Livro Calculo I

Prévia do material em texto

2014 
ÁUREO MARTINS, 
JANOR BASTOS E 
LEOMIR JOEL SCHWEIG 
CÁLCULO I 
 
 
2 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES 3 
CAPÍTULO 2 – O LIMITE 34 
CAPÍTULO 3 – LIMITES: PROPRIEDADES E CÁLCULO DE LIMITES 49 
CAPÍTULO 4 – CONTINUIDADE DE FUNÇÃO, 
 LIMITES INFINITOS E ASSÍNTOTAS 59 
CAPÍTULO 5 – A DERIVADA 73 
CAPÍTULO 6 – REGRAS DE DERIVAÇÃO 92 
CAPÍTULO 7 – REGRA DA CADEIA 106 
CAPÍTULO 8 – PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO 114 
CAPÍTULO 9 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS: 
 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 127 
CAPÍTULO 10 – FORMAS INDETERMINADAS E 
 REGRA DE L`HÔPITAL 147 
BIBLIOGRAFIA 151 
 
3 
 
Capítulo 1: FUNÇÕES 
 
1
Janor Araujo Bastos 
 
 Introdução 
 
Neste capítulo faremos uma revisão sobre funções abordando o conceito, o domínio, a 
imagem e o gráfico das funções constante, linear, quadrática, trigonométricas e as funções 
definidas por várias sentenças. 
Normalmente as grandezas físicas estão relacionadas entre si segundo um critério. Este 
fato constitui uma relação de dependência entre duas ou mais grandezas. Por exemplo, se uma 
máquina que produz 90 copos plásticos por minuto, em dois minutos terá produzido 180 
copos, em três minutos produzirá 270. Neste contexto pode-se perceber que a quantidade de 
copos, depende do tempo que a máquina ficar ligada. O salário de uma pessoa que é 
remunerada por um porcentual de 5% de suas vendas, depende do valor final das vendas. 
Vários tipos de relação recebem o nome de função. Pode-se concluir que uma função é o 
critério com o qual duas grandezas se relacionam. 
Podemos modelar os exemplos dados acima, representando no primeiro, a quantidade 
de copos por Q e t o tempo em minutos e no segundo, o salário por S e as vendas por v. 
Q = 90.t a quantidade de copos em função do tempo. 
S = 0,05.v o salário em função das vendas. 
Normalmente costuma-se generalizar representando as grandezas pelas últimas letras 
do alfabeto, x, y, z, w e chamá-las de variáveis Assim as funções acima ficariam: 
y = 90x onde x representa o tempo e y a quantidade. 
y = 0,05x onde x representa as vendas e y o salário 
Neste capítulo abordaremos alguns tipos mais importantes de funções, com mais 
detalhe dada a sua importância. 
 
 
 
 
1 Especialista em Matemática Aplicada e Mestre em Engenharia Elétrica. 
4 
 
1.1 – Função constante 
A função definida pela equação f(x) = k e é chamada função constante. Esta função é 
utilizada para escrever situações que nunca mudam. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x 
e intercepta o eixo y em y = k. 
 
 
 
 
Outros exemplos de funções constantes com seus respectivos gráficos: 
a) f(x) = 4 b) f(x) = - 2 c) f(x) = 1,5 
 
 
1.2 – Função do primeiro grau ou função linear 
Função do primeiro grau ou função linear é a função definida por: 
 
 
onde m é chamado coeficiente angular que é responsável pela inclinação da reta, é a tangente 
do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas (eixo x) e k é chamado coeficiente linear 
que indica onde gráfico intercepta o eixo das ordenadas (eixo y). 
O gráfico da função do primeiro grau é sempre uma reta. 
 
 
 
 
y 
x 
k 
y 
x 
k 
f(x) = mx + k 
5 
 
Uma função é dita crescente quando aumentando o valor da variável independente o 
valor da variável dependente também aumenta ou quando uma diminui a outra também 
diminui. 
Uma função é decrescente quando aumentando o valor da variável independente, o 
valor da variável dependente diminui ou quando uma diminui a outra aumenta. 
Exemplos de funções do primeiro grau com seus respectivos gráficos. 
a) f(x) = x b) f(x) = x + 2 c) f(x) = x – 3 
 
 d) f(x) = - x e) f(x) = -x + 2 f) f(x) = - x – 3 
 
g) = 2x+1 h) f(x) =3x+1 i) f(x) =- 2x+1 
 
 
Observe que nos exemplos (a) e (d) os gráficos interceptam o eixo das ordenadas na 
origem do sistema porque as equações tem k = 0. Nos exemplos (b) e (e) os gráficos 
interceptam o eixo das ordenadas em y = 2 porque as equações tem k = 2. Nos exemplos (c) e 
(f) gráficos interceptam o eixo das ordenadas em y = -3 porque as equações tem k =-3. Nos 
exemplos (g), (h) e (i) gráficos interceptam o eixo das ordenadas em y = 1 porque as 
equações tem k =1. Isso ocorre porque se fizermos x = 0 encontramos y = k. Então, para 
       






x
y
6 
 
encontrar o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo das ordenadas basta atribuir 
valor zero para x. 
Nos exemplos (a), (b), (c), (g) e (h) as retas estão inclinadas para a direita. Isso ocorre porque 
o valor de m nesses casos é um número maior que zero (m=1, m=2 e m=3). O fato de m ser 
maior que zero, assegura que a função é crescente. Nos exemplos (d), (e), (f) e (i) as retas 
estão inclinadas para a esquerda. Isso ocorre porque o valor de m nesses casos é um número 
menor que zero (m= - 1 e m= - 2). O fato de m ser menor que zero, assegura que a função é 
decrescente. 
Pode-se concluir que quando se soma uma quantidade a uma função seu gráfico se 
desloca para cima o numero de unidades somadas e se for subtraído o gráfico se desloca para 
baixo. 
A Raiz de uma função é valor de x para o qual a função é nula, é o ponto onde o 
gráfico da função intercepta o eixo das abscissas. Para encontrá-lo, basta atribuir valor zero 
para y. Neste ponto a função troca seu sinal, de positivo para negativo ou de negativo para 
positivo. 
Quando multiplicamos uma função por -1, o gráfico dessa função faz uma reflexão 
com relação ao eixo x, tendo sua raiz como apoio, neste caso 
2
1x
. Todos os valores da 
função trocam de sinal, os que eram positivos ficam negativos e vice-versa. Observe os 
gráficos abaixo e suas respectivas equações. 
 
 
 Sabendo-se que por dois pontos passa uma única reta, para traçar o gráfico de 
uma função linear precisamos de apenas dois pontos. 
1.3 – Exercício resolvido 
Dada a função y = 2x – 6, determine: 
a) O ponto onde o gráfico intercepta o eixo y; 
b) A raiz da função (o ponto de intersecção com o eixo x); 
c) O gráfico da função; 
f(x) = 2x +1 
 - f(x) = - 2x -1 
 
7 
 
d) O sinal da função; 
e) A função é crescente ou decrescente. 
 
Solução: Nessa função termos m = 2 e k = - 6 
a) O gráfico intercepta o eixo y quando x = 0, este ponto é y = - 6 que é valor de k. 
b) A raiz da função é o valor de x para o qual a função é nula, ou seja, y = 0. Então 
fazendo temos 
 
3
62
062



x
x
x
 
c) Para traçar o gráfico, precisamos determinar dois pontos. Como sabemos que o 
gráfico intercepta o eixo y em y = 6 e que a raiz da função é x = 3, já dispomos dos 
dois pontos, as intersecções com os eixos coordenados. Poderíamos ter utilizado 
outros pontos, por exemplo: 
y = 2x + 6 
 para x = 2 y = 2× 2 - 6 = - 2 ponto (2, -2) 
 para x = 5 y = 2×5 -6 = 4 ponto (5, 4) 
Observe a figura abaixo. Estes dois pontos (2, -2) e (5, 4) pertencem a mesma reta. 
 
d) A função troca de sinal em x = 3, raiz da função. 
Para x < 3 a função tem sinal negativo. Observe que neste intervalo o gráfico está 
abaixo do eixo x. 
Para x >3 a função tem sinal positivo. Observe que neste intervalo o gráfico está 
acima do eixo x. 
e) A funçãoé crescente, porque seu coeficiente angular m, é maior que zero (m = 2). 
 
1.4 – Exercícios propostos 
 
1. Dada a função y = x, trace o seu gráfico e em seguida, utilizando a idéia de 
translação e reflexão trace o gráfico das funções abaixo. 
8 
 
a) y = x + 3 b) y = x – 4 c) y = - x d) y = - x + 1 e) y = - x – 2 
2. Dada a função y = 3x – 2, determine: 
 
a) O ponto onde o gráfico intercepta o eixo y; 
b) A raiz da função (o ponto de intersecção com o eixo x); 
c) O gráfico da função; 
d) O sinal da função; 
e) A função é crescente ou decrescente. 
 
3. Trace o gráfico das seguintes funções num mesmo sistema de eixos: 
a) f(x) = 2x b) f(x) = 4x c) f(x) = 6x d) f(x) = - 6x e) f(x) = -3x f) f(x) = -2x 
 
4. Dada a função f(x) = 2x +1, dê as equações das seguintes funções: 
a) g(x) cujo gráfico é paralelo ao gráfico de f(x) intercepta o eixo y duas unidades 
acima de f(x). 
b) h(x) cujo gráfico é paralelo ao gráfico de f(x) intercepta o eixo y quatro 
unidades abaixo de f(x). 
 
