apostila_matematica_bnb_CURSO PRIME

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Licenciado para: jose francisco dos santos neto santos neto81, jstbem@gmail.com, em 26 de setembro de 2018 - CPF: 167.222.484-53
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| Prof. Pacífico e Prof. Thiago Pacífico 
 
 
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 
CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 
1 
 
OS: 0082/7/17-Gil 
CONCURSO: BANCO DO NORDESTE DO BRASIL – BNB 
 
ASSUNTO: MATEMÁTICA 
 
ÍNDICE: 
 
 NOSSAS REDES SOCIAS – MAIS SOBRE NOSSOS CURSOS!................................... 
 
 MATEMÁTICA 01 
 
 Proporcionalidade: Razão, Proporção e Regra de Três (Simples e 
Composta)..................................................................................................................... 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 Análise Combinatória................................................................................................... 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 Probabilidade................................................................................................................ 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 Operações nos Reais (Operações, Múltiplos, Divisores, MMC e MDC) / Estudo 
das Médias..................................................................................................................... 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 Funções, Equações e Inequações de 1º e 2º Graus / Sistemas 
Lineares......................................................................................................................... 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 Exponencial e Logaritmos........................................................................................... 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 MATEMÁTICA 02 
 
 Porcentagem................................................................................................................. 
 
 Juros Simples................................................................................................................ 
 
 Desconto Simples......................................................................................................... 
 
 Equivalência Simples de Capitais............................................................................... 
 
 Juros Compostos.......................................................................................................... 
 
 Taxa Nominal................................................................................................................. 
 
 Taxa Efetiva................................................................................................................... 
 
 Taxa Aparente x Taxa Real........................................................................................... 
 
 Desconto Composto..................................................................................................... 
 
 Equivalência Composta de Capitais........................................................................... 
 
 Rendas Certas............................................................................................................... 
 
 Amortização................................................................................................................... 
 
 Matemática Financeira (Resumo das Fórmulas)........................................................ 
 
Questões de Concursos............................................................................................... 
 
 
02 
 
 
 
 
02 
 
12 
 
21 
 
29 
 
35 
 
48 
 
 
54 
 
60 
 
 
66 
 
72 
 
77 
 
79 
 
 
 
85 
 
89 
 
95 
 
101 
 
103 
 
109 
 
110 
 
113 
 
114 
 
117 
 
119 
 
127 
 
160 
 
168 
 
 
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2 
 
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ACESSE NOSSAS REDES SOCIAIS! =D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
“Há somente dois tipos de homens: os justos, que se imaginam pecadores; e os 
pecadores, que se consideram justos.” 
 PASCAL 
 
CONCEITO DE RAZÃO 
 
A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, é o resultado da divisão 
entre as grandezas. 
Assim, dados dois números reais a e b, com b  0, calcula-se a razão entre a e b através do quociente da 
divisão de a por b. 
Para indicarmos a razão entre a e b usamos: 
 
b
a ou a : b (“a” está para “b”). 
 
Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número “b” é chamado de conseqüente. 
 
Razão entre a e b = 
b
a
 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-versa 






a
b
e
b
a
. Note que, o produto de duas razões inversas é sempre igual a 1. 
1
a
b
.
b
a

 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
 CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO 
 
É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por ele. 
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Concorrência = 
oferecidasvagasdeºn
inscritos.canddeºn
 
 
 VELOCIDADE MÉDIA 
 
É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la. 
 
Velocidade média = 
t
S
V
gasto tempo
apercorriad distância
m



 
 
 DENSIDADE DE UM CORPO 
 
É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. 
 
Densidade = 
V
m
d
volume
massa

 
 
 DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO 
 
É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
 
região dessa área
região uma de habitantes de ºn
ademográf ic
Densidade

 
 
 ESCALA NUMÉRICA 
 
É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real, 
medidos na mesma unidade. 
 
real o compriment
desenho no o compriment
Escala 
 
 
D
d
E 
 
 
 Tamanhos de Escala 
 
 Escala Grande 
 
 É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela destinada a pequenos comprimentos 
reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É usada em cartas ou plantas. 
 
 Escala Pequena 
 
 É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aqueladestinada a grandes comprimentos reais 
(áreas continentais). É pobre em detalhes gráficos. É usada em mapas e globos. 
 
Observação 
 
Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se apresenta sob a forma de um segmento 
de reta graduado. Nele, cada graduação representa 1 cm de comprimento no desenho. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escala = ou 1: 20.000.000. 
 
cm000.000.20
cm1
km200
cm1

0km 200km 400km 600km 800km
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens à seguir 
a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas? 
b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da prova? 
c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas? 
Solução: 
 
O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo: 
a) 
2
7
10
35

ERRADAS
CERTAS
= 7 : 2 
 
(proporção de 7 certas para cada 2 questões erradas) 
 
b) 
5
1
50
10

TOTAL
ERRADAS
= 1 : 5 
 
(proporção de 1 errada para cada 5 questões da prova) 
 
c) 
7
1
35
5

CERTAS
BRANCO
= 1 : 7 
 
(proporção de 1 em branco para cada 5 questões certas) 
 
CONCEITO DE PROPORÇÃO 
 
Proporção é uma igualdade de duas razões 
 
Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta ordem, 
uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro e o quarto (c:d). 
Representamos isto por: 
 
d
c
b
a

 ou a : b = c : d 
 
 
E lemos: “a está para b assim como c está para d”. 
Na proporção 
d
c
b
a

, destacamos que os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são 
chamados meios. 
 
 
a : b = c : d 
d
c
b
a

 
 
 
 
 
 PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO 
 
 Propriedade Fundamental 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
MEIOS 
EXTREMOS 
MEIOS 
EXTREMOS 
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c.bd.a
d
c
b
a

 
 
 Soma dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 















d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
 Diferença dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 














d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
 Soma dos Antecedentes e Consequentes 
 
Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer 
antecedente está para seu consequente. 
 
db
ca
d
c
b
a



 
 
 QUARTA PROPORCIONAL 
 
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta proporcional desses números dados o 
número x tal que: 
 
x
c
b
a

 
 
Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b e c, nessa ordem. 
 
