Relatório sobre lançamento horizontal e energia cinética rotacional

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Campus Pau dos Ferros 
Bacharelado em Ciências e Tecnologia 
 
 
 
 
Lançamento horizontal e energia cinética rotacional 
 
 
Francisco Antonio de Paiva Bessa 
Márcia Gabrielle de Oliveira Costa 
Maria Aparecida de Andrade Santana 
Reirysson Thiago da Costa 
Stefany Gomes Dantas 
 
 
 
 
Pau dos Ferros 
Agosto – 2019 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Campus Pau dos Ferros 
Bacharelado em Ciências e Tecnologia 
 
 
 
Lançamento horizontal e energia cinética rotacional 
 
Francisco Antonio de Paiva Bessa 
Márcia Gabrielle de Oliveira Costa 
Maria Aparecida de Andrade Santana 
Reirysson Thiago da Costa 
Stefany Gomes Dantas 
 
 
 
Relatório Apresentado à Disciplina 
Laboratório de Mecânica Clássica 
ministrada pelo Prof. José Wagner 
em complementação a um dos 
requisitos para a obtenção da Nota 
da Unidade II. 
 
Pau dos Ferros 
Agosto – 2019 
 
 
Sumário 
 
1. Introdução ............................................................................................................................. 4 
2. Objetivos ............................................................................................................................... 6 
3. Fundamentação Teórica ........................................................................................................ 7 
3.1. Energia Cinética ............................................................................................................ 7 
3.2. Lançamento horizontal .................................................................................................. 8 
4. Materiais e Métodos .............................................................................................................. 9 
5. Resultado e Discussões ....................................................................................................... 10 
6. Conclusões .......................................................................................................................... 15 
7. Referências Bibliográficas .................................................................................................. 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
Lançamento horizontal é composto por um movimento horizontal e vertical. 
Segundo Galileu, dentro desse movimento composto, cada componente se movimenta no 
mesmo intervalo de tempo, como se outros não existissem, sendo assim, o princípio da 
simultaneidade. Sendo um corpo lançado horizontalmente, esse descreve o movimento 
parabólico em relação a terra. O lançamento horizontal é composto de dois movimentos: 
queda livre e movimento horizontal (CAVALCANTE, 2019). 
No movimento de queda livre o corpo se em move em razão da ação da gravidade. 
O movimento é uniformemente variado, sendo a aceleração da gravidade constante. Em 
relação ao movimento horizontal, a velocidade inicial permanece constante, sendo o 
movimento uniforme. A velocidade final do trajeto é a mesma do início 
(CAVALCANTE, 2019). 
Temos as seguintes equações para o lançamento horizontal: 
• Movimento de queda livre: 
Y = gt² 
• Movimento horizontal: 
 X = x0+ V0t 
Temos que a energia cinética está relacionada com o movimento, a mesma 
depende da massa e da velocidade do corpo. Ela manifesta-se sobre o corpo, quando esta 
uma força realizando trabalho. A equação da energia cinética, levando em consideração 
que trabalho é quantidade de energia (CAVALCANTE, 2019). 
Logo, teremos o seguinte: 
Ec = 
𝑚𝑣²
2
 
A energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira em torno de um eixo 
fixo é a soma das energias cinéticas particulares de cada corpo. Para encontrar a equação, 
devemos primeiro ter o momento de inércia (I), que é dado pela seguinte equação: 
I = ∑ (𝑚𝑖𝑟𝑖2)𝑖 
 Assim, podemos citar a equação da energia cinética rotacional como sendo a 
seguinte: 
K = 
1
2
 𝐼² 
A taxa de variação de um ângulo é a mesma para todas as posições de um corpo, 
chamamos assim essa variação de velocidade angular . Logo, 
 = 
𝑣𝑖
𝑟𝑖
 
Se a taxa de variação é a mesma para todas as posições de um corpo, analogamente 
chamamos de aceleração angular, onde: 
² = 0²+ 2 
 (EDISCIPLINAS, 2019). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Objetivos 
 
O presente trabalho teve como objetivo determinar a velocidade de lançamento de 
uma esfera sólida que desce em um plano inclinado a partir das equações da cinemática, 
da conservação de energia mecânica e também considerando a rotação que ocorre da 
esfera. 
 
