual a: 
 
 a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 
 d) 2,5 e) 5,0 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
2 
10. p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que 
p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? 
 
 a) – 2 b) 0 c) 0,5 
 d) 2 e) 3 
 
11. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 
432
zyx
, o valor de x é: 
 
12. (UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. As 
medidas de seus lados são inversamente proporcionais 
a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado 
desse terreno, é: 
 
13. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 
60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. 
Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de 
mortas para o número de vivas é: 
 
 
1 1 4 4
a) b) c) d) e) n.d.a.
4 5 1 5
 
 
14. (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente 
proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e 
m. 
 
 x y 
 1 2 
 2 p 
 m 8 
 
15. Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25 
litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. 
 
a) do óleo para a gasolina 
b) da gasolina para a mistura 
c) do óleo para a mistura 
 
 UNIDADE 2 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a 
mesma origem (vértice). 
 
 
O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual: 
OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice 
 
UNIDADES ANGULARES 
 
Sistema Sexagesimal (Grau) 
 
1 grau é 
360
1
 da circunferência. 
 
Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´ 
 
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua 
abertura. 
 
Ângulo Agudo 
 
 
 
Ângulo Reto 
 
 
 
Ângulo Obtuso 
 
 
 
Dois ângulos e podem ser: 
 
a) complementares: + = 90º 
b) suplementares: + = 180º 
c) replementares: + = 360º 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
 
 
 
 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E 
UMA TRANSVERSAL 
 
 
Triângulos 
 
Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se 
triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos 
segmentos AB, AC e BC. 
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Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: 
 
Quanto aos lados 
 
 
 
Quanto aos ângulos 
 
 
 
CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e 
 considerando a, o lado maior temos: 
 
 a2 < b2 + c2 triângulo acutângulo 
 a2 = b2 + c2 triângulo retângulo 
 a2 > b2 + c2 triângulo obtusângulo 
 
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO 
 
A + B + C = 180° 
 
Triângulo Equilátero 
 
Se AB = BC = AC então A = B = C = 60° 
 
Triângulo Retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x 
+ 10° e x + 50°. Um deles mede: 
 
 
2. Um ângulo mede a metade do seu complemento. 
Então, esse ângulo mede: 
 
a) 30° b) 45° c) 60° 
d) 80° e) 15° 
 
3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x. 
 
 a) r //s 
 
 
 
 b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo 
 equilátero. 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x 
– 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é: 
 
a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10° 
 
2. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então 
esse ângulo mede: 
 
a) 45° b) 135° c) 100° d) 175° 
 
3. Determine o valor de x na figura abaixo: 
 
x s
r s//
25º
130º
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
4 
4. Nas figuras abaixo, o valor de x é: 
 
 a) 
 
 
 b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
5. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: 
 
 
 
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° 
d) x = y e) 3x = 2y 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, 
do arco x é: 
 
 
 
 
7. (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: 
 
a) 100° b) 144° 
c) 36° c) 80° e) n.d.a. 
 
8. (UFSC) Dados os ângulos: 
 Â = 22°32'15'' C 75°01'52'' 
 B = 17°49'47'' D = 32°44'20'' 
 
 Calcular o valor, em graus, da expressão:A C B D
 
 
9. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença 
x y é: 
23
o
y
x
112
o
r
s
t
r // s // t
 
 
10. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. 
A medida do ângulo y, em graus, é: 
 
11. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por 
uma transversal de modo que a soma de dois ângulos 
agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos 
obtusos formados mede: 
 
a) 142° b) 144° c) 148° 
d) 150° e) 152° 
 
12. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o 
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em 
graus do ângulo 3 é: 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 5 
 
 
a) 50 b) 55 c) 60 
d) 80 e) 100 
 
13. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o 
seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em 
graus a medida do ângulo: 
 
14. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. 
 
60°
70°
Y
r 
s
 
 
15. Na figura , o valor de x é: 
 
 
 
 UNIDADE 3 
 
ESTUDO DOS POLÍGONOS 
 
ELEMENTOS 
 
 
CLASSIFICAÇÃO 
 
Os polígonos podem ser classificados quanto o número de 
lados. Os mais conhecidos são: 
 
 
 Triângulos - 3 lados 
 Quadriláteros - 4 lados 
 Pentágono - 5 lados 
 Hexágono - 6 lados 
 Heptágono - 7 lados 
 Octógono - 8 lados 
 Eneágono - 9 lados 
 Decágono - 10 lados 
 Undecágono – 11 lados 
 Dodecágono - 12 lados 
 Pentadecágono – 15 lados 
 Icoságono - 20 lados 
 
Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero 
(lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais). 
 
NÚMERO DE DIAGONAIS 
 
O número de diagonais de um polígono de n lados é dado 
pela expressão: 
 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados 
(n 3) é dado pela expressão: 
 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
 
A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados 
(n 3) é sempre igual a 360° 
 
Observações 
 
 Para polígonos regulares, podemos calcular cada 
ângulo interno ou externo através das seguintes 
relações: 
 
 
 
 
 
 Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, 
então n/2 é o número de diagonais que passam pelo 
centro. 
 Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo 
centro. 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
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6 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Um polígono é regular quando tem lados e ângulos 
congruentes. Todo polígono regular é inscritível e 
circunscritível a uma circunferência. 
 
Nomenclatura 
 

 é o lado do polígono 
R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono 
a é o raio da circunferência inscrita ou apótema 
 
Triângulo Equilátero 
 
 
h
 
 
 
Quadrado 
 
 
 
 
 
Hexágono Regular 
 
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o 
segmento de reta que une dois vértices não 
consecutivos do polígono. Se um polígono convexo 
tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? 
 
a) 72 b) 63 c) 36 
d) 27 e) 18 
 
2. Em um icoságono regular ABCDE... calcule: 
 
 a) a soma dos ângulos internos. 
 b) a soma dos ângulos externos. 
 c) cada ângulo interno e externo. 
 