1.5 – Respostas dos exercícios propostos 
1) y = x 
 
 
a) y = x + 3 
 
b) y = x – 4 
 
   




x
y
    






x
y
9 
 
 
c) y = -x 
 
d) y = - x + 1 
 
e) y = - x – 2 
 
 
    






x
y
       






x
y
     




x
y
     






x
y
10 
 
 
2) y = 3x – 2 
a) A intersecção com o eixo y é o ponto onde x = 0, ou o coeficiente linear b. Neste caso b = - 2. 
b) A raiz da função é o valor de x para o qual a função é igual a zero. 
3
2
23
023



x
x
x
 
c) Gráfico. 
 
d) Para x <
3
2
 a função tem sinal negativo 
Para x >
3
2
 a função tem sinal positivo 
e) A função é crescente (a > 0). 
 
 
3) Gráficos. 
 
 
4) .. 
a) f(x) =2x + 1 
b) g(x) = 2x + 3 
c) h(x) = 2x – 3 
 
   





x
y
     








x
y
11 
 
1.6 – Função do segundo grau ou função quadrática 
Função do segundo grau ou função quadrática é toda função 
definida por, 
 com a ϵ R, b ϵ R, c ϵ R e a≠ 0. 
O gráfico de uma função do segundo grau é sempre uma parábola cuja concavidade e 
intersecção com o eixo x, dependem do sinal de “a”, (coeficiente de x2 ) e do valor de Δ = b2 
– 4ac. 
 Se a for um número positivo ( a> 0), a parábola tem concavidade voltada para cima e 
se a for um número negativo (a < 0) a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Se Δ for maior que zero a parábola intercepta o eixo x em dois pontos, se Δ for igual a 
zero a parábola terá apenas um ponto em comum com o eixo x e se Δ for menor que zero a 
parábola não toca no eixo x. 
Vale lembrar que os pontos de intersecção do gráfico com o eixo x são chamados de 
raiz da função. Então se pode concluir que a função do segundo grau pode ter duas raízes 
reais e distintas se Δ > 0, uma raiz real se Δ = 0 e não possui raiz real se Δ < 0. Observe o 
quadro abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar as raízes de uma função do segundo grau pode-se usar a fórmula de 
Báskara a seguir: 
 
 
 
 
x1 
x 
x 
x 
x x 
a>0 
a<0 
Δ<0 Δ=0 Δ>0 
X1 
 
X2 
X1 X2 
x1 
f(x) = ax
2
+ bx + c 
12 
 
Para encontrar o vértice da parábola usa-se a seguinte fórmula:
a
y
a
b
x VV
4
,
2




 
 
),( VV yxV
 ou 





 
aa
b
V
4
,
2
 
Alguns exemplos de funções do segundo grau e seus respectivos gráficos são 
apresentados abaixo: 
a) f(x) = 2x2 +3x – 4 a = 2 b = 3 c = - 4 
 
b) f(x) =- x2 -3x +2 a = - 1 b = 3 c = 2 
 
c) f(x) = 3x2- 9x a = 3 b = 9 c = 0 
 
 
d) f(x) = x2- 4 a = 1 b = 0 c = - 4 
13 
 
 
 
e) f(x) = x2 a = 1 b = 0 c = 0 
 
Os intervalos onde a função do segundo grau é crescente ou decrescente são limitados 
pelo xv. Se a > 0, a parábola está voltada para cima. De - até xv a função é decrescente e de 
xv até + a função é crescente. Se a < 0, de a parábola está voltada para baixo. De - até xv 
a função é crescente e de xv até + a função é decrescente. Observe os gráficos abaixo. 
 
 
Xv= 1 
crescenteéxfxpara
edecrescentéxfxpara
)(1
)(1


 
É importante notar que até o ponto x=xv o 
gráfico está descendo e a partir desse ponto 
o gráfico começa a subir. 
 
Xv= 1 
edecrescentéxfxpara
crescenteéxfxpara
)(1
)(1


 
É importante notar que até o ponto 
x=xv o gráfico está subindo e a partir 
desse ponto o gráfico começa descer. 
 
 
xv 
xv 
14 
 
 
Os Intervalos onde a função troca de sinal são limitados pelas suas raízes. 
Se a > 0 a parábola está coma concavidade voltada para cima. 
 
 
 
Se a < 0 a parábola está coma concavidade voltada para baixo: 
 
 
 
 
1.7 – Exercício resolvido 
Dada função f(x) = x
2
 - 2x – 3, determine: 
a) O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas, 
b) A concavidade, 
c) Quantas raízes reais ela possui, 
d) Se ele possui raízes reais, quais são, 
e) As coordenadas do vértice, 
f) O gráfico, 
g) Os intervalos onde ela está crescendo e onde está decrescendo, 
h) O sinal da função, 
i) O conjunto imagem, 
j) Os pontos P(1, - 4) e Q(0, 5) pertencem a função? 
Solução: a = 1, b = -2 e c = -3 
a) O gráfico da função intercepta o eixo dos y no ponto (0, - 3), y = c 
b) A concavidade da parábola está voltada para cima porque a = 1 > 0 
c) Para sabermos quantas raízes a função possui, devemos calcular o valor de Δ 
(delta). 
16
)3.(1.4)2(
4
2
2


 acb
 
A função tem duas raízes reais e distintas. 
d) Para determinar as raízes devemos utilizar a fórmula: 
Para x < x1 

 f(x) > 0 (a função tem sinal positivo). 
Para x1 < x < x2 

 f(x) < 0 ( a função tem sinal negativo). 
Para x > x2 

 f(x) > 0 (a função tem sinal positivo). 
Para x < x1 

 f(x) < 0 (a função tem sinal negativo). 
Para x1 < x < x2 

 f(x) > 0 ( a função tem sinal positivo). 
Para x > x2

 f(x) < 0 (a função tem sinal negativo). 
 
 
 
15 
 





















1
2
42
3
2
42
2
42
2
162
1.2
)3.(1.4)2()2(
2
4
2
1
2
2
x
x
x
x
x
a
acxb
x
 
 As raízes são x1=3 e x2= -1. 
e) As coordenadas do vértice são dadas por 
a
ye
a
b
x vv
42




 
Então 
4
1.4
16
1
1.2
)2(




 vv yx
 
Logo V(1, - 4) 
f) Para construir o gráfico podemos fazer uma tabela, mas já conhecemos quatro 
pontos: as duas raízes, x1=3 e x2=-1 que são os pontos de intersecção com o eixo x, 
as coordenadas do vértice e a intersecção com o eixo y que é c = 3. Como sabemos 
que a parábola é uma figura simétrica podemos determinar mais um ponto (2, -3) 
que é simétrico ao c em relação ao eixo da parábola. 
 
g) Para x < 1 (xv) f(x) é decrescente 
Para x> 1 (xv) f(x) é crescente 
h) Para valores de x < -1 a função assume valores positivos. Observe que paraesses 
valores de x o gráfico se encontra acima do eixo x. 
 
Para valores de -1 < x < 3 a função assume valores negativos. Observe que nesse 
intervalo o gráfico se encontra abaixo do eixo x. 
 
Para valores de x > 3 a função assume valores positivos. Observe que para esses 
valores de x o gráfico se encontra acima do eixo x. 
 
     








X2 X1 
V(1, -4) 
C 
16 
 
i) A imagem da função é dada por valores de y gerado por algum valor de x do 
domínio da função. Nesse caso a imagem é: 
 4/RIm  yy
 ou Im = [ - 4; 

). 
Observe que o gráfico da função começa no ponto de ordenada y = -4 e vai até 

. 
j) Temos f(x) = x2 – 2x – 3. 
P(1, - 4) - 4 = 1
2 – 2 . 1 – 3 (V) P(1, - 4 ) pertence a parábola 
Q(0, 5) 5 = 0
2
 – 2 . 0 – 3 (F) Q(0, 5) não pertence a parábola. 
 
 
1.8 – Exercícios propostos 
1. Dada função f(x) = x2 - x – 6, determine: 
a) O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas, 
b) A concavidade, 
c) Quantas raízes reais ela possui, 
d) Se ele possui raízes reais, quais são, 
e) As coordenadas do vértice, 
f) O gráfico, 
g) Os intervalos onde ela está crescendo e onde está decrescendo, 
h) O sinal da função, 
i) O conjunto imagem, 
j) Os pontos P(1, - 6) e Q(0, 5) pertencem a função? 
 
2. Dado o gráfico de função f(x) = x
2
 abaixo, utilize a ideia de translação e reflexão 
para esboçar os gráficos das funções de o domínio e a imagem de cada uma: 
a) f(x) = x
2
+ 2 b) f(x) = x
2
-1 c) f(x) = - x
2
 d) f(x) = - x
2
+ 2 
 e) f(x) = - x – 3 f) f(x) =(x -2)2 g) g(x) = (x + 1)2 
1.9 – Respostas dos exercícios propostos 
1. f(x) = x2 – x – 6 a =1 b = - 1 c = - 6 
a. O gráfico intercepta o eixo y em y = c= - 6 
b. A concavidade está voltada para cima porque a > 0 
c. 
05 
 , logo a função tem duas raízes reais e distintas. 
d. 
23 21  xx
 
e. 





 
4
25
,
2
1
V
 
f. Gráfico 
17 
 
 
g. 
crescenteéfunçãoaxpara
edecrescentéfunçãoaxpara
2
1
2
1


 
h. 
negativosvaloresassumefunçãoaxpara
positivosvaloresassumefunçãoaxeparax
32
32


 
i. Imagem 







4
25
/Im yRy
 
j. O ponto P(1, -6) pertence a função. 
O ponto Q(0, 5) não pertence a função. 
2. .... 
a. .... 
 
 
 0/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
b. .... 
      










x
y
     






x
y
18 
 
 
 2/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
 
c. ... 
 
 
 1/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
 
d. .... 
 
 
 0/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
   






x
y
   







x
y
   








x
y
19 
 
e. ..... 
 
 2/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
f. ... 
 
 3/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
g. ... 
 
