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363432387-Otimizacao-Estatica-Fabio-Augusto-Reis-Gomes

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Otimizac¸a˜o Esta´tica
Versa˜o Preliminar. Sujeita a alterac¸o˜es.
Fa´bio Augusto Reis Gomes
fabio@cepe.ecn.br
March 28, 2005
Abstract
Nestas notas apresentamos me´todos de otimizac¸a˜o esta´tica, considerando prob-
lemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revisa˜o de
ca´lculo e a´lgebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizac¸a˜o sem
restric¸a˜o e com restric¸o˜es de igualdade e de desigualdade.
Contents
I Revisa˜o 5
1 Ca´lculo de uma varia´vel 6
1.1 Algumas Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Regras Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Identificac¸a˜o de Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Func¸o˜es com Apenas um Ponto Crı´tico . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Func¸o˜es com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20
1.5.4 Func¸o˜es cujo Domı´nio e´ um Intervalo Fechado Finito . . . 20
1.6 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 ´Algebra Linear 29
2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis 34
3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Representac¸a˜o Geome´trica das Func¸o˜es . . . . . . . . . . 36
3.3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43
3.4 Func¸a˜o Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Curvas de Nı´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II Otimizac¸a˜o Esta´tica 49
4 Formas Quadra´ticas e Matrizes Definidas 50
4.1 Formas Quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Formas Quadra´ticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sime´trica . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Restric¸o˜es Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Otimizac¸a˜o Irrestrita 58
5.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Condic¸o˜es de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Condic¸a˜o de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Condic¸o˜es Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.2 Condic¸o˜es Necessa´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2
5.4 Ma´ximo Global e Mı´nimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.1 Maximizac¸a˜o do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68
5.5.4 Concorreˆncia Perfeita: Produc¸a˜o de dois Bens . . . . . . . 70
5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71
5.6 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Otimizac¸a˜o Restrita I 84
6.1 Restric¸o˜es com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Duas Varia´veis e uma Restric¸a˜o de Igualdade . . . . . . . 84
6.1.2 Va´rias Restric¸o˜es de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.3 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Restric¸o˜es de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.1 Uma Restric¸a˜o de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 Caso com va´rias restric¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.3 Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Restric¸o˜es de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Otimizac¸a˜o Restrita II 116
7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.1 Uma Restric¸a˜o de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1.2 Va´rias Restric¸o˜es de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.3 Restric¸o˜es de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118
3
7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 Problemas sem restric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.2 Problemas com restric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 Condic¸a˜o de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4
Part I
Revisa˜o
5
Chapter 1
Ca´lculo de uma varia´vel
1.1 Algumas Definic¸o˜es
Definition 1 Uma func¸a˜o � e´ estritamente crescente se
�� � �� � � ���� � � ����
Example 1 Examine se a func¸a˜o � ��� � �� � � e´ estritamente crescente. Tome
�� e �� tais que �� � ��. Enta˜o queremos verificar se
� ���� � � ����
��� � � � ��� � �
�� � ��
Obviamente, tal func¸a˜o e´ estritamente crescente.
Definition 2 Uma func¸a˜o � e´ estritamente decrescente se
�� � �� � � ���� � � ����
6
Example 2 Examine se a func¸a˜o � ��� � ��� e´ estritamente decrescente. Tome
�� e �� tais que �� � ��. Enta˜o queremos verificar se
� ���� � � ����
���� � ����
��� � �
�
�
�� � ��
Obviamente, tal func¸a˜o e´ estritamente decrescente.
Observe que se uma func¸a˜o � passa de decrescente para crescente em ��, isto
implica que ���� � ����� e´ um mı´nimo local desta func¸a˜o, isto e´, � ���� � � ���
para todo � na vizinhanc¸a de ��. Por outro lado, se uma func¸a˜o passa de crescente
para decrescente em ��, isto implica que ���� � ����� e´ um ma´ximo local desta
func¸a˜o, isto e´, � ���� � � ��� para todo � na vizinhanc¸a de ��.
Definition 3 Se uma func¸a˜o e´ deriva´vel em cada ponto �� de seu domı´nio �,
dizemos que tal func¸a˜o e´ deriva´vel ou diferencia´vel.
Definition 4 Se a func¸a˜o � ��� possui derivadas de ordem �� �� ���� � e se a � �
�	
��
 derivada de �
� ��� �
���
���
���
e´ uma func¸a˜o contı´nua, no´s dizemos que � e´ � vezes continuamente diferencia´vel
ou � � �� para abreviar.
Remark 1 Para � � � ao inve´s de � vez continuamente diferencia´vel dizemos
apenas continuamente diferencia´vel.
7
1.2 Regras de Derivac¸a˜o
1.2.1 Regras Ba´sicas
Seja � � � ���, � � � ��� e � uma constante.
1. Constante
��� � 	
2. Multiplicac¸a˜o por uma constante
�� ���� � ����
3. Soma (subtrac¸a˜o)
�� ��� �� � �������
4. Multiplicac¸a˜o
�� ���� � ���� � ����
5. Divisa˜o
��
��
�
�
�
����� ����
��
1.2.2 Regra da Cadeia
A regra da cadeia e´ usada para derivar func¸o˜es formadas pela composic¸a˜o de
outras func¸o˜es. Se � e � sa˜o func¸o˜es no ��, a func¸a˜o � obtida pela aplicac¸a˜o da
func¸a˜o � ao resultadode � ��� e´ chamada func¸a˜o composta das func¸o˜es � e �, de
modo que
� ��� � � 
� ���� ou � ��� � �� � �� ���
A regra da cadeia e´ usada para derivar func¸o˜es compostas e estabelece que
�
��
� �� ����� � �� �� ���� �� ���
8
1.2.3 Outras Regras
1. Poteˆncia
���
� � ��������
2. Exponencial
��	
� � 	����
��
� � 
� �
 �
����
3. Logaritmo
�� �
 ��� � �
�
���
�� ���� ��� �
�
� �
 
���
4. Trigonome´tricas
��
	� ��� � ��� ������
�� ��� ��� � �
	� ������
���� ��� � ���
� ������
�� ��� ��� � � ���� ������
�� ��� ��� � ��� ��� �� ������
�� ��� ��� � � ��� ��� ��� ������
��
	�
�� ��� �
�	
�� �����
�� ���
�� ��� �
��	
�� �����
����
�� ��� �
�
� � ��
���
�� ���
�� ��� �
�
�
	
�� � ����
9
Example 3
�
��
�
�� � ��� �
�
� �
�� �
Example 4
�
��
��
�� � ��� �� ��� � ���� � ���� �� ��� � ������� � ��� �� ���� � ��
Example 5
�
��
�
�� � �
�� � �
�
�
��
�� � �
� ��� � �� ��
��� � ���
�
�� ��� � ��� �� ��� � ��
��� � ���
Example 6
�
��
	�
�� � ��� � ��	
 � � ��� � ��� � �� ���� � ���
Example 7
�
��
�
����� � ����
�
� ������ � ����
Example 8
�
��
�
	�
�
�� � ��
��
�
�
���
�
�� � ��
�� �
��� � �
�
Example 9
�
��
�
		�
�
� �		�
Example 10
�
��
	
�	�
�
� ���� �	�
�
� �	�	�
�
Example 11
�
��
	� �
 �� � 	� �
 �� 	�
�
�
10
Example 12
�
��
�
�
 ��
�
�
�
��
�� �
�
�
Example 13
�
��
�
��
���
�
� �� �
 ��
�
�
�
� �
 �
�
Example 14
�
��
�
�	���
�
� 	��� � �	��� ���� � 	��� ��� ��
Example 15
�
��
�
�
�
�� � ��� �
��
�
�
�� � ��� �
���� ��
Example 16
�
��
�	�� � ��
 �	� �	�
1.3 Derivada Primeira
Usando a derivada primeira podemos examinar se uma func¸a˜o e´ crescente ou de-
crescente. Esta informac¸a˜o esta contida no sinal da derivada primeira.
Theorem 1 Seja � uma func¸a˜o continuamente diferencia´vel em ��. Enta˜o:
1) se � � ���� � 	, existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e´ crescente�
2) se � � ���� � 	, existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e´ decrescente.
Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e´ ana´logo). Como � e´
diferencia´vel
���
���
� ��� � ��� � ����
�
� � � ���� � 	
11
Logo se � e´ pequeno e positivo � ��� � ��� � ���� � 	. Seja �� � �� � �, enta˜o
para � pequeno e positivo
�� � �� � � ����� � ���� � 	
E, portanto, � e´ crescente na vizinhanc¸a de ��.
O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.
Theorem 2 Seja f uma func¸a˜o continuamente diferencia´vel no domı´nio � 
 ��.
Com isso,
1) se � � � 	 no intervalo �
� �� 
 �, enta˜o � e´ crescente em �
� ���
2) se � � � 	 no intervalo �
� �� 
 �, enta˜o � e´ decrescente em �
� ���
3) se f e´ crescente em �
� ��, enta˜o � � � 	 em �
� ���
4) se f e´ decrescente em �
� ��, enta˜o � � � 	 em �
� ���
A derivada primeira e´ usada tambe´m para encontrar pontos crı´ticos de uma
func¸a˜o � .
Example 17 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente
� ��� � ��� �
Derivada primeira
� � ��� � �
Portanto, � � ��� � 	 em todo domı´nio. Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente em todo
domı´nio.
Example 18 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente
� ��� � �� � ��
Derivada primeira
� � ��� � ��� � �
12
Portanto, � � ��� � 	 quando
��� � �
�� � �
Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente quando � � �� ou � � �.
Example 19 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente
� ��� � �
 �� �
em que � � 	. Derivada primeira
� � ��� � ���� �
Portanto, � � ��� � 	 quando
��� � �
� � �
Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente quando 	 � � � �.
Example 20 Examine em quais regio˜es a func¸a˜o e´ crescente
� ��� �
	
�� �
 �
em que � � 	. Derivada primeira
� � ��� �
�
�
����� � �
�
Portanto, � � ��� � 	 quando
�
�
����� �
�
�
���� � �
� � �
Ou seja, a func¸a˜o e´ crescente quando � � �.
13
Definition 5 Os pontos nos quais � � ��� � 	 ou � � ��� na˜o e´ definido sa˜o chama-
dos pontos crı´ticos.
Example 21 Encontre os pontos crı´ticos
� ��� � �� � ��� � � ��� � ��� � � � 	� � � ��
Example 22 Encontre os pontos crı´ticos considerando que � � 	.
� ��� � �
 �� �� � � ��� � ���� � � 	� � � �
Note � � ��� na˜o esta´ definido para � � 	. Pore´m este ponto foi excluı´do inicial-
mente.
Example 23 Encontre os pontos crı´ticos considerando que � � 	
� ��� �
	
