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Otimizac¸a˜o Esta´tica Versa˜o Preliminar. Sujeita a alterac¸o˜es. Fa´bio Augusto Reis Gomes fabio@cepe.ecn.br March 28, 2005 Abstract Nestas notas apresentamos me´todos de otimizac¸a˜o esta´tica, considerando prob- lemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revisa˜o de ca´lculo e a´lgebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizac¸a˜o sem restric¸a˜o e com restric¸o˜es de igualdade e de desigualdade. Contents I Revisa˜o 5 1 Ca´lculo de uma varia´vel 6 1.1 Algumas Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Regras Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Identificac¸a˜o de Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Func¸o˜es com Apenas um Ponto Crı´tico . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Func¸o˜es com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20 1.5.4 Func¸o˜es cujo Domı´nio e´ um Intervalo Fechado Finito . . . 20 1.6 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ´Algebra Linear 29 2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis 34 3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Representac¸a˜o Geome´trica das Func¸o˜es . . . . . . . . . . 36 3.3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40 3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43 3.4 Func¸a˜o Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Curvas de Nı´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II Otimizac¸a˜o Esta´tica 49 4 Formas Quadra´ticas e Matrizes Definidas 50 4.1 Formas Quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Formas Quadra´ticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sime´trica . . . . . . . . . . . . 53 4.5 Restric¸o˜es Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 Otimizac¸a˜o Irrestrita 58 5.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Condic¸o˜es de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Condic¸a˜o de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3.1 Condic¸o˜es Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3.2 Condic¸o˜es Necessa´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2 5.4 Ma´ximo Global e Mı´nimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.5 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5.1 Maximizac¸a˜o do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68 5.5.4 Concorreˆncia Perfeita: Produc¸a˜o de dois Bens . . . . . . . 70 5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71 5.6 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6 Otimizac¸a˜o Restrita I 84 6.1 Restric¸o˜es com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.1 Duas Varia´veis e uma Restric¸a˜o de Igualdade . . . . . . . 84 6.1.2 Va´rias Restric¸o˜es de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1.3 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.2 Restric¸o˜es de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2.1 Uma Restric¸a˜o de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.2 Caso com va´rias restric¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.3 Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.3 Restric¸o˜es de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114 7 Otimizac¸a˜o Restrita II 116 7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.1.1 Uma Restric¸a˜o de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.1.2 Va´rias Restric¸o˜es de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.1.3 Restric¸o˜es de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118 3 7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.1 Problemas sem restric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2.2 Problemas com restric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.3 Condic¸a˜o de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4 Part I Revisa˜o 5 Chapter 1 Ca´lculo de uma varia´vel 1.1 Algumas Definic¸o˜es Definition 1 Uma func¸a˜o � e´ estritamente crescente se �� � �� � � ���� � � ���� Example 1 Examine se a func¸a˜o � ��� � �� � � e´ estritamente crescente. Tome �� e �� tais que �� � ��. Enta˜o queremos verificar se � ���� � � ���� ��� � � � ��� � � �� � �� Obviamente, tal func¸a˜o e´ estritamente crescente. Definition 2 Uma func¸a˜o � e´ estritamente decrescente se �� � �� � � ���� � � ���� 6 Example 2 Examine se a func¸a˜o � ��� � ��� e´ estritamente decrescente. Tome �� e �� tais que �� � ��. Enta˜o queremos verificar se � ���� � � ���� ���� � ���� ��� � � � � �� � �� Obviamente, tal func¸a˜o e´ estritamente decrescente. Observe que se uma func¸a˜o � passa de decrescente para crescente em ��, isto implica que ���� � ����� e´ um mı´nimo local desta func¸a˜o, isto e´, � ���� � � ��� para todo � na vizinhanc¸a de ��. Por outro lado, se uma func¸a˜o passa de crescente para decrescente em ��, isto implica que ���� � ����� e´ um ma´ximo local desta func¸a˜o, isto e´, � ���� � � ��� para todo � na vizinhanc¸a de ��. Definition 3 Se uma func¸a˜o e´ deriva´vel em cada ponto �� de seu domı´nio �, dizemos que tal func¸a˜o e´ deriva´vel ou diferencia´vel. Definition 4 Se a func¸a˜o � ��� possui derivadas de ordem �� �� ���� � e se a � � � �� derivada de � � ��� � ��� ��� ��� e´ uma func¸a˜o contı´nua, no´s dizemos que � e´ � vezes continuamente diferencia´vel ou � � �� para abreviar. Remark 1 Para � � � ao inve´s de � vez continuamente diferencia´vel dizemos apenas continuamente diferencia´vel. 7 1.2 Regras de Derivac¸a˜o 1.2.1 Regras Ba´sicas Seja � � � ���, � � � ��� e � uma constante. 1. Constante ��� � 2. Multiplicac¸a˜o por uma constante �� ���� � ���� 3. Soma (subtrac¸a˜o) �� ��� �� � ������� 4. Multiplicac¸a˜o �� ���� � ���� � ���� 5. Divisa˜o �� �� � � � ����� ���� �� 1.2.2 Regra da Cadeia A regra da cadeia e´ usada para derivar func¸o˜es formadas pela composic¸a˜o de outras func¸o˜es. Se � e � sa˜o func¸o˜es no ��, a func¸a˜o � obtida pela aplicac¸a˜o da func¸a˜o � ao resultadode � ��� e´ chamada func¸a˜o composta das func¸o˜es � e �, de modo que � ��� � � � ���� ou � ��� � �� � �� ��� A regra da cadeia e´ usada para derivar func¸o˜es compostas e estabelece que � �� � �� ����� � �� �� ���� �� ��� 8 1.2.3 Outras Regras 1. Poteˆncia ��� � � �������� 2. Exponencial �� � � ���� �� � � � � � ���� 3. Logaritmo �� � ��� � � � ��� �� ���� ��� � � � � ��� 4. Trigonome´tricas �� � ��� � ��� ������ �� ��� ��� � � � ������ ���� ��� � ��� � ������ �� ��� ��� � � ���� ������ �� ��� ��� � ��� ��� �� ������ �� ��� ��� � � ��� ��� ��� ������ �� � �� ��� � � �� ����� �� ��� �� ��� � �� �� ����� ���� �� ��� � � � � �� ��� �� ��� �� ��� � � � �� � ���� 9 Example 3 � �� � �� � ��� � � � � �� � Example 4 � �� �� �� � ��� �� ��� � ���� � ���� �� ��� � ������� � ��� �� ���� � �� Example 5 � �� � �� � � �� � � � � �� �� � � � ��� � �� �� ��� � ��� � �� ��� � ��� �� ��� � �� ��� � ��� Example 6 � �� � �� � ��� � �� � � ��� � ��� � �� ���� � ��� Example 7 � �� � ����� � ���� � � ������ � ���� Example 8 � �� � � � �� � �� �� � � ��� � �� � �� �� � ��� � � � Example 9 � �� � � � � � � Example 10 � �� � � � � ���� � � � � � � � � Example 11 � �� � � �� � � � �� � � � 10 Example 12 � �� � � �� � � � �� �� � � � Example 13 � �� � �� ��� � � �� � �� � � � � � � � Example 14 � �� � � ��� � � ��� � � ��� ���� � ��� ��� �� Example 15 � �� � � � �� � ��� � �� � � �� � ��� � ���� �� Example 16 � �� � �� � �� � � � � 1.3 Derivada Primeira Usando a derivada primeira podemos examinar se uma func¸a˜o e´ crescente ou de- crescente. Esta informac¸a˜o esta contida no sinal da derivada primeira. Theorem 1 Seja � uma func¸a˜o continuamente diferencia´vel em ��. Enta˜o: 1) se � � ���� � , existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e´ crescente� 2) se � � ���� � , existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e´ decrescente. Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e´ ana´logo). Como � e´ diferencia´vel ��� ��� � ��� � ��� � ���� � � � � ���� � 11 Logo se � e´ pequeno e positivo � ��� � ��� � ���� � . Seja �� � �� � �, enta˜o para � pequeno e positivo �� � �� � � ����� � ���� � E, portanto, � e´ crescente na vizinhanc¸a de ��. O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo. Theorem 2 Seja f uma func¸a˜o continuamente diferencia´vel no domı´nio � ��. Com isso, 1) se � � � no intervalo � � �� �, enta˜o � e´ crescente em � � ��� 2) se � � � no intervalo � � �� �, enta˜o � e´ decrescente em � � ��� 3) se f e´ crescente em � � ��, enta˜o � � � em � � ��� 4) se f e´ decrescente em � � ��, enta˜o � � � em � � ��� A derivada primeira e´ usada tambe´m para encontrar pontos crı´ticos de uma func¸a˜o � . Example 17 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente � ��� � ��� � Derivada primeira � � ��� � � Portanto, � � ��� � em todo domı´nio. Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente em todo domı´nio. Example 18 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente � ��� � �� � �� Derivada primeira � � ��� � ��� � � 12 Portanto, � � ��� � quando ��� � � �� � � Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente quando � � �� ou � � �. Example 19 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente � ��� � � �� � em que � � . Derivada primeira � � ��� � ���� � Portanto, � � ��� � quando ��� � � � � � Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente quando � � � �. Example 20 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente � ��� � �� � � em que � � . Derivada primeira � � ��� � � � ����� � � � Portanto, � � ��� � quando � � ����� � � � ���� � � � � � Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente quando � � �. 13 Definition 5 Os pontos nos quais � � ��� � ou � � ��� na˜o e´ definido sa˜o chama- dos pontos crı´ticos. Example 21 Encontre os pontos crı´ticos � ��� � �� � ��� � � ��� � ��� � � � � � � �� Example 22 Encontre os pontos crı´ticos considerando que � � . � ��� � � �� �� � � ��� � ���� � � � � � � Note � � ��� na˜o esta´ definido para � � . Pore´m este ponto foi excluı´do inicial- mente. Example 23 Encontre os pontos crı´ticos considerando que � � � ��� � �� � �� � � ��� � � � ����� � � � � � � � � Note � � ��� na˜o esta´ definido para � � . Pore´m estes pontos foram excluı´dos inicialmente. 1.4 Derivada Segunda Em muitas situac¸o˜es gostarı´amos de saber mais do que se uma func¸a˜o e´ crescente ou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se � � ��� e´ crescente ou decres- cente. Para tanto e´ preciso computar a derivada segunda, � �� ���. Caso � �� ��� � a derivada primeira e´ crescente na vizinhanc¸a de �. Se � �� ��� � a derivada segunda e´ decrescente na vizinhanc¸a de �. Definition 6 Seja � � ��. Se � �� ��� � no intervalo � , enta˜o � e´ denominada concava (concava para baixo) em � . Se � �� ��� � no intervalo � , enta˜o � e´ denominada convexa (concava para cima) em �. 14 Existe tambe´m uma definic¸a˜o para func¸o˜es coˆncavas e convexas baseada no seguinte argumento. Observando o gra´fico de uma func¸a˜o coˆncava, notamos que a reta secante ligando dois pontos quaisquer do gra´fico da func¸a˜o fica acima deste gra´fico. Para uma func¸a˜o convexa, a reta secante fica a baixo do gra´fico. Para chegarmos a esta definic¸a˜o alternativa e´ preciso aprsentar alguns conceitos. Para dois pontos e �, � �, o conjunto de pontos entre e � e´ dado pelo conjunto ��� � � �� de todas as combinac¸o˜es convexas de e �: ��� � ���� �� � ��� � � � �� Assim, o gra´fico de � em ��� e´ o conjunto de pontos ���� �� � ��� � ���� �� � ��� � � � � �� Por outro lado, a reta secante ligando os pontos � � � � �� e ��� � ���� no gra´fico de � e´ dada por ��� �� � � � � �� � � ��� � ���� � ���� �� � ��� ��� �� � � � � �� ���� para � � � ��. Definition 7 Uma func¸a˜o � e´ coˆncava (coˆncava para baixo) no intervalo � se e somente se � ���� �� � ��� � ��� �� � � � � �� ��� (1.1) para todo , � � � e para todo � � � ��. Uma func¸a˜o � e´ convexa (coˆncava para cima) no intervalo � se e somente se � ���� �� � ��� � ��� �� � � � � �� ��� (1.2) para todo , � � � e para todo � � � �� Esta definic¸a˜o e´ mais geral porque se aplica a func¸o˜es na˜o diferencia´veis. No entanto a condic¸a˜o (1.1) ������ e´ equivalente a � �� ��� � � �� ��� � � no inter- valo ��� para func¸o˜es ��. 15 Example 24 Verifique se a func¸a˜o � � �� e´ convexa, no intervalo ��� � � ��. Pela definic¸a˜o, tal func¸a˜o e´ convexa se ���� �� � ���� � ��� �� � � ��� ��� ��� � � �� ��� �� �� ���� � ��� �� � � ��� �� ��� �� � � �� ��� ��� � ��� ��� � � ���� � �� �� �� ��� �� � � ��� ��� � ��� �� � �� � � ���� � � � � � �� � � � � �� �� � � � ��� Portanto, fica claro que tal func¸a˜o e´ convexa no intervalo ���. Usando a noc¸a˜o de derivada terı´amos �� � �� ��� � � � Fica claro que a func¸a˜o e´ convexa em todo seu domı´nio. Example 25 Verifique se a func¸a˜o � � ��� e´ coˆncava, no intervalo ��� � � ��. Pela definic¸a˜o, tal func¸a˜o e´ coˆncava se � ���� �� � ���� � � ��� �� � � ��� ���� �� � ���� � ��� �� � � ��� Como vimos no exemplo acima, esta u´ltima desigualdade e´ satisfeita. Usando a noc¸a˜o de derivada terı´amos �� � ��� ��� � �� � Fica claro que a func¸a˜o e´ coˆncava emtodo seu domı´nio. 16 Example 26 Analise a concavidade da func¸a˜o � ��� � �� � �� Derivada primeira e segunda � � ��� � ��� � � � �� ��� � �� Portanto, � �� ��� � quando � � � �� ��� � quando � � E, quando � � a func¸a˜o e´ convexa e quando � � a func¸a˜o e´ concava. Example 27 Verifique a concavidade da func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o nor- mal padra˜o � ��� � � �� �� ��� Derivada primeira � � ��� � � �� �� ��� ���� � � � �� � �� ��� Derivada segunda � �� ��� � � � �� �� ��� � � �� ��� ���� � � � �� �� ��� � �� ����� � �� ��� �� � �� � �� 17 Como ����� � , � �� ��� � �� � � � � � �� Portanto, �� � � � ��� � �� ��� � � convexa �� � � � ��� � �� ��� � � concava �� � � � ��� � �� ��� � � convexa A derivada segunda e´ usada tambe´m para encontrarmos pontos crı´ticos de segunda ordem e pontos de in�exa˜o. Definition 8 Os pontos nos quais � �� ��� � sa˜o chamados pontos crı´ticos de segunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles sa˜o chamados pontos de in�exa˜o. 1.5 Ma´ximos e Mı´nimos 1.5.1 Identificac¸a˜o de Ma´ximos e Mı´nimos Os resultados acima sa˜o utilizados para encontrarmos pontos de ma´ximo ou mı´nimo de uma func¸a˜o � no ��. 1. A func¸a˜o � apresenta um ma´ximo local em �� se � ��� � � ���� para cada � em algum intervalo aberto contendo ��. 2. A func¸a˜o � apresenta um ma´ximo global em �� se � ��� � � ���� para cada � no domı´nio de � . 3. A func¸a˜o � apresenta um mı´nimo local em �� se � ��� � � ���� para cada � em algum intervalo aberto contendo ��. 18 4. A func¸a˜o � apresenta um mı´nimo global em �� se � ��� � � ���� para cada � no domı´nio de � . Seja � uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ ���. Enta˜o um ma´ximo ou mı´nimo podem ocorrer na borda (fronteira) do intervalo ���, isto e´, em ou �, ou no interior do intervalo. No primeiro caso, temos um ma´ximo ou mı´nimo de fronteira. No segundo caso temos um ma´ximo ou mı´nimo interiores. Para o caso interior o seguinte teorema se mostra bastante u´til. Theorem 3 Se �� e´ um ma´ximo ou mı´nimo interior de � , enta˜o �� e´ um ponto crı´tico de � . Proof. fazer gra´fico Caso �� seja um ponto crı´tico de � como saberemos se �� e´ um ma´ximo ou mı´nimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de � em ���, como segue. Theorem 4 1) se � � ���� � e � �� ���� � , enta˜o �� e´ um ma´ximo de � � 2) se � � ���� � e � �� ���� � , enta˜o �� e´ um mı´nimo de � � 3) se � � ���� � e � �� ���� � , enta˜o �� pode ser um ma´ximo, um mı´nimo ou nenhum dos dois� Proof. fazer gra´fico Em muitas situac¸o˜es gostarı´amos de saber se um ma´ximo local e´ um ma´ximo global, ou se um mı´nimo local e´ um mı´nimo global. Em treˆs casos, tal investigac¸a˜o se torna bastante simples: 1. Quando � tem apenas um ponto crı´tico em seu domı´nio� 2. Quando � �� � ou � �� � em todo o domı´nio de � � 3. Quando o domı´nio de � e´ um intervalo fechado e limitado. 19 1.5.2 Func¸o˜es com Apenas um Ponto Crı´tico Theorem 5 Suponha que 1) o domı´nio de � e´ um intervalo � �� 2) �� e´ uma ma´ximo local de � , 3) �� e´ o u´nico ponto crı´tico de � em � Enta˜o, �� e´ um ma´ximo global de � em � . Proof. .... 1.5.3 Func¸o˜es com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero Theorem 6 Se � e´ uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ � e se � �� nunca e´ zero em � , enta˜o � tem no ma´ximo um ponto crı´tico em � . Este ponto crı´tico e´ um mı´nimo global se � �� � e uma ma´ximo global se � �� � . Proof. .... 1.5.4 Func¸o˜es cujo Domı´nio e´ um Intervalo Fechado Finito O teorema de Weierstrass estabelece que uma func¸a˜o contı´nua cujo domı´nio e´ um intervalo fechado e limitado � �� possui um ma´ximo global e um mı´nimo global em seu domı´nio. Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de ma´ximo ou mı´nimo interior de � e´ um ponto crı´tico desta func¸a˜o. Os outros candidatos para ma´ximo oum mı´nimo sa˜o os limites do intervalo: � � e � � �. Portanto, se estamos procurando por um ma´ximo (mı´nimo) global de uma func¸a˜o � � �� de domı´nio � �� no´s precisamos somente de: 1. encontrar os pontos crı´ticos de � , resolvendo � � ��� � para � � � � ��� 20 2. calcular � nesses pontos crı´ticos e nos pontos e �� 3. escolher dentre esses pontos aquele que da´ o maior (menor) valor de �� Example 28 Considere a func¸a˜o � ��� � ��� � ���� � � �� � Encontre o valor de � que ma´ximiza esta func¸a˜o no intervalo � � �. Primeira- mente obtemos os valores crı´ticos. � � ��� � ��� � � �� � � �� � ���� � � � � ��� ���� � � � ��� � � � �� � � Enta˜o calculamos � ��� nos pontos crı´ticos, � e � e nas fronteiras, e � . � � � � � , � ��� � ����, � �� � � � e � �� � � � ��� Assim, o ma´ximo global ocorre quando � � � e o mı´nimo global ocorre quando � � . Example 29 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o � ��� � �� � ���� � ���� � E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Primeiro obtemos a sua derivada � � ��� � ��� � ���� �� Igualando a zero ��� � ���� �� � �� � ��� �� � 21 Cuja soluc¸a˜o e´ dada por � � �� ��� �� � � � �� � � � � � � �� Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, os pontos crı´ticos sa˜o � e �. Note que � ��� � � e � ��� � � , o que sugere que � e´ um ponto de ma´ximo e � e´ um ponto de mı´nimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos. � �� ��� � ��� �� � �� ��� � ��� � � concavo � ma´ximo local � �� ��� � �� � � convexo � mı´nimo local Example 30 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o custo me´dio �� � � ��� � �� � ��� � E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Derivando � � ��� � ��� � Igualando a zero ��� � � � � � ��� Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, o u´nico ponto crı´tico e´ ���. Calculamos a derivada segunda. � �� ��� � � � � �� ����� � � � � convexo � mı´nimo local 22 ´E fa´cil notar que este mı´nimo local e´ um mı´nimo global. Uma raza˜o simples e´ que a func¸a˜o apresenta apenas um ponto crı´tico. Outra raza˜o e´ que a func¸a˜o e´ convexa em todo domı´nio (� �� ��� � , independente de �) Example 31 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o � ��� � ��� � � E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Derivando � � ��� � ��� � Igualando a zero ��� � � � � � � � Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, o u´nico ponto crı´tico e´ ���. Calculando a derivada segunda � �� ��� � � � �� ����� � � � � convexo � mı´nimo local Novamente, observe que temos apenas um ponto crı´tico e que a func¸a˜o e´ convexa em todo domı´nio. Example 32 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o � ��� � �� � ��� � � E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Derivando � � ��� � ��� � �� Igualando a zero ��� � �� � �� � �� � � ��� �� � 23 Logo, � � e � � � sa˜o os pontos crı´ticos. Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, o u´nicos pontos crı´ticos sa˜o e �. Note que � � � � � enquanto � ��� � ��. Calculando a derivada segunda � �� ��� � ��� � � �� � � � �� � � concavo � maximo local � �� ��� � � � � convexo � mı´nimo local 1.6 Func¸a˜o Inversa Para qualquer func¸a˜o � � � � ��, em que o domı´nio � de � e´ um subconjunto do ��, no´s dizemos que a func¸a˜o � � � � �� e´ uma inversa de � se: 1) � �� ���� � � para todo � no domı´nio � de � � e 2) � �� �!�� � ! para todo ! no domı´nio � de �. Example 33 Considere a func¸a˜o de demanda pelo bem � � �"� � �� �" (1.3) em que " e´ o prec¸o. Isolando o prec¸o " ��� � � � ��� �� (1.4)Para verificar se (1.4) e´ a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima. � �" ���� � �� � � � � ��� �� � � �� � � � � � " �� �"�� � � � �� ��� �"�� � � � ��� � � �"� � " 24 Suponha que � seja uma inversa de uma func¸a˜o � qualquer, de modo que, � ���� � �� � ���� � �� Suponha agora que � �!�� � ��, em que !� �� ��. Enta˜o � precisa ser tal que � ���� � !�. Ou seja, ao mesmo tempo temos � ���� � �� e � ���� � !�, o que e´ impossı´vel. Portanto, observamos que, para � possuir uma inversa e´ necessa´rio que � na˜o associe o mesmo ponto na imagem a` diferentes pontos de seu domı´nio, isto e´, �� �� �� � � ���� �� � ���� (1.5) Ou equivalentemente, � ���� � � ����� �� � �� (1.6) Definition 9 Uma func¸a˜o � que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e´ de- nominada injetora, neste intervalo . Example 34 Considere a func¸a˜o � � � ��� � ��. Como uma func¸a˜o definida em todo ��, � na˜o e´ injetora pois � � e � � � geram � ��� � �. Logo, na˜o existe uma finc¸a˜o inversa. Contudo, se restringirmos o domı´nio a ��� enta˜o a func¸a˜o � passa a ser injetora e sua inversa e´ � ��� � � com domı´nio ���. Theorem 7 Uma func¸a˜o � definida no intervalo do �� possui uma inversa bem definida no intervalo � � � se e somente se � e´ monotonamente crescente ou monotonamente decrescente em todo intervalo . Note que, se � e´ monotonamente crescente ou descrescente automaticamente �� �� �� � � ���� �� � ����. Para func¸o˜es diferencia´veis este teorema pode ser reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma func¸a˜o possui inversa. 25 Theorem 8 Uma func¸a˜o � � �� definida no intervalo do �� e´ injetora e, portanto, invertı´vel em se � � ��� � para todo � � ou � � ��� � para todo � � . O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes. Theorem 9 (Teorema da Func¸a˜o Inversa) Seja � uma func¸a˜o �� definida no intervalo � do ��. Se � � ��� �� para cada � � � enta˜o: 1) � e´ invertı´vel em � , 2) sua inversa � e´ uma func¸a˜o �� no intervalo � ��� e 3) para todo ! no domı´nio da func¸a˜o inversa �, vale �� �!� � � � � �� �!�� Note que � �� �!�� � !, logo aplicando a regra da cadeia � � �� �!�� �� �!� � � e com isso �� �!� � ��� � �� �!��. Example 35 A inversa de � � � ��� � �� e´ � � � ��� � ���. Observe que �� ��� � � � Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa, �� ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � � � Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade � de modo a max- imizar a receita, levando em conta a func¸a˜o de demanda� �"� � �. ��� � "� � � ��� � �"� � � Assuma que � ��� � �� e que a func¸a˜o de demanda e´ linear� �"� � ��", em que �� � �� � . O domı´nio de " e´ dado pelo intervalo � � � ����. Como � �"� e´ 26 monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a func¸a˜o inversa existe. No caso, � � � �"� " � � � � � Substituindo no problema do consumidor, temos ��� � "� � �� " � � � � � � Equivalendo a ��� � � � � � � � �� ��� � � � � � � � � � � � Pontos crı´ticos: � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � �� � Concavidade (derivada segunda): � �� � � � � � � �� � � �� � � Pois � � . Portanto a func¸a˜o e´ concava em todo domı´nio e �� e´ um ponto de ma´ximo global. Example 37 No exemplo anterior assuma que � ��� � �� e � �"� � �"��, em que �� �� #�� . O domı´nio de " e´ dado pelo intervalo � � � ����. Como� �"� 27 e´ monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a func¸a˜o inversa existe. No caso, � � �"�� � " � �� � �� � � Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior. 28 Chapter 2 ´Algebra Linear 2.1 Norma e Produto Interno 2.1.1 Norma Definition 10 Seja � � ���� ���� ��� � ��. O nu´mero na˜o negativo ��� �� ��� � � � �� ��� e´ chamado norma ou comprimento do vetor �. Definition 11 Se ���� ���� ��� e ���� ���� ��� sa˜o as coordenadas de � e �, respecti- vamente, no espac¸o euclidiano n-dimensional, enta˜o a distaˆncia entre � e � e´ � ��� �� � ��� �� � � ��� � ���� � � � �� ��� � ���� Definition 12 Um vetor � tal que ��� � �, e´ chamado de vetor unita´rio. Example 38 O comprimento do vetor � � ������ �� e´ dado por ������� ��� � � �� � ����� � �� � �� 29 Portanto, o vetor � � �� �� e´ unita´rio. Pois, ����� � �� � �� �� � � �� ����� � �� � �� �� � � �� �� �� � � � �� �� � � � �� � � �� � � �� � � Example 39 Seja � � ��� �� ����� e � � ��� �� �� ��. Enta˜o ��� � � �� � �� � �� � ����� � �� ��� � �� � �� � �� � �� � � Logo, o comprimento de � e´ �� enquando o comprimento de � e´ � . A distaˆncia entre � e � e´ ��� �� � � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ���� ��� � � ����� � �� � �� � ����� � �� Theorem 10 �#�� � �#� ��� para todo # � �� e � � ��. Proof. �#�� � �# ���� ���� ���� � ��#��� ���� #���� � � �#��� � � � � �� �#���� � � #� � ���� � � � � �� ����� � � # ��� 30 2.1.2 Produto Interno Definition 13 Seja �� � � ��. Enta˜o o produto interno euclidiano de � e �, de modo que � � � e´ o nu´mero � � � � ���� � � � �� ���� Example 40 Seja � � ������ �� e � � ��� ����� enta˜o � � � � ��� �� � � �� Example 41 Seja � a quantidade demandada do bem �, enta˜o � � ���� ���� ��� constitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e´ na˜o-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e´ dada por ����� ���� ��� � �� � � ���� �� � � que denominamos espac¸o de mercadorias. Seja " o prec¸o da mercadoria �. Enta˜o o custo de uma cesta � e´ " � � � "��� � � � �� "��� Dada uma renda � o conjunto orc¸amenta´rio e´ formado por todas as cestas tais que " � � � � Example 42 Considere uma firma que utiliza � insumos. A quantidade utilizada de cada insumo e´ $ � � � �� ���� �. O custo unita´rio de cada insumo e´ dado por % � � � �� ���� �. Enta˜o o custo total torna-se $ � % � �$�� ���� $�� � �%�� ���� %�� � $�%� � � � �� $�%� 31 Example 43 Considere � � ���� ���� ��� um portfolio de um investidor qualquer, em que � representa a frac¸a˜o da riqueza investida no ativo �. Obviamente estas frac¸o˜es devem somar �. De modo que a restric¸a˜o orc¸amenta´ria e´ � � � ����� ���� ��� � ��� ���� �� � �� � � � �� �� � � Seja #� o retorno do ativo � no estado da natureza . Enta˜o, o vetor de retornos no estado da natureza e´ #� � �#��� ���� #��� Um portfolio � e´ livre de risco se o seu retorno e´ o mesmo em todos os estados & da natureza, isto e´, #� � � � #� � � � � � � #� � � O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno. Theorem 11 Seja �� �� % � �� e # � ��. Enta˜o 1) � � � � � � � 2) � � �� � %� � � � � � � � % 3) � � �#�� � # �� � �� � �#�� � � 4) � � � � 5) � � � � implica que � � 6) ��� �� � ��� �� � � � �� � �� � �� � � � � Remark 2 Note que � � � � ��� � � � �� ��� ��� �� � ��� �� � ��� � ��� ���� �� � ��� � ��� � ��� ���� �� � ��� � ��� � ���� � � � �� ��� � ���� 32 Logo, ��� � � ��� � � � �� ��� � � � � ��� �� � � ��� � ���� � � � �� ��� � ���� � � ��� �� � ��� �� O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores �� � � �� e o angulo ' entre eles, sendo u´til na discussa˜o de problemas geome´tricos. Theorem 12 Seja �� � � �� e ' o angulo entre eles. Enta˜o, � � � � ��� ��� ��� ' Example 44 Seja � � ��� � � e � � ��� �� ��, enta˜o ��� ' � � � � ��� ��� � �� �� �� � �� � �� � � � Example 45 Seja � � ��� � � �� e � � � � �� � ��, enta˜o ��� ' �� � � ��� ��� � � � � � � � Portanto, ' � � �. 