Manual de Geometria Descritiva_Antônio Galrinho 2012

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Manual de 
 
 
Geometria 
 
Descritiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
António Galrinho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FICHA TÉCNICA 
 
 
Título 
Manual de Geometria Descritiva 
 
Autor 
António Galrinho 
 
Grafismo 
Do autor 
 
Edição 
2ª - 2012 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Este livro apresenta uma compilação dos conteúdos fundamentais da Geo-
metria Descritiva. A organização de cada capítulo tem em conta os graus 
de dificuldade das matérias, sendo estas apresentadas e sequenciadas de 
modo a facilitar a aprendizagem. 
 
 Capítulos: 
 
 1. PONTO E SEGMENTO DE RETA 
 2. RETA 
 3. PLANO 
 4. MÉTODOS AUXILIARES 
 5. INTERSEÇÕES 
 6. FIGURAS PLANAS 
 7. SÓLIDOS I 
 8. SÓLIDOS II 
 9. PARALELISMOS 
 10. PERPENDICULARIDADES 
 11. DISTÂNCIAS 
 12. ÂNGULOS 
 13. SOMBRAS I 
 14. SOMBRAS II 
 
No final de cada capítulo são propostos exercícios a ele relativos. 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 1 
 
 
O que é a Geometria Descritiva? 
 
 
A Geometria Descritiva é um sistema de projeções que utiliza figuras geométricas, tendo por objeti-
vo treinar o raciocínio lógico e a visualização mental. Na prática, o que se pretende com esta disci-
plina é passar as figuras geométricas do espaço para representação bidimensionais. 
 
Nesta disciplina não se efetuam operações aritméticas para se resolver os exercícios; estes resol-
vem-se através de traçados com base na lógica geométrica. As medidas utilizadas servem apenas 
para colocar os dados dum enunciado; a partir desse momento tudo se resolve com operações de 
traçado. 
 
Não é necessário nem há conveniência em recorrer, de forma sistemática, a modelos tridimensio-
nais nem a programas informáticos que ponham em evidência a tridimensionalidade das figuras e do 
espaço. As vantagens que daí advêm, em termos pedagógicos, são mínimas e pontuais. O mais 
importante é levar o aluno a desenvolver a capacidade de visão espacial na ausência desses mode-
los e ante a presença dos traçados bidimensionais. 
 
Esta disciplina necessita de um estudo regular e continuado, que não consiste apenas em ler os tex-
tos e ver as imagens, mas também na realização frequente de exercícios, pois só através deles se 
esclarecem devidamente muitas dúvidas e se consolidam os conhecimentos. Não se deve esquecer 
que, além das situações gerais, existem, em todas as matérias, situações particulares, devendo 
ambas merecer a devida atenção. 
 
O treino que a Geometria Descritiva proporciona é uma ferramenta importante para o estudo doutros 
métodos de representação, como as Axonometrias, a Perspetiva Cónica ou o a Múltipla Projeção 
Ortogonal (sistema de alçados, cortes, etc.). 
 
 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 2 
 
 
Convenções e traçados 
 
 
Na Geometria Descritiva as figuras geométricas são descritas com nomes, da seguinte maneira: 
 
Pontos 
Letras maiúsculas do alfabeto latino, acrescentando 1, 2 ou 3, conforme se trate da projeção hori-
zontal, frontal ou lateral de um ponto, respetivamente. Por exemplo A1, A2 e A3. 
 
Retas 
Letras minúsculas do alfabeto latino, acrescentando 1, 2 e 3, nas projeções horizontal, frontal e late-
ral de uma reta, respetivamente. Por exemplo, r1, r2 e r3, são as projecções da recta r. 
 
Segmentos de reta 
Indicam-se com os nomes dos seus extremos entre parêntesis retos. Por exemplo, o segmento de 
reta [AB] terá como projeções horizontal e frontal os segmentos [A1B1] e [A2B2], indicando-se no tra-
çado das projecções apenas os extremos A1, B1, A2 e B2. 
 
Polígonos 
Indicam-se com os nomes dos vértices entre parêntesis reto: triângulo [PQR], pentágono [ABCDE], 
por exemplo. Nas projeções indicam-se apenas os nomes dos vértices: P1, P2, Q1, Q2, etc. 
 
Circunferências 
Indicam-se com uma letra minúscula entre parêntesis reto. Por exemplo, a base [b], a circunferência 
[c] e a directriz [d] terão como projecções horizontais e frontais [c1] e [c2], [b1] e [b2], [d1] e [d2]. Estas 
indicações encontram-se em desuso no traçado. 
 
Planos 
Letras minúsculas do alfabeto grego, precedendo os nomes dos seus traços por h e f. Por exemplo, 
hα e fα são, respectivamente, os traços horizontal e frontal do plano α. 
 
Ângulos 
Letras minúsculas do alfabeto grego. As indicações αº e βº designam-se por ângulo α, ângulo β. 
Num enunciado, ae e ad indicam que os ângulos têm abertura para a esquerda ou para a direita. 
 
Sólidos 
Letras maiúsculas do alfabeto grego. Estas designações aplicam-se apenas nos enunciados. 
 
Letras gregas (mais utilizadas) 
Minúsculas: α, β, δ, π, θ, ω, ν, φ, ρ, σ, ψ... (alfa, beta, delta, pi, teta, ómega, niu, fi, ró, sigma, psi…) 
Maiúsculas: Δ, Ω, Σ, Θ, Π... (delta, ómega, sigma, teta, pi, ...) 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 3 
 
 
São utilizados alguns tipos de linhas e símbolos, devendo ser tidos em conta cuidados com os traça-
dos e com os materiais, da maneira como se indica: 
 
Linhas 
Estes tipos de linhas são válidos para retas e para curvas. Nos traçados, efetuados a lápis ou lapi-
seira, cada aluno define as suas espessuras, de modo a que se distingam bem umas das outras. 
 Linhas finas: para linhas de chamada e traçados auxiliares; 
 Linhas médias: para representar os elementos dados num enunciado; 
 Linhas grossas: para representar a solução dum exercício; 
 Linhas a traço interrompido, utilizadas em invisibilidades (sobretudo nos capítulos 
 relativos e Sombras e a Sólidos), a traço médio ou grosso; 
 
Símbolos 
Alguns destes símbolos são utilizados apenas nos traçados, outros em legendas, outros em ambos. 
 ≡ Coincidente: indica que duas figuras são coincidentes, ocupando o mesmo lugar no espaço; 
 // Paralelo: indica que duas figuras são paralelas entre si; 
 Perpendicular: indica que duas figuras são perpendiculares entre si; 
 / Oblíquo: indica que duas figuras são oblíquas entre si; 
 Є Pertence: indica que uma figura pertence a outra, ou seja, está contida nela; 
 Perpendicular: coloca-se no cruzamento de duas retas para salientar que são perpendiculares; 
 = Igual: indica que, dentro dum mesmo traçado, duas medidas (distâncias ou ângulos) são iguais; 
 quando é necessário indicar mais medidas iguais podem utilizar-se os sinais – e ≡, entre outros. 
 
Traçados 
Devem ser tidos em conta alguns cuidados na sua execução: 
- Colocar as letras próximas dos elementos geométricos que estas designam; 
- Colocar as letras na posição de leitura da folha, não devendo ficar inclinadas; 
- Utilizar letras de tamanho médio e claramente legíveis; 
- Não colocar letras sobre os traçados, se tal não for possível colocá-las sobre linhas finas; 
- Quando se apagar traçados fazê-lo com eficácia; 
- Apresentar as folhas limpas e os traçados rigorosos. 
 
Materiais 
Para realizar traçados sobre papel, sugerem-se os seguintes materiais, limpos e em bom estado: 
- Aristo: esquadro com transferidor e linhas de referência integradas, que permitem marcar ângulo e 
traçar paralelas e perpendiculares; 
- Compasso: não deve ter folgas e as suas pontas devem estar ao mesmo nível, com a mina afiada; 
- Lápis ou lapiseira: de dureza média e bem afiado (desnecessário se se tratar de minas finas); 
- Borracha: de preferência branca e macia; 
- Papel: de baixa textura, de formato A4 e com cerca de 80g para exercícios comuns, de formato A3 
e com cerca de 120g para testese exercícios de maiores dimensões. 
 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Apresentação - 4 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 1 
1 
PONTO E SEGMENTO DE RETA 
 
 
Neste capítulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geométrico 
mais simples. Resultado da união de dois pontos, aborda-se também o 
Segmento de Reta. Com esses elementos são explicados alguns aspetos 
cruciais que ajudarão a compreender as Retas e os Planos, assim como 
outras figuras geométricas tratadas nos diferentes capítulos. 
 
 Sumário: 
 2. Os planos de projeção 
 3. Os planos bissetores 
 4. As projeções do ponto 
 5. As duas coordenadas do ponto 
 6. O alfabeto do ponto 
 7. Pontos simétricos 
 8. A projeção lateral do ponto 
 9. As três coordenadas do ponto 
 10. Os segmentos de reta no espaço 
 11. As projeções dos segmentos de reta 
 12. A projeção lateral dos segmentos de reta 
 13. Exercícios 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 2 
Os planos de projeção 
 
A Geometria Descritiva é um sistema diédrico, ou seja, um sistema que utiliza dois planos de proje-
ção. Um deles é vertical e designa-se por Plano Frontal de Projeção (PFP), ou φo (fi zero); o outro é 
horizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projeção (PHP), ou νo (niu zero). Esses planos cru-
zam-se numa reta que se designa por eixo x. 
 
O eixo x divide os planos de projeção em semiplanos: no Plano Frontal de Projeção existe o Semi-
plano Frontal Superior (SFS) e o Semiplano Frontal Inferior (SFI); no Plano Horizontal de Projeção 
existe o Semiplano Horizontal Anterior (SHA) e o Semiplano Horizontal Posterior (SHP). 
 