 TERCEIRA PROPORCIONAL 
 
Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional desses números o número 
x tal que: 
 
x
b
b
a

 
 
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 SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS 
 
Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões. Também, pode ser chamada de 
proporção múltipla. Em símbolos, temos: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1 
 
 
A principal propriedade a ser utilizada é: 
 
 
k
b...bbb
a...aaa
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n321
n321
n
n
3
3
2
2
1
1 



 
 
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são ditos diretamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ..., bn), quando as razões de cada termo de A pelo seu 
correspondente em B forem iguais , isto é: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1

 
 
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
.4
3
12
4
4
16
;4
5
20
 e
 
 
Então as sucessões são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4. 
 
02. Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente proporcionais aos números 
da sucessão (4, 2, 1). 
 
Solução: 
 
Pela definição de números diretamente proporcionais, temos: 






5
10
12
5
124
20
y
xyxyx
 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ... bn), quando os produtos de cada termo da sucessão A pelo seu 
correspondente em B forem iguais, isto é: 
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a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k 
 
Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade. 
Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão A são diretamente 
proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B. 
 
k
b
1
a
...
b
1
a
b
1
a
b
1
a
n
n
3
3
2
2
1
1 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente proporcionais aos números da 
sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72. 
Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 72. 
 
02.Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente 
proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. 
 
Solução: 
 
Pela definição, temos: 








.1z3636.z
.12y36y.3
.4x369.x 
 
03. Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. 
 
Solução: 
 
Sejam x e y as partes procuradas: 















8y
10x
2
9
18
4
y
5
x
45
yx
4
y
5
x
18yx 
 
04. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do TRF de 
uma certa circunscrição judiciária. 
 
 
 
 
 
 
 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre 
si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 
laudas, determine o total de laudas do processo. 
 
 IDADE TEMPO DE SERVIÇO 
JOÃO 36 ANOS 8 ANOS 
MARIA 30 ANOS 12 ANOS 
 
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Solução: 
 
Sejam 
 – Laudas de João: x 
 – Laudas de Maria: y 
Então: 
 
8
36
x
 = 
12
30
y
= 
12
30
8
36

 yx
 
 
Como x = 27, temos: 
 
8
36
27
 = 
12
30
8
36

 yx
 
Ou seja: 
 
36
8
.27
 = 
2
5
2
9

 yx
 
 6 = 
7
yx 
 
Então: 
 x + y = 42 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
 
"Agir com sabedoria assegura o sucesso”. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas (A e B) são diretamente proporcionais quando, aumentando-se o valor de uma delas um 
certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes. Em 
símbolos, temos: 
 
A  B 

BkA 
, onde 
alidadeproporcion
de ecoeficient
k 
 
 
 
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma das grandezas é 
igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza. 
 





22
11
B.kA
B.kA 
2
1
2
1
B
B
A
A

 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas (A e B) são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas um certo 
número de vezes, o valor correspondente na outra diminui o mesmo número de vezes. Em símbolos, temos: 
 
B
1
kA
B
1
~A 
, onde 
alidadeproporcion
de ecoeficient
k 
 
 
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OS: 0082/7/17-Gil 
Se duas grandezas são inversamente proporcionais, então a razão entre os dois valores de uma das 
grandezas é igual ao inverso da razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza. 
 









2
2
1
1
B
1
kA
B
1
kA

2
1
2
1
B
1
B
1
A
A
 
 
1
2
2
1
B
B
A
A

 
 
Observação 
 
Se 
B~A
 e 
C~A
, então 
CB~A 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois 
valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e 
deverá ser calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três. 
Dependendo das grandezas A e B, podemos ter: 
 
 REGRA DE TRÊS DIRETA 
 
A e B são grandezas diretamente proporcionais. 
2
1
2
1
B
B
A
A

 
 
 REGRA DE TRÊS INVERSA 
 
A e B são grandezas inversamente proporcionais. 
 
1
2
2
1
B
B
A
A

 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Se uma dúzia de ovos custa R$ 1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos? 
 
Solução: 
 
Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de setas verifique se estas grandezas 
são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 Quantidade de ovos Preço (R$) 
 12 1,40 
 30 x 
 
As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quanto mais 
ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar. 
 
Logo: 
50,3x
12
40,1.30
x
x
40,1
30
12

 
 
Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50. 
 
 
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REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas proporcionais. A 
regra de três composta é realizada da seguinte maneira. 
 
 1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. 
 2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência. 
 3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras grandezas, isoladamente, 
identificando se há proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas 
invertidas). 
 4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, 
colocamos o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se há proporcionalidade 
inversa em relação a uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e 
escrever a razão inversa no produto. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado serviço. 
Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? 
 
Solução 1: 
 
Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos: 
 
 
 Operários Horas por dia Dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 
 
 
Logo: 
 













7
9
.
18
12
x
12
18.7 = 9.x  x = 14 dias 
 
Resposta: São necessários 14 dias. 
 
Solução 2: 
 
Montando a tabela e tomando o n
o
 de operários como referência, temos: 
 
 
 Operários Horas por dia Dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 
 
 
Logo: 
 













12
x
.
7
9
12
18
18.7 = 9.x  x = 14 dias 
 
Resposta: São necessários 14 dias. 
 
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REGRA DE SOCIEDADE 
 
É justo que, em uma sociedade, os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, 
proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição 
dessa sociedade. 
 
cte
TempoCapital
Lucro
Tempo~Lucro
Capital~Lucro






 
 
É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00. Se ao 
fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um? 
 
Solução: 
 
Utilizando a regra da sociedade, vemos que: 
 
130000
M
120000
J
tempocapital
lucro





 
onde J é o lucro que cabe ao João e M é o lucro que cabe à Maria. Simplificando a proporção, temos: 
 









4500M
3000J
1500
5
7500
32
MJ
3
M
2
J
 
 
Resposta: João lucrou R$ 3.000,00 e Maria lucrou R$ 4.500,00. 
 
02. Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após um certo investimento. Para tanto, o primeiro entrou com 
um capital de R$ 7.000,00, durante 1 ano, o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com 
R$ 9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um? 
 
Solução: 
 
Utilizando a regra da sociedade, vemos que: 
 
79000
z
88500
y
127000
x
tempocapital
lucro







 
 
onde x, y e z são as partes de cada um no lucro. 
 
