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Ajustamento Livre para uma Rede Altimétrica de GNSS

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��
 
2 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Quando se trata de rede de nivelamento o que normalmente mede-se é a 
diferença de altitude ou diferença de nível entre dois pontos. Estes referidos pontos 
quando materializados denomina-se de RN e caracterizam uma seção de 
nivelamento. A articulação de várias seções pode formar uma rede de nivelamento. 
No caso da rede de nivelamento espacial que é realizada com a tecnologia por 
satélites, as estações de rastreio formam as RNs da rede. 
Para representar a geometria de uma rede de nivelamento utiliza-se uma 
matriz denominada de matriz dos coeficientes das incógnitas. No caso de não se 
considerar nenhuma injunção para a rede, ou seja, a rede fica sem um sistema de 
referência, a matriz dos coeficientes, também conhecida como matriz A irá tornar um 
sistema de equações singular. 
O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), que é usado para o ajustamento 
livre e também no injuncionamento mínimo, contém três modos de solução, 
correlatos, paramétrica e combinada. Neste caso o utilizou-se o paramétrico, por 
proporcionar mais facilidades no momento de implementações em modelos de 
algoritmos computacionais. 
O princípio do modelo paramétrico do MMQ é a relação que é formada entre 
as observações levantadas em campo e os parâmetros obtidos através das 
equações formadas pelas observações. 
No entanto por causa de serem só levantadas às diferenças de nível entre os 
pontos e não tendo nenhum outro valor conhecido o sistema se torna inconsistente e 
a matriz dos coeficientes (“A”) resulta em um determinante nulo. Que pelo fato da 
ocorrência de um determinante nulo a referida matriz A, se torna não-inversível. 
Segundo Strang (1997), um ajustamento pelo MMQ em redes geodésicas 
possibilita a combinação de equações normais singulares e certas injunções 
3 
lineares, que consideram a idéia de todos os pontos da rede ser de igual 1status. 
Este trabalho avaliará tal procedimento em uma rede de nivelamento levantada por 
posicionamento por satélites (GNSS), a qual pode ser também denominada de 
nivelamento espacial. Devido a área de teste ser pequena considerará para a 
determinação da diferença de nível um paralelismo entre a superfície do geóide e a 
do elipsóide, o que é demonstrado pelo mesmo valor da ondulação geoidal em toda 
a extensão da área estudada. 
2. OBJETIVOS 
 
2.1. Objetivo geral: 
Realizar o ajustamento livre numa rede de nivelamento espacial e comparar 
com o ajustamento com injunção mínima. 
 
2.2. Objetivos específicos: 
- Definir, implantar e mensurar uma rede de nivelamento espacial 
- Solucionar a deficiência de “rank” da matriz A 
- Ajustar as observações com o ajustamento livre referenciá-la a uma altitude 
de um dos pontos da rede 
- Determinar as altitudes ajustadas utilizando o ajustamento com injunção 
mínima, variando os pontos de injunção 
- Comparar as altitudes nas duas metodologias propostas. 
 
 
1
 Status: posição, estado. 
4 
3. JUSTIFICATIVA 
O Sistema de Satélites de Navegação Global (GNSS) oferece um processo 
poderoso e relativamente barato para se determinar medida com relativa precisão 
aliada a um padrão de ajustamento singular, que permite uma visão diferenciada das 
observações realizadas, com o intuito de igualar o status de cada ponto de toda rede 
(Meissl 1962). 
Desta forma uma rede de nivelamento, será levantada apenas diferenças de 
nível entre par de pontos que irão propagar somente os erros internos da rede. Pode 
ser vista, para efeitos estatísticos de amostragem, antes e depois do 
injuncionamento com a finalidade de aperfeiçoar a identificação da fonte de erros da 
rede, interna ou externa. 
 
