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Geometria: Aplicações e Importância

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Prévia do material em texto

2014
Geometria
Prof.ª Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz
Prof.º Juliano Bona
Copyright © UNIASSELVI 2014
Elaboração:
Prof.ª Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz
Prof.º Juliano Bona
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
516
D149g Dalpiaz, Márcia Vilma Aparecida Depiné
Geometria/ Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz, Juliano 
Bona. Indaial : Uniasselvi, 2014.
249 p. : il 
ISBN 978-85-7830-820-9
 1. Geometria.
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
Impresso por:
III
apresentação
Caro(a) acadêmico(a)!
Segundo Lobachevsky (apud Toledo; TOLEDO, 1997, p. 220), “Não há 
nenhum ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa vir 
a ser aplicado, mais cedo ou mais tarde, aos fenômenos do mundo real”. No 
decorrer deste curso de Licenciatura em Matemática, teremos oportunidade 
de concordar com ele. Na maioria das vezes, quando falamos em matemática, 
a primeira coisa que nos vem à cabeça são os números. Mas a matemática 
é muito mais que isso, ela está diretamente ligada à natureza. O próprio 
desenvolvimento da vida necessita da Matemática: a divisão exata das células 
e o número correto de cromossomos em cada uma delas é que vão determinar 
o novo ser, com todas as características de sua espécie. Este é apenas um 
exemplo que nos mostra a presença da matemática no mundo real.
Acredito que, de todos os ramos da Matemática, a geometria é campeã 
em aplicação no universo, no cotidiano e na natureza. Os antigos gregos já 
haviam percebido que a natureza é geométrica, e foi através da observação 
da natureza que chegamos ao desenvolvimento geométrico que temos hoje. 
Porque no mundo natural encontramos simetria, harmonia, regularidade e 
ordem. Encontramos também as mais variadas formas geométricas regulares 
e irregulares. No mundo mineral encontramos os sólidos geométricos, as 
formas esféricas e as secções cônicas. Basta pararmos um pouco e observar o 
mundo ao nosso redor. Tudo isso será facilmente reconhecido. 
Existem também estruturas geométricas que não são visíveis a olho 
nu, como a dupla hélice de DNA presente no núcleo das células dos seres 
vivos, e os padrões irregulares das formas geométricas complexas, como de 
um floco de neve, estudadas nas últimas décadas pela geometria fractal.
A geometria é parte deste universo fantástico em que vivemos, e foi 
objeto de estudos de Euclides, que nasceu em 330 a.C. e é considerado o primeiro 
geômetra, passando por Leonardo da Vinci, que, além de engenheiro, pintor, 
escultor, filósofo, músico e poeta, estudou exaustivamente as proporções da 
forma humana, que resultou no famoso desenho (Homem Vitruviano) onde 
o corpo humano se encontra inserido na forma ideal do círculo e nas perfeitas 
proporções do quadrado; e chegando ao matemático alemão Gauss, que 
estudou uma geometria não euclidiana. 
Caro(a) acadêmico(a), você está sendo convidado(a) a entrar neste 
mundo fascinante da Geometria, reconhecer suas formas, analisar sua 
importância, descobrir suas aplicações e se familiarizar com ela.
IV
Porém, não se esqueça de refletir sempre, discutir com o grupo cada 
unidade estudada, analisar alternativas para solucionar situações-problema 
e criar caminhos novos para encontrar respostas. A Matemática nos permite 
fazer isso. 
Profª. Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz
Profº. Juliano Bona
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 – NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA ................................................... 1
TÓPICO 1 – NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS ......................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO ................................................................................................ 3
3 SEGMENTO DE RETA ....................................................................................................................... 6
4 SEMIRRETA ......................................................................................................................................... 6
5 SEMIPLANO ........................................................................................................................................ 7
6 AXIOMAS ............................................................................................................................................. 8
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 11
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 12
TÓPICO 2 – POSIÇÕES DE RETAS ................................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 15
2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS ................................................................................... 15
2.1 RETAS COPLANARES .................................................................................................................. 15
2.1.1 Critério de paralelismo entre reta e plano ......................................................................... 16
2.1.2 Critério de perpendicularidade entre reta e plano ........................................................... 17
2.1.3 Critério de perpendicularidade entre dois planos ............................................................ 17
2.2 RETAS REVERSAS ......................................................................................................................... 17
3 SEGMENTOS DE RETA ..................................................................................................................... 17
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 20
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................21
TÓPICO 3 – ÂNGULOS ........................................................................................................................ 23
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 23
2 ÂNGULO ............................................................................................................................................... 23
2.1 ÂNGULOS CONSECUTIVOS ...................................................................................................... 24
2.2 ÂNGULOS CONGRUENTES ....................................................................................................... 25
2.3 ÂNGULOS ADJACENTES ............................................................................................................ 25
3 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO .......................................................................................................... 25
4 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS ............................................................................................... 26
4.1 ÂNGULO RETO .............................................................................................................................. 26
4.2 ÂNGULO AGUDO ......................................................................................................................... 26
4.3 ÂNGULO OBTUSO ........................................................................................................................ 27
5 SOMA DE DOIS ÂNGULOS ............................................................................................................ 27
5.1 ÂNGULOS COMPLEMENTARES ............................................................................................... 27
5.2 ÂNGULOS SUPLEMENTARES .................................................................................................... 28
6 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE ......................................................................................... 29
7 ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA 
 TRANSVERSAL ................................................................................................................................... 29
8 UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS ..................................................................................... 31
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 34
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 35
sumário
VIII
TÓPICO 4 – PROPORCIONALIDADE .............................................................................................. 37
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 37
2 TALES DE MILETO E OS SEGMENTOS PROPORCIONAIS ................................................... 37
3 TEOREMA DA PROPORCIONALIDADE ..................................................................................... 40
3.1 TEOREMA DE TALES .................................................................................................................... 42
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 48
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 49
TÓPICO 5 – UNIDADES DE MEDIDA ............................................................................................. 53
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 53
2 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ..................................................................................................... 53
3 MEDIDAS DE ÁREA .......................................................................................................................... 55
4 MEDIDAS DE VOLUME ................................................................................................................... 56
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 57
RESUMO DO TÓPICO 5 ....................................................................................................................... 71
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 72
UNIDADE 2 – GEOMETRIA PLANA ................................................................................................ 75
TÓPICO 1 – FIGURAS POLIGONAIS ............................................................................................... 77
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 77
2 POLÍGONO .......................................................................................................................................... 78
2.1 ELEMENTOS DE UM POLÍGONO ............................................................................................. 81
2.2 POLÍGONOS REGULARES E CLASSIFICAÇÃO ..................................................................... 82
2.3 DIAGONAL DE UM POLÍGONO ............................................................................................... 84
2.4 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS
 DE UM POLÍGONO CONVEXO .................................................................................................. 86
2.5 MEDIDA DO ÂNGULO INTERNO E EXTERNO ..................................................................... 89
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 91
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 92
TÓPICO 2 – TRIÂNGULOS ................................................................................................................. 95
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 95
2 TRIÂNGULOS E SEUS ELEMENTOS ............................................................................................ 97
3 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS ........................................................................................ 98
3.1 QUANTO AOS LADOS ................................................................................................................. 99
3.2 QUANTO AOS ÂNGULOS ........................................................................................................... 100
4 PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS .......................................................................................... 100
5 PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO ....................................................................................... 104
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 107
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 108
TÓPICO 3 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ............................................................................ 111
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 111
2 NOÇÃO DECONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA ........................................................................ 111
3 CONGRUÊNCIA ENTRE TRIÂNGULOS ...................................................................................... 115
4 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS ....................................................................... 117
5 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ................................................................................................ 124
5.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA ................................................................. 125
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 126
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 127
IX
