Apostila_Cet219_unid_probabilidade

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UNIDADE II 
 
INTRODUÇÃO A TEORIA PROBABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Disciplinas: CET209/CET219 - Bioestatística 
Prof.a Sandra Pinheiro 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -2
I. OBS: Os tópicos de Noções de Conjuntos e Introdução à Análise combinatória 
são apenas para o curso de Medicina Veterinária. 
Noções de Conjuntos 
Conjunto: representa uma coleção de objetos. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. Em geral, um elemento de um conjunto, é 
denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. 
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. 
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo ∈ que se 
lê: "pertence". 
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O 
conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos 
trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é 
representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo. 
Reunião de conjuntos 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou 
ao conjunto B. A ∪ B = {x: x ∈A ou x ∈B} 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A ∪ B={a,e,i,o,3,4}. 
Interseção de conjuntos 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
e ao conjunto B. A ∩ B = { x: x ∈A e x ∈B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A ∩ B=Ø. 
Algumas propriedades dos conjuntos 
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: 
A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C 
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: 
A ∪ B=B ∪ A 
A ∩ B = B ∩ A 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -3
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: 
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 
Diferença de conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto 
A e não pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x ∈A e x∉B} 
 
Introdução à Análise combinatória 
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos 
diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. 
Problemas de Análise Combinatória podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da 
soma e a regra do produto. 
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um 
outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se 
realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas 
de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. 
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas 
diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n 
formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas. 
Na maioria das vezes serão considerados conjuntos Z com m elementos com grupos formados de p 
elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. 
Os três principais tipos de agrupamentos são: Arranjos, Permutações ou Combinações, que ser 
simples, com repetição ou circulares (que não será abordado aqui). 
 
1. Arranjos 
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos 
entre sí pela ordem ou pela espécie. 
1.1. Arranjo simples 
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -4
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2, encontre os arranjos simples desses 4 elementos 
tomados 2 a 2 
 As(4,2) = 4!/2!=24/2=12. 
 
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} 
Exercícios: 
1) Quantos números diferentes com um algarismo podemos formar com os algarismos 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ? Resp: 10 
2) Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com três algarismos podem ser 
montados? Resp: 60 
1.2. Arranjo com repetição 
 Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: Ar(m,p) = mp. 
 
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2, encontre os arranjos com repetição desses 4 elementos 
tomados 2 a 2 
Ar(4,2) = 42=16. 
 
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 
Exercícios: 
1) Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ? 
Resp: 10000 
2) Quantos números com 2 algarismos podemos formar com os algarismos 1,3,5,7,9 ? Resp: 25 
 
2. Permutações 
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos 
entre sí pela ordem. 
2.1. Permutação simples 
São agrupamentos com todos os m elementos distintos. 
Fórmula: Ps(m) = m!. 
 
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3, quantas são as permutações simples desses 3 elementos? 
Ps(3) = 3!=6. 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -5
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
Exercícios: 
1) De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco com 5 lugares? Resp: 
120. 
2) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: A B C D E F G H I, começando por A 
B? Resp: 5040 
3) Quantos são os anagramas possíveis com as letras A B C D E F G H I, começando por uma 
vogal e terminando por uma consoante? Resp: 4320 
 
2.2. Permutação com repetição: 
 Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 
iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m. 
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então 
Pr(m) m! / (m1! m2!......mn!) 
 
Exemplo: Qual o número possível de anagramas que podemos formar com as letras da palavra A R 
A R A? 
 m1=3, m2=2, 
 logo: Pr(5) = 5! / (3! 2!) = 10. 
Exercícios: 
1) Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT? Resp: 60 
2) Qual o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra A M A 
R? Resp: 12 
 
 
3. Combinações 
 
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam 
distintos entre sí apenas pela espécie. 
3.1. Combinação simples 
 Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: C(m,p) = m! / [(m-p)! p!] 
 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2, quantas são as combinações simples desses 4 elementos 
tomados 2 a 2 ? 
 C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -6
 
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} 
Exercícios: 
1) Quantos grupos de três animais podem ser montados com oito animais? Resp: 56 
2) Quantas combinações com quatro elementos podem ser montadas com as dez primeiras letras do 
alfabeto? Resp: 210 
3.2. Combinação com repetição 
 Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. 
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2, quantas são as combinações com repetição desses 4 
elementos tomados 2 a 2 ? 
Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 
 
