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+/ +� � ��� �� � : � � : � ��� �� : ���� �� �� � : � �� � � �� Se : � , enta˜o ��� �� � � � � � ��� �� � � � � � Note que �� � � � � ��, sendo atendidas todas as restric¸o˜es. Se : �� , enta˜o : � ��� �� � ��� �� � � � � � � � � : ���� �� �� � � �� � � �� Enta˜o, � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��� � � � � Portanto, para : � , obtemos ��� �� e para : �� obtemos ��� ��. � ��� �� � ���� ��� � ��� � ��� 110 � ��� �� � ��� � � ��� �� � ���� � � ���� � ��� �� � �� � ��� ��� �� � ��� �� � �� � ��� �� � ��� � � ��� �� � ���� � � ���� � ��� �� � ��� � ��� ��� �� � ��� �� � �� c) ��� � � � ��� �� � � �� � ��� � ��� � � � � � �� � � �� Note que � ��� �� � �� �� +� ��� �� +� � +� ��� �� +� � � ��� �� �� � � � Logo, podemos contruir o lagrangeano. / � � �� � ��� � ��� � � �� : ���� �� �� +/ +� � � � � � �� � � : � � : � � � � � �� � +/ +� � � �� ��� � : � � : � � �� ��� : ���� �� �� � : � �� � � �� Se : � , enta˜o � � � � �� � � � � �� � � � � � �� ��� � � � � � ��� 111 Logo, ������ � � � � � � � � � �� Note que �� � � �� � ��, na˜o sendo atendida a restric¸a˜o do problema. Se : �� , enta˜o � � � � �� � � � �� ��� ��� � � �� � E ainda, : ���� �� �� � � �� � � ��� � � ��� � Enta˜o, ��� � � ���� ��� � ��� � �� � � � � � ��� � �� � � � � � ��� � � � � Portanto, para : �� , obtemos ��� ��: � ��� �� � � �� � ��� � ��� � � � � ��� �� � � � �� � ��� � �� � ��� �� � ��� 112 d) ��� � � � ��� �� � �� � ��� � ��� � � ��� �� � �� Note que � ��� �� � ��� ��� +� ��� �� +� � +� ��� �� +� � � ��� �� �� � � � Logo, podemos contruir o lagrangeano. / � �� � ��� � ��� � : ���� ��� ��� +/ +� � ��� �� � �: � � : � �� � � � +/ +� � ��� �� � �: � � : � � � �� � � � : ���� ��� ��� � : � ��� �� � �� Se : � , enta˜o �� � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � Note que �� � � � ��, sendo atendida a restric¸a˜o do problema. Se : �� , enta˜o �� � � � � � � �� � � � ��� ��� � � �� ��� ��� � �� � � � �� � 113 E ainda, : ���� ��� ��� � � ��� ��� �� � Enta˜o, ��� ��� � � � �� � � � ����� ���� ��� � � � �� ��� � ����� �� � ��� �� � � � � Portanto, para : � obtemos � � � e para : �� , obtemos ���� ��: � ��� �� � �� � ��� � ��� � � � � � � ���� �� � ��� � �� � �� � ���� �� � ���� 6.3 Restric¸o˜es de Igualdade e Desigualdade Theorem 34 Suponha que � � ��� � � � � ��� ��� � � � � �� sa˜o func¸o˜es�� de � varia´veis. Suponha que �� � �� e´ uma ma´ximo local de � no conjunto-restric¸a˜o definido pelas � desigualdades e � igualdades: �� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � �� �� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � �� 114 Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras �� restric¸o˜es de desigual- dade sa˜o ativas e que as demais � � �� restric¸o˜es de desigualdade sa˜o inativas em ��. Suponha que a seguinte qualificac¸a˜o de restric¸a˜o na˜o-degenerada esta´ satisfeita em ��. O posto em �� da matriz jacobiana �� ���� � �������������������� �$� ��� ���� � � � �$� ��� ���� �$� ��� ���� � � � �$� ��� ���� . . . . . . . . . �$ � ��� ���� � � � �$ � ��� ���� ��� ��� ���� � � � ��� ��� ���� ��� ��� ���� � � � ��� ��� ���� . . . . . . . . . �� ��� ���� � � � �� ��� ���� �������������������� de derivadas das restric¸o˜es de desigualdades ativas e das restric¸o˜es de igualdade e´ �� ��. Enta˜o, forme o lagrangeano: / ���� � � � � ��� :�� � � � � :�� 8�� � � � � 