Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (221)

. . . . . . . . . 32
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 32
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . . 35
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 36
1.11 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . 41
1.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 56
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.5 Grá�co de uma Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.9 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . 71
2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7 Derivada de uma Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8 Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
vi
2.10 Diferencias Parciais e Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.11 Extremos de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.11.1 Ponto Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.11.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3 INTEGRAIS DUPLAS 103
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Cálculo da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4 INTEGRAIS TRIPLAS 121
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares . . . . . . . . . . . 123
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 144
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.3 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2.7 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3 Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Sequência Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 Sequências Numéricas Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6.4 Soma de uma Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6.7 Séries Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Condição necessária para Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.8 Séries Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.8.1 Série harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.8.3 Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.9 Critérios de Convergência de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9.1 Critério da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9.3 Série p ou Série Hiper-harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9.7 Critério da comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.9.10 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão . . . . . . . . . . . . . 161
5.9.14 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.10.3 Convergência de uma série alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes . . . . . . 166
vii
5.13 Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.13.2 Convergência de séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.14 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergência de uma
série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.14.8 Série de potências centrada em x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.14.11Continuidade da soma de uma Série de Funções. . . . . . . . . . . . . 173
5.14.13Derivação de uma série de funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . 173
5.15 Diferenciação e Integração de Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.16 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.17 Série de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.18 Fórmula geral do binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.19 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.20 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
viii
Capítulo 1
INTEGRAL DEFINIDA
Objetivos (ao �nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. De�nir integral inferior e integral superior;
2. Calcular o valor da integral de�nida por de�nição;
3. Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades;
4. Calcular integral de�nida por substituição de variáveis;
5. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias;
6. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontínuas;
7. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares;
8. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares;
9. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas paramétricas;
10. Calcular volume de um sólido de revolução;
11. Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares,