Espaços Métricos e Espaços Normados

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ENIELSON GAMA
ESPAÇOS MÉTRICOS, ESPAÇOS NORMADOS
E ESPAÇOS DE BANACH
BELÉM-PA
”Bem-aventurado o homem que acha a sabedoria, e o homem que adquire conheci-
mento.”
Provérbios 3.13
Sumário
1 ESPAÇOS MÉTRICOS, ESPAÇOS NORMADOS E ESPAÇOS DE BANACH 4
1.1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Espaços Normados e Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Propriedade dos Espaços Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Espaços Normados e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Operador Linear Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Espaço de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Mais Teoremas Envolvendo Espaços Normados e Espaços de Banach . . . . . . 29
1.7.1 Operador Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Convergência Forte e Convergência Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.3 Aplicação Aberta e Gráfico Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
Capítulo 1
ESPAÇOS MÉTRICOS, ESPAÇOS
NORMADOS E ESPAÇOS DE BANACH
Neste capítulo iremos apresentar alguns resultados de grande relevância para o avanço deste
trabalho, que incluem alguns conceitos topológicos, convergência de sequência, espaços comple-
tos etc. Este capítulo foi baseado nas referências [?], [?] e [?].
1.1 Espaços Métricos
Definição 1.1.1 (Métrica, Espaço Métrico). Uma métrica sobre um conjunto X 6= ∅ é uma apli-
cação d : X ×X → R que satisfaz
(M1) d(x, y) ≥ 0;
(M2) d(x, y) = 0⇐⇒ x = y;
(M3) d(x, y) = d(y, x);
(M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y);
para quaisquer x, y e z em X . O par (X, d) chamamos de espaço métrico. Um subespaço (Y, d˜)
para (X, d) é obtido se tomarmos um subconjunto Y ⊂ X e restringirmos d a Y × Y , assim a
métrica sobre Y é a restrição d˜ = d|Y×Y e dizemos que d˜ é a metrica induzida sobre Y por d.
Exemplo 1.1 (Reta Real R). O conjunto R dos números reais, com a "métrica usual"da reta,
definida por d(x, y) = |x− y| é um espaço métrico.
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Exemplo 1.2 (Espaço das Funções Contínuas). Seja X o conjunto de todas as funções reais
x, y, . . . que são de uma variável independente t, definidas e contínuas em um determinado inter-
valo fechado [a, b]. Escolhendo a métrica definida por
d(x, y) = max
t∈ [a,b]
|x(t)− y(t)|
onde max é o máximo, obtemos um espaço métrico denotado por C[a, b]. Este é um espaço de
funções, pois cada ponto de C[a, b] é uma função.
Exemplo 1.3 (Espaço B(A) das funções limitadas). Pela definição cada elemento x ∈ B(A) é
uma função definita e limitada sobre um dado conjunto A, e a métrica é definida por
d(x, y) = sup
t∈A
|x(t)− y(t)|
onde sup é o supremo. No caso A = [a, b] ⊂ R, escrevemos B[a, b] para B(A).
Definição 1.1.2 (Bola e Esfera). Sejam (X, d) um espaço métrico, x0 ∈ X e r > 0, definimos
três tipos de conjuntos
(a) B(x; r) = {x ∈ X/d(x, x0) < r} (Bola Aberta)
(b) B˜(x; r) = {x ∈ X/d(x, x0) ≤ r} (Bola Fechada)
(c) S(x; r) = {x ∈ X/d(x, x0) = r} (Esfera)
Nos três casos, dizemos que x0 é o centro e r é o raio.
Definição 1.1.3 (Conjunto Aberto, Conjunto fechado). Seja (M,d) um espaço métrico. Dizemos
que X ⊂ M é um conjunto aberto, se para cada ponto x de X existe um bola aberta de centro x
e raio r contida em X . Dizemos que Y ⊂ X é fechado se seu complementar em M é aberto.
Chamamos de ε-vizinhança de x0 uma bola aberta de centro em x0 e raio ε. Uma vizinhança
de x0 é um conjunto Y que contém uma ε-vizinhança de x0, claramente cada vizinhança de x0
contém x0. Também se Y é uma vizinhança de x0 e Y ⊂ X , então X é uma vizinhança para x0.
Se Y ⊂ X é uma vizinhança para x0, então dizemos que x0 é um ponto interior do conjunto
Y e denotamos por int Y o interior de Y que é o conjunto formado por todos os pontos interiores
a Y . O int Y é o maior conjunto aberto contido em Y .
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Definição 1.1.4 (Aplicação Contínua). Sejam (X, d) e (Y, d˜) espaços métricos. Dizemos que uma
aplicação T : X → Y é contínua no ponto x0 ∈ X se para cada ε > 0 existe um δ > 0 tal que
d˜(Tx, Tx0) < ε, para todo x satisfazendo d(x, x0) < δ. Se T é contínua em cada ponto x0 ∈ X ,
T é contínua.
Teorema 1.1 (Aplicação Contínua). Uma aplicação T de um espaço métrico X para um espaço
métrico Y é contínua se, e somente se, a imagem inversa de qualquer conjunto aberto de Y é um
conjunto aberto em X .
Demonstração. A prova possui duas partes.
(⇒) Suponhamos que a aplicação T é contínua. Tomamos um conjunto aberto A ⊂ Y e seja
A0 a imagem inversa de A. Se A0 = ∅, ele é aberto. Seja A0 6= ∅. Para cada x0 ∈ A0 seja
y0 = Tx0. Como A é aberto, ele contém uma ε-vizinhança V de y0. Como T é contínua, x0 tem
uma δ-vizinhança V0 que é uma aplicação sobre V . Uma vez que V ⊂ A, temos V0 ⊂ A0 e como
x0 ∈ V0 foi arbitrário, V0 é aberto.
(⇐) Reciprocamente, assumimos que a imagem inversa de cada conjunto aberto em Y é um
aberto em X . Então para cada x0 ∈ X e cada ε-vizinhança V de Tx0, a imagem inversa V0 de V
é aberta, pois V é aberto e V0 contém x0. Sendo assim, V0 contém uma δ-vizinhança de x0, que
é uma aplicação sobre V . Portanto, pela definição T é contínua em x0. Logo T é contínua, pois
x0 ∈ X foi arbitrário. �
Definição 1.1.5 (Fecho, Denso, Separável). Seja X um espaço métrico e Y ⊂ X . Dizemos que
um ponto x0 ∈ X é um ponto de acumulação de Y , se cada vizinhança de x0 contém pelo menos
um ponto de Y distinto de x0. O fecho de Y denotado por Y é o conjunto formado pelos pontos
de Y e seus pontos de acumulação. Dizemos que Y é denso em X se Y = X . Se Y é denso em
X , então cada bola aberta em X contém pontos de y. Dizemos que X é separável se ele contém
um subconjunto enumerável e denso em X .
Seja X um espaço métrico. Toda aplicação n 7→ xn de N em X , é chamada de sequência
dos elementos de X , a qual indicamos por (x1, x2, . . . , xn, . . .) ou, simplesmente, xn. Dada uma
sequência (xn) em X , se {n1, n2, . . .} ⊂ N e n1 < n2 < . . ., então a aplicação dada por ni 7→ xni
é indicada por (xn1 , xn2 , . . . , xni , . . .) e recebe o nome de subsequência de (xn).
Definição 1.1.6 (Convergência, Limite, Conjunto Limitado). Dizemos que uma sequência (xn)
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em um espaço métrico X é convergente se existe x ∈ X tal que
lim
n→∞
d(xn, x) = 0
onde x é o limite de (xn) e escrevemos
lim
n→∞
xn = x ou xn → x
E dizemos que (xn) tem o limite x ou (xn) converge para x. Então se xn → x, para cada ε > 0,
existe um N = N(ε) tal que toda xn com n > N se encontra na bola aberta B(x; ε). Se (xn) não
converge, dizemos que (xn) é divergente.
Dizemos que conjunto não vazio Y ⊂ X é um conjunto limitado, quando existe uma constante
c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para quaisquer x, y ∈ Y . E definimos o diâmetro de um conjunto
limitado Y ⊂ X como sendo o número real
δ(Y ) = sup
x,y ∈Y
d(x, y).
A sequência (xn) em X é uma sequência limitada se seus correspondentes pontos formam um
subconjunto limitado em X . Se Y é limitado, então Y ⊂ B(x0; r), onde x0 ∈ X é um ponto
qualquer e r é um número real suficientemente grande.
Lema 1.1 (Limite, Limitação). Seja X um espaço métrico, então:
(a) Uma sequência convergente em X é limitada e seu limite é único.
(b) Se xn → x e yn → y em X , então d(xn, yn)→ d(x, y).