8�� � (((�(((� � ���� :� �� � �� ���� � � � �� :� �� � �� ���� � 8� � � �� ���� � � � �� 8� � � �� ���� Enta˜o, existem multiplicadores :��� � � � � :��� 8��� � � � � 8�� tais que: 1) �� ��� ���� :�� 8�� � para � � �� � � � � � 2) :�� �� � �� ����� � para 1 � �� � � � � � 3) �� ���� � �� para � �� � � � � � 4) :�� � para 1 � �� � � � � � 5) �� ���� � �� para 1 � �� � � � � � Example 78 18.10 (exercı´cio) 115 Chapter 7 Otimizac¸a˜o Restrita II 7.1 O Multiplicador Veremos nesta sec¸a˜o que os multiplicadores desempenham um papel muito im- portante na ana´lise econoˆmica, pois eles medem a sensibilidade do valor o´timo da func¸a˜o objetivo a variac¸o˜es nos recursos escassos em problemas de maximizac¸a˜o econoˆmica. 7.1.1 Uma Restric¸a˜o de Igualdade Considere o problema: ��� � � � ��� �� � ��� �� � Vaos considerar como um paraˆmetro que muda de problema a problema. Para cada valor fixo de , �� � �, �� � � e 8� � � denotam asoluc¸a˜o deste prob- lema. Assim, � ��� � � � �� � �� e´ o valor o´timo da func¸a˜o objetivo. Vamos mostrar que, sob certas condic¸o˜es, 8� � � mede a taxa de variac¸a˜o do valor o´timo de � em relac¸a˜o ao paraˆmetro . 116 Theorem 35 Sejam � e � func¸o˜es �� de duas varia´veis. Para qualquer valor fixo do paraˆmetro , seja ��� � � � �� � �� a soluc¸a˜o do problema ��� � � � ��� �� � ��� �� � com multiplicador correspondente 8� � �. Suponha que ��, �� e 8� sa˜o func¸o˜es �� de e que a ��;� vale em ��� � � � �� � � � 8� � ��. Enta˜o, 8� � � � � � � ��� � � � �� � �� Proof. O lagrangeano do problema e´ / ��� �� 8� � � � ��� �� � 8 � � � ��� ��� Para cada a condic¸o˜es de primeira ordem implica que � +/ +� ��� � � � �� � � � 8� � � � � � +� +� ��� � � � �� � � � 8� � � � �� 8� � � +� +� ��� � � � �� � � � 8� � � � � � +/ +� ��� � � � �� � � � 8� � � � � � +� +� ��� � � � �� � � � 8� � � � �� 8� � � +� +� ��� � � � �� � � � 8� � � � � Ale´m disso, como � ��� � � � �� � �� � , temos +� +� ���� ��� ��� � � � � +� +� ���� ��� ��� � � � � � Portanto, usando a Regra da Cadeia e os resultados acima, � � � ��� � � � �� � �� � +� +� ��� � � � �� � �� ��� � � � � +� +� ��� � � � �� � �� ��� � � � � 8� +� +� ��� � � � �� � �� ��� � � � � 8� +� +� ��� � � � �� � �� ��� � � � � 8� � +� +� ��� � � � �� � �� ��� � � � � +� +� ��� � � � �� � �� ��� � � � � � 8� � � 8� 117 7.1.2 Va´rias Restric¸o˜es de Igualdade ..... 7.1.3 Restric¸o˜es de Desigualdade ...... 7.1.4 Interpretando o Multiplicador Considere o problema do consumidor ��� � � - ��� �� "��� "�� � Em que e´ a renda do consumidor. Enta˜o, � � - ��� � � � �� � �� � 8� � � mede o quanto o valor o´timo se altera quando a renda se altera. Ou seja, o multi- plicador representa a variac¸a˜o na utilidade o´tima resultante da disponibilidade de uma unidade a mais da renda. As vezes, o multiplicador e´ chamado prec¸o-sombra, no caso da renda. 7.2 Teorema do Envelope Os teoremas da envolto´ria nos dizem como o valor o´timo da func¸a˜o objetivo num problema de otimizac¸a˜o parametrizado se altera quando um dos paraˆmetros se modifica. 118 7.2.1 Problemas sem restric¸a˜o Theorem 36 Seja � ��� � uma func¸a˜o �� de � � �� e do escalar . Para cada escolha do paraˆmetro , considere o problema sem restric¸o˜es ��� � � ��� � Seja �� uma soluc¸a˜o do problema. SUponha que �� e´ uma func¸a˜o �� de . Enta˜o � � � ��� � � � � � + + � ��� � � � � Proof. Pela regra da cadeia � � � ��� � � � � � �� � +� +� ��� � � � � ��� � � +� + ��� � � � � � �