 0/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
h. ... 
   









x
y
   









 x
y
     



x
y
20 
 
 
 0/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
 
1.10 – Funções trigonométricas 
Inicialmente relembraremos um pouco de trigonometria básica na circunferência. 
Chama-se circunferência ao conjunto de todos os pontos de um plano que ficam a uma 
mesma distância r de um ponto dado O. Essa distância r é chamada raio e O é o centro da 
circunferência. 
O comprimento C de uma circunferência de raio r é dado por C = 2πr 
O comprimento de uma circunferência de raio r = 5 cm é C = 2.π.5 =31,41592... 
 
 
 
 
 
 
1.10.1 – Arcos e ângulos 
Considerando dois pontos A e B numa circunferência, o ângulo formado pelos 
segmentos
OA
 e 
OB
 com vértice no centro “O” , é denominado ângulo central. 
 
 
 
     





x
y
O 
r 
O A 
B 
α 
21 
 
 
 
 
AÔB
 = ângulo central 
O ângulo central determina na circunferência dois arcos de circunferência. Se os 
pontos A e B forem coincidentes (
BA 
), teremos um arco nulo e outro de uma volta. 
 
As unidades de medida dos ângulos e dos arcos são o grau e o radiano. 
Um arco de um grau (1
0
) é aquele cujo comprimento é igual a
360
1
 do comprimento 
da circunferência. 
Um arco de uma volta corresponde a C=360
0
. 
O arco de um radiano (1 rad) é aquele cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que o contém. 
O arco de uma volta corresponde C = 2πr. Logo: C = 2π rad. 
A medida de um arco em radianos é a razão entre seu comprimento e o comprimento 
do raio da circunferência que o contém. 
 
rad
raiodoocompriment
arcodoocompriment
ABarcoO 
 
Consideremos uma circunferência orientada de raio igual a uma unidade cujo centro 
coincide com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas e o ponto A de intersecção 
da circunferência com o eixo das abscissas seja a origem de todos os arcos AP, conforme a 
figura abaixo, onde o sentido anti-horário seja o sentido positivo de percurso. 
 
 
 
 
 
P(x,y) 
A(1,0) 
B(0,1) 
A’(x,y) 
B’(x,y) 
α 
r=1 
0o≡360o 
90o 
180o 
270o 
10 quadrante 20 quadrante 
 
30 quadrante 
 
40 quadrante 
 
x 
y 
22 
 
 
 
 
Como o raio da circunferência e igual a 1, o seno do ângulo α é a ordenada y do ponto 
P e o co-seno de α é a abscissa de P. 
Quando o ponto P percorre a circunferência, sua abscissa e sua ordenada variam 
conforme a tabela abaixo. 
 
1.10.2 – Função seno 
Chama-se função seno a função real definida por: 
 onde, senx é ordenada do ponto P, extremidade do arco AP. 
Com os dados da tabela acima podemos construir o gráfico da função seno. 
 
O domínio da função seno é D = R 
A imagem é 
 11/Im  yRy
 
O período da função é P = 2

 
 








x
y
 Unidade 
 Arco 
GRAUS RADIANOS SENO 
(ordenada) 
CO-SENO 
(abscissa) 
 
 P≡A 
 
0 
 
0 
 
0 
 
1 
 P≡B 
 
90 
2

 
 
1 
 
0 
 P≡A’ 
 
180 
 

 
 
0 
 
-1 
 P≡B’ 
 
270 
2
3
 
 
-1 
 
0 
 P≡A 
 
360 
 
2
 
 
0 
 
1 
f(x) = sen x 
23 
 
1.10.3 – Função co-seno 
Chama-se função co-seno a função real definida por: 
 onde, cos x é abscissa do ponto P, extremidade do arco AP.
 
Com os dados da tabela acima podemos construir o gráfico da função co-seno. 
 
O domínio da função co- seno é D = R 
A imagem é 
 11/Im  yRy
 
O período da função é P = 2

 
 
1.10.4 – Função tangente 
Chama-se função tangente a função real definida por f(x) = tag x, onde tag x é o 
quociente entre o seno de x e co-seno de x, ou seja: 
 
 
 O gráfico da função tangente é apresentado abaixo. 
 







x
y






















x
y
x
senx
xtag
cos

 
 f(x) = cos x 
24 
 
Rf
n
xxfD






 

)Im(
2
)12(
/)(

 n = inteiro 
O período da função é P = 

 
 
 
1.10.5 – Função co-tangente 
Chama-se função tangente a função real definida por f(x) = cotag x, onde cotag x é o 
quociente entre o co-seno de x e seno de x, ou seja: 
 
 
O gráfico da função co-tangente é apresentado abaixo. 
 
 
Rf
nxxfD


)Im(
/)(  n = inteiro 
O período da função é P = 

 
1.10.6 – Função secante 
Chama-se função secante a função real definida por f(x) = sec x, onde sec x é o 
inverso do co-seno de x, ou seja: 
x
x
cos
1
sec 
 
O gráfico da função secante é apresentado abaixo. 






















x
y
senx
x
xctg
cos

 
25 
 
 
 
),1[ ]1,()Im(
2
)12(
/)(






 

Uf
n
xxfD

 n = inteiro 
 O período da função é P = 

 
 
1.10.7 – Função co-secante 
Chama-se função co-secante a função real definida por f(x) = csc x, onde csc x é o 
inverso do seno de x, ou seja: 
 
 
O gráfico da função co-secante é apresentado abaixo. 
 
  
),1[ ]1,()Im(
/)(


Uf
nxxfD  n = inteiro 
 O período da função é P = 

 
1.11 – Exercícios propostos 






















x
y






















x
y
senx
x
1
csc 
 
26 
 
Usando as ideias de translação e reflexão aprendidas nas últimas aulas, esboce o 
gráfico das seguintes funções. Analise sempre o domínio, a imagem e o período destas 
funções. 
a) 
senxxf  2)(
 b) 
xxf cos)( 
 
c) 
senxxf  1)(
 d) 







2
)(

xsenxf
 
 e)
senxxf 2)( 
 f) 
 xsenxf 2)( 
 
g) 
senxxf 31)( 
 
 
1.12 – Respostas dos exercícios propostos 
a) y =2 + sen x 
 
 31/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
O período da função é P = 2

 
b) y = -cos x 
 
 11/)Im(
)(


yRyf
RfD
 









x
y








x
y
27 
 
O período da função é P = 2

 
c) f(x) =- 1 – sen x 
 
 
 02/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
O período da função é P = 2

 
 
d) f(x) = sen 







2

x
 
 
 11/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
O período da função é P = 2

 
 
e) f(x) = 2sen x 








x
y








x
y
28 
 
 
 22/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
O período da função é P = 2

 
 
f) f(x) = sen (2x) 
 
 11/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
O período da função é P = 

 
g) f(x) =1 – sen (3x) 
 








x
y








x
y








x
y
29 
 
 20/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
O período da função é 
3
2
P
 
h) f(x) = 







4

x
 
 
 11/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
 O período da função é P = 2

 
 
1.11 – Funções definidas por partes 
Existem funções que são definidas em um intervalo do domínio por uma sentença em 
outro intervalo por outra sentença. Veja os exemplos, com seus respectivos gráficos, domínio 
e imagem. 
1.12 – Exercícios resolvidos 
1. 






11
11
)(
xsex
xsex
xf
 
 
 0e 2/Im 

yyy
D
 




















x
y
       








x
y
30 
 
2. 









22
21
1
)( 2
xse
xsex
xsex
xf
 
 401/Im 

yeyy
D
 
1.13 – Exercícios propostos 
Faça o esboço do gráfico das funções abaixo dando o domínio e a imagem: 
1. 






22
2
)(
xsex
xsex
xf
 
2. 









23
212
11
)( 2
xse
xsex
xsex
xf
 
3. 











xse
xsesenx
xsex
xf
2
0
0
)(
2
 
4. 











xsex
xse
xse
xf
cos
01
03
)(
 
5. 
















xsex
xsex
xsex
xsesenx
xf
sec
0cos
0csc
)( 
1.14 – Respostas dos exercícios propostos 
1. ... 
       








x
y
31 
 
 
 2/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
2. .. 
 
 32/)Im(
)(


yeyRyf
RfD
 
3. ... 
 
 0/)Im(
)(


yRyf
RfD
 
4. ... 
        







x
y
       







x
y
     






x
y
32 
 
 
 311/)Im(
)(


yeyRyf
RfD
 
5. ... 
 
 
 
 
 1.15 – Função valor absoluto 
 
A função valor absoluto também camada função modular é uma função definida por 
partes, sendo dada por: 






0 
0 
)(
xsex
xsex
xxf
 
Note que você terá sempre o valor positivo do número que se encontra entre as barras, ou seja, 
a distância deste número a origem. 
Exemplos: 
55)5( f
, 
33)3( f
 e 
00)0( f
. 
GRÁFICO 
x y 
-3 3 
-2 2 
-1 1 
0 0 
       






x
y


















x
y
 
       





x
y
33 
 
1 1 
2 2 
3 3 
D(f) = R Im(f) = R+ 
 
 A idéia de translação e reflexão também podem ser utilizadas para esboçar o gráfico 
dessa função. 
 1.16 – Exercícios resolvidos 
a) Esboce o gráfico das funções abaixo e dê o domínio e a imagem. 
a) f(x) = |x| + 1 
 
Solução: 
Pelo que estudamos sabemos que o gráfico dessa função será o mesmo gráfico da 
função mãe, apresentado acima, deslocado duas unidades para cima. 
 
  1/)(  yRyIRfD m
 
 
b) f(x) = -|x- 2|. 
 