3. Dado um triângulo eqüilátero de lado 2
3
cm, 
determine: 
 
a) altura do triângulo. 
b) raio da circunferência circunscrita. 
c) raio da circunferência inscrita. 
 
4. Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma 
circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a: 
 
a) 5
2
 b) 10 
c) 10
2
 d) 20
2
 
e) 3
2
 
 
5. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de 
um hexágono regular é igual a 2
3
cm. A medida do 
lado desse hexágono, em centímetros, é: 
 
 a) 
3
 b) 2 e) 2,5 
d) 3 c) 4 
 
Tarefa Mínima  
 
1. O polígono que tem o número de lados igual ao 
número de diagonais é o: 
 
a) hexágono b) pentágono 
c) triângulo d) heptágono 
e) não existe 
 
2. Cada ângulo interno de um decágono regular mede: 
 
a) 230° b) 130° c) 144° 
d) 28° e) 150° 
 
3. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo 
do externo? 
 
 a) Dodecágono b) Pentágono 
 c) Octógono d) Heptágono 
 e) Hexágono 
 
4. Dado uma círculo de raio 10cm. Determine: 
 
 a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 7 
 
 b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo 
 
 
 
 c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo 
 
 
 
5. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa 
circunferência mede 2
6
cm. Determine a medida da 
altura do triângulo. 
 
a) 2
2
 b) 
2
 c) 3
2
 d) 2 e) n.d.a. 
 
6. (ACAFE-SC) O diâmetro mínimo de um tronco de 
árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, 
cujas arestas das bases meçam 20cm, é: 
a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20
2
cm e) 80 cm 
 
Tarefa Complementar  
 
7. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos 
ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: 
 
a) 15 diagonais b) 20 diagonais 
c) 25 diagonais d) 30 diagonais 
e) 35 diagonais 
 
8. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja 
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o 
número de lados é 1/3. 
 
 
9. ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono 
regular medem 20°. Então o número de diagonais desse 
polígono é: 
 
a) 90 b) 104 
c) 119 d) 135 
e) 152 
 
10. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de 
lado “a”. A diagonal AB mede: 
 
A
B 
a) 2a b) a
2
 
c) 
2
3a
 d) a
3
 
e) 
3
2a2
 
 
11. (ACAFE-SC) A razão entre os comprimentos das 
circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: 
 
 a) 
2
 b) 
3
 c) 2
2
 
 d) 2
3
 e ) 
2
3
 
 
12. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de 
um hexágono regular. A medida, em graus de um dos 
ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: 
 
a) 90 b) 100 c) 110 
d) 120 e) 150 
 
13. Calcule a medida do ângulo central de um eneágono 
Regular. 
 
14. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e 
inscrito de um triângulo equilátero de lado a? 
 
15. Determinar em função do raio R, o lado de um 
decágono regular inscrito numa circunferência de raio R. 
 
 UNIDADE 4 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
ELEMENTOS 
 
 
Raio: segmento CB. 
Corda: segmento MN. 
Diâmetro: segmento AB. 
 
ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da 
circunferência. 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
8 
 
Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na 
circunferência. 
 
 
 Propriedade: 
 
 Consequências 
 
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um 
lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo. 
 
Ângulo excêntrico (fora do centro) interior 
 
 
 
Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior 
 
 
 
 
Quadrilátero Inscrito na circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS TANGENTES 
 
 
TEOREMA DE PITOT 
 
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma 
circunferência a soma de dois lados opostos é iguala soma 
dos outros dois: 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
Dois triângulos são semelhantes se e somente se os 
ângulos internos forem congruentes e os lados 
proporcionais. Assim temos: 
 
 
 
 
FˆCˆ
k
f
c
e
b
d
a
 então EˆBˆ
DˆAˆ
:Se
 
 
k é a constante de proporção ou constante de semelhança. 
 
Observação: As medidas dos perímetros de dois 
triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de 
dois lados homólogos quaisquer. 
 
Triângulo Retângulo – relações métricas 
 
Considere o triângulo abaixo, retângulo em A. 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 9 
 
 
 Seus elementos são: 
 a: hipotenusa 
 b e c: catetos 
 h: altura relativa à hipotenusa 
 n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a 
hipotenusa. 
 
Relações Métricas 
 
Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer 
as seguintes relações: 
 a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) 
 a.h = b.c 
 b2 = a.n 
 c2 = a.m 
 h2 = m.n 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Determine o valor de x em cada caso abaixo: 
 
 a) 
 
 b) 
 
x 20°
O
 
 c) 
 
 
2. Determine o valor do complemento do ângulo x 
indicado na figura abaixo: 
 
x
40°
 
 
3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC 
(
AB=8, AC=9 e BC=7
) 
. Então, x vale: 
 
A
B P C
x 
a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0 
d) 4,6 e)5,0 
 
4. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A
Bˆ
D são 
 congruentes. Então, o valor de x é: 
 
a) 42 b) 32 c) 21 
d) 60 e) 10 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Nas figuras abaixo, determine o valor de x: 
 
 
2. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é: 
 
3x 150°A
B
C
O
 
 
a) 25° b) 30° c) 50° 
d) 75º e) 100° 
 
 
 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
10 
3. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos 
arcos (AC) mede: 
 
40°
A B
C
 
 
4. ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é: 
 
 
3
x
2
10
 
 
 
5. ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. 
 Nessas condições, determine o valor de x + y. 
 
