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Operações com três conjuntos
Vagner Luis Zanin
Introdução
O estudo sobre conjuntos consiste em conhecer suas características básicas e as proprieda-
des pertinentes ao assunto. Nesta aula, veremos como representar um conjunto e relações como 
pertinência, contido e igualdade entre conjuntos. Além disso, veremos como realizar a união, a 
interseção, a subtração e o complementar entre três ou mais conjuntos.
Objetivos
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • Compreender as diferentes operações com conjuntos: união, interseção e diferença 
entre três conjuntos.
1 Três conjuntos
As operações realizadas com três ou mais conjuntos são muito comuns no mundo da mate-
mática e vale destacar que as propriedades e características aplicadas para dois conjuntos tam-
bém são consideradas nestes casos. Portanto, as ideias e conceitos estudados aqui são seme-
lhantes aos trabalhados na associação entre dois conjuntos. 
É importante ressaltar, antes de iniciarmos nossos estudos, que, geralmente, utilizamos como 
exemplos de elementos, em operações entre conjuntos, letras do alfabeto ou algarismos indo-ará-
bicos. Isso ocorre pela facilidade de criação, visualização, explicação e compreensão do conceito 
trabalhado, mas tenha em mente que é possível considerar como elemento qualquer coisa que 
possa ser reunida em um conjunto, como, por exemplo, animais, plantas e objetos. A partir dessa 
análise, podemos dizer que o estudo das operações entre três conjuntos é muito utilizado na lógica 
do diagrama de Venn, que você verá ainda nesta aula.
Para continuarmos com nosso estudo, vale destacar, ainda, que quando estamos falando 
em relação entre conjuntos, tratamos do comportamento destes e de seus elementos, quando 
relacionados com outros conjuntos.
2 Representando um conjunto
Ao trabalharmos com operações de três conjuntos, devemos ter em mente muitas das pro-
priedades utilizadas nas operações entre dois conjuntos. Dessa forma, é importante revermos as 
formas mais comuns de representação: 
 • Listagem dos elementos: é a representação de todos os elementos em forma de lista, 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Ex: conjunto dos números natu-
rais ímpares, representado por A = {1, 3, 5, 7, 9};
 • Por propriedades: quando não for conveniente escrever todos os elementos que for-
mam o conjunto, pela grande quantidade, descreveremos por uma propriedade comum 
a todos os seus elementos. Ex: C = {x ∠ x é uma consoante do nosso alfabeto};
 • Diagrama de Venn: recebe este nome porque foi criado pelo matemático inglês John 
Venn (1834 – 1923). É uma representação gráfi ca do conjunto, através de uma fi gura 
plana fechada.
g
h
f
a
d
A
B
b
c
l
Figura 1– Exemplo de diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
SAIBA MAIS!
John Venn também dedicou-se ao estudo das probabilidades. Leia mais em: 
<http://www.dec.ufcg.edu.br/biografi as/JohnVenn.html>.
Dessa forma, é válido dizer que a representação aplicada às operações entre três conjuntos 
deve seguir, basicamente, o mesmo padrão aplicado às operações entre dois conjuntos, ou seja, 
todas as questões relacionadas à representação de conjuntos e elementos devem ser seguidas. 
A seguir, veremos as propriedades de pertinência, inclusão e igualdade relacionadas às ope-
rações de três conjuntos. 
3 Relação de pertinência, inclusão e 
igualdade entre conjuntos
A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um dado con-
junto. Considere o conjunto A = {a, e, i, o, u}. Analisando os seus elementos podemos afi rmar que:
 • e ∈ A, ou seja, o elemento e pertence ao conjunto A. 
 • s ∉ A, ou seja, o elemento s não pertence ao conjunto A.
Se considerarmos que a relação de pertinência se aplica somente entre elemento e conjunto, 
é preciso compreender a noção de subconjunto para a relação de pertinência entre conjuntos.
Para tal, considerando os conjuntos A e B, falamos que B é subconjunto de A se, e somente 
se, todo elemento de B for elemento de A. Esta é uma relação de inclusão, sendo representada por 
B ⊂ A (lemos B está contido em A). 
Caso exista pelo menos um elemento de B que não é elemento de A, escrevemos B ⊄ A e, 
neste caso, B não é um subconjunto de A (B não está contido em A). Observe os conjuntos: A = {1, 
2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. É correto dizer que A ⊂ B, mas ao mesmo tempo A ∉ B. Para que
A ∈ B deveríamos ter:
B � �
A
B �=B �{ } �{ } � �{ } �

B �B �



B �B �
B �B �
















0 1B �0 1B �{ }0 1{ }{ }2{ }{ }3 4 5{ } �{ } �3 4 5 �{ } � �{ } �3 4 5 �{ } � 6, ,{ }, ,{ } �{ } �, , �{ } �0 1, ,0 1B �0 1B �, ,B �0 1B � �0 1 �, , �0 1 �{ }0 1{ }, ,{ }0 1{ } �{ } �0 1 �{ } �, , �{ } �0 1 �{ } �{ }, ,{ } �{ } �, , �{ } � �{ } �, , �{ } �{ }3 4 5{ }, ,{ }3 4 5{ } �{ } �3 4 5 �{ } �, , �{ } �3 4 5 �{ } � , , �, , �{ }, ,{ } �{ } �, , �{ } �{ }3 4 5{ }, ,{ }3 4 5{ } �{ } �3 4 5 �{ } �, , �{ } �3 4 5 �{ } � �{ } �3 4 5 �{ } �, , �{ } �3 4 5 �{ } �
             
 
Já a relação de igualdade ocorre quando dois ou mais conjuntos são iguais, ou seja, quando 
apresentam os mesmos elementos, independentemente da ordem. Considerando os conjuntos A 
e B, para determinar se os dois conjuntos possuem os mesmos elementos e, consequentemente, 
se A = B, basta verifi car se A ⊂ B e B ⊂ A simultaneamente. Observe: dados os conjuntos A = {1; 2; 
3}, B = {3; 2;1} e C = {1; 1; 2; 2; 3; 3; 3}, verifi camos que A = B, logo: A = B ↔ A ⊂ B e B ⊂ A, e também 
verifi camos que B = C, logo: B ⟷ C ⊂ B ⊂ C e C ⊂ B.
4 Operações com três conjuntos
A união ocorre quando juntamos todos os elementos de vários conjuntos, formando um novo 
conjunto. Vale ressaltar que não importa a quantidade de vezes que um elemento apareça, ele 
sempre será considerado uma única vez. 
Observe os conjuntos A = {a, b, i}, B = {a, b, c, d, e} e C = {0, 1, 2}. Para determinar A ∪ B, 
basta reunir todos os elementos dos conjuntos envolvidos. Assim, A ∪ B = {a, b, c, d, e, i} e 
B ∪ C = {a, b, c, d, e, 0, 1, 2}. E, por fi m, podemos determinar (A ∪ B) ∪ (B ∪ C) = {a, b, c, d, e, i, 0, 1, 2}.
Já a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que estão, simultaneamente, 
em A e B. Em outras palavras, se existirem elementos que estão em dois ou mais conjuntos, então 
estes elementos pertencem à interseção destes conjuntos.
Para entendermos melhor, observe os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f}, B = {c, d, e, g, i, j, l } e 
C = {f, h, k, g, e, d}. 
 