Demonstração. (a) Suponhamos que xn →x, tomando ε = 1, podemos encontrar um N tal
que d(xn, x) < 1 para todo n > N . Então pela propriedade (M4), para todo n, temos que
d(xn, x) < 1 + a, onde
a = max{d(x1, x), . . . , d(xN , x)}
Isso mostra que (xn) é limitada. Assumindo que xn → x e xn → z, a partir de (M4), temos que
0 ≤ d(x, z) ≤ d(x, xn) + d(xn, z) n→∞−→ 0 + 0.
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A partir de (M2), concluímos que x = z.
(b) Por (M2), temos que
d(xn, yn) ≤ d(xn, y) + d(y, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn).
Logo, d(xn, yn)− d(x, y) ≤ d(xn, x) + d(yn, y).
Também
d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y).
Logo, d(x, y)− d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(yn, y).
Das desigualdades acima, concluímos que
|d(xn, yn)− d(x, y)| ≤ d(xn, x) + d(yn, y) n→∞−→ 0. �
Definição 1.1.7 (Sequência de Cauchy, Espaço Completo). Dizemos que uma sequência (xn) em
um espaço métrico X é de Cauchy se para cada ε > 0 existe um N ,tal que
d(xn, xm) < ε para cada m,n > N
Se X tem a propriedade de que toda sequência (xn) de Cauchy em X converge, isto é,
xn → x ∈ X , então dizemos que X é completo.
Teorema 1.2 (Sequência convergente). Toda sequência convergente em um espaço métrico é uma
seqùência de Cauchy.
Demonstração. Se xn → x, então para cada ε > 0, existe um N , tal que
d(xn, x) <
ε
2
para cada n > N
Então, para cada m,n > N , obtemos
d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(xm, x) < ε
2
+
ε
2
= ε.
E isso mostra que (xn) é de Cauchy. �
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Teorema 1.3 (Fecho, Conjunto Fechado). Sejam X 6= ∅ um subconjunto de um espaço métrico
M e X seu fecho.Então:
(a) x ∈ X ⇐⇒ existe uma sequência (xn) em X tal que xn → x.
(b) X é fechado⇐⇒ A situação xn ∈ X , com xn → x, implicar que x ∈ X .
Demonstração. (a) Dividimos a prova em duas partes:
(⇒) Tomamos x ∈ X . Se x ∈ X , a sequência é (x, x, . . . ). Caso contrário, x é um ponto de
acumulação de X . Assim, para cada n = 1, 2, . . . a bola B(x; 1
n
) contém xn ∈ X , e xn → x pois
1
n
→ 0, quando n→∞.
(⇐) Agora se xn ∈ X e xn → x, então x ∈ X ou cada vizinhança de x contém pontos xn 6= x de
modo que x é um ponto de acumulação de X . E pela definição x ∈ X .
(b) Sabe-se que X é fechado se, e somente se, X = X . Então, (b) segue imediatamente de
(a). �
Teorema 1.4 (Subespaço Completo). Um subespaço X de um espaço métrico completo M é
completo se, e somente se, o conjunto X é fechado em M .
Demonstração. De fato:
(⇒) Assumimos que X é completo. Pelo teorema 1.3(a), para cada x ∈ X , existe (xn) em X , tal
que xn → x. Pelo teorema 1.2, (xn) é de Cauchy. Como X é completo, (xn) converge em X e
seu limite é único pelo teorema 1.1. Daí x ∈ X . Desde que x ∈ X foi arbitrário, concluímos que
X ⊂ X , mas também sabemos que X ⊂ X , logo X = X . Portanto X é fechado.
(⇐) Reciprocamente, seja X fechado e (xn) de Cauchy em X . Então xn → x ∈M , pelo teorema
1.3(a), temos que x ∈ X e uma vez que X = X , teremos x ∈ X . Daí a sequência arbitrária de
Cauchy (xn) converge em X , o que prova que X é completo. �
Teorema 1.5 (Aplicação Contínua). Sejam (X, d) e (Y, d˜) espaços métricos, então uma aplicação
T : X → Y é contínua no ponto x0 se, e somente se,
xn → x implicar que Txn → Tx.
Demonstração. Em duas etapas, temos que:
(⇒) Assumindo que T é contínua em x0. Então pela definição, para cada ε > 0 dado, existe δ > 0
tal que
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d(x, x0) < δ implica d˜(Tx, Tx0) < ε.
Seja xn → x0. Então existe um N , tal que, para cada n > N , temos
d˜(Txn, Tx0) < ε.
o que significa que Txn → Tx0.
(⇐) Reciprocamente, assumimos que xn → x0, implica Txn → Tx0.
Supondo que T não é contínuo em x0. Então existe um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 existe um
x 6= x0 satisfazendo
d(x, x0) < δ , mas d˜(Tx, Tx0) ≥ ε.
Em particular, para δ =
1
n
existe xn satisfazendo
d(xn, x0) < δ e d˜(Txn, Tx0) ≥ ε.
Claramente vemos que xn → x, porém (Txn) não converge para Tx0, o que contraria a hipótese.
Portanto T é contínua. �
Exemplo 1.4 (Exemplo de Espaço Completo). O espaço de funçõesC[a, b] é completo, onde [a, b]
é qualquer intervalo fechado em R.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência de Cauchy em C[a, b]. Então dado ε > 0, existe um N ,
tal que, para todo m,n > N , temos
d(xm, xn) = max
t∈ [a,b]
|xm(t)− xn(t)| < ε (1.1)
Então para qualquer fixo t = t0 ∈ [a, b], temos que
|xm(t0)− xn(t0)| < ε (m,n > N)
Isso mostra que (x1(t0), x2(t0), . . . ) é uma sequência de Cauchy de números reais. Como R é
completo, a sequência converge, digamos, xm(t0) → x(t0) com m → ∞. Dessa forma podemos
associar com cada t ∈ [a, b] um único número real x(t). Isso define uma função x sobre [a, b].
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Mostraremos que x ∈ C[a, b] e que xm → x. De (1.1) com n→∞, temos
max
t∈ [a,b]
|xm(t)− x(t)| ≤ ε (m > N)
Então para cada t ∈ [a, b]
|xm(t)− x(t)| ≤ ε (m > N)
E isso mostra que (xm(t)) converge uniformemente para x(t) em C[a, b]. Desde que as xm′s são
contínuas em [a, b] e a convergência é uniforme, o limite x é uma função contínua em [a, b], logo
x ∈ C[a, b]. Também xn → x. E concluí-se que C[a, b] é completo.
1.2 Espaços Normados e Espaços de Banach
Definição 1.2.1. Uma norma em um espaço vetorial X sobre um corpo K (R ouC), é uma apli-
cação ‖.‖ : X → R que satisfaz:
(N1) ‖x‖ ≥ 0
(N2) ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0
(N3) ‖αx‖ = |α| ‖x‖
(N4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Desigualdade Triangular)
para quaisquer x, y ∈ X e α ∈ K. O par (X, ‖.‖) é um espaço vetorial normado.
Uma norma sobre X , define uma métrica d em X , que é dada por
d(x, y) = ‖x− y‖
que é chamada de métrica induzida pela norma. Se X é um espaço vetorial normado completo
(completo na métrica induzida pela norma), dizemos que X é um espaço de Banach.
Proposição 1.1 (Continuidade da norma). A norma é contínua, isto é, x → ‖x‖ é uma aplicação
contínua de (X, ‖.‖) em R.
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Prova. Pela propriedade (N4), temos que
‖x‖ = ‖x+ y − y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖ ⇒ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖
e ‖y‖ = ‖y − x+ x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖ ⇒ ‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖x− y‖
Das desigualdades acima, obtemos
|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖ (1.2)
Então, fazendo δ = ε, por (1.2), temos que
‖x− y‖ < δ =⇒ |‖x‖ − ‖y‖| < ε
E pela definição 1.1.4, a norma é contínua.
1.3 Propriedade dos Espaços Normados
Um subespaço Y de um espaço normado X é obtido ao restringirmos a norma de X para um
subconjunto Y de X . E dizemos que a norma de Y é induzida pela norma em X . Dizemos que
Y ⊂ X é um subespaço fechado de X se Y é fechado em X .
Teorema 1.6 (Subespaço de um Espaço de Banach). Um subespaço Y de um espaço de Banach
X é completo se, e somente se, o conjunto Y é fechado em X .
Demonstração. O resultado segue a partir do teorema 1.4.
A partir das definições 1.1.6 e 1.1.7 e usando o fato de que d(x, y) = ‖x− y‖, temos a seguinte
definição:
Definição 1.3.1 (Sequências). Para um espaço normado X:
(a) A sequência (xn) em X é convergente se existe x ∈ X , tal que
lim
n→∞
‖xn − x‖ = 0
Escrevemos xn → x, onde x é o limite de (xn).
