Capitulo 3 - Função Polinomial do 1° Grau

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Profª Tania Elisa Seibert 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
1 
3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
 
O objetivo deste capítulo é o estudo das funções polinomiais de 1º grau. 
Porém, abordam-se inicialmente diferentes conceitos que são essenciais para a 
compreensão deste conteúdo. 
 
3.1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Toda equação do tipo ax + b = 0 é uma equação do 1º grau onde: 𝐚 e 𝐛 são números 
Reais e 𝐚 ≠ 0. O maior expoente da incógnita nesta equação é 1. Exemplos: 
a) 2x + 5 = 21 
2𝑥 − 16 = 0 
 
b) 
1
2
x + 5 = 
3
5
x – x + 4 
9
10
x + 1 = 0 
 
A solução de uma equação é o valor para o qual a equação é verdadeira. O valor 
numérico da equação é o valor da incógnita que satisfaz a igualdade. Exemplo: 
 
a) Para provar que x = −2 é uma solução da equação x3 − x + 6 = 0, deve-se substituir o 
valor −2 na equação e encontrar como resultado zero. 
x3 − x + 6 = 0 
(−2)3 – (−2) + 6 = 
− 8 + 2 + 6 = 0. Logo, −2 é raiz da equação. 
 
Para resolver uma equação do 1º grau devem-se utilizar os princípios aditivo e 
multiplicativo, definidos como: 
a) Princípio aditivo: quando se adiciona um mesmo número aos dois membros de uma 
equação obtêm-se uma nova equação de mesmo valor que a primeira. 
b) Princípio multiplicativo: quando se multiplica um mesmo número aos dois membros de 
uma equação obtêm-se uma nova equação de mesmo valor que a primeira. 
 
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 Uma equação de 1º grau pode ser “comparada” com uma balança de dois pratos em 
equilíbrio. 
 
Fonte: http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/ 
 
Expressando-se a situação apresentada na balança temos: 750 + x = 3x + 100. Aplicam-
se os dois princípios (aditivo e multiplicativo) para resolvê-la. 
 
750 + x = 3x + 100 
750 -100 + x = 3x + 100 - 100 Princípio aditivo: eliminar “100” 
650 + x = 3x 
650 + x – x = 3x – x Princípio aditivo: eliminar “x” 
650 = 2x 
650
2
=
2𝑥
2
 Princípio multiplicativo: eliminar “2” 
325 = x Raiz da equação; solução da equação. 
 
Verificando se a solução encontrada está correta: 
750 + x = 3x + 100 (Substituindo x pelo valor encontrado, isto é, x = 325) 
750 + 325 = 3. 325 + 100 
1 075 = 1075, logo a resolução está correta. 
 
3.1.1 Resolução de Equações do 1º grau ou Equações lineares 
Considere o conjunto Universo os números Reais. Determine o conjunto verdade da 
equação ou o conjunto solução resolvendo a equação utilizando os princípios aditivo e 
multiplicativo. Exemplos: 
 
1) Dado U = ℝ, resolva as equações: 
 
 
 
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a) x + 5 = 12 
x + 5 = 12 Subtrair “5” dos dois lados da equação. 
x + 5 − 5 = 12 − 5 
x = 7 V = {7} 
 
b) −x + 6 = 1 
−x + 6 = 1 Subtrair “6” dos dois lados da equação. 
−x + 6 − 6 = 1 − 6 
 −x = −5 Multiplicar por (-1) 
x = 5 V = {5} 
 
c) 
3x
2
+ 4 = 2x − 6 
3x
2
+ 4 = 2x − 6 Multiplicar por “2” 
3x
2
 . 2 + 4 . 2 = 2x . 2 − 6 . 2 
 
 3x + 8 = 4x − 12 Adicionar “12” 
3x + 8 + 12 = 4x − 12 + 12 
3x + 20 = 4x Subtrair “3x” 
3x − 3x + 20 = 4x − 3x 
20 = x V = {20} 
 