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 
 
 
Exercícios: 
 
1) Seja C={2, 4, 6, 8, 10, 12}, m=6 e p=4, quantas são as combinações com repetição desses 6elementos tomados 4 a 4 ? Resp: 126 
2) Seja C={A, B, C, D, E}, m=5 e p=3, quantas são as combinações com repetição desses 5 
elementos tomados 3 a 3 ? Resp: 35 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -7
INTRODUÇÃO 
 
 
O estudo das probabilidades está associado à incerteza do resultado de um experimento e a 
regularidade no resultado que é observada ao longo do prazo, ou seja, à medida que o experimento é 
repetido um grande número de vezes. 
 
 
 
1. Tipos de modelos matemáticos 
Os modelos matemáticos podem ser: 
 
a) Determinísticos 
Ocorrem quando, sob as mesmas condições de experimentação, pode-se determinar ou 
predizer com certeza o resultado final do experimento. 
Exemplo: fórmulas matemáticas e físicas para comprovar teorias. 
 
b) Não-determinísticos (ou probabilísticos) 
Ocorrem quando não é possível predizer com certeza o resultado final do experimento. 
Exemplo: investigar sobre o efeito de um novo tratamento em pacientes, definir o resultado 
do lançamento de um dado. 
 
 
 
2. Definições importantes 
Algumas definições são importantes para entendermos probabilidade. 
 
2.1. Fenômenos ou Experimentos aleatórios (E) 
 São aqueles em que o processo de experimentação está sujeito à incerteza, não sendo possível 
prever com exatidão o resultado final de um experimento. 
 
Exemplo: Utilização de uma nova droga para tratamento de verminose em bovinos; lançamento de 
um dado. 
 
Características de um experimento aleatório 
 
a) cada experimento pode ser repetido varias vezes sob as mesmas condições de experimentação; 
b) não podemos afirmar qual resultado final ocorrerá, mas poderemos descrever todos os possíveis 
resultados; 
c) quando o mesmo experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade 
nos resultados chamada regularidade estatística. 
 
2.2. Espaço amostral (S) 
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. 
 
Exemplo1: Utilização de uma nova droga para tratamento de verminose em dois bovinos 
S = {(c, c), (c, d), (d, c), (d, d)} c – curado, d – doente 
 
Exemplo2: Lançamento de um dado. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -8
2.3. Eventos 
É um resultado particular do experimento. Podem ser representados por letras maiúsculas não tendo 
uma letra específica. 
 
Exemplo1: Para o experimento da nova droga para tratamento de verminose liste os eventos: 
A: primeiro animal curado 
A = {(c, c), (c, d)} 
 
B: pelo menos um animal curado 
B = {(c, c), (c, d), (d, c)} 
 
OBS1: Um evento é chamado de certo quando todos os elementos do espaço amostral ocorrem. 
Exemplo: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A: no lançamento de um dado observar a ocorrência de um número maior que zero. A = S 
 
OBS2: Um evento é chamado impossível quando não ocorre elementos diferentes dos existentes no 
espaço amostral. 
 Exemplo: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A: no lançamento de um dado observar a ocorrência do número 7. A = φ. 
 
 
Relação entre eventos 
 
a) Eventos mutuamente exclusivos 
 
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um exclui a ocorrência 
do outro, ou seja, se um ocorre o outro não pode ocorrer. Então, A ∩ B = φ. 
 
Exemplo1: Utilização de uma nova droga para tratamento de verminose em bovinos 
S = {(c, c), (c, d), (d, c), (d, d)} c – curado, d – doente 
A: todos os animais curados = {(c, c)} 
B: todos os animais doentes = {(d, d)} 
A ∩ B = φ, logo A e B são eventos mutuamente exclusivos. 
 
Exemplo2: Lançamento de um dado. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A: ocorrer o número um = {1} 
B: ocorrer um número par = {2, 4, 6} 
A ∩ B = φ, logo A e B são eventos mutuamente exclusivos. 
 
b) Eventos complementares 
 
Dois ou mais eventos são complementares se a união entre eles resulta no espaço amostral (S). 
Exemplo1: Lançamento de um dado. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A: ocorrer um número ímpar = {1, 3, 5} 
B: ocorrer um número par = {2, 4, 6} 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S. 
 