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(b) A sequência (xn) em X é de Cauchy se para cada ε > 0 existe um N , tal que
‖xn − xm‖ < ε para todo n,m > N
Definição 1.3.2 (Série Infinita). Seja (xk) uma sequência em um espaço normado X , associamos
a (xk) um sequência (sn) de somas parciais
sn = x1 + x2 + . . .+ xn,
em que n = 1, 2, . . .. Se (sn) converge, digamos, sn → s, isto é, ‖sn − s‖ → 0, então dizemos
que a série infinita
∞∑
k=1
xk = x1 + x2 + . . .
converge, ou que é convergente. s é chamado de soma da série, assim escrevemoss =
∞∑
k=1
xk.
Dizemos que
∞∑
k=1
xk é absolutamente convergente se
∞∑
k=1
‖xk‖ converge.
Teorema 1.7 (Convergência Absoluta). Se X é um espaço de Banach, então toda série em X
absolutamente convergente é convergente.
Demonstração. Suponhamos que X é um espaço de Banach e seja
∞∑
j=1
‖xn‖ uma série absoluta-
mente convergente. Vamos mostrar que
∞∑
j=1
xn <∞.
De fato, sejam
Sm := x1 + x2 + . . .+ xm e Tm := ‖x1‖+ ‖x2‖+ . . .+ ‖xm‖
as somas parciais das séries
∞∑
j=1
xn e
∞∑
j=1
‖xn‖, respectivamente. Dessa forma, para todo m > n,
temos
‖Sm − Sn‖ = ‖xn+1 + xn+2 + . . .+ xm‖
≤ ‖xn+1‖+ ‖xn+2‖+ . . .+ ‖xm‖
= |Tm − Tn| < ε
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Logo, a sequência de somas parciais Sn é de Cauchy e portanto converge no espaço de Banach X .
Em outros termos
∞∑
j=1
xn converge em X . �
1.3.1 Espaços Normados e Dimensão
Lema 1.2 (Combinação Linear). SejamX um espaço normado de qualquer dimensão e {x1, . . . , xn}
um conjunto linearmente independente em X . Então existe c > 0, tal que, para cada escolha de
escalares λ1, . . . , λn, temos
‖λ1x1 + · · ·+ λnxn‖ ≥ c(|λ1|+ · · ·+ |λn|) (1.3)
Demonstração. Seja s = |λ1|+ · · ·+ |λn|. Se s = 0, temos λj = 0, então a desigualdade (1.3) é
válida para todo c > 0. Seja s > 0. Ao dividirmos (1.3) por s e escrevendo βj =
λj
s
, obtemos
‖β1x1 + · · ·+ βnxn‖ ≥ c (1.4)
(∑
|βj| = 1
)
Logo, provar (1.3) é equivalente a provar a existência de um c > 0, tal que (1.4) é válida para
todas n-uplas de escalares β1, . . . , βn com
∑
|βj| = 1.
Supondo que isso é falso. Então existe uma sequência (ym) de vetores
ym = β
(m)
1 x1 + · · ·+ β(m)n xn
(∑
|βj| = 1
)
tal que ‖ym‖ → 0 quando m→∞
Como
∑ |β(m)j | = 1, temos |β(m)j | ≤ 1. Assim, para cada j fixo, a sequência (β(m)j ) = (β(1)j , β(2)j , . . .)
é limitada. Consequentemente, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, (β(m)1 ) tem uma subsequên-
cia convergente. Seja β1 o limite dessa subsequência e seja (y1,m) a correspondente subsequência
de (ym). Pelo mesmo motivo, (β
(m)
2 ) tem uma subsequência convergente. Seja β2 o limite da
subsequência e seja (y2,m) a correspondente subsequência de (y1,m).
Dessa maneira, após n etapas, obtemos uma subsequência (yn,m) = (yn,1, yn,2, . . .) de (ym),
cujos termos são da forma
yn,m =
n∑
j=1
α
(m)
j xj
(
n∑
j=1
|α(m)j | = 1
)
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em que α(m)j → βj com m→∞. Daí, se m→∞,
yn,m −→ y =
n∑
j=1
βjxj
onde
∑ |βj| = lim
m→∞
n∑
j=1
|α(m)j | = 1, de modo que devemos ter algum bj 6= 0. Como o conjunto
{x1, . . . , xn} é linearmente independente, temos que y 6= 0. Por outro lado, pela continuidade
da norma, (yn,m) → y implica ‖yn,m‖ → ‖y‖. Como por suposição ‖ym‖ → 0 e (yn,m) é uma
subsequência de (ym), devemos ter ‖yn,m‖ → 0. E por consequênica, ‖y‖ = 0, e pela propriedade
(N2), y = 0. Mas isso contradiz o fato de que y 6= 0. O que prova o lema. �
Teorema 1.8 (Completo). Todo subespaço de dimensão finita Y de um espaço normado X é
completo. Em particular, todo espaço de dimensão finita é completo.
Demonstração. Seja (ym) uma sequência arbitrária de Cauchy em Y . Mostraremos que (ym)
converge em Y .
Se dimY = n e {e1, . . . , en} é uma base qualquer de Y , então cada ym tem uma única repre-
sentação da forma
ym = α
(m)
1 e1 + · · ·+ α(m)n en
Como (ym) é de Cauchy, para cada ε > 0 existe um N , tal que ‖ym − yr‖ < ε, onde m, r > N .
Pelo lema 1.2, existe c > 0 de modo que
ε > ‖ym − yn‖ =
∥∥∥∥∥
n∑
j=1
(α
(m)
j − α(r)j )ej
∥∥∥∥∥ ≥ c
n∑
j=1
|α(m)j − α(r)j | (m, r > N)
Dividindo por c > 0, temos que
|α(m)j − α(r)j | ≤
n∑
j=1
|α(m)j − α(r)j | <
ε
c
(m, r > N)
Logo, para cada n a sequência
(α
(m)
j ) = (α
(1)
j , α
(2)
j , . . . ) j = 1, . . . , n
é de Cauchy em R ou C, e portanto converge, digamos, α(m)j → αj . A partir dos n limites
α1, . . . , αn, definimos
y = α1e1 + · · ·+ αnen
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Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Claramente, y ∈ Y . De
‖ym − y‖ =
∥∥∥∥∥
n∑
j=1
(α
(m)
j − αj)ej
∥∥∥∥∥ ≤
n∑
j=1
|α(m)j − α| ‖ej‖
vemos que ‖ym − y‖ → 0, isto é, ym → y, pois na direita, α(m)j → αj . Mostramos assim que
(ym) converge em Y , logo Y é completo. �
A partir desse teorema e do teorema 1.4, temos o seguinte resultado.
Teorema 1.9 (Subespaço Fechado). Sejam X um espaço normado e Y um subespaço de X . Se
Y tem dimensão finita, então Y é fechado em X .
1.3.2 Compacidade
Definição 1.3.3 (Compacidade). Seja X um espaço métrico. Se toda sequência em X possui
uma subsequência convergente, então dizemos que X é compacto. Um subconjunto Y de X é
compacto, se Y como um subespaço de X é compacto, ou seja, se toda sequência em Y possui
uma subsequência cujo limite é um elemento de Y .
Lema 1.3 (Compacidade). Se um subconjunto Y de um espaço métrico X é compacto, então ele
é fechado e limitado.
Demonstração. Para cada x ∈ Y existe uma sequência (xn) ∈ Y ,tal que xn → x, onde x ∈ Y ,
pois Y é compacto. Portanto, como x ∈ Y foi arbitrário, Y é fechado.
Provaremos que Y é limitado. Se Y fosse ilimitado, existiria uma sequência (yn) ∈ Y tal
que d(yn, y) > n, em que y é um elemento fixo qualquer. Claramente essa sequência não possui
subsequência convergente, pois uma subsequência convergente é limitada, e isso contraria a com-
pacidade de Y . Logo, Y é limitado. �
Lema 1.4 (Riesz’s). SejaX um espaço normado de qualquer dimensão e sejam Y e Z subespaços
de X . Se Y é fechado e é um subespaço próprio de Z, então para qualquer número real θ no in-
tervalo (0, 1) existe um z ∈ Z tal que ‖z‖ = 1 , ‖z − y‖ ≥ θ para todo y ∈ Y .
Enielson Gama 16
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Figura 1.1: Notações da demonstração do Lema de Riessz’s
Demonstração. Iniciamos tomando um v ∈ Z − Y qualquer e denotamos a distância de v para Y
por a, que é
a = inf
y∈Y
‖v − y‖
Temos que a > 0 pois se tivéssemos a = inf
y∈Y
‖v − y‖ = 0, pela definição de ínfimu, existiria uma
sequência (yn) ∈ Y tal que ‖v − yn‖ → a = 0, logo yn → v, onde v 6∈ Y , o que contraria o fato
de que Y é fechado, então de fato a > 0 . Seja θ ∈ (0, 1) qualquer. Pela definição de ínfimo existe
um yo ∈ Y tal que
a ≤ ‖v − y0‖ ≤ a
θ
(1.5)
(notamos que a
θ
> a, pois 0 < θ < 1).
