Carga e descarga de um capacitor em série

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Dezembro de 2002, UFRGS, Porto Alegre - RS
CARGA E DESCARGA DE UM CAPACITOR EM SÉRIE
Bruna Pontes Cechinel
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR –Medianeira – Brasil
bpcechinel@gmail.com
Objetivo
Em laboratório foi feito o experimento montando um circuito RC em série onde foram obtidos os valores experimentais. Esses dados foram analisados com o auxílio do software SciDAVis (Scientific Data Analysis and Visualization), onde foram gerados os gráficos que, juntamente com o desvio percentual, serviram para análise comparativa entre os valores experimentais e teóricos, que se mostraram satisfatórios principalmente com base nos gráficos apresentados.
Palavras-chave: Capacitor; Carga; Descarga.
1 Referencial teórico
1.1 Circuito RC
Segundo Halliday (2013), um circuito RC é aquele que possui componentes resistivos e capacitivos. Na figura 1, quando o circuito for completado, (chave for fechada em a), cargas começam a se mover (surge uma corrente) no circuito, essa corrente acumula uma carga cada vez maior nas placas do capacitor e estabelece uma diferença de potencial entre elas dada por:
	
	(1)
Figura 1 - Circuito RC
Fonte: Ebah (2019)
Além disso, a corrente passa pelo resistor, fornecendo a seguinte relação:
	
	(2)
Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensão (LKT) no circuito, temos:
	
	(3)
	
	
como :
	
	(4)
Quando a diferença de potencial nas placas do capacitor se iguala a diferença de potencial da fonte, o circuito entra em equilíbrio e a corrente para de circular, desse modo o processo de carga do capacitor se encerra.
Para iniciar o processo de descarga a chave é trocada para a posição b, assim o capacitor passa a fornecer as cargas acumuladas em suas placas para o circuito, formando uma corrente com sentido inverso ao anterior.
Ao aplicar a lei de Kirchhoff nessas condições teremos:
	
	
	
	
	
	
1.2 Equações lineares de 1a ordem
Conforme Zill (2016), a forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem é dada por:
	
	(5)
Quando dividia a equação (5) por , tem-se sua forma padrão:
	
	(6)
Depois de identificado , calcula-se o fator de integração (FI):
	
	(7)
Multiplicado (6) ambos os lados da equação por (7), o lado esquerdo da equação será, automaticamente, a derivada do produto de e :
	
	(8)
1.3 Resolução da equação diferencial
1.3.1 Carga do capacitor
Ao ligar a chave no terminal a do circuito, se estabelece uma corrente inicial. Porém, conforme o capacitor carrega, a corrente no resistor diminui até atingir zero. Nesse momento, o capacitor está totalmente carregado. A resolução será iniciada com (4), que na forma padrão fica:
	
	(9)
O próximo passo é identificar e calcular o fator integrante (FI):
	
	
Fator integrante: 
Multiplica-se toda a equação pelo FI e integram-se ambos os lados:
	
	
	
	
	
	
como 
	
	
	
	(10)
Assim, a equação para a carga é (10), no entanto algumas considerações ainda podem ser feitas. O processo de carga se inicia em e com logo em , assim: portanto,
	
	(11)
Ao assumir como a carga total que pode ser armazenada pelo capacitor, dada por , a equação pode ser reescrita da seguinte forma:
	
	(12)
1.3.2 Descarga do capacitor
Para descarga, a chave do circuito é ligada no terminal b, e a corrente no resistor vai diminuindo. Quando o capacitor está totalmente descarregado, a corrente no resistor é zero. Como a chave está em b, será utilizado (6), que na forma padrão fica:
	
	(13)
O próximo passo é identificar e calcular o fator integrante (FI):
	
	
Fator integrante: .
Multiplica-se toda a equação pelo FI e integram-se ambos os lados:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(14)
Em é o momento em que o capacitor começa a fornecer carga ao circuito, assim a carga envolvida é a carga total do capacitor ou , logo , assim:
	
	(15)
2 Confecção
Para esse experimento foram utilizados os seguintes materiais:
Fonte de tensão;
Multímetro;
Resistor;
Capacitor;
Cronômetro;
Cabos;
Protoboard.
Primeiramente, com o auxílio do multímetro, mediu-se a resistência R do resistor e a capacitância C do capacitor. Após a obtenção desses dados, montou-se na protoboard um circuito com a resistência R e capacitor C, completamente descarregado, em série, alimentados por uma fonte. Em seguida, foi conectado um multímetro em paralelo com o resistor e outro em paralelo com o capacitor. A escala do multímetro deve ser a mais próxima e, necessariamente, maior que o valor da tensão da fonte escolhida.
Figura 2 – Circuito RC
Fonte: Autoria própria (2019)
Figura 3 – Circuito RC com o multímetro
Fonte: Autoria própria (2019)
3 Funcionamento
No instante em que o circuito foi ligado, o cronômetro foi acionado, anotou-se o tempo, na tabela 1, que o capacitor mudava sua tensão, com um intervalo de 0,5 volts. Após o capacitor estar totalmente carregado, a fonte de tensão foi substituída por um curto e o capacitor começou a fornecer carga para o circuito. Logo, os valores da tensão do capacitor e seu respectivo tempo de descarga foram anotados na tabela 2.
Para tornar possível a comparação entre os valores experimentais e os teóricos utilizou-se a diferença de potencial entre as placas do capacitor dado por , obtendo as seguintes equações para a fase de carga e de descarga:
Para a carga foi substituído a equação (12) na equação (1), logo:
	
	(16)
Para a descarga foi substituído a equação (15) na equação (1):
	
	(17)
Sendo V o valor da tensão, R o valor da resistência e C o valor da capacitância, que foram medidos anteriormente com o multímetro: Através dos tempos obtidos em laboratório foi calculado também o desvio percentual, que é dado pela fórmula:
	
	(18)
Com esses valores aplicados nas equações (16) e (17), foram determinados os valores de carga (tabela 1) e descarga (tabela 2) teóricos. O gráfico da figura 4 representa a tensão experimental e teórica, em função do tempo, para a carregar o capacitor. Já o gráfico da figura 5 para a descarga, também da tensão em função do tempo.
Tabela 1 – Valores para carga do capacitor.
	Tempo (s)
	VC experimental (V)
	VC teórico (V)
	Desvio percentual (D%)
	0
	0,0
	0,00
	0,00%
	1
	0,5
	0,20
	61,2%
	5
	1,0
	0,93
	7,04%
	7
	1,5
	1,27
	15,07%
	11
	2,0
	1,92
	4,04%
	14
	2,5
	2,37
	5,30%
	18
	3,0
	2,92
	2,62%
	22
	3,5
	3,43
	2,02%
	27
	4,0
	4,00
	0,11%
	32
	4,5
	4,52
	0,46%
	38
	5,0
	5,07
	1,40%
	45
	5,5
	5,63
	2,29%
	52
	6,0
	6,10
	1,73%
	62
	6,5
	6,67
	2,63%
	74
	7,0
	7,21
	2,96%
	91
	7,5
	7,76
	3,50%
	116
	8,0
	8,28
	3,53%
	Média do desvio percentual (D%)
	6,82%
Fonte: Autoria própria (2019)
Figura 2 – Carga experimental e teórica no decorrer do tempo.
Fonte: Autoria própria (2019)
Tabela 2 – Valores para descarga do capacitor.
	Tempo (s)
	VC experimental (V)
	VC teórico (V)
	Desvio percentual (D%)
	0
	8,0
	8,00
	0,00%
	7
	7,5
	7,73
	3,01%
	10
	7,0
	7,26
	3,71%
	13
	6,5
	6,78
	4,30%
	17
	6,0
	6,17
	2,83%
	23
	5,5
	5,38
	2,18%
	25
	5,0
	5,22
	4,40%
	33
	4,5
	4,35
	3,35%
	37
	4,0
	3,87
	3,26%
	45
	3,5
	3,34
	4,57%
	54
	3,0
	2,76
	8,00%
	56
	2,5
	2,66
	6,40%
	63
	2,0
	2,27
	13,50%
	87
	1,5
	1,36
	9,34%
	102
	1,0
	0,98
	2,00%
	157
	0,5
	0,30
	41,30%
	Média do desvio percentual (D%)
	7,01%
Fonte: Autoria própria (2019)
Figura 3 – Descarga experimental e teórica no decorrer do tempo.
Fonte: Autoria própria (2019)
Observando os resultados obtidos, percebe-se que o experimento foi satisfatório considerando que seu desvio percentual e os valores teóricos e experimentais ficaram relativamente próximos um dos outros. Também pode-se observar nas tabelas de dados que, na maioria delas, os maiores erros ocorreram nos extremos. Há diversos fatores que podem ter ocasionado os grandes desvios percentuais obtidos, alguns deles são:erro do instrumento, erro humano na hora de marcar o tempo e a capacitância indicada podendo apresentar variação devido ao uso intensivo do capacitor.
4 Bibliografia
BOYLESTAD, Robert L. Introdução a Análise de Circuitos. 10ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004. Tradução da edição original em inglês.
Faculdade de Ciências Integrada do Pontal (FaCIP-UFU). Carga e Descarga de um Capacitor. Uberlândia. 2015. Disponível em: <http://www.facip.ufu.br/sites/facip.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/fe3-06-carga-e-descarga-de-um-capacitor.pdf>. Acessado em: 6 jun 2019.
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá (FEG-Unesp). Carga e Descarga de Capacitor. Guaratinguetá. 2014. Disponível em: <https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/zacharias/cargac.pdf>. Acessado em: 6 jun 2019.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 3 v. Tradução e revisão técnica: Ronaldo Sérgio de Biasi.
ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais: Com aplicações em modelagem. 3ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. Tradução da 10ª edição norte-americana.
Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (IF-UFRGS). Circuito RC (série). Porto Alegre. 2013. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/fis182/labs/lab6.pdf>. Acessado em: 7 jun 2019.
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