Os planos de projeção dividem o espaço em quatro porções, designadas por diedros: I.º, II.º, III.º e 
IV.º. 
PHP νo 
PFP 
φo 
x 
Os planos de projeção em perspetiva 
Esta perspetiva mostra os planos de projeção, os 
semiplanos, o eixo x e os diedros. É este o sistema 
básico utilizado em Geometria Descritiva. Normal-
mente representa-se nesta posição, supondo o 
observador situado no I.º diedro, à esquerda. 
II.º Diedro I.º Diedro 
III.º Diedro IV.º Diedro 
II.º Diedro 
I.º Diedro 
III.º Diedro 
IV.º Diedro 
φo 
νo SHP 
SHA 
SFI 
SFS 
SHA SHP 
SFI 
SFS 
Os planos de projeção vistos de lado 
Representados de lado, os planos de projeção 
ficam reduzidos a duas retas e o eixo x reduzido a 
um ponto. Normalmente representa-se nesta posi-
ção, com o I.º diedro em cima, à direita, supondo 
que o observador se encontra do lado esquerdo. 
x 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 3 
Os planos bissetores 
 
Além dos planos de projeção, existem também os planos bissetores. Os planos bissetores dividem 
os diedros em espaços iguais, chamados octantes. Ou seja, devido à presença dos planos bisseto-
res, cada diedro fica dividido em dois octantes. O β1/3 é o plano que divide a meio os diedros I e III; o 
β2/4 divide os diedros II e IV. Estes planos não são utilizados como planos de projeção. 
νo 
φo 
x 
Os diedros e os octantes 
vistos de lado 
Nesta imagem mostra-se como se distri-
buem os diedros e os octantes ao longo do 
espaço. Cada diedro contém dois octantes. 
A contagem, de uns e de outros, faz-se do 
Semiplano Horizontal Anterior para cima. 
β2/4 β1/3 
β1/3 β2/4 
φo 
νo 
1º Oct. 
2º Oct. 3º Oct. 
4º Oct. 
5º Oct. 
6º Oct. 7º Oct. 
8º Oct. 
I.º Diedro II.º Diedro 
III.º Diedro IV.º Diedro 
Os planos bissetores e os 
planos de projeção em perspetiva 
Os planos bissetores dividem os diedros em 
espaços iguais, chamados octantes. Como se 
pode verificar, planos de projeção e planos 
bissetores cruzam-se no eixo x. 
Chama-se β1/3 ao bissetor dos diedros ímpares 
e β2/4 ao bissetor dos diedros pares. 
 
 
As projeções do ponto 
 
Na Geometria Descritiva trabalha-se habitualmente com projeções ortogonais, o que significa que as 
figuras geométricas são projetadas do espaço para os planos de projeção através de retas que lhes 
são perpendiculares. 
νo 
φo 
x 
As projeções dos pontos na representação final 
Depois de projetados os pontos e de efetuado o rebatimento, as representações finais dos pontos ficam como 
mostra esta imagem. Note-se que os pontos A, B, C e D se situam nos diedros I, II, III e IV, respetivamente. 
φo ≡ νo 
x 
x 
Projeções de pontos em perspetiva 
Os pontos são projetados do espaço para os pla-
nos de projeção através de retas que são perpendi-
culares aos planos, designadas por projetantes. 
Aqui, essas retas estão representadas apenas no 
ponto A, para não sobrecarregar o traçado. 
As projeções após o rebatimento 
Rodando em torno do eixo x, os planos de projeção 
ficam coincidentes. Nesse movimento, designado 
por rebatimento, os diedros I e III abrem, os diedros 
II e IV fecham. Aqui rebateu o PHP sobre o PFP, 
mas se for ao contrário o mesmo, aquele que se 
mostra na imagem seguinte. 
A 
A2 
A1 
B 
B2 
B1 
C 
C2 
C1 
D 
D1 
D2 
A2 
A1 
B2 
B1 
C1 
C2 
D2 
D1 
A2 
A1 
C1 
C2 
B2 
B1 
D2 
D1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 4 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 5 
As duas coordenadas do ponto 
 
Para representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-se três coordenadas: abcissa, 
afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o afastamento e a cota. A abcissa é explica-
da mais adiante, em “As três coordenadas de um ponto”. 
Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as três coordenadas, 
bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas, como sucede aqui. 
As medidas das coordenadas são dadas em centímetros. 
Projeções dos pontos dados 
Os pontos dados pelas suas coordenadas estão representados nos planos de projeção vistos de lado, na pri-
meira imagem; nesta estão representados pelas suas projeções. Como se pode verificar, cotas positivas e afas-
tamentos negativos originam projeções para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originam 
projeções para baixo do eixo x. 
S 
R 
T 
U 
V 
X 
Y 
Z 
φo 
νo 
afastamentos negativos afastamentos positivos 
cotas positivas 
cotas negativas 
Coordenadas dos 
pontos representados: 
 
R(1,5;2) 
S(0;1) 
T(-1,5;1,5) 
U(-3;0) 
V(-2;-1) 
X(0;-2) 
Y(1;-1,5) 
Z(2,5;0) 
 
O primeiro valor corresponde 
ao afastamento, o segundo à 
cota, separados por ponto e 
vírgula. 
x 
R2 
R1 
S2 
S1 
T2≡T1 
U1 
U2 
V1 
V2 
X2 
X1 
Y2 
Y1 
Z1 
Z2 
cotas + 
afast. - 
afast. + 
cotas - 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 6 
O alfabeto do ponto 
 
O alfabeto do ponto é o conjunto de todas as posições genéricas que os pontos podem ter em rela-
ção aos planos de projeção. 
A2 
A1 
B2 
B1 
C2 
C1 
D2 
D1 
E2 
E1 
F2≡F1 
G1 
G2 
H1 
H2 
I1 
I2 
K1 
K2 
J1 
J2 
L1 
L2 
M1 
M2 
N2≡N1 
O2 
O1 
P2 
P1 
Q2≡Q1 x 
Posições genéricas dos pontos representadas nas projeções 
Os pontos A, B e C têm a projeção frontal para cima do eixo x e a horizontal para baixo, esses pontos situam-se 
no I.º diedro; os pontos E, F e G têm ambas as projeções para cima do eixo x, situam-se no II.º diedro; os pon-
tos I, J e K têm a projeção frontal para baixo do eixo x e a horizontal para cima, situam-se no III.º diedro; os 
pontos M, Ne O têm ambas as projeções para baixo do eixo x, situam-se no IV.º diedro. Os pontos D, H, L e P 
têm uma projeção no eixo x, situam-se nos planos de projeção; os pontos B, F, J e N têm projeções com medi-
das iguais (em valores absolutos), situam-se nos planos bissetores; o ponto Q situa-se no eixo x. 
Posições genéricas 
dos pontos vistas de lado 
Os pontos representados na ima-
gem ao lado são os mesmos que se 
apresentam em projeções na ima-
gem de cima. Aqui pode-se obser-
var com mais clareza os diedros, 
octantes e planos onde se situam. 
As coordenadas destes pontos são: 
 
 A(3;1) B(2;2) C(1;3) 
 D(0;4) E(-1;3) F(-2;2) 
 G(-3;1) H(-4,0) I(-3;-1) 
 J(-2;-2) K(-1;-3) L(0;-4) 
 M(1;-3) N(2;-2) O(3;-1) 
 P(4;0) Q(0;0) 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
J 
K 
L 
M 
N 
O 
P Q 
β2/4 β1/3 
φo 
νo 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 7 
Pontos simétricos 
 
A determinação de pontos simétricos é importante para exercitar a marcação de pontos e para 
melhor trabalhar com as coordenadas e conhecer o sistema de planos utilizado nesta disciplina. 
Toma-se um ponto como referência e determinam-se os seus simétricos em relação aos planos de 
projeção, aos planos bissetores e ao eixo x. 
Determinação de pontos simétricos 
Os pontos de referência utilizados nesta 
imagem são os seguintes: 
 
 A(1;3) P(-4;2) 
Os simétricos de A são: 
B(1;-3) - simétrico em relação ao PHP 
C(-1;3) - simétrico em relação ao PFP 
D(3;1) - simétrico em relação ao β1/3 
E(-3;-1) - simétrico em relação ao β2/4 
F(-1;-3) - simétrico em relação ao eixo x 
Os simétricos de P são: 
Q(-4;-2) - simétrico em relação ao PHP 
R(4;2) - simétrico em relação ao PFP 
S(-2;4) - simétrico em relação ao β2/4 
T(2;-4) - simétrico em relação ao β1/3 
U(4;-2) - simétrico em relação ao eixo x 
As coordenadas dos pontos simétricos 
mantêm os valores absolutos dos do pon-
to de referência. 
D 
A 
U 
C 
T 
P 
S 
E 
Q 
F 
R 
B 
β2/4 
β1/3 
φo 
νo 
A2 
B2 
C2 
D2 
E2 
F2 
A1 B1 
C1 
D1 
E1 
F1 
Projeções dos pontos representados na imagem anterior 
Aqui estão representados os pontos de referência, A e P, e os seus simétricos em relação aos planos de proje-
ção, aos planos bissetores e ao eixo x, de acordo com a vista de lado, que se observa na imagem anterior. 
P1 
P2 
Q1 
Q2 
R1 
R2 S1 
S2 
T1 
T2 U1 
U2 
x 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 8 
PHP νo 
PFP φo 
x 
P2 
P1 
P 
PLP πo 
z 
y 
P3 
A projeção lateral do ponto 
 
Além das projeções frontal e horizontal, por vezes há necessidade de recorrer a uma terceira proje-
ção que se designa por projeção lateral, muito útil nalguns capítulos. 
A projeção lateral obtém-se no plano lateral de projeção (PLP), ou πo (pi zero), que corresponde ao 
plano da abcissa nula, perpendicular aos outros dois planos de projeção. Esse plano, ao cruzar-se 
com os outros, dá origem aos eixos y e z. O eixo y resulta do cruzamento com o PHP, o eixo z do 
cruzamento com o PFP. 
As três projeções de um ponto 
em perspetiva 
O ponto P é projetado no PHP em P1, no 
PFP em P2 e no PLP em P3. Depois de 
feitas as projeções, os planos rebatem 
conforme mostram as setas. O primeiro 
rebatimento a considerar é o do PHP, só 
depois de faz o rebatimento do PLP. Do 
primeiro rebatimento resulta a coincidên-
cia dos eixos y e z. 
x 
y≡z 
P2 
P1 
P3 
A projeção lateral de um ponto 
A projeção lateral obtém-se com linhas 
de chamada paralelas ao eixo x e com 
uma rotação feita com o compasso colo-
cado no ponto de cruzamento dos eixos. 
A rotação do compasso faz-se sempre 
no sentido inverso ao dos ponteiros do 
relógio. O ponto P corresponde ao que 
está representado em perspetiva; o pon-
to R encontra-se no segundo diedro e o 
S no quarto, não estando representados 
na imagem anterior. 
R1 
R2 
R3 
S1 
S2 S3 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 9 
As três coordenadas do ponto 
 