 
 
 
 
3. Fundamentação Teórica 
3.1. Energia Cinética 
Segundo o MUNDO DA EDUCAÇÃO (2019), a energia cinética tem relação 
direta com o estado de movimento de um corpo. Essa energia é caracterizada como uma 
grandeza escalar, já que depende de uma massa e de um módulo de velocidade do corpo. 
Nesta situação, quanto maior o módulo da velocidade, maior será a energia cinética. A 
fórmula da energia cinética leva em conta a velocidade e a massa de um corpo. Ela é 
usada para calcular a energia dos corpos em movimento. 
𝐸𝑐=
𝑚. 𝑣2
2
 
Onde, 
• 𝐸𝑐: Energia cinética, também pode ser representada pela letra K (J); 
• m: Massa do corpo (kg); 
• v: Velocidade (m/s). 
 O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se observa 
sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. No movimento de translação, 
quando a mesma força é aplicada a objetos de massas diferentes, observam-
se acelerações diferentes. No movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado 
em objetos idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se acelerações 
angulares diferentes. Não é a massa que afeta a velocidade angular, mas a distribuição da 
massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa através de uma quantidade 
denominada momento de inércia. O momento de inércia I de um corpo é definido em 
relação a um eixo de rotação. (TODA MATÉRIA, 2019) 
 Figura 1: Variáveis da rotação 
 
Fonte: EDISCIPLINAS (2019) 
O movimento é de rotação é dada pela seguinte expressão: 
𝐸𝑐𝑟=
1
2
 . (𝐼. ɯ2) 
Onde, 
• Ecr: Energia cinética rotacional; 
• I: Momento de inercia; 
• ɯ: Velocidade angular. 
3.2. Lançamento horizontal 
No lançamento horizontal, o objeto realiza um movimento curvilíneo, isso 
acontece porque ele executa dois movimentos, um na horizontal e o outro na vertical. Na 
horizontal sua velocidade (Vx) será constante durante todo o movimento, dessa forma o 
objeto realizará um movimento retilíneo uniforme, podemos então aplicar a função 
horária da posição para o MRU e determinar o alcance: (MUNDO EDUCAÇÃO, 2019) 
X= X0+VT 
Conhecendo que a diferença entre a posição final e a posição inicial, no eixo X 
condiz ao próprio alcance horizontal (A), temos que, (MUNDO EDUCAÇÃO, 2019) 
A= VxT 
Segundo o MUNDO DA EDUCAÇÃO (2019), durante o movimento vertical, na 
medida em que o objeto cai, sua velocidade vai se tornando cada vez maior, isso se explica 
por causa aceleração da gravidade, por essa razão no seu eixo Y, realizará um movimento 
retilíneo uniformemente variado, assim sendo, aplicamos a função horária da posição para 
o MRUV: 
Y= Y0+V0T+(1/2)gT
2 
Sabendo que a velocidade inicial é nula e que sua posição inicial e final 
corresponde à altura (H) da queda, então: 
H= (1/2)gT2 
(MUNDO EDUCAÇÃO, 2019). 
 
4. Materiais e Métodos 
 
Foram utilizados os seguintes materiais para a realização dos métodos: 
• Suporte vertical com rampa para lançamento de projéteis(conjunto de 
mecânica Arete – EQ005) (CIDEP, 2019); 
• Papel carbono; 
• Esfera sólida; 
• Régua milimetrada; 
• Calculadora cientifica; 
• Software Excel. 
A partir dos materiais, foi utilizado dos seguintes métodos para a obtenção dos 
resultados: 
• Primeiramente, foi determinado 5 pontos de altura na rampa para o 
lançamento da esfera sólida; 
• Em seguida, ao realizar cada lançamento, foi medido o alcance que a esfera 
conseguia, ou seja, o ponto em que a mesma tocava o papel carbono e ficava 
o ponto, a partir deste ponto era medido o alcance em relação ao ponto zero 
que foi o local onde o pêndulo se encontrava; 
• Por último, com todos os dados em mãos, fez o uso de alguns cálculos 
matemáticos e físicos, nos quais dentre eles podem-se citar, a média, o desvio 
padrão e a velocidade de lançamento. 
 
