Números_Reais

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André Gustavo Campos Pereira
Viviane Simioli Medeiros Campos
Análise Real
Números reais
Autores
aula
03
D I S C I P L I N A
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Secretária de Educação a Distância
Vera Lucia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Pereira, André Gustavo Campos.
Análise real / André Gustavo Campos Pereira, Viviane Simiolli de Medeiros 
Campos. – Natal, RN: EDUFRN, 2009.
196 p.
ISBN: 
Conteúdo: Aula 01 – Revisando a linguagem matemática e o conceito 
de funções; Aula 02 – Conjuntos fi nitos e enumeráveis; Aula 03 – Números reais; 
Aula 04 – Sequências de números reais; Aula 05 – Desigualdades, operações com 
sequências e limites infi nitos; Aula 06 – Séries numéricas; Aula 07 – Limite de funções; 
Aula 08 – Funções contínuas; Aula 09 – Funções deriváveis; Aula 10 – Máximos e mínimos.
1. Análise matemática. 2. Enumerabilidade. 3. Limite. 4. Continuidade. 5. 
Derivadas. I. Campos, Viviane Simiolli de Medeiros. II. Título. 
CDD 515
RN/UF/BCZM 2009/66 CDU 517
Aula 03 Análise Real 1
Apresentação
N a aula 02 - Conjuntos Finitos e Enumeráveis estudamos várias propriedades dosconjuntos , e , por exemplo, que eles são infinitos e enumeráveis. Nesta aulairemos estudar o conjunto dos números reais . Vamos entender o que significa
ser um corpo ordenado completo. Será que , e também são corpos ordenados
completos? E é infinito e enumerável? Resumindo, qual a diferença e qual a relação entre
esses conjuntos?
Objetivos
Esperamos que ao final desta aula você seja capaz
de argumentar o que significa ser um corpo ser
ordenado completo. Saiba demonstrar e aplicar al-
gumas propriedades dos números reais bem como
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real2
Definições e operações
No conjunto dos números reais, que indicaremos por estão definidas duas oper-
ações:
1. Adição: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x + y ∈ .
2. Multiplicação: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x.y ∈ .
E estas operações definidas em satisfaçam aos seguintes axiomas:
Associatividade: Para quaisquer x, y, z ∈ tem-se:
(x + y) + z = x + (y + z) e (xy)z = x(yz);
Elementos neutros: Existem em dois elementos distintos 0 e 1 tais que:
x + 0 = x e x.1 = x;
Comutatividade: Para quaisquer x, y ∈ , tem-se:
x + y = y + x e x.y = y.x;
Inversos: Todo x ∈ possui inverso aditivo −x ∈ tais que x + (−x) = 0 e se x �= 0,
existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ tal que x.x−1 = 1.
Distributividade: Para quaisquer x, y, z ∈ , tem-se x(y + z) = xy + xz.
A todo conjunto que tem bem definida estas duas operações satisfazendo todas as pro-
priedades acima chamamos de corpo, sendo assim, é um corpo.
Atividade 1
Verifique se no conjunto dos números naturais as operações de adição e multiplicação
estão bem definidas e conclua se N é um corpo ou não.
Atividade 2
Verifique se o conjunto dos números inteiros Z é um corpo.
Atividade 3
Verifique se o conjunto dos números racionais Q é um corpo.
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Aula 03 Análise Real 3
Vamos demonstrar, nos exemplos a seguir, usando o fato de que é um corpo, várias
propriedades dos números reais, todas conhecidas e muito utilizadas.
Exemplo 1
Mostre que x.0 = 0,∀x ∈ .
Seja x ∈ . Temos x = x.1, pela existência do elemento neutro na multiplicação, e
x.1 = x(1 + 0), pela existência do elemento neutro na adição. Pela distributividade, temos
x(1 + 0) = x.1 + x.0 = x + x.0 ⇒ x = x + x.0. Somando (−x) em ambos os membros,
temos x + (−x) = x + (−x) + x.0 ⇒ 0 = x.0. Logo, x.0 = 0,∀x ∈ .
Exemplo 2
Mostre que se xy = 0, então ou x = 0 ou y = 0.
Suponhamos y �= 0. Assim, ∃y−1 ∈ tal que yy−1 = 1. Logo,
xy = 0 ⇒ (xy)y−1 = 0y−1 ⇒ x(yy−1) = 0 ⇒ x = 0.
O caso é análogo para x �= 0.
A soma x + (−y) será indicada por x− y e chamada diferença entre x e y. Se y �= 0,
o produto xy−1 será representado por xy e chamado quociente de x por y.
A operação que a cada par x, y ∈ associa x−y será chamada subtração, e a operação
que a cada par x ∈ , y ∈ − {0} associa x
y
será chamada divisão.
Observação 1
Note que
x
y
só fará sentido se y �= 0, pois x
y
= xy−1, e só existe y−1 para y �= 0.
Exemplo 3
Mostre que o inverso aditivo de um número real é único.
Suponha que x ∈ possua dois inversos aditivos y, z ∈ . Logo, x + y = 0 e
x + z = 0. Assim,
x + y = 0 = x + z ⇒ (x + y) + y = (x + z) + y
⇒ 0 + y = (x + y) + z = 0 + z
⇒ y = z.
∴ o elemento inverso aditivo é único.