 
 0/)()(  yRyfIRfD m 
       





x
y
     




x
y
34 
 
c) f(x) = |x +2| + 1 
 
 
 1/)()(  yRyfIRfD m
 
d) f(x) = - |x-1| + 2 
 
 2/)()(  yRyfIRfD m
 
 
 
Capítulo 2 : O LIMITE 
Prof. Áureo Martins
2
 
 Introdução 
 
O conceito de limite é a base sobre a qual estão construídos os demais conceitos de 
cálculo. O objetivo deste capítulo é discutir a definição delimites de diferentes maneiras, 
iniciando com um exercício problema. A seguir apresentamos a noção intuitiva usando 
exemplos de funções, fazendo tabelas e gráficos que auxiliam na visualização do limite de 
 
2
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática 
 
       







x
y
       







x
y
35 
 
uma função. Após analisaremos a definição formal de limites e, finalmente, o estudos dos 
limites laterais. 
 
 2.1. Problema 
Consideremos a função 
4)( 2  xxf
. Como encontrar a reta tangente a essa curva no 
ponto de coordenada 
2x
? 
 
 
Verifica-se que a dificuldade está em possuirmos um único ponto sobre a reta tangente 
para calcularmos a inclinação 
m
, enquanto sabemos que são necessários dois pontos. 
No entanto, podemos calcular as inclinações de retas secantes pelo ponto onde 
2x e 
pontos próximos a ele para obtermos uma aproximação da inclinação da reta tangente. 
Usemos os seguintes intervalos: [2;3], [2;2,1], [2;2,05], [2;2,01] e [2;2,001]. 
Calculamos: 
543)3( 2 f 
 042)2( 2 f 
 41,041,2)1,2( 2 f 
2025,0405,2)05,2( 2 f 
0401,0401,2)01,2( 2 f 
004001,04001,2)001,2( 2 f 
5
1
05
23
)2()3(
sec 





ff
m
 
1,4
1,0
041,0
21,2
)2()1,2(
sec 





ff
m
 
05,4
05,0
02025,0
205,2
)2()05,2(
sec 





ff
m
 
01,4
01,0
0401,0
201,2
)2()01,2(
sec 



ff
m
 
36 
 
00,4
001,0
004001,0
2001,2
)2()001,2(
sec 



ff
m
 
 
Conclusão: quanto mais próximos de x = 2, mais nos aproximamos de 4. Dizemos então que 
a inclinação m = 4 é o limite das inclinações das retas secantes, que é a inclinação da reta 
tangente em 
2x
. 
Portanto, com a inclinação da reta tangente ou o coeficiente angulara da reta tangente 
igual a 4 no ponto onde x = 2 e o 
042)2( 2  fy
, podemos encontrar a equação desta 
reta tangente, da seguinte forma: 
baxy  
82.40  bb 
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico da função: 4)( 2  xxf no ponto (2,5) é 
84  xy , conforme o mostra o gráfico abaixo: 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: A distinção entre a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea 
pode ser comparada à distinção entre a inclinação da reta da reta secante que passa por dois 
pontos em um gráfico e a inclinação da reta tangente em um ponto do gráfico. 
 
 2.2 – Exercícios resolvidos 
 
1 - 
3
Uma flecha é atirada para cima com uma velocidade de 58m/s e sua altura em metros 
após 
t
 segundos é dada por 
283,058)( ttth 
. 
a) Encontre a velocidade média durante os intervalos de tempo dados 
[1;2], [1;1,5], [1;1,1], [1;1,01] e [1;1,001] 
 
Calculando as alturas: mh 68,1122.83,02.58)2( 2  
mh 17,571.83,01.58)1( 2  
mh 1325,855,1.83,05,1.58)5,1( 2  
 
3
 Fonte: STEWART, James – Cálculo – Ed. Thomson – 6ª. edição 
37 
 
mh 7957,621,1.83,01,1.58)1,1( 2  
mh 733317,5701,1.83,001,1.58)01,1( 2  
mh 22633917,57001,1.83,0001,1.58)001,1( 2 
 
 
sm
hh
Vmédia /51,55
1
17,5768,112
12
)1()2(
]2;1[ 





 
sm
hh
Vmédia /925,55
5,0
17,571325,85
15,1
)1()5,1(
]5,1;1[ 





 
sm
hh
Vmédia /257,56
1,0
17,577957,62
11,1
)1()1,1(
]1,1;1[ 




 
sm
hh
Vmédia /3317,56
01,0
17,57733317,57
101,1
)1()01,1(
]01,1;1[ 




 
sm
hh
Vmédia /33917,56
001,0
17,5722633917,57
1001,1
)1()001,1(
]001,1;1[ 




 
 
 
b) Encontre a velocidade instantânea após 1 segundo. 
smV tâneains /34,56)1(tan 
 
 
 
2 – Se um objeto é deixado cair em queda livre de uma altura de 300 metros e a resistência do 
ar for desprezada, a altura h (em metros) do objeto no instante t (em segundos), será dada por 
216320)( tth 
. Determine: 
a) A velocidade média do objeto em cada intervalo de tempo dado: 
[1;2], [1;1,5] , [1;1,1] , [1;1,01] e [1;1,001] 
 
Calculando as alturas: 
mh 2562.16320)2( 2  
mh 3041.16320)1( 2  
mh 2845,1.16320)5,1( 2  
mh 64,3001,1.16320)1,1( 2  
mh 6784,30301,1.16320)01,1( 2  
mh 967984,303001,1.16320)001,1( 2 
 
sm
hh
Vmédia /48
1
304256
12
)1()2(
]2;1[ 





 
sm
hh
Vmédia /40
5,0
304284
15,1
)1()5,1(
]5,1;1[ 





 
sm
hh
Vmédia /7,33
1,0
30464,300
11,1
)1()1,1(
]1,1;1[ 





 
sm
hh
Vmédia /16,32
01,0
3046784,303
101,1
)1()01,1(
]01,1;1[ 




 
sm
hh
Vmédia /016,32
001,0
304967984,303
1001,1
)1()001,1(
]001,1;1[ 




 
 
 
b) A velocidade instantânea após 1 segundo. 
 
38 
 
 
 
 
 2.3 – Noção intuitiva do limite 
 
 O uso básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável x 
tende a um valor dado. 
 No cálculo e suas aplicações interessa-nos, em geral, valores f(x) de uma função f que 
estejam próximos de um número x = a, mas que não seja igual a “a”, principalmente nos casos 
em que “a” não está no domínio da função. 
 
1º Exemplo: Seja a função: 
12)(  xxf
. Imaginemos x assumindo valores sempre mais 
próximos de 2, tanto pela esquerda de 2 
)2( x
e tanto pela direita de 2 (
)2x
. 
  2x  2x
x
 
)(xf
 
1 3 
1,5 2 
1,7 2,4 
1,9 2,8 
1,999 2,889 
x
 
)(xf
 
3 5 
2,5 4 
2,3 3,6 
2,1 3,02 
2,001 3,002 
3)(lim
2


xf
x 3)(lim2  xfx
 Como os limites laterais existem e são iguais, então Seja a função: 



2
3)(
x
xf
 e, 
também, como 
3)2( f
, dizemos que a função é CONTÍNUA em x = 2. 
 
Gráfico da função: 
.12)(  xxf
 
 
 
Domínio da função = 

 e Imagem da função = 

. 
 
smV tâneains /32)1(tan 
39 
 
2º Exemplo: Seja a função: 
1
1
)(
2



x
x
xf
. 
Calculando
)1(f
 teremos o seguinte: 
0
0
11
11
)1(
2



f
 (não pertence aos Reais). 
Veja que o
)1(f
 não está definido pois x = 1 não está no domínio da função. Então 
vamos analisar pontos vizinhos de 1, tanto pela esquerda de 1 
)1( x
e tanto pela 
direita de 1 
)1( x
. 
 
)1( x )1( x
x
 
)(xf
 
0,5 1,5 
0,7 1,7 
0,9 1,9 
0,999 1,999 
2)(lim
1


xf
x
 
x
 
)(xf
 
1,5 2,5 
1,3 2,3 
1,1 2,1 
1,001 2,001 
2)(lim
1


xf
x 
 
O número
1 não está no domínio da função, pois se fizermos x = 1, obtemos a 
indeterminação 
0
0
. Fatorando-se 
1
)1)(1(
)(



x
xx
xf
, não podemos cancelar 
)1( x
, pois só 
podemos fazer isso se 
.1x Todavia com o limite quando x tende a 1, mas não igual a 1, tal 
cancelamento é possível. 
Logo: 
.211)1(lim
1
)1)(1(
lim 1
1





x
x
xx
x
x
 
 
Gráfico da função: 
1
1
)(
2



x
x
xf 
 
Domínio da função = 
}1{
 e Imagem da função = 
}2{
. 
 
 
3º Exemplo: Seja a função definida por duas sentenças: 
)(xf
 
40 
 
 
Vamos calcular 
)3(f
e o limite 
)(lim
3
xf
x
. 
a) Para calcular 
)3(f
, procure na função onde está x = 3,então 
213)3( f 
b) Para calcular o limite 
)(lim
3
xf
x
, temos que analisar os limites laterais. 
 
O limite 
)(lim
3
xf
x 
, vamos verificar qual função se refere a x tende a 3
-
 , isto é, 
x < 3 , logo 
213)1(lim)(lim
33

 
xxf
xx 
 
O limite 
)(lim
3
xf
x 
, vamos verificar qual função se refere a x tende a 3
+
 , isto é, 
x > 3 , logo 
633)3(lim)(lim
33

 
xxf
xx 
Portanto, o 


)(lim
3
xf
x
Ɇ, porque os limites laterais existem mas são diferentes. 
 
