371442-calculo_parametros_LT_v3

Prévia do material em texto

1 Cálculo de Parâmetros de Linhas de 
Transmissão 
1.1 Introdução 
Como em qualquer dispositivo elétrico – estático ou baseado em conversão eletromecânica – os parâmetros de 
uma linha de transmissão são elementos de circuitos elétricos – resistências, indutâncias e capacitâncias – que 
representam, indiretamente, as energias associadas ao seu funcionamento. Para o caso particular das linhas de 
transmissão, tem-se: i) a energia de dissipação térmica nos condutores, ii) a energia armazenada em seu campo 
magnético, iii) a energia armazenada em seu campo elétrico e iv) a energia de perdas devidas a imperfeições 
no dielétrico e de induções em elementos condutores próximos à rede elétrica. 
Os parâmetros de uma linha de transmissão são afetados por diversos fatores, dentre os quais destacam-se o 
nível de tensão, o comprimento da linha, o tipo de condutor utilizado, a configuração (quantidade) de 
condutores utilizados por fase e o espaçamento que os mesmos possuem entre si e em relação ao solo. 
1.2 Resistência série 
A resistência série dos condutores que formam uma rede elétrica está associada à energia de dissipação térmica 
nos condutores de uma linha de transmissão. A resistência efetiva de um condutor pode ser expressa como 
 
)(
2

I
P
R d
 (1.1) 
onde Pd é a potência dissipada no condutor (W) e I é a corrente (A) que circula no mesmo. Esta resistência 
pode ser computada a partir de ensaios em laboratório ou, ainda, a partir de medições efetuadas em campo. 
Para tanto, são conhecidas diversas condições operativas, tais como a temperatura ambiente e do condutor, 
além da própria frequência de excitação das grandezas envolvidas. 
Uma forma aproximada de obtenção do valor da resistência está baseada na utilização de 
 
)(0 
S
l
R 
 (1.2) 
onde R0 é a resistência em corrente contínua (Ω), 

 é a resistividade do material (Ω·m), l é o comprimento do 
condutor (m) e S é a área de sua seção transversal (m2). Estas unidades seguem o Sistema Internacional (SI) 
de medidas. Em unidades inglesas tem-se 

 em Ω·cmil/ft, l em foot e A em circular mil1. A área de 1 circular 
mil representa a área de um círculo que possui diâmetro de 1 milésimo de polegada. Assim, 
2423 mm10067,5)2/104,25(milcircular1  . Dada a reduzida ordem de grandeza desta unidade, os 
 
1 Na conversão de unidades é importante lembrar que 1” (in – inch, polegada) = 25.4 mm, 1’ (ft – foot, pé) = 12” e 1 milha (mi – mile) = 1609 m. 
cabos condutores utilizados em sistemas de energia normalmente são especificados em múltiplos de 1000 do 
circular mil: 1000 circular mils = 1 MCM (ou 1 kcmil). 
O cobre recozido (annealed copper) é o padrão internacional de condutividade (padrão IACS – International 
Annealed Copper Standard), sendo tomado como referência para outros materiais. O cobre duro (hard-drawn 
copper) e o alumínio padrão, por exemplo, possuem, respectivamente, 97,3% e 61,0% da condutividade do 
cobre recozido. A Tabela 1.1 apresenta as características elétricas dos materiais normalmente utilizados em 
condutores elétricos. Dependendo das ligas adotadas para o alumínio2, a composição resultante pode ter uma 
resistividade de 2,65 a 2,84×10−8 Ω·m. 
 
Tabela 1.1. Características de alguns materiais utilizados em condutores elétricos. 
material 
condutividade 
(% IACS) 
resistividade – ρ 
a 20℃ (×10−8 Ω·m) 
coef. de temp. – α 
a 20℃ (1/℃) 
cobre recozido 100,0 1,7241 0,00393 
cobre duro 97,3 1,7719 0,00393 
alumínio padrão 61,0 2,8264 0,00403 
alumínio 13503 61,2 2,8172 0,00403 
aço zincado 8,0 13,8 0,0045 
 
A resistividade de um metal possui uma variação em função da temperatura com uma característica muito 
próxima da linear. Uma aproximação linear permite que se obtenha 
 
))(1()( 00 TTT  
 (1.3) 
onde α é o coeficiente de temperatura da resistência em 1/℃ e T0 é a temperatura de referência (normalmente 
20℃). A Tabela 1.1 apresenta os valores deste coeficiente para os materiais destacados. Para casos particulares 
de temperaturas muito baixas e muito elevadas é necessária a utilização de fatores de correção para o 
coeficiente de temperatura – normalmente não necessários para a faixa típica de temperatura de operação dos 
condutores utilizados em sistemas de energia. 
A correção do valor da resistência, para valores distintos da temperatura de referência, pode ser efetuada 
diretamente através de (1.3) após uma adequada substituição dos termos de resistividade por resistência. 
A resistência também deve ser corrigida em função do encordoamento dos fios que compõem um condutor. 
Pelo encordoamento dos fios, o comprimento destes será maior do que o do cabo. São utilizados incrementos 
no comprimento dos fios em relação ao do cabo de 2% (para encordoamento com 19 fios), 2,6% (37 fios), 3% 
(49 fios) e 4% (133 fios ou mais). 
Por fim, a resistência calculada através de (1.2) deve ser corrigida em função da frequência. Em corrente 
contínua ocorre uma densidade uniforme de corrente em toda a seção transversal do condutor. Porém, para 
campos magnéticos internos variantes no tempo existe uma distribuição não uniforme de corrente no interior 
do condutor. Ela será mais intensa na periferia do condutor, com um efeito de redução exponencial em direção 
ao centro do condutor. Tal fenômeno é denominado de efeito pelicular (skin effect) e traz consigo um aumento 
no valor da resistência em CA se comparado com a existente em CC. Este efeito será abordado na Seção 1.3.2. 
 
 
2 As ligas utilizadas em cabos normalmente são formadas a partir da adição de ferro, silício, cobre, manganês, cromo e zinco. O ferro reduz a 
trabalhabilidade, enquanto que o silício e o cobre aumentam a resistência à tração. 
3 O primeiro dígito (1) significa que se trata de uma liga da série 1XXX, que identifica o alumínio comercialmente puro. O segundo dígito indica 
modificações no limite de impurezas ou a adição de algum elemento de liga. Se o 2.º dígito for 0 (zero), indica que o Al não foi ligado e apresenta o 
limite de impurezas convencional. Os números entre 1 e 9 indicam controle especial sobre uma ou mais impurezas ou a adição de elementos de liga. Os 
dois últimos dígitos indicam a percentagem de Al acima de 99%. Assim, para o alumínio 1350, o material possui 99,50% de alumínio. 
PR 1. Avalie a influência da alma de aço no cálculo da resistência em corrente contínua do cabo 
Cardinal. Este cabo possui uma área de alumínio de 954 MCM e uma formação 54/7 para os 
seus fios, cada qual com um diâmetro de 0.1329 in. A camada condutora é formada por fios de 
alumínio 1350 e é composta por 54 fios dispostos em 3 camadas. A sua alma de aço é composta 
por 7 fios de aço galvanizado. 
 
Solução. Cada fio utilizado na confecção do cabo possui uma área de 
22
22
mm9497,84/)4,251329,0(
in01387,04/)in1329,0(



fioS
 
Considera-se inicialmente apenas a resistência devida aos fios de alumínio. A área total da seção 
transversal de alumínio será de 
MCM954cmil784.95310067,5/3,483
mm3,4839497,854
4
2



AlS
 
Observa-se que a área útil de alumínio corresponde à especificação nominal do cabo Cardinal 
(954 MCM). 
Para a temperatura de 20℃, a resistência da camada condutora de alumínio valerá 
ft1000/01777,08.3041029,58
m/1029,58
m1028,483
m108172,2
6
6
26
8









Al
AlAl
Sl
R 
 
Considerando um incremento de 2% na resistência devido ao efeito do encordoamento dos fios, 
ft1000/01813,002,101777,0
m/1046,5902,11029,58 66

 AlR
 
O valor encontrado difere ligeiramente do encontradoem algumas tabelas de condutores. 
Conforme a Tabela A.1, tem-se para este cabo uma resistência em corrente contínua de 0,0180 
Ω/1000 ft. Esta diferença, neste caso, está relacionada ao fator de encordoamento adotado para 
os cálculos, bem como no valor da resistividade considerado para o alumínio. 
Para uma temperatura de 50℃ tem-se para as camadas de alumínio 
  m/34,65)2050(00403,011029,58))50(1()50( 600 
TRR  
As tabelas, em geral, apresentam valores de resistência em corrente contínua desconsiderando o 
efeito da alma de aço dos cabos – como recomendado pela NBR 7270. Caso a alma seja levada 
em conta, tem-se para a mesma uma área total de 7×8,9497 = 62,65 mm2. A sua resistência em 
20℃, considerando um fator de encordoamento de 1,02, será de 
m/10247,202,1
m1065,62
m108,13
02,102,1 3
26
8



 


aço
açoaço
Sl
R 
 
Como a resistência da alma de aço pode ser considerada em paralelo com a resistência do 
alumínio, tem-se para o cabo, a uma temperatura de 20℃, 
ft1000/01766,08,3041093,57
m/1093,57//
6
6




açoAlcabo RRR
 
A redução no valor da resistência do cabo considerando o efeito da alma de aço é de 2,6% em 
relação ao caso em que esta não é considerada. O efeito da alma de aço será menor ainda – sendo 
considerado desprezível – no cômputo da resistência em corrente alternada em função do efeito 
pelicular. 
1.3 Indutância série 
A indutância série que será utilizada no modelo de circuito elétrico de uma linha transmissão está associada à 
energia que a mesma armazena em seu campo magnético. 
 Indutância de um condutor devido ao seu fluxo interno 
Considere que um fio condutor maciço de raio r seja percorrido por uma corrente de intensidade I, conforme 
indicado na Figura 1.1. 
 
x
dx
I
Hx
r
 
Figura 1.1. Fio condutor 
percorrido por uma 
corrente elétrica e seu 
resultante campo 
magnético interno. 
 
