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110
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111
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112
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Logo, podemos contruir o lagrangeano.
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Note que �� � � 	 � ��, sendo atendida a restric¸a˜o do problema.
Se : �� 	, enta˜o
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113
E ainda,
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6.3 Restric¸o˜es de Igualdade e Desigualdade
Theorem 34 Suponha que � � ��� � � � � ��� ��� � � � � �� sa˜o func¸o˜es�� de � varia´veis.
Suponha que �� � �� e´ uma ma´ximo local de � no conjunto-restric¸a˜o definido
pelas � desigualdades e � igualdades:
�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��
114
Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras �� restric¸o˜es de desigual-
dade sa˜o ativas e que as demais � � �� restric¸o˜es de desigualdade sa˜o inativas
em ��. Suponha que a seguinte qualificac¸a˜o de restric¸a˜o na˜o-degenerada esta´
satisfeita em ��. O posto em �� da matriz jacobiana
�� ���� �
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���� � � � ��
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����
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de derivadas das restric¸o˜es de desigualdades ativas e das restric¸o˜es de igualdade
e´ �� ��. Enta˜o, forme o lagrangeano:
/ ���� � � � � ��� :�� � � � � :�� 8�� � � � � 8�� �
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�� � �� ���� �
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� � �� ���� � � � �� 8� 
� � �� ����
Enta˜o, existem multiplicadores :��� � � � � :��� 8��� � � � � 8�� tais que:
1) ��
���
���� :�� 8�� � 	 para � � �� � � � � �
2) :�� 
�� � �� ����� � 	 para 1 � �� � � � � �
3) �� ���� � �� para 
 � �� � � � � �
4) :�� � 	 para 1 � �� � � � � �
5) �� ���� � �� para 1 � �� � � � � �
Example 78 18.10 (exercı´cio)
115
Chapter 7
Otimizac¸a˜o Restrita II
7.1 O Multiplicador
Veremos nesta sec¸a˜o que os multiplicadores desempenham um papel muito im-
portante na ana´lise econoˆmica, pois eles medem a sensibilidade do valor o´timo da
func¸a˜o objetivo a variac¸o˜es nos recursos escassos em problemas de maximizac¸a˜o
econoˆmica.
7.1.1 Uma Restric¸a˜o de Igualdade
Considere o problema:
���
�
�
� ��� ��
 � ��� �� � 
Vaos considerar 
 como um paraˆmetro que muda de problema a problema.
Para cada valor fixo de 
, �� �
�, �� �
� e 8� �
� denotam asoluc¸a˜o deste prob-
lema. Assim, � ��� �
� � �� �
�� e´ o valor o´timo da func¸a˜o objetivo. Vamos mostrar
que, sob certas condic¸o˜es, 8� �
� mede a taxa de variac¸a˜o do valor o´timo de � em
relac¸a˜o ao paraˆmetro 
.
116
Theorem 35 Sejam � e � func¸o˜es �� de duas varia´veis. Para qualquer valor fixo
do paraˆmetro 
, seja ��� �
� � �� �
�� a soluc¸a˜o do problema
���
�
�
� ��� ��
 � ��� �� � 
com multiplicador correspondente 8� �
�. Suponha que ��, �� e 8� sa˜o func¸o˜es
�� de 
 e que a ��;� vale em ��� �
� � �� �
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��. Enta˜o,
8� �
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� � �� �
��
Proof. O lagrangeano do problema e´
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Para cada 
 a condic¸o˜es de primeira ordem implica que
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Portanto, usando a Regra da Cadeia e os resultados acima,
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� 8�
117
7.1.2 Va´rias Restric¸o˜es de Igualdade
.....
7.1.3 Restric¸o˜es de Desigualdade
......
7.1.4 Interpretando o Multiplicador
Considere o problema do consumidor
���
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- ��� ��
 "��� "�� � 
Em que 
 e´ a renda do consumidor. Enta˜o,
�
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- ��� �
� � �� �
�� � 8� �
�
mede o quanto o valor o´timo se altera quando a renda 
 se altera. Ou seja, o multi-
plicador representa a variac¸a˜o na utilidade o´tima resultante da disponibilidade de
uma unidade a mais da renda. As vezes, o multiplicador e´ chamado prec¸o-sombra,
no caso da renda.
7.2 Teorema do Envelope
Os teoremas da envolto´ria nos dizem como o valor o´timo da func¸a˜o objetivo num
problema de otimizac¸a˜o parametrizado se altera quando um dos paraˆmetros se
modifica.
118
7.2.1 Problemas sem restric¸a˜o
Theorem 36 Seja � ��� 
� uma func¸a˜o �� de � � �� e do escalar 
. Para cada
escolha do paraˆmetro 
, considere o problema sem restric¸o˜es
���
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�
Seja �� uma soluc¸a˜o do problema. SUponha que �� e´ uma func¸a˜o �� de 
. Enta˜o
�
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Proof. Pela regra da cadeia
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