Seja z = c(v − y0) onde c = 1‖v − y0‖ . Então ‖z‖ = 1 e mostraremos que ‖z − y‖ ≥ θ para
cada y ∈ Y . Temos
‖z − y‖ = ‖c(v − y0)− y‖
= c ‖v − y0 − c−1y‖
= c ‖v − y1‖
onde y1 = y0 + c−1y.
A forma de y1 mostra que y1 ∈ Y . Então ‖v − y1‖ ≥ a = inf
y∈Y
‖v − y‖. Usando a equação
anterior e usando (1.5), obtemos
‖z − y‖ = c ‖v − y1‖ ≥ ca = a‖v − y0‖ ≥
a
a/θ
= θ
�
Enielson Gama 17
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Teorema 1.10 (Dimensão Finita). Sejam X é um espaço normado e M = {x ∈ X/ ‖x‖ ≤ 1} a
bola fechada unitária. Se M ⊂ X é compacta, então X tem dimensão finita.
Demonstração. Por hipótese assumimos que M é compacto e que a dimX = ∞, mostraremos
que isso produz uma contradição.
Tomamos um x1 qualquer tal que ‖x1‖ = 1. Esse x1 gera uma subespaço unidimensional X1 de
X , que é fechado pelo teorema 1.9 e como dimX = ∞, X1 é um subespaço próprio de X . Pelo
lema de Riesz’s existe um x2 ∈ X , onde ‖x2‖ = 1, tal que
‖x2 − x1‖ ≥ θ = 1
2
Da mesma forma x1, x2 geram um subespaço próprio fechado X2 de X , em que dimX2 = 2.
Pelo lema de Riesz’s existe um x3, onde ‖x3‖ = 1, tal que para todo x ∈ X2, temos
‖x3 − x‖ ≥ 12
em particular ‖x3 − x1‖ ≥ 12
‖x3 − x2‖ ≥ 12
Prosseguindo desse modo, iremos obter uma sequência (xn) de elementos xn ∈M , tal que
‖xm − xn‖ ≥ 12 (m 6= n)
Obviamente, (xn) não possui subsequência convergente. Istocontradiz a compacidade de M . Por
isso, nossa hipótese que dimX =∞ é falsa, e portanto dimX <∞. �
1.4 Operadores Lineares
Definição 1.4.1. Um operador linear entre espaços vetoriais X e Y é uma aplicação
T : D(T ) ⊂ X → Y em que seu domínio D(T ) é um subespaço de X e
T (x+ λy) = Tx+ λTy
para todo x, y ∈ D(T ) e todo λ ∈ K.
Obs: Note que T0X = 0Y .
Enielson Gama 18
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Definição 1.4.2. Definimos como espaço nulo (núcleo) de T , denotado porN (T ), e a imagem de
T , denotada porR(T ) ou Im(T ), os conjuntos:
N (T ) = {x ∈ D(T ) ; Tx = 0Y }
R(T ) = {y ∈ Y ; ∃x ∈ D(T ) com Tx = y}
Teorema 1.11 (Imagem e Espaço Nulo). Seja T um operador linear. Então:
(a) A imagenR(T ) é um espaço vetorial.
(b) Se dimD(T ) = n <∞, então dimR(T ) ≤ n.
(c) O espaço nulo N (T ) é um espaço vetorial.
Demonstração. (a) Tomamos y1, y2 ∈ R(T ), logo temos que y1 = Tx1 e y2 = Tx2 para alguns
x1, x2 ∈ D(T ), e αx1 + βx2 ∈ D(T ), pois D(T ) é um espaço vetorial. De
T (αx1 + βx2) = αTx1 + βTx2 = αy1 + βy2,
vemos que αy1 + βy2 ∈ R(T ), e isso prova que a imagem de T é um espaço vetorial.
(b) Sejam y1, . . . , yn+1 ∈ R(T ). Então, temos y1 = Tx1, . . . , yn+1 = Txn+1 para alguns
x1, . . . , xn+1 ∈ D(T ). Como dimD(T ) = n, o conjunto {x1, . . . , xn+1} é linearmente depen-
dente. Então para alguns escalares λ1, . . . , λn+1 nem todos zeros, temos
λ1x1 + · · ·+ λn+1xn+1 = 0.
Aplicando T em ambos os lados, temos que
T (λ1x1 + · · ·+ λn+1xn+1) = λ1y1 + · · ·+ λn+1yn+1 = 0.
Logo, o conjunto {y1, . . . , yn+1} é linearmente dependente, pois alguns dos λj′s é diferente
de zero. Concluímos que R(T ) não possui subconjuntos linearmente independentes de n + 1 ou
mais elementos. Pela definição dimR(T ) ≤ n.
(c) Sejam x1, x2 ∈ N (T ). Então Tx1 = Tx2 = 0. Para qualquer escalares α, β, temos
T (αx1 + βx2) = αTx1 + βTx2 = 0.
Portanto, αx1 + βx2 ∈ N (T ) e assim N (T ) é um espaço vetorial. �
Enielson Gama 19
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
O operador T : D(T )→ Y é injetivo se para quaisquer x1, x2 ∈ D(T )
x1 6= x2 =⇒ Tx1 6= Tx2, (1.6)
ou equivalentemente, Tx1 = Tx2 =⇒ x1 = x2. (1.7)
Neste caso
T−1 : R(T ) → D(T )
y0 7→ x0
(1.8)
existe e leva y0 ∈ R(T ) para x0 ∈ D(T ), onde y0 = Tx0.
Teorema 1.12 (Operador Inverso). Sejam X, Y espaços vetoriais reais ou complexos. Seja T :
D(T ) ⊂ X → R(T ) ⊂ Y um operador linear. Então:
(a) A inversa T−1 : R(T )→ D(T ) existe se, e somente se
Tx = 0 =⇒ x = 0.
(b) Se T−1 existe, também é linear.
(c) Se dimD(T ) = n <∞ e T−1 existe, então dimR(T ) = dimD(T ).
Demonstração. (a) (⇒) Supondo que T−1 existe. Então Tx1 = Tx2, implica x1 = x2 e como T
é linear T0 = 0. Daí Tx1 = T0 = 0 implica x1 = 0
(⇐) Supondo que Tx = 0, implica x = 0. Seja Tx1 = Tx2. Logo T (x1−x2) = Tx1−Tx2 = 0,
onde x1 − x2 = 0. Daí x1 = x2, e por (1.7), T−1 existe.
(b) O domínio de T−1 é R(T ) que é um espaço vetorial. Seja x1, x2 ∈ D(T ) e suas imagens
y1 = Tx1 e y2 = Tx2. Então x1 = T−1y1 e x2 = T−1y2. Como T é linear, temos para α, β ∈ K
que
αy1 + βy2 = αTx1 + βTx2 = T (αx1 + βx2)
o que implica que
T−1(αy1 + βy2) = αx1 + βx2 = αT−1x1 + βT−1x2.
E prova que T−1 é linear.
(c) Pelo teorema 1.11(b) temos que dimR(T ) ≤ dimD(T ) e para T−1 que a dimD(T ) ≤
dimR(T ), então dimD(T ) = dimR(T ). �
Enielson Gama 20
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Lema 1.5 (Inversa do Produto). Sejam T : X → Y e S : Y → Z operadores lineares bijetivos,
onde X, Y e Z são espaços vetoriais. Então a inversa (ST )−1 : Z → X do produto ST existe e
(ST )−1 = T−1S−1. (1.9)
Demonstração. Por hipótese ST : X → Z é bijetivo, então (ST )−1 existe. Assim
ST (ST )−1 = IZ
onde IZ é o operador identidade de Z. Aplicando S−1 e usando S−1S = IY , obtemos
S−1ST (ST )−1 = T (ST )−1 = S−1IZ = S−1.
Agora aplicando T−1 e usando que T−1T = IX , obtemos
(ST )−1 = T−1T (ST )−1 = T−1S−1,
como queríamos. �
1.5 Operador Linear Limitado
Definição 1.5.1. Sejam X, Y espaços normados e T : D(T ) → Y um operador linear. Dizemos
que T é limitado se existe um número real c, tal que, para todo x ∈ D(T ), temos
‖Tx‖ ≤ c ‖x‖ (1.10)
De ‖Tx‖
‖x‖ ≤ c
(x 6= 0)
Temos que o menor c possível , tal que (1.10) vale para todo x 6= 0 é o supremo. Então, definimos
‖T‖ = sup
x∈D(T )
x 6=0
‖Tx‖
‖x‖ (1.11)
Da definição, segue que ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖.
Lema 1.6 (Norma). Se T é um operador linear limitado, então:
(a) ‖T‖ = sup
x∈D(T )
x 6=0
‖Tx‖
‖x‖ = supx∈D(T )
‖x‖=1
‖Tx‖
Enielson Gama 21
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
(b) A norma definida em (1.11) satisfaz as propriedades (N1), (N2), (N3) e (N4).
Demonstração. (a) Seja x 6= 0 e y = x‖x‖ . Então ‖y‖ = 1. Como T é linear, temos
‖T‖ = sup
x∈D(T )
x 6=0
‖Tx‖
‖x‖ = supx∈D(T )
x 6=0
∥∥∥∥T ( 1‖x‖
)
x
∥∥∥∥ = sup
y∈D(T )
‖y‖=1
‖Ty‖ .
Escrevendo x no lugar de y na direita, temos o resultado.
(b) (N1) é óbvio. De ‖T‖ = 0, temos Tx = 0 para todo x ∈ D(T ), logo T = 0. Assim (N2)
também é satisfeito. Além disso, de
‖αT‖ = sup
‖x‖=1
‖αTx‖ = sup
‖x‖=1
|α| ‖Tx‖ = |α| sup
‖x‖=1
‖Tx‖ = |α| ‖T‖ ,
temos (N3), onde x ∈ D(T ). E finalmente, de
sup
‖x‖=1
‖(T1 + T2)x‖ = sup
‖x‖=1
‖T1x+ T2x‖ ≤ sup
‖x‖=1
‖T1x‖+ sup
‖x‖=1
‖T2x‖ ,
em que x ∈ D(T ), temos (N4). �
Teorema 1.13 (Continuidade-Limitação). Sejam X , Y espaços normados e T : D(T ) ⊂ X → Y
um operador linear. Então:
(a) T é contínuo se, e somente se, T é limitado.
(b) Se T é contínuo em um ponto, então T é contínuo.
Demonstração. (a) Se T = 0 é imediato. Seja T 6= 0, então ‖T‖ 6= 0. Assim,
(⇒) Assumimos que T é limitado. Seja x0 ∈ D(T ) arbitrário e ε > 0 qualquer dado. Como T é
linear, para cada x ∈ D(T ) tal que
‖x− x0‖ < δ onde δ = ε‖T‖
obtemos
‖Tx− Tx0‖ = ‖T (x− x0)‖ ≤ ‖T‖ ‖x− x0‖ < ‖T‖ δ = ε
o que mostra que T é contínuo.
(⇐) Assumimos que T é contínuo. Seja x0 ∈ D(T ) arbitrário, então dado qualquer ε > 0, existe
Enielson Gama 22
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
δ > 0, tal que
‖Tx− Tx0‖ ≤ ε ‖x− x0‖ ≤ δ (1.12)para todo x satisfazendo
Agora seja y ∈ D(T ), de modo que y 6= 0, definimos
x = x0 +
δ
‖y‖y x− x0 =
δ
‖y‖yequivalentemente
Logo ‖x− x0‖ = δ, então usando (1.12) e a linearidade de T , obtemos
‖Tx− Tx0‖ = ‖T (x− x0)‖ =
∥∥∥∥T ( δ‖y‖y
)∥∥∥∥ = δ‖y‖ ‖Ty‖ < ε
Da última parte, resulta que
‖Ty‖ ≤ ε
δ
‖y‖
Reescrevendo, temos ‖Ty‖ ≤ c ‖y‖, onde c = ε
δ
. Portanto T é limitado.
(b) Se T é contínuo em um ponto, pela segunda parte de (a), T é limitado, e se T é limitado
a primeira parte de (a) mostra que T é contínuo. �
Corolário 1.1 (Continuidade, Espaço Nulo). Se T é um operador linear limitado, então:
(a) Se limxn = x, em que xn, x ∈ D(T ), então limTxn = Tx,
(b) O espaço nulo N (T ) é fechado.
Demonstração. (a) Pelo teorema 1.13(a), T é contínuo, logo o resultado segue a partir do teorema
1.5.
(b) Pelo teorema 1.3(a), para cada x ∈ N (T ) existe uma sequência (xn) em N (T ) tal que
xn → x.
Pela parte (a) do corolário Txn → Tx. Como Txn = 0, devemos ter Tx = 0, de modo que
x ∈ N (T ). Portanto N (T ) é fechado. �
Proposição 1.2. Seja T um operador linear limitado, então ‖T n‖ ≤ ‖T‖n, para todo n ∈ N.
Demonstração. Dividimos em duas partes.
(a) Sejam T1 : Y → Z e T2 : X → Y operadores lineares limitados, onde X, Y e Z são espaços
Enielson Gama 23
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
normados, então para x 6= 0, temos que
‖T1T2x‖ = ‖T1 ◦ T2(x)‖ = ‖T1(T2x)‖ ≤ ‖T1‖ ‖T2x‖ ≤ ‖T1‖ ‖T2‖ ‖x‖
Assim ‖T1T2x‖
‖x‖ ≤ ‖T1‖ ‖T2‖
Daí
‖T1T2‖ = sup
x∈X
x 6=0
‖T1T2x‖
‖x‖ ≤ ‖T1‖ ‖T2‖ (1.13)
(b) Em particular se T1 = T2, (1.13) dá ‖T 2‖ ≤ ‖T‖2.
Supondo que ‖T n−1‖ ≤ ‖T‖n−1, fazendo T1 = T n−1 e T2 = T e usando(a), obtemos
∥∥T n−1T∥∥∥∥T n−1∥∥ ‖T‖ ≤ ‖T‖n−1 ‖T‖ ≤ ‖T‖n−1 ‖T‖ = ‖T‖n
Portanto, concluímos que ‖T n‖ ≤ ‖T‖n para todo n ∈ N. �
Definição 1.5.2 (Restrição e Extensão). Seja T : D(T )→ Y um operador linear.
(a) A restrição de T a um subconjunto B ⊂ D(T ) é denotado por T |B e é um operador
definido por
T |B : B → Y ; T |Bx = Tx
para todo x ∈ B.
(b) A extensão de T a um conjunto X ⊃ D(T ) é o operador
T˜ : X → Y ; T˜ |D(T ) = T ,
isto é, T˜ x = Tx para todo x ∈ D(T ).
Teorema 1.14 (Extensão Linear Limitada). Seja T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear
limitado, em que X é um espaço normado e Y é um espaço de Banach. Então T tem uma
extensão T˜ : D(T )→ Y , onde T˜ é um operador linear limitado e ‖T˜‖ = ‖T‖ .
Demonstração. Seja x ∈ D(T ), então existe uma sequência (xn) em D(T ), tal que xn → x. Por
hipótese T é linear e limitada, logo
Enielson Gama 24
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
‖Txn − Txm‖ = ‖T (xn − xm)‖ ≤ ‖T‖ ‖xn − xm‖ ,
então como (xn) converge, temos que (Txn) converge, digamos
Txn → y ∈ Y
Definimos T˜ por
T˜ x = y
Mostraremos que T˜ está bem definida em cada x ∈ D(T ) e que independente da escolha particular
da sequência em D(T ) convergindo para x.
Supondo que xn → x e zn → x. Seja (vm) a sequência
(vm) = (x1, z1, x2, v2, . . .)
Claramente vm → x. Pelo teorema 1.1(a), (Tvm) converge e suas duas subsequências devem
ter o limite x. T˜ é linear e T˜ x = Tx para cada x ∈ D(T ), de modo que T˜ é uma extensão de
T . Usando que ‖Txn‖ ≤ ‖T‖ ‖xn‖ e seja n → ∞. Então Txn → y = T˜ x e como a norma é
contínua, temos que ‖Txn‖ → ‖T˜ x‖, logo
‖T˜ x‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖
Então T˜ é limitado e ‖T˜‖ ≤ ‖T‖. Como T˜ é uma estensão de T , temos ‖T˜‖ ≥ ‖T‖, pela
definição. Portanto ‖T˜‖ = ‖T‖. �
1.5.1 Funcionais Lineares
Definição 1.5.3 (Funcional Linear). Um operador linear f cujo domínio é um espaço vetorial X
com imagem no corpo K de X , isto é,
f : D(f) ⊂ X → K
onde K = R se X é real ou K = C se X é complexo, é chamado de funcional linear.
Definição 1.5.4. Um funcional linear é limitado se existe um número real c, tal que, para todo
x ∈ D(T ), temos
|f(x)| ≤ c ‖x‖
Enielson Gama 25
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
E definimos
‖f‖ = sup
x∈D(f)
x 6=0
|f(x)|
‖x‖ ‖f‖ = supx∈D(f)
‖x‖=1
|f(x)|equivalentemente
Da definição |f(x)| ≤ ‖f‖ ‖x‖.
A partir do teorema 1.13, temos o seguinte resultado.
Teorema 1.15 (Continuidade e Limitação). Um funcional linear f com domínio D(f) em um
espaço normado é contínuo se, e somente se, é limitado.
Definição 1.5.5 (Dual Algébrico). Seja X um espaço normado, com dimX = n. O conjunto dos
funcionais lineares com domínio em X , constituem o dual algébrico X∗ de X .