33 Chapter 3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis 3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos Em muitos casos queremos analisar a vizinhanc¸a de um ponto � do ��. Nestes casos, as seguintes definic¸o˜es mostram-se u´teis. Definition 14 Seja ! � �� e ( um nu´mero positivo. A bola aberta de raio ( em torno de � e´ o conjunto )� �!� � �� � �� � ��� !� � (� Definition 15 Um conjunto & �� e´ aberto se para cada � � & existe uma bola aberta de raio ( em torno de � completamente contida em &: � � & � existe um ( � tal que )� ��� & Um conjunto aberto contendo o ponto � e´ chamado uma vizinhanc¸a aberta de �. O termo aberto tem conotac¸a˜o de sem fronteira: de qualquer ponto pode- mos nos movimentar um pouco em qualquer direc¸a˜o que ainda permanecemos no conjunto. 34 Example 46 O intervalo � � �� � �� � � � � � � �� e´ um conjunto aberto. Se � e´ um ponto neste intervalo, enta˜o � �� e � �� �. O nu´mero ��� esta mais pro´ximo de do que �, e ainda pertence a � � ��. Enquanto � � ��� �� �� esta mais pro´ximo de � do que �, e ainda pertence a � � ��. Se ( � �� ����� ��� �� ���, enta˜o o intervalo ��� (� �� (� e´ um intervalo aberto em torno de � contido � � ��. Definition 16 Um conjunto & �� e´ fechado se, sempre que ������ � e´ uma sequeˆncia convergente completamente contida em &, seu limite tambe´m esta´ em &. Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira, que e´ exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos. Theorem 13 Um conjunto & �� e´ fechado se, e somente se, seu complementar &� � �� � & e´ aberto. Lembre-se que um conjunto & �� e´ limitado se existe um nu´mero ) tal que ��� � ) para cada � � &, ou seja, & esta´ contido em alguma bola de ��. Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou unia˜o finita de intervalos de ��, exceto aqueles que teˆm �� ou �� como extremidades. Definition 17 Um conjunto & �� e´ compacto se, e somente se, e´ fechado e limitado simultaneamente. 35 3.2 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis 3.2.1 Definic¸a˜o Definition 18 Uma func¸a˜o de um conjunto * em um conjunto ) e´ uma regra que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso, escrevemos � � *� ). O domı´nido de uma � � * � ) e´ o conjunto * dos elementos nos quais � esta´ definida� o conjunto ) no qual � assume seus valores e´ denominado con- tradomı´nio, ou espac¸o-alvo. Seja � � *, enta˜o dizemos que � � � ��� e´ a imagem de � por � . O conjunto de todos os � ���, com � no domı´nio de � , e´ denominado imagem de � . Example 47 Considere a func¸a˜o � ��� �� � �� � �� O domı´nio de � e´ todo ��, o contradomı´nio de � e´ o �� e a imagem de � e´ o conjunto de todos os nu´meros reais na˜o-negativos. 3.2.2 Representac¸a˜o Geome´trica das Func¸o˜es Para construir o gra´fico de uma func¸a˜o do �� em �� precisamos de treˆs di- menso˜es. Seja ! � � ��� ��. Para cada valor ��� �� no domı´nio calculamos � em ��� �� e marcamos o ponto ��� �� � ��� ���. Example 48 Pa´gina 289 - Figura 13.1 � ��� �� � �� � �� Example 49 Pa´gina 289 - Figura 13.2 � ��� �� � �� � �� 36 Existe uma outra maneira de visualizar-se uma func¸a˜o de �� em ��, que so´ requer esboc¸os bidimensionais - o estudo de curvas de nı´vel no plano. Para cada ��� �� novamente calculamos � ��� �� para obter, digamos, !�. Agora, esboc¸amos no plano ��, o lugar geome´trico de todos os outros pares ��� �� nos quais � toma o mesmo valor !�. Este conjuno, que e´ em geral uma curva, e´ denominado curva de nı´vel de � . Example 50 Pa´gina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a func¸a˜o � ��� �� � �� � �� Comece com o ponto � � ��, no qual � vale �. Agora encontre todos os demais pontos nos quais � vale �. Isto e´ o conjunto ���� �� � �� � �� � ��, um cı´rculo de raio � em torno da origem. Tambe´m denotamos esta curva de nı´vel por ��� ���. No caso de ��� �� temos ��� ��� � � ��� �� � �� � �� � � � um cı´rculo de raio � em torno da origem. Uma vez feita as curvas de nı´vel, fica mais fa´cil visualizar o gra´fico no espac¸o tridimensional. Temos no espac¸o bidimensional as curvas de nı´vel de � ��� �� no plano ��, visualize os eixos coordenados de ��, de tal modo que os eixos � e � estejam no plano da pa´gina e o eixo ! parta da pa´gina em sua direc¸a˜o. Considerando o exemplo anterior, pegamos a curva de nı´vel ��� ��� e puxamos para cima ate´ o plano �! � ��. Portanto, para cada � � , puxe ��� ��� e ate´ o plano �! � ��. Com este procedimento passarı´amos do gra´fico 13.7 para o gra´fico 13.1. Example 51 Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o � � �� 37 em que � e � sa˜o insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con- juntos de nı´veis de uma func¸a˜o de produc¸a˜o sa˜o chamados isoquantas. A iso- quanta para � � � e´ �� � �� � � � � Ou seja, temos uma func¸a˜o � � � ��� de uma varia´vel, cujo gra´fico foi rotulado � [pa´gina 295, gra´fico 13.10]. Para o consumidor o ana´logo seria as curvas de indiferenc¸a. 3.3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis 3.3.1 Definic¸o˜es Definition 19 Seja � � �� � �. Enta˜o, para cada varia´vel � em cada ponto �� � ����� � � � � � � �� do dominio de � , a derivada parcial de � em relac¸a˜o a � e´ dada por +� +� � ���� � � � � � � � � � ��� ��� � ����� � � � � � � � �� � � � � � � ��� � ����� � � � � �� � � � � � ���� � se este limite existir. Somente a i-e´sima varia´vel muda, as outras sa˜o tratadas como constantes. A derivada parcial mostra como uma func¸a˜o varia em direc¸o˜es paralelas aos eixos coordenados. Example 52 Considere a func¸a˜o � ��� �� � ����� � ���� � �� Enta˜o, +� +� � ���� � �� 38 Observe que tratamos � como uma constante. E ainda, +� +� � ���� � ����� � � Observe que tratamos � como uma constante. Outra noc¸a˜o importante e´ a de diferencial total. Considere a func¸a˜o , ���� ���� ��� de � varia´veis na vizinhanc¸a de algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���, enta˜o a diferencial total de , em �� e´ dada por �, � +, +�� ���� ��� � � � �� +, +�� ���� ��� 3.3.2 Regra da Cadeia Definition 20 Uma func¸a˜o � � �� � � e´ continuamente diferencia´vel (ou ��) em um conjunto aberto - �� se, e somente se, para cada �, a derivada parcial �+��+� � ��� existe em cada � de - e e´ contı´nua em �. Example 53 (Regra da Cadeia) Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o: � � �.���/��� Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros, . ��� #� � � �� # e / ��� #� � ��� � �� # Dai, +� +� � +� +. +. +� � +� +/ +/ +� � � �.����/��� ��� � # � � � .���/���� � ����� � � � # � / . ���� � ��� � . / ���� 39 3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes Definition 21 Considere a func¸a˜o , ���� ���� ��� de � varia´veis na vizinhanc¸a de algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���. Enta˜o a derivada de , em �� na direc¸a˜o de � (derivada direcional) e´ dada por �,�� � � � � �� ��� ���� � � � �� ��� ���� � ����� �� . . . �� ����� � +, +�� ���� �� � � � �� +, +�� ���� �� A derivada direcional mede a taxa a` qual , aumenta ou diminui quando saı´mos de �� na direc¸a˜o de �. Example 54 Seja � � �, enta˜o �,�� � � � � �� ��� ���� �� ��� ���� � � � �� ��� ���� � �������� � . . . �������� � +, +�� ���� Ou seja, obtemos a derivada , na direc¸a˜o de ��, que e´ a derivada parcial com respeito a ��. Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo ��. Example 55 Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o � � , �.�/� � �.���/��� 40 em que �.�/� � �� � ����. Enta˜o, +, +. �� � ����� � � / . ���� � � � ��� � ���� � � � � � � � �� � +, +/ �� � ���� � � . / ���� � � � � �� � � A derivada de , em �� � ���� na direc¸a˜o ��� �� e´, simplesmente +, +. �� � ����� � � +, +/ �� � ����� � � �� �� � � �� � � �� � Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseria a produc¸a˜o se aumenta´ssemos . e / a` mesma taxa? Como na˜o sabemos a mag- nitude da variac¸a˜o e so´ a sua direc¸a˜o, usamos o vetor unita´rio � �� �� �� � � na direc¸a˜o ��� ��. A taxa de variac¸a˜o de , na direc¸a˜o de � �� �� �� � � e´ ���� � � � �� � � � �� � � � �� ���� Definition 22 Seja � � , ���� ���� ��� e considere o seguinte vetor de derivadas no ponto ��: �, ���� � ����� �� ��� ���� . . . �� ��� ���� ����� Tal vetor e´ denominado vetor gradiente de , em ��. 