Muitas das vezes é necessário utilizar também, além do afastamento e da cota, a abcissa. O plano 
de referência para a abcissa é o plano lateral de projeção, ou πo. À esquerda desse plano as abcis-
sas têm valores positivos, à direita têm valores negativos. Nas projeções é a reta y≡z que serve de 
referência para a marcação das abcissas. 
Quando são dadas as três coordenadas de um ponto isso não significa que se tem de representar 
as três projeções. O valor da abcissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x, à esquerda ou à 
direita de y≡z, ou de um ponto de referência marcado no eixo x. 
x 
y≡z 
Coordenadas dos pontos representados: 
 A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2) 
 F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1) 
O primeiro valor corresponde à abcissa, o segundo ao afastamento, 
o terceiro à cota. 
cotas + 
afast. - 
afast. + 
cotas - 
abcissas - abcissas + 
A1 
A2 B1 
B2 
C1 
C2 
D1 
D2 
G2 
G1 
E2 
E1 
H1 
H2 
I1≡I2 
J1 
J2 
F1 
F2 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 10 
νo 
φo 
x 
P2 
P1 
P 
πo 
z 
y 
P3 
Os segmentos de reta no espaço 
 
A união de dois pontos dá origem a um segmento de reta. Aqui mostram-se as duas e as três proje-
ções de um segmento de reta no espaço, em perspetiva. Nas páginas seguintes mostram-se seg-
mentos de reta em várias posições, quer em duas quer em três projeções. 
As três projeções 
do segmento de reta 
 
Para obter a projeção lateral de um seg-
mento de reta basta unir as projeções 
laterais dos seus extremos. Consoante a 
posição do segmento de reta, assim 
será o aspeto da sua projeção lateral. 
Exemplifica-se aqui com um segmento 
de reta de perfil. 
νo 
φo 
x 
A 
A2 
A1 
B 
B2 
B1 
As duas projeções 
do segmento de reta 
 
Para obter as projeções do segmento de 
reta basta unir as projeções dos seus 
extremos. Obviamente, o segmento 
pode ter diferentes posições em relação 
aos planos de projeção, o que leva a 
que as suas projeções apresentem 
aspetos diferentes. 
Aqui exemplifica-se com um segmento 
de reta oblíquo. 
P3 
Q3 
Q 
Q2 
Q1 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 11 
As projeções dos segmentos de reta 
 
Os segmentos de reta podem ter sete posições genéricas. Essas posições equivalem às da reta, a 
estudar no capítulo Alfabeto da Reta. 
Segmentos de reta paralelos aos planos de projeção 
O segmento de reta [AB] é paralelo a ambos os planos de projeção; essa posição designa-se por fronto-
horizontal. O segmento [CD] é paralelo ao PHP e oblíquo ao PFP; designa-se por horizontal. O segmento [EF] é 
paralelo ao PFP e oblíquo ao PHP; a sua posição é frontal. 
x 
C2 D2 
C1 
D1 
E2 
F2 
E1 F1 
A2 B2 
A1 B1 
x 
I2≡J2 
I1 
J1 
G2 
H2 
G2≡H2 
Segmentos de reta perpendiculares 
 aos planos de projeção 
 
Estes segmentos de reta também são parale-
los a um plano de projeção, mas aquilo que 
aqui se salienta é a sua relação de perpendi-
cularidade com os planos de projeção. O pri-
meiro segmento é perpendicular ao PHP e 
designa-se por vertical; o segundo é perpendi-
cular ao PFP, sendo de topo. 
De notar a coincidência que acontece numa 
das projeções dos extremos dos segmentos. 
K2 
K1 
L1 
x 
L2 
Segmentos dereta oblíquos 
 aos planos de projeção 
 
Estes segmentos de reta são ambos oblí-
quos aos planos de projeção. O [KL] é 
também oblíquo ao eixo x; designa-se por 
oblíquo. O [MN] é também perpendicular 
ao eixo x; a sua posição é de perfil. 
N2 
M2 
N1 
M1 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 12 
A projeção lateral dos segmentos de reta 
 
Aqui mostram-se as projeções laterais de alguns segmentos de reta, além das projeções principais. 
Para as obter basta unir as projeções laterais dos extremos desses segmentos. 
Segmentos de reta oblíquos ao plano lateral de projeção 
Aqui mostra-se como se obtém a projeção lateral de um segmento de reta oblíquo e de outro horizontal. O pro-
cesso é o mesmo para qualquer segmento de reta. 
x 
C2 D2 
C1 
D1 
x 
G2 
H2 
G1≡H1 
K2 
K1 
L1 
L2 
N2 
M2 
M1 
N1 
Segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeção 
Normalmente é com segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeção que há interesse em saber da 
sua projeção lateral, sobretudo em exercícios do capítulo Distâncias. Aqui mostra-se um segmento de reta verti-
cal e outro de perfil. 
x 
x 
y≡z y≡z 
y≡z y≡z 
G3 
H3 
M3 
N3 
L3 
K3 
D3 
C3 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de reta - 13 
Ponto e segmento de reta – Exercícios 
Pontos em dupla projeção 
 
1. Representar, em dupla projeção, os pontos: 
 
 A(3;1) F(-3;3) J(2;-2) 
 B(2;4) G(4;-1) K(-1;2) 
 C(0;3) H(0;-3) L(-4;0) 
 D(2;0) I(-2;-3) M(0;0) 
 E, do β1/3, com -1cm de abcissa 
 
2. Representar, em dupla projeção, os pontos: 
 
 N(3;1;2) S(-5;2;0) W(-3;0;0) 
 O(1;3;1) T(2;2;-2) X(3;3;4) 
 P(5;-2;4) U(-6;4;-1) Y(-4;1;2) 
 Q(-2;0;3) V(6;0;-3) Z(0;-2;3) 
 R, do β2/4, com -4cm de abcissa e -5 de cota 
 
Pontos em tripla projeção 
 
3. Representar, em tripla projeção, os pontos: 
 
 A(3;2;4) C(2;-4;3) E(1;1;0) 
 B(5;3;-1) D(6;0;5) F(4;0;0) 
 
4. Representar, em tripla projeção, os pontos: 
 
 G(4;2;-2) I(-3;1;-3) K(0;5;0) 
 H(2;-3;3) J(-5;-1;4) 
 
Pontos simétricos 
 
5. Determinar os pontos simétricos dos seguintes 
pontos, em relação aos planos de projeção: 
 
 A(4;2) B(3;-1) C(-2;2) 
 
6. Determinar os pontos simétricos dos seguintes 
pontos, em relação aos planos bissetores: 
 
 D(3;1) E(-3;4) F(-2;-2) 
 
7. Determinar os pontos simétricos dos seguintes 
pontos, em relação aos planos de projeção, aos 
planos bissetores e ao eixo x: 
 
 F(2;-4) H(-1;-3) 
 
Segmentos de reta em dupla projeção 
 
8. Representar, em dupla projeção, os segmentos 
de reta [AB] e [CD] cujos extremos são: 
 
 A(8;2;2) C(2;1;2) 
 B(4;4;0) D(-3;4;-2) 
 
9. Representar, em dupla projeção, os segmentos 
de reta [EF] e [GH] cujos extremos são: 
 
 E(6;0;0) G(0;1-1) 
 F(2;-2;5) H(-4;0;3) 
10. Representar, em dupla projeção, os seguintes 
segmentos de reta: 
 
 [IJ], vertical, com 3cm de tamanho, 
 sendo I(4;3;2) o ponto de menor cota. 
 
 [KL], de topo, com 4cm de tamanho, 
 tendo L(-3;0;3) menor afastamento. 
 
11. Representar, em dupla projeção, os seguintes 
segmentos de reta: 
 
 [MN], fronto-horizontal com 3cm de tamanho, 
 sendo N(2;1;2) o ponto mais à direita. 
 
 [OP], de perfil cujos extremos são O(-3;1;4) 
 e P(5;1). 
 
12. Representar, em dupla projeção, os seguintes 
segmentos de reta: 
 
 [QR], horizontal com 4cm de tamanho, 
 fazendo 30ºae, estando R(2;0;2) à 
 direita de Q. 
 
 [ST], frontal, estando S(-1;-3;2) à esquerda 
 de T, que tem -5cm de abcissa e 1cm de 
 afastamento. 
 
13. Representar, em dupla projeção, os seguintes 
segmentos de reta: 
 
 [UV], conhecendo V(2;4;2), e sabendo que U 
 tem 1cm de afastamento e 6cm de cota 
 e se situa no PHP. 
 
 [WX], conhecendo W(-2;-1;4) e X(4;2) e 
 sabendo que a projeção frontal do 
 segmento faz 30ºad. 
 
Segmentos de reta em tripla projeção 
 
14. Representar, em tripla projeção, o segmento de 
reta de perfil com 3cm de afastamento, cujos extre-
mos são A(2;5) e B(4;1). 
 
15. Representar, em tripla projeção, o segmento de 
reta cujos extremos são C(3;4;1) e D(0;2;5). 
 
16. Representar, em tripla projeção, o segmento de 
reta de perfil cujos extremos são E(4;3;5) e F(-2;1). 
 
17. Representar, em tripla projeção, o segmento de 
reta cujos extremos são G(3;3;5) e H(-2;3;2). 
 
18. Representar, em tripla projeção, o segmento de 
reta cujos extremos são I(-4;2;1) e J(-4;5;4) 
 
19. Representar, em tripla projeção, o segmento de 
reta cujos extremos são K(-3;3;1) e L(-3;3;5). 
 
 
2 
RETA 
 
 
O alfabeto da reta é o conjunto das posições genéricas que uma reta pode 
ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se essas 
posições, assim como posições particulares que algumas retas podem ter. 
Mostra-se também como se determinam as projeções laterais de algumas 
retas, como se marcam pontos nas retas e como se determina o percurso de 
uma reta. 
 