�� �
 �� � � ��� � �
�
����� � �
�
� 	� � � �
Note � � ��� na˜o esta´ definido para � � 	. Pore´m estes pontos foram excluı´dos
inicialmente.
1.4 Derivada Segunda
Em muitas situac¸o˜es gostarı´amos de saber mais do que se uma func¸a˜o e´ crescente
ou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se � � ��� e´ crescente ou decres-
cente. Para tanto e´ preciso computar a derivada segunda, � �� ���. Caso � �� ��� � 	
a derivada primeira e´ crescente na vizinhanc¸a de �. Se � �� ��� � 	 a derivada
segunda e´ decrescente na vizinhanc¸a de �.
Definition 6 Seja � � ��. Se � �� ��� � 	 no intervalo � , enta˜o � e´ denominada
concava (concava para baixo) em � . Se � �� ��� � 	 no intervalo � , enta˜o � e´
denominada convexa (concava para cima) em �.
14
Existe tambe´m uma definic¸a˜o para func¸o˜es coˆncavas e convexas baseada no
seguinte argumento. Observando o gra´fico de uma func¸a˜o coˆncava, notamos que
a reta secante ligando dois pontos quaisquer do gra´fico da func¸a˜o fica acima deste
gra´fico. Para uma func¸a˜o convexa, a reta secante fica a baixo do gra´fico. Para
chegarmos a esta definic¸a˜o alternativa e´ preciso aprsentar alguns conceitos.
Para dois pontos 
 e �, 
 � �, o conjunto de pontos entre 
 e � e´ dado pelo
conjunto ��� � 
� �� de todas as combinac¸o˜es convexas de 
 e �:
��� � ���� �� 
� ��� 	 � � � ��
Assim, o gra´fico de � em ��� e´ o conjunto de pontos
���� �� 
� ��� � ���� �� 
� ��� � 	 � � � ��
Por outro lado, a reta secante ligando os pontos �
� � �
�� e ��� � ���� no gra´fico
de � e´ dada por
��� �� �
� � �
�� � � ��� � ���� � ���� �� 
� ��� ��� �� � �
� � �� ����
para � � 
	� ��.
Definition 7 Uma func¸a˜o � e´ coˆncava (coˆncava para baixo) no intervalo � se e
somente se
� ���� �� 
� ��� � ��� �� � �
� � �� ��� (1.1)
para todo 
, � � � e para todo � � 
	� ��. Uma func¸a˜o � e´ convexa (coˆncava para
cima) no intervalo � se e somente se
� ���� �� 
� ��� � ��� �� � �
� � �� ��� (1.2)
para todo 
, � � � e para todo � � 
	� ��
Esta definic¸a˜o e´ mais geral porque se aplica a func¸o˜es na˜o diferencia´veis. No
entanto a condic¸a˜o (1.1) 
������ e´ equivalente a � �� ��� � 	 
� �� ��� � 	� no inter-
valo ��� para func¸o˜es ��.
15
Example 24 Verifique se a func¸a˜o � � �� e´ convexa, no intervalo ��� � 
� ��.
Pela definic¸a˜o, tal func¸a˜o e´ convexa se
���� �� 
� ���� � ��� �� 
� � ���
��� ��� 
� � �� ��� �� 
�� ���� � ��� �� 
� � ���
�� ��� �� 
� � �� ��� ��� � ��� ��� 
� � ���� � �� ��
�� ��� �� 
� � ��� ���
� ��� �� � �� 
� � ����
�
� � 
� � ��
	 � 
� � �
�� ��
	 � �
� ���
Portanto, fica claro que tal func¸a˜o e´ convexa no intervalo ���. Usando a noc¸a˜o de
derivada terı´amos
�� � ��
��� � � � 	
Fica claro que a func¸a˜o e´ convexa em todo seu domı´nio.
Example 25 Verifique se a func¸a˜o � � ��� e´ coˆncava, no intervalo ��� � 
� ��.
Pela definic¸a˜o, tal func¸a˜o e´ coˆncava se
� ���� �� 
� ���� � � ��� �� 
� � ���
���� �� 
� ���� � ��� �� 
� � ���
Como vimos no exemplo acima, esta u´ltima desigualdade e´ satisfeita. Usando a
noc¸a˜o de derivada terı´amos
�� � ���
��� � �� � 	
Fica claro que a func¸a˜o e´ coˆncava emtodo seu domı´nio.
16
Example 26 Analise a concavidade da func¸a˜o
� ��� � �� � ��
Derivada primeira e segunda
� � ��� � ��� � �
� �� ��� � ��
Portanto,
� �� ��� � 	 quando � � 	
� �� ��� � 	 quando � � 	
E, quando � � 	 a func¸a˜o e´ convexa e quando � � 	 a func¸a˜o e´ concava.
Example 27 Verifique a concavidade da func¸a˜o densidade da distribuic¸a˜o nor-
mal padra˜o
� ��� �
�	
��
	��
���
Derivada primeira
� � ��� �
�	
��
	��
��� ����
� � �	
��
�	��
���
Derivada segunda
� �� ��� � � �	
��
	
	��
��� � �	��
��� ����
� � �	
��
	
	��
��� � ��	�����
�
	��
���
	
��
�
�� � ��
17
Como 	����� � 	,
� �� ��� � 	
 �� � � � 	
 � � ��
Portanto,
�� � � � ��� � �� ��� � 	� convexa
�� � � � ��� � �� ��� � 	� concava
�� � � � ��� � �� ��� � 	� convexa
A derivada segunda e´ usada tambe´m para encontrarmos pontos crı´ticos de
segunda ordem e pontos de in�exa˜o.
Definition 8 Os pontos nos quais � �� ��� � 	 sa˜o chamados pontos crı´ticos de
segunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles sa˜o
chamados pontos de in�exa˜o.
1.5 Ma´ximos e Mı´nimos
1.5.1 Identificac¸a˜o de Ma´ximos e Mı´nimos
Os resultados acima sa˜o utilizados para encontrarmos pontos de ma´ximo ou mı´nimo
de uma func¸a˜o � no ��.
1. A func¸a˜o � apresenta um ma´ximo local em �� se � ��� � � ���� para cada
� em algum intervalo aberto contendo ��.
2. A func¸a˜o � apresenta um ma´ximo global em �� se � ��� � � ���� para cada
� no domı´nio de � .
3. A func¸a˜o � apresenta um mı´nimo local em �� se � ��� � � ���� para cada
� em algum intervalo aberto contendo ��.
18
4. A func¸a˜o � apresenta um mı´nimo global em �� se � ��� � � ���� para cada
� no domı´nio de � .
Seja � uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ ���. Enta˜o um ma´ximo ou mı´nimo podem
ocorrer na borda (fronteira) do intervalo ���, isto e´, em 
 ou �, ou no interior
do intervalo. No primeiro caso, temos um ma´ximo ou mı´nimo de fronteira. No
segundo caso temos um ma´ximo ou mı´nimo interiores. Para o caso interior o
seguinte teorema se mostra bastante u´til.
Theorem 3 Se �� e´ um ma´ximo ou mı´nimo interior de � , enta˜o �� e´ um ponto
crı´tico de � .
Proof. fazer gra´fico
Caso �� seja um ponto crı´tico de � como saberemos se �� e´ um ma´ximo ou
mı´nimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de � em ���, como
segue.
Theorem 4
1) se � � ���� � 	 e � �� ���� � 	, enta˜o �� e´ um ma´ximo de � �
2) se � � ���� � 	 e � �� ���� � 	, enta˜o �� e´ um mı´nimo de � �
3) se � � ���� � 	 e � �� ���� � 	, enta˜o �� pode ser um ma´ximo, um mı´nimo ou nenhum dos dois�
Proof. fazer gra´fico
Em muitas situac¸o˜es gostarı´amos de saber se um ma´ximo local e´ um ma´ximo
global, ou se um mı´nimo local e´ um mı´nimo global. Em treˆs casos, tal investigac¸a˜o
se torna bastante simples:
1. Quando � tem apenas um ponto crı´tico em seu domı´nio�
2. Quando � �� � 	 ou � �� � 	 em todo o domı´nio de � �
3. Quando o domı´nio de � e´ um intervalo fechado e limitado.
19
1.5.2 Func¸o˜es com Apenas um Ponto Crı´tico
Theorem 5 Suponha que
1) o domı´nio de � e´ um intervalo � 
 ��
2) �� e´ uma ma´ximo local de � ,
3) �� e´ o u´nico ponto crı´tico de � em �
Enta˜o, �� e´ um ma´ximo global de � em � .
Proof. ....
1.5.3 Func¸o˜es com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero
Theorem 6 Se � e´ uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ � e se � �� nunca e´ zero em � ,
enta˜o � tem no ma´ximo um ponto crı´tico em � . Este ponto crı´tico e´ um mı´nimo
global se � �� � 	 e uma ma´ximo global se � �� � 	.
Proof. ....
1.5.4 Func¸o˜es cujo Domı´nio e´ um Intervalo Fechado Finito
O teorema de Weierstrass estabelece que uma func¸a˜o contı´nua cujo domı´nio e´ um
intervalo fechado e limitado 
� �� possui um ma´ximo global e um mı´nimo global
em seu domı´nio.
Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de ma´ximo ou mı´nimo
interior de � e´ um ponto crı´tico desta func¸a˜o. Os outros candidatos para ma´ximo
oum mı´nimo sa˜o os limites do intervalo: � � 
 e � � �. Portanto, se estamos
procurando por um ma´ximo (mı´nimo) global de uma func¸a˜o � � �� de domı´nio
� �� no´s precisamos somente de:
1. encontrar os pontos crı´ticos de � , resolvendo � � ��� � 	 para � � �
� ���
20
2. calcular � nesses pontos crı´ticos e nos pontos 
 e ��
3. escolher dentre esses pontos aquele que da´ o maior (menor) valor de ��
Example 28 Considere a func¸a˜o
� ��� � ��� � ���� � �		�� �		
Encontre o valor de � que ma´ximiza esta func¸a˜o no intervalo 
	� �	�. Primeira-
mente obtemos os valores crı´ticos.
� � ��� � ��� � �	�� �		 � 	
�� � ���� �	 � 	
� �
���	���� �		
�
�
��� �
�
�
�� �	�
Enta˜o calculamos � ��� nos pontos crı´ticos, � e �	 e nas fronteiras,	 e �	.
� �	� � �		, � ��� � ����, � ��	� � �			 e � ��	� � �	���
Assim, o ma´ximo global ocorre quando � � �	 e o mı´nimo global ocorre quando
� � 	.
Example 29 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o
� ��� � �� � ���� � ���� �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Primeiro
obtemos a sua derivada
� � ��� � ��� � ���� ��
Igualando a zero
��� � ���� �� � 	
�� � ��� �� � 	
21
Cuja soluc¸a˜o e´ dada por
� �
��	��� ��
�
� �
�� �
�
� �
�
� ��
Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, os pontos crı´ticos sa˜o � e �.
Note que � ��� � � e � ��� � �	, o que sugere que � e´ um ponto de ma´ximo e � e´
um ponto de mı´nimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos.
� �� ��� � ��� ��
� �� ��� � ��� � 	� concavo � ma´ximo local
� �� ��� � �� � 	� convexo � mı´nimo local
Example 30 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o custo me´dio
��	 � � ��� � �� � ��� �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Derivando
� � ��� � ��� �
Igualando a zero
��� � � 	� � � ���
Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, o u´nico ponto crı´tico e´ ���.
Calculamos a derivada segunda.
� �� ��� � � � 	
� �� ����� � � � 	� convexo � mı´nimo local
22
´E fa´cil notar que este mı´nimo local e´ um mı´nimo global. Uma raza˜o simples e´
que a func¸a˜o apresenta apenas um ponto crı´tico. Outra raza˜o e´ que a func¸a˜o e´
convexa em todo domı´nio (� �� ��� � 	, independente de �)
Example 31 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o
� ��� � ��� � �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Derivando
� � ��� � ��� �
Igualando a zero
��� � � 	� � � �
�
Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o esta´ definido, o u´nico ponto crı´tico e´ ���.
Calculando a derivada segunda
� �� ��� � �
� �� ����� � � � 	� convexo � mı´nimo local
Novamente, observe que temos apenas um ponto crı´tico e que a func¸a˜o e´ convexa
em todo domı´nio.
Example 32 Ache os pontos crı´ticos da func¸a˜o
� ��� � �� � ��� � �
E examine se os mesmos correspondem a pontos de ma´ximo ou mı´nimo. Derivando
� � ��� � ��� � ��
Igualando a zero
��� � �� � 	
�� � �� � 	
� ��� �� � 	
23
Logo, � � 	 e � � � sa˜o os pontos crı´ticos. Como na˜o existe � tal que � � ��� na˜o
esta´ definido, o u´nicos pontos crı´ticos sa˜o 	 e �. Note que � �	� � � enquanto
� ��� � ��. Calculando a derivada segunda
� �� ��� � ��� �
� �� �	� � �� � 	� concavo � maximo local
� �� ��� � � � 	� convexo � mı´nimo local
1.6 Func¸a˜o Inversa
Para qualquer func¸a˜o � � � � ��, em que o domı´nio � de � e´ um subconjunto
do ��, no´s dizemos que a func¸a˜o � � � � �� e´ uma inversa de � se:
1) � �� ���� � � para todo � no domı´nio � de � � e
2) � �� �!�� � ! para todo ! no domı´nio � de �.
Example 33 Considere a func¸a˜o de demanda pelo bem �
� �"� � �� �" (1.3)
em que " e´ o prec¸o. Isolando o prec¸o
" ��� �
�
�
��� �� (1.4)Para verificar se (1.4) e´ a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima.
� �" ���� � �� �
�
�
�
��� ��
�
� �� � � � � �
" �� �"�� �
�
�
�� ��� �"�� � �
�
��� � � �"� � "
24
Suponha que � seja uma inversa de uma func¸a˜o � qualquer, de modo que,
� ���� � �� 
 � ���� � ��
Suponha agora que � �!�� � ��, em que !� �� ��. Enta˜o � precisa ser tal que
� ���� � !�. Ou seja, ao mesmo tempo temos � ���� � �� e � ���� � !�, o que
e´ impossı´vel. Portanto, observamos que, para � possuir uma inversa e´ necessa´rio
que � na˜o associe o mesmo ponto na imagem a` diferentes pontos de seu domı´nio,
isto e´,
�� �� �� � � ���� �� � ���� (1.5)
Ou equivalentemente,
� ���� � � ����� �� � �� (1.6)
Definition 9 Uma func¸a˜o � que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e´ de-
nominada injetora, neste intervalo .
Example 34 Considere a func¸a˜o � � � ��� � ��. Como uma func¸a˜o definida em
todo ��, � na˜o e´ injetora pois � � 
 e � � �
 geram � ��� � 
�. Logo, na˜o
existe uma finc¸a˜o inversa. Contudo, se restringirmos o domı´nio a 
	��� enta˜o a
func¸a˜o � passa a ser injetora e sua inversa e´ � ��� � 	� com domı´nio 
	���.
Theorem 7 Uma func¸a˜o � definida no intervalo do �� possui uma inversa
bem definida no intervalo � � � se e somente se � e´ monotonamente crescente ou
monotonamente decrescente em todo intervalo .
Note que, se � e´ monotonamente crescente ou descrescente automaticamente
�� �� �� � � ���� �� � ����. Para func¸o˜es diferencia´veis este teorema pode ser
reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma func¸a˜o possui
inversa.
25
Theorem 8 Uma func¸a˜o � � �� definida no intervalo do �� e´ injetora e,
portanto, invertı´vel em se � � ��� � 	 para todo � � ou � � ��� � 	 para todo
� � .
O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes.
Theorem 9 (Teorema da Func¸a˜o Inversa) Seja � uma func¸a˜o �� definida no
intervalo � do ��. Se � � ��� �� 	 para cada � � � enta˜o:
1) � e´ invertı´vel em � ,
2) sua inversa � e´ uma func¸a˜o �� no intervalo � ��� e
3) para todo ! no domı´nio da func¸a˜o inversa �, vale
�� �!� �
�
� � �� �!��
Note que � �� �!�� � !, logo aplicando a regra da cadeia � � �� �!�� �� �!� � �
e com isso �� �!� � ��� � �� �!��.
Example 35 A inversa de � � � ��� � �� e´ � � � ��� � ���. Observe que
�� ��� �
�
�
Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa,
�� ��� �
�
� � �� ����
�
�
� � ���
�
�
�
Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade � de modo a max-
imizar a receita, levando em conta a func¸a˜o de demanda� �"� � �.
���
	