5 
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
4.1. Equações de observação 
A partir das observações das diferenças de altitude formam-se as equações 
de observação como se pode observar no quadro 1: 
Parâmetros Observações Resíduos 
O
B
SE
RV
A
ÇÕ
ES
 
h3 – h1 = ∆h13 + v1 
h1 – h2 = ∆h21 + v2 
h2– h4 = ∆h42 + v3 
h2 – h3 = ∆h32 + v4 
h5 – h3 = ∆h35 + v5 
h5 – h4 = ∆h45 + v6 
h4 – h6 = ∆h64 + v7 
h6 – h5 = ∆h56 + v8 
h3 – h6 = ∆h63 + v9 
h6 – h2 = ∆h26 + v10 
 
 Quadro 1 - Equações das diferenças de nível 
 
 
4.2. Decomposição de valores singular e pseudoinversa 
A partir das equações de observações constrói-se a matriz dos coeficientes 
denominada de matriz A, e através do modelo paramétrico do MMQ realiza-se o 
ajustamento, onde os parâmetros ajustados serão representados pelo vetor X: 
� � ���������	 (1) 
��
�������������������������������
������������������
����������������������������� �����
!��
����������"���
�#$��� 
Conforme Strang (1997) o parâmetro encontrado se encontra no nível 0 
(zero), devido ao fato do sistema não ter umareferência, estar totalmente livre, daí 
denominado de ajustamento livre, havendo apenas relacionamento relativo às 
6 
observações, mas não entre as observações e parâmetros. Esta questão demonstra 
que pelo fato do ajustamento não ter uma injunção, os parâmetros ajustados, 
referem-se a nível zero e que após o ajuste pode-se transladar para um nível (nível 
desejado). 
Desenvolvendo o ajustamento encontra-se a deficiência de 2rank como 
também o determinante nulo da matriz A. O problema está na não inversão da 
matriz A que impede a solução pelo MMQ devido à equação (1). 
Tendo em vista a impossibilidade do ajustamento devido à singularidade da 
matriz A, existe um método da álgebra linear que soluciona este problema. A solução 
está em utilizar a Pseudoinversa de Moore-Penrose que estabelece a 
“pseudoinvertibilidade” através da resolução da Decomposição de Valores 
Singulares (DVS) da matriz ATA tornando-a (ATA)+ semelhante a (ATA)-1. 
A determinação da característica de uma matriz é um problema comum. 
Teoricamente, pode ser usada a eliminação de Gauss para reduzir uma matriz mais 
simples. Contudo este método, devido aos arredondamentos, envolve naturalmente 
erros na matriz dos coeficientes, por isso não é praticado quando trabalhamos em 
casos de grande precisão, pelo fato de residir falhas nos dados levantados ou na 
quantidade de algarismos significativos usados nos cálculos das matrizes. 
Os Valores Singulares de uma matriz A, do tipo m x n, são as raízes 
quadradas positivas dos Autovalores da matriz de Gram. 
Na DVS a matriz A está decomposta em três matrizes singulares: 
 ����� � %&'� (2) 
Para melhor compreensão é necessário entender o conceito de Autovalores 
que consiste em um valor escalar que pode ser multiplicado pela matriz de origem 
sem que modifique as características iniciais da matriz. 
Para entender Autovalores, primeiramente deve-se explicar Autovetores 
 
2
 Rank: nível, posto. 
7 
Ortonormais de ATA. A maioria dos vetores, quando multiplicado por A muda de 
direção, mas certos vetores x estão na mesma direção Ax. Estes são conhecidos 
como Autovetores. Multiplicando um Autovetor por A, e o vetor Ax é um número . 
que multiplica o original x. 
A equação base é: �(� � �)(. 
O número λ é o Autovalor, que pode ser zero, e diz se o vetor x está 
ampliado, ou reduzido, ou reverso – quando multiplicado por A. Quando A é uma 
matriz quadrada os Autovetores são iguais e a matriz dos Autovalores é quadrada. 
A solução da equação �(� � �)( como ���* �)+�(� � �,, sendo I uma matriz 
identidade, apresentará os Autovalores. 
As matrizes U, V e Σ foram criadas a partir dos autovalores da matriz ATA. 
Satisfazendo as regras de transformações lineares determina-se U, V e Σ como: 
�����'� � �%&. Logo por se tratarem, U e V de matrizes ortogonais, 
����� � %&'
- . � �%&'�, onde Σ é a matriz diagonal da raiz dos valores singulares 
apresentados no vetor dos Autovalores de ATA, e as matrizes U e V, 
respectivamente, as bases do espaço coluna e as bases do espaço linha.
 
Conhecendo os elementos da DVS é possível determinar a Pseudoinversa 
de ATA de tal forma que: 
�����
/
� '&
/
% Onde, Σ+ é a matriz diagonal do inverso das raízes dos 
Autovalores. 
Agora a partir do conhecimento da Pseudoinversa da matriz (ATA) é possível 
continuar com o ajustamento da rede de nivelamento pelo MMQ. 
 � � �����
/
��	. 
 