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -9
3. Definição Clássica de Probabilidade 
 
Se todos os possíveis resultados de um experimento (E) são conhecidos a chance de 
ocorrência de cada evento pode ser conhecida, ou seja, pode-se determinar a probabilidade de 
ocorrência de cada evento. Então, a probabilidade de ocorrência de um evento A é definida por: 
 
 
 
 
 
Exemplo1: Encontre as probabilidades dos eventos abaixo: 
E: Um novo tipo de fertilizante está sendo testado em três tipos de plantas. 
S = {(m m m), (m m i), (m i m), (i m m), (m i i), (i m i), (i i m) (i i i)} m – melhor que o anterior, i 
– igual ao anterior 
 
A: melhora nos três tipos = {(m m m)} 
B: não houve melhora nos três tipos = {(i i i)} 
C: melhora em pelo menos um tipo = {(m m m), (m m i), (m i m), (i m m), (m i i), (i m i), 
(i i m)} 
 
125,0
8
1)( ==AP - 12,5% de chance de haver melhora nos três tipos 
125,0
8
1)( ==BP - 12,5% de chance de não haver melhora nos três tipos 
875,0
8
7)( ==CP - 87,5% de chance de haver melhora em pelo menos um tipo 
 
 
Exemplo2: Lançamento de um dado. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
A: ocorrer um número ímpar = {1, 3, 5} 
B: ocorrer um número maior que quatro = { 5, 6} 
 
50,0
6
3)( ==AP - 50% de chance de ocorrer um número ímpar 
333,0
6
2)( ==BP - 33,3% de chance de ocorrer um número maior que 4 
 
 
4. Axiomas de Probabilidade 
 
Dizemos que um número real que pode ser representado por P(A) representa uma probabilidade se 
satisfaz as seguintes condições: 
 
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
2) P(S) = 1 
3) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
)(_____º
)(______º)(
SoExperimentdopossíveiscasosden
AeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenAP =
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -10
5. Teoremas 
 
1) Se φ é um evento impossível, então P(φ) = 0. 
2) Se A é o complemento de A, então )(1)( APAP −= 
3) Se A e B são eventos quaisquer do mesmo espaço amostral S, então 
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). 
Exercício: Considere o experimento que consiste em aplicar um medicamento em três 
doentes. Encontre: 
a) o espaço amostral 
b) A: menos de dois pacientes doentes 
c) B: todos os pacientes curados 
d) C: até dois pacientes doentes. 
 
 
6. Probabilidade condicional 
 
 
Sejam A e B eventos de um experimento aleatório qualquer, com P(B) > 0. A probabilidade 
condicional de A dado B (denota-se por P (A B)) é definida como: 
 
 
 
 
Exemplo: Os dados a seguir são referentes ao peso de cachorros da raça pastor alemão entre a 4ª e 
5ª semanas de vida, segundo o gênero? 
 
 
 
a) Sabendo que é macho, qual a probabilidade de ter menos de 3 kg? 
375,0
40
15
95/40
95/15
)(
)3()|3( ===∩<=<
MP
MPMP 
 
b) Qual a probabilidade de ser fêmea dado que tem 3 kg ou mais? 
 
 
Exercício: considere o quadro abaixo. Selecionando uma pessoa aleatoriamente, qual a 
probabilidade de: 
a) ter entre 20 e 59 anos; 
b) ser homem e ter entre 20 e 59 anos; 
c) ter 60 anos ou mais dado que é do sexo feminino; 
d) sabendo que é homem ter entre 10 e 14 anos. 
 