3.1.2 Inequações do 1º grau ou Inequações lineares 
Usa-se desigualdade para descrever, por exemplo, a ordem dos números sobre a reta dos 
números Reais. 
A definição de uma inequação linear em x pode ser escrita na forma: 
ax + b ≤ 0; ax + b ≥ 0; ax + b < 0; ax + b > 0. 
As desigualdades possuem propriedades que devem ser observadas quando vamos 
resolvê-las. São elas: 
a) Princípio aditivo: quando se adiciona um mesmo número aos dois membros de uma 
desigualdade, obtêm-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira. 
b) Princípio multiplicativo: 
 
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1) Quando se multiplica ou se divide os dois membros de uma desigualdade por um mesmo 
número positivo, obtêm-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira. 
2) Quando se multiplica ou se divide os dois membros de uma desigualdade por um mesmo 
número negativo, obtêm-se uma nova desigualdade com sentido invertido. 
Resolver uma inequação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a 
inequação é verdadeira. Uma solução de uma inequação em x é um valor de x que satisfaz a 
desigualdade. O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o que chamamos de 
conjunto verdade ou conjunto solução. O conjunto das soluções de uma inequação linear 
forma um intervalo de números Reais. Exemplos: 
 
1) Dado U = ℝ, resolva as inequações: 
a) 3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6 
3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6 Resolver os parênteses 
3x − 3 + 2 ≤ 5x + 6 Operar com os termos semelhantes 
3x − 1 ≤ 5x + 6 Subtrair 3x 
3x − 3x − 1 ≤ 5x − 3x + 6 
−1 ≤ 2x + 6 Subtrair 6 
−1 − 6 ≤ 2x + 6 − 6 
−7 ≤ 2x Dividir por 2 
−
7
2
≤
2x
2
 
−
7
2
≤ x V = {x ∈ ℝ|x ≥ −
7
2
} ou [−
7
2
, +∞[ 
 
b) −3 <
2x+5
3
 ≤ 5 
−3 <
2x+5
3
 ≤ 5 Multiplicar por 3 
3. (−3) < 3 .
2x+5
3
 ≤ 3.5 
 −9 < 2x + 5 ≤ 15 Subtrair 5 
−9 − 5 < 2x + 5 − 5 ≤ 15 − 5 
−14 < 2x ≤ 10 Dividir por 2 
−14
2
<
2x
2
 ≤
10
2
 
−7 < x ≤ 5 V = {x ∈ ℝ| − 7 < x ≤ 5} ou ]−7, 5] 
 
 
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c) −2x + 7 > 0 
−2x + 7 > 0 Subtrair 7 
−2x + 7 − 7 > 0 − 7 
−2x > −7 Dividir por 2 
−2x
2
> −
7
2
 
−x > −7 Multiplicar por (-1). Cuidado! Inverter o sinal de 
desigualdade. 
(−1). (−x) > (−1). (−7) 
x < 7 V = {x ∈ ℝ| x < 7} ou ]−∞, 7[ 
 
3.2 RELAÇÃO 
 
Para compreender uma função é necessário que se compreenda o que é uma relação. 
Porém, para a compreensão de relação necessita-se de outros conceitos, como o de par 
ordenado, produto cartesiano e relação binária. 
 
3.2.2 Par ordenado 
Denomina-se par todo conjunto formado por 2 elementos. Temos então que {1, 2}, {2, 
1}, {3, 2}, {2, 3} são pares de modo que {1, 2}={2, 1} e {3, 2}={2, 3}, ou seja a ordem dos 
elementos do conjunto não influencia na definição do mesmo. 
Determinadas situações necessitam que sejam consideradas a ordem dos elementos. 
Quando dizemos que um terreno tem as dimensões de 10m de frente e 20m de comprimento 
dizemos que o terreno mede 10x20, ou seja, a primeira informação é referente à dimensão 
frontal do terreno e a segunda refere-se ao comprimento. A informação 20x10 significa que o 
terreno tem 20m de frente e 10 de comprimento. 
Na Matemática nas situações em que são utilizadas 2 informações em conjunto, onde a 
ordem é importante, faz-se uso do par ordenado (a, b) para designar o elemento que tem as 
informações a e b, e cuja ordem é relevante, de modo que: 
(a, b) = (c, d) ⟺ a = c e b = d. Dessa maneira para a ≠ b, temos que (a, b) ≠ (b, a), como 
no exemplo: 
(a, b) = (largura, comprimento) ⟺ a = largura e b = comprimento 
(a, b) = (x, y) ⟺ a = x e b = y, para x e y as coordenadas do ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
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3.2.3 Produto cartesiano 
Sejam A e B conjuntos não vazios. O conjunto de pares ordenados (x, y) quepode ser 
formado, tal que x pertence a A e y pertence a B, denomina-se produto cartesiano de A e B. 
Notação: A x B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}. 
Note que todos os elementos de A estão relacionados com todos os elementos de B, 
como nos exemplos: 
 