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real4
Exemplo 4
Mostre que o inverso multiplicativo de um número real é único.
Seja x ∈ , x �= 0 e y, z ∈ tais que xy = 1 e xz = 1. Assim,
xy = xz ⇒ (xy)y = (xz)y ⇒ y = xyz = z.
∴ o elemento inverso multiplicativo é único.
Exemplo 5
Mostre que x(−y) = −(xy).
xy+x(−y) = x(y+(−y)) = x0 = 0, ou seja, xy+x(−y) = 0. Logo, pela unicidade
do elemento inverso, temos x(−y) = −(xy).
Exemplo 6
Mostre que −(−x) = x.
Note que −(−x) é o inverso aditivo de −x. Como −x + x = 0, temos x = −(−x),
pela unicidade do inverso aditivo.
Exemplo 7
Mostre que x = y ⇔ −x = −y.
Inicialmente, mostremos que x = y ⇒ −x = −y.
x + (−x) = 0 ⇒ y + (−x) = 0 ⇒ y + (−y) + (−x) = 0 + (−y) ⇒ −x = −y.
Para mostrar que −x = −y ⇒ x = y, basta observar que
−x = −y ⇒ −(−x) = −(−y) ⇒ x = y.
Exemplo 8
Mostre que (x− y)(x + y) = x2 − y2.
x2 − y2 = xx− yy = xx+ xy− xy− yy = x(x− y) + y(x− y) = (x− y)(x+ y).
Exemplo 9
Mostre que se x2 = y2, então x = y ou x = −y.
x2 + (−y2) = y2 + (−y2) = 0 ⇒ x2 − y2 = 0 ⇒ (x− y)(x + y) = 0.
Disso, temos (x− y) = 0 ⇒ x = y ou (x + y) = 0 ⇒ x = −y.
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Aula 03 Análise Real 5
Ordenação
No conjunto dos números reais existe um subconjunto, que denotaremos por + chama
conjunto dos números reais positivos que cumpre as seguintes condições:
i. A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ +,
então x + y ∈ + e xy ∈ +.
ii. Dado x ∈ , exatamente uma das três situações abaixo ocorre:
1. x = 0;
2. x ∈ +;
3. −x ∈ +.
Indicando − = {−x ∈ |x ∈ +} = {x ∈ |−x ∈ +}, pela propriedade 2 temos
= − ∪ + ∪ {0}, e essa união é disjunta. − é chamado conjunto dos números reais
negativos, ou seja, os números y ∈ − são chamados números reais negativos.
Exemplo 10
Mostre que todo número real x �= 0 tem quadrado positivo.
x ∈ − {0} ⇒ x ∈ + ou x ∈ −.
Se x ∈ +, então x.x ∈ +, ou seja, x2 ∈ +.Se x ∈ −, então −x ∈ + e, conseqüentemente, (−x)(−x) = x.x = x2 ∈ +.
Garantida a existência de +, temos bem definida em a seguinte relação de ordem:
Dizemos que x é menor que y e escrevemos x < y quando x−y ∈ +, isto é, quando
existe z ∈ + tal que y = x + z; neste caso, escreveremos também y > x e dizemos que y
é maior que x.
Em particular,x > 0 significa que existe z ∈ + tal que x = 0 + z = z ∈ +,
isto é, se x > 0, então x é positivo, enquanto x < 0 significa que ∃z ∈ + tal que
0 = x + z ⇒ 0 + (−z) = x + z + (−z) ⇒ −z = x + (z + (−z)) = x + 0 = x, isto é, se
x < 0, então x é negativo.
Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x < y em :
Transitividade: Se x < y e y < z, então x < z.
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real6
Tricotomia: Dados x, y ∈ , ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = y,
x < y ou x > y.
Monotonicidade da adição: Se x < y, então, para todo z ∈ , tem-se x + z < y + z.
Monotonicidade da multiplicação: Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-se
xz < yz; porém, se z < 0, tem-se xz > yz.
Vamos demonstrar duas dessas propriedades:
Monotonicidade da adição
Demonstração
Se x < y, então, para todo z ∈ , tem-se x + z < y + z.
Hipótese: x < y ⇒ ∃w ∈ + tal que y = x + w.
Tese: z ∈ ⇒ x + z < y + z ⇔ ∃z′ ∈ tal que y + z < x + z + z′.
Por hipótese, temos x < y, ou seja, ∃w ∈ + tal que y = x + w. Assim, y + z =
x + w + z ⇒ y + z = x + z + w ⇒ x + z < y + z.
Monotonicidade da multiplicação
Demonstração
Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-se xz < yz; porém, se z < 0,
tem-se xz > yz.
Caso 1: z > 0.
Hipóteses: x < y e z > 0.
Tese: xz < yz.
De x < y, existe w ∈ + tal que y = x + w, e de z > 0, existe p ∈ + tais
que z = 0 + p. Assim, y − x ∈ + e z ∈ +, que implicam z(y − x) ∈ +, isto é,
zy − zx ∈ + ⇒ zy − zx > 0 ⇒ zy > zx.
Caso 2: z < 0.
Hipóteses: x < y e z < 0.
Tese: xz > yz.
De x < y e z > 0, temos y − x ∈ R+ e −z ∈ + ⇒ (y − x)(−z) ∈ + ⇒
−yz + xz ∈ + ⇒ xz − yz ∈ + ⇒ xz > yz.
