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Teste 2 para Treinar: Cálculo 3A (29/06/2019)
Questão 1 2 3 4 5 Total
Pontuação
Máximo 22 20 18 22 18 100
1) Calcule a área da parte da superfície esférica x2 + y2 + z2 = 4 tal que z �
p
x2 + y2.
2) Considere o toro
�p
x2 + z2 � 3�2 + y2 = 1,
com normal apontando para o exterior, e o
campo ~F (x; y; z) = (x+ xexy; y � yexy; 2� 2z).
Calcule
RR
S
~F � ~n dS, através da porção do toro
com z > 0.
3) Seja C uma curva fechada, orientada no sentido anti-horário, formada pelos 4 pedaços seguintes:
C1 é o semicírculo superior x2 + y2 = 4, y � 0,
C3 é o semicírculo superior x2 + y2 = 1,y � 0,
C2 e C4 são os segmentos de reta de comprimento um, no eixo x que conectam ambos os semicírculos.
Preencha as lacunas com expressões corretas (não é necessário justi…car):
i)
R
C
dx+ dy = 3� ii)
R
C
�
�y
x2+y2 + y
�
dx+
�
x
x2+y2 + x
2
�
dy =
4) Considere o campo ~F (x; y; z) = (y2 cos(x); 2y sin(x) + e2z; 2ye2z).
a) Veri…que se o campo vetorial ~F é conservativo. Caso seja, determine uma função potencial para ~F .
b) Calcule
R
C
~F � d~r onde C é a interseção de z =
p
4� x2 � y2 com x+ y = 2. Oriente a curva C de forma que a coordenada x
seja crescente.
5) Seja C uma curva parametrizada por ~r(t) = (cos t; sin t; g(t)), com t 2 [0; 2�], onde g : R ! R é uma função positiva de
classe C1, tal que g(t) = g (� + t) para todo t 2 [0; 2�]. Calcule R
C
~F � d~r onde ~F (x; y; z) = �y; z + xy; x2 + y2�.
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