TÓPICO 4 – CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS .................................................. 129
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 129
2 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E SEMICIRCUNFERÊNCIA .................................................... 132
3 CÍRCULO .............................................................................................................................................. 133
3.1 SETOR CIRCULAR, SEGMENTO CIRCULAR E SEMICÍRCULO ......................................... 134
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 136
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 137
TÓPICO 5 – ÁREA DE FIGURAS POLIGONAIS ............................................................................ 139
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 139
2 QUADRILÁTEROS E SEUS ELEMENTOS .................................................................................... 140
2.1 PARALELOGRAMOS .................................................................................................................... 140
 2.1.1 Propriedades dos paralelogramos ....................................................................................... 142
2.2 TRAPÉZIOS ..................................................................................................................................... 142
3 ÁREAS .................................................................................................................................................... 143
3.1 QUADRADO ................................................................................................................................... 143
3.2 RETÂNGULO .................................................................................................................................. 144
3.3 PARALELOGRAMO ...................................................................................................................... 145
3.4 LOSANGO ....................................................................................................................................... 145
3.5 TRAPÉZIO ....................................................................................................................................... 145
3.6 TRIÂNGULO ................................................................................................................................... 146
3.7 HEXÁGONO REGULAR ............................................................................................................... 149
3.8 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM POLÍGONO REGULAR ...................................... 149
RESUMO DO TÓPICO 5 ....................................................................................................................... 151
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 153
TÓPICO 6 – ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES ........................................................................... 155
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 155
2 ÁREA DO CÍRCULO .......................................................................................................................... 156
3 ÁREA DO SETOR CIRCULAR ......................................................................................................... 158
4 ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR ............................................................................................... 160
5 ÁREA DA COROA CIRCULAR ....................................................................................................... 160
RESUMO DO TÓPICO 6 ....................................................................................................................... 162
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 163
UNIDADE 3 – GEOMETRIA ESPACIAL ........................................................................................... 165
TÓPICO 1 – RELAÇÕES NO ESPAÇO .............................................................................................. 167
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 167
2 RELAÇÕES ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO ......................................................................... 167
3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS ................................................ 170
4 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO ................................................................................................ 171
5 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .............................................................................................................. 172
6 POLIEDROS ......................................................................................................................................... 173
7 RELAÇÃO DE EULER ........................................................................................................................ 176
8 POLIEDROS DE PLATÃO ................................................................................................................. 178
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 184
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 186
TÓPICO 2 – PRISMAS .......................................................................................................................... 189
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 189
2 PRISMAS ............................................................................................................................................... 190
X
2.1 CLASSIFICAÇÃO ........................................................................................................................... 191
2.2 PARALELEPÍPEDO ........................................................................................................................ 192
2.3 CUBO ................................................................................................................................................ 193
 2.3.1 Área e volume do cubo .........................................................................................................195
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA ..................................................................................... 197
4 VOLUME DO PRISMA ...................................................................................................................... 201
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 204
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 205
TÓPICO 3 – PIRÂMIDES ...................................................................................................................... 207
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 207
2 PIRÂMIDE ............................................................................................................................................ 208
2.1 CLASSIFICAÇÃO ........................................................................................................................... 209
2.2 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE TRIANGULAR ....................................................................... 210
2.3 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE QUALQUER ........................................................................... 211
3 ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE ...................................................................... 212
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 215
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 216
TÓPICO 4 – CILINDRO ........................................................................................................................ 217
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 217
2 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO RETO .................................................................... 218
3 VOLUME DO CILINDRO ................................................................................................................. 219
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 223
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 224
TÓPICO 5 – CONE ................................................................................................................................. 227
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 227
2 SECÇÃO MERIDIANA ...................................................................................................................... 228
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CONE RETO .............................................................................. 229
4 VOLUME DO CONE ........................................................................................................................... 231
RESUMO DO TÓPICO 5 ....................................................................................................................... 234
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 235
TÓPICO 6 – ESFERA .............................................................................................................................. 237
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 237
2 VOLUME DA ESFERA ....................................................................................................................... 239
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DA ESFERA .............................................................................................. 240
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 242
RESUMO DO TÓPICO 6 ....................................................................................................................... 246
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 247
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 249
1
UNIDADE 1
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE 
GEOMETRIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade tem por objetivos:
• desenvolver o pensar geométrico e o raciocínio visual;
• compreender e resolver questões de paralelismo, perpendicularismo, se-
melhança, proporcionalidade e simetria;
• identificar triângulos semelhantes e as relações de proporcionalidade;
• desenvolver a percepção espacial através da imagem, esclarecendo situa-
ções abstratas e facilitando a comunicação da ideia matemática;
• utilizar as noções fundamentais da geometria na elaboração e solução de 
problemas contextuais.
Essa unidade está organizada em cinco tópicos. Em cada um deles você 
encontrará dicas, textos complementares, observações e atividades que lhe 
darão uma maior compreensão dos temas a serem abordados.
TÓPICO 1 – NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
TÓPICO 2 – POSIÇÕES DE RETAS
TÓPICO 3 – ÂNGULOS
TÓPICO 4 – PROPORCIONALIDADE
TÓPICO 5 – UNIDADES DE MEDIDA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS 
1 INTRODUÇÃO
Olá, acadêmico(a)! Vamos começar a fazer nossa caminhada por este mundo 
maravilhoso chamado Geometria, esta que é considerada por muitos estudiosos 
como uma das áreas clássicas da matemática. Porém, para que possamos entender 
melhor o mundo da Geometria, é necessário que iniciemos nossos estudos pelo 
que há de mais elementar nesta disciplina, ou seja, suas noções primitivas: ponto, 
reta e espaço. A partir daí poderemos compreender as dimensões das formas 
geométricas. As noções de dimensão e espaço são relativamente simples, e você não 
terá dificuldade de compreendê-las. Na Geometria, estas noções são estabelecidas 
por meio de definições que irão alicerçar os conceitos futuros trabalhados nesta 
disciplina. Preparado(a) para está aventura? Então vamos nessa, “pé na estrada”.
2 PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO
Partimos para nossa viagem de um ponto, passaremos por retas, planos 
e sólidos. Estas figuras, como em uma viagem, são notadas no espaço físico. Na 
matemática, elas ganham um rigor conceitual específico sustentado às relações 
construídas no espaço de abstração matemática. Existe neste ponto uma relação 
estrita entre estas figuras no espaço físico e matemático. Deixando o rigor 
matemático para depois, vamos imaginar objetos reais que nos dão ideia destas 
formas:
• Um pequeno ponto em uma folha de papel nos dá a ideia de ponto geométrico.
• Um fio elétrico esticado de um poste a outro nos dá a ideia de uma parte da reta.
• A capa deste caderno de estudos nos dá a ideia de uma parte do plano.
A palavra geometria é derivada do grego, com base no radical geo de gé = terra 
e métron = medida. 
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
4
• O dado numerado que usamos para jogar nos dá a ideia de cubo.
É claro que podemos representar estas ideias, através de formas, numa 
folha de papel, e cada uma delas possui regras matemáticas claras para sua 
representação. Neste tópico, veremos como devem ser representadas.
Agora, observe as formas a seguir:
Temosna figura acima um ponto, uma reta, um quadrado e um cubo, 
representando, respectivamente, os espaços de zero, de uma, de duas e de três 
dimensões. Como vivemos num mundo de três dimensões, todas as formas com 
mais dimensões fogem à nossa percepção. 