A circulação da corrente I através do fio irá produzir uma intensidade de campo magnético H, interna e 
externamente ao condutor. Esta subseção considera apenas a parcela de campo magnético interna. Dada a 
condição de simetria do campo formado e da corrente que o originou, o campo H pode ser facilmente 
determinada através da lei circuital de Ampère: 
 
  envIldH

 
onde Ienv é a corrente envolvida pelo percurso fechado adotado para a circulação fechada de H. Para uma 
distância x do centro do fio condutor, com envolvimento de uma corrente Ix, a intensidade de campo magnético 
será determinada a partir da resolução de 
 
xx IxH 2
 (1.4) 
A corrente Ix envolvida no percurso fechado de raio x é uma parcela da corrente total I no condutor. Supondo 
que a densidade de corrente J seja uniforme em todo o condutor, pode-se estabelecer 
 
I
r
x
I
x
I
r
I
J x
x
2
2
22


 
de onde 
 
esp/m)(A
2
2
22
2
 x
r
I
HI
r
x
xH xx 
 
A densidade volumétrica de energia armazenada no campo magnético valerá 
 
)J/m(
8
32
42
2
02
02
1 x
r
I
Hw rxrx 
 
 
Considerando um volume incremental em x com espessura dx e comprimento de 1 m, tem-se para a energia 
armazenada internamente ao condutor: 
 
dxx
r
I
xdxwdvwdW rxx
3
4
2
0
4
2 
 
 
Adotando valores adequados para os limites da integração pode-se determinar a energia total interna ao 
condutor: 
 
)J/m(
164
2
0
0
3
4
2
0



 I
dxx
r
I
W r
r
x
r
int 


 
Deve-se destacar que a unidade resultante, J/m, é resultante da adoção de um comprimento unitário para o 
condutor. Por sua vez, como a energia armazenada no campo magnético pode ser relacionada com a indutância 
através de W = ½LI2, a indutância associada a esta energia pode ser determinada através de 
 
)J/m(
16
2
02
2
1

 I
ILW rintint 
 
de onde 
 
)H/m(
8
0

r
intL 
 
Desde que 
)H/m(104 70
 
 e, assumindo que o material condutor possua 
1r
 (hipótese válida para 
materiais tipicamente utilizados em condutores elétricos, como alumínio, cobre e suas ligas), tem-se 
 
)H/m(105.0 7intL
 (1.5) 
Por fim, o fluxo concatenado, 
LI
, interno ao condutor e associado à corrente I, valerá 
 
esp/m)(Wb105.0 7   Iint
 (1.6) 
As expressões (1.2), (1.5) e (1.6) foram obtidas a partir da hipótese de que a corrente circulante no condutor 
esteja uniformemente distribuída em seu interior. Na situação real em que a frequência de excitação das 
correntes não seja nula, torna-se necessário efetuar uma correção – tanto da resistência como da indutância 
internas – devido ao efeito pelicular. Este efeito será abordado na Seção 1.3.2. 
 Influência da frequência na impedância interna de um condutor 
A impedância interna de um condutor possui duas distintas componentes: a resistiva e a indutiva. Os 
parâmetros de resistência e de indutância internas já foram abordados nas subseções anteriores com a 
consideração de uma densidade de corrente uniforme no seu interior. Caso as correntes envolvidas possuam 
uma frequência de excitação não nula tal consideração já não é mais válida – ocorre uma concentração maior 
de corrente em regiões próximas da superfície externa do condutor, decaindo em direção ao seu centro. Este 
efeito ocorre apenas em CA e é denominado de efeito pelicular (skin effect). 
A Figura 1.2 indica a seção transversal e longitudinal de um condutor cilíndrico percorrido por uma corrente 
[1]. Nesta figura podem ser observadas as intensidades de campo magnético, Hx, e a densidade de corrente 
elétrica, Jx, a uma distância x do centro do condutor. 
 
x
dx
I
r
dx
x
dxJ
x
J
x
x



xJ
l
A
A
seção A-A
Hx
a b
a' b'
 
Figura 1.2. Seção 
transversal e longitudinal 
de um condutor 
cilíndrico maciço. 
 
A intensidade de campo Hx pode ser determinada em função da corrente envolvida Ix, partindo de (1.4), onde 
Hx e Ix são expressas em termos fasoriais. Considerando valores instantâneos para estas grandezas e, após um 
desenvolvimento adequado, chega-se a 
 
xx
x JH
xx
H


 1
 (1.7) 
onde Hx e Ix figuram como variáveis dependentes exclusivamente de x. A solução de (1.7) pode ser obtida 
através da obtenção de uma nova equação que relacione entre si as variáveis Hx e Ix, como a partir da aplicação 
da lei das tensões de Kirchhoff às quedas de tensão ao longo do circuito a’b’ba, conforme indicado na Figura 
1.2. Como resultado deste procedimento obtém-se 
 
x
J
jH xx





 (1.8) 
A substituição de (1.8) em (1.7) resulta em 
 
0
1
2
2
 x
xx Jj
dx
dJ
xdx
Jd

 (1.9) 
Definindo 
 


m
 (1.10) 
chega-se à solução de (1.9): 
 
mrjmr
mxjmx
JJ rx
BeiBer
BeiBer



 
onde Jr é a densidade de corrente fasorial na superfície do condutor. Os termos “Ber” e “Bei” são abreviações 
de “Bessel real” e “Bessel imaginária”, respectivamente, e são dados por séries de infinitos termos: 
 





2222
8
22
4
8642
)(
42
)(
1Ber
mxmx
mx
 
 





22222
10
222
6
2
2
108642
)(
642
)(
2
)(
Bei
mxmxmx
mx
 
Deve-se observar que a variável auxiliar m, como definida em (1.10), está associada com a denominada 
profundidade de penetração δ de um material condutor: 
 
m
22




 
A intensidade de campo magnético H, assim como a densidade de corrente J, sofrerá um decaimento 
exponencial de seu valor na superfíciedo condutor em direção ao centro do condutor. Este decaimento será tal 
que o seu valor estará reduzido a 37% na profundidade de penetração. Para exemplificar, para o alumínio, em 
60 Hz, tem-se δ = 10,905 mm. Torna-se óbvio que o raio do condutor é importante na identificação da 
influência da frequência no efeito pelicular. Para condutores com raios reduzidos este efeito será menor a uma 
mesma frequência do que em condutores com raios maiores. 
Na solução final do problema utiliza-se 
 





 rr frfrrmr 727 1081042   
(1.11) 
A variável auxiliar mr definida em (1.11) é função do raio externo r do condutor e das características de 
permeabilidade e de resistividade do material que o compõe. 
Alternativamente, pode-se utilizar 
 
00
7
2
7
001585,0
10421042
R
f
R
f
r
f
mr rrr








 (1.12) 
onde R0 é a resistência em corrente contínua, Ω/m, do fio condutor. 
Efetuando uma conversão de unidades, para uma resistência R0 fornecida em Ω/milha, tem-se 
 
0
06358,0
R
f
mr r


 (1.13) 
Por fim, pode-se provar que a impedância interna do condutor vale 
 
mrjmr
mrjmr
r
m
Zi
erBeiB
BeiBer
2 

 

 (1.14) 
Isolando as partes real e imaginária de (1.14) obtém-se a resistência e a indutância internas do condutor: 
 
22
0 )erB()eiB(
erBBeieiBBer
2 mrmr
mrmrmrmrmr
R
R



 (1.15) 
 
22
0 )erB()eiB(
erBBereiBBei4
mrmr
mrmrmrmr
mrL
L
i
i



 (1.16) 
Nas equações (1.15) e (1.16) os valores de resistência R e de indutância internas Li estão relacionados com 
aqueles obtidos com a suposição de uma densidade uniforme de corrente no interior do condutor, R0 e Li0, 
respectivamente. Nestas equações, os termos de Bessel e de suas derivadas valem 
 





2222
8
22
4
8642
)(
42
)(
1Ber
mrmr
mr
 
 





22222
10
222
6
2
2
108642
)(
642
)(
2
)(
Bei
mrmrmr
mr
 
 
)ber(
)(
erB mr
mrd
d
mr 
 
 
)bei(
)(
eiB mr
mrd
d
mr 
 
A Figura 1.3 apresenta os resultados gráficos de (1.15) e (1.16) em função de mr. A faixa de valores 
apresentada para mr nestes gráficos é representativa para a frequência e para as bitolas de fios normalmente 
utilizados nos cabos em sistemas de energia. Devido ao efeito pelicular, o fluxo interno diminui com a 
frequência, ao contrário do efeito verificado na resistência. 
0 0.5 1 1.5 2
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
0 0.5 1 1.5 2
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
0i
i
L
L
0R
R
mr mr
 
Figura 1.3. Resistência 
(R) e indutância internas 
(Li) corrigidas em função 
de mr. R0 e Li0 são, 
respectivamente, os 
valores de resistência e 
de indutância internas 
determinadas para o 
caso em que não existe 
efeito pelicular. 
 
PR 2. Verifique a influência do efeito pelicular sobre a resistência e a indutância internas de fios 
condutores maciços de alumínio 1350 com raios de 1, 10 e 20 mm, para as frequências de 60 Hz 
e 3 kHz. 
 