 
 
Peso (kg) Machos Fêmeas Total 
< 3,0 15 25 40 
>= 3,0 25 30 55 
Total 40 55 95 
 
P(B)
B)P(A
 B) P(A ∩=
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -11
População censitária por faixa etária, residente na área urbana. Cruz das Almas/2000. 
Faixa etária Homens (Pessoas) Mulheres (Pessoas) 
 
Total 
00 a 09 anos 3567 3386 6953 
10 a 14 anos 4428 4584 9012 
20 a 59 anos 9119 10988 20107 
60 anos e mais 1299 2233 3532 
Total 18413 21191 39604 
 
 
 
7. Regra ou teorema do produto 
 
 
A regra do produto de probabilidades é deduzida da definição de probabilidade condicional. Sejam 
A e B eventos pertencentes aomesmo espaço amostral Ω, então: 
 
( ) ( ) )(|)()(
)(| BPBAPBAP
BP
BAPBAP ⋅=∩⇒∩= 
 
 
Exemplo: 
Em uma gaiola temos quatro pássaros que receberam numeração de 1 a 4. Retira-se um pássaro da 
gaiola ao acaso (sem reposição) e anota-se o número. Retira-se novamente outro pássaro, ao acaso, 
da gaiola. Qual a probabilidade de ter saído o pássaro com número 1, na primeira retirada, e de ser 5 
a soma dos números dos dois pássaros retirados? 
Pelo teorema do produto temos que, 
Evento A: sair o número 1 na primeira retirada =>P(A) = 41 
Evento B: soma = 5 
 
Evento B|A : {soma = 5 | o primeiro pássaro é 1} , se queremos que a soma seja 5, então é preciso 
que o segundo pássaro seja o número 4 ⇒ P(B|A) = 31 
( ) 1213141)(|)( =⋅=⋅=∩ APABPBAP 
 
 
Exercício: Em um viveiro existem 10 mudas de abacateiro com altura superior ou igual a 30 cm, e 
15 mudas com altura inferior a 30 cm. Duas mudas serão retiradas do viveiro (sem reposição) 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de: 
a) ambas terem altura inferior a 30 cm; 
b) no mínimo uma ter altura superior ou igual a 30 cm. 
 
 
 
8. Independência Estatística 
 
Dois eventos A e B que pertencem ao mesmo espaço amostral S são considerados independentes 
quando a ocorrência de um não interfere na ocorrência do outro, ou seja, quando eles não estão 
condicionados. 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -12
Se o evento A é estatisticamente independente do evento B, então P(A| B) = P(A). 
Então, dois eventos serão independentes se P(A ∩ B) = P(A).P(B). 
 
 
Exemplo: Em uma amostra de 10 gatos, 4 consomem menos de 145g de ração e 6 consomem mais 
de 145g de ração. São selecionados dois gatos um após o outro com reposição. Qual a probabilidade 
de: 
a) ambos consumirem mais de 145g de ração 
P(B ∩ B) = 6/10 . 6/10 = 0,360 
36% de chance de retirarmos os dois gatos que consomem mais de 145g. 
 
 
b) o primeiro consumir mais de 145g e o segundo consumir menos de 145g 
 P(B ∩ A) = 6/10 . 4/10 = 0,240 
24,0% de chance do primeiro consumir mais de 145g e o segundo consumir menos de 145g. 
 
 
 
II. VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
1. Conceitos Básicos 
 
Definição 1. 
Sejam E um experimento e Ω um espaço amostral associado ao experimento. Uma função X 
que associe a cada elemento wi ∈ Ω um número real, X(wi), é denominada variável aleatória. 
 
 
 Ω R 
 
 
 . w1 x1 
 .w2 x2 
 .w3 x3 
 .w4 x4 
 
 
 
 
Uma variável aleatória X é, portanto, uma função cujo domínio é o espaço amostral e 
contra-domínio é conjunto dos números reais, ou seja, X: R →Ω 
 
Exemplo: 
a) E: Lançamento de uma moeda. 
Assim, Ω = {cara, coroa}={w1, w2} 
 
( )



=
=
=
coroadersese
caraderouse
wX
 seja,ou , w w,0
,se seja ,w w,1
2
1
 
 
 
b) E: Observar o sexo no nascimento de dois filhotes de leitoa Duroc Jersey. 
X 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -13
Seja X o número de nascimento de machos. 
Vamos denotar m: macho e f:fêmea. 
Assim, Ω = { mm, mf, fm, ff}= {w1, w2, w3, w4} 
 
( )





=
==
=
=
machonascernão
machoumnascer
se seja, ou ,w wse0,
se seja, ou ,w wouw wse1,
machos dois nascerem se seja, ou ,w wse2,
wX
4
32
1
 
 
 
Definição 2 . 
Seja X uma variável aleatória. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumerável, 
então X é denominada variável aleatória discreta. 
 