41 Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de , na direc¸a˜o de �, pois �, ���� � � � ����� �� ��� ���� . . . �� ��� ���� ����� � ����� �� . . . �� ����� � �� � +, +� ���� � As caracterı´sticas importantes de um vetor sa˜o: 1. Comprimento 2. Direc¸a˜o 3. Sentido Vamos nos concentrar primeiro na direc¸a˜o e sentido, de modo que fazemos ��� � �. Por se equivalente a derivada direcional,�, ���� � � mede a taxa a` qual , aumenta ou diminui quando saı´mos de �� na direc¸a˜o de �. Pela propriedade conhecida do produto interno, a derivada de , na direc¸a˜o de � e´ �, ���� � � � ��, ����� ��� ��� ' � ��, ����� ��� ' pois ��� � � e ' e´ o aˆngulo entre os vetores�, ���� e � no ponto base �� (Pa´gina 333 - Figura 14.9). ´E natural perguntar: em qual direc¸a˜o a func¸a˜o , cresce mais rapidamente? Como �� � ��� ' � �, �, ���� � � e´ maior quando ��� ' � �, ou seja, quando ' � �, ou seja, quando � aponta na mesma direc¸a˜o e sentido de�, ����. Theorem 14 Seja , � �� � � uma func¸a˜o ��. Em cada ponto � do domı´nio de , em que�, ���� �� , o vetor gradiente aponta na direc¸a˜o em que , cresce mais rapidamente. 42 Example 57 Considere mais uma vez a func¸a˜o de produc¸a˜o � � , �.�/� � �.���/��� em que �.�/� � �� � ����. Se quisermos saber em quais proporc¸o˜es devemos acrescentar . e / a �� � ���� para aumentar a produc¸a˜o mais rapidamente, calculamos o vetor gradiente �, �� � ���� � � � �� � � � � e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporc¸a˜o de �� � para �. (pa´gina 334, Figura 14.10) 3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana Seja � � � ���� ���� ���. Enta˜o a matriz hessiana de � e´ denotada por ��� ��� ou ����: ��� ��� � �������� ��� ��� � ��� ������ � � � ��� ������ ��� ������ ��� ��� � � � � ��� ������ . . . . . . . . . . . . ��� ������ ��� ������ � � � ��� ���� �������� Se todas estas �� derivadas de segunda ordem existem e sa˜o func¸o˜es contı´nuas de ���� ���� ���, dizemos que � e´ duas vezes continuamente diferencia´vel (ou ��). Remark 3 Notac¸a˜o +�� +� +�� � ����� � � � � � �� Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que � � � ���� ���� ��� � �� numa regia˜o aberta 0 de ��. Enta˜o, para cada � de 0 e para cada par de ı´ndices � e 1, +�� +� +�� ��� � +�� +��+� ��� Portanto, para func¸o˜es �� a matriz ��� ��� e´ sime´trica. 43 3.4 Func¸a˜o Implicita Em geral trabalhamos com func¸o˜es do seguinte modo � � , ���� ���� ��� em que a varia´vel endo´gena e´ uma func¸a˜o explı´cita das varia´veis exo´genas. No entanto, em problemas de maximizac¸a˜o, as vezes, as condic¸o˜es de primeira ordem teˆm varia´veis exo´genas misturadas com varia´veis endo´genas, como em 2 ���� ���� ��� �� � Se para cada ���� ���� ���, a equac¸a˜o acima determinar um valor � correspon- dente, diremos que tal equac¸a˜o define a varia´vel � como uma func¸a˜o implı´cita das varia´veis exo´genas ��� ���� ��. Muitas vezes na˜o e´ possı´vel tornar � uma func¸a˜o explı´cita de ��� ���� ��, no entanto, ainda assim gostarı´amos de saber como uma pequena variac¸a˜o em uma das va´ria´veis exo´genas afeta a varia´vel endo´gena. Example 58 Considere a func¸a˜o demanda: � � �" ��� � �" ��� Facilmente, obtemos a derivada de � em relac¸a˜o a ": �� �" � �#� �"����� � #� �"����� Pore´m, na˜o e´ possı´vel escrever " como func¸a˜o de �. Nesta sec¸a˜o vamos desen- volver uma forma simples para calcular �"���. Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A func¸a˜o de produc¸a˜o � depende de um u´nico insumo �, o custo de cada unidade de insumo e´ %, e seja o prec¸o " o prec¸o de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o lucro e´ o problema da firma e´ ��� � "� ���� %� 44 Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos: "� � ���� % � Para cada valor das varia´veis exo´genas " e % a firma escolhera´ um valor o´timo de � que satisfac¸a a condic¸a˜o de primeira ordem. Dependendo do formato de � , na˜o e´ possı´vel escrever � como uma func¸a˜o explı´cita de " e %, mas ainda assim queremos computar ����" e ����%. Ale´m disso, queremos saber se ha´ mu´ltiplas soluc¸o˜es para a condic¸a˜o de primeira ordem e se existe um ma´ximo global. Uma nota de cautela e´ necessa´ria. O simples fato de podermos escrever uma func¸a˜o implı´cita 2 ��� �� � � na˜o significa que esta equac¸a˜o define � como uma func¸a˜o de �. Por exemplo, �� � �� � � (3.1) Quando � � � na˜o existe � que satisfac¸a (3.1). No entanto, em geral comec¸amos com uma soluc¸a˜o especı´fica ���� ��� da equac¸a˜o implı´cita 2 ��� �� � � e pergun- tamos se e´ possı´vel encontrar � pro´ximo de �� que satisfac¸a a equac¸a˜o quando � esta´ pro´ximo de ��. Considere � � e � � �, note que tais pontos satis- fazem a equac¸a˜o implı´cita. Variando � um pouco podemos encontrar um u´nico � � �� �� perto de � � � que corresponde ao novo �. (Figura 15.1 - Pa´gina 347) Contudo, iniciando em � � � e � � , na˜o existe tal relac¸a˜o funcional. Se aumentarmos � um pouco, digamos � � �� (, enta˜o na˜o existe � correspondente tal que �� � (� �� resolva (3.1). (Figura 15.2 - Pa´gina 348) Para ficar claro, como ( � , na˜o existe � resolva �� � (�� � �� � � � � �(� (� � �� � � �� � ��(� (� 45 O seguinte teorema responde a duas questo˜es ba´sicas, a saber: 1. A equac¸a˜o 2 ��� �� � � determina � como uma func¸a˜o contı´nua de � para � perto de �� e para � perto de ��? 2. Neste caso, como sa˜o os � correspondentes afetados por variac¸o˜es em �? Theorem 16 (Teorema da func¸a˜o implı´cita) Seja 2 ��� �� uma func¸a˜o �� numa bola em torno de ���� ��� em ��. Suponha que 2 ���� ��� � � e considere a expressa˜o 2 ��� �� � � Se �+2�+�� ���� ��� �� , enta˜o existe uma func¸a˜o � � � ��� definida num inter- valo � em torno do ponto ���� ��� que e´ �� e tal que: a) 2 ��� � ���� � � para qualquer � em � b) � ���� � �� c) �� ���� � � �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� Remark 4 Considere uma func¸a˜o implı´cita 2 ��� �� � � em torno de ���� ���. Supondo que exista uma func¸a˜o � � � ��� � �� que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2 ��� �� � �, ou seja, 2 ��� � ���� � � Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equac¸a˜o com respeito a � em ��: +2 +� ���� � ����� �� �� � +2 +� ���� � ����� �� �� ���� � +2 +� ���� � ����� � +2 +� ���� � ����� � � ���� � Portanto, �� ���� � � �� �� ���� � ����� �� �� ���� � ����� 46 Example 60 Vamos retomar a discussa˜o de �� � �� � � Note que, �� ��� � � �� �� ���� ��� �� �� ���� ��� � ��� �� No primeiro caso consideramos ���� ��� � � � ��, neste caso +2 +� ���� ��� � ��� � ��� e �� ��� � � � � Pore´m, no caso ���� ��� � ��� � +2 +� ���� ��� � ��� � e as condic¸o˜es necessa´rias para se aplicar o teorema da func¸a˜o implı´cita na˜o se aplicam Example 61 Considere �� � ��� � �� � � � Queremos calcular ����� em � � � e � � �. Primeiramente vamos verificar se +2 +� ��� �� �� Calculando esta derivada e avaliando em ��� ��, +2 +� ��� �� � ���� ��� � ��� � �� � �� �� Aplicando o Teorema da Func¸a˜o Implı´cita: �� �� ��� �� � � �� �� ��� �� �� �� ��� �� � � ��� ������ ��� � � �� �� � � �� 47 Theorem 17 (Teorema da func¸a˜o implı´cita) Seja2 ���� ���� ��� �� uma func¸a˜o �� numa bola em torno de ����� ���� ���� ���. Suponha tambe´m que ����� ���� ���� ��� sat- isfaz ambos 2 ����� ���� � � �� � �� � +2 +� ����� ���� � � �� � �� �� Enta˜o, existe uma func¸a˜o ��, � � � ���� ���� ��� definida numa bola aberta ) em torno de ����� ���� ���� tal que: a) 2 ���� ���� ��� � ���� ���� ���� � � para qualquer ��� ���� �� � ) b) �� � � ����� ���� ���� c)Para cada ı´ndice i: �� ��� ����� ���� � � �� � � �� ��� ���� ��� �� ��� �� �� ���� ��� �� ��� 3.5 Curvas de Nı´vel p342 48 Part II Otimizac¸a˜o Esta´tica 49 Chapter 4 Formas Quadra´ticas e Matrizes Definidas Seja � � � ���, � � ��. Se �� e´ um ponto crı´tico de � , enta˜o a segunda derivada � �� ���� da uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para determinar se �� e´ um ma´ximo ou mı´nimo (ou nenhum dos dois). A generalizac¸a˜o do teste da se- gunda derivada para � � � ���, � � �� envolve avaliar se a matriz de derivadas segunda de � ��� (Hessiano) e´ definida positiva, definida negativa ou indefinida num ponto crı´tico de � . Por exemplo, � � � ���, � � �� e´ concava (convexa) em uma dada regia˜o se a sua matriz de derivadas segunda e´ semidefinida negativa (positiva) para todo � nesta regia˜o. 4.1 Formas Quadra´ticas Um func¸a˜o quadra´tica bastante simples e´ a seguinte � ��� � ���. Definition 23 Uma forma quadra´tica em �� e´ uma func¸a˜o real da forma � ���� � � � � ��� � � �� �� �� 50 na qual cada termo e´ um monoˆmio de grau dois. A forma quadra´tica� pode ser representada por uma matriz sime´trica* como segue � ��� � ��*� Example 62 Caso bidimensional: � ���� ��� � ��� � � � ������ � ��� � � Que pode ser reescrita como � �� �� ��� �� �� �� � � �� �� ���� �� �� �� Example 63 Caso tridimensional: � ���� ��� ��� � ��� � � � ��� � � � ��� � � � ��� � � � ������ � ������ � ������ Que pode ser reescrita como � �� �� �� ������ �� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �� �� ����� ����� �� �� �� ����� Theorem 18 A forma quadra´tica geral � ���� ���� ��� � �� � � �� �� pode ser escrita na forma matricial como � �� �� � � � �� � �������� �� � � �� � � � �� �� � � �� �� � � � �� �� . . . . . . . . . . . . � � �� � � �� � � � �� �������� �������� �� �� . . . �� �������� isto e´ ��*� em que * e´ uma matriz sime´trica (u´nica). 