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CIRCUITOS ELÉTRICOS I (8)

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Figura 10.12. Quais destas interconexões são circuitos recíprocos? 
 
 
Na 
 
Nb 
 
FIGURA 10.11 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 132 - 
Apêndice A – Frações parciais 
 
Uma função racional 
( )( ) ( )
n sG s
d s
= 
com grau do denominador maior do que o grau do numerador pode ser expandida em frações parciais na 
forma 
1
1
( ) ... N
N
aaG s
s r s r
= + +
− −
 (A.1) 
quando as raízes r1, ..., rN de d(s) forem simples, e na forma 
11 2
21 11 1
( ) ... ...
( ) ( )
p p N
p
p N
a a aa aG s
s r s r s rs r s r
+
+
= + + + + + +
− − −
− −
 (A.2) 
quando a primeira raiz, r1, de d(s) tiver multiplicidade p (com as demais raízes simples). 
Os coeficientes aj são denominados resíduos. O coeficiente aj do j-ésimo termo em (A.1) ou em (A.2) 
relativo a uma raiz simples de d(s) pode ser calculado por 
( )( ) ( )
j
j j
s r
n s
a s r
d s
=
 
= − 
 
. 
Para as raízes múltiplas de d(s), os coeficientes dos primeiros p termos em (A.2) valem 
1
1 ( )( ) , 1,...,( )! ( )
j
p j
p
j p j
s r
d n s
a s r j p
p j d sds
−
−
=
   
= − =  
−    
 
Alternativamente todos os coeficientes podem ser encontrados reescrevendo-se a expressão expandida em 
frações parciais, usando o denominador comum e comparando-se os coeficientes do numerador com os 
coeficientes de n(s). 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 133 - 
Apêndice B – Fator de mérito 
 
Um conceito bastante tradicional em circuitos é o de fator de mérito definido no contexto da resposta de 
circuitos a sinais senoidais (com condições iniciais nulas). A fator de mérito Q de um circuito com elementos 
reativos é (por definição) o múltiplo 2pi da razão entre a máxima energia armazenada pelo circuito, Wmax, e a 
energia Wd por ele dissipada num ciclo do sinal. 
d
max
W
WQ pi2= 
O fator de mérito é muitas vezes também chamado de fator de qualidade. 
Circuito RL série 
Seja IjmeII ∠= o fasor corrente de freqüência ω [rd/s] num circuito RL série (Figura B.1). 
L
R
I
 
FIGURA B.1 – Circuito RL série. 
A energia dissipada num ciclo vale 
R
I
RIW meficazd ω
pi
ω
pi 222
== . 
A máxima energia armazenada será 
2
2
1
mmax LIW = . 
Portanto, 
R
L
R
I
LI
W
WQ
m
m
d
max ω
ω
pi
pipi === 2
2
2
1
22 . 
Circuito RC série 
Sejam oj
mCC eVV
0∠
= e IjmeII
∠
= os fasores de tensão e corrente de freqüência ω [rd/s] no circuito RC 
série da Figura B.2. 
C VC
-
+
RI
 
FIGURA B.2 – Circuito RC série. 
A energia dissipada num ciclo vale 
R
I
RIW meficazd ω
pi
ω
pi 222
== . 
A máxima energia armazenada será 
2
2
2
2
1
2
1
mmCmax CICVW
ω
== . 
Portanto, 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 134 - 
RC
R
I
CI
W
WQ
m
m
d
max
ω
ω
pi
ωpipi
12
1
22 2
2
2
=== . 
Circuito RLC série 
O diagrama do circuito RLC série para o qual será determinado o fator de mérito encontra-se na Figura B.3. 
Ij
meII
∠
=
C LRV
-
+
 
