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Figura 10.12. Quais destas interconexões são circuitos recíprocos? Na Nb FIGURA 10.11 Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 132 - Apêndice A – Frações parciais Uma função racional ( )( ) ( ) n sG s d s = com grau do denominador maior do que o grau do numerador pode ser expandida em frações parciais na forma 1 1 ( ) ... N N aaG s s r s r = + + − − (A.1) quando as raízes r1, ..., rN de d(s) forem simples, e na forma 11 2 21 11 1 ( ) ... ... ( ) ( ) p p N p p N a a aa aG s s r s r s rs r s r + + = + + + + + + − − − − − (A.2) quando a primeira raiz, r1, de d(s) tiver multiplicidade p (com as demais raízes simples). Os coeficientes aj são denominados resíduos. O coeficiente aj do j-ésimo termo em (A.1) ou em (A.2) relativo a uma raiz simples de d(s) pode ser calculado por ( )( ) ( ) j j j s r n s a s r d s = = − . Para as raízes múltiplas de d(s), os coeficientes dos primeiros p termos em (A.2) valem 1 1 ( )( ) , 1,...,( )! ( ) j p j p j p j s r d n s a s r j p p j d sds − − = = − = − Alternativamente todos os coeficientes podem ser encontrados reescrevendo-se a expressão expandida em frações parciais, usando o denominador comum e comparando-se os coeficientes do numerador com os coeficientes de n(s). Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 133 - Apêndice B – Fator de mérito Um conceito bastante tradicional em circuitos é o de fator de mérito definido no contexto da resposta de circuitos a sinais senoidais (com condições iniciais nulas). A fator de mérito Q de um circuito com elementos reativos é (por definição) o múltiplo 2pi da razão entre a máxima energia armazenada pelo circuito, Wmax, e a energia Wd por ele dissipada num ciclo do sinal. d max W WQ pi2= O fator de mérito é muitas vezes também chamado de fator de qualidade. Circuito RL série Seja IjmeII ∠= o fasor corrente de freqüência ω [rd/s] num circuito RL série (Figura B.1). L R I FIGURA B.1 – Circuito RL série. A energia dissipada num ciclo vale R I RIW meficazd ω pi ω pi 222 == . A máxima energia armazenada será 2 2 1 mmax LIW = . Portanto, R L R I LI W WQ m m d max ω ω pi pipi === 2 2 2 1 22 . Circuito RC série Sejam oj mCC eVV 0∠ = e IjmeII ∠ = os fasores de tensão e corrente de freqüência ω [rd/s] no circuito RC série da Figura B.2. C VC - + RI FIGURA B.2 – Circuito RC série. A energia dissipada num ciclo vale R I RIW meficazd ω pi ω pi 222 == . A máxima energia armazenada será 2 2 2 2 1 2 1 mmCmax CICVW ω == . Portanto, Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 134 - RC R I CI W WQ m m d max ω ω pi ωpipi 12 1 22 2 2 2 === . Circuito RLC série O diagrama do circuito RLC série para o qual será determinado o fator de mérito encontra-se na Figura B.3. Ij meII ∠ = C LRV - + FIGURA B.3 – Circuito RLC série. A relação entre tensão e corrente vale 1( ) ( ) ( )V s sL R I s sC = + + . Em regime permanente senoidal (s = jω) valerá, portanto 1( )V j L R Ij Cω ω= + + . Quando o circuito da Figura B.3 estiver conectado a uma fonte de tensão senoidal, o módulo do fasor de corrente terá um máximo em freqüência para ω = ω0. Essa freqüência é chamada de freqüência de ressonância. Nesta freqüência LCCjLj 11 2 0 0 0 =⇒−= ωω ω . Na freqüência de ressonância, a energia armazenada será igual a 2 2 0 2 2 1 2 1 mmmax CILIW ω == . Portanto, RC