Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (51)

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FLUXO DE CAIXA - Linha do Tempo
Convenção: 
Seta para baixo: saída de dinheiro; depósito, pagamento a terceiro, aplicação, investimento.
 VALOR NEGATIVO =
Seta para cima: entrada de dinheiro; saque, recebimento, resgate, retorno de investimento.
	 VALOR POSITIVO =
Matemática Financeira
 Administração
Amintas Paiva Afonso
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FLUXO DE CAIXA - EXEMPLO
-1.872,45
10
Fluxo de caixa de um empréstimo de R$ 15.000,00 pago em 10 prestações de R$ 1.872,45.
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 15.000,00
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JUROS SIMPLES - CONCEITO
O QUE SÃO JUROS?
Os juros são a remuneração pelo empréstimo do dinheiro.
Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva.
Pode ser caracterizado como o aluguel do dinheiro que se negocia.
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Juros sempre incidem 
sobre o VALOR PRESENTE
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PARÂMETROS BÁSICOS 
 VALOR PRESENTE (Present Value) (P ou PV):
- É o Valor Atual ou Capital Inicial. 
- Valor do dinheiro na Data Zero do Fluxo de Caixa.
- Também é chamado de Principal.
 VALOR FUTURO (Future Value) (F ou FV):
- É o Valor do Dinheiro em uma data futura. 
- É conhecido por Montante ou Capital Acumulado.
- Este Valor Futuro, é o Principal acrescido dos
 juros.
 PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n):
É o número de períodos em que um determinado valor de Principal ficará aplicado, ou será emprestado, a uma determinada taxa de juros.
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JUROS SIMPLES - CONCEITO
	Dado um principal (PV), ele deverá render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado número de períodos (n), gerando um montante (FV). 
 O juro produzido em determinado momento não rende mais juros.
	Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
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JUROS SIMPLES - FÓRMULAS
	Assim, a cada período há um acréscimo de “PV.i” ao capital inicial. Desse modo, após n períodos o juro total produzido será:
J = PV . i . n
PV = Valor Presente ou capital inicial
n = períodos
 i = taxa de remuneração do capital inicial
J = valor dos juros produzidos pelo capital “PV”
 à taxa de juros “i” em “n” períodos.
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EXEMPLO
	Um capital inicial de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual é o valor dos juros recebidos por essa aplicação durante o período?
		J = PV . i . n
		J = 500 . 0,03 . 4
		J = 60
 Resposta: Essa aplicação rende R$ 60,00 de juros durante o período aplicado (4 meses).
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JUROS SIMPLES - FÓRMULAS
 Sabemos que o montante (FV) é igual ao Capital Inicial (PV), acrescido do total de juros (J), ou seja:
				FV = PV + J
 Conforme vimos anteriormente: J = P . i . n, então:
			 FV = PV + PV . i . n
 E colocando o PV em evidência, tem-se que
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Em outras palavras...
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Componentes do custo do $
Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro.
Ao transportar $ no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em:
inflação
risco de crédito
taxa real de juros
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Exemplo de DFC
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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
EXEMPLO:
Um investidor aplica no banco R$ 1.000,00, em 20/09/16.
 Em 20/09/17 a instituição devolve ao investidor
 R$ 1.100,00.
 JUROS = 1.100 – 1.000 = 100,00 
 Taxa de Juros no Período = 100/1000 = 0,1 = 10%.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:
R$ 1.000,00 (Aplicação)
SAÍDA DE CAIXA
R$ 1.100,00 (Resgate)
ENTRADA DE CAIXA
PERÍODO
0
1
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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
É o Conjunto de Entradas e Saídas de Caixa durante um determinado período de tempo.
Graficamente, o Diagrama (DFC) é representado por um Eixo Horizontal (que representa o tempo, normalmente dividido em períodos).
 Entradas de Caixa (+): seta voltada para cima.
 Saída de Caixa (-): seta voltada para baixo.
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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
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A representação gráfica seria:
JUROS SIMPLES 
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 PRESTAÇÕES UNIFORMES (PMT):
É o valor a ser pago ou recebido, por determinado período de capitalização no caso em que a série de pagamentos/recebimentos for uniforme.
