31 Apuntes de Mecanismos - Tadeo Chavez - Inst Tecn Super Irapuato

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Apuntes de Mecanismos
M. en I. Alejandro Tadeo Chávez.
Instituto Tecnologico Superior de Irapuato.
Enero 2007
Contents
I Principios fundamentales. 5
1 Introducción al análisis de mecanismos. 6
1.1 Definición de la Cinemática de las Máquinas. . . . . . . . . . . . 6
1.2 Mecanismo y Máquina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rígido. 8
2.1 Eslabón o Barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Eslabones y Pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Clasificación de Pares Cinemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número
de grados de libertad del movimiento relativo entre los
elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la forma en
que se mantienen los elementos en contacto. . . . . . . . . 17
2.4 Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos. . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Cadena Cinemática, Eslabonamiento e Inversión. . . . . . . . . . 19
2.6 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de Grübler . 21
2.7 Excepciones al Criterio de Grübler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Análisis cinemático de mecanismos planos articula-
dos. 27
3 Mecanismos Planos de Cuatro Barras,Rotabilidad y Criterio de
Grashoff. 28
3.1 Mecanismos formados por pares inferiores. . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Mecanismos Formados por Pares Inferiores. . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Mecanismos Planos de Cuatro Barras. . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Clasificación de los Mecanismos Planos de Cuatro Barras. Posi-
ciones Críticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Análisis de rotabilidad de un mecanismo de cuatro barras. . . . . 32
3.5.1 Excepción del Criterio de Grübler. . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2 Primeras Condiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
3.5.3 Segundas Condiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.4 Criterio de Grashoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.5 Comprobación del criterio de Grashoff a partir de las
condiciones de rotabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.6 Rotabilidad y Posiciones Críticas en el Mecanismo de Biela
Manivela Corredera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Análisis de posición en mecanismos de cuatro barras articuladas
(metodo analítico). 48
4.1 Los números complejos como vectores. . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 La ecuación de lazo vectorial para un eslabonamiento de cuatro
barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 La ecuación de lazo vectorial para un eslabonamiento de la manivela-
corredera de cuatro barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Solución de posición mecanismo con manivela-corredera invertida. 59
5 Análisis de velocidad. 61
5.1 Solución analítica para un eslabonamiento de cuatro barras con
juntas de pasador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera. . . . . . 63
5.3 Eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera invertido 65
5.4 Velocidad de un punto cualquiera en un eslabonamiento. . . . . . 67
6 Soluciones Analíticas para el Análisis de Aceleración. 69
6.1 El eslabonamiento de 4 barras con juntas de pasador. . . . . . . 69
6.2 Eslabonamiento de 4 barras de manivela-corredera. . . . . . . . . 72
7 Análisis de velocidad y aceleración (metodo grafico). 75
7.1 Introducción y Motivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Análisis de Posición de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Análisis de Velocidad de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . . 78
7.4 Análisis de Aceleración de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . 83
8 Centros Instantaneos de Velocidad. 88
8.1 Introducción y Motivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2 Definición del Centro Instantaneo de Velocidad del Movimiento
Relativo Entre Dos Eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3 Ejemplos de Determinación de Centros Instantaneos de Velocidad
de un Mecanismo Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.3.1 Determinación de la Localización del Centro Instantaneo
de un Eslabón Cuando se Conoce su Velocidad Angular y
la Velocidad de un Punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.2 Determinación de la Localización del Centro Instantaneo
de un Eslabón Cuando se Conoce la Dirección de la Ve-
locidad de Dos Puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2
8.3.3 Determinación de la Localización del Centro Instantaneo
de un Eslabón Cuando el Movimiento Relativo Entre los
Eslabones es Translación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3.4 Clasificación de los Centros Instantaneos de Velocidad
de los Movimientos Relativos entre los Eslabones de un
Mecanismo Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.5 El Teorema de Aronhold Kennedy. . . . . . . . . . . . . . 94
8.3.6 Aplicación del Teorema de Aronhold Kennedy Para la Lo-
calización de los Centros Instantaneos de Velocidad Se-
cundarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.3.7 Aplicación de los Centros Instantaneos de Velocidad. . . . 96
9 Análisis Cinemático de Mecanismos Planos Mediante Computa-
dora Digital. 99
9.1 Análisis Cinemático de Mecanismos Planos Mediante Computa-
dora Digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2 Análisis de Posición de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . . . 100
9.3 Criterio de Finalización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4 Amortiguamiento del Método de Newton-Raphson Para Mejorar
la Posibilidad de Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.5 Ejemplo: Mecanismo plano de cuatro barras. . . . . . . . . . . . 103
10 Levas. 107
10.1 Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3 Posibles Problemas Durante la Operación de Mecanismos de Levas.108
10.4 Análisis del ángulo de presión en una leva de disco con seguidor
de rodillo. Traba del mecanismo de leva. . . . . . . . . . . . . . . 108
10.5 Análisis de los Esfuerzos de Contacto y del Socavamiento en Levas
de Disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.6 Desarrollo de las Ecuaciones de Simulación y Síntesis del Perfil
de Levas de Disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.6.1 Levas de Disco con Seguidor de Rodillo. . . . . . . . . . . 114
10.6.2 Determinación de las coordenadas del perfil de la leva. . . 115
10.6.3 Determinación del Ángulo de Presión. . . . . . . . . . . . 116
10.6.4 Determinación del Radio de Curvatura. . . . . . . . . . . 117
10.7 Levas de Disco con Seguidor Traslacional de Rodillo. . . . . . . . 117
10.7.1 Determinación del Perfil de la Leva de Disco con Seguidor
Traslacional de Rodillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.7.2 Determinación del Ángulo de Presión y Radio de Cur-
vatura de la Leva de Disco con Seguidor Traslacional de
Rodillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.8 Levas de Disco con Seguidor Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . . 119
10.8.1 Determinación del Perfil de la Leva de Disco con Seguidor
Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3
10.8.2 Determinación del Ángulo de Presión de la Leva de Disco
con Seguidor Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . . . . . . 120
10.9 Levas de Disco con Seguidor de Cara Plana. . . . . . . . . . . . . 120
10.9.1 Determinación de las Coordenadas del Perfil de la Leva
de Disco con Seguidor Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . 122
10.10Levas de Disco con Seguidor Traslacional de Cara Plana. . .. . . 126
10.10.1Determinación de las Coordenadas del Perfil de la Leva . 127
10.10.2Determinación de la Distancia de Contacto al Punto E . . 127
10.11Levas de Disco con Seguidor Oscilatorio de Cara Plana. . . . . . 128
10.11.1Determinación de la distancia de contacto al punto E. . . 129
10.11.2Determinación del Radio de Curvatura del Perfil de la Leva130
11 Síntesis analítica de eslabonamientos. 131
11.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.2 Tipos de síntesis cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.3 Puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.4 Generación de movimiento de dos posiciones por síntesis analítica. 133
11.5 Generación de movimiento de tres posiciones por síntesis analítica.142
11.6 Síntesis analítica de cuatro y cinco posiciones. . . . . . . . . . . . 149
A Desarrollo de Funciones Mediante Series de Taylor. 151
B Solución por ecuaciones simultáneas. 154
4
Part I
Principios fundamentales.
5
Chapter 1
Introducción al análisis de
mecanismos.
La cinemática de las máquinas, también llamada mecanismos, es una disciplina
que enlaza ciencias más básicas, como dinámica, con otras más ingenieriles o de
aplicación, tales como el diseño de máquinas. Durante el estudio de la dinámica
se aprendió el cálculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos rígidos y agru-
paciones de cuerpos rígidos; además, se analizaron las fuerzas necesarias para
producir determinadas aceleraciones en los cuerpos. Mucho de ese material será
nuevamente estudiado en la cinemática de las máquinas; sin embargo, ahora el
estudio se concentrará en agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos.
Por otro lado, la cinemática de las máquinas concede especial atención a
las distintas posiciones que los cuerpos que forman parte de un mecanismo
adquieren durante el movimiento del mecanismo. Este análisis de posición es
requerido en el diseño de máquinas. Cronologicamente, la primera consideración
en un diseño, es el movimiento que es necesario producir a fín de cumplir con
el objetivo deseado; en un segundo término, se encuentran las consideraciones
de resistencia y rigidéz. En cuanto a predominancia, en algunos casos, como
en el diseño del mecanismo de impresión de una máquina de escribir manual,
el punto de vista más importante es aquel que se relaciona con el movimiento
requerido; mientras que en otros, como el diseño de trascabos y maquinaria
de construcción, los argumentos de resistencia y rigidéz predominan sobre los
argumentos puramente cinemáticos. En último caso, el diseño final debe obten-
erse después de un compromiso entre ambas consideraciones. Después de estos
comentarios preliminares, es posible intentar una definición de la cinemática de
las máquinas.
1.1 Definición de la Cinemática de lasMáquinas.
La cinemática de las máquinas se define como aquella división del diseño de
máquinas que concierne con el diseño cinemático de eslabonamientos, levas,
6
engranes, etc. A fín de precisar el significado de la cinemática de las máquinas
se requiere de dos definiciones adicionales.
Diseño de máquinas: Es la creación de un plan para la construcción de
una máquina o dispositivo para realizar una función.