Solução. Considerando que o alumínio 1350 possua μr = 1 e ρ = 2,8172×10−8 Ω·m, tem-se para 
o mesmo: 
fr
f
r
f
rmr r 7412,16
108172,2
1108108
8
7272







 


 
Para os raios e frequências assinalados, através do uso de funções de Bessel, tem-se os valores 
indicados na tabela que segue. A influência do valor do raio no aumento da resistência interna e 
na redução da indutância interna será mais significativa a partir de raios do condutor com valores 
maiores do que o da profundidade de penetração. Tal efeito pode ser nitidamente verificado para 
ambas frequências uma vez que alumínio possui uma profundidade de penetração de 10,905 e de 
1,5422 mm para as frequências de 60 e de 3kHz, respectivamente. 
 
frequência r, raio (mm) mr 
0/ RR
 
0/ ii LL
 
60 Hz 
1 0,1297 1,0000 1,0000 
10 1,2968 1,0146 0,9927 
20 2,5935 1,1989 0,9021 
3 kHz 
1 0,9170 1,0037 0,9982 
10 9,1695 3,5061 0,3069 
20 18,3390 6,7410 0,1540 
 
 
 Indutância de um condutor devido ao seu fluxo externo 
A intensidade de campo magnético externa a um fio percorrido por uma corrente I, a uma distância x do seu 
centro, conforme indicado na Figura 1.4, vale 
 
esp/m)(A
2

x
I
H x 
 
 
x
r
dx
d
Hx
I
 
Figura 1.4. Fio condutor 
percorrido por uma 
corrente elétrica e seu 
resultante campo 
magnético externo. 
 
Para uma mesma distância x do centro do condutor haverá uma densidade volumétrica de energia igual a 
 
)J/m(
8
3
22
2
02
02
1
x
I
Hw rxrx 
 
 
Assumindo que seja considerado novamente um volume incremental em x, com espessura dx e comprimento 
de 1 m, a energia no campo magnético será 
 
dx
x
I
xdxwdvwdW rxxx 

4
2
2
0
 
A energia do campo magnético, externa ao fio condutor, até um ponto com distância d do centro deste, valerá 
 
)J/m(ln
44
2
0
2
0
r
dI
x
dxi
W r
d
rx
r
ext 






 
A resultante indutância associada ao campo externo do condutor pode ser determinada a partir de 
 
r
dI
ILW rextext ln
4
2
02
2
1



 
de onde 
 
)H/m(ln
2
0
r
d
L rext 


 
Assumindo que o meio externo ao condutor seja o ar – hipótese aplicável diretamente a um condutor que faça 
parte de uma rede elétrica aérea – tem-se 
1r
. Assim, a expressão da indutância externa pode ser 
simplificada de acordo com 
 
)H/m(ln102 7
r
d
Lext

 
O fluxo concatenado com o condutor devido ao seu campo magnético externo valerá 
 
esp/m)(Wbln102 7  
r
d
Iext
 (1.17) 
 Fluxo concatenado total de um condutor 
O fluxo concatenado total de um condutor até uma distância d do seu centro será computado a partir da soma 
de seus fluxos concatenados interno e externo: 
 
r
d
IIextint ln102105.0
77   
 (1.18) 
Uma manipulação adequada dos termos de (1.18) permite que se obtenha 
 
re
I
r
d
e
I
r
d
eI
41
7
41
77 1ln102ln
1
ln102lnln
4
1
102



 











 
Finalmente, o fluxo concatenado total pode ser expresso como 
 
esp/m)(Wbln102 7 

 
r
d
I
 (1.19) 
onde 
rrer 7788.041  
 é o denominado raio corrigido do condutor. Uma comparação entre (1.17) e (1.19) 
permite o entendimento de que este raio corrigido seja o raio de um condutor fictício assumido como não 
possuidor de fluxo interno, mas com indutância igual ao do condutor com raio r. O fator 
7788.041 e
 
utilizado na correção do raio é oriundo da hipótese de que a corrente esteja uniformemente distribuída no fio 
condutor, conforme Seção 1.3.1. Caso uma distribuição não uniforme de corrente seja assumida, este fator de 
correção será dependente das características físicas do material, bem como da frequência assumida para a 
corrente circulante. 
 Fluxo concatenado entre dois condutores 
Assume-se que existam dois fios a e b na configuração indicada na Figura 1.5. Dada a proximidade entre estes 
condutores, cada um terá um valor de fluxo concatenado oriundo não apenas de própria corrente, mas também 
pela corrente do outro condutor. 
 
dap
dbp
dab
ra rbIa Ib
p
 
Figura 1.5. Dois 
condutores próximos 
percorridos por corrente. 
 
O enlace de fluxo com o fio a criado pela sua própria corrente Ia, até o ponto p,valerá 
 
a
ap
aIap
r
d
I
a 
  ln102 7_
 
Por outro lado, o fio a também será enlaçado pelo fluxo que a corrente Ib produz externamente ao condutor b, 
conforme 
 
ab
bp
bIap
d
d
I
b
ln102 7_

 
Assim, o fio a terá um fluxo concatenado total, até o ponto p, valendo 
 










 
ab
bp
b
a
ap
aIapIapap
d
d
I
r
d
I
ba
lnln102 7__ 
 (1.20) 
Rearranjando os termos de (1.20) pode-se escrever 
 










  bpbapa
ab
b
a
aap dIdI
d
I
r
I lnln
1
ln
1
ln102 7
 (1.21) 
Assumindo que os condutores a e b formem um circuito elétrico, 
ab II 
, de onde 
 










 
bp
ap
a
ab
b
a
aap
d
d
I
d
I
r
I ln
1
ln
1
ln102 7
 
Caso o ponto p seja deslocado para uma região suficientemente distante dos fios a e b, 
 
0ln1 
bp
ap
bp
ap
d
d
d
d
 
Esta consideração permite que seja determinado o fluxo concatenado total com o condutor a: 
 










 
ab
b
a
aa
d
I
r
I
1
ln
1
ln102 7
 (1.22) 
Por analogia, o fluxo concatenado total com o fio b valerá 
 










 
ab
a
b
bb
d
I
r
I
1
ln
1
ln102 7
 (1.23) 
As equações (1.22) e (1.23) podem ser escritas em forma matricial como 
 


































b
a
bbba
abaa
b
a
rd
dr
b
a
I
I
LL
LL
I
I
bab
aba
11
11
7
lnln
lnln
102
 
onde Laa e Lbb são as indutâncias próprias dos fios a e b, respectivamente, e Lab e Lba são as indutâncias mútuas 
entre os mesmos. Deve-se notar a igualdade entre as indutâncias mútuas: 
 















ab
b
a
dbaab
rbb
raa
LL
L
L
17
17
17
ln102
ln102
ln102
 (1.24) 
Uma possível representação em circuito elétrico das indutâncias próprias e mútuas está indicada na Figura 1.6. 
Nesta figura todas as grandezas estão denotadas no domínio do tempo. 
 
av
bv
ai
bi baab
LL 
aaL
bbLa
b
 
Figura 1.6. Circuito 
elétrico equivalente de 
dois condutores 
acoplados 
magneticamente com 
representação das 
indutâncias próprias e 
mútuas. 
 
A representação explícita dos fluxos concatenados é de particular interesse para os casos em que se deseja 
analisar tensões induzidas através de acoplamentos mútuos entre circuitos. As equações de queda de tensão 
decorrentes de variações nos fluxos concatenados nos fios analisados são 
 
dt
di
L
dt
di
Lv bab
a
aaa 
 (1.25) 
 
dt
di
L
dt
di
Lv bbb
a
bab 
 (1.26) 
A representação fasorial das variáveis de tensão e de corrente em (1.25) e (1.26) pode ser efetuada através da 
substituição do operador d/dt por jω. Assim, estas equações serão reescritas, no domínio da frequência, como 
 
babaaaa ILjILjV  
 (1.27) 
 
bbbabab ILjILjV  
 (1.28) 
Os termos jωL resultantes em (1.29) e (1.30) serão as reatâncias indutivas associadas aos efeitos de autoindução 
(associados a Laa e Lbb) e de indução mútua entre os fios condutores (associados a Lab e Lba). 
Uma forma alternativa de representação do efeito indutivo dos condutores pode ser obtida a partir de um 
adequado desenvolvimento de (1.22) e (1.23). Considerando novamente que 
ab II 
, tem-se, para o condutor 
a, 
 
a
ab
a
ab
a
a
aa
r
d
I
d
I
r
I











  ln102
1
ln
1
ln102 77
 
de onde tem-se a denominada indutância aparente do condutor a: 
 
)H/m(ln102 7
a
ab
a
a
a
r
d
I
L

 
 (1.29) 
Por analogia, o condutor b terá uma indutância aparente igual a 
 
)H/m(ln102 7
b
ab
b
r
d
L

 
 (1.30) 
As indutâncias La e Lb são denominadas de aparentes por serem vistas pela fonte que origina as correntes Ia e 
Ib, não possuindo propriamente um significado físico. Cada uma também pode ser denominada simplesmente 
por indutância do condutor. Uma comparação entre (1.24), (1.29) e (1.30) permite que se escreva 
 





babbb
abaaa
LLL
LLL
 
Cada uma das indutâncias aparentes corresponde à indutância própria de cada fio subtraída da indutância mútua 
existente com o outro condutor. Assim, com o uso de indutâncias aparentes, os fluxos concatenados com cada 
condutor são expressos apenas em função de sua própria corrente: 
 


















b
a
b
a
b
a
I
I
L
L
0
0


 
Em termos de um circuito elétrico equivalente tem-se o indicado na Figura 1.7. 
 
av
bv
ai
bi
a
b
aLbL
 
Figura 1.7. Circuito 
elétrico equivalente de 
dois condutores 
acoplados 
magneticamente com 
representação de suas 
indutâncias aparentes. 
 