Gráfico da função: )(xf
 
 
 
Domínio da função 

 e Imagem da função = (-∞;2] U (6;∞). 
4º Exemplo: Seja a função: 
x
xf
1
)( 
 
Vamos calcular 
)0(f
 e os limites 
xx
1
lim
0
 , 
xx
1
lim
 
e 
 xx
1
lim

 
a) 

0
1
)0(f
 (não pertence aos Reais). 
b) Para descobrir o 
xx
1
lim
0
 temos que estudar os limites lateriais: 
O 


  0
11
lim
0 xx
 e o 


  0
11
lim
0 xx
 , logo o limite (não existe), pois os limites laterais 
são diferentes. 
Lembre-se: zero pela esquerda 
)0( 
 é um número pequeno e negativo e zero pela direita 
)0( 
é 
um número pequeno e positivo. 
 
c) Para descobrir o limite
xx
1
lim

,vamos fazer uma tabela com valores de x crescendo de 1 até um valor 
bem grande simbolizado por 

( infinito): 
41 
 
 
x
 
x
 
)(xf
 
1 1 
2 0,5 
4 0,25 
10 0,10 
1000 0,001 
∞ 0 
Observando a tabela: 
0
11
lim 


 xx
 
d) Da mesma forma, o limite: 
0
11
lim 


 xx
 
e) Gráfico da função: 
x
xf
1
)(  
 Observe que gráfico da função 
x
xf
1
)( 
 possui duas assíntotas: uma assíntota vertical 
de equação x = 0 e uma assíntota horizontal de equação y = 0. 
 
O Domínio da função = 
*
 ou 
}0{
e Imagem da função =
*
 ou 
}0{
. 
5º Exemplo: Seja a função: 
2
1
)(


x
xf
 
 
Vamos calcular 
)2(f
 e os limites 
2
1
lim
2  xx
 , 
2
1
lim
 xx 
e 
 2
1
lim
 xx
 
 
a) 



0
1
22
1
)2(f
 
 
b) Para descobrir o 
2
1
lim
2  xx
 temos que estudar os limites lateriais: 
O 



   0
1
22
1
2
1
lim
2 xx
 e o 



   0
1
22
1
2
1
lim
2 xx
 , 
 
Logo, o limite da função (não existe), pois os limites laterais são diferentes. 
 
c) 
0
1
2
1
2
1
lim 




 xx
 
42 
 
 
d) 
0
1
2
1
2
1
lim




 xx 
 
 
e) Gráfico da função: 
Observe que gráfico da função 
2
1
)(


x
xf
 possui duas assíntotas: uma assíntota vertical 
de equação x = 2 e uma assíntota horizontal de equação y = 0. 
 
 
 
O Domínio da função = 
}2{
e Imagem da função =
*
 ou 
}0{
. 
 
 
 
 
 2.4 – Definição de limite 
 
“Escrevemos 
Txf
ax


)(lim
 e dizemos “o limite de 
)(xf
, quando 
x
 tende a 
a
, é 
igual a 
T
, se pudermos tornar os valores de 
)(xf
tão próximos de
T
quanto quisermos, 
tornando x suficientemente próximo de a (pela esquerda e pela direita), mas não igual a.” 
 
43 
 
 
 
 
 2.5 - Limites laterais 
 
Escrevemos 
Txf
ax


)(lim
 e dizemos que o limite esquerdo de 
)(xf
 quando 
x
 tende a 
a
 (ou o limite de 
)(xf
 quando 
x
 tende a 
a
pela esquerda) é igual a 
T
 se pudermos tornar 
os valores de 
)(xf
 arbitrariamente próximos de 
T
, tornando-o suficientemente próximos de 
a
 
e 
x
 menor que 
a
. 
 
Escrevemos 
Txf
ax


)(lim
 e dizemos que o limite direito de 
)(xf
 quando 
x
 tende a 
a
 
(ou o limite de 
)(xf
 quando 
x
 tende a 
a
 pela direita) é igual a 
T
 se pudermos tornar os 
valores de 
)(xf
 arbitrariamente próximos de 
T
, tornando-o suficientemente próximos de 
a
 e 
x
 maior que 
a
. 
 
DEFINIÇÃO: O limite de uma função só vai existir, quando os limites laterais existirem e 
forem iguais, isto é, 
Txf
ax


)(lim
 existe se, e somente se, 
Txf
ax


)(lim
 e 
Txf
ax


)(lim
. 
 
Observe que a função não necessita estar definida em “a” para o limite existir. 
 2.6 – Exercício resolvido 
 
Observe os gráficos e responda o que se pede abaixo de cada um deles: 
44 
 
 
 
 
2)(lim
2


xf
x 
 
2)(lim
2


xf
x
 
2)(lim
2


xf
x
 
2)2( f
 
Em x = 2 a f é contínua 
 
 
 
 
 
 
 
2)(lim
2


xf
x
 
2)(lim
2


xf
x
 
2)(lim
2


xf
x
 
5)2( f
 
Em x = 2 a f é descontínua de ponto ou 
removível 
 
 
 
 
 
 
 
2)(lim
2


xf
x
 
6)(lim
2


xf
x
 


)(lim
2
xf
x
 
4)2( f
 
Em x = 2 a f é descontínua de salto 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 


)(lim
3
xf
x 
 


)(lim
3
xf
x
 


)(lim
3
xf
x
 
)3(f
 
Em x = 3 a f é descontínua infinita.
 
 
 
 
 
 
 


)(lim
3
xf
x
 


)(lim
3
xf
x
 


)(lim
3
xf
x
 
)3(f
 
Em x = 3 a f é descontínua infinita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


)(lim
3
xf
x
 
 
 


)(lim
3
xf
x
 
 


)(lim
3
xf
x
 
)3(f
 
Em x = 3 a f é descontínua infinita. 
 
 
46 
 
 2.7 – Exercícios propostos 
 
1 - 
4
Uma bola é atirada no ar com velocidade de 10 m/s. Sua altura em metros após t segundos é 
dada por 
29,420 tty 
. 
a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando t = 2s e dura 
0,5s; 0,1s; 0,05s ; 0,01, 0,001s e 0,0001s; 
b) Estime a velocidade instantânea quando t = 2s. 
 
 
2 - Observando o gráfico abaixo responda o que se pede: 
 
 
 
a) b) c) d)  )4(f 
e) f) g) h)  )1(f 
i) j) k) l) )2(f 
m) n) o) p) )3(f 
 
q) Em x = - 4 a função é _______________________________________________________ 
 
r) Em x = -1 a função é ________________________________________________________ 
 
s) Em x = 2 a função é _________________________________________________________ 
 
t) Em x = 3 a função é _________________________________________________________ 
 
u) Domínio da função: ___________________ 
 
v) Imagem da função:__________________ 
 
 
 
 
 
4
 Fonte: STEWART, James – Cálculo – Ed. Thomson – 6ª. edição 
 
 
47 
 
3 - Analisando o gráfico, responda: 
 
 
a) 


)(lim
0
xf
x
 b) 


)(lim
0
xf
x
 c) 


)(lim
0
xf
x
 d) 
)0(f
 
e) 


)(lim
1
xf
x
 f) 


)(lim
1
xf
x
 g) 


)(lim
1
xf
x
 h) 
)1(f
 
i) 


)(lim
2
xf
x
 j) 


)(lim
2
xf
x
 k) 


)(lim
2
xf
x
 l) 
 )2(fm) 


)(lim
3
xf
x
 n) 


)(lim
3
xf
x
 o) 


)(lim
3
xf
x
 p) 
)3(f
 
q) Em x = 0 a função é __________________________________________________________ 
r) Em x = 1 a função é __________________________________________________________ 
s) Em x = -2 a função é _________________________________________________________ 
t) Em x = 3 a função é __________________________________________________________ 
u) Domínio da função: __________________ v) Imagem da função: _____________________ 
x) 


)(lim xf
x
 y) 


)(lim xf
x 
 
 
4 - Dado os gráficos das duas funções 
)(xfy 
 e 
)(xgy 
, respectivamente, determine: 
 
 
48 
 
a) 


)(lim
1
xf
x
 
)1(f
 Em x = 1 a função é ______________________________ 
b) 


)(lim
2
xf
x
 
 )2(f
 Em x = - 2 a função é ______________________________ 
c) 


)(lim
3
xg
x
 
 )3(g
 Em x = - 3 a função é ______________________________ 
d) 


)(lim
0
xg
x
 
)0(g
 Em x = 0 a função é _______________________________ 
e) 


)(lim
2
xg
x
 
)2(g
 Em x = 2 a função é _______________________________ 
 
 
5 - Dado os gráficos das duas funções y = f(x) e y=g(x), respectivamente, determine: 
 
a) 


)(lim
1
xf
x
 
)1(f
 Em x = 1 a função é _______________________ 
b) 


)(lim
2
xf
x
 
)2(f
 Em x = 2 a função é _______________________ 
c)
  )(lim3 xgx
 
 )3(g
 Em x = - 3 a função é ______________________ 
d)
  )(lim0 xgx
 
)0(g
 Em x = 0 a função é _______________________ 
e) 


)(lim
5,1
xg
x
 
)5,1(g
 Em x = 1,5 a função é _____________________ 
f) 


)(lim
2
xg
x
 
 )2(g
 Em x = - 2 a função é _____________________ 
g) 


)(lim
3
xg
x
 
)3(g
 Em x = 3 a função é _______________________ 
 
 
 
 
49 
 
 2.8 – Respostas dos exercícios propostos 
 
1 – a) -0,525 m/s ; -0,009 m/s; 0,151m/s; 0,351 m/s; 0,395 m/s; 0,3995 m/s. 
 b) Vi(2) = 0,4 m/s. 
 