Teorema 1.16 (Dimensão do X∗). Seja X um espaço vetorial de dimensão n e E = {e1, . . . , en}
uma base de X . Então F = {f1, . . . , fn} dado por
fk(ek) = δjk =
 0 se j 6= k1 se j = k (1.14)
é uma base do dual algébrico X∗ de X , e dimX∗ = dimX = n.
Demonstração. Afirmamos que F é um conjunto linearmente independente. De fato, de
n∑
k=1
βkfk(x) = 0 (1.15)(x ∈ X)
com x = ej , vemos que
n∑
k=1
βkfk(ej) =
n∑
k=1
βkδjk = βj = 0
de modo que os βk′s em (1.15) são nulos.
Agora vamos mostrar que cada f ∈ X∗ tem uma única representação como combinação linear
dos elementos de F . Escrevendo f(ej) = αj , temos que x ∈ X é da forma x = ξ1e1, . . . , ξnen,
logo
f(x) = f
(
n∑
j=1
ξjej
)
=
n∑
j=1
ξjf(ej) =
n∑
j=1
ξjαj
Enielson Gama 26
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
para cada x ∈ X , onde f é exclusivamente determinado pelos valores αj na base de X . E de
(1.14), temos que
fj(x) = fj(ξ1e1, . . . , ξnen) = ξj.
Assim
f(x) =
n∑
j=1
αjfj(x)
Então f = α1f1 + · · · + αnfn é a única representação do funcional linear f sobre X em termos
dos funcionais f1, . . . , fn. �
1.6 Espaço de Operadores
Definição 1.6.1. Sejam X e Y espaços normados. O conjunto de todos os operadores lineares
limitados definidos em todo X e com imagem em Y , denotamos por B(X, Y ).
Para T1, T2 ∈ B(X, Y ), definimos a soma T1 + T2, como
(T1 + T2)x = T1x+ T2x
e o produto αT1, como
(αT1)x = αT1x
Pelo lema 1.6(b), temos o seguinte resultado.
Teorema 1.17 (EspaçoB(X, Y )). O espaçoB(X, Y ) é um espaço normado, com a norma definida
por
‖f‖ = sup
x∈D(f)
x 6=0
‖f(x)‖
‖x‖ = supx∈D(f)
‖x‖=1
‖f(x)‖
Agora vamos analisar uma condição para que B(X, Y ) seja completo.
Teorema 1.18 (Espaço de Banach). Se Y é um espaço de Banach, então B(X, Y ) é um espaço
de Banach.
Demonstração. Seja (Tn) uma sequência de Cauchy arbitrária em B(X, Y ). Mostraremos que
Tn → T ∈ B(X, Y ).
Enielson Gama 27
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Como (Tn) é de Cauchy, para cada ε > 0, existe um N< tal que
‖Tn − Tm‖ < ε (m,n > N)
Para todo x ∈ X e m,n > N , temos que
‖Tnx− Tmx‖ = ‖(Tn − Tm)x‖ ≤ ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ < ε ‖x‖ (1.16)
Para um x fixo qualquer, determinamos um εx > 0, de modo que ε ‖x‖ < εx. De (1.16), temos
‖Tnx− Tmx‖ < εx
Então (Tnx) é de Cauchy em Y que é completo, e portanto converge, digamos, Tnx→ y. O limite
y ∈ Y , depende da escolha de x ∈ X . Isso define um operador T : X → Y , onde y = Tx.
T é linear, pois:
T (x+ λz) = lim
n→∞
[Tn(x+ λz)] = lim
n→∞
(Tnx+ λTnz)
= lim
n→∞
Tnx+ λ lim
n→∞
Tnz
= Tx+ λTz
Também T é limitado, pois:
Como (1.16) é válido para todo m > N e Tmx → Tx, podemos fazer m → ∞. Desde que a
norma é contínua, obtemos a partir de (1.16) para cada n > N e todo x ∈ X que
‖(Tn − T )x‖ = ‖Tnx− Tx‖ =
∥∥∥Tnx− lim
n→∞
Tmx
∥∥∥ = lim
n→∞
‖Tnx− Tmz‖ ≤ ε ‖x‖ (1.17)
Então para n > N o operador Tn − T é limitado. E como Tn é limitado, T = Tn − (Tn − T ) é
limitado.
Em (1.17) tomando o supremo sobre todo x de norma 1, obtemos
‖Tn − T‖ < ε (n > N)
Então ‖Tn − T‖ → 0. �
Definição 1.6.2 (Espaço Dual X ′). Seja X um espaço normado. O espaço dual de X , denotado
Enielson Gama 28
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
por X ′, é o conjunto de todos os funcionais lineares limitados sobre X . Definimos em X ′ a
seguinte norma
‖f‖ = sup
x∈D(f)
x 6=0
|f(x)|
‖x‖ = supx∈D(f)
‖x‖=1
|f(x)|
Como R e C, com suas métricas usuais, são completos. A partir do teorema 1.18 com Y = R ou
C, temos o seguinte resultado
Teorema 1.19 (Dual). O espaço Dual X ′ de um espaço normado X é um espaço de Banach.
1.7 Mais Teoremas Envolvendo Espaços Normados e Espaços
de Banach
Teorema 1.20 (Hahn- Banach). Sejam Z um subespaço de um espaço normado X e f um fun-
cional linear limitado sobre Z. Então existe um funcional linear limitado f˜ sobre X que é a
extensão de f para X e
‖f˜‖X = ‖f‖Z (1.18)
onde
‖f˜‖X = sup
x∈X
‖x‖=1
|f˜(x)| ‖f‖Z = sup
x∈X
‖x‖=1
|f(x)|
e ‖f‖Z = 0 no caso trivial Z = {0}.
Demonstração. Se Z = {0}, então f = 0, e assim a extensão é f˜ = 0. Agora seja Z 6= {0}. Para
todo x ∈ Z, temos
|f(x)| ≤ ‖f‖Z ‖x‖ .
Definimos
p(x) = ‖f‖Z ‖x‖ .
Vemos que p está definido sobre todo X . Além disso, vemos que p é linear satisfaz
P (x+ y) = ‖f‖Z ‖x+ y‖ ≤ ‖f‖Z (‖x‖+ ‖y‖) = p(x) + p(y)
e também
p(αx) = ‖f‖Z ‖αx‖ = |α| ‖f‖Z ‖x‖ = |α|p(x).
Enielson Gama 29
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Então aplicando o teorema 4.3-1, pag. 219 de [?], concluímos que existe um funcional linear f˜
sobre X que é uma extensão de f e satisfaz
|f˜(x)| ≤ p(x) = ‖f‖Z ‖x‖ (x ∈ X)
Tomando o supremo para todo x ∈ X de norma um, obtemos a seguinte desigualdade
‖f˜‖ = sup
x∈X
‖x‖=1
|f˜(x)| ≤ ‖f‖Z
E como f˜ é uma extensão de f , também temos ‖f˜‖X ≥ ‖f‖Z . Portanto ‖f˜‖X = ‖f‖Z . �
Teorema 1.21 (Funcional Linear Limitado). Seja X um espaço normado e x0 6= 0 um elemento
qualquer de X . Então existe um funcionallinear limitado f˜ sobre X tal que ‖f˜‖ = 1, f˜(x0) =
‖x0‖.
Demonstração. Seja Z, o subespaço de X formado por todos os elementos x = αx0, onde α é
um escalar. Definimos um funcional linear f sobre Z, por
f(x) = f(αx0) = α ‖x0‖ . (1.19)
De |f(x)| = |f(αx0)| = |α| ‖x0‖ = ‖αx0‖ = ‖x‖,
vemos que ‖f‖ = 1. Pelo teorema 1.20, f tem uma extensão f˜ sobre X , e ‖f˜‖ = ‖f‖ = 1. De
(1.19), temos que f˜(x0) = f(x0) = ‖x0‖. �
Corolário 1.2 (Norma, Vetor Nulo). Para cada x ∈ X , temos
‖x‖ = sup
f ∈X′
f 6=0
|f(x)|
‖f‖ (1.20)
Então se x0 é tal que f(x0) = 0 para toda f ∈ X ′, então x0 = 0.
Demonstração. A partir do teorema (1.21), escrevendo x ao invés de x0, temos que
sup
f 6=0
f∈X′
|f˜(x)|
‖f‖ ≥
‖x‖
1
= ‖x‖ ,
Enielson Gama 30
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e a partir de |f(x)| ≤ ‖f‖ ‖x‖, obtemos
sup
f 6=0
f∈X′
|f˜(x)|
‖f‖ ≤ ‖x‖ .
E a prova está completa. �
1.7.1 Operador Adjunto
Seja T : X → Y um operador linear limitado, onde X e Y são espaços normados, vamos
definir o operador adjunto T× de T . Para isso, seja g ∈ Y ′, logo g está definida para todo y ∈ Y .