Neste caso, as equações de tensão nos fios analisados valem 
 
dt
di
Lv aaa 
 (1.31) 
 
dt
di
Lv bbb 
 (1.32) 
Supondo raios iguais para ambos fios, 
ba rrr 
, pode-se definir a indutância total de uma linha monofásica 
a dois fios: 
 
)H/m(ln104 7
r
d
LLL abba

 
 (1.33) 
 Indutância de linha monofásicas com condutores compostos 
Considere uma linha de transmissão monofásica em uma configuração de condutores compostos, conforme 
indicado na Figura 1.8. Cada condutor é formado por diversos fios. As distâncias envolvidas entre fios de um 
mesmo condutor e entre fios dos condutores não são desprezíveis. 
 
b
a
condutor X :
n
c
a´
c´
m
b´
n fios
I/n em cada fio
........
condutor Y : m fios
I/m em cada fio
 
Figura 1.8. Linha 
monofásica formada por 
condutores compostos. 
 
Cada fio condutor terá um valor de fluxo concatenado total que dependerá não apenas de sua própria corrente, 
mas também das correntes de todos os demais fios. Para cada um dos n fios que compõem o condutor X tem-
se uma corrente I/n, enquanto que esta corrente vale I/m para os m fios do condutor Y. 
O fluxo concatenado com cada um dos fios pode ser obtido através da aplicação de (1.22). Após o cômputo de 
todos os fluxos concatenados, com uma representação explícita de todas as correntes envolvidas, pode-se obter 
a matriz de indutâncias desta linha: 
 


































































































m
b
a
n
b
a
rddddd
drdddd
ddrddd
dddrdd
ddddrd
dddddr
m
b
a
n
b
a
I
I
I
I
I
I
mbmammnmbma
mbbabnbbbab
mabaanabaaa
nmbnannnbna
bmbbabbnbba
ambaaaanaba












111111
111111
111111
111111
111111
111111
7
lnlnlnlnlnln
lnlnlnlnlnln
lnlnlnlnlnln
lnlnlnlnlnln
lnlnlnlnlnln
lnlnlnlnlnln
102






 (1.34) 
Todos os elementos da matriz em (1.34), incluindo o fator 2×10−7, são termos de indutâncias. As indutâncias 
próprias de cada fio são aquelas da diagonal da matriz, enquanto que os elementos fora da diagonal são as 
indutâncias mútuas entre fios.Considerando que as correntes nos fios do condutor X sejam iguais entre si, com Ia = Ib = ...= In = I/n, bem 
como no condutor Y (Ia’ = Ib’ = ... = Im = −I/m), o fluxo concatenado total com o fio a (condutor X) será dado 
por 
 























amcabaaa
anacaba
a
ddddm
I
dddrn
I
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln102
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln102
7
7


 
de onde 
 
n
anacaba
m
amcabaaa
a
dddr
dddd
I



 ln102 7
 
Portanto, a indutância do fio a valerá 
 
n
anacaba
m
amcabaaaa
a
dddr
dddd
n
nI
L



 ln102 7
 
De forma similar, 
 
n
bnbcbba
m
bmcbbbabb
b
ddrd
dddd
n
nI
L



 ln102 7
 
A indutância média dos fios do condutor X valerá 
 
n
LLLL
L ncbaXmédia



 
Como todos os n fios do condutor X estão em paralelo, a indutância do condutor X poderá ser determinada 
através de 
 
2n
LLLL
n
L
L ncba
Xmédia
X



 
Após desenvolvimento, chega-se a 
 
2
)())((
)())((
ln102 7
n
nnncnbnabnbcbbbaanacabaa
mn
nmcnbnanbmcbbbabbmcabaaa
X
dddddddddddd
dddddddddddd
L

 
 (1.35) 
onde os raios corrigidos (
nba rrr  ,,, 
), conforme utilizados nas expressões iniciais das indutâncias, foram 
propositalmente substituídos pelas “distâncias próprias” dos fios (
nnbbaa ddd ,,, 
). 
A expressão (1.35) pode ser reescrita de forma simplificada como 
 
)H/m(ln102 7
s
m
X
D
D
L 
 (1.36) 
onde Dm é a distância média geométrica (DMG, GMD – Geometric Median Distance) entre os condutores X 
e Y e Ds é o raio médio geométrico (RMG, GMR – Geometric Median Radium) do condutor X. 
Por fim, após o cômputo da indutância LY do condutor Y, pode-se determinar a indutância da linha monofásica: 
 
YX LLL 
 
 A modelagem de cabos no cálculo da indutância própria de um condutor 
Os cabos utilizados em sistemas de energia são compostos por diversos fios encordoados em camadas próprias, 
com ou sem alma de aço. Os arranjos genéricos apresentados para os fios de cada condutor na Figura 1.8 
podem ser adaptados para o caso de um cabo comercial, onde as distâncias entre fios são perfeitamente 
conhecidas. Apesar deste fato, o cálculo do RMG que considere a influência do efeito pelicular não é uma 
tarefa trivial dada a não homogeneidade da superfície do cabo, bem como entre as camadas de fios condutores. 
Por esta razão, os valores de raio médio geométrico são fornecidos pelos fabricantes de cabos, como os 
indicados na coluna GMR da Tabela A.1. Estes valores de RMG são fornecidos para uma frequência específica 
e, portanto, já incluem o efeito pelicular. 
 
PR 3. Verifique a influência na indutância da utilização de um cabo composto por diversos fios 
encordoados em comparação ao caso em que seja utilizado um condutor maciço com mesma área 
total de material condutor. Considere uma configuração de 7 fios de material condutor, como 
indicado abaixo e desconsidere nesta análise o efeito pelicular. 
r
rc=3r
2r
2√3r
4r
2r
req
 
Solução. Para o cabo indicado, considerando que cada fio da composição possua um raio r, o seu 
raio médio geométrico valerá, em função do raio de cada fio, 
   
   
r
r
rrrrrr
rrrrrrD cabos
1767,2
7788,0)2()4()32()2(
)2(7788,04)32()2(7788,0
)2(4)32()2(
49 49766624
49 6623
49 6623




 
ou, em termos de seu raio externo rc, 
cccabos rrD 7256,01767,2 3
1  
Supondo um único condutor maciço com mesma área total de material condutor do cabo 
composto por 7 fios, o mesmo terá uma área total de 7×πr2, com um raio equivalente 
rreq 7 
Este condutor único terá, portanto, como raio médio geométrico, 
rrreq 0605,277788,0  
Este valor é menor do que aquele encontrado para o caso de 7 fios encordoados. Como a 
indutância própria do condutor é inversamente proporcional ao RMG do condutor, conclui-se 
que a utilização de cabos com diversos fios encordoados acarreta em diminuição do valor da 
indutância própria do condutor. Neste caso a diferença obtida não é significativa. Para cabos 
compostos por várias camadas de fios condutores, aliado à presença da alma de aço, esta 
diferença será ainda mais saliente, contribuindo para uma diminuição no efeito indutivo da linha. 
 
 
 A utilização de cabos múltiplos por condutor 
Uma redução significativa no valor da indutância própria do condutor pode ser obtida a partir da utilização de 
cabos múltiplos (bundled conductors) em cada condutor. A Figura 1.9 apresenta as configurações de cabos 
múltiplos utilizadas na atualidade, com composições de 2, 3, 4, 6 e 8 cabos individuais. Estes cabos individuais 
possuem uma distância uniforme entre os subsequentes, através de uma disposição geométrica específica. 
 
d
r
d=r
r
d
d d
a) b) c) d) e)
 
Figura 1.9. Configurações 
de cabos múltiplos mais 
utilizadas, com 
composições de 2, 3, 4, 6 
e 8 cabos individuais. 
 
O raio médio geométrico de cada cabo múltiplo pode ser obtido em cada arranjo através de uma simples média 
geométrica das distâncias envolvidas. Considerando que 
sD
 seja o RMG de cada cabo individual, o raio médio 
geométrico do cabo múltiplo, 
b
sD
, será dado por: 
2 cabos: 
dDdDD ss
b
s 
4 2)(
 
3 cabos: 
3 29 3)( dDddDD ss
b
s 
 
4 cabos: 
4 316 4 091.1)2( dDdddDD ss
b
s 
 
6 cabos: 
6 536 6 348.1)233( dDdddddDD ss
b
s 
 
 O uso de tabelas 
Os valores de indutâncias próprias e mútuas entre condutores podem ser fornecidos indiretamente em tabelas 
específicas através de suas reatâncias indutivas. 
A reatância indutiva pode ser determinada, através da indutância, como 
 
s
m
L
D
D
fLfX ln10222 7 
 
de onde 
 
)/m(ln104 7  
s
m
L
D
D
fX 
 
Convertendo os valores de reatância obtidos em Ω/m para Ω/milha, pode-se escrever 
 
)/milha(ln10022,2 3  
s
m
L
D
D
fX
 
Esta expressão pode ser reescrita como 
 
  )/milha(ln10022,21ln10022,2 33  
    
da X
m
X
sL DfDfX
 
onde Xa é a denominada reatância indutiva para 1 pé de afastamento e Xd é o fator de espaçamento da reatância 
indutiva. As reatâncias Xa e Xd estão associadas às indutâncias própria e mútua entre condutores, 
respectivamente, e são fornecidas para uma frequência estipulada. A reatância Xa depende, além da frequência, 
apenas do raio médio geométrico do cabo (Ds), sendo fornecida na Tabela A.1. Por outro lado, o fator de 
espaçamento Xd depende do espaçamento entre condutores, sendo fornecido na Tabela A.2. 
 Linhas trifásicas 
a) Indutância de linhas trifásicas sem transposição de fases 
Considere o caso em que uma linha trifásica tenha as suas fases dispostas de maneira assimétrica, conforme 
indicado na Figura 1.10. 
 
a
b
c
dbc
dca
dab
 
Figura 1.10. Linha de 
transmissão trifásica com 
disposição 
desequilibrada das fases. 
 