Diseño cinemático: Es diseño sobre la base de requerimientos de movimiento,
en contraste con el diseño en base a requerimientos de resistencia y rigidéz. Así
pues, es posible redefinir la cinemática de las máquinas como: “Aquella parte
del diseño de máquinas que concierne con el diseño, en base a requerimientos
de movimiento, de eslabonamientos, levas, engranes, etc”.
1.2 Mecanismo y Máquina.
Haremos ahora una distinción conceptual entre mecanismos y máquinas.
Mecanismo: Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro.
Máquina (Machine): Es un mecanismo o una combinación de mecanis-
mos que trasmiten fuerza, desde la fuente de potencia hasta la resistencia a
vencer. Si las fuerzas están asociadas con la conversión de la energía de fluidos
a alta temperatura, entonces podemos hablar de una máquina térmica (En-
gine). Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el
movimiento, dejando en un plano secundario la transmisión de fuerza necesaria
para vencer la fricción o una fuerza exterior; en la idea de máquina, la mente
asocia la transmisión de fuerzas substanciales. Debe reconocerse que las partes
que constituyen un mecanismo deben ser resistentes a la deformación; es decir,
cuerpos rígidos aproximados.1
Además, puesto que en la cinemática de las máquinas no interesa la resisten-
cia y la rigidéz, supondremos que las partes de un mecanismo son completamente
rígidas y sin peso. A la luz de la anterior discusión, podemos definir un mecan-
ismo como un conjunto de cuerpos conectados de tal manera que cada uno se
mueve respecto a los demás y transmiten movimiento.
1Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en
movimiento. Sin embargo, desde hace algunos años, se han dado los primeros pasos en esa
dirección.
7
Chapter 2
Grados de Libertad del
Movimiento de un Cuerpo
Rígido.
Puesto que el interés de la cinemática se centra en el movimiento de los cuerpos
rígidos, es necesario explorar el concepto de grados de libertad del movimiento
de un cuerpo rígido. Grado de libertad de un cuerpo, es el número mínimo
de variables necesarias para especificar completamente la posición del cuerpo.
Si el cuerpo está libre de moverse en el espacio su movimiento tiene seis grados
de libertad, vea la figura 1.
Figura 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rígido libre de Moverse en el
Espacio.
8
Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posi-
ción del cuerpo: Tres variables para especificar las coordenadas de un punto
cualquiera del cuerpo, respecto a un sistema de referencia dado, y tres vari-
ables para especificar la orientación de un sistema coordenado formado por tres
líneas perpendiculares unidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de
esas variables se le asocia un grado de libertad. Al ponerse en contacto, con
otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de libertad, por
ejemplo
1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado
de libertad, el de translación a lo largo del eje perpendicular al plano de
movimiento.
2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto,
pierde los tres grados de libertad asociados a la translación.
3. Un cuerpo sujeto a rotación alrededor de un eje fijo pierde cinco grados
de libertad, restándole tan solo aquel asociado a la rotación alrededor del
eje fijo.
4. Un cuerpo sujeto a translación rectilínea, pierde todos sus grados de liber-
tad excepto aquel asociado a la translación a lo largo del eje de desplaza-
miento.
5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las
partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos, tiene tres grados de
libertad. Dos de ellos están asociados a las translaciones a lo largo de
ejes linealmente independientes contenidos en el plano de movimiento y el
grado de libertad restante está asociado a la rotación alrededor de un eje
fijo perpendicular al plano, vea la figura 2.
Figura 2. Grados de libertad de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano
General.
9
Este último tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de
que en una gran parte de los mecanismos industriales los cuerpos que forman
el mecanismo se mueven de esta manera. Más aún, la mayor parte del curso se
centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos.
El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslación bidi-
mensional y la rotación alrededor de un eje fijo.
2.1 Eslabón o Barra.
Un eslabón o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de
acuerdocon lo dicho anteriormente, se supone que es rígido y sin peso.
La condición de rigidéz de los eslabones no es necesariamente total, sino solo
implica que sea rígido respecto a las fuerzas a las que se somete el eslabón.
Esta consideración da lugar a una clasificación de los eslabones de acuerdo
a su rigidéz:
1. Rígido en ambos sentidos, cuando el eslabón tiene rigidéz a tensión y
compresión. Ejemplos: La biela de un compresor, un engrane, el pistón
de una máquina de combustión interna, etc.
2. Rígido en un único sentido.
(a) Rígido cuando se sujeta a compresión. Ejemplo: Fluidos hidráulicos.
(b) Rígido cuando se sujeta a tensión. Ejemplo: Correas, bandas y ca-
denas.
A fín de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros.
Esas conexiones se realizan a través de ciertas partes de sus cuerpos que reciben
el nombre de elementos. La siguiente sección examina la relación entre ele-
mentos y pares.
2.2 Eslabones y Pares.
Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones, mantenidos per-
manentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre
ellos, recibe el nombre de par cinemático. Esta definición da lugar a una nueva
clasificación de los eslabones, esta clasificación depende del número de elemen-
tos que contiene un eslabón; en otra palabras, la clasificación indica el número
máximo de pares, que puede formar el eslabón.
Es lógico que si los eslabones tienen como función la transmisión de movimiento,
el número mínimo de pares que deben formar es dos; así pues, los eslabones se
clasifican en:
10
1. Eslabón o barra binaria, vea la figura 3.
Figura 3. Eslabón o barra binaria
2. Eslabón o barra poligonal.2
(a) Barra ternaria, vea la figura 4.
Figura 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria.
(b) Barra cuaternaria.
(c) Barra quinaria, etcetera.
Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario
proceder con el estudio y clasificación de pares cinemáticos.
2.3 Clasificación de Pares Cinemáticos.
La clasificación de pares cinemáticos puede realizarse en base a tres diferentes
criterios.
1. El número de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones
que son conectados por el par.
2. El tipo de contacto entre los elementos.
3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.
2A fín de indicar que se trata de un único cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos
mediante pares cinemáticos, los eslabones poligonales se anchuran.
11
2.3.1 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número
de grados de libertad del movimiento relativo entre
los elementos.
En esta clasificación, existen dos condiciones que imponen un límite superior e
inferior al número de grados de libertad, esas condiciones son:
• El par cinemático debe permitir movimiento relativo entre los elementos.
Por lo tanto, debe existir al menos un grado de libertad en el movimiento
relativo.
• Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben
permanecer en contacto. De aqui que deba existir como máximo cinco
grados de libertad en el movimiento relativo entre los eslabones. Una
vez que se han determinado los límites superior e inferior del número de
grados de libertad del movimiento relativo que permite un par cinemático,
es posible clasificarlos de forma exhaustiva.
Pares Cinemáticos de Clase I. Número de grados de libertad del movimiento
1. Número de grados de libertad perdidos 5.
Posibles casos:
1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotación alrededor de un eje
fijo.
Figura 5. Par de Revoluta.
2. Prismático (P), permite un movimiento de traslación a lo largo de un
eje, o una curva dada.
12
Figura 6. Par Prismático.
3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslación a lo
largo de un eje y simultaneamente un movimiento de rotación, dependi-
ente de la translación, alrededor del mismo eje.
Figura 7. Par de Tornillo o Helicoidal
Pares cinemáticos de la clase II. Número de grados de libertad del
movimiento 2. Número de grados de libertad perdidos 4.
Posibles casos:
1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotación alrededor de
dos ejes linealmente independientes.
13
Figura 8. Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un
Soporte Ranurado.
2. Cilíndrico (C), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje
y un movimiento de rotación independiente alrededor del mismo eje.
Figura 9. Par Cilíndrico.
3. Leva (Ca), permite traslación a lo largo de un eje y rotación alrededor
de un eje perpendicular al primero.
Figura 10. Par de Leva.
Pares Cinemáticos de la clase III. Número de grados de libertad del
movimiento 3. Número de grados de libertad perdidos 3.
Posibles casos:
14
1. Esférico o globular (S), permite rotación alrededor de tres ejes . Es
decir permite rotación alrededor de un punto fijo.
Figura 11. Par Esférico o Globular.
2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotación alrededor de
dos ejes linealmente independientes y traslación a lo largo de un tercer eje.
Figura 12. Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un
Cilíndro Acanalado.
3. Plano (Pl), permite traslación a lo largo de dos ejes y rotación alrededor
de otro eje perpendicular a los otros dos.
Figura 13. Par Plano.
15
Pares Cinemáticos de la clase IV. Número de grados de libertad del
movimiento 4. Número de grados de libertad perdidos 2.
Posibles casos:
1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotación alrededor de tres ejes
y translación a lo largo de otro.
Figura 14. Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un
Cilindro Ranurado.
2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotación alrededor de dos ejes y
traslación a lo largo de otros dos.
Figura 15. Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano.
Pares Cinemáticos de la clase V. Número de grados de libertad del
movimiento 5. Número de grados de libertad perdidos 1.
Posibles casos:
1. Esfera sobre plano (Sp), permite translación a lo largo de dos ejes y
rotación alrededor de tres ejes.
16
Figura 16. Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano.
Clasificación de pares cinemáticos de acuerdo al tipo de contacto entre ele-
mentos.
En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en
1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a través de una
superficie. Ejemplos, Pistón-camisa de un compresor, par globular de un
portaplumas.
2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos ideal-
mente, a través de un punto o una línea. Ejemplos, Contacto entre una
leva y su seguidor de rodillo.