Definimos um funcional f sobre X por
f(x) = g(Tx) x ∈ X (1.21)
em que y = Tx. Como g e T são lineares, f é linear. Também f é limitada, pois
|f(x)| = |g(Tx)| ≤ ‖g‖ ‖Tx‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖ ‖x‖ .
Tomando o supremo sobre todo x ∈ X de norma um, obtemos
‖f‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖ (1.22)
Isso mostra que f ∈ X ′.
Definição 1.7.1 (Operador Adjunto). Seja T : X → Y um operador linear limitado, onde X e Y
são epaços normados. Definimos o operador adjunto T× : Y ′ → X ′ de T por
f(x) = (T×g)(x) = g(Tx) (g ∈ Y ′) (1.23)
onde X ′ é o dual de X e Y ′ é o dual de Y .
Teorema 1.22 (Norma do Operador Adjunto). O operador adjunto T× da definição 1.7.1 é linear,
limitado e ∥∥T×∥∥ = ‖T‖ . (1.24)
Enielson Gama 31
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Demonstração. T× é linear, pois:
(T×(αg1 + βg2))(x) = (αg1 + βg2)(Tx)
= αg1(Tx) + βg2(Tx)
= α(T×g1)(x) + β(T×g2)(x)
Agora, por (1.23) temos que f = T×g, e usando (1.22), obtemos
∥∥T×g∥∥ = ‖f‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖ .
Portanto T× é limitada. E tomando o supremo para toda g ∈ Y ′ de norma um, obtemos a de-
sigualdade ∥∥T×∥∥ ≤ ‖T‖ . (1.25)
Resta mostrar que ‖T×‖ ≤ ‖T‖. Pelo teorema 1.21, temos que, para cada x0 ∈ X não nulo,
existe uma g0 ∈ Y ′ tal que
‖g0‖ = 1 e g0(Tx0) = ‖Tx0‖
Pela definição de operador adjunto g0(Tx0) = (T×g0)(x). Logo
‖Tx0‖ = g0(Tx0) = (T×g0)(x)
≤ ‖T×g‖ ‖x‖
≤ ‖T×‖ ‖g0‖ ‖x0‖ .
Como ‖g0‖ = 1, temos para cada x0 ∈ X que
‖Tx0‖ ≤
∥∥T×∥∥ ‖x0‖ .
(o que inclui x0 = 0, pois T0 = 0). Mas
‖Tx0‖ ≤ ‖T‖ ‖x0‖ ,
onde c = ‖T‖ é a menor constante c tal que ‖Tx0‖ ≤ c ‖x0‖, para todo x0 ∈ X . Assim,
percebemos que ‖T‖ ≤ T×. Portanto ‖T‖ = ‖T×‖. �
Consideremos agora um espaço normado X , e o seu dual X ′. O espaço dual (X ′)′ de X ′ é
Enielson Gama 32
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denotado por X ′′ e é chamado de segundo dual de X (ou espaço bidual de X). Definimos um
funcional gx sobre X ′ pela escolha de um x ∈ X fixo por
gx(f) = f(x) (1.26)
onde f ∈ X ′ é variável.
A partir disso temos o seguinte lema.
Lema 1.7 (Norma de gx). Seja X um espaço normado. Então para cada x ∈ X fixo, o funcional
gx definido em (1.26) é um funcional linear limitado sobre X ′, de modo que gx ∈ X ′′, e
‖gx‖ = ‖x‖ . (1.27)
Demonstração. A linearidade de gx segue a partir da seção 1.5.1, e (1.27) segue de (1.26) e do
corolário 1.2, temos que
‖gx‖ = sup
f∈X′
f 6=0
|gx(f)|
‖f‖ = supf∈X′
f 6=0
|f(x)|
‖f‖ = ‖x‖ .
�
Para cada x ∈ X existe um único correspondente funcional linear limitado gx ∈ X ′′ definido
em (1.26). Isso define uma aplicação
C : X → X ′′
x 7→ gx
C é chamada de Aplicação Canônica de X em X ′′.
Lema 1.8 (Existência de um Funcional). Seja X um espaço normado e Y um subespaço próprio
fechado de X . Seja x0 ∈ X − Y e
δ = inf
y˜ ∈Y
‖y˜ − x0‖ (1.28)
a distância de x0 para Y . Então existe uma f˜ ∈ X ′ tal que
‖f˜‖ = 1, f˜(y) = 0 para cada y ∈ Y , f(x0) = δ
Enielson Gama 33
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Demonstração. Seja Z ⊂ X um subespaço gerado por Y e x0. Cada z ∈ [Y ∪ {x0}] tem uma
única representação
z = y + αx0 (y ∈ Y ).
Definimos em Z um funcional linear f por
f(z) = f(y + αx0) = αδ y ∈ Y. (1.29)
A f é linear e como Y é fechado, δ > 0, de modo que f 6= 0. Se α = 0, temos f(y) = 0 para
todo y ∈ Y . Para α = 1 e y = 0, temos f(x0) = δ.
Mostraremos que f é limitada. De fato, se α = 0, temos f(z) = 0. Seja α 6= 0. Por (1.28) e
notando que −
(
1
α
)
y ∈ Y , obtemos
|f(z)| = |α|δ = |α| inf
y˜∈Y
‖y˜ − x0‖
≤ |α|
∥∥∥∥− 1αy − x0
∥∥∥∥
= ‖y + αx0‖ = ‖z‖
Logo f é limitada e ‖f‖ = 1. Mostraremos que ‖f‖ > 1. De fato, pela definição de ínfimo,
Y contém uma sequência (yn) tal que ‖yn → x0‖ → δ. Seja zn = yn − x0. Então, por (1.29)
f(zn) = f(yn − x0) = −δ,
onde α = −1. Também
‖f‖ = sup
z∈Z
z 6=0
|f(z)|
‖z‖ ≥
|f(z)|
‖zn‖ =
δ
zn
n→∞−→ δ
δ
= 1
Então ‖f‖ ≥ 1, de modo que ‖f‖ = 1. Pelo teorema 1.20, existe f˜ que é a extensão da f e
‖f˜‖ = ‖f‖. �
Teorema 1.23 (Limitação Uniforme). Seja (Tn) uma sequência de operadores limitados Tn :
X → Y , onde X é um espaço de Banach e Y é um espaço normado, tal que (‖Tn‖) é limitada
Enielson Gama 34
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para cada x ∈ X , digamos
‖Tnx‖ ≤ cx n = 1, 2, . . . (1.30)
onde cx é um número real. Então a sequência de normas ‖Tn‖ é limitada, ou seja, existe c tal que
‖Tn‖ ≤ c n = 1, 2, . . .
Demonstração. Para cada k ∈ N, seja Ak ⊂ X o conjunto formado por todo x tal que
‖Tnx‖ ≤ k para todo n.
Notemos que para qualquer x ∈ Ak, existe uma sequência (xj) emAk convergindo para x.Isso
quer dizer que para cada n, temos ‖Tnxj‖ ≤ k. Como Tn é contínuo, Tnxj → Tnx, e a norma
também é contínua, logo ‖Tnxj‖ → ‖Tnx‖, assim ‖Tnx‖ ≤ k. Então x ∈ Ak. Disso concluímos
que Ak é fechado.
Por (1.30), cada x ∈ X pertence a algum Ak. Então
X =
∞⋃
k=1
Ak .
Como X é completo, o teorema de Baire (veja a seção 4.7 de [?]) implica que cada Ak contém
uma bola aberta, digamos,
B0 = B(x0; r) ⊂ Ak0 (1.31)
Seja um não nulo x ∈ X arbitrário. No conjunto
z = x0 + γx γ =
r
2‖x‖ (1.32)
temos que ‖z − x0‖ < r, de modo que z ∈ B0. De (1.31) e da definição de Ak0 , temos que
‖Tnz‖ ≤ k0 para todo n.
E como x0 ∈ B0, também temos ‖Tnx0‖ ≤ k0. A partir de (1.32), obtemos
x =
1
γ
(z − x0).
Enielson Gama 35
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Então para cada n,
‖Tnx‖ = 1
γ
‖Tn(z − x0)‖ ≤ 1
γ
(‖Tnz‖+ ‖Tnx0‖) ≤ 1
γ
2k0 ≤ 2‖x‖
r
2k0 =
4
r
‖x‖ k0.
Assim
‖Tn‖ = sup
‖x‖=1
‖Tnx‖ ≤ 4
r
k0,
para todo n. Portanto ‖Tn‖ ≤ c, onde c = 4k0/r. �
1.7.2 Convergência Forte e Convergência Fraca
Definição 1.7.2 (Convergência Forte). A sequência (xn) em um espaço normado X é dita forte-
mente convergente (ou converge na norma) se existe um x ∈ X tal que
lim
n→∞
‖xn − x‖ = 0
Escrevemos lim
n→∞
xn = x ou xn → x. x é chamado de limite forte de (xn) e dizemos que (xn)
converge fortemente para x.