A y D 18 B
 15
C
E
10
x
10
 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na 
circunferência de centro O é: 
 
 
7. (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um 
pentágono regular. A medida em graus do ângulo é: 
 
 
8. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e 
o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do 
ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do 
triângulo. 
 
 
9. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de 
tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS. 
 
10. Sendo O o centro da circunferência circunscrita no 
pentágono abaixo, calcule x + y. 
 
 
11. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: 
 3x + 1
3x
2x
x+1
 
 
12. (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm 
e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo 
semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. 
a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm 
c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm 
e) 5cm, 14cm e 19cm 
 
13. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD 
dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 
5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´ 
são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos 
segmentos AB´, B´C´ e C´D´ 
 
 
14. ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB 
mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. 
MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao 
lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O 
perímetro desse retângulo, em cm, é: 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 11 
 
A B
C
M N
Q P
 
 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16 
 
15. Na figura abaixo as circunferências de centros A e B 
têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância 
entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior as 
circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, 
a medida do segmento CD. 
 
 
 
 UNIDADE 5 
 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
 
TRIÂNGULOS QUAISQUER 
 
 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
Paralelogramo 
 
 A = a.h 
 
 
 
 
Círculo e suas partes 
 
Círculo 
 A = R
2
 
 
Coroa Circular 
 A = (R
2
 – r2 ) 
 
Setor Circular 
 A = 
360
απR2 
Exercícios de Sala  
 
1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m
2
. O lado 
do quadrado EFGD mede, em m: 
 
A
B C
DE
F
10
2
 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
12 
a) 4 b) 5 c) 2
5
 
d) 5
2
 e) 6 
 
2. A área da coroa limitada pelas circunferências 
 inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é: 
 
a) 2,25 b) 5 c) 4 
d) 2 e) 8 
 
 
Tarefa Mínima  
 
1. ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a 
 figura, é: 
 
120°
AB
C
4
3
 
 
 a) 
3
 b) 2
3
 
 c) 3 d) 4
3
 e) 6 
 
2. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito 
numa circunferência de raio 
2
 é igual a: 
 
 a) 3 
3
 cm
2 
b) 3
2
cm
2
 
 c) 2
3
 cm
2 
d) 2
2
 cm
2 
 
 e) n.d.a. 
 
3. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma 
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. 
Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em 
centímetros quadrados, é: 
 
 
 
4. (UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está dividido 
em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a 
figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da 
de A e um terço da de C. 
 
A
B C
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar: 
 
 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m
2
. 
 02. A área de A é 1/6 da área de C. 
 04. A área de A é 24m
2
. 
 08. Um dos lados de A mede 2m. 
 16. Um dos lados de C mede 8m. 
 
5. (UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de 
16 cm
2
. Sabendo-se que a diferença entre os dois 
raios é de 2cm, determine o valor numérico do produto 
desses raios. 
 
 
 
 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm 
e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um 
losango de área 8cm
2
 
 
 
A
B C
M
N
P
 
 
 A medida, em graus, do ângulo BNP é: 
 
a) 15 b) 30 c) 45 
c) 60 d) 75 
 
7. (CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é 
aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A 
área do novo retângulo formado é: 
 
 a) 1,04 S b) 1,02 S 
 c) S d) 0,98 S 
 e) 0,96 S 
 
8. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um 
retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em 
quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo 
CEF e a área do retângulo é: 
 
 A
B
C
E F G
D
 
 
a) 1/6 b) 1/7 
c) 1/8 d) 1/9 
e) 1/10 
 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 13 
9. A área da coroa limitada pelas circunferênciasinscrita e 
circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é 
igual a: 
 
A
B C
O
 
 
10. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio 
1, a área do setor assinalado é: 
 
 
 
9
8π
 e) 
9
5π
 d)
18
5π
 c) 
18
7π
 b) 
9
7π
 a)
 
11. (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC 
medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito 
nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm 
de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a 
área do retângulo seja máxima? 
 
12. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercado 
de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado 
medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que 
está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 
3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do 
cercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque está 
amarrado. 
 
a) 1244 b) 1256 
c) 1422 d) 1424 
e) 1444 
 
13. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua 
área cresce: 
 
a) 14% b) 14,4% c) 40% 
d) 44% e) 144% 
 
14. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e 
C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de 
C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela 
circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, 
calcule em cm
2
 a área do círculo limitado pela 
circunferência C2. 
 
15. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto 
médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = 
NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e 
CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB. 
 
 UNIDADE 6 
 
GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS 
 
Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos. 
 
 
 
Relação de Euler: V + F = A + 2 
 
Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) 
onde “v” é o número de vértices. 
 
Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um 
poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas 
faces hexagonais? 
 
 
 
 
 
Poliedros Regulares 
 
Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e 
ângulos formados pelas faces iguais. 
 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
14 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces 
quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, 
faces e vértices. 
 
2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 
faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face 
hexagonal. Determine o número de vértices. 
 
3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular 
de aresta l. 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces 
triangulares. O número de vértices desse poliedro é: 
 
a) 12 b) 15 
c) 18 d) 20 e) 24 
 
2. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces 
triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. 
Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: 
 
a) 3240º b) 3640º c) 3840º 
d) 4000º e) 4060º 
 
3. (PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 faces 
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número 
de faces desse polígono, sabendo-se que o número de 
arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? 
 
a) 6 b) 4 c) 5 
d) 3 e) 8 
 
4. (PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 
8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o 
número total de faces desse poliedro? 
 
a) 4 b) 6 c) 8 
d) 10 e) 12 
 
5. (PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças: 
 
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
 
É correto afirmar que apenas: 
 
a) I é verdadeira b) II é verdadeira 
c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras 
e) II e III são verdadeiras. 
 
