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1 �������� �� ������ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ����� �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ����� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��� ���!��� ������� �������� " ������������� " ������������������������������������������������������������������������ ��� #������"����������������"������������������������� � $"� �������"%��������������������������������������&� �� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� '����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(� ��� )���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*� ��� )������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������� � �� � ����� � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ��� ������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � +�� ,�����!�"���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� +�� ,"-� �������������"������������������������� � $"� �������"%��������������������������������������������������&� +�� ,"-� ������������!�"�����!� "��"����!�" !����������������������������������������������������������������������������� � ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� !� ��������� "��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� �� �����#�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� �$� ���%������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� 2 1. INTRODUÇÃO Quando se trata de rede de nivelamento o que normalmente mede-se é a diferença de altitude ou diferença de nível entre dois pontos. Estes referidos pontos quando materializados denomina-se de RN e caracterizam uma seção de nivelamento. A articulação de várias seções pode formar uma rede de nivelamento. No caso da rede de nivelamento espacial que é realizada com a tecnologia por satélites, as estações de rastreio formam as RNs da rede. Para representar a geometria de uma rede de nivelamento utiliza-se uma matriz denominada de matriz dos coeficientes das incógnitas. No caso de não se considerar nenhuma injunção para a rede, ou seja, a rede fica sem um sistema de referência, a matriz dos coeficientes, também conhecida como matriz A irá tornar um sistema de equações singular. O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), que é usado para o ajustamento livre e também no injuncionamento mínimo, contém três modos de solução, correlatos, paramétrica e combinada. Neste caso o utilizou-se o paramétrico, por proporcionar mais facilidades no momento de implementações em modelos de algoritmos computacionais. O princípio do modelo paramétrico do MMQ é a relação que é formada entre as observações levantadas em campo e os parâmetros obtidos através das equações formadas pelas observações. No entanto por causa de serem só levantadas às diferenças de nível entre os pontos e não tendo nenhum outro valor conhecido o sistema se torna inconsistente e a matriz dos coeficientes (“A”) resulta em um determinante nulo. Que pelo fato da ocorrência de um determinante nulo a referida matriz A, se torna não-inversível. Segundo Strang (1997), um ajustamento pelo MMQ em redes geodésicas possibilita a combinação de equações normais singulares e certas injunções 3 lineares, que consideram a idéia de todos os pontos da rede ser de igual 1status. Este trabalho avaliará tal procedimento em uma rede de nivelamento levantada por posicionamento por satélites (GNSS), a qual pode ser também denominada de nivelamento espacial. Devido a área de teste ser pequena considerará para a determinação da diferença de nível um paralelismo entre a superfície do geóide e a do elipsóide, o que é demonstrado pelo mesmo valor da ondulação geoidal em toda a extensão da área estudada. 