Um ponto não tem dimensão. Podemos imaginar que ao posicionar um 
objeto sobre um ponto não teríamos como movimentá-lo sem que este não saia dos 
limites deste ponto. Ou seja, um local sem possibilidade de locomoção dimensional.
Uma reta tem apenas uma dimensão. Podemos dar o nome de comprimento 
à medida do segmento (parte, pedaço) de reta. Um segmento de reta é parte de 
uma reta, e pode ser medido, pois é finito. Por exemplo, poderia ser medido em 
cm.
Um plano tem duas dimensões. Podemos dar o nome de comprimento 
e largura aos lados do quadrado que está representando o plano. Neste caso, o 
quadrado é parte de um plano, e poderia ser medido, porque é finito e tem área. 
Por exemplo, poderia ser medido em cm2.
Um espaço como este em que vivemos tem três dimensões. Podemos dar 
o nome de comprimento, largura e altura às dimensões do cubo representado na 
figura acima. Ele é parte de um espaço infinito, que pode ser medido. Por exemplo, 
poderia ser medido em cm3. Ele se assemelha muito aos objetos de nosso mundo 
físico.
TÓPICO 1 | NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
5
Um ponto pode ser colocado em uma reta, em um plano ou em um espaço 
como o nosso. 
Uma reta pode ser colocada sobre outra, em um plano ou em nosso espaço tridimensional.
Um plano pode ser colocado sobre outro plano ou em um espaço tridimensional. 
Mas não é possível encaixar um objeto em um espaço que tenha um número menor de 
dimensões. Assim, uma reta não cabe em um ponto, um cubo não cabe em um plano nem 
em uma reta.
A representação destas formas geométricas são:
a) O ponto é indicado por letras maiúsculas.
Exemplos:
A
Ponto A
B
Ponto B
b) A reta é indicada por letras minúsculas.
Exemplos:
Uma reta também pode ser indicada por dois de seus pontos.
Exemplo:
Indicação: (lê-se: “reta AB”)AB
r s
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
6
c) O plano é indicado por letras gregas minúsculas: α (alfa), β (beta), γ 
(gama) etc.
Exemplos:
Para as afirmações que usaremos nos próximos itens, teremos como base os 
postulados (axiomas) de Euclides, relacionando o ponto, a reta e o plano. No item 
6 deste mesmo tópico serão apresentadas os axiomas. 
3 SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com 
o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta (“Estar entre” é 
uma noção primitiva que obedece aos axiomas).
Indicação: (Lê-se: “segmento AB”)AB
Perceba, acadêmico(a), que os pontos A e B são as extremidades e os pontos 
que estão entre A e B são pontos internos do segmento dado. Se os pontos A e B 
coincidem (A=B), dizemos que o segmento é nulo.
4 SEMIRRETA
Observe a figura abaixo:
Você pode verificar que em relação ao ponto A, a reta ficou dividida em 
duas partes:
TÓPICO 1 | NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
7
Cada uma dessas partes é chamada semirreta, e o ponto A é chamado 
origem das semirretas.
Exemplos de semirretas:
Indicação: 
(lê-se: “semirreta AB”)
AB Indicação: 
(lê-se: “semirreta PQ”)
PQIndicação: 
(lê-se: “semirreta MN”)
MN
Dados dois pontos distintos A e B, em uma reta r, conforme representamos 
na figura abaixo. A semirreta de origem A é o conjunto dos pontos compreendidos 
no segmento AB e BC, para os quais B está entre A e C. 
AC 
ACO ponto A é a origem da semirreta .
Se A estiver entre B e C, a semirreta e a semirreta são opostas.
5 SEMIPLANO
Se r ⊂ α (lê-se r está contido em alfa) e r divide o plano α em dois semiplanos. 
A reta r é chamada reta origem. 
Exemplo:
AB AC
α1 ∪ α2 = α
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
8
6 AXIOMAS
Neste momento, vale destacar a importância de, ao ensinar Geometria, 
contextualizar os conceitos explorados historicamente. Este movimento permite 
com que os alunos compreendam que estas relações matemáticas não surgiram no 
vazio, na cabeça de um desses gênios da história da ciência. Mas, que compreendam 
a série de fatores históricos e sociais que impulsionou o desenvolvimento de várias 
áreas do conhecimento. Levando estes aspectos em consideração, vamos à história 
de um dos principais autores da Geometria, Euclides.
FIGURA 1 – EUCLIDES
FONTE: Disponível em: <http://www.essaseoutras.xpg.com.br/os-10-matematicos-mais-
importantes-da-historia-lista-completa-veja/>. Acesso em: 22 ago. 2012. 
Euclides foi o primeiro grande estudioso da Geometria e sua obra principal, 
denominada “Os elementos”, alcançou mais de 1.500 edições. Apesar disso, ainda 
hoje, mais de dois mil anos depois, os estudos de Euclides continuam válidos 
e são a base da geometria estudada nas escolas. Além disso, podemos observar 
aplicações dos teoremas e relações euclidianas em vários campos da ciência como 
nas engenharias e áreas tecnológicas em geral.
TÓPICO 1 | NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
9
Os escritos deste grande matemático grego compõem-se de treze livros ou 
capítulos que contêm 465 proposições, 93 problemas e 372 teoremas. Toda esta 
obra foi desenvolvida sobre um grupo de definições, quase todas resultantes de 
observações experimentais, e em noções comuns (ou axiomas) e postulados.
Euclides sistematizou a geometria através do método dedutivo, que consiste 
em aceitar sem demonstração certas proposições a respeito de um sistema, neste 
caso, os axiomas, e demonstrar de maneira lógica, a partir dos axiomas, todas as 
proposições válidas do sistema, os teoremas.
Isto provocou uma série de discussões entre os matemáticos nos séculos 
seguintes. Atualmente ainda há postulados de Euclides, que sáo objetos de estudos 
e discussões. Este cenário é que originou o que chamamos hoje de Geometria Não 
Euclidiana. Mas isto é assunto para outros estudos.
Seguem alguns axiomas ou postulados relacionados aos elementos 
primitivos da geometria:
• Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. (Quando falamos em 
“infinitos pontos”, significa “quantos pontos quisermos”).
• Num plano há infinitos pontos.
• Por um ponto passam infinitas retas.
• É possível traçar uma reta ligando dois pontos.
• Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida no 
plano.
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
• Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares) passa um e somente 
um plano.
• Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.
• Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
• Dada uma reta r e um ponto exterior P, existe exatamente uma reta que passa 
em P e é paralela a r. (O quinto postulado, do livro I, é o mais famoso dos 
postulados de Euclides e que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos).
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
10
Para verificarmos os postulados de Euclides, na sequência dos nossos estudos, é 
importante definirmos os termos que utilizaremos neste Caderno de Estudos:
• Pontos Coplanares: são pontos que pertencem a um mesmo plano.
• Pontos Colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
• Figura: é qualquer conjunto de pontos.
• Figura plana: é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
• Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
• Geometria plana: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.
• Geometria espacial: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras 
espaciais.
Para ampliar seu conhecimento sobre os postulados de Euclides, sugerimos a 
leitura do livro: REZEBDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lucia Bontorim de. Geometria 
euclidianaplana e construções geométricas. 2. ed. São Paulo: Unicamp, 2008. 
IMPORTANT
E
11
Neste tópico você viu que:
• O ponto, a reta e o plano são os elementos básicos da geometria. 