Exemplo: 
E: Contar o número de pés de milho numa plantação de 10 hectares. 
X : nº de pés de milho=> X(w) = {1, 2, 3, ..., n} 
 
 
Definição 3. 
Seja X uma variável aleatória. Se X assume valores em um conjunto infinito não enumerável, então 
X é denominada variável aleatória contínua. 
 
Exemplo: 
 E: Sorteia-se um bezerro para avaliar o seu peso. Suponha que os bezerros têm peso que varia de 
55 a 75 kg. 
X = peso dos bezerros => X(w) = {w / 55 ≤ w ≤ 75} 
 
 
1) Distribuição Binomial 
 
 
Consideremos n repetições independentes de ensaios de Bernoulli (n ≥ 2). Este modelo 
fundamenta-se nas seguintes hipóteses: 
 
a) n ensaios independentes e idênticos são realizados; 
 
b) A probabilidade de “sucesso” é igual a “p” em cada ensaio e q é a probabilidade de fracasso, 
sendo p + q = 1 . 
 
Seja a variável aleatória X o número de sucessos nos n ensaios. Nestas condições dizemos que 
X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, onde: 
 
n = número de repetições do experimento e 
p = probabilidade de sucesso em cada repetição 
Notação: 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -14




=




==⇒
−
contrário caso 0,
n,2,1,0,k,nkk)P(Xp)B(n,~X qp
knk
K
 
 
Exemplo1: 
De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional, 9,8% da população de 18 a 24 anos de idade 
nos Estados Unidos é canhota. Uma amostra de dez pessoas foi selecionada. 
a) Qual é a probabilidade de que exatamente três das dez pessoas sejam canhotas? 
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas? 
c) Qual é a probabilidade de que no máximo dois indivíduos sejam canhotos? 
 
X = número de pessoas canhotas 
p = 0,098 = probabilidade de uma pessoa canhota ser selecionada (a probabilidade de sucesso) 
a) Entre as dez pessoas, ou seja, n = 10, qual a probabilidade de 3 serem selecionadas: 
 
P(X = 3) = 





3
10
 (0,098)3(1 - 0,098)10 - 3 = 120. (0,098)3.(0,902)7 = 0,0549 
 
 Esperança e Variância 
 
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p 
 
⇒ 



=
=
 ),(variâncianpq Var(X)
(média)np E(X)
 
 
 Como a variância = V(X) = npq ⇒ DP(X) = npq 
 
Exercício: 
Um tipo de fertilizante pode ser usado por 10 produtores de feijão com 35% de probabilidade. Qual 
a probabilidade de, em um determinado período: 
a) exatamente três produtores usarem este fertilizante; 
b) menos de dois produtores usarem este fertilizante. 
 
 
2) Distribuição Normal 
 
 
A distribuição normal é caracterizada por uma função, cujo gráfico descreve uma curva em forma 
de sino. Esta distribuição depende de dois parâmetros que são: 
µ (média) – especifica a posição central da distribuição de probabilidades. 
σ (desvio padrão) – especifica a variabilidade da distribuição de probabilidades. 
 
 
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se sua função de 
densidade é dada por: 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -15
2
2
1
2
1)( 



 −
−
=
σ
µ
piσ
x
exf , para -∞ < x < ∞. 
 
 
Algumas propriedades da densidade da normal: 
 
)(xf é simétrica em relação à µ; 
0)( →xf )(xf quando ±∞→x ; 
o valor máximo de )(xf se dá para x = µ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas a integral abaixo deve ser resolvida: 
 
 
 
 
 
Devido ao grau de dificuldade da resolução dessa integral, as probabilidades para o modelo normal 
são calculadas com o auxílio de tabelas sendo necessária uma transformação da variável para uma 
padronizada. 
 
