Solucoes-de-Analise-Real-Vol-1-Elon-Lages-Lima

Soluc¸o˜es dos exerc´ıcios de Ana´lise do livro Ana´lise real
volume 1 de Elon Lages Lima.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
8 de dezembro de 2011
1
Suma´rio
1 Soluc¸o˜es-Ana´lise Real Volume 1 (Elon fino) 5
1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Cap´ıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Nu´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Conjuntos enumera´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Cap´ıtulo 2-Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 R e´ um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 R e´ um corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 R e´ um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Cap´ıtulo 3-Sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Limite de uma sequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Operac¸o˜es com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.4 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Cap´ıtulo 4-Se´ries nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.1 Se´ries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.2 Se´ries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.5.3 Teste de convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5.4 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6 Cap´ıtulo 5-Algumas noc¸o˜es topolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.6.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.6.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2
SUMA´RIO 3
1.6.3 Pontos de acumulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.6.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.6.5 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.7 Cap´ıtulo 6-Limite de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.7.1 Definic¸a˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.7.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.7.3 Limites no infinito, limites infinitos, etc. . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.8 Cap´ıtulo 7-Func¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8.1 Definic¸a˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8.2 Func¸o˜es cont´ınuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.8.3 Func¸o˜es cont´ınuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . 95
1.8.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.9 Cap´ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.9.1 A noc¸a˜o de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.9.2 Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.9.3 Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.9.4 Func¸o˜es deriva´veis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.10 Cap´ıtulo 9-Fo´rmula de Taylor e aplicac¸o˜es da Derivada . . . . . . . . . . . 120
1.10.1 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.10.2 Func¸o˜es coˆncavas e convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.10.3 Aproximac¸o˜es sucessivas e me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . 132
1.11 Cap´ıtulo 10-A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.11.1 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.11.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.11.3 Condic¸o˜es suficientes de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.12 Cap´ıtulo 11-Ca´lculo com integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.12.1 Os teoremas cla´ssicos do ca´lculo integral. . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.12.2 A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . 152
1.12.3 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.12.4 Integrais impro´prias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.13 Cap´ıtulo 12-Sequeˆncias e se´rie de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.13.1 Convergeˆncia simples e convergeˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . 168
1.13.2 Propriedades da convergeˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 172
SUMA´RIO 4
1.14 Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cap´ıtulo 1
Soluc¸o˜es-Ana´lise Real Volume 1
(Elon fino)
Este texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons-
titu´ıdo apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es da
parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
Se houver alguma soluc¸a˜o errada, se quiser contribuir com uma soluc¸a˜o diferente ou
ajudar com uma soluc¸a˜o que na˜o consta no texto, tambe´m pec¸o que ajude enviando a
soluc¸a˜o ou sugesta˜o para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha
ajudado com alguma soluc¸a˜o. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que
estudam ana´lise pelo livro do Elon.
Os exerc´ıcios que possuem dicas no final do livro sa˜o feitos, em geral, seguindo essas di-
cas, pore´m em alguns casos resolvemos um problema mais geral e tirando o exerc´ıcio como
corola´rio direto de outra proposic¸a˜o, outras vezes damos soluc¸o˜es diferentes. Tentamos
detalhar essas soluc¸o˜es tornando claras passagens que poderiam ser obscuras.
Os enunciados das questo˜es sa˜o escritos no texto ,na maioria das vezes alterados,
pore´m tomamos o cuidado de manter a esseˆncia de cada questa˜o.
A exposic¸a˜o do texto segue a linha Teorema-Demonstrac¸a˜o.
5
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-ANA´LISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 6
1.1 Notac¸o˜es
ˆ Denotamos (xn) uma sequeˆncia (x1, x2, · · · ). Uma n upla (x1, x2, · · · , xn) podemos
denotar como (xk)
n
1 .
ˆ O conjunto de valores de adereˆncia de uma sequeˆncia (xn) iremos denotar como
A[xn].
ˆ Usaremos a abreviac¸a˜o PBO para princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o.
ˆ Denotamos f(x+ 1)− f(x) = ∆f(x).
ˆ Usamos notac¸a˜o Qxn =
xn+1
xn
.
ˆ Para simbolizar a k-e´sima derivada da func¸a˜o f , usamos os s´ımbolos Dk ou f (k).
ˆ Se a sequeˆncia (xn) converge para a, podemos usar as notac¸o˜es limxn = a ou
xn → a.
1.2 Cap´ıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos
1.2.1 Nu´meros naturais
Questa˜o 1 a)
Propriedade 1. Mostrar que
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois
1∑
k=1
k = 1 =
1(2)
2
.
Supondo a validade para n
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
vamos provar para n+ 1
n+1∑
k=1
k =
(n+ 1)(n+ 2)
2
.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-ANA´LISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 7
Por definic¸a˜o de somato´rio temos
n+1∑
k=1
k = (n+ 1) +
n∑
k=1
k = (n+ 1) +
n(n+ 1)
2
= (n+ 1)(1 +
n
2
) =
(n+ 1)(n+ 2)
2
onde usamos a hipo´tese da induc¸a˜o .
Questa˜o 1 b)
Propriedade 2. Mostrar que
n∑