Definição 1.7.3 (Convergência Fraca). A sequência (xn) em um espaço normado X é dita fraca-
mente convergente se existe um x ∈ X tal que para toda f ∈ X ′ temos
lim
n→∞
f(xn) = f(x)
e denotamos por xn ⇀ x.
Lema 1.9 (Convergência Fraca). Seja (xn) uma sequência fracamente convergente em um espaço
normado X , digamos xn ⇀ x. Então:
(a) O limite fraco de (xn) é único.
(b) Toda subsequência de (xn) converge fracamente para x.
(c) A sequência (‖xn‖) é limitada.
Demonstração. (a) Suponha que xn ⇀ x e também xn ⇀ y. Então f(xn) → f(x) e também
f(xn) → f(y). Uma vez que (f(xn)) é uma sequência de números, seu limite é único. Então
f(x) = f(y),isto é, para toda f ∈ X ′, nós temos
f(x)− f(y) = f(x− y) = 0
Enielson Gama 36
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
Pelo corolário 1.2 o limite fraco é único, assim Isso x− y = 0.
(b) Resulta do fato que (f(xn)) é uma sequência convergente de números , que
toda subsequência de (f(xn)) converge e tem o mesmo limite da sequência.
(c) Uma vez que (f(xn)) é uma sequência convergente de números, ela é limitada,
digamos |f(xn)| ≤ cf para todo n, onde cf é a constante que depende de f e não de n.
Usando a aplicação canônica
C : X −→ X ′′
Nós podemos definir gxn ∈ X ′′ por
gxn(f) = f(xn) f ∈ X ′
Então para todo n,
|gxn(f)| = |f(xn)| ≤ cf
isto é, a sequência (|gxn(f)|) é limitada para cada f ∈ X ′.
Uma vez que X ′ é completo por 1.19, o teorema da limitação uniforme 1.23 pode ser aplicado e
implica que (‖gxn‖) é limitada. Agora ‖gxn‖ = ‖xn‖ por 1.7, assim (c) está provado. �
Teorema 1.24 (Convergência Forte e Fraca). Seja (xn) uma sequência no espaço normado X .
Então:
(a) Convergência forte implica convergência fraca com o mesmo limite.
(b) Se dimX <∞, estão convergência fraca implica convergência forte.
Demonstração. (a) Pela definição, xn → x então ‖xn − x‖ → 0 e implica que para toda f ∈ X ′,
|f(xn)− f(x)| = |f(xn − x) ≤ ‖f‖ ‖xn − x‖ → 0
Isto mostra que xn ⇀ x.
(b) Suponha xn ⇀ x e dimX = k.
Seja {e1, . . . , ek} uma base qualquer de X e digamos
xn = α
(n)
1 e1 + · · ·+ α(n)k ek
e x = α1e1 + · · ·+ αkek
Pela hipótese, f(xn)→ f(x) para toda f ∈ X ′.
Nós tomamos em particular f1, . . . , fk definido em 1.16
Enielson Gama 37
Análise Funcional Espaços Métricos, Normados e de Banach
fj(ej) = 1 fj(em) = 0 (m 6= j)
Então: fj(xn) = α
(n)
j e fj(x) = αj
Daí fj(xn)→ fj(x) implica α(n)j → αj . A partir disso nós obtemos facilmente
‖xn − x‖ =
∥∥∥∥∥
k∑
j=1
(α
(n)
j − αj)ej
∥∥∥∥∥ ≤
k∑
j=1
|α(n)j − αj| ‖ej‖ → 0
com n→∞. Portanto xn converge fortemente para x. �
1.7.3 Aplicação Aberta e Gráfico Fechado
Definição 1.7.4 (Aplicação Aberta). Dizemos que uma aplicação T : D(T ) ⊂ X → Y , onde X
e Y são espaços métricos, é uma aplicação aberta se para conjunto aberto no D(T ) tem como
imagem um conjunto aberto em Y .
Teorema 1.25 (Aplicação Aberta, Inversa Limitada). Se um operador linear limitado T : X → Y ,
onde X e Y são espaços de Banach, é uma aplicação aberta, então T é uma bijeção e T−1 é
contínua e assim limitada.
Para a prova veja, por exemplo, a seção 4.12 de [?].
Definição 1.7.5 (Operador Linear Fechado). Seja T : D(T ) ⊂ X → Y , onde X e Y são espaços
normados. Dizemos que T é um operador linear fechado se seu gráfico
G (T ) = {(x, y)/x ∈ X, y = Tx}
é fechado no espaço normadoX×Y , isto é, se (xn, yn) ∈ G (T ) é tal que (xn, yn)→ (x, y), então
(x, y) ∈ G (T ). Ressaltamos que as duas operações algébricas em X × Y são definidas por
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
α(x, y) = (αx, αy),
onde α é um escalar, e a norma em X × Y é definida por
‖(x, y)‖ = ‖x‖+ ‖y‖ . (1.33)
Enielson Gama 38
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Teorema 1.26 (Gráfico Fechado). Seja T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear fechado, onde
X e Y são espaços de Banach. Então se D(T ) é fechado em X , o operador T é limitado.
Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que de acordo com as presentes hipóteses o espaço
X × Y com a norma definida por ‖(x, y)‖ = ‖x‖+ ‖y‖ é completo.
(a) Seja zn = (xn, yn) uma sequência de Cauchy em X × Y . Então para todo ε > 0 existe um
N tal que
‖zn − zm‖ = ‖(xn − xm, yn − ym)‖ = ‖xn − xm‖+ ‖yn − ym‖ < ε (1.34)
para m,n > N . Daí (xn) e (yn) são de Cauchy nos espaços de Banach X e Y , respectivamente,
portanto convergem, digamos
xn → x e yn → y
Isso implica que zn → z = (x, y). Segue a partir de (1.34) com m→∞ que
‖zn − z‖ ≤ ε (n > N).
Como a sequência de Cauchy (zn) foi arbitrária, X × Y é completo.
(b) Por hipótese, G (T ) é fechado em X × Y e D(T ) é fechado em X . Então, pelo teorema
1.4, G (T ) e D(T ) são completos. Consideremos a sequinte aplicação
P : G (T ) → D(T )
(x, Tx) 7→ x.
P é linear, pois
P [α(x, y) + β(w, z)] = P (αx+ βw, αy + βz) = αx+ βw = αP (x, y) + βP (w, z).
Também P é limitada, pois
‖P (x, Tx)‖ = ‖x‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ = ‖(x, Tx)‖ .
Enielson Gama 39
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P é uma bijeção, pois a aplicação inversa de P é
P−1 : D(T ) → G (T )
x 7→ (x, Tx).
Como G (T ) e D(T ) são completos, pelo teorema 1.25, P−1 é limitada, digamos,
‖(x, Tx)‖ ≤ c ‖x‖
para cada c e todo x ∈ D(T ). Assim T é limidada, pois
‖Tx‖ ≤ ‖Tx‖+ ‖x‖ = ‖(x, Tx)‖ ≤ c ‖x‖
para todo x ∈ D(T ). �
Pela hipótese G (T ) é fechado se, e somente se, z = (x, y) ∈ G (T ) implica z ∈ G (T ). A
partir do teorema 1.3(a) vemos que z ∈ G (T ) se, e somente se, existe zn = (xn, Txn) ∈ G (T ) tal
que
xn → x, Txn → y;
e z ∈ G (T ) se, e somente se, x ∈ D(T ) e y = Tx. Assim temos o seguinte resultado.
Teorema 1.27 (Operador Linear Fechado). Seja T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear, onde
X e Y são espaços normados. Então T é fechado se, e somente se, tem a seguinte propriedade.
Se xn → x, onde xn ∈ D(T ), Txn → y, então x ∈ D(T ) e Tx = y.
Lema 1.10 (Operador Fechado). Seja T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear limitado, onde X
e Y são espaços normados. Então:
(a) Se D(T ) é um subconjunto fechado de X , então T é fechado.
(b) Se T é fechado e Y é completo, então D(T ) é um subconjunto fechado de X .
Demonstração. (a) Se (xn) está emD(T ) e converge, digamos, xn → x, é tal que (Txn) também
converge, como D(T ) = D(T ), x ∈ D(T ), e Txn → Tx pois T é contínuo. Portanto, pelo
teorema 1.27, T é fechado.
Enielson Gama 40
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(b) Para cada x ∈ D(T ) existe (xn) em D(T ), tal que xn → x. Da limitação de T , segue que
‖Txn − Txm‖ = ‖T (xn − xm)‖ ≤ ‖T‖ ‖xn − xm‖ .
Isso mostra que (Txn) é de Cauchy. Como Y é Banach, (Txn) converge, digamos, Txn → y ∈ Y .
Uma vez que T é fechado, o teorema 1.27 implica que x ∈ D(T ) e Tx = y. Portanto, D(T ) é
fechado´, pois x ∈ D(T ) foi arbitrário. �
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