 Sumário: 
 2. Reta horizontal 
 3. Reta frontal 
 4. Reta fronto-horizontal 
 5. Reta de topo 
 6. Reta vertical 
 7. Reta oblíqua 
 8. Reta de perfil 
 9. Posições particulares da reta fronto-horizontal 
 10. Posições particulares da reta oblíqua 
 11. Posições particulares da reta de perfil 
 12 e 13. A projeção lateral da reta de perfil 
 14. A projeção lateral das retas vertical, de topo e fronto-horizontal 
 15. A projeção lateral das retas horizontal, frontal e oblíqua 
 16. Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e vertical 
 17. Marcação de pontos nas retas horizontal e frontal 
 18. Marcação de pontos na retas oblíqua e de perfil 
 19. Percurso das retas horizontal e frontal 
 20. Percurso das retas oblíqua e de perfil 
 21. Percurso das retas de topo e vertical 
 22. Exercícios 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 1 
 
 
Reta horizontal 
 
A reta horizontal, ou de nível, é paralela ao plano horizontal de projeção e oblíqua ao plano frontal 
de projeção. Tem apenas traço frontal. Esta reta pode ter abertura para a esquerda ou para a direita, 
que se considera do lado onde o afastamento é positivo. 
Designam-se por traços os pontos onde as retas cruzam os planos de projeção. 
νo 
φo 
x 
A reta horizontal em projeções 
A recta n tem cota positiva e abertura para a direita, e corresponde àquela que está representada na perspetiva 
acima. A reta a tem cota negativa e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas proje-
ções. 
A projeções frontais duma reta horizontal são paralelas ao eixo x, as horizontais são oblíquas. 
F≡F2 
F1 
n 
n2 
n1 
F1 
F2 n2 
n1 
x 
a2 
a1 
F2 
F1 
A reta horizontal em perspetiva 
A reta horizontal n é projetada no PHP em n1, pro-
jeção essa que é paralela à própria reta e oblíqua 
ao eixo x. A sua projeção no PFP é n2, paralela ao 
eixo x. A reta cruza o PFP no ponto F, que é o seu 
traço frontal. 
// PHP 
/ PFP n 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 2 
 
 
Recta frontal 
 
A reta frontal é oblíqua ao plano horizontal de projeção e paralela ao plano frontal de projeção. Tem 
apenas traço horizontal. Esta reta pode ter abertura para a direita ou para a esquerda, que se consi-
dera do lado onde a cota é positiva. 
νo 
φo 
x 
A reta frontal em projeções 
A reta f tem afastamento positivo e abertura para a direita e corresponde à que está representada em perspeti-
va. A reta b tem afastamento negativo e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas 
projeções. A projeções horizontais duma reta frontal são paralelas ao eixo x, as frontais são oblíquas. 
H≡H1 
H2 
f 
f2f1 
H1 
H2 
f2 
f1 
b2 
b1 
H2 
H1 
A reta frontal em perspetiva 
A reta frontal f é projetada no PHP em f1, projeção 
essa que é paralela ao eixo x. A sua projeção no 
PFP é f2, que é paralela à própria reta f. A reta cru-
za o PHP no ponto H, que é o seu traço horizontal. 
// PFP 
/ PHP 
f 
x 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 3 
 
 
Reta fronto-horizontal 
 
A reta fronto-horizontal é paralela aos dois planos de projeção, pelo que não possui traços. 
νo 
φo 
x 
A reta fronto-horizontal em projeções 
A reta a tem afastamento positivo e cota positiva, situa-se no I.º diedro. A reta b tem afastamento negativo e 
cota positiva, situando-se no II.º diedro. A reta a corresponde à que está representada em perspetiva; a recta 
está apenas representada em projeções. 
Ambas as projeções duma reta fronto-horizontal são paralelas ao eixo x. 
a2 
a1 
x 
b1 
A reta fronto-horizontal em perspetiva 
A reta fronto-horizontal a é projetada no PHP em a1 
e no PFP em a2, ambas as projeções são paralelas 
ao eixo x. Esta reta não cruza os planos de proje-
ção, pelo que não tem traços. 
a 
a2 
a1 
b2 
// PHP 
// PFP a 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 4 
 
 
Reta de topo 
 
A reta de topo é paralela ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano frontal de proje-
ção. Tem apenas traço frontal. Esta reta é projetante frontal, o que quer dizer que todos os pontos 
que possui são projetados frontalmente no seu traço (ver mais adiante “Marcação de pontos nas 
retas fronto-horizontal, de topo e vertical”). 
νo 
φo 
x 
A reta de topo em projeções 
A reta t tem cota positiva, situa-se nos I.º e II.º diedros; a reta d tem cota negativa, pelo que se situa nos III.º e 
IV.º diedros. A reta t corresponde à que está representada em perspetiva; a reta d está apenas representada 
nas projeções. 
A projeção horizontal de uma reta de topo é perpendicular ao eixo x, a frontal fica reduzida a um ponto coinci-
dente com o seu traço. 
(t2)≡F2 
t1 
A reta de topo em perspetiva 
A reta de topo t é projetada no PHP em t1, projeção 
essa paralela à própria reta. A projeção frontal fica 
reduzida a um ponto, indicando-se entre parêntesis 
(t2). Essa projeção coincide com o traço da recta. 
t 
F≡F2≡(t2) 
t1 
F1 
F1 
(d2)≡F2 
d1 
F1 
// PHP 
 PFP t 
x 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 5 
 
 
Reta vertical 
 
A reta vertical é paralela ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje-
ção. Tem apenas traço horizontal. Esta reta é projetante horizontal, o que quer dizer que todos os 
pontos que possui são projetados horizontalmente no seu traço (ver mais adiante “marcação de pon-
tos nas retas de topo e vertical”). 
νo 
φo 
x 
A reta vertical em projeções 
A reta v tem afastamento positivo, situa-se nos I.º e IV.º diedros. A reca a tem afastamento negativa, pelo que 
se situa nos IIº e IIIº diedros. A reta v corresponde à que está representada em perspetiva; a reta a está apenas 
representada nas projeções. 
A projeção frontal de uma reta vertical é perpendicular ao eixo x, a horizontal fica reduzida a um ponto, coinci-
dente com o seu traço. 
(a1)≡H1 
a2 
A reta vertical em perspetiva 
A reta vertical v é projetada no PFP em v2, proje-
ção essa paralela à própria recta. A projeção hori-
zontal fica reduzida a um ponto, indicando-se entre 
parêntesis (v1). Essa projeção coincide com o traço 
da reta. 
v 
H≡H1≡(v1) 
v2 
H2 
H2 
(v1)≡H1 
v2 
H2 
// PFP 
 PHP 
v 
x 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 6 
 
 
Reta oblíqua 
 
A reta oblíqua é oblíqua a ambos os planos de projeção e oblíqua também ao eixo x. Tem dois tra-
ços. As suas projeções horizontal e frontal podem ter abertura para a esquerda ou para a direita, o 
que se considera onde os afastamentos e as cotas são positivas, respetivamente. 
νo 
φo 
x 
A reta oblíqua em projeções 
As projeções da reta r têm aberturas para lados opostos. As projeções da reta s têm aberturas para o mesmo 
lado. A reta r corresponde à que está representada em perspetiva; passa pelos diedros II, I e IV. A reta s está 
apenas representada nas projeções; passa pelos diedros I, IV e III. 
A projeções duma reta oblíqua são oblíquas ao eixo x. 
F1 
H≡H1 
r 
r2 
r1 
H1 
H2 
r2 
r1 
s2 
s1 
H2 
H1 
A reta oblíqua em perspetiva 
A reta oblíqua r é projetada no PHP em r1 e no PFP 
em r2. Essas projeções são oblíquas ao eixo x. A 
reta cruza o PHP no ponto H e o PFP no ponto F, 
que são os seus traços. 
H2 F≡F2 
F2 
F1 
F2 
F1 
 / PHP 
 / PFP 
 / eixo x 
r 
x 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 7 
 
 
Reta de perfil 
 
A reta de perfil é oblíqua aos planos de projeção e perpendicular ao eixo x. Tem dois traços que, 
situados em diferentes semi-planos, farão com que a reta atravesse diferentes diedros. 
νo 
φo 
x 
A reta de perfil em projeções 
No espaço, as projeções da reta de perfil não são coincidentes, como se pode ver na perspetiva, mas depois de 
se dar o rebatimento de um plano de projeção sobre o outro elas ficam coincidentes e perpendiculares ao eixo 
x. A reta p passa pelos diedros II, I e IV e corresponde à que está representada na perspetiva; a recta b é uma 
de outras possibilidades, passando pelos diedros I, II e III. 
F1≡H2 
H≡H1 
p p2 
p1 
H1 
p1≡p2 
A reta de perfil em perspetiva 
A reta de perfil p é projetada no PHP em p1 e no 
PFP em p2. Essas projeções são perpendiculares 
ao eixo x. A reta cruza o PHP no ponto H e o PFP 
no ponto F, que são os seus traços. 
F≡F2 
F2 
F1≡H2 
H1 
b1≡b2 
F2 
F1≡H2 
 / PHP 
 / PFP 
 eixo x 
p 
x 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Recta - 8 
 
 
Posições particulares da reta fronto-horizontal 
 
A reta fronto-horizontal apresenta algumas posições particulares, onde está contida nos planos bis-
setores. 
x 
a2 
a1 
Retas situadas nos planos bissetores e no eixo x 
As retas a e b situam-se no β1/3 porque as suas projeções se apresentam uma para cada lado do eixo x e com 
cota e afastamento iguais. As retas c e d têm projeções coincidentes, pelo que se situam no β2/4. Estas situa-
ções de pertença aos planos bissetores são idênticas às que encontramos nos pontos. A reta e coincide com o 
eixo x. 
a є β1/3 
b є β1/3 
 
x≡e1≡e2 
d2≡d1 
c є β2/4 
d є β2/4 
e ≡ eixo x 
 
b1 
b2 
c2≡c1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Recta - 9 
 
 
Posições particulares da reta oblíqua 
 
Em posições particulares, a reta oblíqua pode ser paralela aos planos bissetores, estar contida neles 
ou ser apenas passante. Retas passantes são as que cruzam o eixo x. 
x 
r2 
Retas paralelas aos planos bissetores 
As projeções da recta r são paralelas entre si, pelo que os seus traços têm medidas iguais, situando-se para 
lados opostos do eixo x. É paralela ao β2/4. As projeções da reta s fazem ângulos iguais com o eixo x, com aber-
turas para o mesmo lado; os seus traços têm medidas iguais e ficam para o mesmo lado do eixo x. É paralela 
ao β1/3. 
x 
a2≡a1 b2 
Retas passantes 
A reta a tem projeções coincidentes, situa-se no β2/4; a reta b tem projeções com ângulos simétricos, situa-se 
no β1/3. Qualquer ponto da reta a tem projeções coincidentes, por isso pertence ao β2/4; qualquer ponto da reta 
b tem projeções simétricas, pelo que pertence β1/3. A reta c é uma reta passante qualquer, uma vez que as 
suas projeções têm ângulos diferentes. 
r // β2/4 
s //β1/3 
a є β2/4 (recta passante) 
b є β1/3 (recta passante) 
c - recta passante qualquer 
r1 
s2 
s1 
H1≡H2≡F1≡F2 
b1 
H1≡H2≡F1≡F2 
c2 
c1 
H1≡H2≡F1≡F2 
= 
= 
= = 
H2 
H1 
H2 
H1 F2 
F1 
F2 
F1 
r1 // r2 
- 
- - 
- 
= 
= 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 10 
 
