estruturas algébricas

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Estudamos as relações binárias e suas propriedades, em particular, as relações simétricas. A 
seguir, temos quatro relações definidas sobre o conjunto A = {1, 3, 5}, sendo que apenas uma 
delas é simétrica. Assinale a alternativa CORRETA que indica esta relação: 
 
O pensamento algébrico diz respeito à simbolização (representar e analisar situações 
matemáticas, usando símbolos algébricos), ao estudo de estruturas (compreender relações e 
funções) e à modelação. Existem dificuldades na construção do pensamento algébrico por 
parte dos estudantes em fase escolar. Sendo assim, imaginando-se na posição de uma criança 
nesta etapa, analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
Ao trabalhar com números naturais, podemos administrar o processo de cálculo mediante 
certas propriedades. Em particular, a operação de multiplicação possui uma propriedade 
chamada distributiva. Sobre a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, 
com m, n e p reais, assinale a alternativa CORRETA: d) m·(n + p) = m·n + m·p. 
 
O conjunto dos polinômios possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações binárias 
definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as sentenças 
a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
Uma função contínua é o resultado do produto cartesiano entre o conjunto dos números reais 
consigo mesmo. Por este fato, todos os "espaços" do plano são ocupados, pois o conjunto dos 
números reais é um conjunto denso. Agora, se operarmos o produto cartesiano entre conj que 
não são os números reais, teremos descontinuidades no plano. Quanto àquela opção que gera 
sua representação geométrica, analise as opções sobre o produto cartesiano R x Z : I- Uma 
faixa. II- Uma reta. III- Infinitas retas paralelas ao eixo x. IV- Infinitas retas paralelas ao eixo y. 
Assinale a alternativa CORRETA: c) Somente a opção I está correta. 
 
 
O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações 
binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as 
sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde: 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As 
primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com 
importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se 
que as soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do 
conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 
é: c) S = {0, -i, i}. 
 
Em meio à infinidade de nosso sistema numérico, temos diversos números com suas 
peculiaridades: entre eles, os números irracionais. O surgimento do conjunto dos números 
irracionais é proveniente de uma discussão acerca do cálculo da diagonal de um quadrado de 
lado 1, o que hoje nos parece elementar. Baseado nisto, sejam a e b números irracionais 
quaisquer, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: (F) a·b é um número 
irracional. (F) a + b é um número irracional. (V) a * b pode ser um número irracional. 
 
Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 
3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões 
de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos 
quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as 
opções a seguir: II) x² - 3x + 2 Assinale a alternativa CORRETA: 
. c) Somente a opção II 
 
Após compreender o que significa o produto cartesiano entre dois conjuntos, devemos 
analisar o que são relações binárias. Uma relação binária é definida como sendo um 
subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B, isto é, uma relação R é 
um conjunto de pares ordenados. Estas relações podem ser classificadas em reflexivas, 
simétricas, antissimétricas e transitivas. Com relação às relações simétricas, seja S = {0, 1, 2, 4, 
6}, analise as opções a seguir: 
I)R = {(0,0), (1,1), (2,2), (4,4), (6,6), (0,1), (1,2), (2,4), (2,6)} 
II) R = {(0,1), (1,0), (2,4), (4,2), (4,6), (6,4)} 
III) R = {(0,1), (1,2), (0,2), (2,0), (2,1), (1,0), (0,0), (1,1), (2,2)} 
IV) R = {(0,0), (1,1), (2,2), (4,4), (6,6), (4,6), (6,4)} 
 
Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e 
produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que 
relacionava os coeficientes numéricos de uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado 
nisto, considerando as relações de Girard, analise as sentenças a seguir quanto à soma e ao 
produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: 
I) -2 e 3. II) 2 e -3. III) -2 e -3. IV) 2 e 3. R: d) Somente a opção I está correta. 
 
O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações 
binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as 
sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde: 
 
 
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: 
realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base 
(conservar a base e subtrair os expoentes). Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) 
= 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, analise 
as opções a seguir que procuram apresentar a solução desta equação, e classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: (V) -1 e 5 (F) -1 e -5 (F) 1 e -5 (F) 1 e 5 
 
Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em 
equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na 
equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é: b) S = {0, 1, 3} 
 
A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante 
depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do 
dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) = 
-3x³ + 2x + 1 por Q(x) = x - 5, analise as sentenças a seguir: II- O resto da divisão de P(x) por 
D(x) é -364. 
 
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio 
P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, 
podemos escrever P(x) como: R: c) 2·(x² + 4)·(x - 3). 
 
No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os 
grupos abelianos são assim chamados em honra ao matemático noruego Niels Henrik Abel que 
trouxe grandes contribuições à Álgebra no início do século XIX. Analise as sentenças a seguir 
sobre a caracterização de um grupo (G, *) como abeliano: I- Se, além das propriedades que o 
caracterizam como grupo, é verificada em (G, *) a propriedade comutativa. 
 
Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 
3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões 
de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos 
quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as 
opções a seguir: I) 2x² - 3x + 2 II) x² - 3x + 2 III) x² - x + 1 IV) 3x²- 4x + 1 
 
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser escrita em 
função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, 3, e 4 e o 
coeficiente dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas 
(V) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0 (F) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0 (F) x³ - 5x² + 2 = 0 (F) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0 
 
Dizemos que um conjunto A munido de duas operações binárias distintas + e * possui 
estrutura de anel quando (A, +) é grupo abeliano e (A, +, *) satisfaz certas propriedades. Sobre 
a condição necessária e suficiente para que (A, +, *) seja um anel com unid classifique V ou F 
(V)Possuir elemento neutro em relação à operação *. 
(F) Possuir elemento neutro em relação à operação +. 
(F) Admitir fechamento para ambas as operações em questão. 
(F)) Verificar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição 
 
Você provavelmente já deve ter visto muitas frações e números decimais durante o curso. 
Entretanto, você sabia que elas possuem algo em comum? As frações e os números decimais 
pertencem a um mesmo conjunto numérico, o Conjunto dos Números Racionais. Sobre o 
número racional, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
(F)) Tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais. 
(F)) Tem sempre um número infinito de ordens (casas) decimais. 
(F)) Não pode expressar-se em forma decimal exata. 
(F)) Nunca se expressa em forma de uma decimal inexata