ANALISE MATEMATICA

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Acadêmico:
	Emídia Inacio Timoteo (1497428)
	
	Disciplina:
	Análise Matemática (MAT27)
	Avaliação:
	Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:444394) ( peso.:1,50)
	Prova:
	11697118
	Nota da Prova:
	8,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
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	1.
	O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. A respeito dos procedimentos do método indutivo, analise as sentenças a seguir:
I- Verificar se P(1) é verdadeira.
II- Negar P(n).
III- Supor válida P(n).
IV- Concluir P(n+1) válida.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I, II e III estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 c)
	As sentenças III e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, III e IV estão corretas.
	2.
	O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais:
I- Um dos axiomas de Peano é justamente o princípio da indução, já visto por nós como método de demonstração.
II- A adição de números naturais e a multiplicação de números naturais podem ser definidas a partir do conceito de número inteiro.
III- O Princípio da Boa Ordenação nos garante que qualquer subconjunto não vazio dos números naturais possui um elemento mínimo.
IV- O mesmo Princípio da Boa Ordenação tem como consequência imediata o Primeiro Princípio da Indução, que é uma boa ferramenta matemática a ser utilizada em demonstrações.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	3.
	Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Os números naturais são fechados com relação à divisão.
	 b)
	Os números inteiros são fechados com relação à divisão.
	 c)
	A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
	 d)
	Os números inteiros são fechados com relação à adição.
	4.
	Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente:
I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural m.
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n).
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 c)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	5.
	Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Porém, seu início se dá em um estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é de fundamental importância no estudo dos conceitos anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos conjuntos numéricos a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito.
(    ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
(    ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável.
(    ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo. 
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	V - F - F - V.
	 b)
	F - V - V - F.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	V - V - F - F.
	6.
	Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Porém, na análise matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre quais são propriedades dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As opções II e III estão corretas.
	 c)
	As opções I e II estão corretas.
	 d)
	As opções III e IV estão corretas.
	7.
	Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma?
	 a)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 b)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro.
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 c)
	I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 d)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	8.
	Analisando a matemática, as operações realizadas são pautadas em conjuntos numéricos. Verifique as sentenças a seguir:
I- {-1, 0, 1} pertence ao conjunto dos números Inteiros.
II- {1, 2, 3, 4} pertence ao conjunto dos números Naturais.
III- {-2; -1/2; 0; 0,5; (pi)} pertence ao conjunto dos números Racionais.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções II e III estão corretas.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	As opções I e II estão corretas.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	9.
	Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo:
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV- Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e III estão corretas.
	10.
	O Princípio da Indução é um eficiente instrumento paraa demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em outras palavras, entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos axiomas de Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém.
(    ) Um número natural possui apenas um sucessor.
(    ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a X, então X = N.
(    ) A função que associa dois números naturais é bijetiva.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - V.
	 b)
	V - V - V - F.
	 c)
	F - F - V - F.
	 d)
	V - V - F - F.
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