�
"� � � ���
 � �"� � �
Assuma que � ��� � �� e que a func¸a˜o de demanda e´ linear� �"� � 
��", em que
�� 
� �� � 	. O domı´nio de " e´ dado pelo intervalo �	 � �	����. Como � �"� e´
26
monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a func¸a˜o inversa existe.
No caso,
� � 
� �"� " � 
�
� �
�
Substituindo no problema do consumidor, temos
���
	
�
"� � ��
 " � �
�
� �
�
Equivalendo a
���
�
	
�
� �
�
� � ��
���
�
�
�
� �
�
� � �
�
�
Pontos crı´ticos:
�
��
��
�
� �
�
� � �
�
�
�
� 	�
�
� �
�
� ��
�
� 	
�� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
� ��
�
Concavidade (derivada segunda):
�
��
	�
�
� �
�
� ��
�
� ��
�
� 	
Pois � � 	. Portanto a func¸a˜o e´ concava em todo domı´nio e �� e´ um ponto de
ma´ximo global.
Example 37 No exemplo anterior assuma que � ��� � �� e � �"� � �"��, em
que �� �� #�� 	. O domı´nio de " e´ dado pelo intervalo �	 � �	����. Como� �"�
27
e´ monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a func¸a˜o inversa
existe. No caso,
� � �"�� � " �
��
�
�� �
�
Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior.
28
Chapter 2
´Algebra Linear
2.1 Norma e Produto Interno
2.1.1 Norma
Definition 10 Seja � � ���� ���� ��� � ��. O nu´mero na˜o negativo ��� ��
��� � � � �� ��� e´ chamado norma ou comprimento do vetor �.
Definition 11 Se ���� ���� ��� e ���� ���� ��� sa˜o as coordenadas de � e �, respecti-
vamente, no espac¸o euclidiano n-dimensional, enta˜o a distaˆncia entre � e � e´
� ��� �� � ��� ��
�
�
��� � ���� � � � �� ��� � ����
Definition 12 Um vetor � tal que ��� � �, e´ chamado de vetor unita´rio.
Example 38 O comprimento do vetor � � ������ �� e´ dado por
������� ��� �
�
�� � ����� � ��
�
	
��
29
Portanto, o vetor � � ��
	
�� e´ unita´rio. Pois,
����� �	�� � ��	�� � �	��
����� �
��
�	
��
��
�
� ��	
��
��
�
�
�	
��
��
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
� �
Example 39 Seja � � ��� �� ����� e � � ��� �� �� ��. Enta˜o
��� �
�
�� � �� � �� � ����� �
	
��
��� �
	
�� � �� � �� � �� �
	
�	
Logo, o comprimento de � e´
	
�� enquando o comprimento de � e´
	
�	. A
distaˆncia entre � e � e´
��� �� �
�
��� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ���� ���
�
�
����� � �� � �� � �����
�
	
��
Theorem 10 �#�� � �#� ��� para todo # � �� e � � ��.
Proof.
�#�� � �# ���� ���� ����
� ��#��� ���� #����
�
�
�#���
� � � � �� �#����
�
�
#�
�
����
� � � � �� �����
�
� # ���
30
2.1.2 Produto Interno
Definition 13 Seja �� � � ��. Enta˜o o produto interno euclidiano de � e �, de
modo que � � � e´ o nu´mero
� � � � ���� � � � �� ����
Example 40 Seja � � ������ �� e � � ��� ����� enta˜o
� � � � ��� �� �
� ��
Example 41 Seja �
 a quantidade demandada do bem �, enta˜o � � ���� ���� ���
constitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e´
na˜o-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e´ dada por
����� ���� ��� � �� � 	� ���� �� � 	�
que denominamos espac¸o de mercadorias. Seja "
 o prec¸o da mercadoria �. Enta˜o
o custo de uma cesta � e´
" � � � "��� � � � �� "���
Dada uma renda � o conjunto orc¸amenta´rio e´ formado por todas as cestas tais
que
" � � � �
Example 42 Considere uma firma que utiliza � insumos. A quantidade utilizada
de cada insumo e´ $
� � � �� ���� �. O custo unita´rio de cada insumo e´ dado por
%
� � � �� ���� �. Enta˜o o custo total torna-se
$ � % � �$�� ���� $�� � �%�� ���� %��
� $�%� � � � �� $�%�
31
Example 43 Considere � � ���� ���� ��� um portfolio de um investidor qualquer,
em que �
 representa a frac¸a˜o da riqueza investida no ativo �. Obviamente estas
frac¸o˜es devem somar �. De modo que a restric¸a˜o orc¸amenta´ria e´
� � � ����� ���� ��� � ��� ���� �� � �� � � � �� �� � �
Seja #�
 o retorno do ativo � no estado da natureza 
. Enta˜o, o vetor de retornos
no estado da natureza 
 e´
#� � �#��� ���� #���
Um portfolio � e´ livre de risco se o seu retorno e´ o mesmo em todos os estados &
da natureza, isto e´,
#� � � � #� � � � � � � #� � �
O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno.
Theorem 11 Seja �� �� % � �� e # � ��. Enta˜o
1) � � � � � � �
2) � � �� � %� � � � � � � � %
3) � � �#�� � # �� � �� � �#�� � �
4) � � � � 	
5) � � � � 	 implica que � � 	
6) ��� �� � ��� �� � � � �� � �� � �� � � � �
Remark 2 Note que
� � � � ��� � � � �� ���
��� �� � ��� �� � ��� � ��� ���� �� � ��� � ��� � ��� ���� �� � ���
� ��� � ���� � � � �� ��� � ����
32
Logo,
��� �
�
��� � � � �� ���
�
	