 
 
 
 
 
5. Resultado e Discussões 
 
A partir dos métodos realizados no laboratório de mecânica clássica situado na 
UFERSA Campus Pau dos Ferros – RN, obtivemos os seguintes dados situados nas 
tabelas a seguir: 
 Tabela 1: Alcance de cada altura de lançamento 
Altura (m) X1 (m) X2 (m) X3 (m) X4 (m) X5 (m) 
0,01 0,126 0,127 0,125 0,125 0,129 
0,03 0,200 0,201 0,196 0,198 0,198 
0,05 0,246 0,244 0,241 0,240 0,244 
0,07 0,275 0,275 0,280 0,279 0,286 
0,09 0,309 0,312 0,308 0,313 0,315 
 Vale ressaltar que para cada altura de lançamento, foi realizado o cálculo da média 
e desvio padrão do alcance. Logo, para a altura de 0,01 m foi obtido um alcance médio 
de 0,126 m e um desvio padrão de 0,002 m. Para a altura de 0,03 m obteve-se um alcance 
médio de 0,199 m e desvio padrão de 0,002 m. Seguindo a mesma ordem, para a altura 
de 0,05 m foi possível calcular um alcance médio de 0,243 m e com o desvio padrão de 
0,002 m. Já para a altura de 0,07 m, a mesma obteve um alcance médio de 0,279 m com 
um desvio padrão de 0,005 m. E por fim, para a altura de 0,09 m, foi obtido o valor de 
0,311 m para o alcance médio com um desvio padrão de 0,003 m. 
Logo em seguida, com os dados do alcance e a altura, foi calculada a velocidade 
de lançamento utilizando o princípio da conservação da energia mecânica, a qual essa foi 
calculada a partir da seguinte equação: 
Vx = √2𝑔ℎ 
 A partir do uso da equação anterior com os dados contidos na tabela 1, foi possível 
construir a seguinte tabela com as velocidades: 
 
 
Tabela 2: Velocidades de lançamento de cada altura utilizando o princípio da 
conservação da energia mecânica 
Pontos Velocidade (m/s) 
Vx1 0,44 
Vx2 0,77 
Vx3 0,99 
Vx4 1,17 
Vx5 1,33 
Vale salientar que cada Vx é a velocidade de lançamento de cada altura que foi 
colocada, ou seja, no ponto Vx1 foi utilizada a altura no primeiro ponto, na qual foi de 
0,01 m, no ponto Vx2 a altura no segundo ponto, que foi de 0,03 m, e assim 
sucessivamente até o último ponto de altura. 
E com base nos dados de alcance foi o cálculo das velocidades de lançamento 
utilizando a cinemática, a qual essa utiliza a seguinte equação: 
Vx = X√
𝑔
2𝐻
 
 Sendo que o “H” foi a medição feita do papel até o ponto em que a esfera saia do 
seu lançamento, no qual foi de 440,0 mm (0,44 m) e o X foi o alcance médio de cada 
ponto de altura. Logo, foi obtido os seguintes resultados dispostos na tabela a seguir: 
Tabela 3: Velocidades de lançamento de cada altura utilizando a cinemática 
Pontos Velocidade (m/s) 
Vx1 0,42 
Vx2 0,66 
Vx3 0,81 
Vx4 0,93 
Vx5 1,03 
 Já ao analisarmos o movimento com a energia cinética de rotação, podemos obter 
novas velocidades, já que utilizando a conservação de energia mecânica é desprezado os 
efeitos da resistência do ar e o movimento rotacional que a esfera sólida realiza durante o 
seu movimento. Logo, temos que ao considerarmos a energia rotacional realizada pela 
esfera, teremos que utilizar a seguinte equação para obter a velocidade de lançamento: 
Vx = √
10
7
gh 
 Assim, foi possível obter as seguintes velocidades dispostas na tabela a seguir: 
Tabela 4: Velocidades de lançamento de cada altura a partir do princípio da 
conservação da energia mecânica e considerando a energia rotacional 
Pontos Velocidade (m/s) 
Vx1 0,37 
Vx2 0,64 
Vx3 0,83 
Vx4 0,98 
Vx5 1,11 
 A partir das velocidades, podemos verificar de prontidão que obtivemos uma 
diminuição da velocidade em todos os pontos. Logo, podemos considerar que a 
velocidade com a energia rotacional é uma velocidade correta. Assim, pode-se fazer do 
uso da fórmula da porcentagem de erro, na qual é descrita da seguinte forma: 
E% = 
|𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑜−𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜|
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑜
 . 100 
 A partir da fórmula, e considerando que o valor correto foi o valor da velocidade 
obtida a partir da velocidade utilizando apenas a conservação da energia mecânica (com 
a contribuição da energia rotacional), e o valor obtido foi o valor utilizando a equação da 
cinemática, foi possível encontrar as seguintes porcentagens de erro dispostos na tabela a 
seguir: 
 