8 
4.3. Representação do espaço nulo para a solução da deficiência de 
rank 
Outra metodologia proposta por Straing (1997) e por Leick(1995) para se 
chegar na pseudoinversa é o uso do espaço nulo para solucionar a deficiência de 
rank da matriz A. 
O espaço nulo de A consiste em todas as soluções para �( � ,. O espaço 
nulo sempre pode ser solucionado, a solução imediata é 0 (zero). Ele contém as 
soluções do vetor ( e é chamado de 0���. Supondo que �( � , e �1 � ,, pelas 
regras de multiplicação de matriz ��( / 1� � , / ,. Também é dito que ��2(� � 2,. 
Logo ( / 1 e 2( estão no espaço nulo. 
A noção geométrica que representa o espaço nulo é o plano em 34 para 
�( � , e tem como solução o vetor (. No caso do nivelamento, onde é levada em 
consideração somente a correção de translação vertical, o espaço é unidimensional 
e contém o vetor representado pela matriz linha E = [(1, 1, 1,...,1)]. 
Com o intuito de solucionar a deficiência de rank da matriz A faz-se a adição 
de uma injunção interna. Esse injuncionamento é feito pela inserção de um vetor de 
solução. As equações 5 e 6 demonstram a forma genérica de injunção interna. 
 567 � 8 (5) 
As linhas da matriz G(9x:) afixam o N(A) de dimensão 9. Com isso a matriz 
A aumentada por 9 novas linhas de 56 torna-se ; rank completo. 
A fórmula genérica para o problema que consiste a singular normal ATA com 
a matriz borda ortogonal G é: 
 
AT A
GT
G
0








X
0






⋅
AT L
g






 (6) 
O aumento da matriz dos coeficientes pela matriz GT a torna inversível, a 
solução é única e pode ser expressa em termos da Pseudoinversa A+. 
9 
Atribuindo a equação 6 a injunção interna do espaço nulo da rede de nivelamento temos: 
 
AT A
ET
E
0








X
0






⋅
AT L
0






 (7) 
Conforme Leick (1995) a Pseudoinversa é calculada de algoritmos de 
matrizes inversas generalizadas ou, equivalentemente, encontrando a matriz E. Para 
aplicações típicas em levantamentos a matriz E pode ser facilmente reconhecida e a 
equação 7 rescrita como: 
 � � ��6� / <6<����6	 (8) 
 
5. MATERIAIS E MÉTODOS 
5.1. Área de estudo 
Para o trabalho escolheu-se uma área de estudo, na qual por motivos de 
praticidade no levantamento dos dados, fez-se dentro do campus da 3UFRRJ 
localizada no município de Seropédica no Estado do Rio de Janeiro. A área está 
compreendida por pontos, como mostra a figura 1. 
Os pontos levantados foram escolhidos levando em consideração que seria 
utilizado a tecnologia GNSS, com isso algumas precauções foram tomadas para 
reduzir os erros oriundos do levantamento das observações das diferenças de nível, 
como a escolha dos pontos em área aberta, treinamento do uso do receptor GNSS, 
assim como os equipamentos periféricos, bastões e tripés que são usados para 
fixação e centralização ao ponto materializado na superfície terrestre, análise do 
clima para o dia do levantamento, tendo em vista o cuidado do equipamento pelo 
uso em ambiente aberto. 
 
3
 UFRRJ: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. 
10 
 
Figura 1 - Rede de nivelamento 
 
5.2. Material 
Na coleta dos pontos por GNSS utilizou-se o equipamento Hiper Lite+, que 
consiste em um par de receptores de sinais de satélite de dupla freqüência com 
4RTK, que tem a precisão horizontal de =(3:: / 1,0@@:) e a precisão vertical de 
=(5:: / 1,0@@:) para levantamentos estáticos, onde não utilizou-se o RTK, 
bastões e tripés para posicionamento dos receptores, o software Topcon Tools para 
o processamento dos dados coletados pelo receptor Hiper Lite e o software Mathcad 
para o cálculo do ajustamento livre. 
 