• O comprimento: é definido em figuras ou formas que possuem UMA dimensão.
• O comprimento e a largura: são definidos em figuras ou formas que possuem 
DUAS dimensões (base e altura).
• O comprimento, largura e altura: são definidos em figuras ou formas que 
possuem TRÊS dimensões (comprimento, largura e profundidade).
• Um ponto sobre uma reta determina duas semirretas com origem no ponto. 
• Dois pontos sobre uma reta determinam um segmento de reta. 
• Considerando dois pontos distintos que chamaremos de A e B, temos:
RESUMO DO TÓPICO 1
A reta
O segmento
A semirreta
AB
AB
AB
• Pontos Coplanares: são pontos que pertencem a um mesmo plano.
• Pontos Colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
• Figura: é qualquer conjunto de pontos.
• Figura plana: é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
• Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
• Geometria plana: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.
• Geometria espacial: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras 
espaciais.
12
A fim de melhor assimilar os conceitos estudados propomos a resolução das 
autoatividades a seguir:
1 Para saber se você entendeu o assunto estudado neste tópico, faça uma 
relação com cinco objetos do seu cotidiano que deem ideia de pontos, retas e 
planos. 
2 Os axiomas ou postulados de Euclides estabelecem relações primitivas 
entre os entes geométricos. Acerca dessas relações, analise as sentenças e 
classifique V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Por um ponto passam infinitas retas.
( ) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta.
( ) Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.
( ) Por ter pontos alinhados passam uma única reta.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – V.
b) ( ) V – V – F – V.
c) ( ) V – V – F – F.
d) ( ) V – F – V – F.
3 Para as sentenças do exercício 2 justifique a condição de serem falsas.
4 Complete as lacunas das sentenças a seguir:
• Quatro pontos distintos podem determinar um ____________.
• Dado três pontos ____________ sempre é possível traçar uma reta que 
contenha os três pontos.
• Uma reta está totalmente contida em um plano quanto tem ___________ 
pontos ___________ deste plano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) ponto – alinhados – dois – distintos.
b) ( ) plano – quaisquer – três – alinhados.
c) ( ) plano – alinhados – dois – distintos.
d) ( ) ponto – alinhados – três – alinhados.
5 Sobre os axiomas de Euclides, analise as sentenças a seguir:
I – Por dois pontos distintos passa uma reta.
II – Três pontos distintos são sempre colineares.
AUTOATIVIDADE
13
III – Três pontos distintos são sempre coplanares
IV – Quatro pontos distintos podem determinar duas retas.
V – Três pontos coplanares são sempre colineares.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) Somente afirmativa IV está correta.
b) ( ) As afirmativas II e III estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I, III e IV estão corretas.
d) ( ) Somente a afirmativa V está correta.
Para você conhecer mais sobre a história da Geometria e da Matemática acesse 
o site: <http://www.somatematica.com.br/>.
DICAS
14
15
TÓPICO 2
POSIÇÕES DE RETAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Chegamos a mais um estágio de nossa viagem pela geometria. Neste 
momento iremos analisar a posição relativa de retas no plano. Ao escutar a palavra 
meta, você, acadêmico(a), pode tentar visualizá-las em vários objetos que estão ao 
seu redor. Como por exemplo: na fuga que divide dois pisos, na aresta de uma 
mesa, ou na superfície lateral de uma folha de caderno. Você pode também pensar 
em qualquer reta suporte de uma forma geométrica. Por isso, sugerimos que você 
tenha por perto um prisma qualquer (pode ser um cubo de qualquer material), 
que manter usado para analisar as diferentes posições de retas que estudaremos a 
partir de agora.
2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
2.1 RETAS COPLANARES
Duas ou mais retas são coplanares quando estão contidas no mesmo plano.
Duas retas coplanares podem ser:
• Paralelas, quando não têm ponto comum.
Indicação r // s 
 r, s, t são coplanares
r ⊂ α
s ⊂ α
t ⊂ α
r ∩ s = ∅
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
16
• Coincidentes, quando têm todos os pontos comuns.
Indicação: r ≡ s
≡ também é o símbolo da congruência
• Concorrentes, quando têm apenas um ponto comum. 
Indicação: r × s 
• Perpendiculares, quando duas retas concorrentes formam entre si ângulos 
retos, dizemos que formam um tipo especial de concorrência e por isso são 
chamadas de retas perpendiculares. 
Deste modo, duas retas são perpendiculares se, e somente se, são 
concorrentes (têm ponto comum) e formam ângulos adjacentes suplementares 
congruentes. 
Indicação: r ⊥ s.
r ∩ s = r e r ∩ s = s
r ∩ s = {P} 
No plano cartesiano a base de referência são duas retas concorrentes 
ortogonais. Você estudará sobre a representação carteiana na disciplina de 
Geometria Analítica.
2.1.1 Critério de paralelismo entre reta e plano
Critério1: se uma reta é paralela a uma reta de um plano, é paralela ao 
plano.
Critério 2: se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro 
plano, os planos são paralelos.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES DE RETAS
17
2.1.2 Critério de perpendicularidade entre reta e plano
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, é 
perpendicular ao plano.
2.1.3 Critério de perpendicularidade entre dois planos
Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, os dois planos 
são perpendiculares.
Uma reta e um plano são perpendiculares, se e somente se, eles têm um 
ponto comum e a reta é perpendicular a todas as retas que passam por este ponto 
comum. 
Indicação: r ⊥ α. 
2.2 RETAS REVERSAS
Duas retas são reversas quando não são paralelas nem possuem ponto 
comum. Isto significa que não existe um plano que as contenha. Podemos imaginar 
uma reta r desenhada no chão de uma sala e uma reta t, não paralela a r, desenhada 
no teto da mesma sala.
3 SEGMENTOS DE RETA
Vamos estudar agora como podem ser dois ou mais segmentos de reta. 
Iniciamos observando a figura a seguir:
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
18
Como já vimos no Tópico 1, o conjunto formado pelos pontos A e B e por 
todos os pontos da reta entre A e B é chamado segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB. Os pontos 
internos do segmento são os pontos que estão entre A e B. 
• Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade 
de um deles é também extremidade do outro, ou seja, a extremidade de um coincide 
com a extremidade do outro.
Exemplos:
AB 
Os segmentos AB e BC das duas figuras acima possuem um extremo 
comum, B.
Logo, AB e BC são segmentos consecutivos
• Segmentos colineares
Dois segmentos são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta.
Exemplos:
Na figura acima, AB ⊂ r e CD ⊂ r. Logo AB e CD são segmentos colineares.
Os segmentos AB e BC, da figura acima, são segmentos colineares. Observe 
que, nesse caso, os segmentos são também consecutivos. Dizemos então que AB e 
BC são segmentos colineares e adjacentes.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES DE RETAS
19
Observe que nem todo segmento colinear é adjacente. E que nem todo 
segmento adjacente é colinear.
Para aprofundar ainda mais esta primeira parte conceitual vale pesquisar no 
livro: DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José Nicolau. Fundamentosde matemática elementar: 
geometria espacial. 6. ed. São Paulo: Atual, 2005.
• Segmentos congruentes
A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados 
de Euclides.
a) Todo segmento é congruente a si mesmo: AB ≡ AB.
b) Se ≡ , então ≡ .
c) Se ≡ e ≡ , então ≡ . Pela propriedade transitiva.
• Ponto médio de um segmento
Um ponto M é ponto médio de um segmento se, e somente se, M está 
entre A e B de tal forma que ≡ .