 
Posições particulares da reta de perfil 
 
As posições particulares da reta de perfil são idênticas às da reta oblíqua. Por serem mais difíceis 
de visualizar a partir das suas projeções, mostram-se representações dessas retas nos planos de 
projeção vistos de lado. 
x H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2 H2≡F1 H2≡F1 
F2≡H1 
F2 
H1 
a1≡a2 
b1≡b2 
c1≡c2 
d1≡d2 
e1≡e2 
P2 
P1 
Q2≡Q1 
R2 
R1 
c є β1/3 
(Pєβ1/3) 
recta passante 
d є β2/4 
(Qєβ2/4) 
recta passante 
e - recta passante 
 qualquer 
(R - ponto qualquer) 
P 
Q 
R 
φo 
νo 
a b 
e 
c d 
β2/4 β1/3 
Posições particulares da 
reta de perfil, representadas 
nas projeções e vistas de lado 
 
Os traços da reta a têm medidas 
iguais, cada um representado para um 
lado do eixo x, o que faz com que 
essa reta seja paralela ao β2/4 e 
simultaneamente perpendicular ao 
β1/3. Os traços da reta b são 
coincidentes, o que faz com que seja 
paralela ao β1/3 e perpendicular ao β2/4. 
A reta c situa-se no β1/3, cruza o eixo x 
e contém o ponto P, que também se 
situa nesse bissetor. A reta d situa-se 
no β2/4, cruza o eixo x e contém o 
ponto Q, que se situa nesse bissetor. 
A reta e cruza o eixo x e contém o 
ponto R que é um ponto qualquer. 
As retas c, d e e são passantes, isto é, 
cruzam o eixo x, por que é aí que se 
situam ambos os seus traços. Para 
ficarem devidamente definidas há que 
acrescentar um outro ponto que as 
situe no espaço. 
// β2/4 
 β1/3 
a 
// β1/3 
 β2/4 
b 
= 
= 
= 
= 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 11 
 
 
νo 
φo 
x 
F≡F2 
H3 
 πo 
z 
y 
F3 
A projeção lateral da reta de perfil 
 
Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades determinam-se recor-
rendo à projeção lateral da reta. A reta de perfil é aquela que mais uso faz da projeção lateral. 
A projeção lateral de uma 
reta de perfil em perspetiva 
Aqui mostram-se as três projeções de 
uma recta de perfil. Tal como acontece 
com o PFP e o PHP, a projeção no PLP 
é feita na perpendicular a este plano. 
Uma vez obtida a projeção lateral, o PLP 
rebate sobre o PFP, ficando a projeção 
lateral da reta como se mostra na ima-
gem seguinte. 
x 
y≡z 
p3 
A projeção lateral da reta de perfil 
A projeção lateral da reta de perfil obtém-
se unindo as projeções laterais dos pontos 
que a definem. Neste caso a reta está defi-
nida pelos seus traços, mas quando está 
definida por outros pontos procede-se do 
mesmo modo. 
A projeção H3 obtém-se rodando a medida 
de H1 no sentido inverso dos ponteiros do 
relógio. 
F2 F3 
H1 
H3 
p1≡p2 
F1≡H2 
H≡H1 
p3 p 
p2 
p1 
H2≡F1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 12 
 
 
Dado que a reta de perfil apresenta algumas variantes, será útil verificar como se determinam as 
suas projeções laterais em algumas situações diferentes. 
x 
y≡z 
Reta de perfil com os traços acima do eixo x 
A projeção H3 surge à esquerda de y≡z em virtude 
de o rebatimento do PHP se efetuar no sentido 
inverso ao dos ponteiros do relógio. 
p2≡p1 
H1 
H3 F1≡H2 
Reta de perfil com os traços abaixo do eixo x 
A projeção lateral do ponto F está sempre em y≡z, 
obtém-se através de uma linha paralela ao eixo x. 
F2 F3 
p3 
x 
y≡z 
p2≡p1 
H1 
H3 F1≡H2 
F2 F3 p3 
Reta de perfil definida por dois pontos 
Se uma reta está definida por dois pontos, que não 
os traços, a sua projeção lateral determina-se unin-
do as projeções laterais desses pontos. 
Determinação dos traços da reta de perfil 
Quando uma reta está definida por dois pontos, 
pode-se determinar os seus traços através da pro-
jeção lateral. Este exercício continua o anterior. 
x 
y≡z 
p2≡p1 
H1 
H3 F1≡H2 
F2 F3 
p3 
A2 A3 
B2 B3 
B1 
A1 
x 
y≡z 
p2≡p1 
p3 
A2 A3 
B2 B3 
B1 
A1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 13 
 
 
x 
y≡z 
A projeção lateral da reta fronto-horizontal 
Para obter a projeção lateral desta reta roda-se para o eixo x a medida correspondente ao seu afastamento. 
Uma vez que a reta é perpendicular ao PLP, a sua projeção lateral fica reduzida a um ponto, coincidente com a 
projeção lateral do traço da reta, o ponto L. 
a2 
x 
y≡z 
v3 
A projeção lateral da reta vertical 
A projeção lateral da reta vertical fica perpendicular 
ao eixo x, contendo a projeção lateral do seu traço. 
v2 
H1≡(v1) 
H3 H2 
x 
y≡z 
t3 
A projeção lateral da reta de topo 
A projeção lateral da reta de topo fica paralela ao 
eixo x e passa pela projeção lateral do seu traço. 
t1 
F2≡(t2) 
F1 
F3 
a1 
(a3)≡L3 
A projeção lateral das retas vertical, de topo e fronto-horizontal 
 
Sobretudo nos capítulos Distâncias e Ângulos é, por vezes, necessário recorrer às projeções laterais 
destas retas. Mostra-se aqui como se determinam. 
L1 
L2 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 14 
 
 
A projeção lateral das retas horizontal, frontal e oblíqua 
 
Embora sem aplicação prática na resolução de qualquer outro tipo de exercício, mostra-se aqui 
como se determinam as projeções laterais destas retas. 
A projeção lateral das retas 
horizontal, frontal e oblíqua 
e respetivos traços 
 
As projeções laterais das retas horizon-
tais, tenham cota positiva ou negativa, 
são coincidentes com as frontais. 
As projeções laterais das retas frontais, 
tenham afastamento positivo ou negativo, 
são perpendiculares ao eixo x. 
Para determinar as projeções laterais das 
retas oblíquas é necessário determinar 
as projeções laterais de dois dos seus 
pontos. Aqui utilizam-se os seus traços, 
mas podem ser utilizados outros pontos. 
Nos casos anteriores estão também indi-
cadas as três projeções dos traços das 
retas. 
H1 
H2 
r2 
r1 
F2 
F1 x 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 15 
x 
y≡z 
n1 
n2≡n3 
x 
y≡z 
n1 
n2≡n3 
F2 
F1 
L2≡F3 
L3 
L1 
L1 
L2≡F3 
F2 
F1 
x 
y≡z 
f2 
L1 
L2 
H1 
H2 
L3 
L3 
H3 
f3 
f1 
x 
y≡z 
f2 
L1 
L2 
H1 
H2 
L3 
H3 
f3 
f1 
y≡z 
H3 
F3 
r3 
L2 
L1 
L3 
 
 
Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e vertical 
 
Para que um ponto pertença a uma reta é necessário que as suas projeções se situem nas proje-
ções homónimas dessa reta. Como veremos, basta dar uma das coordenadas de um ponto para 
que este pertença às recas fronto-horizontal, de topo e vertical. 
x 
a2 
a1 
Marcação de pontos na reta fronto-horizontal 
Todos os pontos que se marquem numa reta fronto-horizontal terão sempre o mesmo afastamento e a mesma 
cota (que são os da reta). Por isso, basta dar a medida da abcissa de cada um dos pontos. 
Aqui são dados os seguintes pontos: 
A, com 3cm de abcissa; B, com -2cm de abcissa; C, com 0cm de abcissa. 
y≡z 
A2 
A1 
B2 
B1 
C2 
C1 
Marcação de pontos nas retas de topo e vertical 
Uma reta de topo mantém os mesmos valores de abcissa e de cota. Para marcar pontos nessa reta basta dar o 
valor do afastamento. Uma reta vertical mantém os valores de abcissa e de afastamento. Para marcar pontos 
nessa reta basta daro valor da cota. 
 
J, com 2cm de afastamento; K, com -1cm de afastamento. L, com 2cm de cota; M, com -3cm de cota. 
x 
K1 
J1 
t1 
(t2)≡F2≡J2≡K2 
(v1)≡H1≡L1≡M1 
v2 
M2 
L2 
H2 
F1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 16 
 
 
Marcação de pontos nas retas horizontal e frontal 
 
Também para traçar pontos situados nestas retas basta dar uma de duas coordenadas, já que a 
outra mantém o mesmo valor. 
x 
n2 
n1 
Marcação de pontos na reta horizontal 
Todos os pontos que se marquem numa reta horizontal terão sempre a mesma cota (que é a da própria reta). 
Para marcar pontos nessa reta basta dar a medida da abcissa ou do afastamento. 
São dados os seguintes pontos, a título de exemplo: 
A, com 1,5cm de abcissa; B, com -1cm de afastamento; C, com 2,5cm de afastamento. 
y≡z 
A2 
A1 
B2 
B1 
C2 
C1 
Marcação de pontos na reta frontal 
Os pontos de uma reta frontal terão sempre o mesmo afastamento (que é o da própria reta). Para se marcar 
pontos nessa reta basta dar o seu valor de cota ou de abcissa. 
A título de exemplo são dados os seguintes pontos: 
J, com 3cm de cota; K, com 1cm de abcissa; L, com -2,5cm de cota. 
x 
K1 
L1 
f1 
f2 
L2 
F2 
F1 
y≡z 
J2 
J1 
K2 
H2 
H1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 17 
 