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Aula 03 Análise Real 7
Atividade 4
Mostre que a relação de ordem x < y é transitiva.
Atividade 5
Mostre que vale a tricotomia da relação de ordem x < y.
Exemplo 11
Mostre que se x < x′ e y < y′, então x + y < x′ + y′.
De x < x′ e y < y′, temos x′ − x ∈ + e y′ − y ∈ +. Assim,
x′ − x + y′ − y ∈ + ⇒ x′ + y′ − (x + y) ∈ + ⇒ x′ + y′ > x + y.
Exemplo 12
Mostre que se 0 < x < x′ e 0 < y < y′, então xy < x′y′.
Por hipótese, temos as seguintes informações:
De x ∈ + e y′ − y ∈ +, temos x(y′ − y) ∈ +, e de y′ ∈ + e x′ − x ∈ +,
temos y′(x′ − x) ∈ +. Logo,
x(y′ − y) + y′(x′ − x) ∈ + ⇒ xy′ − xy + y′x′ − y′x ∈ +
⇒ y′x′ − xy ∈ + ⇒ y′x′ > xy.
Exemplo 13
Mostre que se x > 0, então
1
x
> 0.
Sabemos que x > 0 ⇒ x �= 0 ⇒ x2 ∈ +. Assim,
x−1 = 1.x−1 = xx−1x−1 = x(x−1)2 ∈ + ⇒ x
x2
∈ + ⇒ 1
x
∈ + ⇒ 1
x
> 0.
Atividade 6
Mostre que se x < 0, então
1
x
< 0.
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Aula 03 Análise Real8
Exemplo 14
Mostre que se 0 < x < y, então 0 <
1
y
<
1
x
.
De x > 0, temos x−1 > 0, ou seja, x−1 ∈ +. Analogamente, de y > 0, temos
y−1 ∈ +. Assim, x−1y−1 ∈ +.
Como x < y, por hipótese, temos:
x(x−1y−1) < y(x−1y−1) ⇒ (xx−1)y−1 < (yy−1)x−1 ⇒ y−1 < x−1.
Vamos mostrar que o conjunto dos números reais contém outros conjuntos numéri-
cos conhecidos.
O exemplo 10 afirma que o quadrado de qualquer número real diferente de zero é posi-
tivo portanto 1 = 12 ∈ +, ou seja, 1 é positivo. Note que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < · · · ,
ou seja, 1 + 1 ∈ +, 1 + 1 + 1 ∈ +,... , e podemos concluir que ⊂ +. Mas + ⊂ ,
portanto ⊂ .
Sabemos que 0 ∈ e acabamos de ver que todo número natural é um número real, ou
seja, n ∈ implica em n ∈ . Como é um corpo, temos que n possui um inverso aditivo
−n ∈ e podemos concluir que ⊂ .
Também podemos afirmar que =
{m
n
|m ∈ , n ∈ − {0}
}
⊂ . Acabamos de
ver que todo número inteiro também é um número real, portanto, m ∈ . Como n ∈ −{0},
então n ∈ − {0}; assim, ∃n−1 ∈ e mn−1 ∈ o que implica em m
n
∈ . Logo, para
todo q =
m
n
∈ , temos q ∈ , isto é, ⊂ .
Com isso, concluímos que � � ⊂ . Mais adiante veremos que � .
Exemplo 15
Desigualdade de Bernoulli
Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ , tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Seja x um número real qualquer tal que x ≥ −1, ou seja, x = −1 ou x > −1.
Inicialmente, mostremos por indução que, para x = −1, a desigualdade é verdadeira,
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Aula 03 Análise Real 9
isto é, para todo n ∈ , tem-se:
(1 + (−1))n ≥ 1 + n(−1) ⇒ 0 ≥ 1− n.
Para n = 1, temos 1 − 1 = 0 ≤ 0, isto é, a desigualdade é verdadeira. Suponhamos
que para n = k a desigualdade é verdadeira, ou seja, 0 ≥ 1− k. Para n = k + 1, temos:
1− (k + 1) = 1− k − 1 < 1− k ≤ 0 ⇒ 1− (k + 1) ≤ 0.
Logo, a desigualdade também vale para n = k + 1 e, portanto, 0 ≥ 1− n, ∀n ∈ .
Agora, mostremos a desigualdade para x > −1, também por indução.
Para n = 1, temos (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x, ou seja, a desigualdade é válida.
Suponhamos que a desigualdade é válida para n = k, isto é, (1 + x)k ≥ 1 + kx. Para
n = k + 1, temos:
(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x)
= 1 + x + kx + kx2 = 1 + (k + 1)x + kx2
> 1 + (k + 1)x.
Logo, (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x, ou seja, a desigualdade também é válida para
n = k + 1. Assim, para x > −1, tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ .
Portanto, concluímos que
(1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ , x ≥ −1.
Agora que sabemos o que significam x > 0 e x < 0, podemos definir o valor absoluto
(ou módulo) de um número real:
|x| =
⎧⎪⎨
⎪⎩
x, se x > 0;
0, se x = 0;
−x, se x < 0.
