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Números_Reais

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3 na decomposição
de m2 é par. Temos então duas possibilidades para 3: (a) 3 é fator primo de n ou (b) 3 não é
fator primo de n.
Se (a) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de n2 também é par. Logo,
3n2 tem uma quantidade ímpar de 3. Isto é absurdo, pois 3n2 = m2.
Se (b) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de 3n2 é 1, e isto também é
absurdo.
Portanto,
√
3 é irracional.
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Aula 03 Análise Real 23
Resumo
Nesta aula aprendemos que é um corpo ordenado completo e não enumerável. Apli-
camos vários dos axiomas de corpo e a relação de ordem para demonstrar propriedades
interessantes e bem conhecidas dos números reais. Estudando a completeza de aprende-
mos os conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos.
Autoavaliação
Usando o fato de ser um corpo, prove:
1) a unicidade do elemento neutro da adição, ou seja, se x + a = x para todo x ∈ então
a = 0.
2) a unicidade do elemento neutro da muliplicação, ou seja, se x.u = x para todo x ∈
então u = 1.
3) a unicidade do elemento inverso aditivo, ou seja, se x + y = 0 então y = −x.
4) a unicidade do elemento inverso multiplicativo, ou seja, se x.y = 1 então y = x−1.
Usando o fato de ser um corpo ordenado, prove que:
5) para quaisquer x, y, z ∈ vale: |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| .
6) para quaisquer x, y ∈ vale: ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
Usando o fato de ser um corpo ordenado completo, prove que:
7) se A e B são subconjuntos limitados de , satisfazendo A ⊂ B então supA ≤ supB e
infA ≥ infB. Construa um exemplo que ilustre essas afirmações
8) Dados A e B subconjuntos limitados de e c ∈ . Mostre que:
a) o conjunto A + B = {x + y;x ∈ Aey ∈ B} é limitado.
b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B)
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real24
c) inf(A + B) = inf(A) + inf(B)
d) sup(cA) = c.sup(A) se c ≥ 0
e) inf(cA) = c.inf(A) se c ≥ 0
f) sup(cA) = c.inf(A) se c ≤ 0
g) inf(cA) = c.sup(A) se c ≤ 0
10) Mostre que
√
2 não é um número racional.
Referências
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo:
Atual, 1993.
LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1.Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, Coleção Matemática Universitária, 1989.
MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG,
2007.
VERSÃO DO PROFESSOR
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2º
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EMENTA
> André Gustavo Campos Pereira
> Viviane Simiolli de Medeiros Campos
Conjuntos fi nitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Números reais. Cortes de Dedekind. Sequências e séries 
de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Sequências e séries de funções. 
Panorama histórico.
Análise Real – MATEMÁTICA
AUTORES
AULAS
01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções
02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis
03 Números reais
04 Sequências de números reais
05 Desigualdades, operações com sequências e limites infi nitos
06 Séries numéricas
07 Limite de funções
08 Funções contínuas
09 Funções deriváveis
10 Máximos e mínimos
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