AB CD CD AB
AB CD CD EF AB EF
AB
AM MB
Vale lembrar, acadêmico(a), até agora estamos apenas definindo a estética 
e a maneira como iremos abordar estas estruturas matemáticas. As relações 
geométricas, os cálculos e algebrismos que serão estudados nas próximas 
disciplinas estarão baseados na linguagem que estamos definindo.
UNI
IMPORTANT
E
20
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você viu que:
• Duas retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes. 
• Quando duas retas concorrentes formam entre si ângulos retos, são chamadas 
perpendiculares. 
• Se duas retas não estiverem no mesmo plano são chamadas reversas. 
• Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de 
um deles é também extremidade do outro.
• Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta.
• Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, 
possuem em comum apenas uma extremidade, isto é, não possuem pontos internos 
comuns.
• A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados de 
Euclides.
 a) Todo segmento é congruente a si mesmo: AB ≡ AB.
 b) Se ≡ , então ≡ .
 c) Se ≡ e ≡ , então ≡ . Pela propriedade transitiva.
• Um ponto M é ponto médio de um segmento se, e somente se, M está entre 
A e B de tal forma que ≡ .
AB CD CD AB
AB CD CD EF AB EF
AB
AM MB
21
AUTOATIVIDADE
1 Objetos com formato de prisma, como as embalagens de pizza, nos permitem 
verificar os conceitos de posições de retas estudados neste tópico. Assim, 
vamos observar a imagem com o olhar de geômetra, traçando retas suportes 
aos segmentos que definem os lados da embalagem, e responder aos 
questionamentos.
a) As retas AB e CD estão em que posição relativa? Explique.
b) As retas DE e AH são coplanares e paralelas? Por quê?
c) Identifique três exemplos de retas reversas.
d) Identifique três exemplos de retas perpendiculares.
e) Há exemplos de retas coincidentes? Justifique.
2 Segmentos de reta é a reunião de todos os pontos compreendidos entre 
dois pontos distintos. Partindo da definição de segmento de reta, analise as 
afirmações a seguir, e classifique V para verdadeiras e F para falsas.
a) ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b) ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
c) ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d) ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e) ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f) ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V – F – F.
b) ( ) F – F – F – F – V – V. 
c) ( ) V – F – V – F – V – V.
d) ( ) V – F – V – V – V – F.
22
3 Explique por que toda reta perpendicular é concorrente mas, nem toda reta 
concorrente é perpendicular.
4 Nossa viagem pela geometria já vai continuar. Agora vamos refletir um 
pouco sobre os conceitos aprendidos até aqui. Para fazer esta síntese o 
convidamos a escrever um pequeno texto exemplificando as diferentes 
maneiras que podemos visualizar estas estruturas geométricas no cotidiano. 
Vamos começar e você continua. 
Segmento de reta: parte de uma corda compreendida entre duas pessoas que 
estão disputando um cabo de guerra...
23
TÓPICO 3
ÂNGULOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Há inúmeras aplicações dos estudos sobre ângulos em várias áreas 
científicas. Na área tecnológica, na construção civil, e muitos outros campos de 
pesquisa, é possível observar sua aplicabilidade principalmente para fazer medidas 
de arco. Estas e outras análises serão feitas ao longo desse tópico. 
Ao observar um canto qualquer da parede da sala onde você está 
acompanhe a linha do rodapé até o canto de observação você pode considerar a 
linha do rodapé como um segmento de reta. Este segmento se encontra no canto, 
com outro segmento de reta que desce pela parede lateral. Os dois segmentos de 
reta, ou as duas retas-suporte concorrem neste ponto, formando um ângulo de 
90º. O canto da parede onde as duas retas se encontraram, formando o ângulo, 
chamaremos de vértice. 
Vamos continuar nossa viagem por mais um ponto muito importante da 
geometria.
2 ÂNGULO
A figura formada por duas semirretas de mesma origem chama-se ângulo.
Na figura acima, o ponto O é denominado vértice do ângulo, e as 
semirretas são chamadas de lados do ângulo.OA OB e
24
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
m(AÔB) = 180º
Na figura acima e são semirretas opostas. Então AÔB é um ângulo 
raso.
A figura formada por duas semirretas coincidentes pode ser:
OA OB 
• Ângulo nulo
m(AÔB) = 0o
• Ângulo de uma volta
m(AÔB) = 360o
Indicamos o ângulo AOB escrevendo: AÔB (lê-se “ângulo AOB”).
• ângulo raso ou de meia volta
A figura formada por duas semirretas opostas chama-se ângulo raso ou de 
meia volta.
2.1 ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos quando possuem um vértice e um lado 
comuns.
OA
OC
• AÔB e AÔC são consecutivos porque o vértice O 
e o lado são comuns.
• BÔC e AÔC são consecutivos porque o vértice O 
e o lado são comuns.
Na figura acima os ângulos AÔB e AÔC são consecutivos, sendo a 
semirreta o lado comum. Mas, poderíamos dizer também que AÔB e BÔC 
são consecutivos, tendo a semirreta como lado comum. Ou ainda, AÔC e BÔC 
consecutivos, tendo a semirreta como lado comum.
OA
OB
OC 
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
25
2.2 ÂNGULOS CONGRUENTES
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
m(AÔB) = 50º m(AÔC) = 50º
Os ângulos AÔB e AÔC têm a mesma medida (50º).
Dizemos então que AÔB e AÔC são ângulos congruentes e escrevemos:
AÔB ≡ AÔC (lê-se: “ângulo AOB é congruente ao ângulo AÔC”)
2.3 ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice e um lado comum 
e não possuem ponto interno comum.
Observe a figura:
• AÔB e BÔC são consecutivos porque o 
vértice O e o lado são comuns. E são 
adjacentes porque não possuem ponto 
interno comum.
OB
3 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz é um dos tipos de relações geométricas muito utilizada na 
geometria.
26
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Vamos ao conceito: bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna 
ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos 
congruentes.
Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
4 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS 
De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais. Vamos 
estudá-los.
4.1 ÂNGULO RETO
É aquele que tem por medida 90º. 
Exemplo:
 O sinal indica que o ângulo é reto.
Você pode fazer o exercício de observar ao seu redor objetos e coisas que 
formam entre si um ângulo reto. Por exemplo, as paredes de sua casa, o pé da mesa 
com o chão entre outros.
4.2 ÂNGULO AGUDO
É aquele cuja medida é menor que 90º, ou menor que um ângulo reto.
Exemplos:
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
27
Em algumas situações a palavra que tem um significado no contexto 
matemático é levada para outras áreas para cumprir uma determinadafunção. 
Por exemplo: o acento agudo é chamado dessa forma porque forma um ângulo 
menor que 90 graus com a parte superior da letra. Comece a observar como 
algumas palavras conceituadas matematicamente aparecem em outras áreas do 
conhecimento. 
4.3 ÂNGULO OBTUSO
É aquele cuja medida é maior que 90º (ângulo reto) e menor que 180º.
Exemplos:
Este ângulo lembra na prática uma rampa que pode ser pensada para várias 
finalidades. Perceba que os ângulos estão em quase todas as situações práticas. 
Para observá-los basta um “olho treinado”. 
5 SOMA DE DOIS ÂNGULOS
5.1 ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90º são chamados 
ângulos complementares.
28
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Se dois ângulos, além de complementares, são também adjacentes, serão 
chamados ângulos adjacentes complementares.
Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes complementares.
^m(COD)+m(FPE) = 90º.^
Veja que os ângulos COD e são complementares, pois,FPE^^
5.2 ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180º são chamados 
ângulos suplementares.