 
Tabela 5: Porcentagem dos erros em cada ponto 
 
Pontos Erro (%) 
Vx1 13,5 
Vx2 3,12 
Vx3 2,40 
Vx4 5,10 
Vx5 7,20 
 Ao comparamos as velocidades obtidas, podemos perceber que quando 
consideramos a energia rotacional a velocidade diminui de valor, por conta que a energia 
rotacional é um dos fatores que afeta diretamente nesta velocidade, além de que, apenas 
utilizando a conservação de energia é desconsiderado esse fator. Do mesmo modo, pode-
se citar a resistência do ar, na qual também é desconsiderada pela equação da conservação 
de energia, e logo, podemos ver que se ao considerarmos a mesma a equação como foi 
considerada a energia rotacional, irá haver uma diminuição da velocidade, e aproximando 
de um valor mais exato e com menor porcentagem de erro. 
Além disso, a partir da equação velocidade de lançamento utilizando a cinética, 
que é a seguinte: 
Vx = X√
𝑔
2𝐻
 
 Foi possível obter o valor da altura “H” pelo método de regressão linear, logo, 
obtivemos o seguinte: 
Primeiramente elevamos tudo ao quadrado para tirar a raiz presente na formula 
Vx² = (X√
𝑔
2𝐻
 )² 
Vx² = X². 
𝑔
2𝐻
 
 Agora, isolamos o H 
H = 
𝑥2.𝑔
2.(𝑉𝑥)²
 
 E a partir desta equação obtivemos as seguintes alturas para cada valor de X e Vx 
diferente: 
H1 = 0,44055 m (0,44 m) 
H2 = 0,44501237 m (0,44 m) 
H3 = 0,44055 m (0,44 m) 
H4 = 0,44055 m (0,44 m) 
H5 = 0,446271368 m (0,45 m) 
 Observação: colocamos o resultado sem o arredondamento e com o 
arredondamento, no qual o sem é fora do parêntese e o com é dentro. 
 A partir da altura estimada, podemos ver a mesma foi consideravelmente igual, já 
que a partir da medição utilizando a régua e medindo do ponto zero do eixo Y até o ponto 
em que a esfera era solta obtivemos 0,44 m em sua medição, e a partir da equação pela 
regressão linear obtivemos uma altura bem aproximada do valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Conclusões 
 
Assim entendemos que uma esfera girando tem uma energia devido ao seu 
movimento de rotação, no entanto o movimento do centro de massa do objeto se apresenta 
no nula. Desta forma devemos obter outra relação que concilie a energia ao movimento 
de rotação da esfera 
Portanto, diante do trabalho realizado com análise dos dados obtidos, este 
experimento trouxe resultados satisfatórios considerando todas as condições para a 
realização do mesmo, determinando que é possível provar que a teoria e a prática 
convergem para um resultado em que se pretende alcançar. 
 
 
 
 
 
 
7. Referências Bibliográficas 
 
BRASIL ESCOLA, disponível em:< https://brasilescola.uol.com.br/fisica/energia-cinetica.htm>. Acesso em 02 de agosto de 2019. 
CAVALCANTE. K. G. “Lançamento horizontal no vácuo”; Brasil escola. Disponível 
em:<https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lancamento-horizontal-no-vacuo.htm>. 
Acesso em 03 de agosto de 2019. 
CIDEPE, disponível em:< https://www.cidepe.com.br/index.php/br/produtos-
interna/conjunto-de-mecanica-arete-8063>. Acesso em 31 de julho de 2019. 
EDISCIPLINAS, disponível em:< 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/131949/mod_resource/content/1/9-
Rotacao_inercia.pdf>. Acesso em 02 de agosto de 2019. 
MUNDO EDUCAÇÃO, disponível em:< 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/lancamento-horizontal.htm>. Acesso 
em 02 de agosto de 2019. 
TODA MATÉRIA, disponível em:< https://www.todamateria.com.br/energia-
cinetica/>. Acesso em 02 de agosto de 2019.