O fluxo concatenado total com cada uma das fases do circuito vale 
 
c
L
ca
b
L
ba
a
L
s
ca
c
ba
b
s
aa
I
d
I
d
I
D
d
I
d
I
D
I
acabaa
    
1
ln102
1
ln102
1
ln102
1
ln
1
ln
1
ln102
777
7












 
 
c
L
cb
b
L
s
a
L
ab
b I
d
I
D
I
d
bcbbba
    
1
ln102
1
ln102
1
ln102 777  c
L
s
b
L
bc
a
L
ac
c I
D
I
d
I
d
cccbca
    
1
ln102
1
ln102
1
ln102 777  
 
onde são destacadas as indutâncias própria de cada fase, Laa, Lbb e Lcc, bem como as indutâncias mútuas entre 
fases, Lab, Lac, Lba, Lbc, Lca e Lcb. Nestas equações, Ds representa o raio médio geométrico de cada fase, 
considerado igual para todas as fases. 
Os fluxos concatenados podem ser agrupados em forma matricial como 
 





























































c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
sbcac
cbsab
cabas
c
b
a
I
I
I
LLL
LLL
LLL
I
I
I
Ddd
dDd
ddD
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
102 7



 
As indutâncias próprias serão iguais a partir da hipótese das fases possuírem o mesmo raio médio geométrico 
(Laa = Lbb = Lcc). Por outro lado, dado que os afastamentos entre fases não são iguais entre si, torna-se óbvio 
que as indutâncias mútuas também não o serão, a menos de: 
 
cbbc
caac
baab
LL
LL
LL


 
O sistema será, portanto, desequilibrado do ponto de vista das indutâncias existentes. O circuito elétrico 
resultante será: 
 
a
Laa
b
Lbb
c
Lcc
Lab=Lba
Lbc=Lcb
Lca=Lac
 
b) Indutância de linhas trifásicas com transposição de fases 
O desequilíbrio de indutâncias entre fases verificado na situação em que a linha possua distribuição assimétrica 
de fases pode ser contornado caso seja adotado um esquema de transposição de fases. Um ciclo de transposição 
de fases, conforme indicado na Figura 1.11, compreende uma sucessiva troca de posicionamento das fases tal 
que, ao seu final, todas as fases percorram a uma mesma distância todas as possíveis posições. 
 
a
b
c
d12
d23
d31
c
a
b
b
c
a
posição 1
posição 2
posição 3
trecho 1 trecho 2 trecho 3
1
2
3
 
Figura 1.11. Ciclo de 
transposição de fases 
contendo três trechos. 
 
Os fluxos concatenados com a fase a, em cada um dos trechos de um ciclo de transposição valem 
 








 
3112
7
1trecho
1
ln
1
ln
1
ln102
d
I
d
I
D
I cb
s
aa
 
 








 
1223
7
2trecho
1
ln
1
ln
1
ln102
d
I
d
I
D
I cb
s
aa
 
 








 
2331
7
3trecho
1
ln
1
ln
1
ln102
d
I
d
I
D
I cb
s
aa
 
O valor médio de fluxo concatenado com a fase a será de 
 










































eq
cb
s
a
cb
s
a
cb
s
a
cb
s
a
aaa
a
D
II
D
I
ddd
II
D
I
ddd
II
D
I
ddd
I
ddd
I
D
I
1
ln)(
1
ln102
1
ln)(
1
ln102
1
ln)(
1
ln310
3
2
1
ln
1
ln
1
ln310
3
2
3
7
3
312312
7
312312
7
312312312312
7
3trecho2trecho1trecho 

 (1.37) 
onde Deq é a média geométrica entre as possíveis distâncias entre as fases: 
 
3
312312 dddDeq 
 
A equação (1.37) pode ser reescrita em termos da indutância própria Ls da fase a e das indutâncias mútuas Lm 
da fase a com as demais: 
 
)(
1
ln102
1
ln102 77 cb
L
eq
a
L
s
a II
D
I
D
ms
 
  

 
(1.38) 
onde 
 
eq
m
s
s
D
L
D
L
1
ln102
1
ln102
7
7




 (1.39) 
Os fluxos concatenados das fases podem ser agrupados em forma matricial como 
 































c
b
a
smm
msm
mms
c
b
a
I
I
I
LLL
LLL
LLL



 (1.40) 
A transposição de fases efetuada acarreta em uma matriz de indutâncias simétrica, como indicado em (1.40). 
 
Indutâncias aparentes de sequência positiva e negativa 
Para as sequências positiva e negativa, denotadas no que segue pelos numerais 1 e 2, respectivamente, tem-se 
 
2,12,12,12,12,12,1
0 acbcba IIIIII 
 (1.41) 
Substituindo (1.41) em (1.38), 
 
2,12,12,12,1
)( amsamasa ILLILIL 
 
de onde 
 
)(
2,1
2,1
2,1 ms
a
a
a LL
I
L 
 
Como as três fases possuirão as mesmas indutâncias devido à transposição de fases, as suas indutâncias de 
sequência positiva e negativa valerão 
 
ms LLL 2,1
 (1.42) 
Reescrevendo (1.42) em termos das indutâncias aparentes, 
 
)H/m(ln102 72,1
s
eq
D
D
L 
 (1.43) 
com fluxos concatenados dados por 
 































2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
00
00
00
c
b
a
c
b
a
I
I
I
L
L
L



 (1.44) 
 
Indutância aparente de sequência zero 
Para a sequência zero, denotada pelo índice 0, vale 
 
000000
2 acbcba IIIIII 
 (1.45) 
Substituindo (1.45) em (1.38), 
 
0000
)2(2 amsamasa ILLILIL 
 
de onde cada fase terá uma indutância aparente de sequência zero igual a 
 
ms LLL 20 
 (1.46) 
com fluxos concatenados dados por 
 































0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
00
c
b
a
c
b
a
I
I
I
L
L
L



 (1.47) 
 Linhas trifásicas de circuitos em paralelo 
 
a
b
c a'
b'
c'
a
b
c
a'
b'
c'
a
b
c
a'
b'
c'
Circuito I Circuito II
trecho 1
trecho 2
trecho 3
Circuito I Circuito II
 
Figura 1.12. Linha 
trifásica com dois 
circuitos em paralelo 
com indicação da 
transposição de fases. 
 
 
3
cabcabeq dddD 
 
onde: dab: DMG entre fases a (a e a’) e b (b e b’) no trecho 1 
 dbc: DMG entre fases b (b e b’) e c (c e c’) no trecho 2 
 dca: DMG entre fases c (c e c’) e a (a e a’) no trecho 3 
 
3
cba ssss
DDDD 
 
onde: Dsa: RMG da fase a (a e a’) no trecho 1 
 Dsb: RMG da fase b (b e b’) no trecho 2 
 Dsc: RMG da fase c (c e c’) no trecho 3 
Por fim, a indutância aparente desta linha, por fase, válida para as sequências positiva e negativa, será 
determinada através de 
 
)H/m(ln102 7
s
eq
D
D
L 
 
 
PR 4. Calcule a indutância aparente de uma linha de transmissão de circuito duplo conforme 
indicado abaixo. Cada fase é composta por um cabo CAA, 26/7, Hawk, 477 MCM. Considere 
que a mesma possua transposição de fases. 
a
b
c a'
b'
c'
8 m
4 m
4 m
d1
d2
 
Solução. O cabo Hawk, conforme Tabela A.1, possui um RMG de 0,0289 pés. As distâncias d1 
e d2 podem ser determinadas por 
m944,848 221 d 
m314,1188 222 d 
Adotando as mesmas posições relativas entre fases da Figura 1.12, as distâncias médias 
geométricas entre fases valerão 
m88888
m9813,54944,8944,84
m9813,54944,8944,84
4
3trecho
4
2trecho
44
1trecho


 
ca
bc
bababaabab
d
d
ddddd
 
De onde 
m5901,689813,59813,533 3trecho2trecho1trecho  cabcabeq dddD 
Por sua vez, tem-se para os raios médios geométricos das fases:m2655,0)3048,00289,0(88)3048,00289,0(
m3157,0)3048,00289,0(314,11314,11)3048,00289,0(
m3157,0)3048,00289,0(314,11314,11)3048,00289,0(
4
4
3trecho
4
4
2trecho
4
4
1trecho









ccccccccsc
bbbbbbbbsb
aaaaaaaasa
ddddD
ddddD
ddddD
 
Resultando em 
m2980,02655,03157,03157,033 3trehco2trecho1trecho  scsbsas DDDD 
A indutância aparente, por fase, desta linha valerá 
mH/km6192,0H/m106192,0
2980,0
5901,6
ln102 67  L
 
 
 
1.4 Capacitância em derivação 
O parâmetro capacitância de uma linha de transmissão está associado à energia armazenada em seu campo 
elétrico. 
 Obtenção da capacitância a partir de uma distribuição de cargas 
Considera-se que um condutor longo, retilíneo, conforme indicado na Figura 1.13a, possua em seu interior 
uma distribuição linear de cargas q (C/m). Pela simetria resultante, o campo elétrico E criado por esta 
distribuição de cargas não possui componente tangencial, ou seja, possui apenas componente radial. Ademais, 
considera-se que a componente tangencial (longitudinal) seja desprezada nos extremos do condutor. É 
importante destacar que todo o campo elétrico criado está localizado na região externa do condutor –pode-se 
desprezar o campo elétrico em seu interior, Eint, a partir da aplicação da lei de Ohm na forma pontual: 
Eint = ρJ, onde ρ é a resistividade do material e J é a densidade de corrente. Dado que para condutores perfeitos 
ρ = 0, tem-se Eint = 0. Tal consideração pode ser feita para os materiais usualmente utilizados em condutores 
elétricos (alumínio, cobre e suas ligas). 
 
x
E

q d1 q
d2
P1
P2
y
a) b)
 
Figura 1.13. a) Campo 
elétrico produzido por 
cargas distribuídas em 
um condutor longo 
retilíneo; b) Percurso 
adotado para cálculo da 
diferença de potencial 
entre dois pontos 
externos ao condutor 
com cargas. 
 