2. OBJETIVOS 2.1. Objetivo geral: Realizar o ajustamento livre numa rede de nivelamento espacial e comparar com o ajustamento com injunção mínima. 2.2. Objetivos específicos: - Definir, implantar e mensurar uma rede de nivelamento espacial - Solucionar a deficiência de “rank” da matriz A - Ajustar as observações com o ajustamento livre referenciá-la a uma altitude de um dos pontos da rede - Determinar as altitudes ajustadas utilizando o ajustamento com injunção mínima, variando os pontos de injunção - Comparar as altitudes nas duas metodologias propostas. 1 Status: posição, estado. 4 3. JUSTIFICATIVA O Sistema de Satélites de Navegação Global (GNSS) oferece um processo poderoso e relativamente barato para se determinar medida com relativa precisão aliada a um padrão de ajustamento singular, que permite uma visão diferenciada das observações realizadas, com o intuito de igualar o status de cada ponto de toda rede (Meissl 1962). Desta forma uma rede de nivelamento, será levantada apenas diferenças de nível entre par de pontos que irão propagar somente os erros internos da rede. Pode ser vista, para efeitos estatísticos de amostragem, antes e depois do injuncionamento com a finalidade de aperfeiçoar a identificação da fonte de erros da rede, interna ou externa. 5 4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 4.1. Equações de observação A partir das observações das diferenças de altitude formam-se as equações de observação como se pode observar no quadro 1: Parâmetros Observações Resíduos O B SE RV A ÇÕ ES h3 – h1 = ∆h13 + v1 h1 – h2 = ∆h21 + v2 h2– h4 = ∆h42 + v3 h2 – h3 = ∆h32 + v4 h5 – h3 = ∆h35 + v5 h5 – h4 = ∆h45 + v6 h4 – h6 = ∆h64 + v7 h6 – h5 = ∆h56 + v8 h3 – h6 = ∆h63 + v9 h6 – h2 = ∆h26 + v10 Quadro 1 - Equações das diferenças de nível 4.2. Decomposição de valores singular e pseudoinversa A partir das equações de observações constrói-se a matriz dos coeficientes denominada de matriz A, e através do modelo paramétrico do MMQ realiza-se o ajustamento, onde os parâmetros ajustados serão representados pelo vetor X: � � ��������� (1) �� ������������������������������� ������������������ ����������������������������� ����� !�� ����������"��� �#$��� Conforme Strang (1997) o parâmetro encontrado se encontra no nível 0 (zero), devido ao fato do sistema não ter umareferência, estar totalmente livre, daí denominado de ajustamento livre, havendo apenas relacionamento relativo às 6 observações, mas não entre as observações e parâmetros. Esta questão demonstra que pelo fato do ajustamento não ter uma injunção, os parâmetros ajustados, referem-se a nível zero e que após o ajuste pode-se transladar para um nível (nível desejado). Desenvolvendo o ajustamento encontra-se a deficiência de 2rank como também o determinante nulo da matriz A. O problema está na não inversão da matriz A que impede a solução pelo MMQ devido à equação (1). Tendo em vista a impossibilidade do ajustamento devido à singularidade da matriz A, existe um método da álgebra linear que soluciona este problema. A solução está em utilizar a Pseudoinversa de Moore-Penrose que estabelece a “pseudoinvertibilidade” através da resolução da Decomposição de Valores Singulares (DVS) da matriz ATA tornando-a (ATA)+ semelhante a (ATA)-1. A determinação da característica de uma matriz é um problema comum. Teoricamente, pode ser usada a eliminação de Gauss para reduzir uma matriz mais simples. Contudo este método, devido aos arredondamentos, envolve naturalmente erros na matriz dos coeficientes, por isso não é praticado quando trabalhamos em casos de grande precisão, pelo fato de residir falhas nos dados levantados ou na quantidade de algarismos significativos usados nos cálculos das matrizes. Os Valores Singulares de uma matriz A, do tipo m x n, são as raízes quadradas positivas dos Autovalores da matriz de Gram. Na DVS a matriz A está decomposta em três matrizes singulares: ����� � %&'� (2) Para melhor compreensão é necessário entender o conceito de Autovalores que consiste em um valor escalar que pode ser multiplicado pela matriz de origem sem que modifique as características iniciais da matriz. Para entender Autovalores, primeiramente deve-se explicar Autovetores 2 Rank: nível, posto. 