Simplificando a proporção, temos: 
 





 790
z
885
y
1270
x
 


 10
2150
21500
2150
zyx
630
z
680
y
840
x
 
 









6300z
6800y
8400x 
 
Resposta: O primeiro lucrou R$ 8.400,00; o segundo, R$ 6.800,00 e o terceiro, R$ 6.300,00. 
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QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
Um órgão de controle, ao aplicar sanções contra empresas petroleiras cujas atividades resultem em 
agressão ao meio ambiente, determina o valor da multa, em reais, de modo proporcional ao volume de 
petróleo derramado, em barris, ao tempo de duração do derramamento, em semanas, e à área da região 
afetada, em quilômetros quadrados. Assim, se determinada empresa petroleira deixar vazar, por três 
semanas, quatro mil barris de petróleo bruto, causando a contaminação de 950 km
2
 de superfície marítima, 
será, em decorrência disso, multada em R$ 5.000.000,00. Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
 
01. (CESPE) Considere que, após o acidente com um navio petroleiro, que resultou no derramamento de 
dezenove mil barris de petróleo, afetando uma área de 120 km
2
, os técnicos da empresa à qual esse navio 
pertence tenham levado uma semana para contar o derramamento. Nessa situação, a multa a ser aplicada a 
ser aplicada pelo órgão de controle será superior a R$ 900.000,00. 
 
 
 
02. (CESPE) Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área 
correspondente a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa recebida pela empresa aumentará 10% 
em relação ao valor que seria estabelecido no momento do estanque. 
 
 
 
 
 
 
Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de 
computadores. Para resolver esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para 
fazer uma triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta 
complexidade. O chefe, então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou 
baixa complexidade e 70 servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que 
todos os servidores ficaram ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 
3.520 processos aguardando triagem e análise. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens de 03 a 07. 
 
 
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03. (CESPE) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa 
atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta complexidade, o número de servidores 
realizando tal análise será menor que o dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa 
complexidade. 
 
 
 
04. (CESPE) Mais servidores de repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a 
análise de processos de média ou baixa complexidade. 
 
 
 
05. (CESPE) A repartição possui um total de 200 servidores. 
 
 
 
06. (CESPE) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. 
 
 
 
07. (CESPE) Caso o ritmo permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão 
mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. 
 
 
 
08. (CESPE) Às 6 horas de certo dia, Alcebíades, Berenice, Carlota e Dagoberto substituíram os quatro 
funcionários que prestavam atendimento ao público na recepção de um aeroporto. Suponha que, nesse 
instante, as 135 pessoas que aguardavam atendimento foram divididas em grupos, de acordo com o seguinte 
critério: 
 
3
1
 do total de pessoas foram encaminhadas a Alcebíades e Berenice que as dividiram entre si, na 
razão direta de suas respectivas idades: 36 e 24 anos: 
 Carlota e Dagoberto dividiram entre si o número de pessoas restantes, na razão inversa de suas 
respectivas idades: 28 e 35 anos. 
 
Considerando que eles atenderam apenas a essas 135 pessoas, então, é correto afirmar que Berenice foi 
quem atendeu o menor número de pessoas. 
 
 
 
Segundo um novo levantamento da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), o mercado doméstico de 
aviação no Brasil é controlado por 5 companhias principais. A partir das informações apresentadas, julgue 
os itens a seguir. 
 
09. (CESPE) Se um avião a uma velocidade média de 800 km por hora gasta 2 h 30 min entre os aeroportos A e 
B, então, para efetuar o mesmo percurso em exatamente 2 h, a velocidade média desse avião deverá ter um 
aumento de 20%. 
 
 
10. (CESPE) Considerando que, no hangar de uma companhia de aviação, 20 empregados, trabalhando 9 horas 
por dia, façam a manutenção dos aviões em 6 dias, então, nessas mesmas condições, 12 empregados, 
trabalhando com a mesma eficiência 5 horas por dia, farão a manutenção do mesmo número de aviões em 
menos de 2 semanas. 
 
 
 
11. (CESPE) Se a maquete de um helicóptero, construída na escala de 1:24, tiver o comprimento igual a 20 cm, 
então o comprimento real dessa aeronave será inferior a 5 m. 
 
 
 
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12. (CESPE) A entrada em um parque de diversões custa R$ 1,50 para uma criança e R$ 4,00 para um adulto. 
Se, em um dia, entraram 1.700 pessoas no parque e foram arrecadados R$ 3.800,00 com as entradas, então 
o número de crianças que entraram no parque nesse dia foi superior a 1.100. 
 
 
 
13. (CESPE) Para constituírem uma sociedade, José, Maria e Pedro investiram R$ 60.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 
100.000,00 respectivamente. O lucro obtido pela sociedade ao ser encerrada foi de R$ 74.000,00. Se a 
divisão desse lucro entre os três sócios foi diretamente proporcional à quantia que cada um investiu, então é 
correto afirmar que a soma das quantias recebidas por Maria e Pedro foi inferior ao dobro da quantia recebida 
por José. 
 
 
 
Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão distribuídos para trabalharem em y 
cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, sobrarão 70 
candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada 
cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados nesse concurso. 
 
14. (CESPE) O número y de cidades e o número x de candidatos, são respectivamente 110 e 290. 
 
 
 
 
Em determinado município, constatou-se que existiam 2.000 crianças em idade escolar, mas apenas 1.850 
delas encontravam-se matriculadas na rede de ensino. Sabe-se, ainda, que 85% das crianças desse 
município em idade escolar estão inscritas no programa bolsa-família do governo federal, das quais 1.600 
estão matriculadas em alguma escola da referida rede de ensino. 
 
15. (CESPE) Com relação a essa situação hipotética, é correto afirmar que o número de crianças do referido 
município em idade escolar que não estão matriculadas na rede de ensino desse município e não estão 
inscritas no programa bolsa-família do governo federal é igual a 55. 
 
 
 
16. (CESPE) Em determinada região produtora de tomates, observou-se que 10% da produção é perdida no 
momento da colheita, que 20% do restante dessa produção não é vendido por se estragar durante o 
transporte ou comercialização e que o restante é vendido. Sabe-se, ainda, que os consumidores desperdiçam 
6
1
 do que compram. Nessa situação, a porcentagem da produção de tomates, nessa região, que não é de 
fato consumida é superior a 39% e inferior a 42%. 
 
 
 
17. (CESPE) Em determinada cidade, 1.260 funcionários com capacidade de trabalho idêntica iniciam 
diariamente o serviço de limpeza urbana às 22 h e o concluem às 7 h e 20 min do dia seguinte. Durante o 
período do horário de verão, deseja-se que o tempo necessário para a realização desse trabalho seja 
reduzido em 1 hora e 20 minutos e, para isso, a prefeitura da cidade pretende contratar novos funcionários 
com a mesma capacidade de trabalho dos funcionários que já realizam a atividade. Na situação descrita, a 
quantidade de novos funcionários que a prefeitura deverá contratar será igual a 180. 
 