Note que |x| = max{x,−x}, pois:
a. se x > 0, então −x < 0 e max{x,−x} = x = |x|;
b. se x < 0, então −x > 0 e max{x,−x} = −x = |x|;
c. se x = 0, então −x = 0 e max{x,−x} = 0 = |0|.
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Aula 03 Análise Real10
Proposição 1
Para x ∈ , tem-se −|x| ≤ x ≤ |x|.
Demonstração
De |x| = max{x,−x}, temos:
|x| ≥ x e |x| ≥ −x⇒ |x| ≥ x e − |x| ≤ x⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|.
Exemplo 16
|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2.
Que |x| ≥ 0 segue da definição. Para mostrar que |x|2 = x2, basta observar que
|x|2 = |x||x| =
{
xx, se x ≥ 0;
−x(−x), se x < 0.
De qualquer maneira, temos |x|2 = x2,∀x ∈ .
Agora, suponha que exista y ≥ 0, tal que y2 = x2. Logo,
y2 = x2 ⇒ y2 = x2 = |x|2 ⇒ y2 = |x|2 ⇒ y = |x| ou y = −|x|.
Não pode ocorrer y = −|x| ≤ 0 (para y �= 0) pois y ≥ 0. Portanto, y = |x|, ou seja,
|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2´.
Atividade 7
Mostre que se x, y ≥ 0 e x2 = y2, então x = y.
Teorema 1
Se x, y ∈ , então |x + y| ≤ |x|+ |y| e |xy| = |x||y|.
Demonstração
Sejam x, y ∈ . Sabemos que |x| = max{x,−x} ⇒ |x| ≥ x e que |y| = max{y,−y}
|y| ≥ y. Assim, |x|+ |y| ≥ x+y. De modo análogo, temos |x| ≥ −x e |y| ≥ −y, e também
|x|+ |y| ≥ −x− y = −(x + y). Logo,
|x|+ |y| ≥ x+ y e |x|+ |y| ≥ −(x+ y) ⇒ |x|+ |y| ≥ max{x+ y,−(x+ y)} = |x+ y|.
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Aula 03 Análise Real 11
Agora, vamos mostrar que |xy| = |x||y|. Note que |x| ≥ 0 e |y| ≥ 0 ⇒ |x||y| ≥ 0 e
que |xy| ≥ 0. Sabemos também que:
|xy|2 = (xy)2 = (xy)(xy) = x2y2 = |x|2|y|2 = (|x||y|)2 ⇒ |xy| = |x||y|.
Teorema 2
Sejam a, x ∈ e δ ∈ +. Tem-se:
|x− a| < δ ⇔ a− δ < x < a + δ.
Demonstração
Parte 1. |x− a| < δ ⇒ a− δ < x < a + δ.
Hipóteses: a, x ∈ , δ ∈ + e |x− a| < δ.
Tese: a− δ < x < a + δ.
Da hipótese,temos:
|x− a| < δ ⇒ max{x− a,−(x− a)} < δ
⇒ x− a < δ e − (x− a) < δ
⇒ x− a < δ e x− a > −δ
⇒ x < δ + a e x > a− δ
⇒ a− δ < x < a + δ.
Parte 2. a− δ < x < a + δ ⇒ |x− a| < δ.
Hipóteses: a, x ∈ , δ ∈ + e a− δ < x < a + δ.
Tese: |x− a| < δ.
Da hipótese, temos:
a− δ < x < a + δ ⇒ a− δ < x e x < a + δ
⇒ x− a > −δ e x− a < δ
⇒ −(x− a) < δ e x− a < δ
⇒ max{x− a,−(x− a)} < δ
⇒ |x− a| < δ.
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Aula 03 Análise Real
x
12
Atividade 8
Mostre que se a, x ∈ e δ ∈ +, então
|x− a| > δ ⇒ x < a− δ ou x > a + δ.
Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de númer
reais chamados intervalos:
1. [a, b] = {x ∈ |a ≤ x ≤ b}.
2. (a, b] = {x ∈ |a < x ≤ b}.
3. [a, b) = {x ∈ |a ≤ x < b}.
4. (a, b) = {x ∈ |a < x < b}.
5. (−∞, b] = {x ∈ |x ≤ b}.
6. (−∞, b) = {x ∈ |x < b}.
7. [a,+∞) = {x ∈ |x ≥ a}.
8. (a,+∞) = {x ∈ |x > a}.
9. (−∞,+∞) = .
Os intervalos 1, 2, 3 e 4 são limitados com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado,
[a, b) é fechado à esquerda e aberto à direita, (a, b] é fechado à direita e aberto à esquerda, e
(a, b) é aberto. Os intervalos 5, 6, 7, 8 e 9 são ilimitados. Quando a = b, o intervalo fechado
[a, b] = {a} é chamado intervalo degenerado.
Com relação aos intervalos, o teorema 2 diz que x fatisfaz |x − a| < δ se, e somente
se, x satisfaz a− δ < x < a + δ, ou seja, x ∈ (a− δ, a + δ).
Interpretação geométrica de
Imagine como uma reta e cada elemento x ∈ como um ponto desta reta.
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Aula 03 Análise Real
x y
distância = |y-x |
aa –s a +s
x
|x-a |
|(a +δ) –a| = |s| = s 
13
Vimos que = + ∪ − ∪ {0}, que x > 0 ⇒ x ∈ + e x < 0 ⇒ x ∈ −.
