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Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (221)

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∫ √y+4
−√y+4
z
∣∣∣∣∣
9−x2
5−y
dxdy =
∫ 5
0
∫ √y+4
−√y+4
(
4− x2 + y) dxdy,
como o sólido é simétrico em relação ao eixo y, podemos escrever
V = 2
∫ 5
0
∫ √y+4
0
(
4− x2 + y) dxdy = 2∫ 5
0
(
4x− x
3
3
+ yx
) ∣∣∣∣∣
√
y+4
0
dy
= 2
∫ 5
0
4√y + 4−
√
(y + 4)3
3
+ y
√
y + 4
 dy = 2∫ 5
0
(
8
3
√
y + 4 +
2
3
y
√
y + 4
)
dy
=
32
9
√
(y + 4)3 +
8
15
√
(y + 4)5 − 32
9
√
(y + 4)3
∣∣∣∣∣
5
0
=
8
15
√
(y + 4)5
∣∣∣∣∣
5
0
=
8
15
(
√
95 −
√
45) =
8
15
(35 − 25) = 8
15
(243− 32) = 1688
15
u.v.
EXEMPLO 4.3.4 Faça a tabela de limitantes e escreva a integral que permite calcular a massa
do sólido delimitado pelas superfícies x2 + y − 16 = 0, x + y − 4 = 0, y = 2x + 13, z = 0
e z = 10, sendo a densidade dada por d (x, y, z) = xyz.
Solução: O sólido desejado situa-se entre os planos z = 0 e z = 10. A base do sólido, que
está situada no plano xy, está representada na Figura 4.7.
Figura 4.7: Projeção no plano xy.
Como ocorre troca na limitação superior, devemos dividir esta região em duas sub-regiões,
R1 e R2. Assim, procedendo, obtemos a tabela
126
Limitantes R1 R2
Curva à esquerda x = −3 x = 1
Curva à direita x = 1 x = 4
Curva inferior y = 4− x y = 4− x
Curva superior y = 2x+ 13 y = 16− x2
Superfície inferior z = 0 z = 0
Superfície superior z = 10 z = 10
Logo, a massa desejada é dada por
M =
∫ 1
−3
∫ 2x+13
4−x
∫ 10
0
xyz dzdydx +
∫ 4
1
∫ 16−x2
4−x
∫ 10
0
xyz dzdydx.
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
Em alguns exemplos uma integral tripla pode ser resolvida de uma forma mais simples
convertendo-a para coordenadas cilíndricas. Vejamos este processo de conversão.
Figura 4.8: Coordenadas Cilíndricas
Sejam θ0 e θ1 dois arcos tais que 0 < θ1 − θ0 ≤ 2pi e suponhamos que os raios r1 e r2
são funções contínuas de θ tais que 0 ≤ r1 (θ) ≤ r2 (θ) seja válido para todo θ ∈ [θ1, θ2] .
Sejam f (r, θ) e g (r, θ) funções contínuas tais que f (r, θ) ≤ g (r, θ) seja verdadeiro para
todo θ ∈ [θ1, θ2] e todo r1 (θ) ≤ r2 (θ) . Seja S o sólido constituído por todos os pontos cujas
coordenadas cilíndricas satisfaçam as condições θ0 ≤ θ1, r1 (θ) ≤ r2 (θ) e f (r, θ) ≤ g (r, θ) .
Então temos a tabela de limitantes
Tabela de limitantes
Curvas Equações
Arco inferior θ = θ1
Arco superior θ = θ2
Raio interno r = r1 (θ)
Raio externo r = r2 (θ)
Superfície inferior z = f (r, θ)
Superfície superior z = g (r, θ) .
Uma integral tripla, que em coordenadas cartesianas se escreve como
I =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ g(x,y)
f(x,y)
f (x, y, z) dzdydx
127
é transformada, em coordenadas cilíndricas, para
I =
∫ θ2
θ1
∫ r2(θ)
r1(θ)
∫ g(r,θ)
f(r,θ)
f (r cos θ, r sin θ, z) rdzdrdθ.
EXEMPLO 4.4.1 Determinar o volume do sólido delimitado superiormente pelo parabolóide
y2+x2+1−z = 0, inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro x2+y2−2y = 0.
Solução: Geometricamente, temos o seguinte sólido representado na Figura 4.9.
Figura 4.9: Sólido do Exemplo 4.4.1.
A projeção no plano xy é a circunferência x2+y2−2y = 0 que, após completar quadrados,
se torna x2 + (y − 1)2 = 1 (Figura 4.10).
Figura 4.10: Projeção no plano xy.
O sólido está delimitado inferiormente pelo plano z = 0 e superiormente pelo parabolóide
z = y2 + x2 + 1. Fazendo as tabelas, podemos observar que é muito mais fácil resolver esse
problema usando coordenadas cilíndricas.