2 – a) -2 b) -2 c) -2 d) -2 
 e) 4 f) 6 g) 

 h) 6 
 i) 2 j) 2 k) 2 l) 2 
m) -3 n) 1 o) 

 p) 0 
q) contínua 
r) descontínua de salto 
s) contínua 
t) descontínua de salto 
u) 
reais
 
v) (-∞,6] 
 
3 - a) 4,6 b) 4,6 c) 4,6 d) 4,6 
e) 3 f) 1 g) 

 h) 2 
i) 4 j) 4 k) 4 l) 3 
m) +∞ n) +∞ o) +∞ p)

 
q) contínua 
r) descontínua de salto 
s) descontínua de ponto ou removível 
t) descontínua infinita 
u) 
}3{
 
v) [-2 ; ∞) 
x) 0 
y) +∞ 
 
4 – a) 1, 

, descontínua de ponto ou removível 
b) 

, -1, descontínua de salto 
c) 

, 3, descontínua de salto 
d) +∞, 

, descontínua infinita 
e) -1, 

, descontínua de ponto ou removível 
 
5 - a) +∞, 

, descontinuidade infinita 
b) 1, 

, descontínua de ponto ou removível 
c) -∞, 

, descontínua infinita 
d) 1, 1, contínua 
e) 

, 3, descontínua de salto 
f) 3, 

, descontínua de ponto ou removível 
g) 0, 0, contínua 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Capítulo 3: LIMITES: PROPRIEDADES E CÁLCULO DE LIMITES 
 
Prof. Áureo Martins
5
 
 Introdução 
Neste capítulo, estudaremos as propriedades dos limites que serão utilizadas para 
realização do cálculo dos limites, bem como discutiremos as técnicas algébricas para calcular 
limites de diversas funções. 
3.1 - Propriedade da substituição direta 
 
Se 
f
 for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de 
f
, então: 
 
)()(lim afxf
ax


 
 
3.2 – Propriedades dos limites de funções 
 
1) O limite de uma constante é a própria constante. 
  cc
ax


lim
 
Exemplo: 
)18(lim
7x
=18 
 
2) O limite da soma é igual a soma dos limites e o limite da diferença é igual a diferença 
dos limites. 
     )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

 
 
Exemplo: 
153.232limlim)2(lim 3
3
3
3
3
3


xxxx
xxx
 
 
3) O limite do produto é igual ao produto dos limites. 
 
     )(lim.)(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 
 
 
Exemplo: 
2433.33lim.lim)3.(lim 32
3
2
3
2
3


x
xx
x
x
xx
 
 
4) O limite de uma constante vezes uma função é igual a constante vezes o limite da 
função. 
)(lim.)(.lim xfcxfc
axax 
 
 
Exemplo: 
453.5lim.5.5lim 22
3
2
3


xx
xx 
 
5) O limite da potência de uma função é igual a potência do limite da função. 
 
 
5
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática 
 
 
51 
 
   nax
n
ax
xfxf )((lim)(lim 

 
 
Exemplo: 
82]lim[][lim 33
2
3
2


xx
xx 
 
6) O limite de uma função é igual a raiz do limite da função. 
 
n
ax
n
ax
fxxf )(lim)(lim 

 
 
Exemplo: 
282.4)4(lim4lim 333
2
3
2


xx
xx 
 
7) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites. 
 
 
 )(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









 
Teremos três casos a considerar: 
 
1º CASO: quando Substituição Direta 
 
Exemplo: 1) 
.1
9
9
)
72
12.32
()
7
13
(lim
22
2






 x
xx
x
 
 
 2) 
.3
3
9
)
33.2
3.3
()
32
3
(lim
2







 x
x
x 
 
2º CASO: quando
0)(lim 

xg
ax
 e 
0)(lim 

xf
ax
 
0
ºn
 
3 possibilidades (+∞, -∞ ou 

). 
 Para descobrir se o limite é +∞, -∞ ou 

, temos que estudar os limites laterais, 
conforme os gráficos a seguir: 
 


)(lim xf
ax  )(lim xfax  )(lim xfax 
 


)(lim xf
ax  )(lim xfax  )(lim xfax
 


)(lim xf
ax  )(lim xfax  )(lim xfax
 
)(af )(af )(af 
 
DEFINIÇÃO: Seja 
f
uma função definida em ambos os lados de 
a
, exceto possivelmente 
em 
a
. Então: 
 
52 
 
 
a) 


)(lim xf
ax
significa que podemos fazer os valores de 
)(xf
 ficarem arbitrariamente 
grandes (tão grande quanto quisermos) por meio de uma escolha adequada de 
x
 nas 
proximidades de 
a
, mas não igual a 
a
. 
 
b) 


)(lim xf
ax
significa que podemos fazer os valores de 
)(xf
 ficarem 
arbitrariamente grandes, porém negativos, por meio de uma escolha adequada de 
x
 
nas proximidades de 
a
, mas não igual a 
a
. 
 
 
 3.3 – Exercícios resolvidos 
 
Calcular os limites das funções, se existirem: 
 
1. 
0
1
22
1
)
2
1
(lim
2



 xx 0
ºn
 - 2° CASO 
Solução: temos que analisar os limites laterais: 



   0
1
22
1
)
2
1
(lim
2 xx
 



   0
1
22
1
)
2
1
(lim
2 xx 
Logo, o limite não existe, pois os limites laterais são diferentes. 
 
 
2. 
0
1
)22(
1
)
)2(
1
(lim
222



 xx 0
ºn
 - 2° CASO 
Solução: temos que analisar os limites laterais: 



   0
1
)0(
1
)22(
1
)
)2(
1
(lim
222
2 xx
 



   0
1)0(
1
)22(
1
)
)2(
1
(lim
222
2 xx 
Logo, o limite é +∞, pois os limites laterais são iguais. 
 
 
3. 
0
1
)22(
1
)
)2(
1
(lim
222







 xx
 
0
ºn
 - 2° CASO 
Solução: temos que analisar os limites laterais: 











  0
1
)0(
1
)22(
1
)
)2(
1
(lim
222
2 xx
 











  0
1
)0(
1
)22(
1
)
)2(
1
(lim
222
2 xx 
Logo, o limite é -∞, pois os limites laterais são iguais. 
 
4. 
0
1
22
1
)
2
1
(lim
2







 xx 0
ºn
 - 2° CASO 
Solução: temos que analisar os limites laterais: 
 
53 
 









  0
1
22
1
)
2
1
(lim
2 xx
 









  0
1
22
1
)
2
1
(lim
2 xx 
Logo, o limite não existe, pois os limites laterais são diferentes. 
 
 
5. 
0
8
)33(
8
)3(
8
lim
223



 xx
 
0
ºn
 - 2° CASO 
Solução: temos que analisar os limites laterais: 



   0
8
)0(
8
)33(
8
)3(
8
lim
222
3 xx
 



   0
8
)0(
8
)33(
8
)3(
8
lim
222
3 xx 
Logo, o limite não existe, pois os limites laterais são diferentes. 
 
 
3º CASO: quando
0)(lim 

xg
ax
 e 
0)(lim 

xf
ax
 
0
0
 
Símbolo de Indeterminação 
 
Nada se pode afirmar, a priori, sobre o limite do quociente das duas funções pois ele 
pode assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos essa expressão indeterminada 
dizendo que 
0
0
 é um Símbolo de Indeterminação. Devemos, então, fatorar e simplificar a 
função de tal forma a levantar a indeterminação 
0
0
. 
 
OBSERVAÇÃO: Existem outras formas de expressões indeterminadas, a saber: 



1,,0,.0.0,,,
0
0 00ou
 
 
Continuação dos exercícios resolvidos 
 
Calcular os limites das funções, se existirem: 
6. 




)
1
1
(lim
2
1 x
x
x
 
Solução: No cálculo deste limite, se simplesmente substituíssemos no lugar de 
x
 o 
valor 1, teríamos 
0
0
11
11
1
1 22






x
x
, que é uma divisão que não faz sentido. 
Porém, notamos através de tabelas que o limite existe e vale 2. 
O que acontece é que esta é uma função que não está determinada neste ponto (o ponto 
1 não pertence ao domínio da função), porém, quando estamos falando em limite, não estamos 
interessados no ponto em si, mas sim nas proximidades dele. 
Agora nos concentraremos apenas em alguns artifícios para calcular limites. 
 
Vamos usar o artifício de dividir o polinômio por “(x – a)”, sendo a o valor que o x 
tende. 
 
54 
 
Neste mesmo exemplo, para valores diferentes de x = 1, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, para aproximar o valor do limite, basta calcular os valores de , para 
valores de x próximos de 1, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o gráfico da função 
1
1
)(
2



x
x
xf
é igual ao gráfico da função 
1)(  xxf
 , isto é,
 
isto é, uma reta que corta o eixo da ordenadas (y) em 1 e tem uma descontinuidade de ponto 
em x = 1 e y = 2. 
 
 Domínio da função = 
}1{
e a imagem da função = 
}.2{
 
 
7. 
0
0
33
93
)
3
9
(lim
22
3






 x
x
x
 (Símbolo de Indeterminação – 3° CASO). 
 Solução: 
633)3(lim
3
)3).(3(
lim)
3
9
(lim
33
2
3







x
x
xx
x
x
xxx 
 Logo, em x = 3 a função tem uma descontinuidade de ponto, pois 
)3(f
. 
 
 
 Domínio da função = 
}3{
e a imagem da função = 
}.6{
 
 
55 
 
8. 
0
0
)
22
4)2(4)2(
(lim)
2
44
(lim
2
2
2
2






 xx x
xx
(Símbolo de Indeterminação – 3° 
CASO). 
Solução: 
022)2(lim)
2
)2(
(lim)
2
44
(lim
2
2
2
2
2







x
x
x
x
xx
xxx
 
Logo, em x = -2 a função tem uma descontinuidade de ponto, pois 
 )2(f
 

. 
 
 
 Domínio da função = 
}2{
e a imagem da função = 
}.0{
 
 
 
9. 
0
0
)
11
41.31
()
1
43
(lim
22
1






 x
xx
x
 (Símbolo de Indeterminação – 3° CASO) 
 
Solução: vamos usar o artifício de dividir o polinômio por “(x - 1)”: 
)4()1()43( 2  xxxx
 
541)4(lim
1
)4).(1(
lim
11









x
x
xx
xx
 
 
Logo, em x =1 a função tem uma descontinuidade de ponto, pois 
)1(f
 

. 
 