 
Marcação de pontos nas retas oblíqua e de perfil 
 
Para marcar pontos na reta oblíqua basta dar uma das suas coordenadas, qualquer que ela seja. 
Para marcar pontos na reta de perfil dá-se o valor do afastamento ou da cota, já que o da abcissa é 
sempre o mesmo. Aqui recorre-se à projeção lateral para marcar pontos na reta de perfil. 
x 
r2 
r1 
Marcação de pontos na reta oblíqua 
A reta oblíqua não mantém constante nenhuma coordenada, mas para se traçarem pontos nela basta que seja 
dada uma das suas coordenadas, seja ela qual for. São dados os seguintes pontos, a título de exemplo: 
 
A, com -1,5cm de afastamento; B, com 1cm de cota; C, com -2,5cm de abcissa 
y≡z 
A2 
A1 B2 
B1 
C2 
C1 
Marcação de pontos na reta de perfil 
Uma reta de perfil mantém o mesmo valor de abcissa. Para se marcar pontos nessa reta recorre-se à projeção 
lateral, bastando saber o valor da cota ou do afastamento desses pontos. A título de exemplo são dados os 
seguintes pontos: 
 
M, com 1cm de afastamento; N, com -1,5cm de cota. 
x 
M1 
p2≡p1 
N2 
F2 
F1 
y≡z 
H3 
H2 
H2 
H2≡F1 
F3 
H1 
F2 
M2 M3 
N3 
N1 
p3 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 18 
 
 
Percurso das retas horizontal e frontal 
 
Aqui determinam-se pontos notáveis e indicam-se os diedros e os octantes por onde cada uma des-
tas retas passa. É nisso que consiste a determinação do percurso de uma reta. 
Pontos notáveis de uma reta são os seus traços nos planos de projecção e nos planos bissectores. 
x 
n2 
n1 
Percurso da reta horizontal 
Aqui mostra-se o percurso de uma reta horizontal com cota positiva e abertura para a direita. A reta cruza o β2/4 
no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q traçou-se, a partir do eixo x, uma linha simétrica à projeção 
n1; deste modo, esse ponto terá cota e afastamento iguais. 
Aplica-se este processo quando o ângulo da projeção da reta é um valor inteiro e conhecido. 
I2≡I1 Q2 
Q1 
Percurso da reta frontal 
Esta reta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. Cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Aqui 
o ponto Q obteve-se traçando uma paralela ao eixo x com medida igual à do afastamento da reta. 
É possível aplicar este processo apenas nas retas frontal e horizontal. 
x 
Q1 
f1 
f2 
F2 
F1 
Q2 
I1≡I2 
H2 
H1 
II.º diedro I.º diedro 
2.º octante 3.º octante 4.º octante 1.º octante 
I.º diedro IV.º diedro 
2.º octante 1.º octante 8.º octante 7.º octante 
= 
= 
= 
= 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 19 
 
 
Percurso das retas oblíqua e de perfil 
 
Aqui determinam-se os pontos notáveis destas retas e indicam-se os seus percursos. 
x 
r2 
r1 
Percurso da reta oblíqua 
Aqui está indicado o percurso de uma reta oblíqua com o traço frontal com cota positiva e o horizontal com 
afastamento positivo. A reta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q pode marcar-se 
um ponto qualquer numa das projeções (não é necessário dar-lhe nome) e transpor, com o compasso, essa 
medida para o lado oposto do eixo x. Com uma linha simétrica à da projeção utilizada determina-se o ponto. 
I2≡I1 
Q2 
Q1 
Percurso da reta de perfil 
Como as projeções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da reta de perfil indica-se na projeção late-
ral. Para determinar os pontos I e Q utilizam-se os traços laterais dos planos bissetores, que fazem 45º com os 
eixos. Esta reta estava, à partida, definida pelos seus traços, mas se estiver definida por outros pontos procede-
se de forma idêntica. 
x 
Q1 
p2≡p1 
F2 
F1 
Q2 
I1≡I2 
II.º diedro I.º diedro 
2.º oct. 3.º octante 4.º octante 1.º octante 
H2 
H1 
IV.º diedro 
8.º octante 
F2 
F1≡H2 
F3 
H3 
H1 
Q3 
I3 
I.º diedro 
II.º diedro 
IV.º diedro 
1.º oct. 
2.º oct. 
8.º oct. 
7.º oct. 
3.º oct. 
y≡z 
p3 
lβ1/3 
lβ2/4 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 20 
 
 
Percurso das retas de topo e vertical 
 
Aqui, os pontos notáveis determinam-se diretamente. Contudo, como uma das projeções destas 
retas fica reduzida a um ponto, sugere-se a indicação do seu percurso na projeção lateral. 
x 
Percurso da reta de topo 
Os pontos Q e I, respetivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se diretamente, uma vez que o ponto Q tem uma 
projeção para cada lado do eixo x e o ponto I tem projeções coincidentes. Com recurso aos traços laterais dos 
planos bissetores, fica evidente o percurso da reta. 
Percurso da reta vertical 
Tal como na reta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam diretamente e se indica o percurso da 
reta na sua projeção lateral. 
x 
Q1 
t1 
(t2)≡F2≡Q2≡I2≡I1 
(v1)≡H1≡Q1≡I1≡I2 
v2 
Q2 
II.º diedro I.º diedro 
2.º oct. 3.º oct. 1.º oct. 4.º oct. 
I.º diedro 
1.º oct. 
2.º oct. 
IV.º diedro 
7.º oct. 
8.º oct. 
y≡z 
lβ1/3 
lβ2/4 
Q3 I3 t3 
y≡z 
lβ1/3 
lβ2/4 
H2 
v3 
H3 
Q3 
I3 
F1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 21 
 
 
Reta – Exercícios 
Retas com marcação de pontos 
 
1. Representar a reta fronto-horizontal h, que con-
tém o ponto P(1;3;-1). Nela marcar os pontos: 
 A, com 2cm de abcissa 
 B, com 4cm de abcissa 
 C, com -3cm de abcissa 
 
2. Representar a reta horizontal n, com 2cm de 
cota, fazendo 40ºad, sendo o seu traço o ponto F 
com 2cm de abcissa. Nela marcar os pontos: 
 D, com 4cm de afastamento 
 E, com -1cm de abcissa 
 G, com -1cm de afastamento 
 I, com 6cm de abcissa 
 
3. Representar a reta frontal f, que contém o ponto 
R(4;-3;6). Nela marcar os pontos: 
 H, traço da reta, com -3cm de abcissa 
 K, com 4cm de cota 
 L, com -2cm de abcissa 
 M, com -4cm de cota 
 
4. Representar a reta de topo t, com 3cm de cota e 
4cm de abcissa. Nela marcar os pontos: 
 F, traço da reta 
 N, com 2cm de afastamento 
 O, com -5cm de afastamento 
 P, com -3cm de afastamento 
 
5. Representar a reta vertical v, com -2cm de afas-
tamento e 3cm de abcissa. Nela marcar os pontos: 
 H, traço horizontal 
 Q, com 4cm de cota 
 R, com -3cm de cota 
 
6. Representar a reta oblíqua r, cujos traços são os 
pontos H(2;2;0) e F(4;0;5). Nela marcar os pontos: 
 S, com 4cm de abcissa 
 T, com 2cm de cotaU, com 1cm de afastamento 
 V, com -1cm de afastamento 
 
Pontos notáveis e percurso de retas 
 
7. Representar a reta n do exercício 2. Determinar 
os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 
 
8. Representar a reta f do exercício 3. Determinar 
os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 
 
9. Representar a reta t do exercício 4. Determinar 
os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 
 
10. Representar a reta v do exercício 5. Determinar 
os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 
 
11. Representar a reta r do exercício 6. Determinar 
os pontos notáveis em falta e o seu percurso. 
12. Representar a reta s, que contém os pontos 
A(4;-1;5) e B(-2;-4;-2). Determinar os pontos notá-
veis e o percurso dessa reta. 
 
13. Representar a reta b, que contém o ponto 
R(-2;2;3), fazendo as suas projeções frontal e hori-
zontal 40ºad e 40ºae, respetivamente. Determinar 
os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 
 
14. Representar a reta m, que contém o ponto 
M(2;-1,5;-3), fazendo as suas projeções frontal e 
horizontal 55ºad e 20ºae, respetivamente. Determi-
nar os pontos notáveis e o percurso dessa reta. 
 
15. Representar a reta c, que contém o ponto 
C(3;2;4) e é passante no ponto P com -2cm de 
abcissa. Determinar o percurso dessa reta. 
 
16. Representar a reta e, passante no ponto R com 
3cm de abcissa, fazendo as suas projeções frontal e 
horizontal 55ºad e 25ºae, respetivamente. Determi-
nar o percurso dessa reta. 
 
17. Representar a reta r, que contém o ponto 
P(1;2;3) e é paralela ao β2/4, fazendo a sua proje-
ções frontal 35ºad. Determinar os pontos notáveis e 
o percurso dessa reta. 
 
18. Representar a reta s, que contém o ponto 
S(-4;1;5), fazendo a suas projeções frontal e hori-
zontal ambas 30ºad. Determinar os pontos notáveis 
e o percurso dessa reta. 
 
Reta em tripla projeção 
 
19. Representar as rectas h e n dos exercícios 1 e 
2. Determinar as suas projeções laterais. 
 
20. Representar as retas f, t e v dos exercícios 3, 4 
e 5. Determinar as suas projeções laterais. 
 
21. Representar a reta r do exercício 6. Determinar 
as suas projeções laterais. 
 
22. Representar a reta de perfil p, cujos traços são 
os pontos H(3;2;0) e F(3;0;5). Determinar, recorren-
do à projeção lateral, os seus pontos: 
 X, com -1cm de afastamento 
 Y, com 2cm de cota 
 
23. Representar a reta do exercício anterior. Deter-
minar os pontos notáveis em falta e o seu percurso. 
 
24. Representar a reta a, definida pelos pontos R
(4;1:3) e S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o 
seu percurso. 
 
25. Representar a reta de perfil b, que contém o 
ponto Z(6;2) e é paralela ao β1/3. Determinar os pon-
tos notáveis e o seu percurso 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 22 
 
 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 1 
3 
PLANO 
 
 
O alfabeto do plano é o conjunto das posições genéricas que um plano 
pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se 
essas posições, assim como posições particulares que alguns planos 
podem ter. Mostra-se que retas podem existir em cada plano e como se 
marcam pontos nos planos. Ainda se apresentam modos diversos de defi-
nir os planos. 
 