51 4.2 Formas Quadra´ticas Definidas A forma quadra´tica geral de uma variavel e´ � � ��. Se � , enta˜o �� � para todo �, sendo nula apenas quando � � . Logo, tal forma e´ chamada de definida positiva� � � e´ seu mı´nimo global. Se � , enta˜o �� � para todo �, sendo nula apenas quando � � . Neste caso, temos uma forma definida negativa� � � e´ seu ma´ximo global. Note que, determinar a classificac¸a˜o de �� e´ equivalente a determinar se � � e´ um ma´ximo ( � ) ou um um mı´nimo ( � ). De forma geral, se � ���� � � � � ��� � para todo � �� , enta˜o � e´ definida positiva. Se � ���� � � � � ��� � para todo � mas existe � �� tal que � � ,. enta˜o� e´ semidefinida positiva (na˜o-negativa). De forma ana´loga, se� ���� � � � � ��� � para todo � �� , enta˜o � e´ definida negativa. Se � ���� � � � � ��� � para todo � e � � mas existe � �� . tal que � � , enta˜o � e´ semidefinida negativa (na˜o-positiva). Portanto, determinar a classificac¸a˜o de uma forma quadra´tica � e´ equivalente a determinar se � � e´ um ma´ximo, um mı´nimo ou nenhum dos dois para a func¸a˜o real�. Assim, � � e´ o u´nico mı´nimo global da forma quadra´tica� se, e somente se, � e´ positiva definida. Similarmente, � � e´ o u´nico ma´ximo global da forma quadra´tica � se, e somente se, � e´ negativa definida. 4.3 Matrizes Sime´tricas Uma matriz sime´trica e´ chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadra´tica a ela associada, � ��� � ��*�, e´ definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou semidefinida negativa, etc. 52 Definition 24 Seja� uma matriz �� � sime´trica e � � ��. Enta˜o� e´ 1) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� � 2) semidefinida positiva se ��*� � � para qualquer � �� � 3) definida negativa se ��*� � � para qualquer � �� � 4) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� � 5) indefinida se ��*� � � para alguns � e ��*� � � para outros � Remark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e´ automaticamente semidefinida positiva (negativa) 4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sime´trica Nesta sec¸a˜o apresentamos um simples teste para determinar a classificac¸a˜o de uma forma quadra´tica ou de uma matriz sime´trica. Primeiramente vamos introduzir algumas definic¸o˜es. Definition 25 Seja * uma matriz � � �. Uma submatriz principal de ordem � de * e´ uma submatriz de tamanho � � � formada a partir de * suprimindo � � � colunas, digamos, as colunas ��� ��� ���� ���� e as mesmas � � � linhas, ou seja, as linhas ��� ��� ���� ���� O determinante de uma submatriz principal � � � e´ denominado um menor principal de ordem � de *. Definition 26 Seja * uma matriz �� �. A submatriz principal de ordem � de * obtida ao se eliminar as u´ltimas ��� colunas e linhas de *, *�, e´ denominada a submatriz principal lı´der de ordem � de*. Seu determinante, �*��, e´ denominado menor principal lı´der de ordem � de *. 53 Example 64 Considere a matriz����� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ����� Enta˜o �*�� � � ��� , �*�� � ������ �� �� �� �� ������ e �*�� � ��������� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��������� O pro´ximo teorema fornece um algorı´timo direto que utiliza os menores prin- cipais lı´deres para determinar a classificac¸a˜o de uma matriz dada. Theorem 19 Seja * uma matriz sime´trica �� �. Enta˜o, 1. * e´ definida positiva se, e somente se, todos os seus � menores principais lı´deres sa˜o (estritamente) positivos. �*�� � , �*�� � , �*�� � , . . . 2. * e´ definida negativa se, e somente se, os seus � menores principais lı´deres alternam de sinal do seguinte modo: �*�� � , �*�� � , �*�� � , . . . Ou seja, �*�� deve ter o mesmo sinal de �����. 3. Se algum �*�� e´ na˜o-nulo mas na˜o encaixa em nenhum dos dois casos padro˜es de sinal acima, enta˜o * e´ indefinida. Se uma matriz na˜o e´ definida, ela pode ser ou na˜o semidefinida. Para conferir se uma matriz e´ semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principal de *, como descrito no teorema abaixo. 54 Theorem 20 Seja* uma matriz ��� sime´trica. Enta˜o* e´ semidefinida positiva se, e somente se, todos os seus menores principais sa˜o � � * e´ semidefinida negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ı´mpar sa˜o � e os seus menores principais de ordem par sa˜o � . Example 65 Seja * uma matriz sime´trica �� �, enta˜o: 1. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e´ definida positiva.2. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e´ definida negativa. 3. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e´ indefinida. 4. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e´ indefinida. Example 66 Considere * � � � � � � � � � e ) � � � � � � � � � Enta˜o, �*�� � � e �*�� � ���� � � e * e´ definida positiva. Ale´m disso, �)�� � � e �)�� � ��� �� � �� e ) e´ indefinida. 4.5 Restric¸o˜es Lineares e Matrizes Orladas Como foi dito, determinar a classificac¸a˜o de uma forma quadra´tica � e´ equiva- lente a determinar se � � e´ um ma´ximo, mı´nimo, ou nenhum dos dois para a func¸a˜o real �. Por exemplo, � � e´ o u´nico mı´nimo (ma´ximo) global da forma quadra´tica� se, e somente se,� e´ definida positiva (negativa). Nesta sec¸a˜o vamos incluir nesta discussa˜o restric¸o˜es lineares, ja´ que em muitas aplicac¸o˜es e´ comum haver tal tipo de restric¸a˜o. 55 Theorem 21 Para determinar a classificac¸a˜o da forma quadra´tica� ��� � ��*�, � � ��, sujeita a � equac¸o˜es lineares )� � , ) e´ � � �, contrua a matriz sime´trica orlada 3 �� ����� �� � �� ) )� * �� Confira os sinais dos u´ltimos ��� menores principais lı´deres de3 , comec¸ando com o determinante de 3 mesmo. 1. Se �3� tem o mesmo sinal de ����� e se estes u´ltimos ��� menores prin- cipais lı´deres alternam de sinal, enta˜o � e´ definida negativa no conjunto- restric¸a˜o )� � e � � e´ um ma´ximo global estrito de� neste conjunto- restric¸a˜o. 2. Se �3� e estes u´ltimos ��� menores principais lı´deres teˆm todos o mesmo sinal de �����, enta˜o � e´ definida positiva no conjunto-restric¸a˜o )� � e � � e´ um mı´nimo global estrito de � neste conjunto restric¸a˜o. 3. Se ambas as condic¸o˜es � e � sa˜o violadas por menores principais lı´deres na˜o-nulos, enta˜o � e´ indefinida no conjunto-restric¸a˜o )� � e � � na˜o e´ nem um ma´ximo nem um mı´nimo de � neste conjunto-restric¸a˜o. Example 67 Para conferir a classificac¸a˜o de � ���� ��� ��� ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � ����� � ����� no conjunto-restric¸a˜o �� � �� � �� � �� � ��� � �� � 56 construa a matriz orlada 3� � �������������� � � � � �� � � � �� � �� �� � � � � � � �� � �������������� Como este problema tem � � � varia´veis e� � � restric¸o˜es, precisamos conferir as u´ltimas ��� � � submatrizes principais lı´deres de 3�: a pro´pria 3� e 3 � ����������� � � � �� � � � �� �� � � � � ����������� Como � � � e ����� � �, precisamos de �3�� � e �3 � � para verificar se � e´ definida positiva. Por outro lado, como � � � e ����� � �, precisamos de �3�� � e �3 � � para verificar se � e´ definida negativa. Como �3�� � �� e �3 � � ��, concluı´mos que � e´ definida positiva no conjunto-restric¸a˜o e � � e´ um mı´nimo de � restrita ao conjunto-restric¸a˜o. 57 Chapter 5 Otimizac¸a˜o Irrestrita Adiantamos que os principais resultados para func¸o˜es multivariadas sa˜o ana´logos aos resultados unidimensionais, isto e´: 1. Uma condic¸a˜o necessa´ria para �� ser um ma´ximo interior de ! � , ��� e´ que as derivadas primeiras de , avaliadas em �� sejam zero� 2. Se incluirmos uma condic¸a˜o apropriada sobre a derivada segunda de , , enta˜o esta condic¸a˜o necessa´ria torna-se tambe´m suficiente. 5.1 Definic¸o˜es Seja , � - � �� uma func¸a˜o real de � varia´veis, cujo domı´nio e´ um subconjunto de ��. Enta˜o, 1. �� � - e´ um ma´ximo global de , em - se , ���� � , ���, para cada � � - � 2. �� � - e´ um ma´ximo global estrito se �� e´ um ma´ximo e , ���� � , ��� para cada � � - , � �� ��� 58 3. �� � - e´ um ma´ximo local de , se existe uma bola )� ���� em torno de �� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - � 4. �� � - e´ um ma´ximo local estrito de , se existe uma bola )� ���� em torno de �� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - , � �� ��� Invertendo as desigualdades nas quatro definic¸o˜es acima, obtemos as definic¸o˜es de mı´nimo global, mı´nimo global estrito, mı´nimo local e mı´nimo local estrito, re- spectivamente. 