 
 
18. (CESPE) Considerando que os 20 empregados da central de atendimento telefônico de uma grande empresa 
atendam diariamente, em média, a 2.400 telefonemas no período de trabalho de 8 horas, e que essa 
empresa deseje aumentar o número de empregados da central de atendimento telefônico em 50% e reduzir 
em 25% o período de trabalho diário desses empregados, então o número médio diário de atendimentos 
telefônicos da central aumentará em 12,5%. 
 
 
 
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19. (CESPE) Os indivíduos X, Y e Z investiram conjuntamente suas economias em determinada aplicação 
financeira da seguinte forma: X investiu R$ 8.000 durante 5 meses, Y investiu R$ 6.000 durante 7 meses e Z 
investiu R$ 6.000 durante 8 meses. Se essa aplicação produziu um lucro de R$ 19.500, que deverá ser 
dividido entre os três investidores, proporcionalmente às quantidades investidas e aos tempos de 
investimento, então X, Y e Z deverão receber, respectivamente, R$ 6.000, R$ 6.300 e R$ 7.200. 
 
 
 
20. (CESPE) Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a 
terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, o tanque 
ficará cheio em aproximadamente 13 horas e 33 minutos. 
 
 
 
21. (CESPE) Dois viajantes partem de duas cidades opostas, A e B, e vão ao encontro um do outro na mesma 
estrada. O que saiu de A anda 6 km por hora; o que saiu de B caminha à razão de 5,25 km/h e iniciou a 
viajem 
7
3
3
 horas antes do primeiro. Sabe-se que o encontro se deu na metade da estrada que liga as duas 
cidades. A distância, em quilômetros, entre as cidades A e B é igual a 290. 
 
 
 
 
Para fazer a reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas equipes de trabalhadores, 
propondo pagá-las proporcionalmente ao número de dias — homens que cada equipe empregaria na 
reforma. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6 
dias; a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da reforma, a empresa pagou 
R$ 60.000,00 às duas equipes. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
 
22. (CESPE) A primeira equipe recebeu mais de R$ 40.000,00. 
 
 
 
23. (CESPE) Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a segunda equipe realizou menos 
de 20% do trabalho. 
 
 
 
24. (CESPE) Se a segunda equipe tivesse um homem a menos mas trabalhasse os mesmos 4 dias e se a 
quantia paga a cada equipe fosse dividida igualmente entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da 
segunda equipe teria recebido R$ 2.500,00. 
 
 
 
25. (CESPE) Três torneiras X, Y e Z, abertas simultaneamente, enchem um tanque em três horas. Cada uma das 
torneiras tem vazão constante e, sozinhas, encheriam o tanque em x horas, 8 horas e 6 horas, 
respectivamente. Nessas condições, o valor de x será 24. 
 
 
 
26. (CESPE) Uma expedição científica, acampada em um lugar isolado e composta por um determinado número 
de pessoas, tinha mantimentos para 70 dias que era o tempo de duração da expedição. Após 38 dias, a 
expedição encontrou 20 homens que se encontravam perdidos e, por conseguinte, em virtude dos 
mantimentos, a expedição retornou com 8 dias de antecedência. Admitindo-se que a quantidade de 
mantimentos consumidos pelos novos componentes é proporcional à dos que já se encontravam acampados, 
o número de pessoas que compunham a expedição inicialmente é superior a 62. 
 
 
 
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27. (CESPE) Considere que, no resultado de exame de colesterol a que um paciente se submeteu, tenha sido 
igual a 125 mg/dL. Nessa situação, se o resultado do LDL fosse fornecido em g/L, o novo valor seria igual a 
1,25. 
 
 
 
 
Uma extensa região de cerrado é monitoradapor 20 fiscais do IBAMA para evitar a ação de carvoeiros 
ilegais. Dessa região, a vegetação de 87 km
2
 foi completamente arrancada e transformada ilegalmente em 
carvão vegetal. Os 20 fiscais, trabalhando 8 horas por dia, conseguem monitorar toda a região em 7 dias. 
 
A partir dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes, considerando que os 20 fiscais são 
igualmente eficientes. 
 
28. (CESPE) Se o IBAMA ceder mais 45 fiscais igualmente eficientes aos outros 20, toda a região poderá ser 
monitorada em dois dias, mantendo-se a jornada de oito horas de trabalho. 
 
 
 
29. (CESPE) Para monitorar toda a região com 16 fiscais em 5 dias, a jornada de trabalho de cada fiscal deverá 
ser de, no mínimo, 14 horas. 
 
 
 
 
30. (CESPE) Se a parte devastada por carvoeiros ilegais corresponder a 15% da área da referida região, então a 
região tem mais de 575 km
2
 de área. 
 
 
 
 
 
Suponha que determinado servidor público esteja revisando um texto de 10 páginas e que cada página 
contenha 36 linhas completamente digitadas. Considere ainda que, ao revisar o texto, o servidor encontre 
em média um erro tipográfico a cada 4 linhas revisadas. Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
 
31. (CESPE) Se, ao revisar determinada página, o servidor encontrar um erro tipográfico em cada uma das 6 
primeiras linhas revisadas, é correto afirmar que apenas 10% das linhas restantes conterá erros tipográficos. 
 
 
 
32. (CESPE) Se cada página desse texto fosse reduzida a 30 linhas, ele passaria a ter 12 páginas no total. 
 
 
 
 
Considere que a função de determinado servidor público seja receber e distribuir as correspondências que 
chegam ao órgão em que ele trabalha entre as 20 seções ali existentes. Considere, ainda, que, 
diariamente, cheguem ao órgão no mínimo 80 e no máximo 135 correspondências, recebidas pelo servidor 
apenas em dias úteis. Em relação a essa situação hipotética, julgue os próximos itens. 
 
33. (CESPE) Considere que o total de correspondências recebidas pelo órgão, em determinado dia, tenha sido 
igual a 125 unidades e que 40% desse total tenham sido destinados às seções A, B e C. Considere ainda que 
a quantidade de correspondências destinadas à seção A tenha sido duas unidades menor do que o total 
recebido conjuntamente pelas seções B e C e que a quantidade destinada a B tenha sido igual à destinada a 
C. Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade de unidades destinada à seção A foi inferior a 25. 
 
