Geodesia_1_Sodré_Weidlin_L2_Datum

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TRANSFORMACIÓN DE DATUM 
FUNDAMENTOS DE GEODESIA 
Laboratorio 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Docente: Dr. Montecino Castro Henry Diverth 
Alumnos: Jorge Wilson Sodré 
 Richard Georg Weidlin Mujica 
Fecha: 21/06/2019 
Se determinaron los parámetros de Helmet para la transformación de coordenadas de un 
sistema local a un global usando el método de Gauss Markov. 
Los parámetros de Helmet son un total de 7: 
 3 de translaciones. 
 3 de rotaciones. 
 un factor escala. 
Por otro lado, al tratarse de sistemas globales, se supone que los ejes son ‘’ casi’’ paralelos, en 
cuyo caso los cosenos del ángulo se igualan a 1 y los senos al ángulo. 
Objetivos: 
 Calcular los parámetros de transformación conforme el modelo de ajuste Gauss Markov. 
 Análisis de los resultados. 
 Entregar un script en Matlab con el procedimiento y documentación. 
Los sistemas de referencia son SAD-69 (Local) y SIRGAS-2000 (Global), respectivamente: 
Se tienen 5 observaciones con coordenadas geocéntricas de cada uno de los sistemas. 
 SAD-69 
Pto X[m] Y[m] Z[m] 
96537 3770927.1421 -4361090.5910 -2721041.1849 
96528 3778939.7987 -4350084.7648 -2727650.5746 
96530 3771373.6859 -4348214.9707 -2740964.4140 
96541 3738321.9734 -4369659.5643 -2752010.7643 
96531 3728647.4179 -4378923.4364 -2750500.9436 
 
 SIRGAS-2000 
Pto X[m] Y[m] Z[m] 
96537 3770859.7828 -4361086.7003 -2721079.5815 
96528 3778872.4397 -4350080.8725 -2727688.9691 
96530 3771306.3237 -4348211.0778 -2741002.8132 
96541 3738254.6025 -4369655.6603 -2752049.1432 
96531 3728580.0475 -4378919.5345 -2750539.3241 
 
Se calcula 𝑇଴ que corresponde a la matriz de traslación aproximada, e 𝑖 el número de 
observaciones: 
 𝑇௑଴ = ( 
∑ 𝑥௜௡ୀହ௜ୀଵ
5
)஽௅ − ( 
∑ 𝑥௜௡ୀହ௜ୀଵ
5
)஽ீ 
 ( 1) 
 
 
 𝑇௒଴ = ( 
∑ 𝑦௜௡ୀହ௜ୀଵ
5
)஽௅ − ( 
∑ 𝑦௜௡ୀହ௜ୀଵ
5
)஽ீ 
 ( 2) 
 
 𝑇௓଴ = ( 
∑ 𝑧௜௡ୀହ௜ୀଵ
5
)஽௅ − ( 
∑ 𝑧௜௡ୀହ௜ୀଵ
5
)஽ீ 
 ( 3) 
Donde: 
 
 
𝑥஽௅೔, 𝑦஽௅೔ , 𝑧஽௅೔: Es el promedio de las coordenadas X, Y, Z del sistema local. 
𝑥஽ீ೔ , 𝑦஽ீ೔ , 𝑧஽ீ೔: Es el promedio de las coordenadas X, Y, Z del sistema global. 
 𝑇௑଴, 𝑇௒଴, 𝑇௭଴: Diferencia de los promedios de la coordenada X, Y, Z. 
 
Promedio de las coordenadas en el sistema local y global: 
ඍ
𝑥௜
𝑦௜
𝑧௜
එ
஽௅
= අ
3757642.0036
−4361594.6654
 −2738433.5763
ඉ
஽௅
 
ඍ
𝑥௜
𝑦௜
𝑧௜
එ
஽ீ
= අ
3757574.6392
−4361590.7691
−2738471.9662
ඉ
஽ீ
 
Ahora se deben calcular los promedios de cada observación en las coordenadas X, Y, Z en los dos 
sistemas. 
Luego, se procede a realizar el cálculo de 𝑇௑଴, 𝑇௒଴, 𝑇௭଴: 
𝑇௑଴ = 3757642.0036 − 3757574.6392 = 67.3644 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
𝑇௒଴ = −4361594.6654 − (−4361590.7691) = −3.8964 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
𝑇௭଴ = −2738433.5763 − (−2738471.9662) = 38.3899 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
Posteriormente se debe calcular el vector de observaciones: 
 𝐿 = ൥
𝑥஽௅೔
𝑦஽௅೔
𝑧஽௅೔
൩ − ൥
𝑥஽ீ೔
𝑦஽ீ೔
𝑧஽௅೔
൩ − ቎
𝑇௑଴
𝑇௒଴
𝑇௓଴
቏ 
 ( 4) 
 
𝐿 : es el vector de las observaciones. 
𝑥஽௅೔, 𝑦஽௅೔ , 𝑧஽௅೔: Es la coordenada X, Y, Z del sistema local. 
𝑥஽ீ೔ , 𝑦஽ீ೔ , 𝑧஽ீ೔: Es la coordenada X, Y, Z del sistema global. 
𝑖: es el número de la observación. 
 