Dada a simetria do campo elétrico resultante, pode-se utilizar uma superfície gaussiana (oriunda da aplicação 
da lei de Gauss) para a determinação da densidade de fluxo elétrico no exterior do condutor: 
 
(C/m)
2m12
m1
x
q
x
q
S
Q
D env  


 
onde D é a densidade de fluxo elétrico em uma superfície formada por um cilindro de raio x com 1 m de 
comprimento. 
O campo elétrico E externo ao condutor valerá, a uma distância x do seu centro, 
 
(V/m)
2 x
qD
E


 
onde ε é a permissividade do meio. Este campo elétrico terá o mesmo valor em todos os pontos que pertençam 
à superfície gaussiana adotada. Em outras palavras, esta superfície gaussiana é caracterizada por possuir o 
mesmo potencial elétrico em seus pontos (o gradiente do potencial elétrico nestes pontos será nulo), 
caracterizando uma superfície equipotencial. 
A diferença de potencial entre dois pontos distantes da distribuição de cargas pode ser determinada através da 
análise da circulação em um percurso aberto da intensidade de campo elétrico entre estes pontos. Para os pontos 
P1 e P2 indicados na Figura 1.13b, o caminho de integração destacado em linha contínua (P1→y→P2) é de 
especial interesse dada a simplificação no equacionamento (a circulação do campo elétrico entre os pontos y e 
P2 será nula). Assim, a diferença de potencial entre P1 e P2 valerá 
 
(V)ln
22 1
2
12
2
1
2
1 d
dq
dx
x
q
EdxV
d
d
d
d   
 (1.48) 
onde V12 é a diferença de potencial entre os pontos P1 e P2 ou, simplesmente o potencial no ponto P1 em relação 
ao ponto P2 (V12 = V1 − V2), e d1 e d2 são, respectivamente, as distâncias dos pontos P1 e P2 ao centro das cargas 
distribuídas no interior do condutor. 
Uma vez determinada a diferença de potencial elétrico entre dois pontos é possível caracterizar o parâmetro 
capacitância a partir de 
 
(F/m)
12
12
V
q
C 
 
onde q é a distribuição de cargas que originou o campo elétrico entre os pontos P1 e P2. É importante destacar 
que para meios uniformes e homogêneos existem uma proporcionalidade constante entre o valor da carga e do 
campo elétrico que esta origina. A definição do parâmetro capacitância está associada a esta mencionada 
proporcionalidade. 
 Linhas monofásicas 
Uma linha de transmissão monofásica, formada por dois condutores aéreos, está indicada na Figura 1.14. 
 
dab
I
−I
qa qbra
rb
 
Figura 1.14. Linha de 
transmissão monofásica 
formada por dois 
condutores sobre o solo. 
 
Na configuração apresentada, assume-se que os condutores a e b possuam, respectivamente, as cargas qa e qb. 
A partir da aplicação de (1.48), pelo teorema da superposição, pode determinar a diferença de potencial entre 
estes condutores devida à presença das duas cargas. Assumindo que o raio de cada condutor seja desprezível 
em relação à distância entre condutores (ra << dab, rb << dab) e, lembrando que no interior de cada condutor o 
campo elétrico seja igualmente desprezível, tem-se 
 









ba
bb
b
aa
ab
aab
d
d
q
d
d
qV lnln
2
1

 
Como 
0 ba qq
 e, portanto, 
ab qq 
, 
 









ba
bb
a
aa
ab
aab
d
d
q
d
d
qV lnln
2
1

 
 
ba
a
bbaa
baab
aab
rr
dq
dd
dd
qV
2
ln
2
ln
2
1
 
 
Caso os condutores possuam o mesmo raio, r = ra = rb, e, denotando d = dab = dba, 
 
r
dq
r
dq
V aaab lnln
2
2








 (1.49) 
Portanto, a capacitância entre os condutores a e b devida à configuração dos condutores (raios e distâncias 
entre condutores) será dada por 
 
(F/m)
ln
r
dV
q
C
ab
a
ab


 
(1.50) 
Esta capacitância está apresentada na Figura 1.15a. 
 
a b
Cab
a b
Cn Cn
n
n
n'
V = 0
b
+q −q
aa)
b) c)
 
Figura 1.15. a,b) 
Capacitâncias de uma 
linha de transmissão 
monofásica; c) superfície 
equipotencial com 
potencial nulo resultante 
de duas cargas, ± q. 
 
Outra possibilidade de representação da capacitância da linha monofásica consiste em sua determinação tendo 
por base o neutro elétrico (baseado na superfície equipotencial com potencial nulo entre as duas cargas), 
conforme indicado na Figura 1.15c. As diferenças de potencial entre os condutores e a superfície equipotencial 
n–n’ valem 
 
2
ab
bnan
V
VV 
 
de onde pode-se definir a capacitância destes em relação ao neutro elétrico (vide Figura 1.15b): 
 
ab
an
a
bnann C
V
q
CCC 2
 
E, portanto, 
 
neutro) ao(F/m
ln
2
r
d
Cn


 
(1.51) 
 Modelagem de condutores para o cálculo da capacitância 
A inexistência de campo elétrico no interior de um condutor, conforme abordado na Seção 1.4.1, conduz à 
utilização do seu raio externo, ao contrário do que ocorre na modelagem de condutores para a determinação 
de indutâncias. Assim, valem os comentários que seguem, pertinentes ao cálculo de capacitâncias. 
a. Cabos elétricos 
Para cabos formados por diversas camadas de fios encordoados utiliza-se o raio externo do mesmo. 
b. Cabos compostos 
O cálculo do raio externo equivalente de cabos compostos por diversos cabos individuais segue o mesmo 
procedimento indicado na Seção 1.3.8, com a exceção de que, neste caso, utiliza-se o raio externo de cada cabo 
individual. Considerando que cada cabo individual possua um raio externo r, tem-se para as configurações 
apresentadas na Figura 1.9: 
2 cabos: 
rddrDbsC 
4 2)(
 
3 cabos: 
3 29 3)( rdddrDbsC 
 
4 cabos: 
4 316 4 091.1)2( rddddrDbsC 
 
6 cabos: 
6 536 6 348.1)233( rddddddrDbsC
 
 Linhas trifásicas com espaçamento assimétrico 
Caso a linha de transmissão possua espaçamento assimétrico entre suas fases haverá desequilíbrio de 
capacitâncias entre as fases, pela mesma razão já verificada para a sua indutância, conforme Seção 1.3.10. A 
transposição de fases efetuada para equilibrar os valores de indutância também trará consigo um equilíbrio nas 
capacitâncias. Considera-se no desenvolvimento que segue a mesma disposição de fases e nomenclatura 
apresentadas na Figura 1.11. 
Para cada trecho da transposição de fases tem-se os valores de diferença de potencial entre as fases a e b: 
 









31
23
12
12
1trecho lnlnln
2
1
d
d
q
d
r
q
r
d
qV cbaab 
 
 









12
31
23
23
2trecho lnlnln
2
1
d
d
q
d
r
q
r
d
qV cbaab 
 
 









23
12
31
31
3trecho lnlnln
2
1
d
d
q
d
r
q
r
d
qV cbaab 
 
O valor médio de Vab em um ciclo completo de transposição valerá 
 
)(
3
1
3trecho2trecho1trecho abababab VVVV 
 
 









312312
312312
312312
3
3
312312 lnlnln
6
1
ddd
ddd
q
ddd
r
q
r
ddd
qV cbaab 
 
 









eq
b
eq
aab
D
r
q
r
D
qV lnln
2
1

 (1.52) 
onde 
3
312312 dddDeq 
 é a média geométrica entre as três possíveis distâncias entre as fases. 
A diferença de potencial média entre as fases a e c, por analogia, vale 
 









eq
c
eq
aac
D
r
q
r
D
qV lnln
2
1

 (1.53) 
Os valores de Vab e Vac são úteis para a determinação da diferença de potencial da fase a em relação ao neutro 
elétrico, Van. Para tanto, considera-se a disposição dos fasores das tensões de linha e de fase a neutro conforme 
indicado na Figura 1.16. 
 
Van
n
Vbn
Vcn
Vab
Vbc
Vca
 
2
1
2
33303 jVVV ananab 
 
2
1
2
33303 jVVVV anancaac 
 
Figura 1.16. Tensões 
entre fases e neutro e 
entre fases de um 
sistema trifásico. 
 
A partir das tensões Vab e Vac, referenciadas a Van, chega-se a 
 
anacab VVV 3
 
de onde, após a substituição de (1.52) e (1.53), 
 









eq
c
eq
b
eq
aacaban
D
r
q
D
r
q
r
D
qVVV lnlnln2
2
1
)(3 
 
 









eq
cb
eq
aan
D
r
qq
r
D
qV ln)(ln2
2
1
3 
 
Assumindo que instantaneamente o somatório das cargas de todas as fases seja nulo, 
0 cba qqq
, tem-se 
acb qqq 
 e 
 









eq
a
eq
aan
D
r
q
r
D
qV lnln2
2
1
3 
 
Portanto, a fase a terá como diferença de potencial e uma capacitância em relação ao neutro elétrico: 
 
r
Dq
V
eqa
an ln
2

 
 
r
D
an
a
an
eqV
q
C
ln
2

 
Como todas as fases serão equilibradas em termos das capacitâncias, 
cnbnann CCCC 
. Assim, cada fase 
terá uma capacitância aparente ao neutro de 
 
fase)por neutro ao (F/m
ln
2
r
Dn eq
C


 (1.54) 
Estas capacitâncias aparentes estão indicadas na Figura 1.17. 
 