 
Tarefa Complementar  
 
6. Some as alternativas corretas: 
 
01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas 
possui 10 vértices. 
02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e 
somente faces triangulares possui 9 arestas. 
04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 
15 arestas. 
08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro 
vértices pentaédricos possui 12 faces. 
16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices 
igual ao número de faces possui um número par de 
arestas. 
 
7. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui 
somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas 
faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a 
metade do número de faces hexagonais? 
 
8. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces 
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos 
ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: 
a) 180 b) 360 c) 540 
d) 720 e) 900 
 
9. (UFRGS) Um octaedro regular possui: 
 
a) mais diagonais do que vértices; 
b) mais faces que arestas; 
c) mais vértices do que faces; 
d) menos diagonais que faces; 
e) igual número de vértices e de arestas. 
 
10. (PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de um 
poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse 
poliedro é: 
 
a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 15 
 UNIDADE 7 
 
PRISMAS 
 
DEFINIÇÃO 
 
Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e 
congruentes denominadas bases, e as demais faces em 
forma de paralelogramos. 
 
 
ELEMENTOS 
 
BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE 
FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´; 
BCB´C; CDC´D´; …… 
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; 
CC´; DD´ e EE´ 
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é 
denominada altura do Prisma. 
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; 
C´D´ ; D´E´ e E´A´ 
 
NOMENCLATURA 
 
O nome do prisma se dá através da figura da base. 
 
 Prisma Triangular: As bases são triangulares. 
 Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. 
 Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos 
 
Observação: Se o polígono da base for 
regular, o prisma também será chamados de Regular. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO 
 
De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: 
 
Reto: quando as arestas 
laterais são 
perpendiculares aos planos 
da base. 
Oblíquo: quando as arestas 
laterais são oblíquas aos 
planos da base. 
 
 
No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a 
altura. 
 
Fórmulas 
 
Considere um prisma reto regular com n lados da base. 
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral 
igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine: 
 
 
 a) a área total do prisma 
 b) o volume do prisma 
 
2. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular 
de 2cm de aresta da base é 42
3
cm
3
. A medida, em 
cm
2
, da área lateral desse prisma é: 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base 
um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é: 
 
2. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área 
total de ( 96 + 2
3
) cm
2
. Sabe-se que a aresta da base 
mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do 
prisma é: 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
16 
3. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 
3
m de 
altura, cuja base é um hexágono de 
2
m de lado, é: 
 
 a) 
3
m
3 
b) 3
3
 m
3
 
 c) 9 m
3 
d) 3 m
3e) 8
3
m
3
 
 
4. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é 
6
 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em 
cm
3
: 
 
 
 
Tarefa Complementar  
 
5. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui 
10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: 
 
 a) aumenta 8% b) aumenta 15% 
 c) aumenta 108% d) diminui 8% 
 e) não se altera 
 
6. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango 
cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. 
Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse 
prisma, em cm
3
, é: 
 
 
7. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base 
quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 
80m
2
. O lado dessa base quadrada mede: 
 
8. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de 
base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, 
a área total desse prisma, em cm
2
, é: 
 
 
a) 1852 b) 1016 
c) 926 d) 680 
e) 508 
 
9. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é 
paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é 
paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os 
lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o 
trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos 
paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume 
(em cm
3
) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, 
ACGE, BDHF e pelos dois trapézios. 
 
 
 
 
 UNIDADE 8 
 
TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS 
 
PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO 
 
Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são 
paralelogramos e as faces opostas são retângulos 
congruentes. 
 
 
Possui três dimensões: 
 comprimento (a) 
 largura (b) 
 altura (c) 
 
 Fórmulas 
 
Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) 
 
Volume: V = a.b.c 
 
Diagonal: D
2
 = a
2
 + b
2
 + c
2
 
 
RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)
2
 = D
2
 + ST 
 
Cubo – Hexaedro Regular 
 
Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais. 
 
Todas as faces são quadrados 
 
Fórmulas 
 
Área Total: ST = 6

2
 
Volume: V = 

3
 
Diagonais: d = 
 2
 D = 
 3
 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 17 
Exercícios de Sala  
 
1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é 
24 m
3
. Sabendo-se que suas dimensões são 
proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros 
quadrados, a área total desse paralelepípedo. 
 
2. No cubo da figura, área da secção o ABCD é 
8
 cm
2
. 
Calcule o volume do cubo. 
 
 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o 
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 
2
) cm. 
Calcule o volume do cubo em cm
3
. 
 
 
 
2. ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um 
paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais 
dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 
2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em 
dm
2
, a área total desse paralelepípedo. 
 
3. ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em 
quanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para 
que seu volume se torne igual a 216 m
3
? 
 
 
4. ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de 
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem 
tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm 
de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A 
terça parte do volume da caixa, em cm
3
, é: 
 
 
5. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das 
arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A 
medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse 
paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm
2
, é: 
 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto 
retângulo é de 376 m
2
 e as suas dimensões são 
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima 
parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o 
resultado para o cartão resposta. 
 
7. (Fatec-SP) As medidas das arestas de um 
paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das 
arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 
64cm
3
, então a soma das áreas de suas faces é: 
 
 a) 292cm
2
 b) 298cm
2
 c) 296cm
2
 
 d) 294cm
2
 e) 290cm
2
 
 
8. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm 
agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o 
que for correto. 
 
 
 01. A área do triângulo ABC é 2 dm
2
. 
 02. AD 2
6
 dm. 
 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 
 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 
 dm
3 
 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4
2
 dm. 
 
9. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem 
por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma 
pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da 
água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em 
decímetros cúbicos, é: 
 
10. (UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de água de 
uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 
20 cm. 
 
a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa. 
b) calcule sua capacidade em litros. 
 
 
 UNIDADE 9 
 
PIRÂMIDES 
 
DEFINIÇÃO 
 
Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal 
ABCDEF e as faces são regiões triangulares. 
Uma pirâmide se diz regular quando for reta 
(projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da 
base) e a figura da base for regular 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
18 
 
 
NOMENCLATURA 
 
Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. 
Observe alguns exemplos. 
 
 
 
 
 Pirâmide Triangular a base é um triângulo 
 
 Pirâmide quadrangular a base é um quadrado 
 
 
 Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono 
 
 
Pirâmides Regulares 
 
Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, 
a pirâmide é regular. 
Elementos e Formulário 
 
 
 aresta da base - ℓ 
 aresta lateral -aℓ 
 altura – h 
 apótema da base – ab 
 apótema da pirâmide – ap 
 Raio da circunferência circunscrita – R 
 
Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as 
seguintes relações: 
 
Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na 
base 
 
Área Lateral : SL = n.  ap
2
 
 
Área Total: ST = SB + SL 
 
Volume V = 
3
.hSB
 
 
Relações Auxiliares na Pirâmide 
 
 ap2 = H2 + ab2 
 a

2
 = ap
2
 + 
2
2 
 a

2
 = H
2
 + R
2
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e 
a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa 
pirâmide. 
 
2. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja 
altura mede 
33
m e o perímetro da base mede 12 m? 
 
3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 
de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base 
e a secção assim feita tem 64 m
2
 de área. Qual a altura da 
pirâmide? 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem 
aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. 
Determine, em cm
3
, o volume dessa pirâmide. 
 
2. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular 
regular mede 4cm e sua altura mede 2
3
cm. Determine a 
área total, em cm
2
, dessa pirâmide. 
 
3. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangularregular a aresta 
lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm
3
, 
é: 
4. (Cescem-SP) Em uma pirâmide com 12cm de altura, 
tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a 
área lateral é: 
 
a) 240cm
2
 b) 260cm
2 
 c) 340cm
2
 
d) 400cm
2
 e) n.d.a. 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 19 
5. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas 
medindo 2. Então, a sua altura mede: 
 a) 1 b) 
2
 c) 3 
 d) 4 e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de 
volume e 4
3
cm de altura. Qual a medida da aresta da 
base? 
 
7. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é 
igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para 
base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da 
pirâmide, em cm, é: 
 
8. O apótema de uma pirâmide regular é igual ao 
semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num 
círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da 
pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m
2
 por dez ). 
 
9. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular 
de aresta igual a 4 cm. 
 a) 4
3
 cm
2
 b) 8
3
 cm
2
 
 c) 12
3
 cm
2
 d) 16
3
 cm
2 
 
 e) 24
3
 cm
2
 
 
10. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação 
de um sólido. O volume desse sólido é de: 
 
 
a) 1152cm
3
 b) 1440cm
3
 
c) 384cm
3
 d) 1200cm
3
 
e) 240cm
3
 
 
11. (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de 
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e 
P são os pontos médios das arestas, como se mostra na 
ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro 
que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 
 
1 3 2 5 3
a) V b) V c) V d) V e) V
2 4 3 6 8
 
 
12. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro 
regular de aresta igual a 4 cm. 
 a) 4
3
 cm
2
 b) 8
3
 cm
2
 
 c) 12
3
 cm
2
 d) 16
3
 cm
2 
 
 e) 24
3
 cm
2 
 
13. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide 
hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 
4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide 
mede, em m
2
. 
 a) 6.10
-4
 b) 6.10
-2
 
 c) 12.10
-4
 d) 12.10
-2
 
 e) 15.10
-4
 
 
14. (EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 225 
cm
2
 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do 
vértice, tem 36cm
2
 de área. A altura da pirâmide é: 
 a) 4,5 cm b) 7,5 cm 
 c) 1,5 cm d) 9,5cm 
 e) 3,5cm 
 
 AULAS 10 
 
CILINDRO, CONE e ESFERA 
 
CILINDRO DE REVOLUÇÃO 
 
Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos 
em torno de uma reta uma região retangular. Também é 
chamado de cilindro circular. 
 
Elementos 
 
 
Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base 
dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito 
cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h 
 
Fórmulas 
 
Considere um cilindro reto. 
 
 
 
Área da Base: SB = r
2
 
 
Área Lateral: SL = 2 rh 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
20 
 
Área Total: ST = 2SB + SL 
 
Volume: V = r
2
h 
 
Secção Meridiana: 
 
A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o 
seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A 
secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a 
secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero. 
(g = h = 2r) 
2R
h
 
 
CONE DE REVOLUÇÃO 
 
Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um 
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este 
cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a 
hipotenusa é a geratriz do mesmo. 
 
 
Fórmulas 
 
Área da Base: SB = r
2
 Área Lateral: SL = rg 
Área Total: ST = SB + SL Volume: V = 
3
hπr
2 
Relação auxiliar: g
2
 = h
2
 + r
2
 
 
Secção Meridiana 
 
No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. 
Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero 
teremos um cone eqüilátero ( G = 2R ) 
h g
2R
 
ESFERA 
 
Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias 
ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também 
pode ser considerada um sólido determinado pela rotação 
de um círculo em torno de um de seus diâmetros. 
 