 
 
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34. (CESPE) Se todas as 20 seções receberem, mensalmente, a mesma quantidade de correspondências, é 
correto afirmar que, em um mês com 22 dias úteis, cada seção receberá uma quantidade superior a 85 e 
inferior a 150 correspondências. 
 
 
 
 
 
Na central de telefonia (call center) de determinada empresa, 8 telefonistas, com jornada de trabalho de 6 
horas, atendem a 400 ligações de clientes. Sabendo que os telefonistas dessa central são igualmente 
eficientes, julgue os itens seguintes. 
 
35. (CESPE) Se, após treinamento, os 8 telefonistas passarem a atender os 400 clientes em 5 horas, então o 
tempo de atendimento de cada cliente diminuirá em mais de 15%. 
 
 
 
36. (CESPE) Se, em determinado dia, apenas 7 telefonistas comparecerem à central, então, nas 3 primeiras 
horas de trabalho, serão atendidos menos de 150 clientes. 
 
 
 
37. (CESPE) Caso a empresa, desejando atender o triplo de clientes, duplique a quantidade de telefonistas, 
todos com a mesma eficiência dos 8 iniciais, e aumente a quantidade de horas trabalhadas diariamente, a 
jornada de trabalho será aumentada em 50%. 
 
 
 
 
38. (CESPE) Se a empresa diminuir a jornada de trabalho de cada telefonista para 4 horas, então, para manter o 
mesmo nível de atendimento, serão necessários mais 4 telefonistas com a mesma eficiência das demais. 
 
 
 
39. (CESPE) Seis mulheres e quatro homens aguardam em uma sala de espera de um ambulatório para serem 
atendidos. A probabilidade de o primeiro paciente atendido ser mulher e de, após a saída desta, o segundo 
paciente atendido também ser mulher é igual a 
3
1
 
 
 
 
 
 
Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de 
extensão em 30 dias, julgue os próximos itens. 
 
40. (CESPE) Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início do quinto dia, 2 
operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias 
no prazo de conclusão da obra. 
 
 
 
41. (CESPE) Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda 
equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então 
a estrada será concluída em menos de 
5
1
 do tempo inicialmente previsto. 
 
 
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18 
 
OS: 0082/7/17-Gil 
42. (CESPE) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 
8
5
 
foram entregues pela manhã, 
5
1
 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a 
quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a 65. 
 
 
 
 
 
A PMDF está disponibilizando à Diretoria de Assistência, Urgências e Emergências da Secretaria de Saúde 
do DF uma equipe de médicos e de técnicos para a prevenção da pandemia de gripe H1N1. A equipe, 
formada por 20 profissionais da saúde, trabalha desde o dia 24 de agosto, de segunda a sexta-feira, das 14 
h às 19 h. 
Internet: <www.pmdf.df.gov.br> (com adaptações). 
 
Com base nas informações apresentadas no texto acima e considerando que cada profissional da equipe 
trabalhe com a mesma eficiência e que a equipe atenda a 300 pacientes por dia, julgue os itens a seguir. 
 
43. (CESPE) Para atender semanalmente a 1.800 pacientes, o regime de trabalho da equipe deverá ser superior 
a 8 h por dia. 
 
 
 
44. (CESPE) Caso se torne necessário fazer 1.200 atendimentos diários, com uma jornada de trabalho de 8 h, a 
equipe terá de contar com mais de 60 profissionais. 
 
 
 
45. (CESPE) Se 5 profissionais deixassem a equipe, então o número de atendimentos diários seria reduzido em 
25%. 
 
 
 
 
João e Manoel compraram, em sociedade, R$ 10.500,00 em ações, sendo que João investiu R$ 6.000,00 e 
Manoel, o restante. Após 6 meses, eles venderam as ações adquiridas por R$ 16.100,00, dividindo a 
quantia obtida proporcionalmente, de acordo com a participação de cada um na compra das ações. Com 
base nesses dados, julgue os itens subsequentes. 
 
46. (CESPE) Com a venda das ações, Manoel recebeu o valor bruto de R$ 8.050,00. 
 
 
 
47. (CESPE) O lucro de João foi superior a 50% do valor investido por ele. 
 
 
 
48. (CESPE) Um mecânico regula um automóvel modelo X em 40 minutos, enquanto seu auxiliar realiza o 
mesmo trabalho em duas horas. Trabalhando juntos, regularão 3 automóveis do mesmo modelo X em 30 min. 
 
 
 
49. (CESPE) Uma torneira enche um tanqueem 6 horas, uma segunda torneira enche em 3 horas e uma válvula 
de escape seca o tanque em 12 horas. Se as duas torneiras e a válvula forem abertas no mesmo instante, 
em 2 horas e 24 minutos o tanque ficará cheio. 
 
 
 
 
 
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Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um 
evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe é capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. Com base 
nessas informações e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente 
e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. 
 
50. (CESPE) Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam 10% do lixo. 
 
 
 
51. (CESPE) Para recolher 800 kg de lixo em 20 minutos, serão necessários 10 garis dessa equipe. 
 
 
 
52. (CESPE) Uma empresa foi contratada para reformar as arquibancadas de um estádio de futebol em um prazo 
de 100 dias. Para cumprir o contrato, seriam necessários 20 homens trabalhando 8 horas por dia. Contudo, 
10 dias após o início da empreitada, os trabalhos foram interrompidos durante 30 dias em razão de fortes 
chuvas. Nas condições descritas na situação hipotética acima, o número de homens necessários para 
concluir a obra no prazo estipulado pelo contrato, trabalhando 10 horas por dia, com a mesma eficiência dos 
que trabalharam no início da empreitada, é igual a 24. 
 
 
 
 
 
Considere que, para a reforma das salas de aula de uma escola, sejam necessários 18 operários 
trabalhando 8 horas por dia durante 20 dias úteis. Com base nessa situação hipotética e considerando as 
possíveis reduções no prazo dessa reforma, julgue os itens a seguir. 
 
53. (CESPE) Para a conclusão das obras em 15 dias úteis, mantendo-se o regime de trabalho de 8 horas diárias, 
a quantidade adicional de operários que deve ser contratada é inferior a 7. 
 
 
 
54. (CESPE) Considerando que não haja possibilidade de novas contratações e que a reforma deva ser 
concluída em 16 dias úteis, então, nesse caso, cada operário deverá trabalhar 1 hora extra por dia. 
 