7 Ortonormais de ATA. A maioria dos vetores, quando multiplicado por A muda de direção, mas certos vetores x estão na mesma direção Ax. Estes são conhecidos como Autovetores. Multiplicando um Autovetor por A, e o vetor Ax é um número . que multiplica o original x. A equação base é: �(� � �)(. O número λ é o Autovalor, que pode ser zero, e diz se o vetor x está ampliado, ou reduzido, ou reverso – quando multiplicado por A. Quando A é uma matriz quadrada os Autovetores são iguais e a matriz dos Autovalores é quadrada. A solução da equação �(� � �)( como ���* �)+�(� � �,, sendo I uma matriz identidade, apresentará os Autovalores. As matrizes U, V e Σ foram criadas a partir dos autovalores da matriz ATA. Satisfazendo as regras de transformações lineares determina-se U, V e Σ como: �����'� � �%&. Logo por se tratarem, U e V de matrizes ortogonais, ����� � %&' - . � �%&'�, onde Σ é a matriz diagonal da raiz dos valores singulares apresentados no vetor dos Autovalores de ATA, e as matrizes U e V, respectivamente, as bases do espaço coluna e as bases do espaço linha. Conhecendo os elementos da DVS é possível determinar a Pseudoinversa de ATA de tal forma que: ����� / � '& / % Onde, Σ+ é a matriz diagonal do inverso das raízes dos Autovalores. Agora a partir do conhecimento da Pseudoinversa da matriz (ATA) é possível continuar com o ajustamento da rede de nivelamento pelo MMQ. � � ����� / �� . 8 4.3. Representação do espaço nulo para a solução da deficiência de rank Outra metodologia proposta por Straing (1997) e por Leick(1995) para se chegar na pseudoinversa é o uso do espaço nulo para solucionar a deficiência de rank da matriz A. O espaço nulo de A consiste em todas as soluções para �( � ,. O espaço nulo sempre pode ser solucionado, a solução imediata é 0 (zero). Ele contém as soluções do vetor ( e é chamado de 0���. Supondo que �( � , e �1 � ,, pelas regras de multiplicação de matriz ��( / 1� � , / ,. Também é dito que ��2(� � 2,. Logo ( / 1 e 2( estão no espaço nulo. A noção geométrica que representa o espaço nulo é o plano em 34 para �( � , e tem como solução o vetor (. No caso do nivelamento, onde é levada em consideração somente a correção de translação vertical, o espaço é unidimensional e contém o vetor representado pela matriz linha E = [(1, 1, 1,...,1)]. Com o intuito de solucionar a deficiência de rank da matriz A faz-se a adição de uma injunção interna. Esse injuncionamento é feito pela inserção de um vetor de solução. As equações 5 e 6 demonstram a forma genérica de injunção interna. 567 � 8 (5) As linhas da matriz G(9x:) afixam o N(A) de dimensão 9. Com isso a matriz A aumentada por 9 novas linhas de 56 torna-se ; rank completo. A fórmula genérica para o problema que consiste a singular normal ATA com a matriz borda ortogonal G é: AT A GT G 0 X 0 ⋅ AT L g (6) O aumento da matriz dos coeficientes pela matriz GT a torna inversível, a solução é única e pode ser expressa em termos da Pseudoinversa A+. 