Utilizaremos a relação de ordem para representar os pontos na reta, dizendo que x < y
significa que a posição ocupada por y é à direita de x. Assim, os intervalos são segmentos
dessa reta e |y − x| representa a distância do ponto x ao ponto y.
Atividade 9
Mostre que se a distância de x a y é δ, então a distância de−x a−y também é δ. Como
corolário, conclua que a distância de x a 0 é a mesma que de −x a 0.
Pelo teorema 2, temos que x ∈ (a − δ, a + δ) é equivalente a |x − a| < δ, ou seja, o
intervalo (a− δ, a + δ) é formado pelos elementos cuja distância até a é menor que δ.
Até o momento, vimos que quaisquer que sejam x, y ∈ , temos x < y, x > y ou
x = y. A um corpo com esta propriedade chamamos corpo ordenado, isto é, somos ca-
pazes de dizer quem é maior que quem. Em outras palavras, existe uma relação de ordem
bem definida entre seus elementos.
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Aula 03 Análise Real14
Atividade 10
Podemos concluir que é um corpo ordenado?
O conjunto é um corpo ordenado completo
Quando estudamos os números naturais vimos que X ⊂ é limitado se existe b ∈
tal que x ≤ b, para todo x ∈ X . Não nos preocupávamos, até então, com a parte inferior, já
que o 1 é o menor elemento de e, portanto, 1 ≤ x, para todo x ∈ X ⊂ . No conjunto
não existe um menor elemento, pois se x ∈ , então x− 1 ∈ e x− 1 < x (pois existe
1 ∈ + tal que x = x− 1 + 1).
Atividade 11
Mostre que não existe y ∈ tal que x ≤ y, ∀x ∈ .
Para falar de limitação em , precisamos falar de dois tipos de limitação: superior e
inferior.
Dizemos que X ⊂ é limitado superiormente se existe b ∈ tal que b ≥ x,∀x ∈ X .
Neste caso, b é dito ser uma cota superior de X .
Exemplo 17
O conjunto X = (−∞, 7) é limitado superiormente?
Sim, pois existe 8 ∈ tal que x ≤ 8,∀x ∈ X . Logo, 8 é cota superior de X . Note que
10 também é cota superior de X , já que x ≤ 10,∀x ∈ X .
Atividade 12
Seja X ⊂ limitado superiormente. Mostre que se b é cota superior de X , então
qualquer número real c ≥ b também é cota superior de X .
Se c é cota superior de X ⊂ , então podemos afirmar que qualquer número real b < c
também é cota superior de X? Não! Considere X = (−∞, 4] = {x ∈ |x ≤ 4}. O número
4 é cota superior de x, mas 2 < 4 não é cota superior de X , pois existe 3 ∈ X tal que 2 < 3.
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Aula 03 Análise Real 15
Definição 1
Seja X ⊂ limitado superiormente e não-vazio. Chama-se supremo de X ao número
b ∈ que é a menor das cotas superiores de X , e denota-se b = supX . Mais explicita-
mente:
S1. b é cota superior de X , ou seja, para todo x ∈ X , tem-se x ≤ b.
S2. Se c ∈ é tal que x ≤ c,∀x ∈ X , então b ≤ c. Isso significa que qualquer outra cota
superior de X é, obrigatoriamente, maior que ou igual a b.
Podemos escrever a condição S2 da seguinte maneira:
S2′. Se d < b, então d não é cota superior de X , ou seja, existe x ∈ X tal que x > d. Isso
significa que nenhum número menor que b pode ser cota superior de X .
Podemos ainda reescrever S2′ da seguinte maneira:
S2′′. Qualquer que seja ε > 0, b− ε não é mais cota superior de X , ou seja, ∃x ∈ X tal que
x > b− ε.
Dizer que é completo significa dizer que todo subconjunto X de limitado superior-
mente possui supremo.
Exemplo 18
Considere X = (−∞, 4]. Encontre b = supX .
Note que X �= ∅ e X é limitado superiormente, pois existe 10 ∈ tal que x ≤ 10,∀x ∈
X . Mostremos que b = 4 satisfaz S1 e S2.
Para todo x ∈ X , temos x ≤ 4. Assim, 4 é cota superior de X , isto é, 4 satisfaz S1.
Seja c ∈ tal que c ≥ x,∀x ∈ X . Temos c ≥ 4, pois 4 ∈ X . Logo, c ≥ b, isto é, c satisfaz
S2. Portanto, b = 4 = supX .
Podemos também mostrar que 4 satisfaz S2′ e S2′′, e o faremos a seguir.
Seja d < 4 e considere x =
d + 4
2
. Assim, d < x < 4 e x ∈ X . Como d < 4 foi
qualquer, para todo d < 4 existe x ∈ X tal que x > d. Logo, 4 satisfaz S2’.
Seja ε > 0. Tome x = 4− ε
2
. Note que:
ε > 0 ⇒ ε
2
> 0 ⇒ 4− ε
2
< 4 ⇒ 4− ε
2
∈ X.
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Aula 03 Análise Real16
Também:
ε >
ε
2
⇒ −ε < −ε
2
⇒ 4− ε < 4− ε
2
= x.
Logo, 4− ε não é mais cota superior de X .
Como ε > 0 tomado foi qualquer, 4−ε não é mais cota superior de X , para todo ε > 0.
