Apostila 24 - Inscrições e circunscrições de sólidos

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Matemática 
 
 
 
 
INSCRIÇÕES E CIRCUNSCRIÇÕES DE SÓLIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
Introdução........................................................................................................................................3 
Objetivos ..........................................................................................................................................3 
Conceitos ..........................................................................................................................................3 
Definições .........................................................................................................................................3 
Esfera em cubo ................................................................................................................................3 
Esfera em Octaedro Regular ..........................................................................................................4 
Esfera em Cone Circular Reto.........................................................................................................5 
Cilindro Circular Reto em Cubo .....................................................................................................6 
Exercícios .........................................................................................................................................7 
Gabarito ............................................................................................................................................7 
Resumo .......................................................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Introdução 
 
Nesta aula abordaremos a inscrição e circunscrição de sólidos entre si, com 
exemplos. 
 
Objetivos 
 
• Entender a inscrição de cubos, cilindros, esferas e cones entre si 
• Entender a circunscrição de cubos, cilindros, esferas e cones entre si 
• Deduzir a inscrição e circunscrição de vários sólidos em esferas 
 
Conceitos 
 
Nessa aula, vamos estudar a analogia tridimensional da inscrição e circunscrição 
de polígonos, isto é, vamos estudar as condições necessárias para inscrever e 
circunscrever sólidos entre si. 
 
Definições 
 
Para começar, vamos entender o que significam os termos inscrição e circunscrição 
de sólidos, fazendo analogia com inscrição e circunscrição de polígonos no caso 
bidimensional. 
Quando pensamos em circunscrever um polígono A em outro polígono B, 
queremos que B esteja dentro de A, sendo que seus vértices toquem A. A definição 
para sólidos é exatamente a mesma. 
Para inscrevermos A em B no caso bidimensional, queremos que A seja interno a B 
e todas as arestas de B toquem A. Para o caso tridimensional, trocamos arestas por 
faces, isto é, para circunscrevermos A em B no caso tridimensional, queremos que A 
esteja interno a B e todas as faces de B toquem A. 
 
Esfera em cubo 
 
INSCRIÇÃO 
Vamos começar por inscrever uma esfera de raio r (a ser determinado) em um cubo 
de aresta a, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
 
4 
 
Para conseguirmos esse objetivo, conforme a segunda imagem, precisamos que a 
aresta do cubo seja congruente ao diâmetro da esfera, isto é, precisamos que a 
seguinte condição seja satisfeita para que uma esfera possa ser inscrita em um cubo: 
 
2
2
a
a r r=  =
 
 
CIRCUNSCRIÇÃO 
Vamos agora circunscrever uma esfera de raio R (a ser determinado) em um cubo 
de aresta a, conforme mostrado na figura. 
 
 
Para conseguirmos esse objetivo, precisamos que a diagonal do cubo seja 
congruente ao diâmetro da esfera, isto é, precisamos que a seguinte condição seja 
satisfeita para que uma esfera possa ser circunscrita em um cubo: 
 
2 2 2 32 2
2
a
d r a a a r R=  + + =  =
 
 
Esfera em Octaedro Regular 
 
INSCRIÇÃO 
Vamos inscrever uma esfera de raio r (a ser determinado) em um octaedro regular 
de aresta a, conforme mostrado na figura. 
 
 
Para conseguirmos esse objetivo, precisamos que o raio da esfera seja a altura de 
uma pirâmide cujas base é um lado do octaedro e as outras faces são um quarto da 
base e um quarto de cada um dos cortes centrais verticais. 
 
r h=
 
 
5 
 
Uma forma fácil de determinar esse resultado é igualar o cálculo do volume dessa 
pirâmide de duas formas diferente, sendo uma considerando a face relativa a altura 
como base e outra considerando qualquer uma das outras faces (que são idênticas 
entre si), como base, lembrando que as faces triangulares são triângulos equiláteros 
de lado a: 
 
1
3
2a

3 1
4 3
h =
a

2
2
2 2
2 2
3
4
a
r
 
 
  
1
2
4
= 2
2 6
62 3
a
a a
r

= =
 
 
CIRCUNSCRIÇÃO 
Vamos circunscrever uma esfera de raio R (a ser determinado) em um cubo de 
aresta a, conforme mostrado na figura. 
 
 
Para conseguirmos esse objetivo, precisamos que a diagonal do octaedro seja 
congruente ao diâmetro da esfera, isto é, precisamos que a seguinte condição seja 
satisfeita para que uma esfera possa ser circunscrita em um octaedro: 
 
2 2 22 2
2
a
d r a a r R=  + =  =
 
 
Esfera em Cone Circular Reto 
 
INSCRIÇÃO 
Vamos inscrever uma esfera de raio r (a ser determinado) em um cone circular reto 
de raio R e altura h, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
6 
 
Para conseguirmos esse objetivo, sabemos que o centro da esfera se encontra no 
eixo do cone, além disso, podemos perceber que o triangulo formado pela geratriz, 
um raio e a altura do cone é semelhante ao formado pelo segmento de reta que liga o 
centro da esfera com o vértice do cone, o raio da esfera e parte da geratriz, de forma 
que podemos escrever a seguinte relação de semelhança: 
 
r h r Rh
r
R h R h
−
=  =
+
 
CIRCUNSCRIÇÃO 
Vamos circunscrever uma esfera de raio r (a ser determinado) em um cone circular 
reto de raio R e altura h, conforme mostrado na figura. 
 