9 Atribuindo a equação 6 a injunção interna do espaço nulo da rede de nivelamento temos: AT A ET E 0 X 0 ⋅ AT L 0 (7) Conforme Leick (1995) a Pseudoinversa é calculada de algoritmos de matrizes inversas generalizadas ou, equivalentemente, encontrando a matriz E. Para aplicações típicas em levantamentos a matriz E pode ser facilmente reconhecida e a equação 7 rescrita como: � � ��6� / <6<����6 (8) 5. MATERIAIS E MÉTODOS 5.1. Área de estudo Para o trabalho escolheu-se uma área de estudo, na qual por motivos de praticidade no levantamento dos dados, fez-se dentro do campus da 3UFRRJ localizada no município de Seropédica no Estado do Rio de Janeiro. A área está compreendida por pontos, como mostra a figura 1. Os pontos levantados foram escolhidos levando em consideração que seria utilizado a tecnologia GNSS, com isso algumas precauções foram tomadas para reduzir os erros oriundos do levantamento das observações das diferenças de nível, como a escolha dos pontos em área aberta, treinamento do uso do receptor GNSS, assim como os equipamentos periféricos, bastões e tripés que são usados para fixação e centralização ao ponto materializado na superfície terrestre, análise do clima para o dia do levantamento, tendo em vista o cuidado do equipamento pelo uso em ambiente aberto. 3 UFRRJ: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. 10 Figura 1 - Rede de nivelamento 5.2. Material Na coleta dos pontos por GNSS utilizou-se o equipamento Hiper Lite+, que consiste em um par de receptores de sinais de satélite de dupla freqüência com 4RTK, que tem a precisão horizontal de =(3:: / 1,0@@:) e a precisão vertical de =(5:: / 1,0@@:) para levantamentos estáticos, onde não utilizou-se o RTK, bastões e tripés para posicionamento dos receptores, o software Topcon Tools para o processamento dos dados coletados pelo receptor Hiper Lite e o software Mathcad para o cálculo do ajustamento livre. 4 RTK: Real Time Kinematic. � P1 PQ PITÁGORAS PQ ICHS e IE GINÁSIO IZ IT DG ALOJAMENTO 640.500640.000639.500639.000638.500638.000637.500 7.481.500 7.482.000 7.482.500 7.483.000 7.483.500 7.484.000 7.481.500 N 0500 500 1000 1500375 250 125 ( metros) h1 h2h3 h4 h5 h6 11 5.3. Metodologia 5.3.1. Levantamento de dados Os dados das observações das diferenças de altitude entre os pontos foram obtidos por levantamento espacial usando o GNSS. Teve início no dia 15/06/2011 a 17/06/2011 e do dia 30/10/2011 a 13/11/2011 sendo feito as diferenças de uma rede de seis pontos coletados de par em par. Os receptores foram estacionados por meio de bastão de 2,00m de altura equipado com nível de bolha em piquetes que materializam os pontos escolhidos. Em cada sessão os receptores coletavam os dados por cerca de 30 minutos em um intervalo de 2 segundos. Por meio de software de pós-processamento dos dados GNSS foi possível determinar as diferenças de nível entre dois pontos para então usá-los como observação no ajustamento. Este procedimento foi feito pelo método relativo, onde um ponto de coordenadas conhecidas é considerado como referência e a correlação é feita no vetor, com a intenção de corrigir o ponto móvel, onde se deseja determinar a diferença de altitude. Pelo fato de ser o método relativo, as diferenças de nível são medidas através da diferença da altitude elipsoidal fornecida pelo satélite do GNSS, ou seja: BC - B. � DB.C�� onde: EC���F��������F�������F���� � ���� E.���F��������F�������F�����G�� DE.C�������� #������F�������� �����G��� � ���� HC - H. � DH.C onde: IC���F������������G��������� � ���� I.