� � �
��� �� �
�
��� � ���� � � � �� ��� � ����
�
�
��� �� � ��� ��
O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores �� � � �� e o
angulo ' entre eles, sendo u´til na discussa˜o de problemas geome´tricos.
Theorem 12 Seja �� � � �� e ' o angulo entre eles. Enta˜o,
� � � � ��� ��� ��� '
Example 44 Seja � � ��� 	� 	� e � � ��� �� ��, enta˜o
��� ' �
� � �
��� ��� �
��	
��
	
�� � �� � ��
�
�	
�
Example 45 Seja � � ��� 	� 	� �� e � � �	� �� 	� ��, enta˜o
��� ' �� � �
��� ��� �
�	
�
	
�
�
�
�
Portanto, ' � �	�.
33
Chapter 3
Ca´lculo de Va´rias Varia´veis
3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos
Em muitos casos queremos analisar a vizinhanc¸a de um ponto � do ��. Nestes
casos, as seguintes definic¸o˜es mostram-se u´teis.
Definition 14 Seja ! � �� e ( um nu´mero positivo. A bola aberta de raio ( em
torno de � e´ o conjunto
)� �!� � �� � �� � ��� !� � (�
Definition 15 Um conjunto & 
 �� e´ aberto se para cada � � & existe uma
bola aberta de raio ( em torno de � completamente contida em &:
� � & � existe um ( � 	 tal que )� ��� 
 &
Um conjunto aberto contendo o ponto � e´ chamado uma vizinhanc¸a aberta
de �. O termo aberto tem conotac¸a˜o de sem fronteira: de qualquer ponto pode-
mos nos movimentar um pouco em qualquer direc¸a˜o que ainda permanecemos no
conjunto.
34
Example 46 O intervalo
�	� �� � �� � � � 	 � � � ��
e´ um conjunto aberto. Se � e´ um ponto neste intervalo, enta˜o � �� 	 e � �� �. O
nu´mero ��� esta mais pro´ximo de 	 do que �, e ainda pertence a �	� ��. Enquanto
� � ��� �� �� esta mais pro´ximo de � do que �, e ainda pertence a �	� ��. Se
( � ��
 ����� ��� �� ���, enta˜o o intervalo ��� (� �� (� e´ um intervalo aberto
em torno de � contido �	� ��.
Definition 16 Um conjunto & 
 �� e´ fechado se, sempre que ������
� e´ uma
sequeˆncia convergente completamente contida em &, seu limite tambe´m esta´ em
&.
Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira,
que e´ exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos.
Theorem 13 Um conjunto & 
 �� e´ fechado se, e somente se, seu complementar
&� � �� � & e´ aberto.
Lembre-se que um conjunto & 
 �� e´ limitado se existe um nu´mero ) tal
que ��� � ) para cada � � &, ou seja, & esta´ contido em alguma bola de ��.
Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou unia˜o finita de
intervalos de ��, exceto aqueles que teˆm �� ou �� como extremidades.
Definition 17 Um conjunto & 
 �� e´ compacto se, e somente se, e´ fechado e
limitado simultaneamente.
35
3.2 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
3.2.1 Definic¸a˜o
Definition 18 Uma func¸a˜o de um conjunto * em um conjunto ) e´ uma regra
que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso,
escrevemos � � *� ).
O domı´nido de uma � � * � ) e´ o conjunto * dos elementos nos quais �
esta´ definida� o conjunto ) no qual � assume seus valores e´ denominado con-
tradomı´nio, ou espac¸o-alvo. Seja � � *, enta˜o dizemos que � � � ��� e´ a
imagem de � por � . O conjunto de todos os � ���, com � no domı´nio de � , e´
denominado imagem de � .
Example 47 Considere a func¸a˜o
� ��� �� � �� � ��
O domı´nio de � e´ todo ��, o contradomı´nio de � e´ o �� e a imagem de � e´ o
conjunto de todos os nu´meros reais na˜o-negativos.
3.2.2 Representac¸a˜o Geome´trica das Func¸o˜es
Para construir o gra´fico de uma func¸a˜o do �� em �� precisamos de treˆs di-
menso˜es. Seja ! � � ��� ��. Para cada valor ��� �� no domı´nio calculamos �
em ��� �� e marcamos o ponto ��� �� � ��� ���.
Example 48 Pa´gina 289 - Figura 13.1
� ��� �� � �� � ��
Example 49 Pa´gina 289 - Figura 13.2
� ��� �� � �� � ��
36
Existe uma outra maneira de visualizar-se uma func¸a˜o de �� em ��, que so´
requer esboc¸os bidimensionais - o estudo de curvas de nı´vel no plano. Para cada
��� �� novamente calculamos � ��� �� para obter, digamos, !�. Agora, esboc¸amos
no plano ��, o lugar geome´trico de todos os outros pares ��� �� nos quais � toma
o mesmo valor !�. Este conjuno, que e´ em geral uma curva, e´ denominado curva
de nı´vel de � .
Example 50 Pa´gina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a func¸a˜o
� ��� �� � �� � ��
Comece com o ponto �	� ��, no qual � vale �. Agora encontre todos os demais
pontos nos quais � vale �. Isto e´ o conjunto ���� �� � �� � �� � ��, um cı´rculo de
raio � em torno da origem. Tambe´m denotamos esta curva de nı´vel por ��� ���.
No caso de ��� �� temos
��� ��� �
�
��� �� � �� � �� � �
�
um cı´rculo de raio
	
� em torno da origem.
Uma vez feita as curvas de nı´vel, fica mais fa´cil visualizar o gra´fico no espac¸o
tridimensional. Temos no espac¸o bidimensional as curvas de nı´vel de � ��� ��
no plano ��, visualize os eixos coordenados de ��, de tal modo que os eixos
� e � estejam no plano da pa´gina e o eixo ! parta da pa´gina em sua direc¸a˜o.
Considerando o exemplo anterior, pegamos a curva de nı´vel ��� ��� e puxamos
para cima ate´ o plano �! � ��. Portanto, para cada � � 	, puxe ��� ��� e ate´
o plano �! � ��. Com este procedimento passarı´amos do gra´fico 13.7 para o
gra´fico 13.1.
Example 51 Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o
� � ��
37
em que � e � sa˜o insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con-
juntos de nı´veis de uma func¸a˜o de produc¸a˜o sa˜o chamados isoquantas. A iso-
quanta para � � � e´
�� � �� � � �
�
Ou seja, temos uma func¸a˜o � � � ��� de uma varia´vel, cujo gra´fico foi rotulado
�	 [pa´gina 295, gra´fico 13.10]. Para o consumidor o ana´logo seria as curvas de
indiferenc¸a.
3.3 Ca´lculo de Va´rias Varia´veis
3.3.1 Definic¸o˜es
Definition 19 Seja � � �� � �. Enta˜o, para cada varia´vel �
 em cada ponto
�� � ����� � � � � �
�
�� do dominio de � , a derivada parcial de � em relac¸a˜o a �
 e´
dada por
+�
+�
�
���� � � � � �
�
�
�
� ���
���
� ����� � � � � �
�
 � �� � � � � �
�
��� � ����� � � � � ��
 � � � � � ����
�
se este limite existir. Somente a i-e´sima varia´vel muda, as outras sa˜o tratadas
como constantes.
A derivada parcial mostra como uma func¸a˜o varia em direc¸o˜es paralelas aos
eixos coordenados.
Example 52 Considere a func¸a˜o
� ��� �� � ����� � ���� � ��
Enta˜o,
+�
+�
� ���� � ��
38
Observe que tratamos � como uma constante. E ainda,
+�
+�
� ���� � ����� � �
Observe que tratamos � como uma constante.
Outra noc¸a˜o importante e´ a de diferencial total. Considere a func¸a˜o , ���� ���� ���
de � varia´veis na vizinhanc¸a de algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���, enta˜o
a diferencial total de , em �� e´ dada por
�, �
+,
+��
���� ��� � � � �� +,
+��
���� ���
3.3.2 Regra da Cadeia
Definition 20 Uma func¸a˜o � � �� � � e´ continuamente diferencia´vel (ou ��)
em um conjunto aberto - 
 �� se, e somente se, para cada �, a derivada parcial
�+��+�
� ��� existe em cada � de - e e´ contı´nua em �.
Example 53 (Regra da Cadeia) Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o:
� � �.���/���
Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros,
. ��� #� �
�	��
#
e / ��� #� � ��� � ��	#
Dai,
+�
+�
�
+�
+.
+.
+�
�
+�
+/
+/
+�
�
�
�.����/���
���	�
#
�
�
�
.���/����
�
�����
� �	
�
#
�
/
.
����
� ���
�
.
/
����
39
3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes
Definition 21 Considere a func¸a˜o , ���� ���� ��� de � varia´veis na vizinhanc¸a de
algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���. Enta˜o a derivada de , em �� na
direc¸a˜o de � (derivada direcional) e´ dada por
�,�� � � �
�
��
���
���� � � � ��
���
����
�
�����
��
.
.
.
��
�����
�
+,
+��
���� �� � � � �� +,
+��
���� ��
A derivada direcional mede a taxa a` qual , aumenta ou diminui quando saı´mos
de �� na direc¸a˜o de �.
Example 54 Seja � � 	�, enta˜o
�,�� � � �
�
��
���
���� ��
���
���� � � � ��
���
����
�
��������
�
	
.
.
.
	