Os ângulos AOB e MPQ são suplementares, pois m(AOB) + m(MPQ) = 
180º. 
Se dois ângulos, além de suplementares, são também adjacentes, eles se 
denominam ângulos adjacentes suplementares.
^ ^ ^ ^
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
29
Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes suplementares.
Exemplos:
• A medida do complemento de um ângulo de 35º é 55º pois, 90º – 35º = 55º.
• A medida do suplemento de um ângulo de 35º é 145º pois, 180 – 35º = 145º.
Generalizando:
• A medida do complemento de um ângulo que mede x é 90º – x.
• A medida do suplemento de um ângulo que mede y é 180º – y.
6 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um 
deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
7 ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E 
UMA TRANSVERSAL
Duas retas paralelas, r e s, cortadas por uma transversal t, formam oito 
ângulos que, dois a dois, recebem nomes especiais, como veremos a seguir.
• Ângulos correspondentes
30
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Na figura, são correspondentes: 1 e 5
4 e 8
2 e 6
3 e 7
1 ≡ 5
4 ≡ 8
2 ≡ 6
3 ≡ 7
1 ≡ 7
2 ≡ 8
1 e 7
2 e 8
1 e 8
2 e 7
4 ≡ 6
3 ≡ 5
4 e 6
3 e 5
4 e 5
3 e 6
Observe também que os ângulos correspondentes 
correspondentes são congruentes, isto é:
Vamos agora estudar detalhadamente cada par de ângulos:
• Ângulos alternos internos
Na figura, são alternos internos: 
Lembre-se de que
• Ângulos colaterais internos
Na figura, são colaterais internos:
Lembre-se de que: 
m(3) + m (6) = 180º e 
m(4) + m(5) = 180º.
• Ângulos alternos externos
Na figura, são alternos externos: 
Lembre-se de que assim como
• Ângulos colaterais externos
Na figura, são colaterais externos
Lembre-se de que:
m(2) + m(7) = 180º e 
m(1) + m(8) = 180º.
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
31
8 UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
A medida de ângulo é adotada internacionalmente por graus e radianos 
(rad). O grau é representado por um número real positivo (Ex. 1º) e tem por 
subdivisões minutos e segundos. Um minuto se representa por 1’ e um segundo 
por 1’’. Assim, um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto se divide em 
sessenta segundos (60’’).
Exemplo:
Se um ângulo mede 25º, 15 minutos e 6 segundos, escrevemos 25º15’6’’.
O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor.
Por meio da medida do comprimento da circunferência determina-
se a medida de um radiano. Você aprenderá profundamente na disciplina de 
Trigonometria e Números Complexos como se dá a relação de unidade de arco no 
ciclo trigonométrico. 
Por ora observe a figura e perceba que as unidades de grau e de radiano 
estão localizadas no mesmo local. 
FIGURA 2 – TRANSFERIDOR
FONTE: Os autores
32
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
FIGURA 3 – CICLO TRIGONOMÉTRICO
FONTE: Disponível em: <http://bevilaqua.wordpress.com/files/2008/03/circtri3.jpg>. 
Acesso em: 30 ago. 2012. 
Você percebeu, que ao longo desse tópico estamos definindo os tipos de 
ângulos. Nesse momento é importante notar a linguagem utilizada para descrever 
os diferentes ângulos e suas representações geométricas. Esta ponte é fundamental 
para que possamos prosseguir em nossos estudos.
Para conversão de radianos para graus ou de graus para radianos basta 
montar uma regra de três utilizando uma das relações de equivalência.
Exemplo: 
Converter 20 graus em radianos utilizando a relação usual.
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
33
Vamos testar a relação com a equivalência convertendo 20º utilizando 120º = 
2
3
π rad.
Qualquer uma das relações pode ser utilizada para conversão. Usualmente 
utilizamos 180º = πrad
IMPORTANT
E
DICAS
34
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico você viu que:
• Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semirretas 
orientadas) a partir de um ponto comum. 
• Ângulos consecutivos: quando possuem uma vértice e um lado comum.
• Ângulos congruentes: quando possuem a mesma medida.
 
• Ângulos adjacentes: quando possuem vértice e lado comum e não possuem 
ponto inteiro comum.
• Bissetriz: é a semirreta com origem no vértice do ânculo que o divide em dois 
ângulos congruentes. 
• Ângulo reto: que tem medida 90º.
• Ângulo agudo: que tem medida MENOR que 90º.
• Ângulo obtuso: que tem medida MAIOR que 90º e MENOR que 180º. 
• Ângulos complementares: quando a soma dos ângulos é IGUAL a 90º.
• Ângulos suplementares: quando a soma dos angulos é IGUAL a 180º.
• Ângulo opostos pelos vértices: quando os lados de um deles é semirreta oposta 
aos lados do outro.
• Os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
podem ser: correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais 
internos ou colaterais externos.
• Relação entre as unidades de medida de arco: radianos e graus.
• Um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto tem sessenta segundos 
(60”).
• UA relação usual para converter graus em radianos e vice e versa é 180º = πrad
35
Vamos aprofundar os conhecimentos deste tópico. Lembre-se que geometria é 
o estudo das formas! Então procure desenhar as representações ao resolver as 
autoatividades.
1 Classifique cada afirmação a seguir em V para verdadeira ou F para falsa, de 
acordo com os estudos realizados neste tópico:
( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
( ) Dois ângulos suplementares podem ser dois ângulos retos.
( ) Dois ângulos adjacentes são complementares.
Agora assinale a alternativa correta:
a) ( ) V - V - F - F.
b) ( ) F - F - V - F.
c) ( ) F - V - F - V.
d) ( ) F - V - V - F.
2 Se um ângulo mede 35º, então seu complemento mede:
a) 65º
b) 145º
c) 45º
d) 55º
3 Escreva uma equação em cada situação para determinar as medidas dos 
ângulos:
a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
b) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36º.
d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º. 
4 Converta os seguintes ângulos em radianos: 
a)15º
b)120º
c)150º
d)300º
AUTOATIVIDADE
36
5 Agora faça o oposto, transforme os radianos para graus:
a)
b)
c)
d)
6 Calcule o complementar dos ângulos:
a) 75º
b) 15º
c) 90º
d) 22º32’
7 Calcule o suplemento dos ângulos:
a) 155º45’
b) 120º
c) 175º32’
d) 22º32’
8 Verifique se os ângulos são de fato opostos pelo vértice.
Você pode aprofundar os estudos sobre os ângulos no livro: Fundamentos 
de Matemática Elementar – Geometria Plana, volume 9, de Osvaldo Dolce eJosé Nicolau 
Pompeo, atual Editora.
DICAS
37
TÓPICO 4
PROPORCIONALIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Vamos continuar nossa viagem pela geometria. Supondo que você queira 
calcular a altura de um determinado prédio ou igreja, ou que você trabalhe em 
uma área que as unidades de medida de altura são importantes: como encontrar 
a medida de altura de qualquer objeto sem precisar subir no mesmo? Será que é 
possível fazer isso? 
Veremos que com alguns conceitos de proporcionalidade poderemos fazer 
este tipo de cálculo. Estes conceitos são importantes para vários ramos da ciência 
como, por exemplo, na construção civil. 
Abordaremos também que estes conceitos foram sendo construindo ao 
longo da história e que foi Tales, matemático nascido em Mileto, por volta de 640 a. 
C, um dos primeiros grandes pensadores a utilizar princípios de proporcionalidade 
para medir a altura das pirâmides do Egito. 