���F������������G����������G�� DI.C�������� #������F������������G������� 12 6. RESULTADO E DISCUSSÃO 6.1. Ajustamento livre A geometria do da rede de nivelamento, seguindo o conceito de circuito ou loop, tendo em vista o sentido e direção dos vetores, está representada na figura 2, juntamente com os cinco circuitos e os dez vetores. Figura 2 – Geometria rede de nivelamento GNSS. 1 2 3 4 5 h4 h1 h2 h3 h6 h5 13 O resultado do processamento em relação às diferenças de altitudes encontra-se na Tabela 1. Diferenças de nível (m) h3 - h1= -7,515 h1 - h2 = 6,237 h2 - h4 = -0,756 h2 - h3= 1,257 h5 - h3 = 12,542 h5 - h4 = 10,535 h4 - h6= 1,158 h6 - h5 = -11,681 h3 - h6 = -0,874 h6 - h2= -0,404 Tabela 1 - Diferença de nível. A matriz Jacobiana (matriz dos coeficientes das incógnitas) referente às observações é: Matriz dos Coeficientes A 1− 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1− 1 1 0 0 0 0 0 1− 1 0 0 1− 1− 0 0 0 1 0 0 0 1− 0 0 1− 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1− 0 0 0 0 0 0 0 0 1− 1 1− 1 := h1 h2 h3 h4 h5 h6 ∆h13 ∆h45 ∆h42 ∆h32 ∆h35 ∆h64 ∆h21 ∆h56 ∆h63 ∆h26 14 As diferenças de nível da rede da Tabela 1 estão representados pelo vetor L, vetor das observações. Vetor das Observações L 7.515− 6.237 0.756− 1.257 12.542 10.535 1.158 11.681− 0.874− 1.784− := Através da matriz Jacobiana é possível calcular a matriz ATA. AT A 2 1− 1− 0 0 0 1− 4 1− 1− 0 1− 1− 1− 4 0 1− 1− 0 1− 0 3 1− 1− 0 0 1− 1− 3 1− 0 1− 1− 1− 1− 4 = Com a matriz ATA calculada, o próximo passo é o cálculo dos Autovalores de ATA, que estão representados no vetor svds(ATA). Vetor dos Autovalores da Matriz A TA svds AT A( ) 2.809 2.651 2 1.691 0.849 0 2= Através da DVS as matrizes U e V são apresentadas na parte superior e inferior, respectivamente, da matriz svd(ATA). 15 Matriz da Decomposição de Valores Singulares U e V svd AT A( ) 0 1.473 1.473− 0.911− 0.911 3.897− 10 15−× 0 1.473 1.473− 0.911− 0.911 3.967− 10 15−× 0.58− 0.957 0.957 0.29 0.29 1.914− 0.58− 0.957 0.957 0.29 0.29 1.914− 1− 1 1 1− 1− 1 1− 1 1 1− 1− 1 0 0.911 0.911− 1.473 1.473− 0 0 0.911 0.911− 1.473 1.473− 0 1.914− 0.29− 0.29− 0.957 0.957 0.58 1.914− 0.29− 0.29− 0.957 0.957 0.58 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1− 1 6 = A matriz Σ+ “Σmais” é uma matriz diagonal cuja a diagonal principal tem como elementos o inverso da raiz dos Autovalores da matriz ATA Matriz Diagonal da Inversa da Raiz dos Autovalores de A TA Σmais 1 svds AT A( )0 0, 0 0 0 0 0 0 1 svds AT A( )1 0, 0 0 0 0 0 0 1 svds AT A( )2 0, 0 0 0 0 0 0 1 svds AT A( )3 0, 0 0 0 0 0 0 1 svds AT A( )4 0, 0 0 0 0 0 0 1 svds AT A( )5 0, := U submatrix svd AT A( )( ) 0, 5, 0, 5, 2 := V submatrix svd AT A( )( ) 6, 11, 0, 5, := 16 Através da função submatrix são separados os elementos da matriz svd(ATA) para a matriz U, da linha 0 à linha 5 e da coluna 0 à coluna 5, e a matriz V, da linha 6 à linha 11 e da coluna 0 à coluna 5. Descobertos todos os termos, da equação de transformação para a Pseudoinversa de Moore-Penrose, é possível determinar a pseudoinversa da matriz ATA. Matriz Pseudoinversa da Matriz ATA ATAmais V Σmais⋅ UT⋅:= ATAmais 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 0.702 107= Após o cálculo da pseudoinversa de ATA pode-se continuar o ajustamento das diferenças de nível da rede. Determinando o vetor das observações ajustadas. Vetor das Observações Ajustadas X ATAmais AT⋅ L⋅:= A X⋅ 8.261− 5.289 0.279 2.972 13.26 10.567 1.396 11.962− 1.297− 1.674− = L 7.515− 6.237 0.756− 1.257 12.542 10.535 1.158 11.681− 0.874− 1.784− = 17 Tendo em vista a comparação do vetor das observações levantadas e das observações ajustadas é retirado pela diferença de ambos o vetor dos resíduos (R). Através do vetor R é calculado o erro médio quadrático representado pelo desvio padrão dos resíduos. Vetor dos Resíduos Desvio Padrão R A X⋅ L−:= R 0.746− 0.948− 1.035 1.715 0.718 0.032 0.238 0.281− 0.423− 0.110 = stdev R( ) 0.781= 18 6.2. Análise do espaço nulo para a solução da deficiência de rank Para analisar o uso da metodologia do espaço nulo utilizaram-se as mesmas observações levantadas. Usou-se também a matriz A, ATA e L da metodologia