 
 
55. (CESPE) Antônio demora 1 hora e 30 min para pintar 10m
2
 de parede, enquanto seu auxiliar Baltazar demora 
3 horas para executar o mesmo serviço. 2 horas é o tempo necessário gasto para que os dois juntos pintem 
20m
2
 de parede. 
 
 
 
 
56. (CESPE) O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. Wendel aplicou na 
empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. A quantia que, 
respectivamente, coube a cada um deles foi igual a R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00. 
 
 
 
 
57. (CESPE) Estima-se que, em uma agência dos Correios, um grupo de 6 funcionários igualmente eficientes 
atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situação, se outros 4 funcionários, com a mesma eficiência dos 
primeiros, forem adicionados ao grupo, então essas 100 pessoas serão atendidas em 27 minutos. 
 
 
 
 
 
 
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OS: 0082/7/17-Gil 
Em uma agência bancária, os clientes são atendidos da seguinte maneira: todos os clientes a serem 
atendidos em determinado dia comparecem à agência no período compreendido entre 10 horas da manhã 
e meio-dia; ao chegar à agência, o cliente recebe uma senha para o posterior atendimento, que 
corresponde à sua ordem de chegada, ou seja, o primeiro cliente a chegar à agência recebe a senha 1, o 
segundo recebe a senha 2, e assim por diante; ao meio-dia, quando é encerrada a distribuição de senhas, 
os clientes que as receberam começam a ser atendidos, na ordem estabelecida por elas, ou seja, na ordem 
de chegada do cliente à agência, no horário entre 10 horas e meio-dia. Depois que o atendimento 
efetivamente começa, o tempo que um cliente espera para ser atendido é diretamente proporcional ao 
número de clientes que chegaram antes dele e inversamente proporcional ao número de atendentes. 
 
Durante o mês de janeiro de 2014, essa agência trabalhou diariamente com um quadro de 10 atendentes, 
que levaram exatos 15 minutos para atender 25 clientes. No dia 30/1/2014, 200 clientes foram atendidos 
nessa agência, ao passo que, no dia 31/1/2014, esse número subiu para 800 clientes. Preocupado com 
essa situação e prevendo que a quantidade de clientes que procurariam a agência no dia 3/2/2014 seria 
ainda maior, o gerente decidiu que, durante o mês de fevereiro, o número de atendentes cresceria em 20% 
em relação ao número de atendentes de janeiro, assegurando que o nível de eficiência dos novos 
atendentes fosse idêntico ao nível dos que já estavam atuando. Sua decisão foi implementada já em 
3/2/2014. 
 
Com base nas informações do texto acima, julgue os itens seguintes. 
 
58. (CESPE) O tempo de espera de 26
o
 cliente que compareceu à agência no dia 31/1/2014 aumentou em 
relação ao tempo de espera do 26
o
 cliente que compareceu à agência no dia 30/1/2014. 
 
 
 
 
59. (CESPE) O tempo de espera do 60
o
 cliente que compareceu à agência no dia 3/2/2014 diminuiu em relação 
ao tempo de espera do 60
o
 cliente que compareceu à agência no dia 30/1/2014. 
 
 
 
 
60. (CESPE) No dia 30/1/2014, o 61
o
 cliente que compareceu à agência foi atendido depois das 12 h 35 min. 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 
C C C E C E E C E E C C E C E 
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
C E C C E E C E C C E C E C C 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 
C C C C C E C C C E E E E E C 
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
E C E C C C C C E C E C E C C 
 
 
 
 
 
 
 
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PRINCÍPIOS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINATÓRIA) 
 
 
 “Eu odiava cada minuto dos treinos, mas dizia para mim mesmo: Não desista! Sofra 
agora e viva o resto de sua vida como um campeão.” 
 MUHAMMAD ALI 
 
FATORIAL 
 
Define-se o fatorial de um número n ( n  N – {1} ) como sendo: 
 
n! = n.(n - 1).(n – 2). ... .3.2.1 
 
Onde, n! lê-se: n fatorial ou fatorial de n. 
Assim, por exemplo: 
 2! = 2.1 = 2 
 3! = 3.2.1 = 6 
 4! = 4.3.2.1 = 24 
 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
ATENÇÃO: 
 
0! = 1 e 1! = 1 
 
Também é importante perceber que o desenvolvimento de um fatorial pode ser "truncado" em qualquer 
fator, colocando-se após esse fator o símbolo que representa o fatorial de um número (!). 
 
Por exemplo: 
 
 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = ... 
 15! = 15.14.13! 
 20! = 20.19.18.17! 
 
 De um modo geral, podemos escrever: 
 
n! = n . (n -1)! = n . (n – 1) . (n - 2)! = ... 
 
Exemplo 1: Simplifique os fatoriais:a)
 909.10
!8
!8.9.10
!8
!10

 
 
b)
 3789.6.7
!5!.8
!8.9!.5.6.7
!5!.8
!9!.7

 
c) 
nn)1n.(n
)!2n(
)!2n).(1n.(n
)!2n(
!n 2 




 
 
d) nn
1
n).1n(
1
)!1n.(n).1n(
)!1n(
)!1n(
)!1n(
2 








 
 
PRINCÍPIO FUDAMENTAL DE CONTAGEM 
 
Em inúmeras situações do cotidiano, nos deparamos com problemas de contagem. Por exemplo: 
 
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 Ao preencher volante de jogo da mega sena, de quantas maneiras diferentes é possível escolher 6 
números? 
 Ao escolher 6 algarismos para compor uma senha de um cartão magnético, de quantas maneiras 
diferentes podemos fazê-lo? 
 No último campeonato estadual de futebol, ficaram 4 equipes para disputar a etapa final. Se cada uma 
jogou com todas as demais uma única vez, quantas partidas ocorreram nessa fase? 
 As placas dos veículos nacionais atualmente são compostas de 3 letras seguidas de 4 algarismos. 
Quantas placas diferentes tal sistema comporta? 
 
Como a contagem direta desses eventos é, em geral, impraticável, a Matemática recorre a técnicas 
indiretas de contagem. 
Esse conjunto de técnicas é chamado análise combinatória e iniciaremos seu estudo apresentando o 
princípio fundamental de contagem. 
 