4
 RTK: Real Time Kinematic. 
�
P1
PQ
PITÁGORAS
PQ ICHS e IE
GINÁSIO
IZ
IT
DG
ALOJAMENTO
640.500640.000639.500639.000638.500638.000637.500
7.481.500
7.482.000
7.482.500
7.483.000
7.483.500
7.484.000
7.481.500
N
0500 500 1000 1500375 250 125 ( metros)
h1 
h2h3 
h4 
h5 
h6 
11 
5.3. Metodologia 
5.3.1. Levantamento de dados 
Os dados das observações das diferenças de altitude entre os pontos foram 
obtidos por levantamento espacial usando o GNSS. Teve início no dia 15/06/2011 a 
17/06/2011 e do dia 30/10/2011 a 13/11/2011 sendo feito as diferenças de uma rede 
de seis pontos coletados de par em par. 
Os receptores foram estacionados por meio de bastão de 2,00m de altura 
equipado com nível de bolha em piquetes que materializam os pontos escolhidos. 
Em cada sessão os receptores coletavam os dados por cerca de 30 minutos em um 
intervalo de 2 segundos. Por meio de software de pós-processamento dos dados 
GNSS foi possível determinar as diferenças de nível entre dois pontos para então 
usá-los como observação no ajustamento. Este procedimento foi feito pelo método 
relativo, onde um ponto de coordenadas conhecidas é considerado como referência 
e a correlação é feita no vetor, com a intenção de corrigir o ponto móvel, onde se 
deseja determinar a diferença de altitude. 
Pelo fato de ser o método relativo, as diferenças de nível são medidas 
através da diferença da altitude elipsoidal fornecida pelo satélite do GNSS, ou seja: 
BC - B. � DB.C�� 
onde: 
EC���F��������F�������F����
� ����
E.���F��������F�������F�����G��
DE.C�������� #������F�������� �����G���
� ����
HC - H. � DH.C 
onde: 
IC���F������������G���������
� ����
I.���F������������G����������G��
DI.C�������� #������F������������G�������
12 
6. RESULTADO E DISCUSSÃO 
6.1. Ajustamento livre 
A geometria do da rede de nivelamento, seguindo o conceito de circuito ou 
loop, tendo em vista o sentido e direção dos vetores, está representada na figura 2, 
juntamente com os cinco circuitos e os dez vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Geometria rede de nivelamento GNSS. 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
h4 
h1 
h2 
h3 h6 
h5 
13 
O resultado do processamento em relação às diferenças de altitudes encontra-se na 
Tabela 1. 
Diferenças de nível (m) 
h3 - h1= -7,515 
h1 - h2 = 6,237 
h2 - h4 = -0,756 
h2 - h3= 1,257 
h5 - h3 = 12,542 
h5 - h4 = 10,535 
h4 - h6= 1,158 
 
 
 h6 - h5 = -11,681 
h3 - h6 = -0,874 
h6 - h2= -0,404 
Tabela 1 - Diferença de nível. 
A matriz Jacobiana (matriz dos coeficientes das incógnitas) referente às 
observações é: 
Matriz dos Coeficientes
A
1−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
1
1
0
0
0
0
0
1−
1
0
0
1−
1−
0
0
0
1
0
0
0
1−
0
0
1−
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1−
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
1
1−
1




























:=
 
h1 h2 h3 h4 h5 h6 
∆h13 
∆h45 
∆h42 
∆h32 
∆h35 
∆h64 
∆h21 
∆h56 
∆h63 
∆h26 
14 
As diferenças de nível da rede da Tabela 1 estão representados pelo vetor L, 
vetor das observações. 
Vetor das Observações
L
7.515−
6.237
0.756−
1.257
12.542
10.535
1.158
11.681−
0.874−
1.784−




























:=
 
Através da matriz Jacobiana é possível calcular a matriz ATA. 
AT A
2
1−
1−
0
0
0
1−
4
1−
1−
0
1−
1−
1−
4
0
1−
1−
0
1−
0
3
1−
1−
0
0
1−
1−
3
1−
0
1−
1−
1−
1−
4
















=
 
Com a matriz ATA calculada, o próximo passo é o cálculo dos Autovalores de 
ATA, que estão representados no vetor svds(ATA). 
Vetor dos Autovalores da Matriz A TA
svds AT A( )
2.809
2.651
2
1.691
0.849
0
















