Espaços Métricos e Espaços Normados

ENIELSON GAMA
ESPAÇOS MÉTRICOS, ESPAÇOS NORMADOS
E ESPAÇOS DE BANACH
BELÉM-PA
”Bem-aventurado o homem que acha a sabedoria, e o homem que adquire conheci-
mento.”
Provérbios 3.13
Sumário
1 ESPAÇOS MÉTRICOS, ESPAÇOS NORMADOS E ESPAÇOS DE BANACH 4
1.1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Espaços Normados e Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Propriedade dos Espaços Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Espaços Normados e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Operador Linear Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Espaço de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Mais Teoremas Envolvendo Espaços Normados e Espaços de Banach . . . . . . 29
1.7.1 Operador Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Convergência Forte e Convergência Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.3 Aplicação Aberta e Gráfico Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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Capítulo 1
ESPAÇOS MÉTRICOS, ESPAÇOS
NORMADOS E ESPAÇOS DE BANACH
Neste capítulo iremos apresentar alguns resultados de grande relevância para o avanço deste
trabalho, que incluem alguns conceitos topológicos, convergência de sequência, espaços comple-
tos etc. Este capítulo foi baseado nas referências [?], [?] e [?].
1.1 Espaços Métricos
Definição 1.1.1 (Métrica, Espaço Métrico). Uma métrica sobre um conjunto X 6= ∅ é uma apli-
cação d : X ×X → R que satisfaz
(M1) d(x, y) ≥ 0;
(M2) d(x, y) = 0⇐⇒ x = y;
(M3) d(x, y) = d(y, x);
(M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y);
para quaisquer x, y e z em X . O par (X, d) chamamos de espaço métrico. Um subespaço (Y, d˜)
para (X, d) é obtido se tomarmos um subconjunto Y ⊂ X e restringirmos d a Y × Y , assim a
métrica sobre Y é a restrição d˜ = d|Y×Y e dizemos que d˜ é a metrica induzida sobre Y por d.
Exemplo 1.1 (Reta Real R). O conjunto R dos números reais, com a "métrica usual"da reta,
definida por d(x, y) = |x− y| é um espaço métrico.
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Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Exemplo 1.2 (Espaço das Funções Contínuas). Seja X o conjunto de todas as funções reais
x, y, . . . que são de uma variável independente t, definidas e contínuas em um determinado inter-
valo fechado [a, b]. Escolhendo a métrica definida por
d(x, y) = max
t∈ [a,b]
|x(t)− y(t)|
onde max é o máximo, obtemos um espaço métrico denotado por C[a, b]. Este é um espaço de
funções, pois cada ponto de C[a, b] é uma função.
Exemplo 1.3 (Espaço B(A) das funções limitadas). Pela definição cada elemento x ∈ B(A) é
uma função definita e limitada sobre um dado conjunto A, e a métrica é definida por
d(x, y) = sup
t∈A
|x(t)− y(t)|
onde sup é o supremo. No caso A = [a, b] ⊂ R, escrevemos B[a, b] para B(A).
Definição 1.1.2 (Bola e Esfera). Sejam (X, d) um espaço métrico, x0 ∈ X e r > 0, definimos
três tipos de conjuntos
(a) B(x; r) = {x ∈ X/d(x, x0) < r} (Bola Aberta)
(b) B˜(x; r) = {x ∈ X/d(x, x0) ≤ r} (Bola Fechada)
(c) S(x; r) = {x ∈ X/d(x, x0) = r} (Esfera)
Nos três casos, dizemos que x0 é o centro e r é o raio.
Definição 1.1.3 (Conjunto Aberto, Conjunto fechado). Seja (M,d) um espaço métrico. Dizemos
que X ⊂ M é um conjunto aberto, se para cada ponto x de X existe um bola aberta de centro x
e raio r contida em X . Dizemos que Y ⊂ X é fechado se seu complementar em M é aberto.
Chamamos de ε-vizinhança de x0 uma bola aberta de centro em x0 e raio ε. Uma vizinhança
de x0 é um conjunto Y que contém uma ε-vizinhança de x0, claramente cada vizinhança de x0
contém x0. Também se Y é uma vizinhança de x0 e Y ⊂ X , então X é uma vizinhança para x0.
Se Y ⊂ X é uma vizinhança para x0, então dizemos que x0 é um ponto interior do conjunto
Y e denotamos por int Y o interior de Y que é o conjunto formado por todos os pontos interiores
a Y . O int Y é o maior conjunto aberto contido em Y .