Cn
a
b
c
Cn Cn
a
c
Cn
n
b
 
Figura 1.17. 
Capacitâncias aparentes 
de uma linha com 
equilíbrio entre fases. 
 
 Efeito do solo na capacitância 
A camada superficial do solo terrestre é notoriamente uma superfície condutora com disponibilidade infinita 
de cargas (± q). Em condições de equilíbrio, sem que o solo esteja sujeito a campos elétricos externos – ou 
mesmo de induções elétricas – estas cargas estão em equilíbrio, com somatório nulo. Uma distribuição de 
cargas que porventura seja disposta sobre o plano condutor do solo atrairá cargas com sinais opostos e repelirá 
cargas com mesmo sinal, fato que origina uma densidade superficial de cargas induzida no solo (± qs), 
conforme exemplificado na Figura 1.18a. Esta redistribuição de cargas presentes no solo irá alterar o campo 
elétrico em todo o espaço. A modelagem destas cargas induzidas pode ser realizada através da inserção de uma 
imagem da distribuição de cargas externa à terra (Figura 1.18b,c). Esta imagem possui uma distribuição de 
cargas com sinal contrário à daquela que a originou, com simetria em relação ao plano do solo. Como resultado 
tem-se uma superfície equipotencial com potencial nulo no plano do solo. Este método é conhecido por método 
das imagens (method of image charges), abordado na eletrostática. 
 
+q
plano condutor
(V = 0) 
+ + +++ + +
− − −−− − −
qE

sq
E

sq
E

a) b)
(V = 0) 
+q
− q
c)
solo
(V = 0) 
+qs
−qs
+q
− q
resE

 
Figura 1.18. Método das 
imagens aplicado a uma 
carga pontual sobre o 
plano do solo terrestre. 
 
A Figura 1.19 apresenta uma linha de transmissão trifásica aérea com as cargas imagem de cada fase. Acima 
do solo as fases ocupam as posições denominadas pelos numerais 1, 2 e 3. Partindo da hipótese de que as fases 
estejam dispostas de forma assimétrica, esta figura indica os três trechos de um ciclo completo de transposição 
de fases. 
 
qa
d12
d23
d31
h11
h22
h33
h12
h31 h23
qb
qc
− qa
− qb
− qc
trecho 1 trecho 2 trecho 3
qc
qa
qb
− qc
− qa
− qb
qb
qc
qa
− qb
− qc
− qa
1
2
3
1
2
3
1
2
3
 
Figura 1.19. 
Representação das 
cargas imagem de cada 
fase de uma linha 
trifásica com 
transposição de fases. 
 
As diferenças de potencial entre as fases a e b em cada um dos trechos do ciclo de transposição, a partir da 
aplicação de (1.48), valem 
 






































13
23
31
23
12
22
1211
1212
13
23
31
23
12
22
1211
1212
1trecho
lnlnlnlnlnln
2
1
lnlnlnlnlnln
2
1
h
h
d
d
q
h
h
d
r
q
h
h
r
d
q
h
h
q
d
d
q
h
h
q
d
r
q
h
h
q
r
d
qV
cba
ccbbaaab


 
 








































13
13
12
13
23
33
2322
2323
12
13
12
13
23
33
2322
2323
2trecho
lnlnlnlnlnln
2
1
lnlnlnlnlnln
2
1
h
h
d
d
q
h
h
d
r
q
h
h
r
d
q
h
h
q
d
d
q
h
h
q
d
r
q
h
h
q
r
d
qV
cba
ccbbaaab


 
 










































23
12
23
12
13
11
1333
1313
23
12
23
12
13
11
1333
1313
3trecho
lnlnlnlnlnln
2
1
lnlnlnlnlnln
2
1
h
h
d
d
q
h
h
d
r
q
h
h
r
d
q
h
h
q
d
d
q
h
h
q
d
r
q
h
h
q
r
d
qV
cba
ccbbaaab


 
O processo de desenvolvimento da equação da capacitância da linha será o mesmo adotado na Seção 1.4.3. 
Toma-se o valor médio da diferença de potencial Vab obtido para os três trechos, bem como o valor de Vac. A 
diferença de potencial Van é então obtida em função de Vab e Vac o que permite a determinação da capacitância 
da fase a em relação ao neutro elétrico.Após desenvolvimento, chega-se à equação da capacitância de cada uma das fases ao neutro: 
 
fase)por neutro ao (F/m
lnln
2
3
332211
3
312312
hhh
hhh
C
r
D
n
eq 

 
(1.55) 
A influência do solo na capacitância surge no termo 
 3 3322113 312312ln hhhhhh
 em (1.55). As raízes cúbicas 
presentes neste termo são médias geométricas de distâncias que envolvem as cargas sobre o solo e suas 
imagens. Como 
332211312312 hhhhhh 
, o efeito deste termo colabora para um aumento do valor da capacitância. 
O efeito do solo na capacitância da linha será tanto maior quanto menor for a sua distância em relação ao solo. 
 Uso dos coeficientes de potencial de Maxwell no cálculo da capacitância 
Uma forma alternativa de cálculo da capacitância de linhas de transmissão está baseada na utilização dos 
denominados coeficientes de potencial de Maxwell. Este método está baseado na utilização de uma superfície 
equipotencial – especificamente com potencial nulo – e na representação de cargas com suas imagens. 
Considera-se, para tanto, que uma carga esteja localizada acima do plano do solo terrestre, a uma distância h 
de sua imagem, conforme indicado na Figura 1.20. 
 
+q
− q
h
a
a'
n n'
 
Figura 1.20. Uma carga 
+q e sua imagem, tendo 
a terra (neutro elétrico) 
como superfície 
equipotencial nula. 
 
A diferença de potencial entre os condutores a e a’, devido à presença do dipolo de cargas ± q, conforme 
(1.49), vale 
 
r
hq
V aa ln

 
onde h é a distância da imagem da carga (− q) ao condutor a e r é a distância da carga (+ q) ao condutor a. 
Por sua vez, a diferença de potencial entre o condutor a (com carga + q) e o plano condutor n−n’ (com potencial 
nulo) vale 
 
2
aa
an
V
V 
 
de onde 
 
r
hq
Van ln
2

 (1.56) 
Os dois termos de (1.56) possuem definições próprias, a saber: 
 
2
q
 : coeficiente de carga (V) 
 
r
h
ln
 : coeficiente de potencial de Maxwell 
A generalização do problema para um total de m cargas envolvidas (Figura 1.21) pode ser efetuada através de 
uma adequada adaptação de (1.56). A diferença de potencial do i-ésimo condutor em relação ao plano n−n’ 
valerá 
 
mi
d
h
qV
ij
ij
m
j
jin ,1ln
2
1
1
 


 (1.57) 
Em (1.57), para i = j, tem-se dii = r e djj = r. 
 
d12
d23
d31
h11
h22
h33
h12
h13 h23
1
2
3
1'
2'
3'
m
m'
hmm
n n'
 
Figura 1.21. Distribuição 
de m cargas pontuais e 
suas imagens. 
 
A aplicação de (1.57) à distribuição genérica de m cargas, como indicada na Figura 1.21, conduz a 
 














mm
mmm
m
m
m
m
mn
m
mm
n
m
mm
n
d
hq
d
hq
d
hq
V
d
hq
r
hq
d
hq
V
d
hq
d
hq
r
hq
V
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
2
22
1
11
2
2222
21
211
2
1
1
12
122111
1







 
e, em forma matricial, 
 
















































2
2
2
lnlnln
lnlnln
lnlnln
2
1
2
2
1
1
2
222
21
21
1
1
12
1211
2
1
m
mm
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
mn
n
n
q
q
q
d
h
d
h
d
h
d
h
r
h
d
h
d
h
d
h
r
h
V
V
V






 (1.58) 
A expressão (1.58) pode ser generalizada como 
 
      11 2   mmmm qPV 
 (1.59) 
onde [V] é o vetor de tensões dos condutores com carga, [P] é a matriz de coeficientes de potencial de Maxwell 
e [q/2πε] é o vetor de coeficientes de carga. 
Os elementos diagonais de [P] são os denominados coeficientes de potencial próprio de cada condutor 
enquanto que os fora da diagonal são os coeficientes de potencial mútuo entre condutores. Para linhas trifásicas 
pode-se extrapolar estas definições em termos de “condutor” para cada “fase” do circuito. 
O cálculo das capacitâncias envolvidas pode ser efetuado a partir de (1.59): 
 
     VPq 12  
 
 
      11   mmmm VCq
 
onde [C] é a matriz de capacitâncias da linha de transmissão: 
 
    12  PC 
 (1.60) 
Caso a linha possua transposição de fases, a matriz de capacitâncias possuirá termos de capacitâncias próprias 
Cs iguais entre si, além de mesmos valores para as capacitâncias mútuas Cm entre fases: 
 
 











smm
msm
mms
CCC
CCC
CCC
C
 
Estas capacitâncias próprias possuem representação em circuito elétrico conforme indicado na Figura 1.22a,b. 
 
Cs
a
b
c
Cs Cs
a
c
Cn
n
b
a
c
Cs
n
b
CsCs
Cm
CmCm
Cm Cm
Cm
Cn Cn
a) b) c)
 
Figura 1.22. 
Representação em 
circuito elétrico de: a, b) 
capacitâncias próprias e 
mútuas entre fases de 
uma linha trifásica e c) 
capacitâncias aparentes . 
 