R I CI Q m m 0 0 2 2 2 0 0 12 1 2 ω ω pi ω pi == , ou ainda R L R I LI Q m m 0 0 2 2 0 2 1 2 ω ω pi pi == A quantidade Q0 tem relação direta com a resposta em freqüência. Para verificar isso, vamos determinar as freqüências à direita e à esquerda de ω0, nas quais a potência média dissipada RIeficaz2 cai à metade do seu valor máximo (que ocorre em ω0). Estes são chamados de pontos de meia potência. Nessas freqüências, o módulo do fasor corrente cai a )/( 21 vezes seu valor máximo. Para tais freqüências tem-se R C L CjLj =−=+ ωωωω 11 , com as duas possibilidades RL C =− 1 1 1 ω ω e R C L =− 2 2 1 ω ω . Daí calcula-se Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 135 - 2 1 ( ) 4 2 RC RC LC LC ω − + + = e 2 2 ( ) 4 2 RC RC LC LC ω + + = . Como L/R=− 12 ωω conclui-se que 12 00 0 0 1 ωω ωω ω − === R L RC Q Circuito RLC paralelo O diagrama do circuito RLC paralelo para o qual será determinado o fator de mérito encontra-se na Figura B.4. GL C + - Ij meII ∠ = Vj meVV ∠ = FIGURA B.4 – Circuito RLC paralelo. A relação entre corrente e tensão vale 1( ) ( ) ( )I s sC G V s sL = + + . Em regime permanente senoidal (s = jω) valerá, portanto 1( )I j C G Vj Lω ω= + + Quando o circuito da Figura B.4 estiver conectado e uma fonte de corrente senoidal, o módulo do fasor de tensão terá um máximo em frequência para ω = ω0. Esta é a freqüência de ressonância. Nessa freqüência LCLjCj 11 2 0 0 0 =⇒= ωω ω . Na freqüência de ressonância, a energia armazenada será igual a 2 2 0 2 2 1 2 1 mmmax V L CVW ω == . A energia dissipada num ciclo vale, em termos de Vm GVGVW meficazd 0 2 2 0 2 ω pi ω pi == Portanto, G C GV CV Q m m 0 0 2 2 0 2 1 2 ω ω pi pi == , ou ainda LG GV V LQ m m 0 0 2 2 2 0 0 12 1 2 ω ω pi ω pi == Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 136 - Também neste caso a quantidade Q0 tem relação direta com a resposta em freqüência. Para verificar isso, vamos determinar as freqüências à direita e à esquerda de ω0 nas quais a potência média dissipada GVeficaz2 cai à metade do seu valor máximo (que ocorre em ω0). Nessas freqüências, o módulo do fasor tensão cai a )/( 21 vezes seu valor máximo. Para tais freqüências tem-se G L C LjCj =−=+ ωωωω 11 , com as duas possibilidades GC L =− 1 1 1 ω ω e G L C =− 2 2 1 ω ω . Daí calcula-se 2 1 ( ) 4 2 LG LG LC LC ω − + + = e 2 2 ( ) 4 2 LG LG LC LC ω + + = . Como C/G=− 12 ωω conclui-se que 12 0 0 0 0 1 ωω ω ω ω − === LGG CQ Parametrização Q, ωωωω0 No caso do circuito RLC série (Figura A.3), a função de transferência de v(t) para i(t) é 2 2 20 0 0 ( ) 1 1 1( ) 1 1( ) ( ) s I s s sG s RV s L L sL R s s s s sC L LC Q ω ω = = = = + + + + + + No caso do circuito RLC paralelo (Figura A.4) a função de transferência de i(t) para v(t) é 2 2 20 0 0 ( ) 1 1 1( ) 1 1( ) ( ) p V s s sG s GI s C C sC G s s s s sL C LC Q ω ω = = = = + + + + + + Em ambos os casos, as quantidades Q0 e ω0 podem ser entendidas como parâmetros da família dos circuitos RLC série ou paralelo. Esses parâmetros relacionam-se diretamente com os parâmetros α e β usados no estudo de circuitos dinâmicos no Capítulo 6. As expressões que definem α e β em função de Q0 e ω02 são obtidas por inspeção 2 0 0 0 2 ωβωα == ,Q . Estendendo o conceito, pode-se utilizar uma parametrização (Q0, ω0) para denominadores de funções de transferência de circuitos de segunda ordem em