FIGURA B.3 – Circuito RLC série. 
A relação entre tensão e corrente vale 
1( ) ( ) ( )V s sL R I s
sC
= + + . 
Em regime permanente senoidal (s = jω) valerá, portanto 
1( )V j L R Ij Cω ω= + + . 
Quando o circuito da Figura B.3 estiver conectado a uma fonte de tensão senoidal, o módulo do fasor de 
corrente terá um máximo em freqüência para ω = ω0. Essa freqüência é chamada de freqüência de 
ressonância. Nesta freqüência 
LCCjLj
11 2
0
0
0 =⇒−= ωω
ω . 
Na freqüência de ressonância, a energia armazenada será igual a 
2
2
0
2
2
1
2
1
mmmax CILIW
ω
== . 
Portanto, 
RC
R
I
CI
Q
m
m
0
0
2
2
2
0
0
12
1
2
ω
ω
pi
ω
pi == , ou ainda 
R
L
R
I
LI
Q
m
m 0
0
2
2
0
2
1
2 ω
ω
pi
pi == 
A quantidade Q0 tem relação direta com a resposta em freqüência. Para verificar isso, vamos determinar as 
freqüências à direita e à esquerda de ω0, nas quais a potência média dissipada RIeficaz2 cai à metade do seu 
valor máximo (que ocorre em ω0). Estes são chamados de pontos de meia potência. Nessas freqüências, o 
módulo do fasor corrente cai a )/( 21 vezes seu valor máximo. Para tais freqüências tem-se 
R
C
L
CjLj =−=+ ωωωω
11
, 
com as duas possibilidades 
RL
C
=− 1
1
1
ω
ω
 e R
C
L =−
2
2
1
ω
ω . 
Daí calcula-se 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 135 - 
2
1
( ) 4
2
RC RC LC
LC
ω
− + +
= e 
2
2
( ) 4
2
RC RC LC
LC
ω
+ +
= . 
Como L/R=− 12 ωω conclui-se que 
12
00
0
0
1
ωω
ωω
ω −
===
R
L
RC
Q 
Circuito RLC paralelo 
O diagrama do circuito RLC paralelo para o qual será determinado o fator de mérito encontra-se na Figura 
B.4. 
 
GL C
+
-
Ij
meII
∠
=
Vj
meVV
∠
=
 
FIGURA B.4 – Circuito RLC paralelo. 
A relação entre corrente e tensão vale 
1( ) ( ) ( )I s sC G V s
sL
= + + . 
Em regime permanente senoidal (s = jω) valerá, portanto 
1( )I j C G Vj Lω ω= + + 
Quando o circuito da Figura B.4 estiver conectado e uma fonte de corrente senoidal, o módulo do fasor de 
tensão terá um máximo em frequência para ω = ω0. Esta é a freqüência de ressonância. Nessa freqüência 
LCLjCj
11 2
0
0
0 =⇒= ωω
ω . 
Na freqüência de ressonância, a energia armazenada será igual a 
2
2
0
2
2
1
2
1
mmmax V
L
CVW
ω
== . 
A energia dissipada num ciclo vale, em termos de Vm 
GVGVW meficazd
0
2
2
0
2
ω
pi
ω
pi
== 
Portanto, 
G
C
GV
CV
Q
m
m 0
0
2
2
0
2
1
2 ω
ω
pi
pi == , ou ainda 
LG
GV
V
LQ
m
m
0
0
2
2
2
0
0
12
1
2
ω
ω
pi
ω
pi == 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 136 - 
Também neste caso a quantidade Q0 tem relação direta com a resposta em freqüência. Para verificar isso, 
vamos determinar as freqüências à direita e à esquerda de ω0 nas quais a potência média dissipada GVeficaz2 
cai à metade do seu valor máximo (que ocorre em ω0). Nessas freqüências, o módulo do fasor tensão cai a 
)/( 21 vezes seu valor máximo. Para tais freqüências tem-se 
G
L
C
LjCj =−=+ ωωωω
11
, 
com as duas possibilidades 
GC
L
=− 1
1
1
ω
ω
 e G
L
C =−
2
2
1
ω
ω . 
Daí calcula-se 
2
1
( ) 4
2
LG LG LC
LC
ω
− + +
= e 
2
2
( ) 4
2
LG LG LC
LC
ω
+ +
= . 
Como C/G=− 12 ωω conclui-se que 
12
0
0
0
0
1
ωω
ω
ω
ω
−
===
LGG
CQ 
Parametrização Q, ωωωω0 
No caso do circuito RLC série (Figura A.3), a função de transferência de v(t) para i(t) é 
2 2 20
0
0
( ) 1 1 1( ) 1 1( ) ( )
s
I s s sG s
RV s L L
sL R s s s s
sC L LC Q
ω
ω
   
= = = =   
   + + + + + +
 
No caso do circuito RLC paralelo (Figura A.4) a função de transferência de i(t) para v(t) é 
2 2 20
0
0
( ) 1 1 1( ) 1 1( ) ( )
p
V s s sG s GI s C C
sC G s s s s
sL C LC Q
ω
ω
   
= = = =   
   + + + + + +
 
Em ambos os casos, as quantidades Q0 e ω0 podem ser entendidas como parâmetros da família dos circuitos 
RLC série ou paralelo. Esses parâmetros relacionam-se diretamente com os parâmetros α e β usados no 
estudo de circuitos dinâmicos no Capítulo 6. As expressões que definem α e β em função de Q0 e ω02 são 
obtidas por inspeção 
2
0
0
0
2
ωβωα == ,Q . 
Estendendo o conceito, pode-se utilizar uma parametrização (Q0, ω0) para denominadores de funções de 
transferência de circuitos de segunda ordem em