Trabalho de Confiabilidade - Sistema GRP

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE 
 NÚCLEO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
CAIO RICARDO
INGRID SOBRAL
MARIA GABRIELA BEZERRA NASCIMENTO GONÇALVES
 MARCILIO MARQUES
JONHANTAN ALLAM
 
 
 
 
RESUMO DO ARTIGO: Generalized renewal process for analysis of repairable systems with limited failure experience
 
 
 
CARUARU, 2019
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INTRODUÇÃO 
De acordo com Yañez, Joglar e Modarres, após reparação um sistema reparável pode terminar em um dos 5 possíveis estados:
Bom como novo;
Ruim como velho;
Melhor que velho, mas pior que novo;
Melhor que novo;
Pior que velho.
Para os dois primeiros estados da lista acima, os modelos probabilísticos de Processo de Renovação (RP) e Processo não-homogêneo de Poisson (NHPP) são utilizados, respectivamente. Porém, a dificuldade em elaborar um padrão matemático em conjunto com a ausência de uma abordagem precisa, são algumas das razões para que os 3 outros estados restantes não avancem em termos de modelagem. Mesmo assim, Kijima e Sumita propuseram um modelo probabilístico chamado de Processo de Renovação Generalizado (GRP) que aborda todos os estados, oferecendo uma Solução do tipo Monte Carlo, e ainda demonstraram que os modelos RP e o NHPP se encaixam como casos específicos do GRP.
A ideia chave que faz com que a simulação Monte Carlos do GRP seja possível é que a distribuição de tempo até a primeira falha (TTFF) é sabida e que pode ser estimada a partir dos dados disponíveis. Além disso, o tempo de reparo deve ser considerado desprezível, sendo a limitação desse modelo por simulação Monte Carlo que ele exige uma quantidade razoável de dados, já que foi desenvolvido principalmente para a indústria automotiva, a qual possui larga quantidade de dados. Além do custo computacional alto.
Foi pensando nisso que o próprio Kritsov propôs que poderia ser possível modelar matematicamente o modelo GRP utilizando o método da Máxima Verossimilhança (ML). Para isso deve-se desenvolver os parâmetros estimados da GRP, pelo método da máxima verossimilhança, que são para casos mais gerais. Estimar os parâmetros do GRP gera um sistema complexo de 3 equações, que precisam ser resolvidas simultaneamente.
VISÃO GERAL DA ABORDAGEM PARA MODELAGEM DE SISTEMAS REPARÁVEIS
Um sistema reparável é caracterizado como aquele cujo reparo faz com que esse sistema volte a ser operacional através de qualquer método, sem a necessidade de substituir o sistema por completo. A figura abaixo mostra a categorização dos processos de ponto estocástico para modelagem de sistemas reparáveis. Para o RP, considera-se que o reparo traga o sistema de volta à operacionalidade no estado “bom como novo”, já o NHPP considera que o sistema volte no estado “ruim como velho”. O GRP supre a necessidade do estudo de sistemas em que o reparo é incerto.
	Por serem flexíveis, os 3 métodos serão abordados pelo método ML, a distribuição de tempo para a falha utilizada será a Weibull.
Figura 1
ABORDAGENS PARA A ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE SISTEMAS REPARÁVEIS
3.1 PROCESSO DE RENOVAÇÃO
O processo de renovação leva em consideração que as variáveis aleatórias “Xi” (tempos para a falha) são independente e identicamente distribuídas. O número esperado de falhas em um intervalo de (0,t] é dado pela seguinte equação: 
Onde F(t) é a função distribuição acumulada. Derivando ambos os lados em relação à t, temos:
Onde f(t) é a função de densidade de distribuição.
Para o caso Weibull, onde existem dois parâmetros α e β, os parâmetros estimados pelo ML são, respectivamente:
 