 TAXA DE JUROS (i):
É o valor da taxa de juros a que um valor fica aplicado por n períodos.
 TAXA DE DESCONTO (Discount Rate) (d):
É a taxa de juros que transforma um Valor Futuro em um Valor Presente (PV). 
PARÂMETROS BÁSICOS 
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 ANO CIVIL:
Também chamado de ano calendário, período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28/29, 30 e 31 dias.
 ANO COMERCIAL:
Muito utilizado em operações financeiras, é o ano de 360 dias com todos os meses de 30 dias.
 FORMAS OU REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO:
É a maneira como os juros são calculados em uma determinada operação. Podem ser Capitalizados a juros simples ou a juros compostos. 
PARÂMETROS BÁSICOS 
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Abreviaturas nas taxas 
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Cuidado com os anos
ano civil ou exato
 formado por 365 dias;
ano comercial
 formado por 360 dias.
0
-
100,00
VF=VP
1
10,00
110,00
VF=VP + i.VP
10% x $100
2
10,00
120,00
VF=VP + i.VP + i.VP
10% x $100
n
i.VP
VF
VF = VP (1+ i . n)
Juros simples sempre
incidem sobre valor presente
JUROS SIMPLES 
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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
JUROS SIMPLES: 
Os juros de cada período são sempre calculados sobre o Capital Inicial empregado.
Exemplo: Capital Inicial: R$ 10.000,00 (PV) e 
 Taxa de Juros: 5% a.a.
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Características dos juros simples
Valor uniforme dos juros periódicos
Valor futuro cresce linearmente
Capitalização Linear
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Como vimos, juros é a remuneração do capital:
Juros = J = PV * i * n
Assim, para calcular o valor futuro, basta somar os juros ao valor presente:
FV = PV + J
Juntando as duas expressões “Juros” e “Valor Futuro”, temos:
FV = PV + PV * i * n  FV = PV * (1 + i * n) 
Essa é a fórmula básica da matemática financeira e mostra como corrigir o dinheiro no tempo.
FV = PV * (1 + i * n)
JUROS SIMPLES 
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Formulação Matemática:
 Juros: J = PV . i . n
 Montante: FV = PV . (1 + i.n)
 Principal: PV = FV / (1 + i.n)
 Taxa: i = [(FV / PV) – 1] / n
 Período: n = [(FV / PV) – 1] / i
Notas:
 Nas fórmulas, a taxa de juros i é expressa em forma decimal.
 Os valores de i e de n deverão ser compatíveis, ou seja, se i for expresso ao ano, n deverá também ser expresso em anos.
 Como os juros simples variam de forma linear, i e n podem ser compatibilizados, dividindo-se ou mutiplicando-se pelo período correspondente à taxa. 
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Importante
Taxa (i) 
e 
Número de Períodos (n)
devem estar sempre na 
mesma base!!
Sugestão: altere sempre n e evite alterar i
Pré-requisito básico!!!
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*
VF=VP (1+ i.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n
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Fórmulas de Juros Simples
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 Administração*
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
 1o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV
	Ex: Um capital de R$ 50.000,00 estará aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês durante 3 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação.
	3 anos = 36 meses (taxa e prazo compatíveis)
	FV = PV (1 + i * n)
	FV = 50.000 (1 + 0,02 * 36)
	FV = 50.000 * 1,72
	FV = 86.000
	Resposta: O montante é de R$ 86.000,00
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	2o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV
	Ex: Sabendo-se que o montante resgatado no vencimento foi de R$ 117.800,00, determinar o principal aplicado durante o prazo de 8 meses na taxa de 3% ao mês.
	FV = PV (1 + i * n)
	117.800 = PV (1 + 0,03 * 8)
	117.800 = PV * 1,24
	PV = 117.800 / 1,24 = 95.000
	Resposta: O principal aplicado foi de R$ 95.000,00
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
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	3o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i
	Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 172.000,00, o principal aplicado de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal relativa a aplicação.