 
A variável Z será normal padrão se: 
 
 
σ
µ−
=
XZ 
 
 
Distribuição Normal
N( µ,σ 2 )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
σ
 µ µ + σ
 µ − σ
.
2
1)(
22
1
dxebxaP
x
b
a





 −
−
∫=≤≤
σ
µ
piσ
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -16
Propriedades da curva normal padrão 
 
1. A função é simétrica em relação à origem 
Z = 0 
 
2. A função é máxima no ponto Z = 0 e nesse caso sua ordenada vale 
= 
pi2
1
 ≅ 0,39 
 
3. A função tende a zero quando: 
Z tende para ± ∞ 
 
4. A função tem dois pontos de inflexão e suas abscissas valem: 
Z = ± 1 
 
 
Exemplo1: Suponha que o desempenho dos alunos das três últimas fases de um curso tenha 
distribuição normal de média 2,5 e desvio padrão de 0,6. Calcule a probabilidade de um aluno 
acusar desempenho entre 2 e 3,5. 
 
7492,0)0475,02033,0(1)67,183,0(
6,0
5,25,3
6,0
5,22)5,32( =+−=<<−=




 −
<<
−
=<< ZPZPXP 
 
 
Exercício1: O nível médio de mercúrio para consumo permitido em peixes é de 0,5 µgHg/g com 
desvio padrão de 0,05 µgHg/g. Um peixe da comunidade indígena da reserva Munduruku foi 
selecionado para avaliar o nível de mercúrio. Qual a probabilidade do peixe ter nível de mercúrio: 
a) acima da média permitida 
b) entre 0,45 e 0,60 µgHg/g 
c) abaixo de 0,55 µgHg/g 
 
 
Exercício2: Um tipo de peixe criado em viveiro pesa em média 2,10 kg variando em ± 0,65 kg. Será 
feita a avaliação do peso de um peixe selecionado aleatoriamente. Qual a probabilidade do peixe 
selecionado ter peso: 
a) entre 1,80 e 2,35 kg 
b) acima de 2,00 kg 
c) abaixo de 1,80 kg. 
 
 
 
********************* LISTA DE EXERCÍCIOS ***************** 
 
 
1) Determine o espaço amostral e os eventos dos experimentos abaixo: 
 
a) Observar o sexo dos recém-nascidos em três nascimentos ocorridos num dia em um hospital 
A: nascer no máximo um menino 
B: nascer duas meninas ou mais 
C: nascer todos do mesmo sexo 
D: não nascer todos do mesmo sexo 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -17
i) Quais dos eventos A, B, C e D são mutuamente exclusivos 
ii) Quais dos eventos A, B, C e D são complementeres 
iii) Quais dos eventos A, B, C e D são independentes 
 
b) Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente. 
A: ocorrer cara e um número par 
B: ocorrer um número primo 
C: ocorrer coroa e um número ímpar 
i) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos 
ii) Quais dos eventos A, B e C são complementeres 
iii) Quais dos eventos A, B e C são independentes 
 c) Seja um caixa contendo 3 comprimidos amarelos e 3 comprimidos verdes. São retirados 
sucessivamente 3 comprimidos. 
 A: dois comprimidos amarelos 
 B: três comprimidos da mesma cor 
 C: pelo menos um comprimido verdes 
i) Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos 
ii) Quais dos eventos A,B e C são complementeres 
ii) Quais dos eventos A,B e C são independentes 
2) Determine as probabilidades para todos os eventos da questão anterior. 
 
3) De uma plantação de milho foram selecionados 15 pés com altura superior ou igual a 80 cm, e 10 
pés com altura inferior a 80 cm. Qual a probabilidade de escolhermos dois pés (com reposição) e: 
a) ambos terem altura superior ou igual a 80 cm; 
b) apenas o 1º ter altura inferior a 80 cm. 
 
Resp: a) p = 0,36 b) p = 0,24 
 
 
4) Levantaram-se dados relativos ao sistema sanguíneo Rh em uma amostra de 820 indivíduos 
residentes em São José do Rio Preto-SP. Obtiveram-se 737 indivíduos Rh+ e 83 com Rh-. Qual a 
probabilidade de: 
a) um indivíduo pertencer à categoria Rh+ ? p = 0,899 
b) um indivíduo pertencer à categoria Rh- ? p = 0,101 
c) selecionarmos dois indivíduos (sem reposição), um da categoria Rh+ e o outro da categoria Rh- ? 
p = 0,182 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -18
d) selecionarmos dois indivíduos (sem reposição) da categoria Rh+ ? p = 0,808 
 