2 TALES DE MILETO E OS SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Tales era um próspero negociante, engenheiro e astrônomo da antiga Grécia. 
Viveu numa época em que os estudiosos se dedicavam a todas as disciplinas, e ele 
era um deles. Certa ocasião, quando viajou para o Egito, o Faraó o convidou para 
determinar a altura da grande pirâmide.
38
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
A figura acima nos dá ideia da situação. Assim como a pirâmide, o cajado 
também projetou sombra. A altura do cajado e sua sombra podiam ser medidas. A 
sombra da pirâmide também podia ser medida. Conhecidas estas três medidas, era 
possível encontrar a quarta, que era a altura da pirâmide. 
A
B
C
D
E
Metade da base
Comprimento da sombra
A pirâmide de Quéops, construída por volta de 2500 a.C., é considerada 
uma das grandes maravilhas do mundo antigo; sua base é um quadrado cujos 
lados medem cerca de 230 metros e sua altura é de 150 metros, aproximadamente. 
Dado o desafio Tales ficou por várias horas sentado na areia observando 
e estudando a pirâmide, e percebeu que a sombra da pirâmide (assim como 
a sombra de qualquer objeto) é proporcional à sua altura. Então, ele fincou seu 
cajado verticalmente no solo, no final da sombra projetada pela pirâmide.
FIGURA 4 – TALES DE MILETO
FONTE: Disponível em: <www.portalsaofrancisco.com.br>. Acesso em: 
6 set. 2012.
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
39
Se observarmos novamente a figura acima, veremos dois triângulos 
retângulos semelhantes: um formado pela pirâmide e sua sombra e outro pelo 
cajado de Tales e sua sombra. Podemos representá-los assim:
Como os triângulos são semelhantes por terem os ângulos correspondentes 
congruentes, Tales estabeleceu a seguinte relação entre os segmentos:
D E
C
B
A
AB CD
BD DE
=
Então a altura da pirâmide e sua sombra são proporcionais, assim como 
a altura do cajado e sua sombra. Desta forma, a razão entre o comprimento da 
sombra do cajado e a sombra da pirâmide é a mesma que a razão entre a altura do 
cajado e a altura da pirâmide.
Assim, basta saber a medida do cajado e as duas sombras para então 
calcular a altura da pirâmide. Não necessitando subir na pirâmide para saber qual 
é a medida de sua altura. Desta mesma maneira, nós podemos encontrar a altura 
da torre da igreja ou de determinado objeto de que queiramos medir a altura sem 
precisar subir nele.
Desta mesma maneira, nós podemos encontrar a altura da torre da igreja 
ou de determinado objeto de que queiramos medir a altura sem precisar subir nele.
Que tal repetir a experiência de Tales?
Na Unidade 2 estudaremos a semelhança de triângulos mais detalhadamente.
ESTUDOS FU
TUROS
40
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Use uma vareta qualquer, finque-a verticalmente no solo, meça seu 
comprimento, o comprimento da sua sombra e a sombra da torre, no mesmo 
instante.
Vamos supor que você usou uma vareta de 30 cm e que neste instante a 
sombra por ela projetada é de 15 cm. Sabendo que a medida da torre é 13 m. Qual 
será a altura desta torre?
As razões na mesma unidade de medida (cm), que formam a proporção 
ficarão assim:
Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos teremos:
Ou 26 m.
Então, concluímos que a altura da torre é 26 m.
3 TEOREMA DA PROPORCIONALIDADE
A partir das áreas dos triângulos vamos verificar algumas propriedades 
para definir o importante Teorema da Proporcionalidade.
15cm
1300cm
= 30cm
xcm
15 ⋅ x = 1300 ⋅ 30 
x = 39000
15
x = 2600 cm
Teorema é uma afirmação matemática que precisa ser demonstrada. 
Denotamos os vértices de um triângulo ABC e quando nos referimos às 
medidas desses lados, as denotamos por AB, BC e CA, respectivamente.
Partiremos da seguinte afirmação: “Em um triângulo ABC qualquer, um segmento 
DE , paralelo a BC e com os pontos D e E sobre os lados AB e AC respectivamente. 
Determina sobre esses lados segmentos proporcionais, de forma que: AD AE 
DB EC
 ”.
Vamos mostrar que a afirmação acima é verdadeira passo a passo: 
IMPORTANT
E
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
41
1) Traçamos EF perpendicular ao AB e os segmentos BE e DE .
Você pode observar que os triângulos ADE e ABE têm a mesma altura h, 
em relação aos lados e , respectivamente.
2) Escrevemos a área dos dois triângulos:
Área do triângulo ADE = 
Área do triângulo DEB = 
A razão entre as áreas é:
AD DB
AD.h
2
AB.h
2
AB
AD.h
2Área do triângulo ADE
Área do triângulo DEB
= =
AB.h
2
AD
3) Voltamos à nossa figura inicial, vamos traçar um segmento DG
perpendicular a AC e o segmento DC .
Os triângulos ADE e ADC têm a mesma altura h´, em relação aos lados AE 
e EC, respectivamente.
42
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
4) Como fizemos anteriormente, escrevemos as áreas dos dois triângulos:
Área do triângulo ADE = 
Área do triângulo DEC = 
A razão entre as áreas é:
AE.h’
2
AC.h’
2
No papiro de Rhind, de 1650 a.C. — um dos mais antigos documentos 
matemáticos existentes — aparecem, num problema, indícios do conhecimento da 
propriedade da proporcionalidade, mas não a sua demonstração.
3.1 TEOREMA DE TALES
O teorema de proporcionalidade está relacionado ao Teorema de Tales, que 
tem por enunciado: 
“Se duas retas são transversais de um feixe de paralelas, então a razão 
entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos 
segmentos correspondentes da outra”.
Usualmente tratamos estas relações de proporcionalidade com os dizeres: 
“ A está para D assim como A está para B”. De modo analógo para a segunda 
relação teremos, A está para E assim como A está para C.
AEAD
AB
e
AC
AC
Área do Triângulo ADE
Área do triângulo DEC
= =
AC.h’
2
AE
AE.h’
2
D
B C
E
A
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
43
Observe na figura, as retas r, s e t, que juntas formam um feixe de retas 
paralelas. Todas estão cortadas pelas retas transversais u e m.
A reta u determina com as retas paralelas os segmentos AB e BC e a reta m 
determina os segmentos PR e RQ.
Pelo enunciado do Teorema de Tales temos que: .
Para provar isso vamos traçar pelo ponto A uma reta v paralela a m. Ela 
determina os pontos G e H nas retas s e t, conforme a figura a seguir:
Temos então a proporcionalidade:
 
Porém, como PAGR e RGHQ são paralelogramos podemos afirmar que: 
AG = PR e GH = RQ.
Conforme a demonstração vista anteriormente no teorema da 
proporcionalidade temos que: 
Lemos a relação de proporcionalidade como P está para R como R está para 
Q e, A está para B assim como B está para C.
Bem, agora que conhecemos toda a parte teórica, vamos ver como podemos 
aplicar o teorema de Tales. 
Vamos iniciar com a ideia do mapa de um bairro de uma cidade qualquer.
ABPR
RQ
=
BC
V
ABAG
GH
=
BC
ABPR
RQ
=
BC
44
UNIDADE1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Observe que na Avenida 2, entre a Rua B e a Rua C, não conhecemos a 
distância em metros. Como se trata de um número desconhecido, a princípio 
chamaremos esta distância de X. 