��������
�
+,
+��
����
Ou seja, obtemos a derivada , na direc¸a˜o de ��, que e´ a derivada parcial com
respeito a ��. Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo ��.
Example 55 Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o
� � , �.�/� � �.���/���
40
em que �.�/� � ��				� ����. Enta˜o,
+,
+.
��				� ����� �
�
/
.
����
� �
�
���
�				
����
� �
�
�
�	
�
� �� �
+,
+/
��				� ���� �
�
.
/
����
�
�
�	
�
��
� �
A derivada de , em ��				� ���� na direc¸a˜o ��� �� e´, simplesmente
+,
+.
��				� ����� � � +,
+/
��				� ����� � � �� �� � � �� �
� �� �
Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseria
a produc¸a˜o se aumenta´ssemos . e / a` mesma taxa? Como na˜o sabemos a mag-
nitude da variac¸a˜o e so´ a sua direc¸a˜o, usamos o vetor unita´rio
�
��
	
�� ��
	
�
�
na
direc¸a˜o ��� ��. A taxa de variac¸a˜o de , na direc¸a˜o de
�
��
	
�� ��
	
�
�
e´
���� �	
�
� �� �	
�
�
�� �	
�
� �� ����
Definition 22 Seja � � , ���� ���� ��� e considere o seguinte vetor de derivadas
no ponto ��:
�, ���� �
�����
��
���
����
.
.
.
��
���
����
�����
Tal vetor e´ denominado vetor gradiente de , em ��.
41
Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,
na direc¸a˜o de �, pois
�, ���� � � �
�����
��
���
����
.
.
.
��
���
����
����� �
�����
��
.
.
.
��
�����
�
��
�
+,
+�
���� �
As caracterı´sticas importantes de um vetor sa˜o:
1. Comprimento
2. Direc¸a˜o
3. Sentido
Vamos nos concentrar primeiro na direc¸a˜o e sentido, de modo que fazemos
��� � �. Por se equivalente a derivada direcional,�, ���� � � mede a taxa a` qual
, aumenta ou diminui quando saı´mos de �� na direc¸a˜o de �. Pela propriedade
conhecida do produto interno, a derivada de , na direc¸a˜o de � e´
�, ���� � � � ��, ����� ��� ��� '
� ��, ����� ��� '
pois ��� � � e ' e´ o aˆngulo entre os vetores�, ���� e � no ponto base �� (Pa´gina
333 - Figura 14.9).
´E natural perguntar: em qual direc¸a˜o a func¸a˜o , cresce mais rapidamente?
Como �� � ��� ' � �, �, ���� � � e´ maior quando ��� ' � �, ou seja, quando
' � 	�, ou seja, quando � aponta na mesma direc¸a˜o e sentido de�, ����.
Theorem 14 Seja , � �� � � uma func¸a˜o ��. Em cada ponto � do domı´nio
de , em que�, ���� �� 	, o vetor gradiente aponta na direc¸a˜o em que , cresce
mais rapidamente.
42
Example 57 Considere mais uma vez a func¸a˜o de produc¸a˜o
� � , �.�/� � �.���/���
em que �.�/� � ��				� ����. Se quisermos saber em quais proporc¸o˜es devemos
acrescentar . e / a ��				� ���� para aumentar a produc¸a˜o mais rapidamente,
calculamos o vetor gradiente
�, ��				� ���� �
�
� �� �
�
�
�
e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporc¸a˜o de �� � para �.
(pa´gina 334, Figura 14.10)
3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana
Seja � � � ���� ���� ���. Enta˜o a matriz hessiana de � e´ denotada por ��� ��� ou
����:
��� ��� �
��������
���
���
�
���
������
� � � ���
������
���
������
���
���
�
� � � ���
������
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
���
������
���
������
� � � ���
����
��������
Se todas estas �� derivadas de segunda ordem existem e sa˜o func¸o˜es contı´nuas
de ���� ���� ���, dizemos que � e´ duas vezes continuamente diferencia´vel (ou ��).
Remark 3 Notac¸a˜o
+��
+�
+��
� ����� � �
� � �
��
Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que � � � ���� ���� ��� � �� numa
regia˜o aberta 0 de ��. Enta˜o, para cada � de 0 e para cada par de ı´ndices � e 1,
+��
+�
+��
��� �
+��
+��+�
���
Portanto, para func¸o˜es �� a matriz ��� ��� e´ sime´trica.
43
3.4 Func¸a˜o Implicita
Em geral trabalhamos com func¸o˜es do seguinte modo
� � , ���� ���� ���
em que a varia´vel endo´gena e´ uma func¸a˜o explı´cita das varia´veis exo´genas. No
entanto, em problemas de maximizac¸a˜o, as vezes, as condic¸o˜es de primeira ordem
teˆm varia´veis exo´genas misturadas com varia´veis endo´genas, como em
2 ���� ���� ��� �� � 	
Se para cada ���� ���� ���, a equac¸a˜o acima determinar um valor � correspon-
dente, diremos que tal equac¸a˜o define a varia´vel � como uma func¸a˜o implı´cita das
varia´veis exo´genas ��� ���� ��. Muitas vezes na˜o e´ possı´vel tornar � uma func¸a˜o
explı´cita de ��� ���� ��, no entanto, ainda assim gostarı´amos de saber como uma
pequena variac¸a˜o em uma das va´ria´veis exo´genas afeta a varia´vel endo´gena.
Example 58 Considere a func¸a˜o demanda:
� � 
�"
��� � 
�"
���
Facilmente, obtemos a derivada de � em relac¸a˜o a ":
��
�"
� �#�
�"����� � #�
�"�����
Pore´m, na˜o e´ possı´vel escrever " como func¸a˜o de �. Nesta sec¸a˜o vamos desen-
volver uma forma simples para calcular �"���.
Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A func¸a˜o de produc¸a˜o
� depende de um u´nico insumo �, o custo de cada unidade de insumo e´ %, e seja
o prec¸o " o prec¸o de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o
lucro e´ o problema da firma e´
���
�
"� ���� %�
44
Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos:
"� � ���� % � 	
Para cada valor das varia´veis exo´genas " e % a firma escolhera´ um valor o´timo
de � que satisfac¸a a condic¸a˜o de primeira ordem. Dependendo do formato de � ,
na˜o e´ possı´vel escrever � como uma func¸a˜o explı´cita de " e %, mas ainda assim
queremos computar ����" e ����%. Ale´m disso, queremos saber se ha´ mu´ltiplas
soluc¸o˜es para a condic¸a˜o de primeira ordem e se existe um ma´ximo global.
Uma nota de cautela e´ necessa´ria. O simples fato de podermos escrever uma
func¸a˜o implı´cita 2 ��� �� � � na˜o significa que esta equac¸a˜o define � como uma
func¸a˜o de �. Por exemplo,
�� � �� � � (3.1)
Quando � � � na˜o existe � que satisfac¸a (3.1). No entanto, em geral comec¸amos
com uma soluc¸a˜o especı´fica ���� ��� da equac¸a˜o implı´cita 2 ��� �� � � e pergun-
tamos se e´ possı´vel encontrar � pro´ximo de �� que satisfac¸a a equac¸a˜o quando
� esta´ pro´ximo de ��. Considere � � 	 e � � �, note que tais pontos satis-
fazem a equac¸a˜o implı´cita. Variando � um pouco podemos encontrar um u´nico
� �
	