 
5) Uma amostra de 6800 pessoas de uma determinada população foi classificada quanto à cor dos 
olhos e à cor dos cabelos. Os resultados foram: 
Classificação de uma amostra de 6800 pessoas quanto à cor dos 
olhos e à cor dos cabelos 
 Cor dos cabelos 
Cor dos olhos Loiro Castanho Preto Ruivo Total 
Azul 1768 807 189 47 2811 
Verde 946 1387 746 53 3132 
Castanho 115 438 288 16 857 
Total 2829 2632 1223 116 6800 
 
Determine as probabilidades para cada evento abaixo: 
A={a pessoa tem olhos azuis} 
V={a pessoa tem olhos verdes} 
C={a pessoa tem olhos castanhos} 
i) Qual a probabilidade de uma pessoa ter olhos azuis e cabelos loiros? 
ii) Qual a probabilidade de uma pessoa ter olhos azuis ou cabelos louros? 
iii) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população ter olhos 
azuis dado que possui cabelos loiros? 
iv) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população ter cabelos 
pretos dado que possui olhos verdes? 
Resp: p=0,4134 ; p=0,4606 ;p=0,1260; i) 0,26 ; ii) 0,5694 ; iii) 0,6250 ; iv) 0,2382 
 
6) Sabendo-se que o índice de massa corpórea em uma população de pacientes com diabetes 
mellitus obedece uma distribuição normal e tem média = 27 kg/cm2 e desvio-padrão = 3 kg/cm2, 
qual a probabilidade de um indivíduo sorteado nessa população apresentar um índice de massa 
corpórea entre 26 kg/cm2 e a 27 kg/cm2? 
Resp: 12,93% 
 
7) A concentração de cádmio em cinzas de certo lixo radioativo tem distribuição N(1; 0.72). Quais 
são as chances de que uma amostra aleatória das cinzas tenha uma concentração de cádmio entre 
0.5 e 1.75 ppm? Resp: 53,3% 
 
8) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8,1.5). 
Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 
ppm? Resp: 9% 
 
9) Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma 
moeda. Qual a probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos? Resp: 19% 
 
10) Considere três nascimentos de bovinos onde a probabilidade de sair um animal sem chifres é 
igual a 3/4. 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -19
a) Qual a probabilidade de no máximo um nascer sem chifres? P = 0,1562 
b) Qual a probabilidade de exatamente dois nascerem sem chifres? P = 0,4219 
 
 
11) Sabe-se que 80% das pessoas de uma amostra estudada são alérgicas a um novo medicamento. 
Se escolhermos 10 pessoas aleatoriamente deste grupo, qual a probabilidade de que: 
a) menos de oito sejam alérgicas 
b) menos de três não sejam alérgicas. 
 
*** 
Respostas do 1º 
 
a) S = {(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM), (FFF)} 
A= {(MFF), (FMF), (FFM), (FFF)} 
B= {(MFF), (FMF), (FFM), (FFF)} 
C= {(MMM), (FFF)} 
D= {(MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM)} 
 
 
b) S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, C1, C2, C3, C4, C5, C6} 
A={K2, K4, K6}; B={K2,K3,K5,C2,C3,C5} ; C={C1,C3,C5} 
AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,C2,C3,C5} 
B ∩ C = {C3,C5} 
B(Complementar) = {K3,K5,C2} 
A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = ∅ 
 
c) S = {(AAA),(AAV),(AVA),(AVV),(VAA),(VAV),(VVA),(VVV)}. 
 A: {(AAV),(AVA),(VAA)}. 
B: {(AAA),(VVV)} 
C: {(AAV),(AVA),(AVV),(VAA),(VAV),(VVA),(VVV)}. 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -20
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -21
 
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -22
 
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -24
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -25
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -26
 
 
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -27
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -28
 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -29
 
 
 
 
P(0 ≤ Z ≤ zc) 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
DISCIPLINA: EST0034 - PROBABILIDADE III 
 
TABELA - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
 
 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
 
 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
 
 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 *0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
 
 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 
 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 *0,4951 0,4952 
 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 
 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
 
 3,10 ou + 0,4999 
 
 
* Use esses valores comuns resultantes de interpolação: 
Escore z Área 
1,645 0,4500 
 
 
 CET209;CET219 – Sandra -30
2,575 0,4950