2=
 
Através da DVS as matrizes U e V são apresentadas na parte superior e 
inferior, respectivamente, da matriz svd(ATA). 
15 
Matriz da Decomposição de Valores Singulares U e V
svd AT A( )
0
1.473
1.473−
0.911−
0.911
3.897− 10 15−×
0
1.473
1.473−
0.911−
0.911
3.967− 10 15−×
0.58−
0.957
0.957
0.29
0.29
1.914−
0.58−
0.957
0.957
0.29
0.29
1.914−
1−
1
1
1−
1−
1
1−
1
1
1−
1−
1
0
0.911
0.911−
1.473
1.473−
0
0
0.911
0.911−
1.473
1.473−
0
1.914−
0.29−
0.29−
0.957
0.957
0.58
1.914−
0.29−
0.29−
0.957
0.957
0.58
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−


































1
6
=
 
 
A matriz Σ+ “Σmais” é uma matriz diagonal cuja a diagonal principal tem 
como elementos o inverso da raiz dos Autovalores da matriz ATA 
Matriz Diagonal da Inversa da Raiz dos Autovalores de A TA
Σmais
1
svds AT A( )0 0,
0
0
0
0
0
0
1
svds AT A( )1 0,
0
0
0
0
0
0
1
svds AT A( )2 0,
0
0
0
0
0
0
1
svds AT A( )3 0,
0
0
0
0
0
0
1
svds AT A( )4 0,
0
0
0
0
0
0
1
svds AT A( )5 0,








































:=
U
submatrix svd AT A( )( ) 0, 5, 0, 5, 
2
:= V submatrix svd AT A( )( ) 6, 11, 0, 5, :=
16 
Através da função submatrix são separados os elementos da matriz 
svd(ATA) para a matriz U, da linha 0 à linha 5 e da coluna 0 à coluna 5, e a matriz V, 
da linha 6 à linha 11 e da coluna 0 à coluna 5. 
Descobertos todos os termos, da equação de transformação para a 
Pseudoinversa de Moore-Penrose, é possível determinar a pseudoinversa da matriz 
ATA. 
Matriz Pseudoinversa da Matriz ATA
ATAmais V Σmais⋅ UT⋅:=
ATAmais
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
0.702
















107=
 
 
Após o cálculo da pseudoinversa de ATA pode-se continuar o ajustamento 
das diferenças de nível da rede. Determinando o vetor das observações ajustadas. 
Vetor das Observações Ajustadas
X ATAmais AT⋅ L⋅:=
A X⋅
8.261−
5.289
0.279
2.972
13.26
10.567
1.396
11.962−
1.297−
1.674−




























= L
7.515−
6.237
0.756−
1.257
12.542
10.535
1.158
11.681−
0.874−
1.784−




























=
 
 
17 
Tendo em vista a comparação do vetor das observações levantadas e das 
observações ajustadas é retirado pela diferença de ambos o vetor dos resíduos (R). 
Através do vetor R é calculado o erro médio quadrático representado pelo desvio 
padrão dos resíduos. 
Vetor dos Resíduos
Desvio Padrão 
R A X⋅ L−:= R
0.746−
0.948−
1.035
1.715
0.718
0.032
0.238
0.281−
0.423−
0.110




























= stdev R( ) 0.781=
 
 
18 
6.2. Análise do espaço nulo para a solução da deficiência de rank 
Para analisar o uso da metodologia do espaço nulo utilizaram-se as mesmas 
observações levantadas. Usou-se também a matriz A, ATA e L da metodologia 
anterior, já que as observações usadas são as mesmas. 
Matriz dos Coeficientes
A
1−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
1
1
0
0
0
0
0
1−
1
0
0
1−
1−
0
0
0
1
0
0
0
1−
0
0
1−
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1−
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
1
1−
1




























:=
 
 
Vetor das Observações
L
7.515−
6.237
0.756−1.257
12.542
10.535
1.158
11.681−
0.874−
1.784−




























:=
 
Matriz ATA
AT A
2
1−
1−
0
0
0
1−
4
1−
1−
0
1−
1−
1−
4
0
1−
1−
0
1−
0
3
1−
1−
0
0
1−
1−
3
1−
0
1−
1−
1−
1−
4
