 
Para conseguirmos esse objetivo, sabemos que o triângulo formado pelos 
segmentos de reta que ligam o centro da esfera ao centro da base e ao extremo da 
base e o raio da base é retângulo, o que faz com que possamos usar o teorema de 
Pitágoras: 
 ( )
22 2
2 2 22
R h r r
R h hr r
+ − =
+ − +( ) 2r=
2 2
2
h R
r
h
+
=
 
 
Cilindro Circular Reto em Cubo 
 
INSCRIÇÃO 
Vamos inscrever um cilindro circular reto de raio r e altura h (a serem 
determinados) em um cubo de aresta a, conforme mostrado na figura. 
 
 
Para conseguirmos esse objetivo, perceba que o diâmetro da base do cone e a sua 
altura devem ser congruentes à aresta do cubo: 
 
 
7 
 
2 2
a
r
r a h
h a

=
= =  
 =
 
CIRCUNSCRIÇÃO 
Vamos circunscrever um cilindro circular reto de raio r e altura h (a serem 
determinados) em um cubo de aresta a, conforme mostrado na figura. 
 
 
Para conseguirmos esse objetivo, perceba que o diâmetro da base do cone é 
congruente à diagonal da base do cubo e a altura do mesmo deve ser congruente à 
aresta do cubo: 
 
2
2 2
2
a
a r r
a h
h a

 = = 
 
=  =
 
Exercícios 
 
1. Calcule os raios de uma esfera inscrita e de uma circunscrita em um cubo de aresta 
10 cma =
. 
 
2. Calcule a razão entre o volume de uma esfera circunscrita a um cubo e da esfera 
inscrita ao mesmo cubo.3. Em uma esfera, circunscrevemos um cone equilátero e inscrevemos um cubo. Qual 
a razão entre os volumes do cone e do cubo, respectivamente? 
 
4. Determine as condições para inscrição de um cilindro circular reto de raio r e altura 
h em um cone de revolução de raio R e altura H. 
 
Gabarito 
 
1. Como vimos, o raio da esfera inscrita em um cubo de aresta a é dado por: 
5 cm
2
a
r r=  =
 
Para o raio da esfera circunscrita, temos: 
 
8 
 
3
8,65 cm
2
a
R r=  
 
2. Para os raios de uma esfera inscrita e uma circunscrita, temos, respectivamente: 
2
3
2
a
r
a
R
=
=
 
Para o volume de uma esfera, temos: 
34
3
V r=
 
Calculando a razão entre os volumes, temos: 
( )
3
3
3
3
3
4
3
4
3
3
2
2
3 3 3
circ
insc
circ
insc
R
V
V
r
R
r
a
a
V
V


=
 
=  
 
 
 
 =
 
 
 
= =
 
3. Vamos considerar que a esfera dada tem raio r. Para as dimensões do cone 
equilátero de raio R, temos: 
( ) ( )
2 3 2
3
2
1 3
3 3
1 3
1 3
R
h R
R rRh R
r r
R h R
h r
= =
  +
=   
= ⎯⎯⎯⎯⎯→ =   
+ + 
= +
 
 Para as dimensões do cubo inscrito, temos: 
3 2
2 3
a r
r a=  =
 
Vamos então calcular a razão pedida: 
 
9 
 
2
3
2
2
1
3
1 1 3
3 3
cone
cubo
R h
V
V a
r


=
 +
 
 =
( )1 3 r+
2 r
3
3
1
1 3
3

 
 
 
=
( )
3
1 3
8
3
+
( )
( )
( )
2 3
3 2
3
3
1 3 1 3 3 1 3 3
24
3
1 3 3 9 3 3
24
3
10 6 3
24
9 5 3
12
cone
cubo
V
V




= +  +  +
= + + +
= +
+
=
 
4. A partir de duas semelhanças de triângulos (olhando os sólidos de lado), vamos 
determinar as duas condições necessárias. 
 
 
H h−Para a primeira, vamos considerar o triângulo retângulo de catetos r e e o 
de catetos H e R: 
 
H h r
H R
−
=
 
 
R r−Para a segunda, vamos considerar o triângulo retângulo de catetos h e e o 
de catetos H e R: 
h R r
H R
−
=
 
 
Juntando as duas condições, temos um sistema de equações: 
 
 
10 
 
H h r
H R
h R r
H R
−
=

− =

 
 
Mas perceba que essas duas condições são equivalentes, ou seja, temos uma 
condição que garante que o cilindro será inscrito no cone, mas esse cone não é 
único. Obedecendo essa relação entre o raio e a altura, o cilindro pode ser inscrito 
no cone: 
 
1 1
H h r h r r h
H R H R R H
−
=  − =  + =
 
Resumo 
 
Definições 
Se um sólido A é circunscrito a um sólido B, então B está dentro de A e seus vértices 
tocam em A. 
Se um sólido A é inscrito em um sólido B, então A está dentro de B e todas as faces 
de B tocam em A. 
 
Esfera em cubo 
• 
2
a
r =
INSCRIÇÃO 
• 3
2
a
R =
CIRCUNSCRIÇÃO 
 
Esfera em Octaedro Regular 
• 6
6
a
r =
INSCRIÇÃO 
• 2
2
a
R =
CIRCUNSCRIÇÃO 
 
Esfera em Cone Circular Reto 
• 
Rh
r
R h
=
+
INSCRIÇÃO 
• 2 2
2
h R
r
h
+
=
CIRCUNSCRIÇÃO 
 
11 
 
 
Cilindro Circular Reto em Cubo 
• 
2
a
r
h a
=
=
INSCRIÇÃO 
• 
2
2
a
r
h a
=
=
CIRCUNSCRIÇÃO