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Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Definição 1.1.4 (Aplicação Contínua). Sejam (X, d) e (Y, d˜) espaços métricos. Dizemos que uma
aplicação T : X → Y é contínua no ponto x0 ∈ X se para cada ε > 0 existe um δ > 0 tal que
d˜(Tx, Tx0) < ε, para todo x satisfazendo d(x, x0) < δ. Se T é contínua em cada ponto x0 ∈ X ,
T é contínua.
Teorema 1.1 (Aplicação Contínua). Uma aplicação T de um espaço métrico X para um espaço
métrico Y é contínua se, e somente se, a imagem inversa de qualquer conjunto aberto de Y é um
conjunto aberto em X .
Demonstração. A prova possui duas partes.
(⇒) Suponhamos que a aplicação T é contínua. Tomamos um conjunto aberto A ⊂ Y e seja
A0 a imagem inversa de A. Se A0 = ∅, ele é aberto. Seja A0 6= ∅. Para cada x0 ∈ A0 seja
y0 = Tx0. Como A é aberto, ele contém uma ε-vizinhança V de y0. Como T é contínua, x0 tem
uma δ-vizinhança V0 que é uma aplicação sobre V . Uma vez que V ⊂ A, temos V0 ⊂ A0 e como
x0 ∈ V0 foi arbitrário, V0 é aberto.
(⇐) Reciprocamente, assumimos que a imagem inversa de cada conjunto aberto em Y é um
aberto em X . Então para cada x0 ∈ X e cada ε-vizinhança V de Tx0, a imagem inversa V0 de V
é aberta, pois V é aberto e V0 contém x0. Sendo assim, V0 contém uma δ-vizinhança de x0, que
é uma aplicação sobre V . Portanto, pela definição T é contínua em x0. Logo T é contínua, pois
x0 ∈ X foi arbitrário. �
Definição 1.1.5 (Fecho, Denso, Separável). Seja X um espaço métrico e Y ⊂ X . Dizemos que
um ponto x0 ∈ X é um ponto de acumulação de Y , se cada vizinhança de x0 contém pelo menos
um ponto de Y distinto de x0. O fecho de Y denotado por Y é o conjunto formado pelos pontos
de Y e seus pontos de acumulação. Dizemos que Y é denso em X se Y = X . Se Y é denso em
X , então cada bola aberta em X contém pontos de y. Dizemos que X é separável se ele contém
um subconjunto enumerável e denso em X .
Seja X um espaço métrico. Toda aplicação n 7→ xn de N em X , é chamada de sequência
dos elementos de X , a qual indicamos por (x1, x2, . . . , xn, . . .) ou, simplesmente, xn. Dada uma
sequência (xn) em X , se {n1, n2, . . .} ⊂ N e n1 < n2 < . . ., então a aplicação dada por ni 7→ xni
é indicada por (xn1 , xn2 , . . . , xni , . . .) e recebe o nome de subsequência de (xn).
Definição 1.1.6 (Convergência, Limite, Conjunto Limitado). Dizemos que uma sequência (xn)
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Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
em um espaço métrico X é convergente se existe x ∈ X tal que
lim
n→∞
d(xn, x) = 0
onde x é o limite de (xn) e escrevemos
lim
n→∞
xn = x ou xn → x
E dizemos que (xn) tem o limite x ou (xn) converge para x. Então se xn → x, para cada ε > 0,
existe um N = N(ε) tal que toda xn com n > N se encontra na bola aberta B(x; ε). Se (xn) não
converge, dizemos que (xn) é divergente.
Dizemos que conjunto não vazio Y ⊂ X é um conjunto limitado, quando existe uma constante
c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para quaisquer x, y ∈ Y . E definimos o diâmetro de um conjunto
limitado Y ⊂ X como sendo o número real
δ(Y ) = sup
x,y ∈Y
d(x, y).
A sequência (xn) em X é uma sequência limitada se seus correspondentes pontos formam um
subconjunto limitado em X . Se Y é limitado, então Y ⊂ B(x0; r), onde x0 ∈ X é um ponto
qualquer e r é um número real suficientemente grande.
Lema 1.1 (Limite, Limitação). Seja X um espaço métrico, então:
(a) Uma sequência convergente em X é limitada e seu limite é único.
(b) Se xn → x e yn → y em X , então d(xn, yn)→ d(x, y).
Demonstração. (a) Suponhamos que xn →