=
 
 
Tendo em vista o uso do espaço nulo para solucionar o problema de rank da 
rede de nivelamento foi criada uma injunção interna do vetor unitário que pertence 
ao N(A): 
E = [(1 1 1 1 1 1)] 
h1 h2 h3 h4 h5 h6 
∆h13 
∆h45 
∆h42 
∆h32 
∆h35 
∆h64 
∆h21 
∆h56 
∆h63 
∆h26 
19 
Ao utilizar o método do espaço nulo com injunção interna formou-se a 
equação matricial para a obtenção dos valores ajustados das altitudes dos pontos da 
rede. 
� � ��6� / <6<����6	 
Através desta equação foi obtido o vetor dos valores das altitudes ajustadas, 
que se encontram tecnicamente em um nível inicial 0 (zero): 
 
X
3.474
2.769−
4.035−
2.015−
8.513
3.169−
















=
 
Para se ter como comparação padrão foi realizado o cálculos das incertezas 
para cada valor de X. Como se utilizou o recurso do espaço nulo para inverter a 
matriz ATA não pode usar o termo semelhante (ATA+ETE)-1 para se calcular a matriz 
variância covariância. Assim foi usada a equação J'K � LMN��6� / <6<�������6� /
<6<�����6, onde LMN é o valor do quadrado do desvio padrão dos resíduos entre as 
observações medidas e as observações ajustadas. 
Sendo AX igual às observações ajustadas temos: 
 
Vetor dos Resíduos
R L A X⋅−:=
R
0.00624−
0.00624−
0.00211−
0.00853−
0.00578−
0.00663
0.00452
0.00085
0.00807−
0.0044−




























=
Desvio padrão stdev R( ) 0.005=
 
20 
Após os cálculos dos resíduos e do desvio padrão dos resíduos determinou-
se a MVC do vetor dos parâmetros ajustados. 
 
MVC
0.058
5.795 10 3−×
5.795 10 3−×
0.023−
0.023−
0.016−
5.795 10 3−×
0.012
4.503 10 4−×
1.945− 10 3−×
8.221− 10 3−×
1.392− 10 3−×
5.795 10 3−×
4.503 10 4−×
0.012
8.221− 10 3−×
1.945− 10 3−×
1.392− 10 3−×
0.023−
1.945− 10 3−×
8.221− 10 3−×
0.026
8.19 10 3−×
5.795 10 3−×
0.023−
8.221− 10 3−×
1.945− 10 3−×
8.19 10 3−×
0.026
5.795 10 3−×
0.016−
1.392− 10 3−×
1.392− 10 3−×
5.795 10 3−×
5.795 10 3−×
0.014






















10 4−=
 
A diagonal principal da MVC representa as incertezas dos parâmetros 
ajustados: 
 
Ponto Altitude ao “nível zero” após o 
ajustamento livre (m) 
Incerteza (m) 
h1 3,474 0,058 . 10-4 
h2 -2,769 0,012 . 10-4 
h3 -4,035 0,012 . 10-4 
h4 -2,015 0,026 . 10-4 
h5 8,513 0,026 . 10-4 
h6 -3,169 0,014 . 10-4 
 
 
21 
Assim como anteriormente feito, ao adicionarmos um valor estipulado eleva-
se a um nível fictício de altitude. 
Valor do pilar = 22,100m 
 
Pilar 22.1:=
Xreal X Pilar+:= Xreal
18.626
24.869
26.135
24.115
13.587
25.269
















=
 
Com a questão da inversão da matriz resolvida foi possível ajustar as 
diferenças de nível observadas. Como o previsto ao final dos cálculos de 
ajustamento livre das observações de diferença de nível foi possível atribuir um 
valor, representando um injuncionamento. Esse valor elevou a rede de nivelamento 
como um todo para a altitude desejada, ilustrando o nível citado por Strang (1997) e 
citado antes no estudo de caso. 
 
6.3. Análise do ajustamento com injunção mínima 
Ao final do trabalho foram feitas duas outras comparações com injunção 
mínima para cada ajustamento utilizando as mesmas observações, e obtiveram-se 
valores do vetor X. 
Na primeira comparação usou-se como injunção ponto h1 da rede e atribui-
se o valor de 18,626m. Após a inserção de uma injunção realizou-se o ajustamento 
mínimo e obteve os seguintes valores dos parâmetros ajustados com as incertezas. 
 