5.2 Condic¸o˜es de Primeira Ordem A condic¸a˜o de primeira ordem para um ponto �� ser um ma´ximo ou mı´nimo de uma func¸a˜o � de uma varia´vel e´ que � � ���� � , ou seja, �� seja um ponto crı´tico de � . Esta condic¸a˜o requer que �� esteja no interior do domı´nio de � . A mesma condic¸a˜o vale para uma func¸a˜o , de � varia´veis, considerando as � derivadas parciais +,�+� em ��, para � � �� � � � � �. Neste caso, �� e´ um ponto interior do domı´nio de , se existir uma bola )� ���� em torno de �� contida no domı´nio de , . Theorem 22 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� definida no subconjunto - de��. Se �� e´ um ma´ximo local ou mı´nimo local de , em - e se �� e´ um ponto interior de - , enta˜o +, +� ���� � para � � �� � � � � � Proof. .... Example 68 Seja , ��� �� � �� � �� � ���. +, +� � ��� � �� � � � � �� � � 59 +, +� � ���� � �� � Logo, �� � �� � � �� � �� � ��� � ��� � � � �� � ��� � As soluc¸o˜es sa˜o � � e � � �. Substituindo em � � �����, obtemos � � e � � ��. Logo, � � � e ������ sa˜o candidatos a ma´ximo local ou mı´nimo local de � . 5.3 Condic¸a˜o de Segunda Ordem Definition 27 Um ponto n-dimensional �� e´ um ponto crı´tico de uma func¸a˜o , ���� � � � � ��� se � � satisfaz +, +� ���� � para � � �� � � � � � Assim, no exemplo anterior, os pontos crı´ticos de , ��� �� � ��������� sa˜o � � � e ������. Para determinar se algum destes pontos crı´ticos e´ um ma´ximo ou um mı´nimo, precisamos usar as derivadas segunda de , , supondo que , � ��. Construı´mos enta˜o a matriz � � � de derivadas parciais de segunda ordem de , denominada Hessiana: ��, ���� � ����� ��� ��� � ���� � � � ��� ������ ���� . . . . . . . . . ��� ������ ���� � � � ��� ���� ���� ����� Como derivadas parciais cruzadas de func¸o˜es �� sa˜o iguais, ��, ���� e´ uma matriz sime´trica. 60 5.3.1 Condic¸o˜es Suficientes Theorem 23 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto aberto - ��. Suponha que �� e´ um ponto crı´tico de , , isto e´, �� ��� ���� � para � � �� � � � � �. 1. Se��, ���� e´ uma matriz sime´trica definida negativa, enta˜o �� e´ um ma´ximo local estrito de , � 2. Se��, ���� e´ uma matriz sime´trica definida positiva, enta˜o �� e´ um mı´nimo local estrito de , � 3. Se ��, ���� e´ indefinida, enta˜o �� na˜o e´ nem um ma´ximo local nem um mı´nimo local de , � Definition 28 Um ponto crı´tico �� de , para o qual ��, ���� e´ indefinida e´ chamado ponto de sela. Theorem 24 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto aberto - ��. Suponha que +, +� ���� � para � � �� � � � � � e que os � menores principais lı´deres de ��, ���� alternam de sinal em �� do seguinte modo �,���� � � , ������ ,���� ,����,���� ,���� ������ � , ��������� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ��������� � , � � � Enta˜o, �� e´ uma ma´ximo local estrito de , . 61 Theorem 25 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto aberto - ��. Suponha que +, +� ���� � para � � �� � � � � � e que os � menores principais lı´deres de ��, ���� sa˜o todos positivos em ��: �,���� � � , ������ ,���� ,����,���� ,���� ������ � , ��������� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ,���� ��������� � , � � � Enta˜o, �� e´ uma mı´nimo local estrito de , . Theorem 26 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto aberto - ��. Suponha que +, +� ���� � para � � �� � � � � � e que alguns dos menores principais lı´deres na˜o-nulos de ��, ���� violam o padra˜o de sinais dos dois teoremas anteriores. Enta˜o,�� e´ um ponto de sela de , � na˜o e´ um ma´ximo local nem um mı´nimo local de , . 5.3.2 Condic¸o˜es Necessa´rias (melhorar o texto, pa´gina 412) As condic¸o˜es de segunda ordem necessa´rias para um ma´ximo ou um mı´nimo de uma func¸a˜o sa˜o mais fracas do que as condic¸o˜es su- ficientes. De fato, ao inve´s de avaliarmos se a matriz Hessiana e´ definida positiva ou definida negativa, no´s avaliamos se tal matriz e´ semidefinida negativa (maximo local) ou semidefinida positiva (mı´nimo local). Theorem 27 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto aberto - ��. Suponha que �� e´ um ponto interior de - e que �� e´ um ma´ximo (mı´nimo) local de , . Enta˜o, �, ���� � e ��, ���� e´ semidefinida negativa (positiva). 62 Theorem 28 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� de � varia´veis. Suponha que �� e´ um ponto interior de - . 1. Se �� e´ um mı´nimo local de , , enta˜o �� ��� ���� � para � � �� � � � � � e todos os menores principais da Hessiana��, ���� sa˜o � . 2. Se �� e´ um maximo local de , , enta˜o �� ��� ���� � para � � �� � � � � � e todos os menores principais de ordem impar da Hessiana ��, ���� sa˜o � e todos os menores principais de ordem par da Hessiana��, ���� sa˜o � . Example 69 Seja , ��� �� � �� � �� � ���. +, +� � ��� � �� � � � � �� � � +, +� � ���� � �� � Logo, �� � �� � � �� � �� � ��� � ��� � � � �� � ��� � As soluc¸o˜es sa˜o � � e � � �. Finalmente, substituindo em � � ����� obtemos � � � e ������. +�, +�� � ��, +�, +�+� � �, +�, +�+� � � e +�, +�� � ��� ��, ���� � �� �� � � ��� �� Os menores principais sa˜o, ���� � �� 63 ������ �� �� ��� ������ � ����� � �� Em � � � obtemos e ��� respectivamente, sendo � � � um ponto de sela. Em ������ obtemos �� e ���, enta˜o ��, ������ e´ definida positiva e ������ e´ um mı´nimo local estrito. 5.4 Ma´ximo Global e Mı´nimo Global Na sec¸a˜o anterior discutimos as condic¸o˜es suficientes de primeira e segunda or- dem para encontrarmos todos os ma´ximos e mı´nimos locais de uma func¸a˜o difer- encia´vel cujo domı´nio seja um conjunto aberto em ��. Nesta sec¸a˜o discutimos condic¸o˜es suficientes para um extremo local ser um ma´ximo global ou um mı´nimo global de uma func¸a˜o real em ��. Theorem 29 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto convexo aberto - ��. 1. As treˆs condic¸o˜es a seguir sa˜o equivalentes � , e´ uma func¸a˜o coˆncava em - � � , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - � � ��, ��� e´ semidefinida negativa para qualquer � � - . 2. As treˆs condic¸o˜es a seguir sa˜o equivalentes � , e´ uma func¸a˜o convexa em -� � , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - � � ��, ��� e´ semidefinida positiva para qualquer � � - . 64 3. Se , e´ uma func¸a˜o coˆncava em - e �, ���� � para algum �� � - , enta˜o �� e´ um ma´ximo global de , em - . 4. Se , e´ uma func¸a˜o convexa em - e�, ���� � para algum �� � - , enta˜o �� e´ um mı´nimo global de , em - . (O esboc¸o da prova e´ interessante, pa´gina 414-415) 5.5 Aplicac¸o˜es 5.5.1 Maximizac¸a˜o do Lucro Suponha que uma firma usa � insumos, � � ��, para gerar um u´nico produto, � � 2 ��� � ��. O prec¸o de venda e´ ". A receita e´ dada por � ��� � "2 ���, e o custo e´ representado por uma func¸a˜o � ��� � ��. A firma maximiza o lucro , ��� � "2 ���� � ��� Assumindo que a firma usa quantidades positivas de todos os insumos (� pertence ao interior do �� ), enta˜o no ponto de lucro ma´ximo, ��, temos +, ��� +� � � "+2 ��� +� � +� ��� +� para � � �� � � � � � Ou seja, a receita marginal e´ igual ao custo marginal para cada insumo � . Suponha que � ��� � �� � % � Enta˜o, a condic¸a˜o de receita marginal igual a custo marginal torna-se " +2 ��� +� � % � +2 ��� +� � % " para � � �� � � � � � A condic¸a˜o necessa´ria de segunda ordem para que �� seja um ma´ximo local e´ que ��, ���� seja semidefinida negativa. No caso de custo marginal constante, e´ necessa´rio enta˜o que ��2 ���� seja semidefinida negativa. 65 Example 70 Considere uma firma que produz o bem ! usando dois insumos, � e �. Os prec¸os sa˜o dados. O prec¸o de venda e´ ��, enquanto o prec¸o do insumo � e´ � e o do insumo � e´ �. A func¸a˜o de produc¸a˜o da firma e´ dada por: ! � � �� � ��� � ��� ��� � � �� � ���� Assim a func¸a˜o lucro tem a seguinte expressa˜o: � ��� �� � ��! � ��� �� � ��� �� � �� � � ��� ��� � � �� � ��� � ��� �� CPO: �� � �� ��� ��� � � � �� � � � � � �� � � �� � ��� �� � ��� � � � � �� � �� � � � � �� � �� � � � � �� � �� � CSO: ��� � ��, ��� � ��� � , ��� � ��� 3 � � � �� ��� � � �3�� � �� � , �3�� � ��� � Portanto, a estrate´gia de produc¸a˜o ��� ����� maximiza o lucro. 