Portanto, 4 satisfaz S2′′.
Atividade 13
Seja X = (1, 2) ∪ (2, 4] ∪ [7, 9]. Encontre b = supX .
Dizemos que X ⊂ é limitado inferiormente se existe d ∈ tal que, para todo
x ∈ X , tem-se d ≤ x. Neste caso, d é dito ser uma cota inferior de X.
Se d é cota inferior de X ⊂ , então qualquer número real c ≤ d também é cota
inferior de X . De fato, temos d ≤ x,∀x ∈ X . Como c ≤ d, por transitividade, temos
c ≤ d ≤ x,∀x ∈ X . Logo, c é cota inferior de X . Porém, não podemos afirmar que
qualquer número real c′ > d é cota inferior de X . De fato, considereX = (0,∞). −1 é cota
inferior de X , mas 1 > −1 não é cota inferior de X , pois existe 1
2
∈ X tal que 1
2
< 1.
Definição 2
Seja X ⊂ limitado inferiormente e não-vazio. Chama-se ínfimo de X ao número
d ∈ que é a maior das cotas inferiores de X , e denota-se d = inf X . Em outras palavras,
ao número d ∈ que satisfaz:
I1. d é cota inferior de X , ou seja, para todo x ∈ X , tem-se d ≤ x.
I2. Se c ∈ é tal que c ≤ x,∀x ∈ X , então c ≤ d. Isso significa que qualquer outra cota
inferior de X é, obrigatoriamente, menor que ou igual a d.
Podemos escrever a condição I2 da seguinte maneira:
I2′. Se c > d, então c não é cota inferior de X , ou seja, existe x ∈ X tal que x < c. Isso
significa que nenhum número maior que d pode ser cota inferior de X .
Podemos ainda reescrever I2′ da seguinte maneira:
I2′′. Qualquer que seja ε > 0, d + ε não é mais cota inferior de X , ou seja, ∃x ∈ X tal que
x < d + ε.
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Aula 03 Análise Real17
Exemplo 19
Seja X = (−3, 7). Encontre d = inf X .
d = −3 é cota inferior de X , pois x ∈ X ⇒ x > −3 ⇒ x ≥ d, ∀x ∈ X . Agora
vamos mostrar que −3 é a maior das cotas inferiores de X . Seja c uma cota inferior de X ,
ou seja, c ≤ x,∀x ∈ X . Temos duas possibilidades para tal c: ou c ≤ −3 ou c > −3. Caso
ocorresse c > −3 (c ≤ 7), teríamos:
−3 < c + (−3)
2
< c⇒ x = c + (−3)
2
∈ X e x < c,
isto é, c não seria cota inferior de X . Logo, c ≤ −3 e, portanto, d = −3 = inf X .
Atividade 14
Mostre que se X é limitado superiormente, então −X = {y ∈ |− y ∈ X} é limitado
inferiormente.
Atividade 15
Mostre que se b = supX , então −b = inf(−X).
Os próximos teoremas 3 e 4 a seguir serão utilizados no teorema 5, o qual garante que
não é enumerável.
Teorema 3
São verdadeiras as seguintes afirmações:
1. ⊂ não é limitado superiormente;
2. Se X =
{
1
n
|n ∈
}
, então inf X = 0;
3. Dados a, b ∈ +, existe n ∈ tal que na > b.
Demonstração
Item 1.
Hipótese: ⊂ .
Tese: não existe cota superior para .
Demostraremos este item por contradição.
∼Tese: existe cota superior para , isto é, ∃c ∈ tal que n ≤ c,∀n ∈ .
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Aula 03 Análise Real18
Sabemos que �= ∅ e ⊂ . Logo, pela completude de , existe d ∈ tal que
d = sup . Assim, d − 1 não é supremo de , ou seja, ∃x ∈ tal que x > d − 1. Pela
monotonicidade de “ > ”, temos x + 1 > d− 1 + 1 = d, o que é absurdo, pois x + 1 ∈
pelos axiomas de Peano (x + 1 é o sucessor de x).
Portanto, é ilimitado superiormente.
Item 2.
Hipótese: X =
{
1
n
, n ∈
}
=
{
1,
1
2
,
1
3
, ...
}
.
Tese: inf X = 0.
Inicialmente, devemos mostrar que 0 é cota inferior de X . Sabemos que n > 0,∀n ∈
⇒ 1
n
> 0,∀n ∈ ⇒ x > 0,∀x ∈ X . Logo, 0 é cota inferior de X .
Agora, mostremos que para todo c > 0, c não é cota inferior de X . Dado c > 0, temos
1
c
> 0, isto é
1
c
não é cota superior de , pois é ilimitado superiormente. Assim,
∃n ∈ tal que n > 1
c
⇒ nn−1c > 1
c
n−1c ⇒ c > 1
n
,
ou seja, existe x ∈ X , x = 1
n
, tal que x < c. Logo, c não é cota inferior de X .
Como c > 0 tomado foi qualquer, temos que, para todo c > 0, c não é cota inferior de
X . Portanto, inf X = 0.
Item 3.
Hipótese: a, b ∈ +.
Tese: existe n ∈ tal que na > b.