22 
Ponto Altitude ajustada (m) Incerteza (m) 
h1 18,626 - 
h2 24,869 0,0064 
h3 26,135 0,0064 
h4 24,115 0,0081 
h5 13,587 0,0081 
h6 25,269 0,0075 
 
 
Realizou-se novamente outro ajustamento mínimo, desta vez afixando o 
valor do ponto h6 da rede com altitude de 25,269m, após o ajustamento obteve-se 
os seguintes valores. 
 
Ponto Altitude ajustada (m) Incerteza (m) 
h1 18,626 0,0075 
h2 24,869 0,0054 
h3 26,135 0,0054 
h4 24,116 0,0056 
h5 13,587 0,0056 
h6 25,269 - 
23 
Ao fazer a segunda comparação, verificou-se que os resultados das altitudes 
ajustadas tem diferença no ponto h4 de 0,001m. Pelas incertezas vemos como as 
injunções influenciam a rede nas duas comparações de injunção mínima. Mostrando 
que o ajustamento livre proporciona um melhor resultado. 
Uma análise dos circuitos da rede de nivelamento demonstra um controle 
das observações ajustadas entre si: 
 
Circuito Um 
 B.> / B>C / BC. � ,?,,,: 
Circuito Dois 
 B>C / BC., / B.,> � ,?,,,: 
Circuito Três 
 BC., / B.,O / BOC � ,?,,,: 
Circuito Quatro 
 B.,O / BOP / BP., � ,?,,,: 
Circuito Cinco 
 B.,P / BP> / B>., � ,?,,,: 
O ajustamento livre tem a vantagem de se poder fazer um ajuste sem a 
interferência externa e com isso se pode fazer uma análise direta nas observações. 
Quando observado o erro médio quadrático dos relatórios de processamento 
de cada vetor, presente no anexo nota-se a precisão o qual o vetor foi medido pelo 
sistema GNSS, sugerindo que a fonte de erro discrepante não esteja na 
determinação dos vetores das diferenças de nível da rede. 
 
24 
7. CONCLUSÃO 
A rede de nivelamento foi definida e implantada com êxito, e com isso foi 
possível realizar a medição por nivelamento espacial. 
O entendimento geométrico das transformações lineares usadas para o 
cálculo da Decomposição de Valores Singulares faz com que haja uma rápida 
compreensão das etapas até a obtenção da matriz Pseudoinversa. 
Pela metodologia do espaço nulo foi possível solucionar a deficiência de 
rank da matriz A ajustando os valores dos parâmetros contidos no vetor X e 
referenciá-la a uma altitude fictícia. 
Com o ajustamento feito também por injunção mínima em dois casos 
comparou-se os resultados das altitudes ajustadas com o ajustamento livre onde se 
notou a boa qualidade do ajustamento livre. 
A escassez de autores das áreas afim da Geodésia e ajustamento das 
observações, que descrevem soluções e resoluções de problemas singulares, fazem 
com que o entendimento dos estudos realizados e publicados fique mais rebuscado, 
apresentando dificuldade na interpretação da idéia proposta. 
 
8. RECOMENDAÇÕES 
Com base nas pesquisas feitas, objetivando a coleta de informações para a 
construção do modelo de ajustamento livre, que servisse como forma de 
aprimoramento e visualização da questão ressaltada e descrita nos parágrafos 
anteriores, recomenda-se um estudo mais amplo sobre as causas e conseqüências 
do uso da matriz Pseudoinversa de Moore-Penrose, assim como um estudo 
avançado da decomposição de valores singulares com o intuito de se ter uma 
visualização geométrica do ajustamento à rede de nivelamento. 
 
25 
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
G. Strang e K. Borre, Linear Algebra, Geodesy, and GPS. Wellesley-Cambridge 
Press, 1997. 
A. Leick, Adjustment Computations. University of Maine, Toronto, Department of 
Civil Engineer, 1980. 
 
26 
10. ANEXOS 
I – Anexos – Relatório de processamentoe ajustamento do vetor levantado por 
GNSS. 
 
Vetor h3 – h1. 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
27 
Vetor h1 – h2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
28 
Vetor h2 – h4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
29 
Vetor h2 – h3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
30 
Vetor h5 – h3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
31 
Vetor h5 – h4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
32 
Vetor h4 – h6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
33 
Vetor h6 – h5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
34 
Vetor h3 – h6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Ponto 
35 
Vetor h6 – h2. 
 
 
Resumo do Ponto

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