Reemplazando en la ecuación, se obtiene: 
𝐿 = 
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
3770927.1421
−4361090.5910
−2721041.1849
3778939.7987
−4350084.7648
−2727650.5746
3771373.6859
−4348214.9707
−2740964.4140
3738321.9734
−4369659.5643
−2752010.7643
3728647.4179
−4378923.4364
−2750500.9436⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
−
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
3770859.7828
−4361086.7003
−2721079.5815
3778872.4397
−4350080.8725
−2727688.9691
3771306.3237
−4348211.0778
−2741002.8132
3738254.6025
−4369655.6603
−2752049.1432
3728580.0475
−4378919.5345
−2750539.3241⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
−
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
67.3644
−3.8964
38.3899
67.36436
−3.8964
38.3899
67.36436
−3.8964
38.3899
67.3643
−3.8964
38.3899
67.36436
−3.8964
38.3899 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
−0.0051
0.0057
0.0067
−0.0054
0.0041
0.0046
 −0.0022
 0.0035
0.0093
0.0065
−0.0076
−0.0110
0.0060
−0.0055
 −0.0094⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Ahora, se debe calcular la matriz de diseño, 
𝐴 = ൥
𝑥௜ 0 −𝑧௜
 𝑦௜
 𝑧௜
 𝑧௜
−𝑦௜
0
 𝑥௜
 
 𝑦௜ 1
−𝑥௜ 0
 0 0
 
0 0
1 0
0 1
൩ 
 ( 5) 
 
Donde: 
𝐴 : La matriz de diseño 
𝑥௜: Es la coordenada x del sistema global 
𝑦௜: Es la coordenada y del sistema global. 
𝑧௜: Es la coordenada z del sistema global. 
𝑖: es el número de la observación. 
 
 
 
𝐴 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
3770859.7828
−4361086.7003
−2721079.5815
3778872.4397
−4350080.8725
−2727688.9691
 3771306.3237
−4348211.0778
−2741002.8132
3738254.6025
−4369655.6603
−2752049.1432
3728580.0475
−4378919.5345
−2750539.3241
0
−2721079.5815
4361086.7003
0
−2727688.9691
4350080.8725
0
−2741002.8132
4348211.0778
0
−2752049.1432
4369655.6603
0
−2750539.3241
4378919.5345
2721079.5815
0
3770859.7828
2727688.9691
0
3778872.4397
2741002.8132
0
3771306.3237 
2752049.1432
0
3738254.6025
−2750539.3241
0
3728580.0475
−4361086.7003
−3770859.7828
0
−4350080.8725
−3778872.4397
0
−4348211.0778
−3771306.3237
0
−4369655.6603
−3738254.6025
0
−4378919.5345
−3728580.0475
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
Una vez obtenida la matriz de diseño A, y el vector de las observaciones 𝐿, se puede calcular el 
vector de parámetros ajustados: 
𝜉 = (𝐴௧𝑃𝐴)ିଵ𝐴௧𝑃𝐿 ( 6) 
Donde: 
𝜉: vector de parámetros ajustados. 
𝐴௧: es la transpuesta de la matriz de diseño. 
𝑃: es la matriz identidad de 15x15 
𝐿: es el vector de observaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑃 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
El cual nos entrega la siguiente información: 
 𝜉 = 𝑁ିଵ𝑈
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
Δ𝑆
𝛿𝜔
𝛿∅
𝛿𝑘
𝛿𝑇௑
𝛿𝑇௒
𝛿𝑇௓⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 ( 7) 
Donde: 
𝑁: número de observaciones. 
𝑈: cantidad de parámetros. 
Δ𝑆: factor escala. 
𝛿𝜔, 𝛿∅, 𝛿𝑘: Factor de rotación en X, Y, Z. 
𝛿𝑇௑,𝛿𝑇௒, 𝛿𝑇௓: factor de traslación en el eje X, Y, Z 
 
 
 
 
𝜉 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
4.2239𝑒 − 08
6.6078𝑒 − 08 𝑟𝑎𝑑
3.9152𝑒 − 07 𝑟𝑎𝑑
−1.9776𝑒 − 07 𝑟𝑎𝑑
−2.0934 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
−0.3779 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
−1.6437 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se calculó la aproximación del vector de los residuos: 
𝑉 = 𝐴 𝜉 − 𝐿 (8) 
Donde: 
 
𝑉: Vector de aproximación de los residuos. 
𝐴: Matriz de diseño. 
𝜉: vector de parámetros ajustados. 
𝐿: Vector de observaciones. 
 