anterior, já que as observações usadas são as mesmas. Matriz dos Coeficientes A 1− 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1− 1 1 0 0 0 0 0 1− 1 0 0 1− 1− 0 0 0 1 0 0 0 1− 0 0 1− 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1− 0 0 0 0 0 0 0 0 1− 1 1− 1 := Vetor das Observações L 7.515− 6.237 0.756−1.257 12.542 10.535 1.158 11.681− 0.874− 1.784− := Matriz ATA AT A 2 1− 1− 0 0 0 1− 4 1− 1− 0 1− 1− 1− 4 0 1− 1− 0 1− 0 3 1− 1− 0 0 1− 1− 3 1− 0 1− 1− 1− 1− 4 = Tendo em vista o uso do espaço nulo para solucionar o problema de rank da rede de nivelamento foi criada uma injunção interna do vetor unitário que pertence ao N(A): E = [(1 1 1 1 1 1)] h1 h2 h3 h4 h5 h6 ∆h13 ∆h45 ∆h42 ∆h32 ∆h35 ∆h64 ∆h21 ∆h56 ∆h63 ∆h26 19 Ao utilizar o método do espaço nulo com injunção interna formou-se a equação matricial para a obtenção dos valores ajustados das altitudes dos pontos da rede. � � ��6� / <6<����6 Através desta equação foi obtido o vetor dos valores das altitudes ajustadas, que se encontram tecnicamente em um nível inicial 0 (zero): X 3.474 2.769− 4.035− 2.015− 8.513 3.169− = Para se ter como comparação padrão foi realizado o cálculos das incertezas para cada valor de X. Como se utilizou o recurso do espaço nulo para inverter a matriz ATA não pode usar o termo semelhante (ATA+ETE)-1 para se calcular a matriz variância covariância. Assim foi usada a equação J'K � LMN��6� / <6<�������6� / <6<�����6, onde LMN é o valor do quadrado do desvio padrão dos resíduos entre as observações medidas e as observações ajustadas. Sendo AX igual às observações ajustadas temos: Vetor dos Resíduos R L A X⋅−:= R 0.00624− 0.00624− 0.00211− 0.00853− 0.00578− 0.00663 0.00452 0.00085 0.00807− 0.0044− = Desvio padrão stdev R( ) 0.005= 20 Após os cálculos dos resíduos e do desvio padrão dos resíduos determinou- se a MVC do vetor dos parâmetros ajustados. MVC 0.058 5.795 10 3−× 5.795 10 3−× 0.023− 0.023− 0.016− 5.795 10 3−× 0.012 4.503 10 4−× 1.945− 10 3−× 8.221− 10 3−× 1.392− 10 3−× 5.795 10 3−× 4.503 10 4−× 0.012 8.221− 10 3−× 1.945− 10 3−× 1.392− 10 3−× 0.023− 1.945− 10 3−× 8.221− 10 3−× 0.026 8.19 10 3−× 5.795 10 3−× 0.023− 8.221− 10 3−× 1.945− 10 3−× 8.19 10 3−× 0.026 5.795 10 3−× 0.016− 1.392− 10 3−× 1.392− 10 3−× 5.795 10 3−× 5.795 10 3−× 0.014 10 4−= A diagonal principal da MVC representa as incertezas dos parâmetros ajustados: Ponto Altitude ao “nível zero” após o ajustamento livre (m) Incerteza (m) h1 3,474 0,058 . 10-4 h2 -2,769 0,012 . 10-4 h3 -4,035 0,012 . 10-4 h4 -2,015 0,026 . 10-4 h5 8,513 0,026 . 10-4 h6 -3,169 0,014 . 10-4 21 Assim como anteriormente feito, ao adicionarmos um valor estipulado eleva- se a um nível fictício de altitude. Valor do pilar = 22,100m Pilar 22.1:= Xreal X Pilar+:= Xreal 18.626 24.869 26.135 24.115 13.587 25.269 = Com a questão da inversão da matriz resolvida foi possível ajustar as diferenças de nível observadas. Como o previsto ao final dos cálculos de ajustamento livre das observações de diferença de nível foi possível atribuir um valor, representando um injuncionamento. Esse valor elevou a rede de nivelamento como um todo para a altitude desejada, ilustrando o nível citado por Strang (1997) e citado antes no estudo de caso. 6.3. Análise do ajustamento com injunção mínima Ao final do trabalho foram feitas duas outras comparações com injunção mínima para cada ajustamento utilizando as mesmas observações, e obtiveram-se valores do vetor X. Na primeira comparação usou-se como injunção ponto h1 da rede e atribui- se o valor de 18,626m. Após a inserção de uma injunção realizou-se o ajustamento mínimo e obteve os seguintes valores dos parâmetros ajustados com as incertezas. 