Dados a, b ∈ +, temos a−1, b−1 ∈ +. Também a−1b ∈ + e a−1b não é cota
superior de , pois é ilimitado superiormente. Assim, ∃n ∈ tal que n > a−1b, isto é,
na > a−1ba, que implica na > b.
Atividade 16
Demostre a equivalência entre os itens do teorema anterior, ou seja, mostre que 1 im-
plica 2, 2 implica 3 e 3 implica 1.
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Aula 03 Análise Real 19
Teorema 4
Intervalos encaixados
Dada uma seqüência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · de intervalos fechados [an, bn] = In,
então existe pelo menos um número real e tal que e ∈ In,∀n ∈ , isto é, e ∈
⋂
n
In.
Demonstração
Hipótese: I1 ⊃ I2 ⊃ · · · .
Tese: ∃e ∈ tal que e ∈ In,∀n ∈ , ou equivalentemente, ∃e ∈ tal que e ∈
⋂
n
In.
I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⇒ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⇒ a1 ≤ a2 ≤ · · · e b1 ≥ b2 ≥ · · · .
Será que aj ≤ bk,∀j, k ∈ ? Note que aj > bk não ocorre para nenhum j, k ∈ .
Caso ocorresse, teríamos j > k, pois para j ≤ k temos a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ aj ≤ ak ≤ bk.
Entretanto, se aj > bk para algum j > k, então bj ≥ aj ≥ bk, e isso é absurdo, pois da
hipótese temos bj ≤ · · · ≤ bk ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1. Logo, aj ≤ bk,∀j, k ∈ .
Considerando X = {bj |j ∈ }, temos X �= ∅, X ⊂ e X é limitado inferiormente.
Assim, ∃e ∈ tal que e = inf X .
Considerando Y = {aj |j ∈ }, temos Y �= ∅, Y ⊂ e X é limitado superiormente.
Assim, ∃f ∈ tal que f = supY .
Note que f ≤ e, pois como já vimos aj ≤ bk,∀j, k ∈ . Fixando j, temos aj ≤
bk,∀k ∈ . Logo, aj é cota inferior de X ⇒ aj ≤ e = inf X . Note também que isso vale
para todo j ∈ , ou seja, aj ≤ e,∀j ∈ . Logo, e é cota superior de Y ⇒ supY = f ≤ e.
Observe que [f, e] ⊂
⋂
n
In. De fato,
x ∈ [f, e] ⇒ f ≤ x ≤ e
⇒ aj ≤ supY = f ≤ x,∀j ∈ , e
x ≤ e = inf X ≤ bj ,∀j ∈
⇒ aj ≤ x ≤ bj ,∀j ∈
⇒ x ∈ [aj , bj ],∀j ∈
⇒ x ∈
⋂
n
In.
Note que [f, e] �= ∅, pois no mínimo [f, e] = {e} é um intervalo degenerado. Portanto,
∃e ∈ tal que e ∈ In,∀n ∈ .
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Aula 03 Análise Real20
Teorema 5
não é enumerável.
Demonstração
Mostraremos que não existe uma função f : → sobrejetiva e, conseqüentemente,
�f : → bijetiva.
Hipótese: f : → é uma função.
Tese: f não é sobrejetiva.
De fato, considerando f(1) ∈ , podemos construir um intervalo [a1, b1] tal que
f(1) /∈ [a1, b1] = I1. Para f(2), temos duas prossibilidades: f(2) /∈ I1 ou f(2) ∈ I1.
Se f(2) /∈ I1, temos I2 = I1.
Se f(2) ∈ I1, temos:
[a2, b2] = I2 =
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
[
a1,
a1 + f(1)
2
]
, se f(2) �= a1;[
f(1) + b1
2
, b1
]
, se f(2) = a1.
Para f(3), também temos duas possibilidades: f(3) /∈ I2 ou f(3) ∈ I2.
Se f(3) /∈ I2, temos I3 = I2.
Se f(3) ∈ I2, temos:
[a3, b3] = I3 =
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
[
a2,
a2 + f(2)
2
]
, se f(3) �= a2;[
f(2) + b2
2
, b2
]
, se f(3) = a2.
Note que I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ · · · . Logo, existe x ∈
⋂
n
In. Se x ∈ In, então
f(1), f(2), ..., f(n) /∈ In e, conseqüentemente, f(1), f(2), ..., f(n) �= x. Como x ∈
⋂
n
In,
temos x �= f(n),∀n ∈ . Portanto, f não é sobrejetiva, demonstrando o teorema.
O próximo resultado nos dá uma infinidade de exemplos de conjuntos não enumeráveis.
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Aula 03 Análise Real 21
Corolário 1
Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração
Hipótese: I é um intervalo não-degenerado, isto é, I �= {c}.
Tese: I é não-enumerável.
Sabemos que se X é enumerável e Y ⊂ X , então Y é enumerável. Assim, se Y ⊂ X
é não-enumerável, então X é não-enumerável. Também,
I não-degenerado⇒ ∃a, b ∈ I, a < b tais que (a, b) ⊂ I .
Considere
ϕ : (−1, 1) −→ (a, b)
x �−→ 1
2
[(b− a)x + a + b]
Note que ϕ é bijetiva.
Considere também
ψ : −→ (−1, 1)
x �−→ x
1 + |x|
Vamos mostrar que ψ é bijetiva.