Para la transmisión de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los
pares inferiores; pues los superiores estarían sujetos a esfuerzos de contacto muy
elevados.
2.3.2 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la
forma en que se mantienen los elementos en con-
tacto.
En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en
1. Pares abiertos ó cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en
contacto mediante el concurso de una fuerza externa tal como la gravedad
o la fuerza de un resorte deformado. Ejemplo, El par formado por una
leva y su seguidor en una máquina de combustión interna.
2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto
por la forma misma de construcción del par. Ejemplo, El par prismático
formado por el pistón y camara de un compresor.
2.4 Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos.
Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos;
su construcción es sencilla y su estudio relativamente simple, estas caracterís-
ticas, aunadas a su gran versatilidad de aplicación, son suficientes para que
nuestro curso se concentre en su estudio.
17
Los mecanismos planos se identifican porque todos sus eslabones están su-
jetos a movimiento plano general y los planos de movimiento son paralelos.
La pregunta que surge de inmediato es: Que clase de pares cinemáticos puede
formar parte de un mecanismo plano?.
Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo análisis. Un cuerpo
sujeto a movimiento plano general tiene tres grados de libertad; si además el
cuerpo está conectado a otros eslabones a fín de formar parte de un mecanismo,
entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos planos deben perder
como mínimo cuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles
pares a aquellos de las clases I y II.
Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecan-
ismos planos serán aquellos que permitan uno o varios de los movimientos que
constituyen el movimiento plano. De forma más correcta, debe decirse que
esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en el grupo de los
movimientos formados por todos los movimientos planos generales. Translación
a lo largo de dos ejes linealmente independientes contenidos en el plano, o
rotación alrededor de un eje perpendicular al plano. Un sencillo análisis muestra
que los pares que pueden formar parte de un mecanismo plano son: los pares
de revoluta, los pares prismáticos y los pares de leva.
Esta restricción sobre los tipos de pares cinemáticos que pueden formar parte
de mecanismos planos se basa exclusivamente en consideraciones del número de
grados de libertad en el movimiento relativo así como del movimiento asociado
a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados exclusivamente
por los pares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante
engranes cónicos, la junta de cardan, levas cilindricas, etc. Por lo tanto, deben
existir otras restricciones que conciernen a la disposición u orientación de los
ejes de los pares cinemáticos y que en conjunto con las anteriores, aseguran que
el mecanismo formado es plano. Estas restricciones se indican a continuación.
1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes
de rotación deben ser paralelos.
2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismático, el eje de desplaza-
miento del par prismático debe ser perpendicular a los ejes de rotación de
los restantes pares de revoluta.
3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotación
del par del par de leva debe ser paralelo a los ejes de los restantes pares
de revoluta y el eje de la traslación debe ser perpendicular a los ejes de
rotación de los restantes pares de revoluta.
Hasta aquí, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes
constitutivas de los mecanismos, toca ahora unirlas o conjuntarlas para pro-
ducirlos.
18
2.5 Cadena Cinemática, Eslabonamiento e In-
versión.
La entidad básica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama
cadena cinemática. La cadena cinemática se define como la unión de pares
cinemáticos y eslabones de modo que formen uno o varios circuitos ó lazos —
loops— cerrados.
Las cadenas cinemáticas se clasifican en:
1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinemática son
binarios.
2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligo-
nales.
Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un único lazo y cinco
eslabones binarios, por lo tanto es simple.
Figura 17. Cadena Cinemática Simple.
La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe además otro lazo
que comprende parte de los otros dos lazos; sin embargo, puede probarse que las
ecuaciones escalares que genera este tercer lazo son combinaciones de las ecua-
ciones escalares que generan los dos primeros lazos. En esta cadena cinemática,
los eslabones 2, 5, y 7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son ternarios, por
lo tanto, la cadena es compleja.
Figura 18. Cadena Cinemática Compleja.
El siguiente paso en la generación de mecanismos es la generación de es-
labonamientos. Un eslabonamiento (linkage) es una cadena cinemática en la
cual se ha fijado uno de sus eslabones a un marco de referencia, este eslabón fijo
19
se denomina marco. Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con
un sentido más específico, para nombrar mecanismos formados exclusivamente
por pares inferiores.
Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en las figura 19 se han formado
fijando respectivamente los eslabones 1 y 5 de la cadena cinemática de la figura
17.
Figura 19. Dos Eslabonamientos Generado a Partir de la Cadena Cinemática
Simple de la Figura 17.
Estos dos ejemplos permiten introducir el último concepto de está sección.
Inversión. A partir de una cadena cinemática formada por n-eslabones,
puede generarse como máximo n eslabonamientos diferentes. Dado un es-
labonamiento, los diferentes eslabonamientos que se producen al fijar alterna-
tivamente uno de los otros eslabones de la cadena, se llaman inversiones del
eslabonamiento inicial.
Es importante reconocer que en una inversión, el movimiento relativo entre
los eslabones no se altera y solo cambia su movimiento absoluto. Un ejemplo
importante del concepto de inversión se encuentra en la síntesis gráfica de levas.
Una de las aplicaciones más importantes del concepto de inversión cin-
emática consiste en la búsqueda exhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta
parte del estudio de los mecanismos es conocida como síntesis de número o
sistemática.
Figura 20. Cadena Cinemática de Watt.
20
Por ejemplo, la sistemática nos indica que a partir de la cadena cinemática
de Watt, figura 20, los únicos eslabonamientos diferentes —sin importar las di-
mensiones de los eslabones— son los mostrados en la figura 21 y 22.
Figura 21. Eslabonamiento Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de
Watt.
Figura 22. Eslabonamiento Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de
Watt.
2.6 Grados de Libertad de un Eslabonamiento,
Criterio de Grübler
Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el número mínimo y
suficiente de variables requeridas para determinar completamente la posición del
eslabonamiento. Es decir, conociendo esas variables debe ser posible conocer la
posición de cualesquiera de los eslabones que forman parte del eslabonamiento.
Ejemplos. A continuación se presentan dos ejemplos de eslabonamientos
que incluyen un conteo de sus grados de libertad o movilidad.
1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento
plano con cuatro barras y cuatro pares de revoluta. Todos los ejes de
los pares de revoluta son paralelos. El eslabonamiento tiene un grado de
libertad o movilidad igual a 1.
21
Figura 23. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y
tres pares, un par cilíndrico entre el marco y la leva, un par de leva entre
la leva y el seguidor y un par prismático entre el seguidor y el marco. El
eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2.
Figura 24. Leva Espacial.
Una forma de determinar el número de grados de libertad de un eslabonamiento
consiste en observar su movimiento —si lo hay—, y determinar empiricamente ese
número mínimo y suficiente de variables.
Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad
de eslabonamientos que no han sido construidos; para solucionar este problema,
desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios de movilidad, uno de los
más sencillos es el criterio de Grübler.
A continuación se deducirá el criterio de Grübler para eslabonamientos
planos. Es decir, para aquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven
en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente
1. Imagine la formación de un eslabonamiento constituido por N eslabones,
vea la figura 25. Originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad
—3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos quese conectarán para
construir el eslabonamiento.
22
Figura 25. Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento.
2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se
fije al sistema referencia, vea la figura 26. Por lo tanto, el conjunto tiene
ahora 3 (N - 1) grados de libertad.
Figura 26. Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento, con
uno de Ellos Fijo.
3. Por último, a fín de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse
mediante pares cinemáticos, vea la figura 27. Puesto que los eslabones
están originalmente obligados a tener movimiento plano general, entonces
un par de la clase I —prismático o de revoluta— elimina 2 grados de libertad
y un par de leva, de la clase II elimina un grado de libertad.
23
Figura 27. Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rígidos
Inicialmente Aislados.
Así pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la
ecuación
F = 3(N − 1)− 2P1 − P2 (2.1)
Donde F es el número de grados de libertad del eslabonamiento, N es el
número de eslabones que forman el eslabonamiento, P1 es el número de pares
de la clase I que forman parte del eslabonamiento y P2 es el número de pares
de la clase II que forman parte del eslabonamiento.
La ecuación (2.1) se conoce como el criterio de Grübler.
Dependiendo del número de grados de libertad, un eslabonamiento se clasi-
fica en
1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una
estructura estáticamente indeterminada.
2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una
estructura estáticamente determinada.
3. F >0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un
mecanismo de 1, 2, 3, etc. grados de libertad, según sea el caso.
2.7 Excepciones al Criterio de Grübler.
Un criterio de movilidad, como el de Grübler, basado exclusivamente en consid-
eraciones del número de eslabones y de pares necesariamente debe tener excep-
ciones. Algunas de ellas se ilustran a continuación.
24
Figura 28. Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepción
del Criterio de Grübler.
1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal
como el mostrado en la figura 28. Aplicando el criterio de Grübler, se
tiene que
F = 3(4− 1)− 4(2)− 0(1) = 9− 8 = 1 (2.2)
Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de
cuatro barras son a1 = 4u.l., a2 = 2u.l., a3 = 7u.l. y a4 = 1u.l.. y se trata
de ensamblar el mecanismo, se encuentra que la única manera en que los
eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura 28. Consecuentemente,
este “mecanismo plano de cuatro barras” tiene 0 grados de libertad y es
en realidad una estructura.