𝑉 = 
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
3770859.7828
−4361086.7003
−2721079.5815
3778872.4397
−4350080.8725
−2727688.9691
 3771306.3237
−4348211.0778
−2741002.8132
3738254.6025
−4369655.6603
−2752049.1432
3728580.0475
−4378919.5345
−2750539.3241
0
−2721079.5815
4361086.7003
0
−2727688.9691
4350080.8725
0
−2741002.8132
4348211.0778
0
−2752049.1432
4369655.6603
0
−2750539.3241
4378919.5345
2721079.5815
0
3770859.7828
2727688.9691
0
3778872.4397
2741002.8132
0
3771306.3237 
2752049.1432
0
3738254.6025
−2750539.3241
0
3728580.0475
−4361086.7003
−3770859.7828
0
−4350080.8725
−3778872.4397
0
−4348211.0778
−3771306.3237
0
−4369655.6603
−3738254.6025
0
−4378919.5345
−3728580.0475
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
 
∗
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
4.2239𝑒 − 08
6.6078𝑒 − 08
3.9152𝑒 − 07
−1.9776𝑒 − 07
−2.0934
−0.3779
−1.6437 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
−
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
−0.0051
0.0057
0.0067
−0.0054
0.0041
0.0046
 −0.0022
 0.0035
0.0093
0.0065
−0.0077
−0.0110
0.0060
−0.0055
 −0.0094⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
−0.0013
−0.0019
−0.0008
−0.0002
0.0014
0.0035
0.0011
−0.0003
−0.0049
−0.0004
0.0026
0.0034
0.0009
−0.0017
 −0.0013⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
Los parámetros ajustados son: 
 
 𝜉௔ =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 + 𝛿𝑠
𝛿𝜔
𝛿∅
𝛿𝑘
𝑇௑଴ + 𝛿𝑋
𝑇௒଴ + 𝛿𝑌
𝑇௓଴ + 𝛿𝑍⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 ( 9) 
 
 𝜉௔ =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 + 𝛿𝑠
𝛿𝜔
𝛿∅
𝛿𝑘
𝑇௑଴ + 𝛿𝑋
𝑇௒଴ + 𝛿𝑌
𝑇௓଴ + 𝛿𝑍⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 + 4.2239𝑒 − 08
6.6078𝑒 − 08
3.9152𝑒 − 07
−1.9776𝑒 − 07
67.3645 + (−2.0934)
−3.8964 + (−0.3779)
38.3899 + (−1.6437)⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
= 
 
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1.000000042239011
6.6078𝑒 − 08
3.9152𝑒 − 07
−1.9776𝑒 − 07
65.2709 
−4.2743 
36.7462 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1.000000042239011
0.0136′′
0.0808′′
−0.0408′′
65.2709 𝑚
−4.2743 𝑚
36.7462 𝑚 ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
 
Donde: 
1 + 𝛿𝑠: factor escala. 
𝛿𝜔, 𝛿∅, 𝛿𝑘: factor de rotación en X, Y, Z. 
𝑇௑଴ + 𝛿𝑋, 𝑇௒଴ + 𝛿𝑌, 𝑇௓଴ + 𝛿𝑍: factor de traslación en el eje X, Y, Z. 
 
 
La calidad de transformación es: 
 𝜎ො = ඨ
∑ (𝑣௫೔
ଶ + 𝑣௬೔
ଶ + 𝑣௭೔ଶ )
௡
௜ୀଵ
3𝑛 − 7
 
 
 ( 10) 
 𝜎ො = 0.0029 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 Donde: 
𝜎ො: calidad del ajuste. 
𝑛: número de observaciones. 
𝑣௫೔
ଶ , 𝑣௬೔
ଶ , 𝑣௭೔
ଶ : varianza de la coordenada x al cuadrado X, Y, Z 
 
Resultados Obtenidos: 
 