Como as Ruas A, B e C são paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales, 
considerando a proporcionalidade dos segmentos determinados pelas paralelas e 
pelas transversais avenidas 1 e 2.
Assim:
 
Fazendo o produto dos meios e dos extremos teremos:
 
Então, a distância desconhecida no mapa é de 48 m.
Caso tenhamos mais de duas retas transversais num feixe de paralelas, 
como aplicamos o Teorema de Tales? Vamos ver:
Observe o feixe representado na figura abaixo. As retas a, b e c são paralelas 
cortadas pelas transversais r, s e t:
3025
40
=
x
25x = 40⋅30
25x = 1200
1200
25
x = 
x = 48m
mm
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
45
Pelo teorema de Tales sabemos que: e
Então, podemos escrever que:
BEAD
DG
=
EH
CFBE
EH
=
FI
BEAD
DG
=
EH
= CF
FI
Entre os teoremas em que mais podemos perceber e analisar situações 
práticas é o de Tales. Em diversos ramos da ciência podemos observar essa 
ferramenta aparecendo como mote analítico. Por este motivo, você pode mostrar 
para seus alunos alguns exemplos práticos dessa vertente geométrica. Acreditamos 
que este seja um dos caminhos para motivar os alunos a se interessarem mais pela 
geometria. Neste sentido, apresentamos dois exemplos que você pode utilizar em 
futuras práticas pedagogicas.
Exemplo 1: Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado bairro, 
o engenheiro constatou a ausência de algumas medidas nas divisas de certos lotes 
residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base 
nas informações da planta. A situação está ilustrada na figura:
FIGURA 5 – PLANTA DE UMA QUADRA
FONTE: Os autores
28 m
20 m 25 m
x
40 m
y
RUA A
RUA B
46
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Com base na planta o engenheiro deve calcular os lados x e y dos lotes. Veja 
que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz 
o teorema de Tales, deste modo podemos utilizá-lo.
Exemplo 2: Em um projeto de instalação elétrica de um edifício, conforme 
apresentado na figura, você percebe que os dois fios r e s são transversais aos 
fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, vamos calcular o 
comprimento dos fios x e y da figura.
FIGURA 6 – PROJETO DE INSTALAÇÃO ELÉTRICA
FONTE: Os autores
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
47
Aplicando o Teorema de Tales, temos: 
1015
6
=
x
60x =
15
6015x =
4cmx =
Observe que estes dois exemplos podem ser explorados na prática 
pedagógica. Sugerimos que organize a construção de maquetes com os demais 
para melhor assimilação dos conceitos estudados.
Sugestão de leitura: GARCIA, Antônio Carlos de. CASTILHO, João Amarante. 
Matemática sem mistério: geometria plana e espacial. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. 
NOTA
48
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico você viu que:
• Tales de Mileto calculou a altura da pirâmide de Quéops utilizando os conceitos 
de proporcionalidade.
• Dado dois triângulos com altura igual e base proporcional, a razão da área 
destes triângulos obdecem uma relação de proporção. 
AEAD
DB
=
EC
ABPR
RQ
=
BC
• Teorema de Tales: quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas 
retas transversais, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são 
proporcionais.
49
AUTOATIVIDADE
As atividades a seguir são importantes na fixação do conteúdo que você acabou 
de estudar. Não deixe de fazê-las! Exercitando:
1 O esquema a seguir, representa quatro estradas paralelas que são cortadas 
por três avenidas transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos 
dessas avenidas e estradas estão indicadas (em km). Complete o esquema 
calculado com as distâncias faltantes.
2 Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas razões, dizemos que 
formam uma proporção se o produto dos meios for igual ao produto dos 
extremos, assim:
Verifique se as relações a seguir definem proporções.ca
b
=
d
21
3
=
4
36
2
=
1
23
1
=
6
2010
12
=
24
a) 
b)
c)
d)
50
3 As linhas que pautam a folha do caderno são paralelas (conforme figura). 
Trace duas retas transversais e com o auxílio de uma régua meça a distância de 
uma linha a outra sobre a diagonal (estas medidas podem ser representadas por 
a, b, c e d). Agora, com o valor das medidas, calcule a proporcionalidade entre 
os segmentos.
Se você quiser pode medir linhas alternadas, não é necessário que as linhas 
sejam consecutivas.
4 Calcule a constante de proporcionalidade entre as grandezas x e y indicadas 
nas tabelas.
a)
b)
5 Multiplique os meios pelos extremos das proporções, resolva a equação obtida 
e assinale a opção que contém o valor do x e da constante de proporcionalidade, 
respectivamente.
a) 
( ) 3; 0,6 ( ) 2; 1,67 ( ) 3; 0,3 ( ) 1,5 ; 2,85
b) 
51
( ) 1,37; 11,62 ( ) 1,28; 9,62 ( ) 1,36; 3,64 ( ) 1,34; 12,9
c) 
( ) -2; -0,7 ( ) -1; -1,7 ( ) 2; 0,7 ( ) -2; 1,7
6 O número de Ouro é um número irracional representado pela letra grega φ (fi) 
e vale, aproximadamente, 1,618. Segundo vários estudiosos da Beleza Áurea, o 
corpo humano tem padrões de beleza onde podemos verificar a secção áurea 
que se trata de uma proporcionalidade áurea. 
Utilize uma fita métrica e verifique esta relação de proporcionalidade entre 
seus colegas.
52
53
TÓPICO 5
UNIDADES DE MEDIDA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Vamos continuar a nossa caminhada definindo algumas unidades de 
medidas utilizadas na geometria do nosso cotidiano. Como por exemplo: o metro, 
metro quadrado e metro cúbico.
Certamente, você já percebeu que sempre medimos alguma coisa, utilizamos 
alguma grandeza como mensuração e fazemos, por exemplo: comprimento, 
tempo de duração de um acontecimento, quantidade de litros de água da piscina, 
temperatura, velocidade do carro, peso das pessoas, salário do trabalhador etc. 
Então, para medir uma grandeza, precisamos compará-la com outra de mesma 
natureza, usada como unidade de medida.
Durante nossos estudos, três unidades de medida serão muito usadas: 
metro linear, metro quadrado e metro cúbico. Então, é necessário que tenhamos 
estes três conceitos bem definidos.
2 MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade padrão adotada mundialmente para medidas de comprimento, 
desde 1790, é o metro. Quando um grupo de estudiosos se reuniu na França, para 
organizar o sistema métrico, a unidade padrão, ou seja, o metro, foi determinado 
como uma fração da distância do pólo norte ao equador do globo terrestre. Hoje, 
com precisão muito maior, o metro é igual à distância que a luz percorre em certa 
fração de segundo. 
O metro (m) pode ser dividido em 100 centímetros (cm) ou 1000 milímetros 
(mm). O múltiplo do metro mais usado é o quilômetro (km), que vale 1000 m. 
Quando medimos o comprimento de qualquer objeto ou lugar dizemos que 
usamos o metro linear. 
Dependendo da situação prática em que as unidades de medidas são 
necessárias, usamos diferentes tipos de unidades de medida. Por exemplo: para 
medir pequenas coisas o mais conveniente é usarmos os milímetros, para medir 
o diâmetro de um parafuso. Já para analisar grandes medidas é mais prático 
utilizarmos os quilômetros, para medir o comprimento de uma rodovia.
54
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
O sistema métrico decimal está dividido em múltiplos e submúltiplos do 
metro. Os múltiplos do metro são usados para realizar medições em grandes áreas 
ou distâncias, enquanto os submúltiplos são usados para realizar medições em 
pequenas

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