Limitantes em coord. retangulares Limitantes em coord. cilíndricas
Curvas Equações
Curva à esquerda x = −1
Curva à direita x = 1
Curva inferior y = 1−√1− x2
Curva superior y = 1 +
√
1− x2
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = y2 + x2 + 1
Curvas Equações
Arco inferior θ1 = 0
Arco superior θ2 = pi
Raio interno r1 = 0
Raio externo r2 = 2 sin θ
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = r2 + 1
128
Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
V =
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
∫ 1+r2
0
rdzdrdθ =
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
r(1 + r2)drdθ
=
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
(r + r3)drdθ =
∫ pi
0
r2
2
+
r4
4
∣∣∣∣∣
2 sin θ
0
dθ
=
∫ pi
0
(2 sin2 θ + 4 sin4 θ)dθ =
∫ pi
0
2 sin2 θ(1 + 2 sin2 θ)dθ
=
∫ pi
0
2 sin2 θ(1 + 2 sin2 θ)dθ =
∫ pi
0
(1− cos 2θ)(2− cos 2θ)dθ
=
∫ pi
0
(2− 3 cos 2θ + cos2 2θ)dθ
= 2θ − 3
2
sin 2θ
∣∣∣∣∣
pi
0
+
∫ pi
0
1 + cos 4θ
2
dθ
= 2pi +
1
2
θ +
1
8
sin 4θ
∣∣∣∣∣
pi
0
= 2pi +
pi
2
=
5pi
2
u.v.
EXEMPLO 4.4.2 Represente gra�camente o sólido cujo volume é dado pela integral
V =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
∫ 4−r2 cos2 θ
0
rdzdrdθ.
Solução: A partir dos limitantes da integral podemos construir a tabela
Limitantes em coordenadas cilíndricas
Curvas Equações
Arco inferior θ1 = 0
Arco superior θ2 = 2pi
Raio interno r1 = 0
Raio externo r2 = 2
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = 4− r2 cos2 θ
Considerando os arcos inferior e superior, concluímos que a base do sólido está projetada
sobre todos os quadrantes, pois temos 0 ≤ θ ≤ 2pi. Como 0 ≤ r ≤ 2, temos que o raio cilín-
drico varia desde a origem do plano xy até a circunferência de raio 2. Portanto, lateralmente
temos um cilindro centrado na origem, de equação x2 + y2 = 4. Inferiormente temos o plano
z = 0 e superiormente temos o cilindro parabólico z = 4 − x2 (observe que r2 cos2 θ = x2).
Assim, encontramos o sólido ilustrado na Figura 4.11.
EXEMPLO 4.4.3 Escreva em coordenadas retangulares a integral
I =
∫ pi
2
0
∫ 2 cos θ
0
∫ 9−r2
0
r2dzdrdθ.
Solução: Inicialmente, devemos interpretar geometricamente o sólido de integração. Vamos
construir a tabela de limitantes.
129
Figura 4.11: Sólido do Exemplo 4.4.2.
Limitantes em coordenadas cilíndricas
Curvas Equações
Arco inferior θ1 = 0
Arco superior θ2 =
pi
2
Raio interno r1 = 0
Raio externo r2 = 2 cos θ
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = 9− r2
Considerando os arcos inferior e superior concluímos que a base do sólido está projetada
sobre o primeiro quadrante do plano xy, pois temos 0 ≤ θ ≤ pi
2
. Agora vamos escrever
a curva r = 2 cos θ em coordenadas retangulares. Sabemos que x = r cos θ, de modo que
cos θ = x
r
, e que r2 = x2 + y2. Assim,
r = 2 cos θ =
2x
r
⇒ r2 = 2x ⇒
x2 + y2 = 2 ⇒ (x− 1)2 + y2 = 1.
Vemos que em coordenadas retangulares, a projeção do sólido sobre o plano xy é delim-
itada pela circunferência de equação (x− 1)2 + y2 = 1. Desse modo, a tabela de limitantes,
em coordenadas retangulares, é dada por:
Limitantes em coordenadas retangulares
Curvas Equações
Curva à esquerda x = 0
Curva à direita x = 2
Curva inferior y = 0
Curva superior y =
√
2x− x2
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = 9− (x2 + y2)
Também devemos escrever de forma adequada a expressão r2dzdrdθ. Como dxdydz =
rdzdrdθ temos que
r2dzdrdθ = r (rdzdrdθ) =
√
x2 + y2dxdydz.
130
Assim, a integral dada será escrita em coordenadas cartesianas por
I =
∫ 2
0
∫ √2x−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2 + y2dzdydx.
4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
As integrais triplas também podem ser convertidas para coordenadas esféricas de acordo
com o processo descrito a seguir (veja a Figura 4.12).
Figura 4.12: Coordenadas Esféricas
Sejam θ0, θ1, φ0, φ1, ρ0 e ρ1 tais que 0 < θ1 − θ0 ≤ 2pi e 0 ≤ ρ0 < ρ1.
Suponhamos que o sólido S seja constituído por todos os pontos cujas coordenadas es-
féricas (ρ, θ, φ) são tais que
ρ0 ≤ ρ ≤ ρ1 θ0 ≤ θ1 ≤ θ φ0 ≤ φ ≤ φ1.
Lembrando que o ponto P (x, y, z) , em coordenadas esféricas é dado por P (ρ, θ, φ) , onde
x = ρ cos θ sinφ, y = ρ sin θ sinφ, z = ρ cosφ e ρ2 = x2 + y2 + z2.
Considerando acréscimos dφ, dρ e dθ atribuídos a cada variável,