2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 29.
Figura 29. Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinemáticos que Constituye
una Excepción del Criterio de Grübler.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
25
F = 3(5− 1)− 2(6)− 0 = 12− 12− 0 = 0 (2.3)
Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3,
y 4 son paralelos, además los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y
permiten que el eslabonamiento gire en el sentido indicado, por lo tanto
F = 1.
3. Finalmente considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30.
Figura 30. Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismáticos y de Revoluta
que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(5− 1)− 2(6)− 0 = 12− 12− 0 = 0. (2.4)
Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un
lazo, aquel formado por los eslabones conectados por los pares prismáticos
está asociado a las traslacionales planas, mientras que cualquiera de los dos
restantes lazos está asociado al movimiento plano general. Puede probarse
que el eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.
26
Part II
Análisis cinemático de
mecanismos planos
articulados.
27
Chapter 3
Mecanismos Planos de
Cuatro Barras,Rotabilidad
y Criterio de Grashoff.
3.1 Mecanismos formados por pares inferiores.
Hasta aquí, hemos analizado algunos aspectos comunes a todas las clases de
mecanismos: Grados de libertad, análisis cinemático mediante metodos analíti-
cos y gráficos. Sin embargo, a fín de profundizar nuestros conocimientos acerca
de los mecanismos mas usuales, es necesario particularizar los análisis de acuerdo
a la clase de mecanismos a tratar. No obstante, se mantendrá vigente la restric-
ción de tratar exclusivamente mecanismos planos y se clasificarán como:
1. Mecanismos formados por pares inferiores.
2. Mecanismos que incluyen un par superior:
• Mecanismos de leva.
• Engranes y trenes de engranes.
Obviamente, el par superior que incluyen los mecanismos de leva y engranes,
es precisamente un par de leva.
3.2 Mecanismos Formados por Pares Inferiores.
Dentro de esta clase mecanismos se encuentra el mostrado en la figura 1; en re-
alidad estos mecanismos pueden, en algunos casos, construirse empleando pares
superiores. La verdadera razón detrás de esta clasificación consiste en la relativa
facilidad para realizar el análisis cinemático —posición, velocidad y aceleración—
de esta clase de mecanismos mediante las ecuaciones de clausura del mecanismo
28
y sus derivadas. Estos mecanismos tienen gran empleo por su capacidad de pro-
ducir movimientos no uniformes y transmitir fuerzas considerables a velocidades
elevadas.
Figura 1. Mecanismo formado por pares inferiores.
Aun cuando los métodos que se estudiarán a continuación son aplicables a
mecanismos relativamente complicados como el de la figura 1, haremos refer-
encia a mecanismos más simples como el mecanismo plano de cuatro barras y
cuatro pares de revoluta, figura 2 o el mecanismo de biela, manivela y corredera,
figura 3.
Figura 2: Mecanismo plano de cuatro barras.
29
Figura 3: Mecanismo de biela manivela corredera.
3.3 Mecanismos Planos de Cuatro Barras.
Uno de los mecanismos más simples, estudiados y poderosos, es el mecanismo
plano de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, a menudo conocido simple-
mente como mecanismo de cuatro barras, figura 2. La nomenclatura se indica
a continuación:
1. El eslabón 1, MN , cuya longitud es a1, se conoce como bastidor, marco
o eslabón fijo.
2. El eslabón 2, MA, cuya longitud es a2, se supone el motriz y se conoce
como manivela, eslabón de entrada, motriz o conductor.
3. El eslabón 3, AB, cuya longitud es a3, se conoce como eslabón acoplador.
4. El eslabón 4, NB, cuya longitud es a4, se conoce como seguidor, eslabón
de salida o conducido.
Debe tenerse en cuenta, que el término manivela se emplea, en algunas
ocasiones, con la connotación de un eslabón unido al bastidor que es capaz de
rotar completamente alrededor de su eje.
3.4 Clasificación de los Mecanismos Planos de
Cuatro Barras. Posiciones Críticas.
Dependiendo de la capacidad de rotar de los eslabones motriz y conducido re-
specto a su eje de rotación, rotabilidad, los mecanismos de cuatro barras se
clasifican en:
1. Doble oscilatorio, double rocker, cuando ambos eslabones unicamente pueden
oscilar, obviamente, el ángulo de oscilación es menor a 360o.
30
2. Rotatorio oscilatorio, crank rocker, cuando uno de los eslabones motriz o
conducido puede rotar, mientras que el otro solamente puede oscilar.
3. Doble rotatorio, double crank, cuando ambos eslabones pueden rotar.
La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo, está
intimamente ligada a la aparición de ciertas posiciones conocidas como posi-
ciones críticas. Existen dos diferentes tipos de posiciones críticas.
1. Posición límite. Una posición límite para el eslabón de salida, en un
mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el es-
labón acoplador y el de entrada es de 180o o 360o; es decir, las revolutasM , A y B están en línea, figura 4.
Figura 4: Posición límite en un mecanismo plano de cuatro barras.
2. Posición de puntos muertos. Una posición de puntos muertos para
el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el
ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180o o 360o,
las revolutas A, B y N están en línea, figura 5.
Figura 5: Posición de puntos muertos en un mecanismo de cuatro barras.
31
Es interesante notar que la clasificación es dependiente de cual eslabón se
considere el motriz.
Puede probarse que, salvo una excepción1, cuando en un mecanismo de cu-
atro barras se presenta una posición límite, el eslabón de salida estará imposi-
bilitado de rotar. Similarmente, si se presenta una posición de puntos muertos,
el eslabón de entrada no podrá rotar.
3.5 Análisis de rotabilidad de un mecanismo de
cuatro barras.
El objetivo de este análisis consiste en determinar las relaciones que deben
satisfacer las longitudes de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro barras
a fín de que el mecanismo sea doble rotatorio; como un subproducto se mostrarán
las posiciones críticas que se producen cuando los eslabones de entrada o salida
sólo oscilan.
3.5.1 Excepción del Criterio de Grübler.
La primera condición que un mecanismo plano de cuatro barras debe satisfacer
es que el mecanismo pueda realmente formarse y moverse, la condición viene
dada por
2am <
4X
i=1
ai (3.1)
Donde, am es la longitud del eslabón más grande y ai es la longitud del
i-ésimo eslabón.
Si la relación es una igualdad, el eslabonamiento constituye una estructura.
Si, por el contrario, la relación es una desigualdad del tipo >, la cadena no
puede cerrarse.
3.5.2 Primeras Condiciones.
Intituivamente debe reconocerse2 que las situaciónes más comprometidas ocur-
ren cuando los eslabones de entrada y salida se alinean con el eslabón fijo;
primero se analizarán las condiciones que aparecen cuando los eslabones de en-
trada y salida tratan de extenderse hacia el “exterior”.
• Eslabon de Entrada.
La primera situación crítica para el eslabón de entrada se muestra en la
figura 6.
1La excepción está constituido por el mecanismo paralelogramo, en el que α1 = α3 y
α2 = α4.
2Un análisis más riguroso puede encontrarse en “Condiciones de Rotabilidad, una Alterna-
tiva al Criterio de Grashoff”, Rico J.M., Memorias del IX Congreso de la Academia Nacional
de Ingenier´ıa, León Guanajuato, 1983.
32
Figure 6: Primera condición crítica en el eslabón de entrada.
De la desigualdad del triángulo, se tiene
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3.2)
si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá tomar la posición θ2 =
180o.
Si, por el contrario, se satisface que
a1 + a2 ≥ a3 + a4 (3.3)
Se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de esa posición
se muestra en la figura 7.
Figure 7: Primera posición de puntos muertos del eslabón de entrada.
El ángulo para el cual ocurre esta posición está dada por
θ2D1 = cos−1
Ã
a21 + a
2
2 − (a3 + a4)
2
2a1a2
!
(3.4)
Como puede observarse, las condiciones (2 y 3) no son excluyentes y
cuando se satisfacen ambas se obtiene que
a1 + a2 = a3 + a4 (3.5)
El eslabón de entrada puede tomar la posicion θ2 = 180o; más sin em-
bargo, se presenta una posición de puntos muertos que al mismo tiempo
33
constituye una posición límite. Esta posibilidad se muestra en la figura 8.
Figure 8: Posición límite y de puntos muertos.
Esta situación se repetirá en los otros análisis pero en aras de una mayor
fluidez, no se volverá a mencionar.
• Eslabón de salida.
La primera situación crítica para el eslabón de salida se muestra en la
figura 9.
Figure 9: Primera posición crítica para el eslabón de salida.
De la desigualdad del triángulo se tiene
a1 + a4 ≤ a2 + a3, (3.6)
si se satisface está condición, el eslabón 4 podrá tomar la posición θ4 = 0o.
Si, por el contrario, se satisface que
a1 + a4 ≥ a2 + a3, (3.7)
Se presenta una posición límite tal como la mostrada en la figura 10.
34
Figura 10: Primera posición límite.
El ángulo para el cual ocurre, esta posición límite viene dado, por
θ4L1 = 180o − α (3.8)
Donde
α = cos−1
Ã
a21 + a22 − (a3 + a4)
2
2a1a2
!
(3.9)
A partir de identidades trigonométricas puede probarse que
cos θ4L1 = − cosα (3.10)
Por lo tanto,
θ4L1 = cos−1
Ã
(a3 + a4)
2 − a21 − a22
2a1a2
!
(3.11)
3.5.3 Segundas Condiciones.
Las segundas condiciones más comprométidas ocurren cuando los eslabones de
entrada y salida tratan de extenderse hacia “el interior” del mecanismo. Es
decir, cuando los eslabones de entrada y salida tratan de obtener las posiciones
asociadas con θ2 = 0o y θ4 = 180o respectivamente.
1. Eslabón de entrada. Deben distinguirse dos diferentes situaciones:
• a2 > a1. La desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 3 y 4
conducen a
a4 ≤ a3 + (a2 − a1) ó a4 − a3 ≤ a2 − a1 (3.12)
a3 ≤ a4 + (a2 − a1) ó a3 − a4 ≤ a2 − a1 (3.13)
35
Figure 11: Segunda posición crítica para el eslabón de entrada, caso a2 > a1.
• a1 > a2. La desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 3 y 4
conducen a
a3 ≤ a4 + (a1 − a2) ó a3 − a4 ≤ a1 − a2 (3.14)
a4 ≤ a3 + (a1 − a2) ó a4 − a3 ≤ a1 − a2 (3.15)
Figura 12: Segunda posición crítica para el eslabón de entrada, caso a2 < a1.
Las cuatro ecuaciones (12, 13, 14 y 15) pueden resumirse en
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (3.16)
Si por el contrario, se tiene que
|a2 − a1| ≤ |a4 − a3| (3.17)
se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de la cual,
se muestra en la figura 13.
36
Figure 13: Segunda posición de puntos muertos.
El ángulo para el cual ocurre está posición es
θ2D2 = cos−1
Ã
a21 + a
2
2 − (a4 − a3)
2
2a1a2
!
(3.18)
2. Eslabón de salida. Sin comprobación, la condición que permite al es-
labón 4 tomar la posición θ4 = 180o es
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| . (3.19)
Si por el contrario, se tiene que
|a4 − a1| ≤ |a3 − a2| , (3.20)
se produce una posición límite, semejante a la mostrada en la figura 14.
Figura 14: Segunda posición límite.
De manera similar al desarrollo de la ecuación (18), puede mostrarse que
θ4L2 = cos−1
Ã
(a3 − a2)2 − a21 + a24
2a1a4
!
(3.21)
37
Es importante recalcar que los cálculos que se han realizado para de-
terminar los ángulos asociados a las posiciones de puntos muertos y de
posiciones límites no son exhaustivos, pues seria tardado dibujar todas
las posibles variantes; en casos generales lo más conveniente consiste en
realizar un dibujo en base a la colinealidad de las revolutas, NAB yMAB
respectivamente, y de allí calcular los ángulos.
Resumiendo, las condiciones
a1 + a2 ≤ a3 + a4
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3|
aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha supuesto es el motriz.
El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento en igualdad,
conduce a una posición de puntos muertos por cada condición.
Similarmente las condiciones
a1 + a4 ≤ a2 + a3
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2|
aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de estas condi-
ciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición límite por
cada relación.
Bajo estas condiciones el mecanismo será:
(a) Doble oscilatorio. Cuando sus longitudes no satisfagan alguna o
ambas de las condiciones de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón
4.
(b) Oscilatorio rotatorio. Cuando sus longitudes satisfagan ambas
condiciones del eslabón 2 y no satisfagan alguna o ambas de las condi-
ciones del eslabón 4 o viceversa. En el primer caso el eslabón capaz
de rotar será el 2 y se presentará al menos una posición limite. En
el segundo caso el eslabón capaz de rotar será el 4 y se presentará al
menos una posición de puntos muertos.
(c) Doble rotatorio. Cuando las cuatro condiciones anteriores se sat-
isfagan.
Con relación a eslabones que sólo pueden oscilar,es posible definir el
ángulo de oscilación, como el ángulo que el eslabón puede rotar sin que
se presente posiciones críticas. Las ecuaciones (2, 6, 16 y 19) permiten
conocer de manera rápida y eficiente la clase de mecanismo de cuatro
barras así como detectar el número de posiciones críticas.
38
3.5.4 Criterio de Grashoff.
Las condiciones de rotabilidad, deducidas en la sección anterior, son posteriores,
cronologicamente hablando, al criterio de Grashoff que igualmente permite clasi-
ficar a los mecanismos de cuatro barras, aun cuando no especifica en su caso, el
número de clase de posiciones críticas. De acuerdo con el criterio de Grashoff,
los mecanismos de cuatro barras se dividen en dos clases:
1. Mecanismos de la Clase I.
Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satis-
facen la condición
L+ s ≤ p+ q (3.22)
Donde, L es la longitud del eslabón más largo, longest, s es la longitud
del eslabón más corto, shortest, p, q son las longitudes de los eslabones
intermedios.
Dentro de esta clase, I, los mecanismos se subclasifican en
• Si el eslabón más corto, s, es el conductor o el conducido el mecanismo
es rotatorio oscilatorio, donde es eslabón capaz de rotar es el mas
corto.
• Si el eslabón más corto es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio.
• En cualquier otra situación el mecanismo es doble-oscilatorio, pero
el eslabón acoplador puede rotar 360o respecto a ambos, el eslabón
de entrada y el eslabón de salida.
2. Mecanismos de la clase II.
Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satis-
facen la condición
L+ s > p+ q (3.23)
Todos los mecanismos de la clase II son doble oscilatorios, ninguno de los
eslabones puede rotar 360o.
3.5.5 Comprobación del criterio de Grashoff a partir de
las condiciones de rotabilidad.
El criterio de Grashoff puede probarse a partir de las condiciones de rotabilidad
de los eslabones de entrada y salida; sin embargo, el desarrollo es tan laborioso
que es imposible presentarlo en su totalidad. Como ejemplo se probará que
un mecanismo de la clase I, en la que el eslabón más corto es el fijo, es doble
rotatorio. Es decir, se supondrá que el mecanismo satisface las condiciones
L+ s ≥ p+ q,
a1 = s.
39
Para probarlo, es necesario generar todas las posibles combinaciones en que
pueden seleccionarse los eslabones de entrada y de salida; existen 3 eslabones,
L, p, q, para dos posibilidades, a2, a4, asi pues, el número de combinaciones
será
C3,2 =
3!
2! (3− 2)! =
3!
2!1!
= 3.
Esas tres posibles combinaciones son:
1. a2 = p y a4 = q. Por lo tanto, a3 = L.
2. a2 = p y a4 = L. Por lo tanto, a3 = q.
3. a2 = q y a4 = L. Por lo tanto, a3 = p.
A continuación se analiza cada una de esas combinaciones.
1. a1 = s, a2 = p, a3 = L, a4 = q.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ó s+ p ≤ L+ q
rearreglando la ecuación se tiene que
p− q ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| ó | p− s| ≥ |q − L|
rearreglando la ecuación se tiene que
p− s ≥ L− q
o finalmente,
p+ q ≥ L+ s
esta última ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ó s+ q ≤ p+ L
rearreglando la ecuación se tiene que
q − p ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| ó | q − s| ≥ |L− p|
40
rearreglando la ecuación
q − s ≥ L− p ó q + p ≥ L+ s,
esta ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I.
2. a1 = s, a2 = p, a3 = q, a4 = L.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ó s+ p ≤ q + L
rearreglando la ecuación
q − p ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| ó | p− s| ≥ |L− q|
rearreglando la ecuación
p− s ≥ L− q
o finalmente,
p+ q ≥ L+ s
esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ó s+ L ≤ p+ q
esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| ó | L− s| ≥ |q − p| .
rearreglando la ecuación
L− s ≥ q − p
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
3. a1 = s, a2 = q, a3 = p, a4 = L.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ó s+ q ≤ p+ L.
rearreglando la ecuación
q − p ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| ó | q − s| ≥ |L− p|
41
rearreglando la ecuación
q + p ≤ L+ s
Se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ó s+ L ≤ q + p
Esta ecuación se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| ó | L− s| ≥ |p− q|
rearreglando la ecuación
L− s ≥ p− q
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
Todas estas comprobaciones muestran que cuando en un mecanismo de la
clase I, el eslabón mas chico es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio, sin
importar cuales sean los restantes eslabones.
3.5.6 Rotabilidad y Posiciones Críticas en el Mecanismo
de Biela Manivela Corredera.
En esta sección, se mostrará como las condiciones de rotabilidad deducidas
para el mecanismo plano de cuatro barras pueden emplearse para determinar la
rotabilidad del mecanismo de biela manivela corredera y sus posiciones críticas.
Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura
15.
42
Figura 15: Mecanismo de biela manivela corredera, con los eslabones
equivalentes a un mecanismo plano de cuatro barras.
Debe recordarse que un par prismático es equivalente a un par de revo-
luta localizado en el infinito en una dirección perpendicular a la dirección de
movimiento relativo del par prismático. Por lo tanto, la longitud de los eslabones
1 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera estará dada por
a1 =∞+ e y a4 =∞ (3.24)
donde e > 0. Con estos datos, es posible analizar la rotabilidad de los
eslabones 2 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera.
43
Rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera.
En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela
manivela corredera mostrado en la Figura 15.