Exemplo 1: “Um rapaz quer se vestir usando uma calça e uma camisa. Sabendo que ele possui 3 calças (1 
branca, 1 azul e 1 preta) e 2 camisas (1 vermelha e 1 amarela), de quantas maneiras diferentes ele 
poderá se vestir?” 
Solução: 
 
As possíveis combinações são: 
1. calça branca e camisa vermelha. 
2. calça branca e camisa amarela. 
3. calça azul e camisa vermelha. 
4. calça azul e camisa amarela. 
5. calça preta e camisa vermelha. 
6. calça preta e camisa amarela. 
Ou seja, 2  3 = 6 possibilidades 
 
Exemplo 2: Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente 
por uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções 
diferentes há para se ir de A até C ? 
Solução: 
 
As possíveis trajetórias são: 
1. 1  4 7. 2  6 
2. 1  5 8. 2  7 
3. 1  6 9. 3  4 
4. 1  7 10. 3  5 
5. 2  4 11. 3  6 
6. 2  5 12. 3  7 
 
Ou seja, 3  4 = 12 possibilidades 
Os dois exemplos vistos ilustram o que chamamos princípio fundamental da contagem, também conhecido 
com princípio multiplicativo, que pode ser enunciado assim: 
 
“Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro 
evento B pode ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do 
evento B é m.n.” 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES E ARRANJOS SIMPLES 
 
Vamos agora apresentar duas situações que ocorrem frequentemente quando resolvemos problemas de 
contagem: os arranjos simples e as combinações simples. Vamos introduzi-los a partir de um problema. 
 
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Seja o conjunto E = {a, b, c}. Com os elementos de E vamos obter os seguintes agrupamentos: 
 
 Todos os subconjuntos de E com 2 elementos: 
 
{a, b}, {a, c}, {b, c} 
 
 Todas as sequências com 2 elementos de E: 
 
(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) 
 
Observe que esses dois tipos de agrupamentos diferem num aspecto básico. 
 
No caso dos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que os elementos são escritos, isto é, 
alterando-se a ordem dos elementos de um subconjunto, este não se altera. 
 
Assim: {a, b} = {b, a} ; {b, c} = {c, b} 
 
Porém, no caso das sequências, a mudança da ordem dos elementos gera uma outra seqüência. 
 
Assim: (a, b) 

 (b, a) ; (b, c) 

 (c, b) 
 
Os agrupamentos do 1
o
 tipo, os subconjuntos, são chamados combinações simples, enquanto que os 
dos 2
o
 tipo, as sequências, são chamados arranjos simples. Nos dois casos, a palavra simples se refere ao fato 
de que os agrupamentos são formados por elementos distintos. 
 
Observação: 
 
A diferenciação entre combinações e arranjos será de fundamental importância na resolução dos 
problemas de contagem daqui em diante. Destaquemos mais uma vez que: 
 
COMBINAÇÕES  a ordem não importa 
 
ARRANJOS  a ordem importa 
 
 NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
)!pn(.!p
!n

C
p
n
 
 
Lê-se: combinação de n elementos distintos tomados p a p. 
 
 NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES 
)!pn(
!n

A
p
n
 
 
Lê-se: arranjo de n elementos distintos tomados p a p. 
 RELAÇÃO ENTRE OS ARRANJOS SIMPLES E AS COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
CA
p
n
p
n .!p
 
 
 PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
É um caso particular de arranjos simples. A permutação de n elementos distintos é o arranjo de n 
elementos distintos tomados n a n. 
 
 
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OS: 0082/7/17-Gil 
n!PAP n
n
nn 
 
 
Outras Notações: 
 
pn, 
p
np
n
pn, 
p
n AACC 







 
 
 PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES 
 
É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais 
objetivo, o primeiro elemento repete-se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes, ..., o k-ésimo elemento 
repete-se k vezes. 
 
 
!k.....!2.!1
α,...,α,α
n
ααα
n!
P k2 1 
 
 
Onde n = α1 + α2 + ... + αk 
 
 PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
É o caso em que deseja colocar elementos em torno de objetos com eixo de rotação. É dado por: 
 
(PC)n = (n – 1)! 
 
Exemplo: De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar–se em uma mesa redonda? 
 
Solução: 
 
Imagine se todos mudassem para cadeira ao seu lado! Você não teria nenhuma mudança, afinal todos 
continuariam vizinhos as mesmas pessoas. Então, nesse caso fixa–se uma das pessoas e permuta–se as 
outras 5, logo, P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades. 
 
 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
01. (FUNRIO) Quantos números inteiros positivos menores que 1000 (com algarismos distintos) podemos 
formar? 
a) 504 
b) 645 
c) 648 
d) 738 
e) 845 
Solução: 
 
 
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OS: 0082/7/17-Gil 
 
Logo: 
9 + 81 + 648 = 738 
 
Resposta:D 
 
 
02. (ESAF) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões 
distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é: 
a) 3003 
b) 792 
c) 455 
d) 286 
e) 348 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: D 
 
 
03. (FCC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. 
Dentre eles, quantos serão divisíveis por 5: 
a) 20 números 
b) 30 números 
c) 60 números 
d) 120 números 
e) 180 números 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: C 
 
 
04. O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos distribuídos pela 
circunferência abaixo, é igual a: 
a) 56 
b) 28 
c) 14 
d) 24 
e) 48 
 
Solução: 
 
C8,3 = 
56
!5.1.2.3
!5.6.7.8
!5! .3
!8
 
Resposta: A 
 
 
05. (ESAF) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos 
triângulos distintos existem com vértices em 3 desses pontos? 
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OS: 0082/7/17-Gil 
a) 220 
b) 230 
c) 274 
d) 286 
e) 294 
 
Solução: 
 
C13,3 – C5,3 – C8,3 = 
220 5610286
2.3
6.7.8
2
4.5
2.3
11.12.13
!5!.3
!8
!2!.3
!5
!10!.3
!13
 
 
Resposta: A 
 
 
06. (FUNRIO) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações: 
 
I. O número total deles é 720. 
II. O número dos que terminam com a letra A é 25. 
III. O número dos que começam com EN é 24. 
 