 Domínio da função = 
}1{
e a imagem da função = 
}.5{
 
 
56 
 
10. 
0
0
22
)102.32
(lim)
2
103
(lim
2
2
2
2






 xx x
xx
(Símbolo de Indeterminação–3° CASO) 
 
Solução: vamos usar o artifício de dividir o polinômio por “(x - 2)”: 
)5()2()103( 2  xxxx
 
 
752)5(lim
2
)5).(2(
lim
22









x
x
xx
xx
 
 
Logo, em x =2 a função tem uma descontinuidade de ponto, pois 
)2(f
 

. 
 
 Domínio da função = 
}2{
e a imagem da função = 
}.7{
 
 
11. 
0
0
22
622
2
6
lim
22
2






 x
xx
x
 (Símbolo de Indeterminação – 3° CASO) 
532)3(lim
2
)3).(2(
lim
2
6
lim
22
2
2







x
x
xx
x
xx
xxx
 
 
Domínio da função = 
}2{
e a imagem da função = 
}.5{
 
 
57 
 
OBSERVAÇÃO: Para casos em que existe uma raiz quadrada na função e no cálculo do 
limite ocorre uma indeterminação zero dividido por zero, teremos que usar o artifício de 
multiplicar o numerador e o denominador da função pelo conjugado da função que contém a 
raiz, conforme mostraremos nos exercícios resolvidos de 12 ao 15, a seguir: 
12. 




)
25
5
(lim
25 x
x
x 
 
Solução: No cálculo deste limite, se simplesmente substituíssemos no lugar de 
x
 o valor 25, 
teríamos 
0
0
2525
55
2525
525






, que é uma divisão que não faz sentido (Símbolo de 
Indeterminação) – 3º CASO. 
 
Vamos usar o artifício de multiplicar pelo conjugado da função que contém a raiz. 
 
Logo: Multiplicar pelo conjugado 
 






]
)5(
)5(
.
)25(
)5(
[lim
25 x
x
x
x
x 
 
10
1
525
1
5
1
lim
)5).(25(
25
lim
)5).(25(
5)(
lim
2525
22
25










 xxx
x
xx
x
xxx 
 
 
13. 
0
0
66
336
)
6
33
(lim
6






 x
x
x
(Símbolo de Indeterminação – 3° CASO)
 
 






]
)33(
)33(
.
)6(
)33(
[lim
6 x
x
x
x
x
6
1
33
1
336
1
33
1
lim
)33).(6(
6
lim
)33).(6(
3)3(
lim
66
22
6












 xxx
x
xx
x
xxx
 
 
 14. 
 0
0
42
44
)
2
4
(lim
4






 x
x
x
 (Símbolo de Indeterminação – 3° CASO)
 











 x
xx
x
xx
x
x
x
x
xxx 4
)2).(4(lim
)()2(
)2).(4(
lim]
)2(
)2(
.
)2(
)4(
[lim
42244 
 
422422(lim
4


x
x
 
 
 
 15. 
0
0
39
819
3
81
lim
22
9






 x
x
x
 (Símbolo de Indeterminação – 3° CASO) 
 
58 
 














 9
)3).(9).(9(
lim
3)(
)3).(81(
lim
3
3
.
3
81
lim
3
81
lim
922
2
9
2
9
2
9 x
xxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
1086.18)33).(99()3).(9(lim
9


xx
x
 
 
 3.4 – Exercícios propostos 
1. Calcule o limite indicado em cada uma das funções, se existirem: 
 
a) 
)76(lim
2


x
x
= 
b) 
)
5
25
(lim
2
5 

 x
x
x
= 
c) 
20lim
2x
= 
d) 
)
7
426
(lim
7 

 x
x
x
= 
e) 
)
11
53
(lim
4 

 x
x
x
= 
f) 
)
7
49
(lim
2
7 

 x
x
x
= 
g) 
)
1
2
(lim
2
1 

 x
xx
x
= 
h) 
x
x
x
3
0
lim

= 
i) 
32
94
lim
2
2
3 

 x
x
x
 
j) 
492
1683
lim
2
2
4 

 ss
ss
s
= 
k) 
2
23
0
lim
x
xx
x


= 
l) 
1
6
lim
2
3 

 x
x
x
= 
m) 
1
34
lim
2
2
1 

 x
xx
x
= 
n) 
1
12
lim
2
1 

 x
xx
x
= 
o) 
2lim
4


xx
x
= 
p) 
4
4
lim
2
2 

 x
x
x
= 
q) 

 2
4
lim
2 xx
 
r) 

 22 )2(
8
lim
xx
 
 
 
59 
 
s) 



 24 )4(
5
lim
xx
 
t) 



 2
4
lim
2
2 x
x
x
 
u) 



 9
27
lim
2
3
2 x
x
x
 
v) 



 36254
20173
lim
2
2
4 xx
xx
x
 
 
 x2 + 1, para x < 2 
w) Sendo f(x) = 2, para x = 2 , calcule 
)(lim
2
xf
x
 e 
).2(f
 
 9 – x2, para x > 2 
 
 x - 1, para x ≤ 3 
x) Sendo f(x) = 3x - 7, para x > 3 , calcule 
)(lim
3
xf
x
 e 
).3(f
 
 
 
y) 

 20
1
lim
xx
 
 
z) 

 30
1
lim
xx
 
 
 
 
3.5 – Respostas dos exercícios propostos 
 
a) 1 b) -10 c) 10 d) 6 e) -1 f) 14 
g) 3 h) 0 i) -6 j) 32/21 k) 1 l) 15/2 
m) -1 n) 0 o) 8 p) 0 q) 

 r) + ∞ 
s) - ∞ t) 0 u) 4,5 v) 1 w) 5 e 2 x) 2 e 2 
y) +∞ z) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Capítulo 4: CONTINUIDADE DE FUNÇÃO, LIMITES INFINITOS E ASSÍNTOTAS 
 
Prof. Áureo Martins
6
 
 Introdução 
 
Neste capítulo, estudaremos a continuidade de função. Veremos que os valores de 
algumas funções variam continuamente sem interrupções e que os valores de outras funções 
podem saltar de maneira imprevisível, independentemente do modo como se controlam as 
variáveis. O limite fornece uma idéia precisa para verificar esses comportamentos. Após, 
vamos nos ocupar com o comportamento de uma função quando x cresce ou decresce sem 
parar denominado de limites infinitos, isto é, o comportamento final de uma função quando x 
aumenta ou diminui sem parar. 
 
4.1. Continuidade de uma função 
 
DEFINIÇÃO: Uma função é dita CONTÍNUA em um número 
a
, se: 
 
)()(lim afxf
ax


. 
 
Implicitamente, nesta definição temos que analisar três situações: 
 
1ª.) 
)(af
 está definido (isto é, 
a
 está no domínio de 
f
); 
2ª.) 
)(lim xf
ax
 existe (só vai existir se os limites laterais existirem e forem iguais); 
3ª.) 
)()(lim afxf
ax


. 
 
Basicamente, existem três tipos de descontinuidade, a saber: 
 
 DESCONTINUIDADE DE PONTO: ocorre quando o 
)(lim xf
ax
 existe, mas não é 
igual a 
)(af
. Essa descontinuidade é chamada de REMOVÍVEL quando for possível 
fazer o 
)(af
 igual ao 
)(lim xf
ax
. 
 
 DESCONTINUIDADE DE SALTO: ocorre quando ambos os limites laterais 
existem, mas não são iguais. 
 
Ocorre uma CONTINUIDADE LATERAL ESQUERDA quando
)()(lim afxf
ax


. 
Ocorre uma CONTINUIDADE LATERAL DIREITA quando 
)()(lim afxf
ax


. 
 
 DESCONTINUIDADE INFINITA: ocorre limite infinito quando x tende a “a” por 
um ou por ambos os lados. 
 
 
 
6 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática 
 
 
61 
 
4.2 – Exercícios resolvidos 
 
1. Observando o gráfico da função, determine: 
a) os pontos onde há descontinuidade; 
b) o tipo de descontinuidade de cada ponto; 
c) onde ocorre continuidade lateral. 
 
 
Solução: 
a) ocorre descontinuidade em x = -3, 0 e 3. 
b) descontinuidade de ponto ou removível em x = -3, descontinuidade de salto em x = 
0 e descontinuidade infinita em x = 3. 
c) ocorre continuidade lateral esquerda em x = 0. 
 
 
2. Estude a continuidade da função em x = 1, 3 e 6. Verifique se é contínua e, se for 
descontínua, determine o tipo: de ponto, salto ou infinita. Após, faça o gráfico da 
função. 
 
 x
2
- 4, se x < 1
 
 
f(x) = 2 – x, se 1 ≤ x < 3 
 5, se , se 3 ≤ x < 6 
 x - 1, se x ≥ 6 
 
 
Em x = 1: 1ª) f(1) = 2 – 1 = 1 
 2ª) 


)(lim
1
xf
x
 , temos que estudar os limites lateriais: 
341)4(lim)(lim 22
11

 
xxf
xx
 
112)2(lim)(lim
11

 
xxf
xx
 
Logo, como os limites laterais são diferentes, o 


)(lim
1
xf
x

. 
3ª) 


)(lim
1
xf
x

 é diferente do f(1) = 1. 
Portanto, a função é descontínua de salto em x = 1. 
 
Em x = 3: 1ª) f(3) = 5. 
 
62 
 
 2ª) 


)(lim
3
xf
x
 , temos que estudar os limites lateriais: 
132)2(lim)(lim
33

 
xxf
xx
 
5)5(lim)(lim
33

  xx
xf
 
Logo, como os limites laterais são diferentes, o 


)(lim
3
xf
x

. 
3ª) 


)(lim
3
xf
x

 é diferente do f(3) = 5. 
Portanto, a função é descontínua de salto em x = 3. 
 