Onde ti é o tempo entre falhas consecutivas e n é o total de falhas observadas.
PROCESSO NÃO-HOMOGÊNEO DE POISSON
O NHPP é um processo estocástico pontual, em que a probabilidade da ocorrência de n falhas num intervalo [t1,t2] tem um processo de Poisson com média: 
Onde λ(t) é conhecido como taxa de ocorrência de falhas. Uma das mais utilizadas para sistemas reparáveis é a do Modelo da Lei de Potência:
Essa forma deriva da suposição de que o tempo entre chegadas de falhas consecutivas segue uma distribuição de probabilidade condicional Weibull.
Para o caso do NHPP, duas expressões podem ser identificadas pelo método da Verossimilhança, uma para dados censurados e outra para dados não-censurados. Para dados não-censurados, a função Verossimilhança é: 
E dela podemos achar os parâmetros α e β derivando e igualando a zero.
Os parâmetros encontrados são:
Onde n é o número total de falhas, ti é o tempo da i-ésima falha, e tn é o tempo da n-ésima falha. Já para o caso dos dados censurados, obtemos a seguinte função Verossimilhança:
Utilizando o mesmo procedimento do anterior, os parâmetros encontrados são:
 
PROCESSO DE RENOVAÇÃO GENERALIZADO GRP
O processo de renovação generalizado GRP introduz o conceito de idade virtual (An), onde este parâmetro representa a idade do sistema imediatamente após o reparo n-ésimo ocorrer. Se An=y, então o sistema tem um tempo até a (n+1) falha, Xn+1, que é distribuída de acordo com a função abaixo:
Onde, F(x) representa o cdf da distribuição TTFF de um novo sistema ou componente.
Contudo, o somatório abaixo representa a idade do sistema baseada no número de reparos. Onde, S0 representa a idade real do sistema, e que o enésimo reparo compensaria apenas os danos acumulados durante o período entre (n-1) e a enésima falha. E, por meio desta suposição, pode-se afirmar que a era virtual do sistema após o enésimo reparo é:
Onde, de acordo com o modelo, o resultado que assumir um q=0 leva a um RP (tão bom quanto novo), enquanto que a suposição q=1 levaria ao resultado de um processo não homogêneo (tão ruim quanto velho). E, os valores intermediários (entre 0 e 1) indicam o estado pós-reparo, isto é, indicam qual condição do sistema é melhor que a antiga, mas pior que novo. Um q>1 indica que o sistema está em uma condição pior que a antiga e um q<0 sugere que o sistema restaurado se encontra em uma condição melhor que o novo. 
Logo, pode ser um índice que represente a eficácia da qualidade de restauração de um sistema.
ESTIMATIVA DO NÚMERO ESPERADO DE FALHAS NO GRP
A estimativa de do número esperado de falhas em sistemas reparáveis pode ser simulada em termos da distribuição para o TTFF, e esta é baseada na simulação de Monte Carlo e pode ser aplicada ao RP e NHPP. 
SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO NO RP
Dentro de um intervalo de tempo [0,T], resolve-se o cdf de uma distribuição Weibull para ti e é encontrado:
E, a simulação começa a gerar números aleatórios dentro do intervalo considerado, como mostrado na figura acima. Um valor aleatório é adicionado à soma dos últimos três números aleatórios e comparado a algum valor T, de modo que:
Se ∑ti > T, é pausado de gerar números aleatórios;
Se ∑ti < T, é gerado outro número aleatório de ti +1(isto é, registrado uma falha).
Logo, esse processo é repetido algumas vezes, e tem-se: nj (número de falhas registradas) e m (números aleatórios). E, o número de falhas esperadas é dado por:
SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO NO NHPP
A simulação de Monte Carlo segue a mesma ideia do caso do RP, porém difere-se no seguinte: para a primeira falha, uma distribuição Weibull é utilizada, enquanto que nas falhas subsequentes é utilizada uma distribuição Weibull condicional. 
Contudo, as equações são mostradas abaixo:
SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO NO GRP
A simulação de Monte Carlo é semelhante à RP e NHPP. A chegada das falhas segue uma distribuição Weibull, e segue a abordagem em relação ao NHPP para a primeira falha e as subsequentes. E, as equações são mostradas abaixo. E que esta última parte representa a idade virtual do sistema.
Um exemplo retrata a utilização do GRP, onde através deste a inclusão do parâmetro q, ocorreu o ajuste adequado do número esperado de falhas em relação à curva de tempo à medida que o tempo cai. E que, os resultados mostrados nas imagens abaixo confirmam a importância do GRP, pois este é um processo geral.ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA PARA PARÂMETROS GRP