66 5.5.2 Monopolista Astuto Suponha que um monopolista produz um u´nico bem e atua em dois mercados distintos e separados (um mercado dome´stico e outro externo, por exemplo). Seja � a quantidade demandada no mercado �, 4 � 2 �� � a func¸a˜o de demanda inversa no mercado �, de modo que a receita neste mercado e´ dada por � �� � � 4 � � 2 �� �� Suponha que o custo de produc¸a˜o � dependa da soma � � �� � ��, isto e´, � ��� ����. Enta˜o o lucro torna-se � ���� ��� � 2� ������ �2� ������ � � ��� ���� Se soubermos que a firma ira´ produzir quantidades positivas em cada mer- cado, e que a func¸a˜o lucro seja coˆncava, o nosso problema e´ calcular os pontos de ma´ximo da func¸a˜o lucro � no interior do quadrante positivo. Esses ma´ximos satisfazem: +� +�� � � + 2� ������� +�� � � � ��� ���� +� +�� � � + 2� ������� +�� � � � ��� ���� A receita marginal em cada mercado deve igualar-se ao custo marginal de produc¸a˜o. Example 71 No modelo acima considere as seguintes especificac¸o˜es: 4� ���� � � � ��� 4� ���� � � � � �� � ��� � � � � � 67 em que � � �� ���. Com isso, a func¸a˜o lucro torna-se � ���� ��� � �� � ������ � �� � � ����� � � � � ��� ����� � � �� � ���� � � �� � � ��� � � � � �� � � �� � � �� � ���� � � �� � � ��� � � Condic¸a˜o de primeira ordem: +� +�� � � � � � �� � � �� � � +� +�� � � � � � �� � � �� � � Condic¸a˜o de segunda ordem: +�� +��� � �� , + �� +��� � �� , + �� +���� � +�� +���� � 3 � � � �� �� � � Portanto, �3�� � �� e �3�� � � , o que implica que � ���� ��� e´ uma func¸a˜o coˆncava e a estrate´gia de demanda ��� �� maximiza o lucro. 5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos Considere um monopolista que produz dois bens distintos, � e �� e quer maximizar seu lucro A func¸a˜o demanda de cada bem e´ tal que "� � ��� �� "� � � � �� A func¸a˜o custo do monopolista e´ a seguinte: � ��� �� � �� � ��� � ��� 68 Observe que a produc¸a˜o dos bens e´ interligada, pois o custo possui o temo ���. A func¸a˜o lucro e´ dada por � ��� �� � "� ����� "� ��� � � � ��� �� � ��� �� � ���� ����� �� � ��� � � ��� � ��� � ���� � ��� �� � ���� ��� � � � � ��� � ��� CPO: �� � ��� ��� �� � � ��� � � �� �� � � � ��� � �� � � �� �� � � � � � � � �� Resolvendo o sistema: � �� � ��� � � � �� � � ��� � � � �� �� � � �� � � � ��� � � CSO: ��� � ��, ��� � ��� � ��, ��� � ��� 3 � � � �� �� �� ��� � � �3�� � �� � , �3�� � ��� � Portanto, a estrate´gia de produc¸a˜o ��� �� maximiza o lucro. 69 5.5.4 Concorreˆncia Perfeita: Produc¸a˜o de dois Bens Considere uma firma que produz dois bens sob concorreˆncia perfeita, de modo que os prec¸os sa˜o dados. A func¸a˜o receita e´ dada por � ���� ��� � 4��� � 4��� Supomos que a func¸a˜o custo tem o seguinte formato � ���� ��� � �� � � ������ �� � � A func¸a˜o lucro pode ser escrita como � ���� ��� � 4��� � 4��� � ���� ����� � ���� Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que a firma ira´ produzir quantidades positivas em cada mercado, e que a func¸a˜o lucro seja coˆncava, o nosso problema e´ calcular os pontos de ma´ximo da func¸a˜o lucro � no interior do quadrante positivo. As condic¸o˜es necessa´rias de primeira ordem sa˜o: +� ���� ��� +�� � � 4� � ��� ��� � +� ���� ��� +�� � � 4� ��� � ��� � Temos um sistema. ��� ��� � 4� �� � ��� � 4� � ! �� � �4� � 4��� e �� � �4� � 4��� Portanto, se 4� � �� e 4� � ��, �� � � e �� � �. Condic¸a˜o de segunda ordem: +�� +��� � ��, + �� +��� � ��, + �� +���� � +�� +���� � �� 70 3 � � � �� �� �� �� � � Portanto, �3�� � �� e �3�� � �� � � � ��, o que implica que � ���� ��� e´ uma func¸a˜o coˆncava e a estrate´gia de demanda ��� �� maximiza o lucro quando 4� � �� e 4� � ��. 5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos Considere um monopolista que produz dois bens substitutos, com as seguintes func¸o˜es de demanda: �� � � � �4� � 4� (5.1) �� � �� � 4� � 4� (5.2) Observe que o aumento no prec¸o de uma mercadoria aumenta a demanda da outra. Queremos expressar 4� e 4� como func¸a˜o das quantidades para construir a func¸a˜o lucro que dependa somente das quantidades. Note que (5.1) implica 4� � �� � � � �4� (5.3) Substituindo em (5.2) obtemos: �� � �� � 4� ��� � � � �4� �� � ����� � 4� 4� � ����� ��� Substituindo em (5.3) obtemos: 4� � �� � � � � ������ ���� 4� � �� � � � �� � ��� � ��� 4� � � ��� � ��� 71 A receita da firma pode ser escrita como: � ���� ��� � 4� ���� ����� � 4� ���� ����� � ������ ������ � �� ��� � ������ � ���� ���� ����� � � �� ����� � ���� � ���� ���� � ����� � � �� � ���� A func¸a˜o custo total e´ dada por � ���� ��� � � � � ����� �� � � Como o custo marginal de �� depende de �� e, vice-versa, as duas mercadorias sa˜o tecnicamente relacionadas na produc¸a˜o. A func¸a˜o lucro torna-se: � ���� ��� � � ���� ���� � ���� ��� � ���� ���� � ����� � � �� � ���� � � ��� ����� �� � � � � ���� � ���� � ����� � � �� � ���� Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que a firma ira´ produzir quantidades positivas em cada mercado, o nosso problema torna-se calcular os pontos de ma´ximo da func¸a˜o lucro � no interior do quadrante positivo. As condic¸o˜es necessa´rias de primeira ordem sa˜o: +� ���� ��� +�� � � ��� ��� � ��� � +� ���� ��� +�� � � ���� � � � ��� � Temos um sistema. ��� � ��� � �� ��� � ��� � � � ! �� � � e �� � ��� 72 Condic¸a˜o de segunda ordem: +�� +��� � ��, + �� +��� � ��, + �� +���� � +�� +���� � �� 3 � �� �� �� �� �� �� Portanto, �3�� � �� e �3�� � ��� � � ��, o que implica que � ���� ��� e´ uma func¸a˜o coˆncava e a estrate´gia de demanda ��� ����� maximiza o lucro. 5.6 Exercı´cios de Fixac¸a˜o Questa˜o 1) Analise se as func¸o˜es abaixo possuem pontos de ma´ximo local e/ou mı´nimo local. a) ���� �� � �� � �� � ��� �� CPO: �� � ��� � � � � � �� �� � ��� � � � � � � � CSO: ��� � � ��� � ��� � ��� � �� 3 � �� � �� �� �3�� � � � �3�� � �� � Assim ���� �� e´ um ponto de sela. 73 b) ���� �� � � �� � � � � �� �� CPO: �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � CSO: ��� � � � �� ��� � ��� � ��� � � � �� 3 � �� � ��� � � �� �� 3 ��� �� � �� �� �� � �� �3�� � �� � �3�� � � � � Assim, ��� �� e´ um ponto de ma´ximo. c) � ��� �� � �� ��� � �� � ��� � ��, em que � �� �� �� � . CPO �� � � ���� � � � � � � � ��� �� � �� ��� � � � Resolvendo o sistema: �� �� �� � ��� � � � � � � � �� ����� �� � � � � ����� � � �� � �� � � �� � � � ��� 74 �� � � � �� � � �� � � � ��� � CSO ��� � �� ��� � ��� � ��� � �� 3 � �� �� �� �� �3�� � �� �3�� � ���� � Assim, ���� ��� e´ um ponto de ma´ximo se: �� � � � ���� � � ��� � � Note que, como � e´ negativo, ��� � , se e somente se � � . Por outro lado, ���� ��� e´ um ponto de mı´nimo se: �� � � � ���� � � ��� � � Note que, como � e´ positivo, ��� � , se e somente se � � . d) � ��� �� !� � ��� � �� � !� � �� � �! CPO �� � ���� � � � �� � � �� � ��� � �� ! � �� � ��! � � � � �! � � 75 Logo, � � � � � ! Substituindo, ��� � �� ! � ��� � � � � � � � � � Obtemos � � � �. CSO ��� � ��� ��� � �� ��� � ��� � �� ��� � ��� ��� � � ��� � � ��� � �� ��� � �� 3 � ����� �� � � �� � � �� ����� �3�� � �� � �3�� � �� � � � � �3�� � ��� ���� �� � �� � Logo, � � � � e´ um ponto de ma´ximo. e) � �.�/� � .���/��� �. � � � /� CPO �� � � � .����/��� � � � � � / . � � � � �� / . � �� / � �. 76 �� � � � .���/���� � / � � � . / ���� � �/� . / � �/� � . � �/� Portanto, . � � ��.�� . � � � ��.� � . � ���.� .� � � ��� .� � � �� � /� � � � CSO ��� � �� � .����/��� ��� � ��� � � � .����/���� ��� � �� � .���/���� � � 3 � � �� � � � � � �� ��� � ����� �� ���� �� �� � ����� �� ����� �� � � � � �� �� � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � � �� � � � � �� 3 � � �� � � � � � �� ��� � ��� �� �� � �� � � � � �� � �� � � � � � �� � �� 3 � � �� � � � � � � � �� � � �� � � � �3�� � �� � �3�� � ��� � � � � Portanto, ������ ���� e´ um ponto de ma´ximo. f) � ��� �� !� � 5 � �� 6 � � � 7 � ! � �� � � !, em que 5� 6� 7 � . 77 CPO �� � 5 � � � � � � � 5 �� � 6 � � � � � � � 6 �� � 7 ! � � � � ! � 7 Encontramos �5� 6� 7�. CSO �� � � 5 �� �� � � 6 �� �� � � 7 !� As demais derivadas de segunda ordem sa˜o nulas. Enta˜o, 3 � ����� � � �� � � �� � �� ����� 3 �5� 6� 7� � ����� � � � � � � � � ����� �3�� � � � 5 � �3�� � � 56 � �3�� � � � 567 � E, �5� 6� 7� e´ um ma´ximo local. g) � ��� �� � �� � �� � �� � ��� � 78 CPO: �� � ��� � � � � �� � �� �� � Logo, � � ���, e � ����� � � � � � ��� � � � � �� � �� O que implica que �� � �. CSO: ��� � �, ��� � ��� � �, ��� � � 3 � � � � � � � � � �3�� � � � , �3�� � � � Assim, ������ e´ um ponto de mı´nimo. h) � ��� �� � �� � � ��� � ��� CPO: �� � � � �� �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � � �� � �� � �� � Dai, �� � � �� � � �� � �� 79 Portanto, se � � sabemos que � � � . Substituindo nas condic¸o˜es de primeira ordem: �� � �� � �� � ��� � �� � �� � � Mas, �� �� � � �, enta˜o � � � � � ou � ��. Portanto, obtemos ��� �� e �������. CSO: ��� � � � � �� � �� � �� ��� � ���� �� � � ��� � � ��� � ��� ��� � ���� ��� � � � � �� � �� � �� ��� � ���� �� � � ��� � � ��� � ��� ��� � ���� ��� � ��� � � � �� ��� � ��� �� � � � ��� ��� � ��� 3 ��� �� � 3 ������� � � � � � � � �3�� � , �3�� � �� � Portanto, ��� �� e ������� sa˜o pontos de sela. 80 i) � ��� �� � � � �� � �� CPO: �� � �� � � � � �� � ��� � � � � CSO: ��� � �, ��� � ��� � , ��� � �� 3 � �� � �� �� �3�� � � , �3�� � �� � Portanto, � � � e´ um ponto de sela. j) � ��� �� !� � ���� � ���� � ���� � ���� � ��� � � CPO: ��� � ���
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