22 Ponto Altitude ajustada (m) Incerteza (m) h1 18,626 - h2 24,869 0,0064 h3 26,135 0,0064 h4 24,115 0,0081 h5 13,587 0,0081 h6 25,269 0,0075 Realizou-se novamente outro ajustamento mínimo, desta vez afixando o valor do ponto h6 da rede com altitude de 25,269m, após o ajustamento obteve-se os seguintes valores. Ponto Altitude ajustada (m) Incerteza (m) h1 18,626 0,0075 h2 24,869 0,0054 h3 26,135 0,0054 h4 24,116 0,0056 h5 13,587 0,0056 h6 25,269 - 23 Ao fazer a segunda comparação, verificou-se que os resultados das altitudes ajustadas tem diferença no ponto h4 de 0,001m. Pelas incertezas vemos como as injunções influenciam a rede nas duas comparações de injunção mínima. Mostrando que o ajustamento livre proporciona um melhor resultado. Uma análise dos circuitos da rede de nivelamento demonstra um controle das observações ajustadas entre si: Circuito Um B.> / B>C / BC. � ,?,,,: Circuito Dois B>C / BC., / B.,> � ,?,,,: Circuito Três BC., / B.,O / BOC � ,?,,,: Circuito Quatro B.,O / BOP / BP., � ,?,,,: Circuito Cinco B.,P / BP> / B>., � ,?,,,: O ajustamento livre tem a vantagem de se poder fazer um ajuste sem a interferência externa e com isso se pode fazer uma análise direta nas observações. Quando observado o erro médio quadrático dos relatórios de processamento de cada vetor, presente no anexo nota-se a precisão o qual o vetor foi medido pelo sistema GNSS, sugerindo que a fonte de erro discrepante não esteja na determinação dos vetores das diferenças de nível da rede. 24 7. CONCLUSÃO A rede de nivelamento foi definida e implantada com êxito, e com isso foi possível realizar a medição por nivelamento espacial. O entendimento geométrico das transformações lineares usadas para o cálculo da Decomposição de Valores Singulares faz com que haja uma rápida compreensão das etapas até a obtenção da matriz Pseudoinversa. Pela metodologia do espaço nulo foi possível solucionar a deficiência de rank da matriz A ajustando os valores dos parâmetros contidos no vetor X e referenciá-la a uma altitude fictícia. Com o ajustamento feito também por injunção mínima em dois casos comparou-se os resultados das altitudes ajustadas com o ajustamento livre onde se notou a boa qualidade do ajustamento livre. A escassez de autores das áreas afim da Geodésia e ajustamento das observações, que descrevem soluções e resoluções de problemas singulares, fazem com que o entendimento dos estudos realizados e publicados fique mais rebuscado, apresentando dificuldade na interpretação da idéia proposta. 8. RECOMENDAÇÕES Com base nas pesquisas feitas, objetivando a coleta de informações para a construção do modelo de ajustamento livre, que servisse como forma de aprimoramento e visualização da questão ressaltada e descrita nos parágrafos anteriores, recomenda-se um estudo mais amplo sobre as causas e conseqüências do uso da matriz Pseudoinversa de Moore-Penrose, assim como um estudo avançado da decomposição de valores singulares com o intuito de se ter uma visualização geométrica do ajustamento à rede de nivelamento. 25 9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS G. Strang e K. Borre, Linear Algebra, Geodesy, and GPS. Wellesley-Cambridge Press, 1997. A. Leick, Adjustment Computations. University of Maine, Toronto, Department of Civil Engineer, 1980. 26 10. ANEXOS I – Anexos – Relatório de processamentoe ajustamento do vetor levantado por GNSS. Vetor h3 – h1. Resumo do Ponto 27 Vetor h1 – h2. Resumo do Ponto 28 Vetor h2 – h4. Resumo do Ponto 29 Vetor h2 – h3. Resumo do Ponto 30 Vetor h5 – h3. Resumo do Ponto 31 Vetor h5 – h4. Resumo do Ponto 32 Vetor h4 – h6. Resumo do Ponto 33 Vetor h6 – h5. Resumo do Ponto 34 Vetor h3 – h6. Resumo do Ponto 35 Vetor h6 – h2. Resumo do Ponto
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