Secção de uma esfera 
 
Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R 
determina como secção plana um círculo de raio r. 
 
d é a distância entre o plano e o centro da esfera. 
R é o raio da esfera. 
r é o raio da secção. 
 Relação: R
2
 = r
2
 + d
2
 
Fórmulas da esfera 
superfície esférica: As = 4 R
2 
volume: V = 
3
πR
3
4
 
Exercícios de Sala  
 
1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27 
dm
3
 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: 
 
 a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm 
 
2. (UFSC) Determinar 
1
 do volume em m
3
 de um cone 
de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área 
lateral, 20 m
2
. 
 
3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 
20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao 
mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e 
exterior às esferas vale: 
 
a) 102 
3
cm
3
 b) 80 
3
 cm
3 
 c) 40 cm
3
 
d) 160cm
3
 e) 80 cm
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 21 
Tarefa Mínima  
 
1. (UFSC) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 
36 m
2
. O valor, em m
3
, de 
1
do volume desse cilindro é: 
 
2. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, 
de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma 
cônica, de 
15
 cm de altura e 12 cm de raio da base. O 
volume, em cm
3
, de ferro que sobrou após a 
modelagem, é: 
 
 
3. (UDESC) Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem 
1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da 
caixa é: 
 
 a) 3,2 m b) 3,6 m 
 c) 4,0 m d) 4,8 m 
 
4. (SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento 
e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição 
vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois 
litros de água em seu interior, a água: 
 
 a) ultrapassa o meio do cano 
 b) transborda 
 c) não chega ao meio do cano 
 d) enche o cano até a borda 
 e) atinge exatamente o meio do cano 
 
5. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é 
cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do 
centro da superfície esférica, determinando uma 
circunferência, em cm, é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Um cilindro reto tem 63 cm3 de volume. 
Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em 
centímetros, a sua altura. 
 
7. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto é aumentado 
de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste 
cilindro sofrerá um aumento de: 
 a) 2% b) 4% c) 6% 
 d) 8% e) n.d.a. 
 
8. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de 
hipotenusa 3
2
cm, gira em torno de um dos catetos. 
Qual é o volume do sólido de revolução gerado? 
 a) 3
2
cm
3
 b) 9 cm
3
 
 c) 18 cm
3
 d) 27 cm
3 
 
 e) 1/3 cm
3
 
 
9. Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano 
distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da 
secção.a) 
39
 b) 36 c) 32 
 d) 65 e) n.d.a. 
 
10. (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área 
total é 2. O valor de 
1
3
do volume da esfera, inscrita 
nesse cubo, é: 
 
11. (UFSC) O volume, em cm3, de um cubo 
circunscrito a uma esfera de 16 cm
2
 de superfície é: 
 
12. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm 
o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do 
raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura 
do cone é: 
 a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 
 d) 2/3 e) 1 
 
13. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone eqüilátero 
mede 6
3
cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em 
cm
3
, é: 
a) 144 b) 152 c) 192 
d) 288 e) 302 
 
14. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro 
está completamente cheia de massa para doce, sem 
exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces 
em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter 
com toda a massa é: 
 a) 300 b) 250 c) 200 
 d) 150 e) 100 
 
15. (UFSC) A geratriz de um cone eqüilátero mede 
32
cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em 
cm
2
, multiplique o resultado por 
3
 e assinale o valor 
obtido no cartão-resposta. 
 
 UNIDADE 11 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
CONCEITOS INICIAIS 
 
Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1, 
sendo n inteiro positivo. Temos: 
 a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante. 
 
 (4, 7, 10, 13, ...........) 
 
Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor 
se mantém igual a 3. Seqüências como esta são 
denominadas progressões aritméticas. 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
22 
DEFINIÇÃO 
 
Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a 
partir do segundo elemento, a diferença entre cada 
elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é 
denominada razão da P.A. e é indicada por r. 
 
Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é 
necessário que: 
 
 a2 a1 = a3 a2 = ...... an an 1 = ..... = r 
Veja os exemplos: 
 
a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois, 
 5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3. 
 
b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois, 
 4 – 1 5 – 4. 
 
CLASSIFICAÇÃO DA P.A. 
 
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da 
razão. Observe o quadro abaixo: 
 
 r > 0 P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 
 r < 0 P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 
 r = 0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 
 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. 
 
Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo da 
definição temos: 
 a2 = a1 + r 
 a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
 a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
 . 
 . 
 an = a1 + (n – 1).r 
 
Importante: 
 
Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da 
fórmula do termo geral temos: 
 
an = a1 + (n – 1)r (1) 
ak = a1 + (k – 1)r (2) 
 
Subtraindo-se (1) de (2) vem: 
 
an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r 
an – ak = (n – 1 – k + 1) r 
an = ak + (n – k)r 
Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos 
escrever: 
 
 an = ak + (n – k).r 
 
Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r 
 
Representações Especiais 
 
Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos 
utilizar os seguintes artifícios: 
 
 Três termos em P.A. 
 : x – r . x . x + r 
 Quatro termos em P.A 
 : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r 
 Cinco termos em P.A. 
 : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r 
 
Propriedades da P.A. 
 
Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e 
razão r, podemos observar as seguintes propriedades: 
 
 Um termo qualquer, excetuando os extremos é a 
média aritmética entre o termo anterior e o 
posterior. 
 
 
2
1n
a
1n
a
na
 
 
 
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) 
 
 
2
148
11
 
 
 Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos 
é igual à soma dos termos eqüidistantes dos 
extremos. 
 
Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos 
extremos temos: 
 
p + q = n + 1 
 
Com essa igualdade é possível saber se dois termos 
quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não. 
Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são 
eqüidistantes dos extremos, pois 
16 + 35 = 50 + 1. 
 
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 
 
Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a 
e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com 
m + 2 elementos. 
 
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos 
calcular a razão da P.A. 
 
SOMA DOS TERMOS DA P.A. 
 
 
.n
2
na1
a
nS
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos 
consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é: 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 23 
 
2. Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da 
P.A. 
 