 Sumário: 
 2. Plano horizontal 
 3. Plano frontal 
 4. Plano de topo 
 5. Plano vertical 
 6. Plano de perfil 
 7. Plano de rampa 
 8. Plano oblíquo 
 9. Posições particulares do plano oblíquo 
 10. Posições particulares do plano de rampa 
 11 e 12. O traço lateral do plano de rampa 
 13. O traço lateral dos planos frontal e horizontal 
 14. O traço lateral dos planos vertical, de topo e oblíquo 
 15. Marcação de pontos em planos projetantes 
 16. Marcação de pontos em planos não projetantes 
 17. Retas do plano horizontal 
 18. Retas do plano frontal 
 19. Retas do plano de topo 
 20. Retas do plano vertical 
 21. Retas do plano de perfil 
 22. Retas do plano de rampa 
 23 e 24. Retas do plano oblíquo 
 25 e 26. Plano definido por duas retas 
 27. Planos definidos por uma reta e um ponto 
 28. Planos definidos por três pontos 
 29. Planos definidos por uma reta e tipo 
 30. Planos definidos por pontos e tipo 
 31. Retas notáveis em planos definidos por retas 
 32. Retas dos planos bissetores em planos definidos por retas 
 33 e 34. Exercícios 
 
 
Plano horizontal 
 
O plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano frontal de 
projeção. Tem apenas traço frontal. Este plano é projetante frontal, uma vez que as figuras que ele 
pode conter ficam projetadas frontalmente no seu traço. 
Designam-se por traços as retas onde os planos cruzam os planos de projeção. 
νo 
φo 
x 
O plano horizontal representado pelo seu traço 
O plano α tem cota positiva e corresponde àquele que é mostrado em perspetiva. O plano θ tem cota negativa 
e está apenas representado nesta imagem. Um plano com cota nula ficará com o seu traço coincidente com o 
eixo x. 
x 
O plano horizontal em perspetiva 
O plano α, por ser paralelo ao PHP, cruza apenas o 
PFP numa reta que é o seu traço frontal, designado 
por (fα). Por se tratar de um plano projetante ape-
nas com um traço, este indica-se entre parêntesis. 
// PHP 
 PFP 
α 
(fα) 
(fα) 
(fθ) 
α 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 2 
 
 
Plano frontal 
 
O plano frontal é paralelo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje-
ção. Tem apenas traço horizontal. Este plano é projetante horizontal, dado que as figuras que ele 
pode conter ficam projetadas horizontalmente no seu traço. 
νo 
φo 
x 
O plano frontal representado pelo seu traço 
O plano π tem afastamento positivo e corresponde àquele que é mostrado em perspetiva. O plano ρ tem afas-
tamento negativo e está apenas representado nesta imagem. Um plano com afastamento nulo ficará com o seu 
traço coincidente com o eixo x. 
x 
O plano frontal em perspetiva 
O plano π, por ser paralelo ao PFP, cruza apenas o 
PHP, numa reta que é o seu traço horizontal, 
designado por (hπ). Por ser um plano projetante 
apenas com um traço, este indica-se entre parênte-
sis. 
// PFP 
 PHP 
(hπ) 
(hρ) 
(hπ) 
π 
π 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 3 
 
 
Plano de topo 
 
O plano de topo é perpendicular ao plano frontal de projeção e oblíquo ao plano horizontal de proje-
ção. Tem dois traços. Este plano é projetante frontal, pois todas as figuras que nele existam ficam 
projetadas frontalmente no seu traço frontal. 
νo 
φo 
x 
O plano de topo representado pelos seus traços 
O plano β tem abertura para a direita e corresponde àquele que está representado em perspetiva. O plano δ 
tem abertura para a esquerda. São estas as duas variantes de um plano de topo. O traço frontal do plano de 
topo é oblíquo ao eixo x, o horizontal é perpendicular. 
x 
O plano de topo em perspetiva 
O plano β cruza o PFP em fβ e o PHP em hβ. São 
esses os seus traços. 
 / PHP 
 PFP 
β fβ 
hβ 
fβ 
hβ 
fδ 
hδ 
β 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 4 
 
 
Plano vertical 
 
O plano vertical é oblíquo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje-
ção. Tem dois traços. Este plano é projetante horizontal, já que todas as figuras que ele pode conter 
ficam projetadas horizontalmente no seu traço horizontal. 
νo 
φo 
x 
O plano vertical representado pelos seus traços 
O plano ω tem abertura para a direita e corresponde àquele que está representado em perspetiva. O plano θ 
tem abertura para a esquerda. Estas são as duas variantes que um plano vertical pode ter.O traço frontal do 
plano vertical é perpendicular ao eixo x, o horizontal é oblíquo. 
x 
O plano vertical em perspetiva 
O plano ω cruza o PHP em hω e o PFP em fω. 
Essas retas são os seus traços. 
 / PFP 
 PHP 
hω 
ω 
ω 
fω 
fω 
hω 
fθ 
hθ 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 5 
 
 
Plano de perfil 
 
O plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção. Tem dois traços. Este plano é dupla-
mente projetante, o que significa que todas as figuras que nele estiverem contidas ficam projetadas 
em ambos os seus traços. 
νo 
φo 
x 
O plano de perfil representado pelos seus traços 
Representado pelos traços, o plano de perfil apresenta apenas esta possibilidade: os seus traços são sempre 
coincidentes e perpendiculares ao eixo x. De notar que a coincidência entre os traços não existe no espaço 
mas passa a existir após o rebatimento dos planos de projeção. 
x 
O plano de perfil em perspetiva 
O plano ψ cruza o PHP em hψ e o PFP em fψ. 
Esses são os seus traços horizontal e frontal, res-
petivamente. 
 PHP 
 PFP ψ 
fψ 
hψ 
fψ≡hψ 
ψ 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 6 
 
 
Plano de rampa 
 
O plano de rampa é oblíquo aos dois planos de projeção e paralelo ao eixo x. Tem dois traços. Este 
plano não é projetante. 
νo 
φo 
x 
O plano de rampa representado pelos seus traços 
Os traços do plano α correspondem ao plano representado em perspetiva; o seu traço horizontal tem afasta-
mento positivo e o frontal tem cota positiva. Esse plano passa pelos diedros II, I e IV. O plano θ está numa posi-
ção diferente, passando pelos diedros I, IV e III. 
x 
O plano de rampa em perspetiva 
O plano α cruza o PHP em hα e o PFP em fα. São 
esses os seus traços, paralelos ao eixo x. 
α 
fα 
hα 
 / PFP 
 / PHP 
// eixo x 
α 
fα 
hα 
fθ 
hθ 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 7 
 
 
Plano oblíquo 
 
O plano oblíquo é oblíquo aos dois planos de projeção e oblíquo ao eixo x. Tem dois traços. Este 
plano não é projetante. 
νo 
φo 
x 
O plano oblíquo representado pelos seus traços 
Os traços do plano π, ambos com abertura para a direita, correspondem ao plano representado em perspetiva. 
O plano β apresenta traços com aberturas para lados contrários. Os traços do plano oblíquo são ambos 
oblíquos ao eixo x, podendo apresentar aberturas para lados iguais ou diferentes. 
x 
O plano oblíquo em perspetiva 
O plano π cruza o PHP em hπ e o PFP em fπ. São 
esses os seus traços, oblíquos ao eixo x. 
π 
fπ 
hπ 
 / PFP 
 / PHP 
 / eixo x 
π 
fπ 
hπ hβ 
fβ 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 8 
 
 
Posições particulares do plano oblíquo 
 
O plano oblíquo pode apresentar duas posições particulares, cujos traços se apresentam na imagem 
seguinte. 
x 
hπ≡fπ 
fα 
Traços dos planos oblíquos em posições particulares 
Os traços do plano α têm ângulos iguais e aberturas para o mesmo lado; trata-se de um plano perpendicular ao 
β1/3. Se representarmos uma recta de perfil nesse plano ela será também perpendicular ao β1/3. Os traços do 
plano π são coincidentes; trata-se de um plano perpendicular ao β2/4. 
α β1/3 hα π β2/4 
= 
= 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 9 
 
 
Posições particulares do plano de rampa 
 
O plano de rampa apresenta cinco posições particulares, que são semelhantes às da reta de perfil. 
x 
fθ 
fψ≡hψ 
hθ 
Planos perpendiculares / paralelos aos planos bissetores 
Um plano de rampa que tenha traços com medidas iguais, um para cada lado do eixo x, é paralelo ao β2/4 e 
perpendicular ao β1/3; é essa a situação do plano θ. Um plano de rampa com os traços coincidentes é paralelo 
ao β1/3 e perpendicular ao β2/4; o plano ψ está nessas condições. 
// β2/4 
 β1/3 
 // β1/3 
 β2/4 
x≡hδ≡fδ≡hρ≡fρ≡hω≡fω 
A2 
A1 
B2≡B1 
C2 
C1 
Planos passantes 
São passantes os planos que contêm o eixo x. Os traços desses planos são, por isso, coincidentes com o eixo 
x. Estão aqui representados três. O plano δ está coincidente com o β1/3, pois está definido pelo eixo x e pelo 
ponto A, que se situa nesse bissetor. O plano ρ é coincidente com o β2/4, uma vez que está definido pelo eixo x 
e pelo ponto B, desse bissetor. O plano ω é um plano passante qualquer, pois está definido pelo eixo x e pelo 
ponto C, que não se situa em qualquer dos planos bissetores. 
δ ≡ β1/3 
(Aєβ1/3) 
ρ ≡ β2/4 
(Bєβ2/4) 
ω - plano passante qualquer 
(C - ponto qualquer) 
θ ψ 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 10 
 
 
νo 
φo 
x 
πo 
z 
y 
O traço lateral do plano de rampa 
 
Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades, entre outros, deter-
minam-se recorrendo ao traço lateral do plano de rampa. Mostra-se aqui como se determina esse 
traço. 
O traço lateral do plano 
de rampa em perspetiva 
O traço lateral do plano de rampa é a 
reta onde este corta o PLP. Essa reta 
cruza-se com o traço frontal no eixo z e 
com o traço horizontal no eixo y, pon-
tos com os quais se determina o traço 
lateral, como se vê abaixo. 
x 
y≡z 
O traço lateral do plano de rampa 
O traço lateral do plano de rampa obtém
-se rodando para o eixo x a medida cor-
respondente ao afastamento do traço 
horizontal, unindo-se ao ponto de cruza-
mento do traço frontal com o eixo z. 
fα 
hα 
α 
lα 
lα 
fα 
hα 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 11 
 