El factor escala corresponde a 1 + 𝛿𝑠 y el resultado fue de: 1.000000042239011 
La rotación de la coordenada X (𝛿𝜔) fue de: 0.0136′′ 
La rotación de la coordenada Y (𝛿∅) fue de: 0.0808′′ 
La rotación de la coordenada Z (𝛿𝑘) fue de: −0.0408′′ 
La traslación en la coordenada X (𝛿𝑇௑) fue de: 65.2709 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
La traslación de la coordenada Y (𝛿𝑇௬) fue de: −4.2743 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
La traslación de la coordenada Z (𝛿𝑇௬)fue de: 36.7463 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
La calidad del ajuste (𝜎ො) fue de 0.0029 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencia 
Script diseñado y utilizado: 
format long g 
clear;clc; 
% Alumnos 
% Jorge Wilson Sodré 
% Richard Georg Wedlin Mujica 
% Laboratorio 2. Transformación de Datum 
% Geodesia 1 - Dr. Montecino Castro Henry Diverth 
% SAD69 DATUM LOCAL 
 
% Coordenadas SAD-69 
% x y z 
SAD=[3770927.1421 -4361090.5910 -2721041.1849; 
 3778939.7987 -4350084.7648 -2727650.5746; 
 3771373.6859 -4348214.9707 -2740964.4140; 
 3738321.9734 -4369659.5643 -2752010.7643; 
 3728647.4179 -4378923.4364 -2750500.9436]; 
 
% Vector SAD 15x1 
sad=[3770927.1421; -4361090.5910; -2721041.1849; 
 3778939.7987; -4350084.7648; -2727650.5746; 
 3771373.6859; -4348214.9707; -2740964.4140; 
 3738321.9734; -4369659.5643; -2752010.7643; 
 3728647.4179; -4378923.4364; -2750500.9436]; 
 
% Coordenadas Sirgas2000 
% x y z 
SGS=[3770859.7828 -4361086.7003 -2721079.5815; 
 3778872.4397 -4350080.8725 -2727688.9691; 
 3771306.3237 -4348211.0778 -2741002.8132; 
 3738254.6025 -4369655.6603 -2752049.1432; 
 3728580.0475 -4378919.5345 -2750539.3241]; 
 
% Vector SGS 15x1 
sgs=[3770859.7828; -4361086.7003; -2721079.5815; 
 3778872.4397; -4350080.8725; -2727688.9691; 
 3771306.3237; -4348211.0778; -2741002.8132; 
 3738254.6025; -4369655.6603; -2752049.1432; 
 3728580.0475; -4378919.5345; -2750539.3241]; 
n=5; 
% Promedios coordenadas 
xsgs=0;ysgs=0;zsgs=0;xsad=0;ysad=0;zsad=0; 
for i=1:n 
 xsad=xsad+SAD(i,1); 
 ysad=ysad+SAD(i,2); 
 zsad=zsad+SAD(i,3); 
 xsgs=xsgs+SGS(i,1); 
 ysgs=ysgs+SGS(i,2); 
 zsgs=zsgs+SGS(i,3); 
end 
Xsad=xsad/5;Ysad=ysad/5;Zsad=zsad/5;Xsgs=xsgs/5;Ysgs=ysgs/5;Zsgs=zsgs/
5; % Promedios de Coordenadas en SAD y SGS 
X=Xsad-Xsgs;Y=Ysad-Ysgs;Z=Zsad-Zsgs; 
T0sad=[X;Y;Z]; 
Tosad=[X;Y;Z;X;Y;Z;X;Y;Z;X;Y;Z;X;Y;Z]; % Vector usado en los cálculos 
promedios de SAD y SGS 
% Matriz de diseño SGS 
A = zeros(15,7); 
a = 1; 
b = 3; 
for i=1:n 
 A(a:b,1:7)=[(SGS(i,1)),0,-(SGS(i,3)),(SGS(i,2)),1,0,0; 
 (SGS(i,2)),(SGS(i,3)),0,-(SGS(i,1)),0,1,0; 
 (SGS(i,3)),-(SGS(i,2)),(SGS(i,1)),0,0,0,1]; 
 a = a+3; 
 b = b+3; 
end 
% Matriz de peso 
P=eye(15); 
% intermedio 
L=sad-sgs-Tosad 
% Calculo de las variables L y U 
N=(A'*P*A); 
U=A'*P*L; 
%Parametros ajustados 
E=N^-1*U 
% Residuos 
V=A*E-L 
m=length(V); 
% Suma esiduos al cuadrado 
V2=0; 
for i=1:m 
 V2=V2+((V(i))^2); 
end 
% Desviación 
o=sqrt(V2/(3*5-7)) 
Ep=[E(1)+1;E(2);E(3);E(4);E(5)+Tosad(1);E(6)+Tosad(2);E(7)+Tosad(3)] 
Ea=[E(1)+1;E(2)*((180/pi)*3600);E(3)*((180/pi)*3600);E(4)*((180/pi)*36
00);E(5)+Tosad(1);E(6)+Tosad(2);E(7)+Tosad(3)]