	1 ano = 12 meses
	FV = PV (1 + i * n)
	172.000 = 100.000 (1 + i * 12)
	172.000 / 100.000 = 1 + i * 12
	1,72 - 1 = 12 * i
	 i = 0,72 / 12 = 0,06
	Resposta: A taxa de juros da aplicação é de 6% am
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
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	4o Grupo – Dados FV, PV, i , achar n
	Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 368.000,00, o principal aplicado de R$ 200.000,00 e a taxa de juros de 7% ao mês simples, determinar o prazo da aplicação.
	FV = PV (1 + i * n)
	368.000 = 200.000 (1 + 0,07 * n)
	368.000 / 200.000 = 1 + 0,07 * n)
	1,84 = 1 + 0,07 * n
	1,84 – 1= 0,07 * n
	n = 0,84 / 0,07 = 12
Resposta: O prazo da aplicação é de 12 meses.
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
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JUROS SIMPLES 
Exercício 1
Um cliente pegou R$ 4.000,00 emprestado à taxa de 2,5% a.p. Quanto pagará ao emprestador no vencimento do empréstimo daqui a um período?
Podemos calcular os juros e somar com o principal:
J = PV . i . n  J = 4.000,00 * 0,025 = 100,00
FV = PV + J  FV = 4.000,00 + 100,00 = 4.100,00
Podemos também calcular direto na fórmula do FV:
FV = PV . (1 + i . n)  FV = 4.000,00 . (1 + 0,025 . 1)
 FV = 4.100,00
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Exercício 2
Um hospital pegou um empréstimo a taxa de juros de 5,5% a.p. e pagou no vencimento R$ 44.310,00. Qual é o valor do empréstimo sabendo-se que o período para o pagamento foi de um mês?
FV = PV . (1 + i . n)
44.310,00 = PV . (1 + 0,055 . 1)
44.310,00 = PV . (1,055)
PV = 44.310,00 / 1,055
PV = 42.000,00
JUROS SIMPLES 
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Exercício 3
Uma clínica presta um serviço e cobra à vista a quantia de R$ 500,00. Já a prazo, para pagamento em um mês, cobra R$ 560,00. Qual é a taxa incluída na compra a prazo? 
i = [(FV / PV) – 1] / n
i = [(560,00 / 500,00) – 1] / 1
i = 1,12 – 1
i = 0,12 ou 12%
JUROS SIMPLES 
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Exercício 4
Um cliente pegou R$ 1.000,00 emprestado no banco ao custo de 4% a.m. Quanto pagará de juros após um mês? 
J = PV . i . n
J = 1000,00 . 0,04 . 1
J = 40,00
JUROS SIMPLES 
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Exercício 5
Uma loja vende uma mercadoria à vista por R$ 400,00. Já a prazo, para pagamento em um mês, a mesma mercadoria tem um acréscimo de 5%. Qual é o valor dos juros incluídos na compra à prazo?
J = PV . i . n
J = 400,00 . 0,05 . 1
J = 20,00
JUROS SIMPLES 
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Exercício 6
Um cliente pegou R$ 1.000,00 emprestados e pagou R$ 80,00 de juros em um mês. Qual é a taxa de juros cobrada pelo banco?
J = PV . i . n
80 = 1000,00 . i . 1
i = 80 / 1000,00
i = 0,08 ou 8% a.m.
JUROS SIMPLES 
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Exercício 7
Sabrina precisará de R$ 1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% a.m.. 
1.200,00
-VP
10 meses
0
i = 5% a.m.
VF = VP (1 + i * n)
1200 = VP (1 + 0,05 * 10)
VP = 800,00
JUROS SIMPLES 
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Exercício 8
Neco aplicou R$ 8.000,00 por seis meses e recebeu R$ 2.400,00 de juros simples. Qual é a taxa mensal vigente na operação?
10.400,00
-8000
6 meses
0
i = ?
VF = VP (1 + i * n)
10400 = 8000 (1 + i * 6)
i = 5% a.m.
JUROS SIMPLES 
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Exercício 9
A aplicação de R$ 9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a R$ 11.700,00. Qual é o prazo em meses dessa operação? 
11.700,00
-9000
n = ?
0
i = 6% a.m.
VF = VP (1 + i * n)
11700 = 9000 (1 + 0,06 * n)
n = 5
JUROS SIMPLES 
*
Importante!!!
Taxas são sagradas!!!