Em x = 6: 1ª) f(6) = 6 – 1 = 5. 
 2ª) 


)(lim
6
xf
x
 estudar os limites lateriais: 
.5)5(lim)(lim
66

  xx
xf
 
.516)1(lim)(lim
66

 
xxf
xx
 
Logo, como os limites laterais são iguais, o 
5)(lim
6


xf
x
. 
3ª) 
5)(lim
6


xf
x
 é igual ao f(6) = 5. 
Portanto, a função é contínua em x = 5. 
 
Gráfico da função: 
 
 
3. Estude a continuidade da função em x = 0 e 2. Verifique se é contínua e, se for 
descontínua, determine o tipo: de ponto, salto ou infinita. Após, faça o gráfico da 
função. 
 
 (x + 2)
2 
,se x < 0
 
 
 3, se x = 0 
f(x) = x + 4, se 0 < x ≤ 2 
 
,1
2

x
 se x > 2
 
Em x = 0: 1ª) f(0) = 3. 
 2ª) 


)(lim
0
xf
x
 , temos que estudar os limites lateriais: 
 
63 
 
4)20()2(lim)(lim 22
00

 
xxf
xx
 
440)4(lim)(lim
00

 
xxf
xx
 
Logo, como os limites laterais são iguais, o 
4)(lim
3


xf
x
. 
3ª) 


)(lim
0
xf
x
4 é diferente do f(0) = 3. 
Portanto, a função é descontínua de ponto em x = 0. 
 
 
Em x = 2: 1ª) f(2) = 2 + 4 = 6. 
 2ª) 


)(lim
2
xf
x
 estudar os limites lateriais: 
.642)4(lim)(lim
22

 
xxf
xx
 
.01
2
2
1
2
lim)(lim
22

 
x
xf
xx
 
Logo, como os limites laterais diferentes, o 


)(lim6
xf
x
 

. 
3ª) 


)(lim
2
xf
x

é diferente do f(2) = 6. 
Portanto, a função é descontínua de salto em x = 2. 
 
Gráfico da função: 
 
 
 
 
 
4.3 – Limites Infinitos 
 
DEFINIÇÃO: A notação 


)(lim xf
x
 é utilizada para indicar que os valores de 
)(xf
 
tornam-se tão grandes quanto 
x
. 
 
 
 
 
 
64 
 
4.3.1. Limite de uma função polinomial 
 
 A função polinomial é a função do tipo: 
01
1
1 ....)( axaxaxaxf
n
n
n
n 


 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Determinar o limite 
).3542(lim 24 

xxx
x 
Nesse caso, temos a indeterminação do tipo ∞ - ∞. Para calcular, vamos utilizar um 
artifício de cálculo, colocando em evidência do termo de maior grau da função. 
 
   )3002()3
54
2(lim)3542(lim
2
424
xx
xxxx
xx
 
 
 Logo, o limite de uma função polinômica quando 
x
ou quando
 
x
é igual 
ao limite do termo de maior grau da função. 
 
 Logo: 





).(lim....lim 01
1
1
n
n
x
n
n
n
n
x
xaaxaxaxa
 
 
 
2. Calcule, se existirem, os limites das funções e mostre no gráfico o que significa: 
a) 


.2)2(lim)12(lim xx
xx 
 
b) 


222 )()(lim)44(lim xxx
xx 
 
 
65 
 
c) 


333 )(lim)1(lim xx
xx 
 
 
 
4.3.2. Limite da função racional 
 A função racional é a função do tipo 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf 
, ode P(x) e Q(x) são dois 
polinômios e Q(x) ≠ 0. 
 
 
Exercício resolvido 
Determinar o 
2
32
lim


 x
x
x
 . 
Nesse caso, substituindo 
x
, teremos a indeterminação do tipo 
.


 
Então, vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as 
propriedades de limites juntamente com o teorema: 
 
TEOREMA: Se 
p
 é um número qualquer positivo, então: 
0
1
lim 
 px x
 e 
0
1
lim 
 px x
. 
 
Teremos 
2
0.21
0.32
2lim1lim
3lim2lim
)21(lim
)32(lim
21
32
lim
2
32
lim 



















x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
 
Logo, dado um quociente de polinômios tipo: 
.
...
...
)(
01
1
1
01
1
1
bxbxbxb
axaxaxa
xf
m
m
m
m
n
n
n
n







 
O limite do quociente de polinômios quando 
x
ou quando
 
x
é igual ao 
limite do termo de maior grau da função do numerador com o termo de maior grau do 
denominador. 
Logo: 
casos
xb
xa
m
m
n
n
x
3
.
.
lim 
 
 
1º) CASO: Quando 


)(lim xfnm
x 
 
66 
 
 
 
2º) CASO: Quando 
m
n
x b
a
xfnm 

)(lim
 
 ASSÍNTOTA HORIZONTAL: 
m
n
b
a
y 
 
 
3º) CASO: Quando 
0)(lim 

xfnm
x
 
 ASSÍNTOTA HORIZONTAL: 
0y
 
 
Observação: quando 
x
 tem os mesmo três casos, só que devemos cuidar do sinal dos 
coeficientes e da paridade do expoente. 
 
67 
 
Exercícios resolvidos 
1 - 1º CASO: 




22
323
)(limlim
10
552
lim x
x
x
x
xxx
xxx
 
 




22
323
)(limlim
10
552
lim x
x
x
x
xxx
xxx
 
 2 - 2º CASO: 
4
2
8
2
8
lim
2
8
lim
102
48
lim
2
2
2
2



 xxx x
x
x
xx
 Assíntota Horizontal: y = 4 
4
2
8
2
8
lim
2
8
lim
102
48
lim
2
2
2
2



 xxx x
x
x
xx
 
3 - 3º CASO: 
0
11
limlim
10
5
lim
22





 xx
x
x
x
xxx Assíntota Horizontal: y = 0 
0
11
limlim
10
5
lim
22





 xx
x
x
x
xxx
 
 
4 - Calcule, se existirem, os limites abaixo: 
a) 



 12
22
lim
7
39
x
xx
x


22
2
7
9
)(lim
2
2
lim
2
2
lim x
x
x
x
xxx
 
b) 
0
1
)(
11
limlim
3
12
lim
225
3
5
3







 xx
x
xx
xx
xxx
 
c) 
6)6(lim
2
12
lim
2
12
lim
22
125
lim
5
5
5
52







 xxxx x
x
x
xx
 
5 - O custo médio para a produção de livros, somente na cor preta, de uma Editora é 
dado pela função custo médio: 
x
xC
00,500.2
20,15)( 
 
a) Calcule 
)(lim xC
x 
e interprete o resultado obtido. 
20,15
00,500.2
20,15)
00,500,2
20,15(lim)(lim 


 x
xC
xx 
 
O resultado obtido significa que quanto maior o número de livros produzidos, 
menor será o custo medi para produzi-los. Se o número de livros produzidos tender 
a uma quantidade muito alta o custo médio tende a se tornar constante, no valor de 
15,20. 
 
Já para o custo médio de um livro com 5 cores e com fotos coloridas é dado pela 
função custo médio: 
13
3500224
)(
2
2



xx
xx
xC
. 
 
b) Calcule 
)(lim xC
x 
e interprete o resultado obtido. 
00,24
24
lim
13
3500224
)(lim
2
2
2
2




 x
x
xx
xx
xC
xx
 
 
 
68 
 
O resultado obtido significa que quanto maior o número de livros produzidos com 
5 cores e com fotos coloridas, menor será o custo médio para produzi-los. Se o 
número de livros produzidos tender a uma quantidade muito alta o custo médio 
tende a se tornar constante, no valor de 24,00. 
 
 
4.4 - Assíntotas 
 
 Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam 
de uma reta à medida que o valor de x cresce ou decresce. Essas retas são denominadas de 
Assíntotas. Vamos nos dedicar as assíntotas verticais e horizontais. Em muitos gráficos de 
funções é possível observar mais que um tipo de assíntota. 
 
 ASSÍNTOTA VERTICAL: a reta 
ax 
 é uma assíntota vertical do gráfico de uma 
função, se pelo menos uma das assertivas abaixo for verdadeira: 
a) 


)(lim xf
ax
 
b) 


)(lim xf
ax
 
c) 


)(lim xf
ax
 
d) 


)(lim xf
ax
 
 
 ASSÍNTOTA HORIZONTAL: a reta
cy 
 
é uma assíntota horizontal quando pelo 
menos uma das assertivas abaixo for verdadeira: 
a) 
cxf
x


)(lim
 
b) 
cxf
x


)(lim
 
 
Exercícios resolvidos 
1. A reta 
2x
é uma assíntota vertical do gráfico da função 
2
1


x
y
, pois, analisando os 
limites laterais de 2, teremos: 




  0
1
2
1
lim)(lim
22 x
xf
xx
 



  0
1
2
1
lim)(lim
22 x
xf
xx
 
 
Nessa mesma função 
2
1


x
y
, a reta 
0y
 
é uma assíntota horizontal, pois analisando os 
limites infinitos, teremos: 
0
11
lim
2
1
lim)(lim 




 xx
xf
xxx 
0
11
lim
2
1
lim)(lim 




 xx
xf
xxx 
 
 
2. Esboce o gráfico de um exemplo de função 
f
 que satisfaça a todas as condições dadas: 
 
69 
 
a) 


)(lim
0
xf
x
, 


)(lim
0
xf
x
, 
3)(lim 

xf
x
, 
3)(lim 

xf
x 
 
 
b) 


)(lim
2
xf
x
, 
0)(lim 

xf
x
, 
0)(lim 

xf
x
, 


)(lim