De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3.25)
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
∞+ e+ a2 ≤ a3 +∞ (3.26)
Por lo tanto, la condición se reduce a
a2 ≤ a3 − e (3.27)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (3.28)
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
|a2 − (∞+ e)| ≥ |∞− a3| (3.29)
o, notando que ∞+ e > a2 y que ∞ > a3,
(∞+ e)− a2 ≥ ∞− a3 (3.30)
o
e− a2 ≥ −a3 ó e+ a3 ≥ a2 ó a2 ≤ a3 + e (3.31)
Las ecuaciones 27 y 31 son las ecuaciones que determinan si el eslabón 2
puede rotar. En particular, si la excentricidad del mecanismo de biela manivela
corredera es nula, un caso muy común, ambas condiciones de rotabilidad del
eslabón 2, la biela, se reducen a
a2 ≤ a3 (3.32)
Si la ecuación 27 no se satisface, es decir si
a2 ≥ a3 − e ó a2 + e ≥ a3, (3.33)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de pun-
tos muertos como la que se muestra en la figura 16.
44
Figure 16: Mecanismo de biela manivela corredera en la primera posición de
puntos muertos.
Si la ecuación 31 no se satisface, es decir si
a2 ≥ a3 + e ó a2 − e ≥ a3 (3.34)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de pun-
tos muertos como la que se muestra en la figura 17.
Figure 17: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición de
puntos muertos.
Rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera.
En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela
manivela corredera mostrado en la Figura 15.De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1 + a4 ≤ a2 + a3, (3.35)
45
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
∞+ e+∞ ≤ a2 + a3 ó 2∞+ e ≤ a2 + a3 (3.36)
Es evidente, que esta condición no puede satisfacerse y se presenta la posición
límite indicada en la Figura 18.
Figure 18: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición
límite.
El valor máximo de la carrera de la corredera está dado por
s1 =
q
(a2 + a3)
2 − e2 (3.37)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| , (3.38)
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
|∞− (∞+ e)| ≤ |a3 − a2| ó e ≥ |a3 − a2| . (3.39)
Si esta condición no se satisface, es decir si
e < |a3 − a2| (3.40)
se presenta la posición límite indicada en la Figura 19, en la que se supone
que a3 ≥ a2. El valor mínimo de la carrera de la corredera está dado por
s2 =
q
(a3 − a2)2 − e2 (3.41)
46
Figure 19: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición
límite.
47
Chapter 4
Análisis de posición en
mecanismos de cuatro
barras articuladas (metodo
analítico).
4.1 Los números complejos como vectores.
Hay muchos modos para la representación de vectores. Estos se pueden definir en
coordenadas polares, por su magnitud y su ángulo, o en coordenadas cartesianas,
mediante las coordenadas x y y.
Forma polar Forma cartesiana
R@∠θ r cos θıˆ+ r sin θjˆ (4.1)
rejθ r cos θ + jr sin θ (4.2)
La ecuación 4.1 emplea vectores unitarios para representar las direcciones
de las componentes x y y de un vector en forma cartesiana. En la figura 4.1 se
ilustra la notación con vectores unitarios en el caso de un vector de posición.
48
Figura 4.1. Notación de vectores unitarios para vectores de posición.
En la ecuación 4.2 se usa la notación de números complejos; en este caso la
componente en la dirección X se denomina parte real , y la componente en la di-
rección Y , parte imaginaria. El poco afortunado término "imaginaria" proviene
del uso del símbolo j para representar la raíz cuadrada del número −1 , que, por
supuesto no puede evaluarse numéricamente. Sin embargo, este número imag-
inario se usa en un número complejo como un operador, y no como un valor.
En la figura 4.2 se muestra el plano complejo en el que el eje real representa la
dirección de la componente X del vector en el plano, y el eje imaginario repre-
senta la dirección de la componente Y del mismo vector.
Figura 4.2. Representación con números complejos de un vector de posición.
De manera que cualquier término en un número complejo que no tenga el oper-
ador j, es una componente en x, y j indica una componente y.
49
Advierta en la figura 4.3 que cada multiplicación del vector RA por el oper-
ador j resulta en una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj
del vector, en un ángulo de 90o.
Figura 4.3. Rotaciones vectoriales en el plano complejo.
El vector RB = jRA está dirigido a lo largo de la parte positiva del eje imagi-
nario, o eje j. El vector RC = j2RA está dirigido a lo largo de la parte negativa
del eje real, porque j2 = −1, por lo tanto, RC = −RA. De modo semejante
RD = j3RA = −jRA, y esta componente se dirige a lo largo de la parte negativa
del eje j.
Una ventaja de utilizar esta notación de números complejos para representar
vectores en el plano proviene de la identidad de Euler:
e±jθ = cos θ ± j sin θ (4.3)
Cualquier vector bidimensional se puede representar mediante la notación
polar compacta que figura en el lado izquierdo de la ecuación 4.3. No hay
alguna función mas facil de diferenciar o integrar, ya que tal función es igual a
su propia derivada:
dejθ
dθ
= jejθ (4.4)
Utilizaremos esta notación de números complejos para los vectores, con el
fin de desarrollar y deducir las ecuaciones para la posición, la velocidad y la
aceleración de eslabonamientos.
50
4.2 La ecuación de lazo vectorial para un es-
labonamiento de cuatro barras.
La direcciones de los vectores de posición en la figura 4.4 se eligen a modo de
definir los ángulos donde se desean medir.
Figura 4.4. Lazo vectorial de posición para un eslabonamiento de cuatro barras
Por definición, en ángulo de un vector siempre se mide desde su raíz, no desde
su punta. Si se desea medir el angulo θ4 desde el pivote fijo O4, se debe colocar
al vector R4 de manera que su raíz esté en ese punto. Conviene medir el ángulo
θ3 en el punto donde se unen los eslabones 2 y 3, ya que el vector R3 se rota
ahí.
Una lógica similar dicta que los arreglos de los vectores R1 y R2. Observe
que el eje (real) X se toma por conveniencia a lo largo del eslabón 1, y el origen
del sistema del sistema de coordenadas global se toma en el punto O2, la raíz
del vector del eslabón de entrada, R2. Estas elecciones de las direcciones de los
vectores y del sentido, como se indican por sus puntas de flecha, conducen a
esta ecuación de lazo vectorial:
R2 +R3 −R4 −R1 = 0 (4.5)
Una notación alternativa que se puede usar para estos vectores de posición
son las etiquetas de los puntos en las puntas y raíces del vector (en ese orden)
como subíndices. El segundo subíndice por convención se omite si es el origen
del sistema de coordenadas global (punto O2):
RA +RBA −RBO4 −RO4 (4.6)
51
En seguida, se sustituye la notación de números complejos para cada vector
de posición. Para simplificar la notación y minimizar el uso de los subíndices
se denotan las longitudes escalares de los cuatro eslabones por a, b, c y d. Así
están rotulados en la figura 4.4. La ecuación será entonces:
aejθ2 + bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (4.7)
Éstas son tres formas de la misma ecuación vectorial, y se pueden resolver
para dos incógnitas. Hay cuatro variables en esta ecuación, a saber son los
cuatro ángulos de los eslabones. Las longitudes de los eslabones son todas con-
stantes en este eslabonamiento particular. El valor del ángulo del eslabón 1
también está fijo (en cero), ya que éste es el eslabón de fijación. La variable
independiente es θ2, la cúal sera controlada con un motor u otro dispositivo
impulsor. Esto permite encontrar los ángulos del eslabón 3 y 4. Se necesitan ex-
presiones algebraicas que definan a θ3 y θ4 como funciones sólo de las longitudes
constantes de los eslabones y de un ángulo de entrada, θ2. Estas expresiones
serán de la forma:
θ3 = f {a, b, c, d, θ2}
(4.8)
θ4 = g {a, b, c, d, θ2}
Para resolver la forma polar, ecuación vectorial 4.7, se deben sustituir las
equivalentes de Euler para los términos ejθ y después separar la ecuación vec-
torial en forma cartesiana en dos ecuaciones escalares que se pueden resolver
simultáneamente para θ3 y θ4. Sustituyendo la ecuación 4.3 en la ecuación 4.7:
a (cos θ2 + j sin θ2)+b (cos θ3 + j sin θ3)−c (cos θ4 + j sin θ4)−d (cos θ1 + j sin θ1) = 0
(4.9)
Ahora se puede separar esta ecuación en sus partes reales e imaginarias
haciendo cada parte igual a cero.
parte real (componente x):
a cos θ2 + b cos θ3 − c cos θ4 − d cos θ1 = 0 (4.10)
pero θ1 = 0, así:
a cos θ2 + b cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.11)
parte imaginaria (componente y):
ja sin θ2 + jb sin θ3 − jc sin θ4 − jd sin θ1 = 0 (4.12)
pero θ1 = 0, y eliminando a las j se obtiene:
a sin θ2 + b sin θ3 − c sin θ4 = 0 (4.13)
Las ecuaciones escalares 4.11 y 4.13 ahora se pueden resolver simultane-
amente para θ3 y θ4. Resolver este conjunto de ecuaciones trigonométricas
52
simultáneas es directo pero tedioso. La sustitución de algunas identidades
trigonométricas simplificará las expresiones. El primer paso es reescribir las
ecuaciones 4.11 y 4.13 de manera que se despeje una de las dos incógnitas en
el lado izquierdo de la ecuación. Se despejará θ3 y se determinará θ4 en este
ejemplo.