Então, apenas: 
a) afirmação I é verdadeira. 
b) afirmação II é verdadeira. 
c) afirmação III é verdadeira. 
d) as afirmações I e II são verdadeira. 
e) as afirmações I e III são verdadeira 
Solução: 
 
I. P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (V) 
 
 
 
Resposta: E 
 
 
07. Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS são possíveis obter, se as letras R e T devem 
permanecer juntas? 
a) 120 
b) 60 
c) 48 
d) 24 
e) 10 
Solução: 
 
 
 
Resposta: C 
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08. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem 
ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar? 
a) 27 
b) 54 
c) 108 
d) 216 
e) 432 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: C 
 
 
09. (ESAF) De quantas maneiras Amanda, Bruno, Caio, Débora, Érica e Felipe, podem se organizar lado a 
lado para tirar uma foto, sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos? 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 720 
e) 1440 
 
Solução: 
 
 
 
 
Resposta: B 
 
 
10. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, 
lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos 
de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 46 
e) 48 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: E 
 
 
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11. Em uma festa existem 12 homens e 20 mulheres, será escolhido o casal mais simpático da festa (não 
necessariamente namorados). De quantas maneiras diferentes poderá ser escolhidos esse casal? 
a) 12 
b) 20 
c) 32 
d) 120 
e) 240 
 
Solução: 
 
Usando o princípio fundamental de contagem(PFC) temos: 12 x 20 = 240 
 
Resposta: E 
 
 
12. Sendo (n - 6)! = 120, então podemos afirmar que: 
a) n = 12 
b) n = 11 
c) n = 10 
d) n = 13 
e) n = 14 
Solução: 
 
(n – 6)! = 5!  n – 6 = 5  n = 11 
 
Resposta: B 
 
13. (ESAF) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e 
7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos? 
a) 720 
b) 480 
c) 240 
d) 120 
 
Solução: 
 
Resposta: B 
 
 
14. Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, 
havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e 
duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, 
passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mais em qualquer ordem, é: 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
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Solução: 
 
 
 
 
3 x 2 = 6 
2 x 2 = 4 
Logo: 6 + 4 = 10 
 
Resposta: B 
 
 
15. Desenho representa seis quarteirões retangulares e um dos possíveis percursos de A até B. O 
número total de percursos mínimos distintos, de A até B, ao longo das ruas, é: 
a) 5 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
Solução: 
 
Observe que ele anda 2 vezes para leste (L) e 3 vezes para o norte (N), veja que na figura a sequência 
LNNLN 
 
Portanto, o número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas da sequência 
LLNNN 
Ou seja: 

2
4.5
!3! .2
!5
P
3,2
5
10 caminhos diferentes. 
 
Resposta: D 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. Utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9 podemos formar números de 3 algarismos. 
 
Responda: 
a) quantos são no total? 
 
 
b) quantos possuem os algarismos distintos? 
 
 
c) quantos possuem pelo menos 2 algarismos iguais? 
 
 
d) quantos tem os algarismos distintos e são pares? 
 
 
e) quantos tem os algarismos distintos e são maiores que 600? 
 
 
 
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02. Com relação aos anagramas da palavra CHUVA, perguntase: 
 
a) quantos são no total? 
 
 
b) quantos começam e terminam por vogal? 
 
 
c) quantos possuem as vogais juntas? 
 
 
d) Quantos não possuem as vogais juntas? 
 
 
e) quantos possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética? 
 
 
03. Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e França), deseja-se 
acomodaros 8 representantes de governo em torno de uma mesa em forma de octógono regular (figura 
abaixo). De quantos modos posso dispô-los se os representantes dos EUA, Canadá e Inglaterra devem 
sentar-se sempre juntos? 
a) 720 
b) 120 
c) 4320 
d) 5040 
 
 
04. Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até a academia (esquina 2), ele percorre 
exatos 9 quarteirões. Na figura ao lado está representa apenas uma das várias 
possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine Quantos caminhos 
diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até a academia. 
a) 20 
b) 81
 
c) 63
 
d) 256
 
e) 126 
 
 
05. Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. 
A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de 
diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é 
igual a: 
a) 1287 
b) 252 
c) 284 
d) 90 
e) 84 
 
 
Para formar-se um anagrama, permitam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra 
conhecida. 
 
Por exemplo, VROAL é um anagrama da palavra VALOR. 
Com base nessas informações, julgue os próximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser 
obtidos a partir da palavra VALOR. 
 
06. (CESPE) O número de anagramas distintos é inferior a 100. 
 
 
 
 
 
11
22
11
22
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07. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a 6. 
 
 
 
08. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a 15. 
 
 
 
09. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a 
44. 
 
 
Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm nível médio e 2 
são de nível fundamental. 
Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe. 
 
10. (CESPE) Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então essa 
equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas. 
 
 
 
11. (CESPE) Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser 
formada de mais de 40 maneiras distintas. 
 
 
 
12. (CESPE) Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa 
equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas. 
 
 
 
13. Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do 
desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente 
quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. 
Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser 
formadas é igual a 420. 
 
 
 
14. (CESPE) Se, no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4 
mulheres, for preciso formar, com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a 
quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será superior ou igual a 110 e inferior a 140. 
 
 
 
 
 
A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de 
armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. 
 
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações). 
 
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. 
 
15. (CESPE) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas 
da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá 
mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. 
 
 
 
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16. (CESPE) Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 
desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só 
aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há 
menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe. 
 
 
17. A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3 
arquitetos para projetar o empreendimento Beta. O número de equipes diferentes que poderão ser formadas 
para esse empreendimento é igual a 76. 
 
 
18. De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. A 
quantidade de maneiras que pode ser feita essa escolha é um número menor que 326. 
 
 
 
 
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu 
crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas 
por ele, conhecidas como Os doze travalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o 
leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéria e capturar o javali de Erimanto. 
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze 
trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, 
considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis 
listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes. 
 
19. (CESPE) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10! . 
 
 
20. (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na 
primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6 . 
 
 
21. (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e 
“capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! X 8! . 
 
 
22. (CESPE) O Airbus A330 da Air France fazia a rota Rio de Janeiro - Paris quando, no final da noite do dia 31 
de maio, desapareceu no Oceano Atlântico. No voo, estavam 228 pessoas a bordo, das quais 216 
passageiros e 12 tripulantes. Destroços estão sendo retirados do mar aos poucos. Até hoje (10/06/09), 41 
corpos de vítimas do acidente foram resgatados. 
Segundo o diretor do IML de Maceió, José Kleber da Rocha Farias Santana, além dos três legistas que 
seguiram para a capital pernambucana, outros dois - um perito-médico-legal e odonto-médico-legal - estão de 
sobreaviso, esperando a confirmação do dia em que deverão viajar para integrar a força-tarefa criada para 
identificar as vítimas do acidente. 
“Texto retirado do Jornal O Globo (10/06/09)” 
 
Ao lado temos um grupo de dez pessoas todas voluntárias para 
ajudar na força-tarefa,