Exercício 10
Calcule o valor futuro de uma aplicação de
R$ 500,00 por 24 meses a 8% a.a.
Taxa anual !!!
n em anos
X
24 meses = 2 anos
2 anos
JUROS SIMPLES 
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Alterando o prazo …
VF = VP(1 + i * n)
VF = 500(1 + 0,08 * 2)
VF = R$ 580,00
JUROS SIMPLES 
*
Desconto Racional Simples 
Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente.
Descontar, significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente.
Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL
JUROS SIMPLES 
Da fórmula dos juros simples
 VF = VP (1 + i.n)
Como se deseja obter VP
 (1 + i.n)
JUROS SIMPLES 
*
Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de R$ 4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual é o valor líquido e qual é o desconto?
VP
0
2
-R$ 4.400,00
Valor Presente
Juros
VP = VF/ (1 + i.n)
VP = 4400/(1 + 0,05.2)
VP = 4000
D = 4400 - 4000
D = 400
Valor Futuro
*
Taxa efetiva
É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização. 
JUROS SIMPLES 
*
Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de R$ 15.000,00, a Cia Cava Cava S.A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação.
Taxa por fora = 33,3333%
*
Taxa efetiva no DFC!
R$ 10.000,00
0
1
-R$ 15.000,00 
Desconto = 1/3 de $15.000,00
Desconto = R$ 5.000,00
Por fora = 33,3333%
Por dentro = 50%
VF = VP (1 + i.n)
15000 = 10000 (1 + i.1)
i = 50% a.m.
*
Equivalência de Capitais
“Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”.
*
Constatação importante …
Dinheiro 
tem custo no tempo!!!
Deve ser somado apenas em mesma data!
*
A operação de equivalência
-4.000,00
1.000,00
1.000,00
2.000,00
X?
*
Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00
Pagará $14.000,00 em 30 dias
Pagará X em 60 dias
Taxa simples igual a 3% a.m.
 Calcule o valor de X
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
Use a data focal 60 dias
0
30
60 dias
*
Taxa simples igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
$22.000,00
$23.320,00
$14.420,00
$8.900,00
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 22000 (1+0,03.2)
VF = $23.320,00
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 14000 (1+0,03.1)
VF = $14.420,00
0
1
2 meses
*
Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X.
Use a data focal zero
*
Resolução …
-X
-X
$500,00
0
1
2
i = 4% a.m. (JS)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP= X / (1+0,04.1)
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.2)
VP = 0,9259.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X 
X = 500/1,8874 = $264,91 
$264,91 
$264,91 
*
Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 
*
$1.800,00
0
3
-$800,00 
-$1.150,00 
$1.000,00
0
3
-$1.150,00 
VF = VP (1+in)
1150 = 1000 (1+i.3)
i = [(1150/1000) – 1] / 3)
i = 5%
*
Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? 
Use a data focal zero
*
DFC e cálculos
0
3
X
+$15.000,00 
8
+$20.000,00 
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = 15000 / (1+0,04.3)
VP = 13.392,86
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = 20000 / (1+0,04.8)
VP = 15.151,52
Soma = 13.392,86 + 15.151,52 = $28.544,38
*
Proporcionalidade de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. 
*
Fórmula da equivalência
ia = ib.(nb/na)
Em juros simples, vale usar regra de três!!!
Em juros simples!!!
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I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.
II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : 
 a) 90% ao semestre; 
 b) 220,8% ao ano; 
 c) 96% ao biênio.
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I. 
3% a.m. = [__] % a.s.
1 semestre = 6 meses
3% x 6 = 18% a.s.
3% a.m. = [__] % a.a.
1 ano = 12 meses
3% x 12 = 36% a.a.
II. Cálculo de taxas mensais
a) 1 semestre = 6 meses
90% a.s. ÷ 6 = 15% a.m.
b) 1 ano = 12 meses
220,8% a.a. ÷ 12 = 18,4% a.m.
c) 1 biênio = 24 meses
96% ÷ 24 = 4% a.m.
Três resultados do capítulo
Entendemos operações com juros simples
Sabemos usar a proporcionalidade de taxas
Compreendemos as operações com equivalência de capitais
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