3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA 
proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, 
compreendidos entre 1e1995, é 
 
 01. 198.000 
 02. 19.950 
 04. 199.000 
 08. 1.991.010 
 16. 19.900 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que 
as seqüências representem três números consecutivos em 
P.A. 
 
a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 ) 
b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1) 
c) (x + 4)
2
, (x – 1)2 , (x + 2)2 
 
 2. (FGV-SP) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma 
progressão aritmética. Sua razão é: 
 
3. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são 
respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é: 
 
4. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do 
terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o 
décimo segundo é 110. 
 
5. (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos 
entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão 
aritmética cujo quinto termo vale: 
 
6. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A 
soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: 
 
7. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros números 
naturais ímpares é dada por: 
 
a) n
2
 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3 
 
8. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os 
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar 
um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3 
formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim 
por diante, constituindo uma progressão aritmética. O 
número de formandos na cerimônia é: 
 
a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 
 
Tarefa Complementar 
 
9. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma 
dos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois 
primeiros termos é 5. O valor do 1º termo é: 
 
10. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e 
623 é: 
 
11. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 – 
3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da 
P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é: 
 
a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56 
 
12. (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e 
a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado 
do quadrado mede: 
 a) 
2
 b) 2 2 - 1 c) 1 + 2 d) 4 e) 2 
 
13. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos 
entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são 
divisíveis por 15, é: 
 
a) 100 b) 39 c) 41 d) 59e) 80 
 
14. (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 
45, qual é o sexto termo da P.A. 
 
15. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo 
estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do 
triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo. 
 
16. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são 
números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro 
mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do 
maior lado desse triângulo. 
 
17. Os lados de um triângulo retângulo estão em 
progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 
150, determine o raio da circunferência inscrita nesse 
triângulo. 
 
18. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. 
cujo primeiro termo e último termos são respectivamente, 
7 e 17 é: 
 
19. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., 
na qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é: 
 
20. (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos da 
seqüência ( 133, 126, 119, 112...) para que a soma de 
seus termos seja positiva. 
 
 UNIDADE 12 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
DEFINIÇÃO 
 
É uma sequência de números não nulos em que cada termo 
a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por 
um número fixo chamado razão da PG. 
Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
24 
 onde 
 a1 é o primeiro termo 
 a2 é o segundo termo 
 a3 é o terceiro termo 
 an é o enésimo ou último termo 
 n é o número de termos 
 q é a razão da P.G. 
 
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
2
1
3
2
4
3 1
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DA P.G. 
 
1º caso: a1 > 0 
 
 Se q > 0 P.G. crescente ( 2, 6, 18, 54,...) 
 Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...) 
 Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 256, 64, 
16,...) 
 
2º caso: a1 < 0 
 
 Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..) 
 Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...) 
 Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -20, -
10,...) 
 
Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas 
em que cada termo tem sinal contrário ao do termo 
anterior. Isso ocorre quando q < 0. 
 
TERMO GERAL 
 
Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da 
definição temos: 
 a2 = a1.q 
 a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q
2
 
 a4 = a3.q = a1.q
2
.q = a1.q
3
 
 
 
 an = a1.q
n - 1
 
 
Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos 
quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma 
P.G. am e ak, podemos dizer que: 
 
 am = ak.q
m - k
 
 
1. Representação de três termos em 
 P.G. 
 
x
x x q
q
, ,
 
 
2. Propriedades 
 
1ª Propriedade: 
 
Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), 
podemos dizer que o termo central é a média geométrica 
entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja: 
 
 a2
2 
= a1.a3 ou an
2
 = an - 1.an + 1 
 
2ª Propriedade 
 
Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao 
produto dos termos eqüidistantes dos extremos. 
Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). 
Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 
 
3. Interpolação Geométrica 
 
Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre 
a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m 
+ 2 elementos. 
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos 
calcular a razão da P.G. 
3. Soma dos termos de uma P.G. finita. 
 
A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é 
dada pela expressão: 
 
11
1
1 1
n
n
a q aa q
Sn
q q
.( )
 
 
Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos 
 uma P.G. constante, e a soma dos 
 termos dessa P.G será dada por: 
 Sn = n. a1 
4. Soma dos termos de uma P.G. infinita. 
 
Dada uma P.G. com: n e an 0, sua soma pode 
ser calculada pela expressão: 
 
q
a
S
1
1
 0 < |q| < 1 
5. Produto dos termos de uma P.G. finita 
 
O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela 
expressão: 
 
 |Pn | = n). n1 a(a
 
 
Exercícios de Sala  
1. (UEL-PR) A seqüência (2x + 5, x + 1, 
2
x
, ....) é uma 
progressão geométrica de termos positivos. O décimo 
terceiro termo dessa seqüência é: 
 
 a) 2 b) 3
-10 
c) 3 d) 3
10 
e) 3
12
 
 
2. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro 
termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: 
 
a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
Pré-Vestibular da UFSC 25 
3. Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que 
a razão vale 2, o valor do quinto termo é: 
 
a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56 
 
4. A solução da equação: 
x
x x x
3 9 27
15
 é: 
Tarefa Mínima  
 
1. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que 
as seqüências representem três números consecutivos em 
P.G. 
 
a) (x + 1; x + 4; x + 10) 
b) (4x, 2x + 1, x – 1) 
2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o 
último é 486. Calcular a razão dessa P.G. 
 
3. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a 
soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos 
vale 9. Calcule a razão da progressão. 
 
4. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde 
a soma de seus termos é 14 e o produto 64? 
 
 a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1 
 
5. (UFCE) A solução da equação 
x
x x x
3 9 27
60
 
é: 
 
a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51 
 
6. A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é: 
 
 a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 
 e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
7. (UFPA) A seqüência (a, ab, 3a), com a 0, é uma P.G. 
Então, o número b é: 
 
 a) o triplo de a. b) a terça parte de a. 
 c) racional d) irracional 
 e) n.d.a. 
 
8. (UFPA) A razão da P.G. obtida ao somarmos um 
mesmo número a 1,3 e 2, nessa ordem é: 
 
a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3 
 
9. (FGV-SP) Em um triângulo, a medida da base, a 
medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de 
razão 8. Então a medida da base vale: 
 
10. (UFSC) Em uma progressão geométrica o 3º termo é 
16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo. 
 
11. ( UFSC ) Na progressão geométrica (10, 2, 
2
5
, 
2
25
, 
...), a posição do termo
2
625
 é: 
 
12. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é 
aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. 
Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, 
obteremos uma progressão: 
 
a) aritmética de razão 12 
b) aritmética de razão 0,12 
c) geométrica de razão 12 
d) geométrica de razão 1,12 
e) geométrica de razão 0,12 
 
13. (UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto 
do 1º termo com o último é 12500. Determine o valor do 
3º termo. 
Obs.: Considere a P.G. de termos positivos. 
 
14. ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos 
entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º 
termo dessa seqüência. 
 
 a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245 
 
15. (UFSC) Sejam x, 6 e y uma progressão aritmética 
onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 10 e 
y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 
11y - 7x é: 
 
16. (UDESC) Um quadrado tem 4 cmde lado. Unem-se 
os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro 
quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro 
quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim 
sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os 
quadrados obtidos. 
 
17. (IME) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao 
solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no 
solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a 
distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua 
trajetória até atingir o repouso. 
 
18. (FGV-SP) O conjunto solução da equação 
2
1
...
2793
2 xxxxx
 é: 
a) {
2
1 , 1} b) {– 
2
1 , 1} c) {1, 4} 
d) {1, - 4} e) {1, 2} 
 
19. Considere a expressão A = 
...
81
4
27
3
9
2
3
1
 em 
que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores 
formam uma P.G. Determine o valor de 12A 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 
26 
20. (UFSC) Determine a soma dos números associados 
à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 
 02. O valor de x que satisfaz a equação 
 (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 é 
 x = 1 
 04. O oitavo termo da P.G. (
2
, 2, ....) é a8 = 16. 
 08. A soma dos termos da P.G. 
1
3
2
9
4
27
 é igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
Unidade 1 
1) 34,50 
cand/vaga 
2) 24 e 36 
3) x = 15 e y = 5 
 
4) c 
5) 48, 72, 96, 144 
 
6) 72, 64, 84 
7) 35 anos e 20 
anos 
8) a 
9) d 
 
10) d 
11) 04 
 
12) 10 
13) a 
14) p = 
2
1
 m = 
2
1
 
15) 
6
1
,
6
5
,
5
1
 
 
Unidade 2 
1) c 
2) b 
3) 75° 
4) a) 20° b) 44° 
c) 20° d) 30
o
 
5) a 
6) 85° 
7) a 
8) 47 
9) 21 
10) 80 
11) b 
12) e 
13) 30° 
14) 130° 
15) 120 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 3 
1) b 
2) c 
3) c 
4) a) 10
3
 b) 
10 c) 10
2
 
5) c 
6) d 
7) e 
8) quadrado e 
dodecágono 
9) d 
10) d 
11) a 
12) d 
13) 40
o 
14) 2 
15) 
R
2
15
 
 
Unidade 4 
1) a) 43° b) 50° 
c) 75° 
2) a 
3) a 
4) 3/5 
5) 29 
6) a 
7) c 
8) 50° 
9) 32 
10) 215° 
11) 20 
12) b 
13) 2,6; 3,9; 6,5 
14) b 
15) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 5 
1) c 
2) a 
3) 12 
4) 13 
5) 15 
6) b 
7) e 
8) c 
9) 9 cm
2
 
10) b 
11) 03 
12) a 
13) d 
14) 16 
15) 20 
 
Unidade 6 
1) a 
2) a 
3) a 
4) e 
5) e 
6) 23 
7) 18 
8) d 
9) d 
10) a 
 
Unidade 7 
1) 32dm
3 
2) 16 
3) c 
4) 36 
5) a 
6) 96 
7) 04 
8) d 
9) 72 
 
Unidade 8 
1) 64 
2) 68 
3) 02 
4) 64 
5) 02 
6) 48 
7) a 
8) 13 
9) 06 
10) a) 80 b) 
512 
Unidade 9 
1) 64 
2) 48 
3) 24 
4) b 
5) b 
6) 03 
7) 18 
8) 64 
9) d 
10) c 
11) d 
12) d 
13) a 
14) b 
 
Unidade 10 
1) 54 
2) 09 
3) c 
4) a 
5) e 
6) 07 
7) d 
8) b 
9) a 
10) 96 
11) 64 
12) a 
13) d 
14) d 
15) 09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 11 
1) a) – 1 b) 4 
c) -9/8 
2) 07 
3) 01 
4) 06 
5) 54 
6) 04 
7) a 
8) a 
9) 61 
10) 120 
11) d 
12) b 
13) b 
14) 30 
15) 60 
16) 99 
17) 02 
18) 35 
19) 90 
20) 40 
 
Unidade 12 
1) a) 2 b) – 1/8 
2) 03 
3) 03 
4) c 
5) b 
6) c 
7) d 
8) a 
9) 16 
10) 16 
11) 06 
12) d 
13) 50 
14) a 
15) 96 
16) 32 
17) 3h 
18) a 
19) 09 
20) 15