Caso a linha não possua transposição de fases ter-se-á valores distintos para as capacitâncias próprias das fases 
(Caa, Cbb, Ccc) e para as capacitâncias mútuas entre fases (Cab, Cac, Cbc). Tal matriz, no entanto, será simétrica 
uma vez que Cab = Cba, Cac = Cca e Cbc = Ccb : 
 
 











cccbca
bcbbba
acabaa
CCC
CCC
CCC
C
 
Deve-se observar que, em qualquer hipótese – com ou sem transposição de fases – as matrizes [P] e [C] serão 
simétricas. 
A partir das capacitâncias próprias e mútuas é possível que sejam determinadas as capacitâncias aparentes dos 
condutores em relação ao neutro elétrico. Tal desenvolvimento pode ser efetuado através de componentes 
simétricas. Para o caso de uma linha trifásica com transposição de fases tem-se: 
 































cn
bn
an
smm
msm
mms
c
b
a
V
V
V
CCC
CCC
CCC
q
q
q
 (1.61) 
 
Capacitância aparente de sequência positiva 
Para a sequência positiva tem-se, assumindo o operador 
 1201a
, 
 
ancn
anbn
aVV
VaV

 2
 
Isolando a carga da fase a em (1.61), 
 
 
anms
anmms
anmmsa
VCaaC
VaCCaC
V
a
aCCCq
))((
)(
1
2
2
2













 
Como 
12  aa
, 
 
anmsa VCCq )( 
 
e, portanto, a capacitância aparente de sequência positiva valerá 
 
ms CCC )(seq
 (1.62) 
 
Capacitância aparente de sequência negativa 
Para a sequência negativa tem-se 
 
ancn
anbn
VaV
aVV
2

 
A partir de (1.61), 
 
 
anms
anmms
anmmsa
VCaaC
VCaaCC
V
a
aCCCq
))((
)(
1
2
2
2













 
Portanto, a capacitância aparente de sequência negativa será igual à da sequência positiva: 
 
ms CCC )(seq
 (1.63) 
 
Capacitância aparente de sequência zero 
Para a sequência zero vale 
 
ancn
anbn
VV
VV


 
Logo, 
 
 
anms
anmms
anmmsa
VCC
VCCC
VCCCq
)2(
)(
1
1
1













 
A capacitância aparente de sequência zero valerá 
 
ms CCC 2)0(seq 
 (1.64) 
 
As capacitâncias aparentes Cn estão representadas na Figura 1.22c. Nesta figura, Cnrepresenta de forma 
genérica qualquer uma das sequências analisadas (Cn1, Cn2 ou Cn0). 
O cálculo das capacitâncias aparentes de sequência positiva e negativa pode ser efetuado através do 
equacionamento desenvolvido para o caso em que a influência do solo é considerada na análise (seção 1.4.5), 
como através de (1.55). Para uso de expressões que não considerem o efeito do solo, como (1.51) e (1.54), 
ocorrerão diferenças nos resultados numéricos. 
Através do uso de coeficientes de potencial de Maxwell não existem equações diretas para o cálculo das 
capacitâncias aparentes. No entanto, este método fornece com facilidade as capacitâncias próprias e mútuas de 
uma linha de transmissão. 
 
PR 5. Calcule através dos coeficientes de potencial de Maxwell as capacitâncias próprias e 
mútuas da linha de transmissão apresentada abaixo. Faça o cálculo para duas situações distintas: 
sem e com transposição de fases. Cada fase é composta por 2 cabos, cada um com diâmetro de 
3,18 cm, e afastamento entre cabos de 45,72 cm. 
a b c
a' b' c'
h11 h22 h33
h12
h13
h23
15 m
11 m 11 m
d = 45,72 cm
 
Solução. Tem-se para o RMG de cada fase: 
m0853,04572,02/0318,0  rdDbsC 
com distâncias entre fases e suas imagens: 
m112312  dd 
m2213 d 
m30332211  hhh 
m95,311130 222312  hh 
m20,372230 2213 h 
Para o caso de não haver transposição de fases valem diretamente as distâncias calculadas para 
a posição das fases indicadas na figura. 
Os termos que compõem a matriz de coeficientes de potencial de Maxwell são, neste caso, 
      8628,50853,030lnlnln 111111332211  bsCDhdhPPP 
    0664,11195,31lnln 121232232112  dhPPPP 
    5253,02220,37lnln 13133113  dhPP 
A matriz de capacitâncias valerá 
   
nF/km
8472,96864,15756,0
6864,11024,106864,1
5756,06864,18472,9
10854,822
1
333231
232221
131211
121






































cccbca
bcbbba
acabaa
CCC
CCC
CCC
PPP
PPP
PPP
PC 
 
Pode-se observar valores distintos das capacitâncias próprias das fases, a menos dos valores para 
as fases a e c (Caa = Ccc). Isto ocorre pela disposição relativa existente entre as fases. Pela mesma 
razão, as capacitâncias mútuas Cab e Cbc serão iguais entre si, mas diferindo da capacitância 
mútua entre as fases a e c (Cac): 
Ccc
a
b
c
Cbb Caa
Cab Cab
Cbc
nF/km5756,0
nF/km6864,1
nF/km1024,10
nF/km8472,9




caac
cbbcbaab
bb
ccaa
CC
CCCC
C
CC
 
 
Para o caso em que existe transposição de fases, desde que estas ocupam todas as três possíveis 
posições, pode-se trabalhar diretamente com a média geométrica das distâncias: 
m303030303332211  eqeqeq hhh 
m61,3320,3795,3195,313322331132112  eqeqeqeqeqeq hhhhhh 
m86,132211113132312  eqeqeq ddd 
A matriz [P] terá os seguintes elementos: 
      8628,50853,030lnlnln 111111332211  bsCeqeq DhdhPPP 
    8860,08591,136149,33lnln 1212322331132112  eqeq dhPPPPPP 
Finalmente, a matriz de capacitâncias pode ser determinada:    
nF/km
8810,92972,12972,1
2972,18810,92972,1
2972,12972,18810,9
22
1
333231
232221
131211
1






































smm
msm
mms
CCC
CCC
CCC
PPP
PPP
PPP
PC 
 
Pode-se verificar facilmente, além da simetria existente em [C], que as capacitâncias próprias 
das fases serão iguais entre si. O mesmo ocorre com as capacitâncias mútuas entre fases: 
Cs
a
b
c
Cs Cs
Cm Cm
Cm
nF/km2972,1
nF/km8810,9


m
s
C
C
 
As capacitâncias aparentes são então determinadas para as sequências de fases: 
neutro) ao fase(por nF/km1782,11)seq()seq(   ms CCCC 
neutro) ao fase(por nF/km2866,72)0seq(  ms CCC 
Alternativamente, as capacitâncias aparentes de sequência positiva e negativa, para o caso com 
transposição de fases, poderiam ser determinadas a partir de (1.55): 
nF/km1782,11
30
61,33
ln
0853,0
8591,13
ln
2
lnln
2
3
332211
3
312312

































hhh
hhh
D
D
C
b
sC
eq
n
 
Cn
a
b
c
Cn Cn
nF/km1782,11nC
 
 
 
 Capacitância de linhas com circuitos em paralelo 
A capacitância de linhas de transmissão com circuitos em paralelo é determinada de forma muito semelhante 
ao procedimento adotado no cálculo de sua indutância (Seção 1.3.11). Para uma linha aérea sem o efeito do 
solo, a expressão (1.54) pode ser reescrita como 
 
(F/m)
ln
2
sC
eq
D
Dn
C


 
(1.65) 
onde DsC é o raio médio geométrico de cada fase. Este valor será computado como aquele utilizado para o 
cálculo da indutância, exceto pelo fato de que, ao invés do RMG de cada cabo, será utilizado o seu raio externo. 
 Uso de tabelas 
Os valores de reatância capacitiva podem ser disponibilizados em tabelas específicas, como no caso da 
reatância indutiva (Seção 1.3.9). A reatância capacitiva por fase de uma linha trifásica, ao neutro, será dada 
por: 
 
m)(
2
1

n
Cn
fC
X

 
Considerando que a linha seja aérea, assume-se para o ar 
0 
. Substituindo a expressão da capacitância ao 
neutro, 
 
m)(Ωln
10862,2
2
ln
2
1 9
0


















sC
eqsC
eq
Cn
D
D
f
D
D
f
X 
 
Efetuando a conversão de Ω·m para Ω·milha (dividindo por 1609), pode-se escrever 
 
milha)(Ωln
10779,11
ln
10779,1 66






    
da X
eq
X
sC
Cn D
fDf
X
 
Assim, a reatância capacitiva pode ser expressa em função de dois termos distintos: 
 
aX 
: reatância capacitiva para 1 pé de afastamento – é dependente da frequência e das características 
do cabo, sendo informado na Tabela A.1. 
 
dX 
: fator de espaçamento da reatância capacitiva – é função da frequência e do afastamento entre 
fases (Deq). Este fator é fornecido na Tabela A.3. 
 Corrente de carregamento 
A corrente de carregamento está associada à capacitância distribuída de uma linha em relação ao neutro 
elétrico. 
Para linhas de transmissão monofásicas a corrente de carregamento pode expressa como 
 
(A/m)ababchg VCjI 
 
onde Cab é a capacitância entre os condutores a e b da linha monofásica e Vab é a diferença de potencial entre 
estes condutores (vide Seção 1.4.2). 
Para linhas trifásicas, a corrente de carregamento será computada como sendo aquela que flui entre cada uma 
das fases e o neutro elétrico. A corrente de carregamento, em função da suscetância capacitiva entre fase e 
neutro, Bc, e da tensão entre fase e neutro, Van, será dada por 
 
(A/m)ancchg VBI 
 
ou, em termos da capacitância entre fase e neutro, Cn, 
 
(A/m)annchg VCjI 
 
Associada à corrente de carregamento tem-se a potência reativa 
 
chgabchg IVMVar 3
 
onde Vab é a tensão de linha (entre fases). 
A potência reativa de carregamento, 
chgMVar
, está relacionada com a suscetância 
cB
 através de 
 
cabancabchgabchg BVVBVIVMVar
233 
 
 
2
ab
chg
c
V
MVar
B 
 
Em casos não raros o fornecimento de dados de uma linha de transmissão pode prever a informação da potência 
chgMVar