�� �� perto de � � � que corresponde ao novo �. (Figura 15.1 - Pa´gina
347)
Contudo, iniciando em � � � e � � 	, na˜o existe tal relac¸a˜o funcional. Se
aumentarmos � um pouco, digamos � � �� (, enta˜o na˜o existe � correspondente
tal que �� � (� �� resolva (3.1). (Figura 15.2 - Pa´gina 348) Para ficar claro, como
( � 	, na˜o existe � resolva
�� � (�� � �� � �
� � �(� (� � �� � �
�� � ��(� (�
45
O seguinte teorema responde a duas questo˜es ba´sicas, a saber:
1. A equac¸a˜o 2 ��� �� � � determina � como uma func¸a˜o contı´nua de � para
� perto de �� e para � perto de ��?
2. Neste caso, como sa˜o os � correspondentes afetados por variac¸o˜es em �?
Theorem 16 (Teorema da func¸a˜o implı´cita) Seja 2 ��� �� uma func¸a˜o �� numa
bola em torno de ���� ��� em ��. Suponha que 2 ���� ��� � � e considere a
expressa˜o
2 ��� �� � �
Se �+2�+�� ���� ��� �� 	, enta˜o existe uma func¸a˜o � � � ��� definida num inter-
valo � em torno do ponto ���� ��� que e´ �� e tal que:
a) 2 ��� � ���� � � para qualquer � em �
b) � ���� � ��
c) �� ���� � �
��
��
���
���
��
��
���
���
Remark 4 Considere uma func¸a˜o implı´cita 2 ��� �� � � em torno de ���� ���.
Supondo que exista uma func¸a˜o � � � ��� � �� que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
2 ��� �� � �, ou seja,
2 ��� � ���� � �
Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equac¸a˜o com respeito a � em ��:
+2
+�
���� � �����
��
��
�
+2
+�
���� � �����
��
��
���� � 	
+2
+�
���� � ����� �
+2
+�
���� � ����� �
� ���� � 	
Portanto,
�� ���� � �
��
��
���� � �����
��
��
���� � �����
46
Example 60 Vamos retomar a discussa˜o de
�� � �� � �
Note que,
�� ��� � �
��
��
���� ���
��
��
���� ���
� ���
��
No primeiro caso consideramos ���� ��� � �	� ��, neste caso
+2
+�
���� ��� � ��� � ��� 	 e �� ��� � �	
�
� 	
Pore´m, no caso ���� ��� � ��� 	�
+2
+�
���� ��� � ��� � 	
e as condic¸o˜es necessa´rias para se aplicar o teorema da func¸a˜o implı´cita na˜o se
aplicam
Example 61 Considere
�� � ��� � �� � � � 	
Queremos calcular ����� em � � � e � � �. Primeiramente vamos verificar se
+2
+�
��� �� �� 	
Calculando esta derivada e avaliando em ��� ��,
+2
+�
��� �� � ���� ��� � ��� � �� � �� �� 	
Aplicando o Teorema da Func¸a˜o Implı´cita:
��
��
��� �� � �
��
��
��� ��
��
��
��� ��
� � ��� ������ ��� � �
��
��
�
�
��
47
Theorem 17 (Teorema da func¸a˜o implı´cita) Seja2 ���� ���� ��� �� uma func¸a˜o ��
numa bola em torno de ����� ���� ���� ���. Suponha tambe´m que ����� ���� ���� ��� sat-
isfaz ambos
2 ����� ���� �
�
�� �
�� � 	
+2
+�
����� ���� �
�
�� �
�� �� 	
Enta˜o, existe uma func¸a˜o ��, � � � ���� ���� ��� definida numa bola aberta ) em
torno de ����� ���� ���� tal que:
a) 2 ���� ���� ��� � ���� ���� ���� � � para qualquer ��� ���� �� � )
b) �� � � ����� ���� ����
c)Para cada ı´ndice i: ��
���
����� ���� �
�
�� � �
��
���
����
���
��	
���
��
�� ����
���
��	
���
3.5 Curvas de Nı´vel
p342
48
Part II
Otimizac¸a˜o Esta´tica
49
Chapter 4
Formas Quadra´ticas e Matrizes
Definidas
Seja � � � ���, � � ��. Se �� e´ um ponto crı´tico de � , enta˜o a segunda
derivada � �� ���� da uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para determinar se ��
e´ um ma´ximo ou mı´nimo (ou nenhum dos dois). A generalizac¸a˜o do teste da se-
gunda derivada para � � � ���, � � �� envolve avaliar se a matriz de derivadas
segunda de � ��� (Hessiano) e´ definida positiva, definida negativa ou indefinida
num ponto crı´tico de � . Por exemplo, � � � ���, � � �� e´ concava (convexa)
em uma dada regia˜o se a sua matriz de derivadas segunda e´ semidefinida negativa
(positiva) para todo � nesta regia˜o.
4.1 Formas Quadra´ticas
Um func¸a˜o quadra´tica bastante simples e´ a seguinte � ��� � ���.
Definition 23 Uma forma quadra´tica em �� e´ uma func¸a˜o real da forma
� ���� � � � � ��� �
�
��
��
��
50
na qual cada termo e´ um monoˆmio de grau dois.
A forma quadra´tica� pode ser representada por uma matriz sime´trica* como
segue
� ��� � ��*�
Example 62 Caso bidimensional:
� ���� ��� � 
���
�
� � 
������ � 
���
�
�
Que pode ser reescrita como
�
�� ��
��� 
�� ��
��
�
�
�� 
��
���� ��
��
��
Example 63 Caso tridimensional:
� ���� ��� ��� � 
���
�
� � 
���
�
� � 
���
�
� � 
���
�
� � 
������ � 
������ � 
������
Que pode ser reescrita como
�
�� �� ��
������
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�� 
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�� 
��
�����
�����
��
��
��
�����
Theorem 18 A forma quadra´tica geral
� ���� ���� ��� �
��
�
�
��
��
pode ser escrita na forma matricial como
�
�� �� � � � ��
�
��������
��
�
�
�� � � � ��
��
�
�
�� 
�� � � � ��
��
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
�
�
��
�
�
�� � � � 
��
��������
��������
��
��
.
.
.
��
��������
isto e´ ��*� em que * e´ uma matriz sime´trica (u´nica).
51
4.2 Formas Quadra´ticas Definidas
A forma quadra´tica geral de uma variavel e´ � � 
��. Se 
 � 	, enta˜o 
�� � 	
para todo �, sendo nula apenas quando � � 	. Logo, tal forma e´ chamada de
definida positiva� � � 	 e´ seu mı´nimo global. Se 
 � 	, enta˜o 
�� � 	 para
todo �, sendo nula apenas quando � � 	. Neste caso, temos uma forma definida
negativa� � � 	 e´ seu ma´ximo global. Note que, determinar a classificac¸a˜o de
�� e´ equivalente a determinar se � � 	 e´ um ma´ximo (
 � 	) ou um um mı´nimo
(
 � 	).
De forma geral, se � ���� � � � � ��� � 	 para todo � �� 	, enta˜o � e´ definida
positiva. Se � ���� � � � � ��� � 	 para todo � mas existe � �� 	 tal que � � 	,.
enta˜o� e´ semidefinida positiva (na˜o-negativa). De forma ana´loga, se� ���� � � � � ��� �
	 para todo � �� 	, enta˜o � e´ definida negativa. Se � ���� � � � � ��� � 	 para todo
� e � � 	 mas existe � �� 	. tal que � � 	, enta˜o � e´ semidefinida negativa
(na˜o-positiva).
Portanto, determinar a classificac¸a˜o de uma forma quadra´tica � e´ equivalente
a determinar se � � 	 e´ um ma´ximo, um mı´nimo ou nenhum dos dois para a
func¸a˜o real�. Assim, � � 	 e´ o u´nico mı´nimo global da forma quadra´tica� se, e
somente se, � e´ positiva definida. Similarmente, � � 	 e´ o u´nico ma´ximo global
da forma quadra´tica � se, e somente se, � e´ negativa definida.
4.3 Matrizes Sime´tricas
Uma matriz sime´trica e´ chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida
negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadra´tica a ela associada,
� ��� � ��*�, e´ definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou
semidefinida negativa, etc.
52
Definition 24 Seja� uma matriz �� � sime´trica e � � ��. Enta˜o� e´
1) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �
2) semidefinida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �
3) definida negativa se ��*� � � para qualquer � �� �
4) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �
5) indefinida se ��*� � � para alguns � e ��*� � � para outros �
Remark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e´ automaticamente semidefinida
positiva (negativa)
4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sime´trica
Nesta sec¸a˜o apresentamos um simples teste para determinar a classificac¸a˜o de uma
forma quadra´tica ou de uma matriz sime´trica. Primeiramente vamos introduzir
algumas definic¸o˜es.
Definition 25 Seja * uma matriz � � �. Uma submatriz principal de ordem
� de * e´ uma submatriz de tamanho � � � formada a partir de * suprimindo
� � � colunas, digamos, as colunas ��� ��� ���� ���� e as mesmas � � � linhas, ou
seja, as linhas ��� ��� ���� ���� O determinante de uma submatriz principal � � � e´
denominado um menor principal de ordem � de *.
Definition 26 Seja * uma matriz �� �. A submatriz principal de ordem � de *
obtida ao se eliminar as u´ltimas ��� colunas e linhas de *, *�, e´ denominada a
submatriz principal lı´der de ordem � de*. Seu determinante, �*��, e´ denominado
menor principal lı´der de ordem � de *.
53
Example 64 Considere a matriz�����
�� 
�� 
��
�� 
�� 
��
�� 
�� 
��
�����
Enta˜o
�*�� � �
��� , �*�� �
������ 
�� 
��
�� 
��
������ e �*�� �
���������
�� 
�� 
��
�� 
�� 
��
�� 
�� 
��
���������
O pro´ximo teorema fornece um algorı´timo direto que utiliza os menores prin-
cipais lı´deres para determinar a classificac¸a˜o de uma matriz dada.
Theorem 19 Seja * uma matriz sime´trica �� �. Enta˜o,
1. * e´ definida positiva se, e somente se, todos os seus � menores principais
lı´deres sa˜o (estritamente) positivos.
�*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	, . . .
2. * e´ definida negativa se, e somente se, os seus � menores principais lı´deres
alternam de sinal do seguinte modo:
�*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	, . . .
Ou seja, �*�� deve ter o mesmo sinal de �����.
3. Se algum �*�� e´ na˜o-nulo mas na˜o encaixa em nenhum dos dois casos
padro˜es de sinal acima, enta˜o * e´ indefinida.
Se uma matriz na˜o e´ definida, ela pode ser ou na˜o semidefinida. Para conferir
se uma matriz e´ semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principal
de *, como descrito no teorema abaixo.
54
Theorem 20 Seja* uma matriz ��� sime´trica. Enta˜o* e´ semidefinida positiva
se, e somente se, todos os seus menores principais sa˜o � 	� * e´ semidefinida
negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ı´mpar sa˜o � 	 e
os seus menores principais de ordem par sa˜o � 	.
Example 65 Seja * uma matriz sime´trica �� �, enta˜o:
1. �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	� * e´ definida positiva.2. �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	� * e´ definida negativa.
3. �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	� * e´ indefinida.
4. �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	, �*�� � 	� * e´ indefinida.
Example 66 Considere
* �
�
� � �
� �
�
� e ) �
�
� � �
� �
�
�
Enta˜o, �*�� � � e �*�� � ���� � � e * e´ definida positiva. Ale´m disso, �)�� � �
e �)�� � ��� �� � �� e ) e´ indefinida.
4.5 Restric¸o˜es Lineares e Matrizes Orladas
Como foi dito, determinar a classificac¸a˜o de uma forma quadra´tica � e´ equiva-
lente a determinar se � � 	 e´ um ma´ximo, mı´nimo, ou nenhum dos dois para a
func¸a˜o real �. Por exemplo, � � 	 e´ o u´nico mı´nimo (ma´ximo) global da forma
quadra´tica� se, e somente se,� e´ definida positiva (negativa). Nesta sec¸a˜o vamos
incluir nesta discussa˜o restric¸o˜es lineares, ja´ que em muitas aplicac¸o˜es e´ comum
haver tal tipo de restric¸a˜o.
55
Theorem 21 Para determinar a classificac¸a˜o da forma quadra´tica� ��� � ��*�,
� � ��, sujeita a � equac¸o˜es lineares )� � 	, ) e´ � � �, contrua a matriz
sime´trica orlada
3
��
�����
��
�
�� 	 )
)� *
��
Confira os sinais dos u´ltimos ��� menores principais lı´deres de3 , comec¸ando
com o determinante de 3 mesmo.
1. Se �3� tem o mesmo sinal de ����� e se estes u´ltimos ��� menores prin-
cipais lı´deres alternam de sinal, enta˜o � e´ definida negativa no conjunto-
restric¸a˜o )� � 	 e � � 	 e´ um ma´ximo global estrito de� neste conjunto-
restric¸a˜o.
2. Se �3� e estes u´ltimos ��� menores principais lı´deres teˆm todos o mesmo
sinal de �����, enta˜o � e´ definida positiva no conjunto-restric¸a˜o )� � 	
e � � 	 e´ um mı´nimo global estrito de � neste conjunto restric¸a˜o.
3. Se ambas as condic¸o˜es � e � sa˜o violadas por menores principais lı´deres
na˜o-nulos, enta˜o � e´ indefinida no conjunto-restric¸a˜o )� � 	 e � � 	 na˜o
e´ nem um ma´ximo nem um mı´nimo de � neste conjunto-restric¸a˜o.
Example 67 Para conferir a classificac¸a˜o de
� ���� ��� ��� ��� � �
�
� � ��� � ��� � ��� � ����� � �����
no conjunto-restric¸a˜o
�� � �� � �� � 	
�� � ��� � �� � 	
56
construa a matriz orlada
3� �
��������������
	 	 	 � � �
	 	 � �� 	 �
	 � � 	 	 ��
� �� 	 �� � 	
� 	 	 � � 	
� � �� 	 	 �
��������������
Como este problema tem � � � varia´veis e� � � restric¸o˜es, precisamos conferir
as u´ltimas ��� � � submatrizes principais lı´deres de 3�: a pro´pria 3� e
3	 �
�����������
	 	 	 � �
	 	 � �� 	
	 � � 	 	
� �� 	 �� �
� 	 	 � �
�����������
Como � � � e ����� � �, precisamos de �3�� � 	 e �3	� � 	 para verificar se
� e´ definida positiva. Por outro lado, como � � � e ����� � �, precisamos de
�3�� � 	 e �3	� � 	 para verificar se � e´ definida negativa. Como �3�� � �� e
�3	� � ��, concluı´mos que � e´ definida positiva no conjunto-restric¸a˜o e � � 	 e´
um mı´nimo de � restrita ao conjunto-restric¸a˜o.
57
Chapter 5
Otimizac¸a˜o Irrestrita
Adiantamos que os principais resultados para func¸o˜es multivariadas sa˜o ana´logos
aos resultados unidimensionais, isto e´:
1. Uma condic¸a˜o necessa´ria para �� ser um ma´ximo interior de ! � , ��� e´
que as derivadas primeiras de , avaliadas em �� sejam zero�
2. Se incluirmos uma condic¸a˜o apropriada sobre a derivada segunda de , ,
enta˜o esta condic¸a˜o necessa´ria torna-se tambe´m suficiente.
5.1 Definic¸o˜es
Seja , � - � �� uma func¸a˜o real de � varia´veis, cujo domı´nio e´ um subconjunto
de ��. Enta˜o,
1. �� � - e´ um ma´ximo global de , em - se , ���� � , ���, para cada
� � - �
2. �� � - e´ um ma´ximo global estrito se �� e´ um ma´ximo e , ���� � , ���
para cada � � - , � �� ���
58
3. �� � - e´ um ma´ximo local de , se existe uma bola )� ���� em torno de
�� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - �
4. �� � - e´ um ma´ximo local estrito de , se existe uma bola )� ���� em
torno de �� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - , � �� ���
Invertendo as desigualdades nas quatro definic¸o˜es acima, obtemos as definic¸o˜es
de mı´nimo global, mı´nimo global estrito, mı´nimo local e mı´nimo local estrito, re-
spectivamente.
5.2 Condic¸o˜es de Primeira Ordem
A condic¸a˜o de primeira ordem para um ponto �� ser um ma´ximo ou mı´nimo de
uma func¸a˜o � de uma varia´vel e´ que � � ���� � 	, ou seja, �� seja um ponto crı´tico
de � . Esta condic¸a˜o requer que �� esteja no interior do domı´nio de � . A mesma
condic¸a˜o vale para uma func¸a˜o , de � varia´veis, considerando as � derivadas
parciais +,�+�
 em ��, para � � �� � � � � �. Neste caso, �� e´ um ponto interior do
domı´nio de , se existir uma bola )� ���� em torno de �� contida no domı´nio de
, .