1) Para A = {1, 2, 3} e B = {−2 , 2}, o produto cartesiano de A em B é dado por: 
 A x B = {(1, −2); (1 , 2); (2, −2); (2 , 2); (3 , −2); (3 , 2)} 
 
 
2) Para A = {1, 2, 3} e B = {−2 , 2}, o produto cartesiano de B em A é dado por: 
B x A = {(2 , 1); (2 , 2); (2 , 3); (−2, 1); (−2, 2); (−2 , 3)} 
 
_________________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADES 
 
1) Para A = {1, 2, 3} e B = {−2 , 2}, o produto cartesiano de A em A é dado por: 
 
 
1 
2 
3 
 
2 
-2 
(1,2) 
(1,-2) 
(2,2) 
(2,-2) 
(3,2) 
(3,-2) 
A B 
 Domínio Imagem 
(2,1) 
(2,2) 
(2,3) 
(-2,1) 
(-2,2) 
(-2,3) 
 
1 
2 
3 
A 
 
2 
-2 
B 
Domínio Imagem 
 
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2) Para A = {1, 2, 3} e B = {−2 , 2}, o produto cartesiano de B em B é dado por: 
 
RESPOSTAS 
 
1) A x A = A2 = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)} 
 
2) B x B = B2 = {(−2, −2); (−2,2); (2, −2); (2,2)} 
 
___________________________________________________________________________ 
 
3.2.4 Relação Binária 
Dados os conjuntos A, B denomina-se relação binária de A em B, todo subconjunto R 
de A x B, de maneira que R ⊂ A x B, de modo que R é o conjunto composto dos pares 
ordenados (x, y), tal que x ∈ A e y ∈ B, onde x e y estão associados entre si mediante um 
critério de relacionamento ou seja, R = {(x, y) ∈ A x B|x se relaciona com y}. Exemplos: 
 
 1) Para A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5} temos que: 
A x B = {(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5)} (Estes 
são todos os pares possíveis do produto cartesiano A x B). 
1a) Para R1, composto pelos pares ordenados de A x B, tal que x = y, ou seja: (Dentre todos 
os pares formados escolhe-se os que obedecem à lei de formação desta relação, ou seja, todos 
os pares em que x = y). 
R1 = {(x, y) ∈ A x B|x = y}, temos R1 = {(2,2), (3,3), (4,4)}. 
 
b) Para R2 de A x B composto pelos pares ordenados tal que x ≠ y, ou seja: (Dentre todos os 
pares formados escolhe-se os que obedecem à lei de formação desta relação, ou seja, todos os 
pares em que x ≠ y). 
 R2 = {(x, y) ∈ AxB|x ≠ y}, temos: 
R2 = { (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5)} 
 
 
 
 
 
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3.2.5 Gráfico de uma relação 
O plano cartesiano é representado por duas retas Reais orientadas (eixos), 
perpendiculares entre si, com a sua intersecção denominada Origem. O eixo horizontal é 
denominado eixos das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. 
A representação gráfica de uma relação é realizada pela marcação dos pares ordenados 
(x, y) ∈ R no plano cartesiano, de modo que (x, y) corresponde às coordenadas de um ponto 
no plano, para x representado nas abscissas e y nas ordenadas. A origem é representada pelo 
par ordenado (0, 0), ou seja, x = 0 e y = 0. Exemplos: 
 
1) Para a relação R = { (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5)}, temos a 
representação gráfica dada por: (Observe cada um dos pares da relação R representados no 
gráfico). 
 