b cos θ3 = −a cos θ2 + c cos θ4 + d (4.14)
b sin θ3 = −a sin θ2 + c sin θ4 (4.15)
Después se elevan al cuadrado ambos lados de las ecuaciones4.14 y 4.15 y
se suman:
b2
¡
sin2 θ3 + cos2 θ3
¢
= (−a sin θ2 + c sin θ4)2 + (−a cos θ2 + c cos θ4 + d)2
(4.16)
Observe que la cantidad entre paréntesis en el lado izquierdo es igual a 1,
eliminando θ3 de la ecuación queda sólo por encontrar θ4.
b2 = (−a sin θ2 + c sin θ4)2 + (−a cos θ2 + c cos θ4 + d)2 (4.17)
Ahora se debe desarrollar el lado derecho de esta expresión y agrupar sus
términos.
b2 = a2+c2+d2−2ad cos θ2+2cd cos θ4−2ac (sin θ2 sin θ4 + cos θ2 cos θ4) (4.18)
Para simplificar aún más esta expresión se define a las constantes K1, K2
y K3 en términos de las longitudes constantes de los eslabones en la ecuación
4.18:
K1 =
d
a
K2 =
d
c
K3 =
a2 − b2 + c2 + d2
2ac
(4.19)
y:
K1 cos θ4 −K2 cos θ2 +K3 = cos θ2 cos θ4 + sin θ2 sin θ4 (4.20)
Si ahora se sustituye la identidad cos (θ2 − θ4) = cos θ2 cos θ4 + sin θ2 sin θ4,
se obtiene la conocida ecuación de Freudenstein.
K1 cos θ4 −K2 cos θ2 +K3 = cos (θ2 − θ4) (4.21)
Para reducirla ecuación 4.20 a una forma más facil de solucionar, es útil
sustituir las identidades de ángulo medio que expresarán los términos sin θ3 y
cos θ4 en función de tan θ4:
sin θ4 =
2 tan
¡ θ4
2
¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ ; cos θ4 = 1− tan2 ¡ θ42 ¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ (4.22)
Esto da como resultado la siguiente forma simplificada, donde las longitudes
de los eslabones y los términos conocidos del valor de entrada θ2 se agruparon
como las constantes A, B, C.
A tan2
µ
θ4
2
¶
+B tan
µ
θ4
2
¶
+ C = 0 (4.23)
53
donde:
A = cos θ2 −K1 −K2 cos θ2 +K3
B = −2 sin θ2
C = K1 − (K2 + 1) cos θ2 +K3
Observe que la ecuación 4.23 tiene forma cuadrática y la solución es:
tan
µ
θ4
2
¶
=
−B ±√B2 − 4AC
2A
(4.24)
θ41,2 = 2arctan
Ã
−B ±√B2 − 4AC
2A
!
(4.25)
La ecuación 4.25 tiene dos soluciones, obtenidas de los signos ± del radical.
Estas dos soluciones, como en cualquier ecuación cuadratica, pueden ser de tres
tipos: reales e iguales, reales y desiguales, complejas conjugadas. Si el discrim-
inante en el radical es negativo, entonces la solución es conjugada compleja, lo
cual significa simplemente que no se pueden unir las longitudes elegidas de los
eslabones para el valor escogido del ángulo de entrada θ2. Esto puede ocur-
rir, ya sea cuando las longitudes de los eslabones son incapaces de conectar en
cualquier posición o, en un eslabón de no Grashof, cuando el ángulo de entrada
está más allá de una posición de agarrotamiento. Hay entonces una solución
no real para ese valor del ángulo de entrada θ2. Exceptuando esta situación, la
solución usualmente será real y desigual, lo que significa que hay dos valores de
θ4 que corresponden a cualquiera de los valores de θ2. A éstas se les llama con-
figuraciones cruzada y abierta del eslabonamiento, y también se les conoce
como los dos circuitos del eslabonamiento. En el eslabonamiento de cuatro
barras la solución negativa de θ4 para la configuración abierta, y la solución
positiva da θ4 para la configuración cruzada.
La figura 4.5 muestra las soluciones cruzada y abierta para un eslabonamiento
de Grashof de manivela-balancín.
54
Figura 4.5. Solución de posición para las configuraciones abierta y cruzada del
eslabonamiento de cuatro barras.
Los términos cruzado y abierto están basados en la suposición de que el eslabón
de entrada 2, para el cual está definido θ2, está colocado en el primer cuadrante
(es decir, 0 < θ2 < π/2). Entonces un eslabonamiento de Grashof se define como
cruzado si los dos eslabones adyacentes al eslabón más corto se cruzan entre sí,
y como abierto si no se cruzan uno y otro en esta posición. Observe que la con-
figuración del eslabonamiento, ya sea cruzada o abierta, depende solamente de
la manera en que se ensamblan los eslabones. No se puede predecir sólo con base
en la longitudes de los eslabonamientos cuál solución sera la deseada. En otras
palabras, ya se puede obtener cualquier solución con el mismo eslabonamiento
con sólo considerar separado al pasador que conecta a los eslabones 3 y 4 en
la figura 4.5, y mover estos eslabones a otra de las posiciones en las cuales el
pasador los conecta nuevamente. Al hacer esto, se estará cambiando de una
solución de posición, o circuito, a la otra.
La solución para el ángulo θ3 es esencialmente similar a la de θ4. Regresando
a las ecuaciones 4.11 y 4.13 se pueden reordenar los términos para despejar θ4
en el lado izquierdo.
c cos θ4 = a cos θ2 + b cos θ3 − d (4.26)
c sin θ4 = a sin θ2 + b sin θ3 (4.27)
Elevando al cuadrado estas ecuaciones y sumándolas se elimina θ4. De la
ecuación resultante se puede encontrar θ3, como ya se hizo con θ4, con lo que
se obtiene la expresión:
K1 cos θ3 +K4 cos θ2 +K5 = cos θ2 cos θ3 + sin θ2 sin θ3 (4.28)
55
La constante K1 es la misma que se definio anteriormente, pero K4 y K5
son:
K4 =
d
b
; K5 =
c2 − d2 − a2 − b2
2ab
(4.29)
Ésta también se reduce a una forma cuadrática:
D tan2
µ
θ3
2
¶
+E tan
µ
θ3
2
¶
+ F = 0 (4.30)
donde:
D = cos θ2 −K1 +K4 cos θ2 +K5
E = −2 sin θ2
F = K1 + (K4 − 1) cos θ2 +K5
y la solución es:
θ31,2 = 2arctan
Ã
−E ±√E2 − 4DF
2D
!
(4.31)
Como el ángulo θ4, éste también tiene dos soluciones que corresponden a los
circuitos cruzados y abiertos del eslabonamiento, como se muestra en la figura
4.5.
4.3 La ecuación de lazo vectorial para un es-
labonamiento de la manivela-corredera de
cuatro barras.
El mismo enfoque de lazo vectorial utilizado anteriormente se puede aplicar
a un eslabonamiento que contiene correderas. La figura 4.6 muestra un es-
labonamiento de cuatro barras de manivela-corredera con corrimiento.
56
Figura 4.6. Lazo vectorial de posición para un eslabonamiento de cuatro
barras de manivela-corredera.
El termino corrimiento indica que el eje de corredera prolongado no pasa por
el pivote de la minivela. Éste es el caso general. Este eslabonamiento podría
representarse por solo tres vectores de posición: R2, R3 y Rs, pero uno de ellos
(el Rs) será un vector de magnitud y ángulo variables. Es más facil utilizar
cuatro vectores: R1, R2, R3 y R4 con R1 dispuesto paralelamente al eje de
deslizamiento y R4 perpendicular a él. En efecto, el par de vectores R1 y R4
son componetes ortogonales del vector de posición Rs desde el origen hasta la
corredera.
El análisis se simplifica al disponer de un eje coordenado paralelo al eje de
deslizamiento. El vectorR1 de longitud variable y dirección constante representa
entonces la posición de la corredera con magnitud d. El vector R4 es ortogonal a
R1 y define la magnitud constante del corrimiento del eslabonamiento. Advierta
que para el caso especial, la versión sin corrimiento, el vector R4 será igual a
cero y R1 = Rs. Los vectores R2 y R3 completan el lazo vectorial. El vector de
posición del acoplador R3 se coloca con su inicio en la corredera, la cúal define
entonces su ángulo θ3 en el punto B. Esta configuración particular de vectores
de posición conduce a una ecuación de lazo vectorial semejante al ejemplo de
eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador:
R2 −R3 −R4 −R1 = 0 (4.32)
Compare la ecuación 4.5 con la ecuación 4.32 y observe que la única diferencia
es el signo de R3. Esto se debe solo a la elección algo arbitraria del sentido del
vector de posición R3 en cada caso. El ángulo θ3 siempre debe medirse en el
inicio de vector posición R3, y en este ejempo será conveniente tener tal ángulo
θ3 en la junta marcada con B. Una vez que se han hecho estas elecciones
57
arbitrarias, es crucial que en las ecuaciones se observen cuidadosamente los
signos algebraicos resultantes, de lo contrario los resultados serán erróneos. Si
las magnitudes de los vectores (longitudes de eslabón) se representan por a, b,
c y d como se indica, los vectores de posición se sustituyen por sus equivalentes
de números complejos.