Para conseguir resolver o problema da simulação de Monte Carlo (Necessidade de uma quantidade razoável de dados) dois métodos são propostos: Método da estimação ML (poucos dados, mas que sejam suficientes) e o segundo é por meio do método bayesiano (quantidade de dados é extremamente baixa e se acrescenta experiências passadas ou julgamentos pessoais para completar o conhecimento).
ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DO GRP
Este cálculo é baseado na quantidade de dados que se diz respeito aoss tempos de falhas, sabendo que quanto mais dados se possuir, mais preciso será o resultado, pois se tem uma redução da incerteza. E, através da derivação, podemos estimar os parâmetros por meio da distribuição Weibull. A pdf é demonstrada abaixo.
Contudo, é possível estimar os estimadores α, β e q por meio da derivação. E, são elas:
7.1 ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DO GRP PARA O CASO DE FALHA TERMINADA
Utilizada em casos onde os dados estão disponíveis até o momento da última falha, e é seguido o procedimento do NHPP (1ª falha segue cdf e as demais seguem uma distribuição Weibull). Para calcular a o tempo para falha, a função de verossimilhança é utilizada:
Diferenciando o logaritmo da função acima em relação aos três parâmetros α, β e q e igualando a zero, tendo um sistema de três equações e três incógnitas.
Por fim, esses resultados demonstram que as funções de verossimilhança para o GRP são itens essenciais para descrever a renovação de sistemas. Além disso, o RP e NHPP são casos especificos das equações retratadas bem acima.
ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DO GRP PARA O CASO DE TEMPO TERMINADO
A equação de verossimilhança é calculada baseada nas equações (18) e (28).
Seguindo a mesma ideia, de diferenciá-la em relação aos parâmetros α, β e q. Posteriormente, é mostrado um exemplo, onde representa as falhas e seus respectivos tempos relacionados ao EUA Motor de propulsão. E, através da simulação de Monte Carlo, foram obtidas as estimativas dos parâmetros (β = 2,02) que sugere um taxa crescente de ocorrência de falha e (q = 0,14) sugere uma condição do equipamento melhor que velho, mas pior do que o novo e o número esperado de falhas. 
Contudo, a imagem abaixo representa os resultados e a simulação de Monte Carlo baseada no número de falhas.
SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA EQUAÇÕES GRP ML
Foi elaborado um algoritmo numérico baseado na simulação de Monte Carlo para que seja determinado o tempo de termino da falha e o tempo de término de sistemas de equações. 
Portanto, números aleatórios são gerados a partir das distribuições uniformes dos parâmetros β e q. Para o primeiro, variam de 0 a 10 (maioria das soluções se encontra nesse intervalo), e o segundo variam entre 0 e 1 (valores acima ou abaixo desse intervalo também são considerados). Além disso, o parâmetro α também recebe valores dentro de um intervalo, porém o mesmo é grande em comparação aos demais. 
E, a partir da simulação de Monte Carlo, nas equações 32 e 36, se podem estimar valores para β e q, e a partir deles, estimar um valor para o parâmetro α. Contudo, a solução correta é obtida quando sistemas de equações ML produzem o mesmo resultado para o parâmetro α, cuja equação é descrita abaixo:
E, para o caso de análise de Tempo Terminado, tem-se:
CONCLUSÕES
De uma maneira geral, o artigo estudado discute e propõe uma estimativa ML para os parâmetros do GRP. Os resultados desse método se assemelham com os resultados da simulação Monte Carlo da GRP. A metodologia proposta aponta excelentes resultados com uma utilização mínima de esforços computacionais.
Além disso, ela permite também calcular o número esperado de falhas em um determinado momento e o tempo necessário para a próxima falha em situações realísticas, em que o reparo nem tão ruim quanto o novo nem é tão bom quanto o novo. Já a função de verossimilhança desenvolvida para o GRP provou ser uma fórmula geral, pois ao assumir valores entra 0 e 1 de q para eficácia de reparo e os estimadores tradicionais para RP e NHPP podem ser calculados de maneira mais simples.
Por fim, a proposta da abordagem é limitada a aplicações onde se dispõe de dados, para isso, a formulação bayesiana é uma alternativa para estimação dos parâmetros GRP para os casos em que os dados não podem ser coletados.