g
h
f
a
d
A B
b
c
l
e
j
i
k
C
Figura 2 – Diagrama de Venn para interseção de conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
A partir da Figura 2, podemos observar as seguintes interseções: A ∩ B = { c, d, e }, B ∩ C = 
{ d, e, g }, A ∩ C = { d, e, f } e também A ∩ B ∩ C = { d, e }
FIQUE ATENTO!
Se na intersecção de três conjuntos quaisquer A, B e C forem o conjunto vazio, po-
demos dizer que os conjuntos A, B e C são disjuntos, ou seja, não há sobreposição 
entre as circunferências dos conjuntos A, B e C no diagrama de Venn.
Para a subtração entre três conjuntos, considere a seguinte informação: subtrair um conjunto 
do outro signifi ca retirar de um todos os elementos que também aparecem no outro. De maneira 
mais formal: considerando A, B e C, a operação A – B – C representa a retirada dos elementos de 
A que também aparecem em B e C: A – B – C = {x ∈ A tal que x ∉ B e x ∉ C}.
Acompanhe o seguinte exemplo: A= {cão, gato, pássaro}, B= {camelo, cão, girafa, pássaro, 
hipopótamo, gato} e C = {girafa}. Para calcular B – A – C, devemos realizar o seguinte raciocí-
nio: retirar do conjunto B todos os elementos que também aparecem no conjunto A e C. Logo, 
B – A – C = {camelo, hipopótamo}.
A partir da diferença entre conjuntos, podemos defi nir o complemento.Em outras palavras, 
dados os conjuntos A e B (sendo B ⊂ A), chamamos complementar de B em relação ao A o con-
junto diferença A – B. Representamos este conjunto por CA B = A – B.
A
B
A – B
Figura 3 – Complementar de B em relação ao A
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
A ideia de complementar, quando estudamos operações entre três conjuntos, é se-
melhante quando trabalhamos com dois conjuntos. Podemos ter três conjuntos, 
sendo um contido em outro, ou seja, imagine três conjuntos: A, B e C, sendo que 
A ⊂ B e B ⊂ C, assim, basta aplicar o conceito de complementar de dois em dois.
Acompanhe: sejam A = {g, e, h, j, d, f, i, a, k} e B = {a, f, k, i}, para calcular CA B, vamos considerar 
inicialmente o diagrama de Venn para os conjuntos A e B dados.
g
h
i
j
k
f
a
d
e
A
B
Figura 4 – Conjunto A e B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Considerando o conjunto A e retirando deste conjunto os elementos que também ocorrem no 
conjunto B, teremos, como solução, CA B = A – B = {d, e, j, g, h}.
SAIBA MAIS!
Se A ⊂ B e CB A = B – A e a solução de CB A = 0, significa que os conjuntos A = B 
(os conjuntos são iguais). Veja mais em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/
medio/conjuntos/conjunto.htm.
O estudo das operações entre três conjuntos se faz necessário para que possamos descrever, 
estudar e analisar esses conjuntos e seus elementos. Vale destacar que os mesmos raciocínios 
aplicados no estudo das relações entre dois e três conjuntos devem ser aplicados para operações 
com mais conjuntos. Nessas situações, o diagrama de Venn se torna uma ferramenta necessária 
para a organização, pois a complexidade das relações é proporcional à quantidade de conjuntos.
FIQUE ATENTO!
Quando trabalhamos com três conjuntos, basicamente realizamos a manipulação 
dos seus elementos. Por isso, o uso dos diagramas se torna conveniente nestas 
situações, pois facilita a visualização e evita a ocorrência de erros.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer as formas possíveis de representação de um conjunto;
 • entender os conceitos e as diferenças de pertinência, inclusão, união, interseção, sub-
tração e complementar entre três conjuntos.
Referências 
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
V.1. São Paulo: Atual, 1998.
PEREIRA, Rossana M. Martins; SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial. Disponível em: http://www.
uel.br/projetos/matessencial/medio/conjuntos/conjunto.htm. Acesso em: 23 ago. 2016.
UNIVERSIDADE Federal de Campina Grande. UAEC/UFCG. John Venn. Disponível em: http://www.
dec.ufcg.edu.br/biografias/JohnVenn.html. Acesso em: 23 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.