aejθ2 − bejθ3− cejθ4 − dejθ1 = 0 (4.33)
Se sustituyen los equivalentes de Euler:
a(cos θ2+j sin θ2)−b(cos θ3+j sin θ3)−c(cos θ4+j sin θ4)−d(cos θ1+j sin θ1) = 0
(4.34)
Se separan las componentes real e imaginario:
parte real (componente x):
a cos θ2 − b cos θ3 − c cos θ4 − d cos θ1 = 0 (4.35)
pero θ1 = 0, de modo que:
a cos θ2 − b cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.36)
parte imaginaria (componente y):
ja sin θ2 − jb sin θ3 − jc sin θ4 − jd sin θ1 = 0 (4.37)
pero: θ1 = 0, y las j se eliminan, de modo que:
a sin θ2 − b sin θ3 − c sin θ4 = 0 (4.38)
Se desea resolver las ecuaciones 4.36 y 4.38 simultáneamente para evaluar
las dos incognitas, longitud de eslabón d y ángulo de eslabón θ3. La variable
independiente es el ángulo de manivela θ2. Se conocen las longitudes de eslabón a
y b, el corrimiento c y el ángulo θ4. Pero observe que como se establece el sistema
de coordenadas paralelo y perpendicular al eje de la corredera, el ángulo θ1 vale
cero y θ4 es de 90o. La ecuación 4.38 se resuelve para evaluar θ3 y el resultado
se sustituye en la ecuación 4.36 para despejar d.
La solución es:
θ31 = arcsin
µ
a sin θ2 − c
b
¶
(4.39)
d = a cos θ2 − b cos θ3 (4.40)
Observe que de nuevo hay dos soluciones válidas correspondientes a los dos
circuitos del eslabonamiento. La función inversa del seno está multivaluada. Su
determinación dará un valor entre ±90o, y ello representa sólo un circuito del
eslabonamiento. El valor de d depende del valor calculado de θ3. Dicho valor
de θ3 para el segundo circuito del eslabonamiento se obtiene de:
θ32 = arcsin
µ
−a sin θ2 − c
b
¶
+ π (4.41)
58
4.4 Solución de posición mecanismo conmanivela-
corredera invertida.
En la figura 4.7 se muestra la inversión del eslabonamiento de manivela corredera
de 4 barras común, en el que la junta deslizante se halla entre los eslabones 3
y 4 en el punto B. Esto se muestra como un mecanismo de manivela corredera
con corrimiento. La corredera tiene rotación pura con su centro corrido desde
el eje de deslizamiento.
El sistema coordenado global se toma de nuevo con su origen en el pivote
de la manivela de entrada O2, y el eje positivo X a lo largo del eslabón 1, el de
fijación . En el punto B se colocó un sistema de eje local con el fin de definir
θ3. Considere que hay un ángulo fijo γ dentro del eslabón 4, el cual define el
ángulo de ranura con respecto a ese eslabón.
En la figura 4.8 los eslabones están representados como vectores de posición
que tienen sentidos congruentes con los sistemas de coordenadas elegidos por
conveniencia al definir los ángulos de los eslabones. Esta disposición particular
de vectores de posición conduce a la misma ecuación de lazo vectorial que el
ejemplo anterior de manivela-corredera. Las ecuaciones 4.32 y 4.33 también se
aplican también a esta inversión. Observe que la posición absoluta del punto B
se define por el vector RB , el cual varía en magnitud y dirección a medida que se
mueve el eslabonamiento. Se elige representar RB como la diferencia vectorial
R2 − R3 para utilizar los eslabones reales como los vectores de posición en la
ecuación de lazo.
Todos los eslabonamientos de corredera tendrán por lo menos un eslabón
cuya longitud efectiva entre las juntas variará conforme se mueva el eslabonamiento.
En este ejemplo la longitud del eslabón 3 entre los puntos A y B, designada como
b, cambiará cuando pase por la corredera en el eslabón 4. Por lo tanto, el valor
de b será una de las variables por determinar en está inversión. Otra variable
sera θ4, el ángulo del eslabón 4. Sin embargo , observe que también se tiene
una incógnita en θ3, el ángulo del eslabón 3. Esto da un total de 3 incógnitas.
Así que se requiere otra ecuación para resolver el sistema. Hay una relación fija
entre los ángulos θ3 y θ4, que se muestra como γ en la figura 4.8, lo cual da la
ecuación:
θ3 = θ4 ± γ (4.42)
donde el signo + se usa para la configuración abierta y el signo − para la
cerrada.
Al sustituir la ecuación 4.42 en la ecuación 4.33 se obtiene:
a cos θ2 − b cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.43)
a sin θ2 − b sin θ3 − c sin θ4 = 0 (4.44)
Éstas tienen solo dos incógnitas y se pueden resolver simultáneamente para
determinar θ4 y b. En la ecuación 4.44 se despeja la longitud de eslabón b y se
sustituye en la ecuación 4.43.
b =
a sin θ2 − c sin θ4
sin θ3
(4.45)
59
a cos θ2 −
a sin θ2 − c sin θ4
sin θ3
cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.46)
Al sustituir la ecuación 4.42, y después de alguna manipulación algebraica,
la ecuación 4.46 se reduce a:
P sin θ4 +Q cos θ4 +R = 0 (4.47)
donde:
P = a sin θ2 sin γ + (a cos θ2 − d) cos γ
Q = −a sin θ2 cos γ + (a cos θ2 − d) sin γ
R = −c sin γ
Observe que los factores P , Q, R son constantes para cualquier valor de
entrada de θ2. Para despejar de ahí a θ4 conviene sustituir las identidades de
la tangente del ángulo medio por los terminos en sin θ4 y cos θ4. Esto dará
como resultado una ecuación cuadrática en tan (θ4/2) que se puede resolver
para determinar los dos valores de θ4.
P
2 tan
¡ θ4
2
¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ +Q1− tan2 ¡ θ42 ¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ +R = 0 (4.48)
Esto se reduce a:
(R−Q) tan2
µ
θ4
2
¶
+ 2P tan
µ
θ4
2
¶
+ (Q+R) = 0 (4.49)
sea:
S = R−Q; T = 2P ; U = Q+R (4.50)
luego:
S tan2
µ
θ4
2
¶
+ T tan
µ
θ4
2
¶
+ U = 0 (4.51)
y la solución es:
θ41,2 = 2arctan
Ã
−T ±√T 2 − 4SU
2S
!
(4.52)
Como fue el caso del ejemplo anterior, éste también tiene una solución
cruzada y una abierta, indicadas respectivamente por los signos + y − del rad-
ical. Observe que también se deben calcular los valores de longitud del eslabón
b para cada θ4 usando la ecuación 4.45. El ángulo de acoplador θ3 se obtiene
de la ecuación 4.42.
60
Chapter 5
Análisis de velocidad.
5.1 Solución analítica para un eslabonamiento
de cuatro barras con juntas de pasador.
Las ecuaciones de posición para el eslabonamiento de cuatro barras se dedujeron
en la sección anterior. El eslabonamiento se muestra de nuevo en la figura 5.1,
en la cual se indica también una velocidad angular de entrada ω2 aplicada al
eslabón 2.
Figura 5.1. Lazo de vectores de posición para un eslabonamiento de 4 barras
que muestra los vectores de velocidad para una ω2 negativa
Esta ω2 puede ser una velocidad de entrada variable con el tiempo. La ecuación
de lazo vectorial se repite ahora para convenencia.
R2 +R3 −R4 −R1 = 0 (5.1)
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Como antes, se sustituye la notación de número complejo para los vectores,
que denotan sus longitudes escalares como a, b, c y d como se muestra en la
figura 5.1
aejθ2 + bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (5.2)
Para obtener una expresión que represente la velocidad se diferencia la
ecuación 5.2 con respecto al tiempo:
jaejθ2
dθ2
dt
+ jbejθ3
dθ3
dt
− jcejθ4 dθ4
dt
= 0 (5.3)
Pero,
dθ2
dt
= ω2;
dθ3
dt
= ω3;
dθ4
dt
= ω4 (5.4)
y:
jaω2ejθ2 + jbω3ejθ3 − jcω4ejθ4 = 0 (5.5)
Observe que el término θ1 se ha eliminado debido a que el ángulo es una con-
stante, por consiguiente, su derivada es cero. Observe también que la ecuación
5.5 es, de hecho, la velocidad relativa o la ecuación de diferencia de ve-
locidad.
vA + vB/A − vB = 0 (5.6)
donde:
vA = jaω2ejθ2
vB/A = jbω3ejθ3 (5.7)
vB = jcω4ejθ4
Ahora se necesita resolver la ecuación 5.5 para ω3 y ω4, conociendo la ve-
locidad de entrada ω2, las longitudes de eslabón y todos los ángulos de eslabón.
Por lo tanto, el análisis de posición deducido en la sección 4 debe efectuarse
primero para determinar los ángulos de eslabón, antes de que se complete este
análisis de velocidad. Se desea resolver la ecuación 5.5 para obtener expresiones
en esta forma:
ω3 = f(a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
(5.8)
ω4 = f(a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
La estrategia de solución será la misma que la efectuada para el análisis
de posición. Primero se sustituye la identidad de