Note que x > 0 > y ⇒ ψ(x) > ψ(0) > ψ(y). Considere, agora, ψ(x) = ψ(y) (x e y
tem o mesmo sinal e x, y �= 0).
Se x, y > 0, temos:
ψ(x) = ψ(y) ⇒ x
1 + |x| =
y
1 + |y| ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|)
⇒ x + x|y| = y + y|x| ⇒ x + xy = y + yx
⇒ x = y.
Se x, y < 0, temos:
ψ(x) = ψ(y) ⇒ x
1 + |x| =
y
1 + |y| ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|)
⇒ x + x|y| = y + y|x| ⇒ x− xy = y − yx
⇒ x = y.
Logo, ψ é injetiva.
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Aula 03 Análise Real22
Para mostrar a sobrejetividade de ψ, devemos mostrar que ∀y ∈ (−1, 1), ∃x ∈ tal
que ψ(x) = y.
Se y = 0, então existe 0 ∈ tal que 0
1− 0 = ψ(0) = 0 = y.
Se y > 0, procuremos x ∈ , x > 0 tal que ψ(x) = y. Assim,
x
1 + |x| = y ⇒
x
1 + x
= y ⇒ x = (1 + x)y ⇒ x = y + xy
⇒ x− xy = y ⇒ x = y
1− y .
Se y < 0, vamos procurar x ∈ , x < 0 tal que ψ(x) = y. Assim,
x
1 + |x| = y ⇒
x
1− x = y ⇒ x =
y
1 + y
.
Logo, ψ é sobrejetiva.
Portanto, ψ é bijetiva⇒ (−1, 1) é não-enumerável⇒ (a, b) é não-enumerável (pois ϕ
é bijeção). Como I ⊃ (a, b), então I é não-enumerável.
Exemplo de um número irracional
Vamos encerrar esta aula mostrando que
√
3 não é um número racional, ou seja, é irra-
cional e assim estaremos mostrando que Q � .
Suponha que
√
3 é racional, isto é, existem m ∈ e n ∈ − {0} tais que √3 = m
n
.
Assim,
√
3n = m ⇒ 3n2 = m2 ⇒ m|3n2 ⇒ 3|m2. Isto significa que 3 é fator primo de
decomposição de m2. Logo, 3|m e, conseqüentemente, a quantidade de3 na decomposição
de m2 é par. Temos então duas possibilidades para 3: (a) 3 é fator primo de n ou (b) 3 não é
fator primo de n.
Se (a) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de n2 também é par. Logo,
3n2 tem uma quantidade ímpar de 3. Isto é absurdo, pois 3n2 = m2.
Se (b) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de 3n2 é 1, e isto também é
absurdo.
Portanto,
√
3 é irracional.
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Aula 03 Análise Real 23
Resumo
Nesta aula aprendemos que é um corpo ordenado completo e não enumerável. Apli-
camos vários dos axiomas de corpo e a relação de ordem para demonstrar propriedades
interessantes e bem conhecidas dos números reais. Estudando a completeza de aprende-
mos os conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos.
Autoavaliação
Usando o fato de ser um corpo, prove:
1) a unicidade do elemento neutro da adição, ou seja, se x + a = x para todo x ∈ então
a = 0.
2) a unicidade do elemento neutro da muliplicação, ou seja, se x.u = x para todo x ∈
então u = 1.
3) a unicidade do elemento inverso aditivo, ou seja, se x + y = 0 então y = −x.
4) a unicidade do elemento inverso multiplicativo, ou seja, se x.y = 1 então y = x−1.
Usando o fato de ser um corpo ordenado, prove que:
5) para quaisquer x, y, z ∈ vale: |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| .
6) para quaisquer x, y ∈ vale: ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
Usando o fato de ser um corpo ordenado completo, prove que:
7) se A e B são subconjuntos limitados de , satisfazendo A ⊂ B então supA ≤ supB e
infA ≥ infB. Construa um exemplo que ilustre essas afirmações
8) Dados A e B subconjuntos limitados de e c ∈ . Mostre que:
a) o conjunto A + B = {x + y;x ∈ Aey ∈ B} é limitado.
b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B)
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Aula 03 Análise Real24
c) inf(A + B) = inf(A) + inf(B)
d) sup(cA) = c.sup(A) se c ≥ 0
e) inf(cA) = c.inf(A) se c ≥ 0
f) sup(cA) = c.inf(A) se c ≤ 0
g) inf(cA) = c.sup(A) se c ≤ 0
10) Mostre que
√
2 não é um número racional.
Referências
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo:
Atual, 1993.
LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1.Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, Coleção Matemática Universitária, 1989.
MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG,
2007.
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2º
 S
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es
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20
09
Im
pr
es
so
 p
or
: G
rá
fi c
a
EMENTA
> André Gustavo Campos Pereira
> Viviane Simiolli de Medeiros Campos
Conjuntos fi nitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Números reais. Cortes de Dedekind. Sequências e séries 
de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Sequências e séries de funções. 
Panorama histórico.
Análise Real – MATEMÁTICA
AUTORES
AULAS
01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções
02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis
03 Números reais
04 Sequências de números reais
05 Desigualdades, operações com sequências e limites infi nitos
06 Séries numéricas
07 Limite de funções
08 Funções contínuas
09 Funções deriváveis
10 Máximos e mínimos
12