Theorem 22 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� definida no subconjunto - de��.
Se �� e´ um ma´ximo local ou mı´nimo local de , em - e se �� e´ um ponto interior
de - , enta˜o
+,
+�
���� � 	 para � � �� � � � � �
Proof. ....
Example 68 Seja , ��� �� � �� � �� � ���.
+,
+�
� ��� � �� � 	� � � ��
�
�
59
+,
+�
� ���� � �� � 	
Logo,
��
�
��
�
�
��
� �� � 	
��� � ��� � 	
�
�
�� � ��� � 	
As soluc¸o˜es sa˜o � � 	 e � � �. Substituindo em � � �����, obtemos � � 	 e
� � ��. Logo, �	� 	� e ������ sa˜o candidatos a ma´ximo local ou mı´nimo local
de � .
5.3 Condic¸a˜o de Segunda Ordem
Definition 27 Um ponto n-dimensional �� e´ um ponto crı´tico de uma func¸a˜o
, ���� � � � � ��� se �
� satisfaz
+,
+�
���� � 	 para � � �� � � � � �
Assim, no exemplo anterior, os pontos crı´ticos de , ��� �� � ��������� sa˜o
�	� 	� e ������. Para determinar se algum destes pontos crı´ticos e´ um ma´ximo ou
um mı´nimo, precisamos usar as derivadas segunda de , , supondo que , � ��.
Construı´mos enta˜o a matriz � � � de derivadas parciais de segunda ordem de ,
denominada Hessiana:
��, ���� �
�����
���
���
�
���� � � � ���
������
����
.
.
.
.
.
.
.
.
.
���
������
���� � � � ���
����
����
�����
Como derivadas parciais cruzadas de func¸o˜es �� sa˜o iguais, ��, ���� e´ uma
matriz sime´trica.
60
5.3.1 Condic¸o˜es Suficientes
Theorem 23 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto
aberto - 
 ��. Suponha que �� e´ um ponto crı´tico de , , isto e´, ��
���
���� � 	
para � � �� � � � � �.
1. Se��, ���� e´ uma matriz sime´trica definida negativa, enta˜o �� e´ um ma´ximo
local estrito de , �
2. Se��, ���� e´ uma matriz sime´trica definida positiva, enta˜o �� e´ um mı´nimo
local estrito de , �
3. Se ��, ���� e´ indefinida, enta˜o �� na˜o e´ nem um ma´ximo local nem um
mı´nimo local de , �
Definition 28 Um ponto crı´tico �� de , para o qual ��, ���� e´ indefinida e´
chamado ponto de sela.
Theorem 24 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto
aberto - 
 ��. Suponha que
+,
+�
���� � 	 para � � �� � � � � �
e que os � menores principais lı´deres de ��, ���� alternam de sinal em �� do
seguinte modo
�,���� � � 	,
������ ,���� ,����,���� ,����
������ � 	,
���������
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
���������
� 	, � � �
Enta˜o, �� e´ uma ma´ximo local estrito de , .
61
Theorem 25 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto
aberto - 
 ��. Suponha que
+,
+�
���� � 	 para � � �� � � � � �
e que os � menores principais lı´deres de ��, ���� sa˜o todos positivos em ��:
�,���� � � 	,
������ ,���� ,����,���� ,����
������ � 	,
���������
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
,���� ,���� ,����
���������
� 	, � � �
Enta˜o, �� e´ uma mı´nimo local estrito de , .
Theorem 26 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto
aberto - 
 ��. Suponha que
+,
+�
���� � 	 para � � �� � � � � �
e que alguns dos menores principais lı´deres na˜o-nulos de ��, ���� violam o
padra˜o de sinais dos dois teoremas anteriores. Enta˜o,�� e´ um ponto de sela
de , � na˜o e´ um ma´ximo local nem um mı´nimo local de , .
5.3.2 Condic¸o˜es Necessa´rias
(melhorar o texto, pa´gina 412) As condic¸o˜es de segunda ordem necessa´rias para
um ma´ximo ou um mı´nimo de uma func¸a˜o sa˜o mais fracas do que as condic¸o˜es su-
ficientes. De fato, ao inve´s de avaliarmos se a matriz Hessiana e´ definida positiva
ou definida negativa, no´s avaliamos se tal matriz e´ semidefinida negativa (maximo
local) ou semidefinida positiva (mı´nimo local).
Theorem 27 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto
aberto - 
 ��. Suponha que �� e´ um ponto interior de - e que �� e´ um ma´ximo
(mı´nimo) local de , . Enta˜o, �, ���� � 	 e ��, ���� e´ semidefinida negativa
(positiva).
62
Theorem 28 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� de � varia´veis. Suponha que �� e´
um ponto interior de - .
1. Se �� e´ um mı´nimo local de , , enta˜o ��
���
���� � 	 para � � �� � � � � � e
todos os menores principais da Hessiana��, ���� sa˜o � 	.
2. Se �� e´ um maximo local de , , enta˜o ��
���
���� � 	 para � � �� � � � � �
e todos os menores principais de ordem impar da Hessiana ��, ���� sa˜o
� 	 e todos os menores principais de ordem par da Hessiana��, ���� sa˜o
� 	.
Example 69 Seja , ��� �� � �� � �� � ���.
+,
+�
� ��� � �� � 	� � � ��
�
�
+,
+�
� ���� � �� � 	
Logo,
��
�
��
�
�
��
� �� � 	
��� � ��� � 	
�
�
�� � ��� � 	
As soluc¸o˜es sa˜o � � 	 e � � �. Finalmente, substituindo em � � ����� obtemos
�	� 	� e ������.
+�,
+��
� ��,
+�,
+�+�
� �,
+�,
+�+�
� � e
+�,
+��
� ���
��, ���� �
�� �� �
� ���
��
Os menores principais sa˜o,
���� � ��
63
������ �� �� ���
������ � ����� � ��
Em �	� 	� obtemos 	 e ��� respectivamente, sendo �	� 	� um ponto de sela. Em
������ obtemos �� e ���, enta˜o ��, ������ e´ definida positiva e ������ e´ um
mı´nimo local estrito.
5.4 Ma´ximo Global e Mı´nimo Global
Na sec¸a˜o anterior discutimos as condic¸o˜es suficientes de primeira e segunda or-
dem para encontrarmos todos os ma´ximos e mı´nimos locais de uma func¸a˜o difer-
encia´vel cujo domı´nio seja um conjunto aberto em ��. Nesta sec¸a˜o discutimos
condic¸o˜es suficientes para um extremo local ser um ma´ximo global ou um mı´nimo
global de uma func¸a˜o real em ��.
Theorem 29 Seja , � - � �� uma func¸a˜o �� cujo domı´nio e´ um conjunto
convexo aberto - 
 ��.
1. As treˆs condic¸o˜es a seguir sa˜o equivalentes
� , e´ uma func¸a˜o coˆncava em - �
� , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - �
� ��, ��� e´ semidefinida negativa para qualquer � � - .
2. As treˆs condic¸o˜es a seguir sa˜o equivalentes
� , e´ uma func¸a˜o convexa em -�
� , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - �
� ��, ��� e´ semidefinida positiva para qualquer � � - .
64
3. Se , e´ uma func¸a˜o coˆncava em - e �, ���� � 	 para algum �� � - ,
enta˜o �� e´ um ma´ximo global de , em - .
4. Se , e´ uma func¸a˜o convexa em - e�, ���� � 	 para algum �� � - , enta˜o
�� e´ um mı´nimo global de , em - .
(O esboc¸o da prova e´ interessante, pa´gina 414-415)
5.5 Aplicac¸o˜es
5.5.1 Maximizac¸a˜o do Lucro
Suponha que uma firma usa � insumos, � � ��, para gerar um u´nico produto,
� � 2 ��� � ��. O prec¸o de venda e´ ". A receita e´ dada por � ��� � "2 ���, e o
custo e´ representado por uma func¸a˜o � ��� � ��. A firma maximiza o lucro
, ��� � "2 ���� � ���
Assumindo que a firma usa quantidades positivas de todos os insumos (� pertence
ao interior do ��
), enta˜o no ponto de lucro ma´ximo, ��, temos
+, ���
+�
� 	� "+2 ���
+�
�
+� ���
+�
para � � �� � � � � �
Ou seja, a receita marginal e´ igual ao custo marginal para cada insumo �
. Suponha
que
� ��� �
��
�
%
�
Enta˜o, a condic¸a˜o de receita marginal igual a custo marginal torna-se
"
+2 ���
+�
� %
 � +2 ���
+�
�
%
"
para � � �� � � � � �
A condic¸a˜o necessa´ria de segunda ordem para que �� seja um ma´ximo local e´
que ��, ���� seja semidefinida negativa. No caso de custo marginal constante, e´
necessa´rio enta˜o que ��2 ���� seja semidefinida negativa.
65
Example 70 Considere uma firma que produz o bem ! usando dois insumos, � e
�. Os prec¸os sa˜o dados. O prec¸o de venda e´ ��, enquanto o prec¸o do insumo � e´
� e o do insumo � e´ �. A func¸a˜o de produc¸a˜o da firma e´ dada por:
! �
�
��
�
��� � ��� ��� � � �� � ����
Assim a func¸a˜o lucro tem a seguinte expressa˜o:
� ��� �� � ��! � ��� ��
� ��� �� � ��	� � ��� ��� � � �� � ��� � ��� ��
CPO:
�� � �� ��� ��� � � 	
� �� � � � � 	
� �� � �
�� � ��� �� � ��� � � 	
� � �� � �� � � � 	
� �� � �� � � � 	
� �� � ��
�
CSO:
��� � ��, ��� � ��� � 	, ��� � ���
3 �
�
� �� 	
	 ���
�
�
�3�� � �� � 	, �3�� � ��� � 	
Portanto, a estrate´gia de produc¸a˜o ��� ����� maximiza o lucro.
66
5.5.2 Monopolista Astuto
Suponha que um monopolista produz um u´nico bem e atua em dois mercados
distintos e separados (um mercado dome´stico e outro externo, por exemplo). Seja
�
 a quantidade demandada no mercado �, 4
 � 2
 ��
� a func¸a˜o de demanda
inversa no mercado �, de modo que a receita neste mercado e´ dada por
�
 ��
� � 4
�
 � 2
 ��
��
Suponha que o custo de produc¸a˜o � dependa da soma � � �� � ��, isto e´,
� ��� ����. Enta˜o o lucro torna-se
� ���� ��� � 2� ������ �2� ������ � � ��� ����
Se soubermos que a firma ira´ produzir quantidades positivas em cada mer-
cado, e que a func¸a˜o lucro seja coˆncava, o nosso problema e´ calcular os pontos
de ma´ximo da func¸a˜o lucro � no interior do quadrante positivo. Esses ma´ximos
satisfazem:
+�
+��
� 	� + 
2� �������
+��
� � � ��� ����
+�
+��
� 	� + 
2� �������
+��
� � � ��� ����
A receita marginal em cada mercado deve igualar-se ao custo marginal de produc¸a˜o.
Example 71 No modelo acima considere as seguintes especificac¸o˜es:
4� ���� � �	� ���
4� ���� � �		� �	��
� ��� � �	 � �	�
67
em que � � �� ���. Com isso, a func¸a˜o lucro torna-se
� ���� ��� � ��	� ������ � ��		� �	����� � 
�	 � �	 ��� �����
� �	�� � ���� � �		�� � �	��� � �	� �	�� � �	��
� �	�� � ���� � �	�� � �	��� � �	
Condic¸a˜o de primeira ordem:
+�
+��
� 	� �	� �	�� � 	� �� � �
+�
+��
� 	� �	� �	�� � 	� �� � �
Condic¸a˜o de segunda ordem:
+��
+���
� ��	, +
��
+���
� ��	, +
��
+����
�
+��
+����
� 	
3 �
�
� ��	 	
	 ��	
�
�
Portanto, �3�� � ��	 e �3�� � �		, o que implica que � ���� ��� e´ uma func¸a˜o
coˆncava e a estrate´gia de demanda ��� �� maximiza o lucro.
5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos
Considere um monopolista que produz dois bens distintos, � e �� e quer maximizar
seu lucro A func¸a˜o demanda de cada bem e´ tal que
"� � ��� ��
"� � �	� ��
A func¸a˜o custo do monopolista e´ a seguinte:
� ��� �� � �� � ��� � ���
68
Observe que a produc¸a˜o dos bens e´ interligada, pois o custo possui o temo ���. A
func¸a˜o lucro e´ dada por
� ��� �� � "� ����� "� ��� � � � ��� ��
� ��� �� � ���� ����� ��	� ��� � � ��� � ��� � ����
� ��� �� � ���� ��� � �	� � ��� � ���
CPO:
�� � ��� ��� �� � 	
� ��� � � ��
�� � �	� ��� � �� � 	
� �� �� � �	
� � � �	� ��
Resolvendo o sistema:
� ��	� ��� � � � ��
�	� ��� � � � ��
�� � �
�� � �	� ��� � �
CSO:
��� � ��, ��� � ��� � ��, ��� � ���
3 �
�
� �� ��
�� ���
�
�
�3�� � �� � 	, �3�� � ��� � 	
Portanto, a estrate´gia de produc¸a˜o ��� �� maximiza o lucro.
69
5.5.4 Concorreˆncia Perfeita: Produc¸a˜o de dois Bens
Considere uma firma que produz dois bens sob concorreˆncia perfeita, de modo
que os prec¸os sa˜o dados. A func¸a˜o receita e´ dada por
� ���� ��� � 4��� � 4���
Supomos que a func¸a˜o custo tem o seguinte formato
� ���� ��� � ��
�
� ������ ��
�
�
A func¸a˜o lucro pode ser escrita como
� ���� ��� � 4��� � 4��� � ���� ����� � ����
Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que a
firma ira´ produzir quantidades positivas em cada mercado, e que a func¸a˜o lucro
seja coˆncava, o nosso problema e´ calcular os pontos de ma´ximo da func¸a˜o lucro
� no interior do quadrante positivo. As condic¸o˜es necessa´rias de primeira ordem
sa˜o:
+� ���� ���
+��
� 	� 4� � ��� ��� � 	
+� ���� ���
+��
� 	� 4� ��� � ��� � 	
Temos um sistema.
��� ��� � 4�
�� � ��� � 4�
� 
! �� � �4� � 4��� e �� � �4� � 4���
Portanto, se 4� � �� e 4� � ��, �� � � e �� � �.
Condic¸a˜o de segunda ordem:
+��
+���
� ��, +
��
+���
� ��, +
��
+����
�
+��
+����
� ��
70
3 �
�
� �� ��
�� ��
�
�
Portanto, �3�� � �� e �3�� � �� � � � ��, o que implica que � ���� ��� e´
uma func¸a˜o coˆncava e a estrate´gia de demanda ��� �� maximiza o lucro quando
4� � �� e 4� � ��.
5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos
Considere um monopolista que produz dois bens substitutos, com as seguintes
func¸o˜es de demanda:
�� � �	� �4� � 4� (5.1)
�� � �� � 4� � 4� (5.2)
Observe que o aumento no prec¸o de uma mercadoria aumenta a demanda da outra.
Queremos expressar 4� e 4� como func¸a˜o das quantidades para construir a func¸a˜o
lucro que dependa somente das quantidades. Note que (5.1) implica
4� � �� � �	 � �4� (5.3)
Substituindo em (5.2) obtemos:
�� � �� � 4� ��� � �	� �4�
�� � ����� � 4�
4� � ����� ���
Substituindo em (5.3) obtemos:
4� � �� � �	 � � ������ ����
4� � �� � �	 � ��	� ��� � ���
4� � �	��� � ���
71
A receita da firma pode ser escrita como:
� ���� ��� � 4� ���� ����� � 4� ���� �����
� ������ ������ � ��	��� � ������
� ���� ���� ����� � �	�� ����� � ����
� ���� ���� � ����� � �	�� � ����
A func¸a˜o custo total e´ dada por
� ���� ��� � �
�
� ����� ��
�
�
Como o custo marginal de �� depende de �� e, vice-versa, as duas mercadorias
sa˜o tecnicamente relacionadas na produc¸a˜o.
A func¸a˜o lucro torna-se:
� ���� ��� � � ���� ���� � ���� ���
� ���� ���� � ����� � �	�� � ���� �
�
��� ����� ��
�
�
�
� ���� � ���� � ����� � �	�� � ����
Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que
a firma ira´ produzir quantidades positivas em cada mercado, o nosso problema
torna-se calcular os pontos de ma´ximo da func¸a˜o lucro � no interior do quadrante
positivo. As condic¸o˜es necessa´rias de primeira ordem sa˜o:
+� ���� ���
+��
� 	� ��� ��� � ��� � 	
+� ���� ���
+��
� 	� ���� � �	� ��� � 	
Temos um sistema.
��� � ��� � ��
��� � ��� � �	
� ! �� � � e �� � ���
72
Condic¸a˜o de segunda ordem:
+��
+���
� ��, +
��
+���
� ��, +
��
+����
�
+��
+����
� ��
3 �
�� �� ��
�� ��
��
Portanto, �3�� � �� e �3�� � ��� � � ��, o que implica que � ���� ��� e´ uma
func¸a˜o coˆncava e a estrate´gia de demanda ��� ����� maximiza o lucro.
5.6 Exercı´cios de Fixac¸a˜o
Questa˜o 1) Analise se as func¸o˜es abaixo possuem pontos de ma´ximo local e/ou
mı´nimo local.
a) ���� �� � �� � �� � ��� ��
CPO:
�� � ��� � � 	� � � ��
�� � ��� � � � 	� � � �
CSO:
��� � �
��� � ��� � 	
��� � ��
3 �
�� � 	
	 ��
��
�3�� � � � 	 	 �3�� � �� � 	
Assim ���� �� e´ um ponto de sela.
73
b) ���� �� � �
�� � �
 � � �� ��
CPO:
�� �
�
�
� � � 	� � � �
�� �
�
�
� � � 	� � � �
CSO:
��� � � �
��
��� � ��� � 	
��� � � �
��
3 �
�� � ��� 	
	 � �
��
��
3 ��� �� �
�� �� 	
	 ��
�
��
�3�� � �� � 	 	 �3�� � �
�
� 	
Assim, ��� �� e´ um ponto de ma´ximo.
c) � ��� �� � 
�� ��� � �� � ��� � 	��, em que 
� �� �� �� 	 � 	.
CPO
�� � 
� ���� 	� � 	� � � �
� ���
	