 
Aqui mostra-se como se determina o traço lateral de planos de rampa em posições diferentes da 
que foi mostrada na página anterior. 
x 
y≡z 
O traço lateral do plano de rampa em diferentes posições 
No primeiro caso temos um plano de rampa com o traço horizontal com afastamento negativo; no segundo o 
traço frontal tem cota negativa; no terceiro ambos os traços têm valores negativos. A rotação da medida do 
traço horizontal faz-se sempre no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 
lπ 
hπ 
fπ 
x 
y≡z 
lβ 
fβ 
hβ 
x 
y≡z 
lδ 
fδ 
hδ 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 12 
 
 
O traço lateral dos planos frontal e horizontal 
 
Além do plano de rampa, os planos frontal e horizontal são também perpendiculares ao plano lateral 
de projeção. A determinação dos traços laterais desses planos pode ser útil essencialmente em 
exercícios de Ângulos e de Distâncias. 
O traço lateral do plano horizontal 
O traço lateral do plano horizontal obtém-se automaticamente. No espaço, ele é paralelo ao eixo y; após o reba-
timento do PLP fica coincidente com o traço frontal do plano, tenha ele cota positiva ou negativa. 
x 
y≡z 
O traço lateral do plano frontal 
O traço lateral do plano frontal é paralelo ao eixo z e obtém-se rodando a medida do afastamento do traço hori-
zontal no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. À esquerda temos um plano com afastamento positivo, 
à direita um com afastamento negativo. 
(hθ) 
lθ 
(fδ)≡lδ 
x 
y≡z 
(hρ) 
lρ 
x 
y≡z 
(fβ)≡lβ 
x 
y≡z 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 13 
 
 
O traço lateral dos planos vertical, de topo e oblíquo 
 
A determinação dos traços laterais destes planos não tem qualquer aplicação noutros capítulos. De 
qualquer modo, mostra-se aqui como se procede a essa determinação. 
O traço lateral do plano oblíquo 
O traço lateral do plano oblíquo é de perfil. Para o determinar basta rodar o ponto de cruzamento do traço hori-
zontal com y≡z e unir ao ponto de cruzamentodo traço frontal com a mesma reta. À esquerda está um plano 
com traços abertos para o mesmo lado; à direita está um plano com traços abertos para lados contrários. 
x 
y≡z 
O traço lateral dos planos vertical e de topo 
O traço lateral do plano vertical é vertical; para o determinar basta rodar o ponto onde o seu traço horizontal 
cruza y≡z. 
O traço lateral do plano de topo é de topo; devido ao rebatimento o plano lateral de projeção, fica paralelo ao 
eixo x, passando pelo ponto onde o traço frontal cruza y≡z. 
hθ 
lθ 
fπ 
x 
y≡z 
fρ 
hρ 
x 
y≡z 
hα 
x 
y≡z 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 14 
fθ 
lρ 
hπ 
lπ 
fα 
lα 
 
 
Marcação de pontos em planos projetantes 
 
A marcação de pontos em planos projetantes faz-se diretamente, uma vez que uma das projeções 
do ponto fica sempre no traço sobre o qual o plano é projetante. No caso do plano de perfil (por ser 
duplamente projetante) ambas as projeções do ponto ficam em ambos os traços. 
Marcação de pontos nos planos horizontal, frontal e de perfil 
O plano horizontal α tem 2cm de cota; os pontos que lhe pertencem têm também essa medida. 
As coordenadas dos pontos representados no plano α são: 
 A(1;2) B(-1;2) 
O plano frontal θ tem 1cm de afastamento; os pontos que lhe pertencem terão essa medida. 
As coordenadas dos pontos representados no plano θ são: 
 C(1;3) D(1;-2) 
As coordenadas dos pontos representados no plano ρ são: 
 E(2;1) F(-2;3) 
x 
(fα) 
(hθ) 
A1 
A2 B2 
B1 
C2 
C1 
D1 
D2 
Marcação de pontos nos planos vertical e de topo 
As coordenadas dos pontos representados no plano β são: 
 J(1,5;2) K(-1;-2) 
As coordenadas dos pontos representados no plano δ são: 
 L(1;2) M(2,5;-1) 
x 
fβ 
J2 
K2 
J1 
hβ 
K1 
L2 
L1 
M1 
M2 
fδ 
hδ 
fρ≡hρ 
E2 
E1 
F2 
F1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 15 
 
 
Marcação de pontos em planos não projetantes 
 
A marcação de pontos em planos não projetantes faz-se com recurso a retas auxiliares desses pla-
nos. Apenas os pontos situados nos traços se podem marcar diretamente. 
Marcação de pontos no plano oblíquo 
Para marcar pontos no plano oblíquo deve utilizar-se uma reta frontal ou horizontal do plano, reta essa que 
tenha uma das coordenadas do ponto. Aqui optou-se por utilizar retas frontais em ambos os casos, que defi-
nem, à partida, as medidas dos afastamentos dos pontos dados. 
Os pontos marcados têm as seguintes coordenadas: 
 A(2;1,5) B(0;2,5) C(-1;2,5) D(2;0) 
x 
hπ 
A2 
A1 
Marcação de pontos no plano de rampa 
Para marcar pontos no plano de rampa utiliza-se uma reta auxiliar oblíqua que lhe pertença. Neste plano não é 
possível dar simultaneamente afastamento e cota, mas pode-se indicar também um valor para a abcissa. Os 
traços frontal e horizontal destes planos têm, respetivamente, 1,5cm de cota e 2,5cm de afastamento. 
Os pontos marcados são os seguintes: 
 J, com 1cm de afastamento K, com -0,5cm de cota L, com 1,5cm de cota e -1cm de abcissa 
 M, com 2,5cm de afastamento e -2cm de abcissa N, com 1cm de afastamento e 7cm de abcissa 
O ponto N marcou-se com a ajuda do ponto J, que tem a mesmo afastamento. 
H2 
H1 
fπ f2 
f1 
H2 
H1 
F2 
F1 
J2 
J1 
K2 
K1 
r2 
L2 
L1 
M2 
M1 
x 
r1 
hω 
fω 
B2 
B1 x 
hπ 
C2 
H1 
H2 
D1 
fπ 
f2 
f1 
C1 
D2 
N2 
N1 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 16 
f2 // fπ f2 // fπ 
 
 
Retas do plano horizontal 
 
O plano horizontal pode conter três tipos de retas diferentes. Como este plano é paralelo ao plano 
horizontal de projeção, todas as retas que ele contém são também paralelas a esse plano. Sendo 
projetante frontal, as retas são projetadas frontalmente no seu traço. 
 
Tipos de retas que existem no plano horizontal 
O plano horizontal pode conter retas fronto-horizontais, horizontais e de topo. Apresenta-se um exemplo de 
cada tipo. 
x 
(fα)≡h2≡n2 
n1 h1 
t1 
F2 
F1 
(t2)≡F’2 
F’1 
Retas dos planos bissetores 
As retas a e b são aquelas em que o plano α corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem projeções com 
medidas iguais, uma para cada lado do eixo x; a reta b tem projeções coincidentes. Ambas são fronto-
horizontais. Estas retas determinam-se diretamente, não sendo necessário traçado auxiliar para o fazer. 
x 
(fα)≡a2≡b2≡b1 
a1 
a Є β1/3 
b Є β2/4 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 17 
 
 
Retas do plano frontal 
 
O plano frontal pode conter três tipos de retas diferentes. Como este plano é paralelo ao plano fron-
tal de projeção, todas as retas que ele contém são também paralelas a esse plano. Sendo um plano 
projetante horizontal, as retas são projetadas no seu traço. 
Tipos de retas que existem no plano frontal 
O plano frontal pode conter retas fronto-horizontais, frontais e verticais. Apresenta-se um exemplo de cada tipo. 
x 
(hπ)≡h1≡f1 
f2 h2 
(v1)≡H’1 H1 
H2 
v2 
H’2 
Retas dos planos bissetores 
As retas a e b são aquelas em que o plano π corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem medidas iguais, 
uma para cada lado do eixo x; a reta b tem projeções coincidentes. São retas fronto-horizontais, que se 
determinam diretamente, sem ajuda de traçado auxiliar. 
x 
(hπ)≡a1≡b2≡b1 
a2 
a Є β1/3 
b Є β2/4 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 18 
 
 
Retas do plano de topo 
 
O plano de topo pode conter três tipos de retas diferentes. É um plano projetante frontal, pelo que as 
retas que ele contém são projetadas frontalmente no seu traço frontal. 
Tipos de retas que existem no plano de topo 
O plano de topo pode conter as retas frontal e de topo, representadas à esquerda, e oblíqua, representada à 
direita. 
x 
fδ≡r2 
hδ 
fδ≡f2 
hδ 
f1 
H2 
H1 
t1 
(t2)≡F2 
F1 
r1 
H2 
H1 
F1 
F2 
Retas dos planos bissetores 
As retas a e b são aquelas em o plano α corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem ângulos iguais; a reta 
b tem projeções coincidente. Ambas são oblíquas passantes. Estas retas determinam-se diretamente, sem 
necessidade de traçado auxiliar. 
x 
fδ≡b2≡b1 
hδ 
fδ≡a2 
hδ 
a1 
F1≡F2≡H1≡H2 
F1≡F2≡H1≡H2 
a Є β1/3 
b Є β2/4 
= 
= 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 19 
 
 
Retas do plano vertical 
 
O plano vertical pode conter três tipos de retas diferentes. É um plano projetante horizontal, pelo que 
as retas que ele contém são projetadas horizontalmente no seu traço horizontal. 
Tipos de retas que existem no plano vertical 
O plano vertical pode conter as retas horizontal e vertical, representadas à esquerda, e oblíqua, representada à 
direita. 
x 
fθ 
hθ≡r1 
fθ 
hθ≡n1 
r2 
F2 
F1 
H2 
H1 
F1 
F2 
(v1)≡H1 
H2 
v2 
n2 
Retas dos planos bissetores 
As retas a e b são aquelas em que o plano θ corta o β1/3 e o β2/4, respetivamente. A reta a tem ângulos iguais; a 
reta b tem projeções coincidentes. São ambas oblíquas passantes. Estas retas determinam-se diretamente, 
sem ajuda de traçado auxiliar. 
x 
fθ 
hθ≡b1≡b2 
fθ 
hθ≡a1 
F1 
a2 
F1≡F2≡H1≡H2 F1≡F2≡H1≡H2 
a Є β1/3 b Є β2/4 
= 
= 
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 20 
 
 
Retas do plano de perfil 
 
O plano de perfil pode conter três tipos de retas. Tratando-se de um plano duplamente projetante, as 
retas que ele contém ficam projetadas em ambos os seus traços. 
Tipos de retas que existem no