�� � �� ��� � 	� � 	
Resolvendo o sistema:
�� ��
��
� ���
	
�
� 	� � 	
�	� �
�� ����� 	�� � 	�
	� � ����� � �
�� �	
�� �
�
�� �	
	� � ���
74
�� � �
	
� ��
	
�
�
�� �	
	� � ���
�
CSO
��� � ��
��� � ��� � 	
��� � ��
3 �
�� �� 	
	 ��
��
�3�� � �� 	 �3�� � ���� 	�
Assim, ���� ��� e´ um ponto de ma´ximo se:
�� � 	
 � � 	
���� 	� � 	
 ��� � 	�
Note que, como � e´ negativo, ��� � 	, se e somente se � � 	. Por outro lado,
���� ��� e´ um ponto de mı´nimo se:
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Note que, como � e´ positivo, ��� � 	, se e somente se � � 	.
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75
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Substituindo,
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76
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Portanto, ������ ���� e´ um ponto de ma´ximo.
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77
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Encontramos �5� 6� 7�.
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As demais derivadas de segunda ordem sa˜o nulas. Enta˜o,
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E, �5� 6� 7� e´ um ma´ximo local.
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78
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Assim, ������ e´ um ponto de mı´nimo.
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Dai,
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79
Portanto, se � � 
 sabemos que � � �
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primeira ordem:
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Mas, ��
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Portanto, ��� �� e ������� sa˜o pontos de sela.
80
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Portanto, �	� 	� e´ um ponto de sela.
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CPO:
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