 
 
2) Para a relação W = {(x, y) ∈ ℝ2|1 < x ≤ 3 e 2 ≤ y < 4} temos a representação gráfica 
dada por: (Observe que x é aberto em 1 e fechado em 3, enquanto y é fechado em 2 e aberto 
em 4. (Por isso, no gráfico, no contorno do quadrado hachurado, utiliza-se tracejados e linhas 
contínuas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
           










x
y
 
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3) Para a relação G = {(x, y) ∈ ℝ2 | 1 < x ≤ 4 e y = x} temos a representação gráfica dada 
por: (Outra vez tome cuidado com “aberto” e “fechado”). 
 
 
 
3.2.6 Domínio e Imagem 
Seja R uma relação em A x B, ou seja, R = {(x, y) ∈ A x B|xRy}, denomina-se Domínio 
de R o conjunto de todos os valores de 𝐱 dos pares ordenados da relação R. 
Seja R uma relação em A x B, ou seja, R = {(x, y) ∈ A x B|xRy}, denomina-se Imagem 
de R o conjunto de todos os valores de 𝐲 dos pares ordenados da relação R. Exemplos: 
 
a) Para R = {(−2,1), (−2, 2), (0,1), (1, 2), (1, 3)}, determine o Domínio e a Imagem da 
relação. 
D = {−2, 0, 1} (Todos os valores de x, sem repetir os elementos do conjunto). 
          








x
y
          









x
y
Aberto em x 
Aberto em y 
Aberto 
Fechado 
 
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Im = {1, 2, 3} (Todos os valores de x, sem repetir os elementos do conjunto). 
 
b) Para a relação W dada pelo gráfico, determine o domínio e a imagem. (Cuidado com as 
linhas fechadas e as tracejadas). 
 
D = {x ∈ ℝ|3 < x < 8} ou D = ]3, 8[ 
Im = {y ∈ ℝ|1 ≤ y ≤ 7} ou Im = [1, 7] 
 
c) Para a relação H dada pelo gráfico, determine o domínio e a imagem. (Outra vez tome 
cuidado com o aberto ou fechado). 
 
D = {x ∈ ℝ|−1 ≤ x ≤ 4} ou D = [−1, 4] 
Im = {y ∈ ℝ| − 0,5 ≤ y ≤ 2} ou Im = [−0,5 , 2] 
 
d) Para a relação I dada pelo gráfico, determine o domínio e a imagem. 
        








x
y
           






x
y
 
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D = {x ∈ ℝ|0 ≤ x ≤ 3} ou D = [0; 3,5] (Observe no gráfico o primeiro ponto e o último 
ponto no eixo x). 
Im = {y ∈ ℝ|0 ≤ y ≤ 2} ou Im = [0, 2] (Observe no gráfico o primeiro ponto e o último 
ponto no eixo x). 
__________________________________________________________________________ 
ATIVIDADES 
1) Dados os gráficos, determine o Domínio e a Imagem. 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
      






x
y
      






x
y
      

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



x
y
          
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
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
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



x
y
          
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

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





x
y
 
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RESPOSTAS 
a) 
D = {x ∈ ℝ|0,5 ≤ x < 2} ou [0,5; 2[ 
Im = {y ∈ ℝ|1 ≤ y < 2} ou [1; 2[ 
b) 
D = {x ∈ ℝ|0,5 ≤ x < 3,5} ou [0,5; 3,5[ 
Im = {y ∈ ℝ|0,5 ≤ y < 2,5} ou [0,5; 2,5[ 
 
c) 
D = {x ∈ ℝ|1 ≤ x ≤ 4} ou [1, 4] 
Im = {y ∈ ℝ|1 ≤ y ≤ 1} ou [1, 5] 
 
d) 
D = {x ∈ ℝ|2 ≤ x < 4} ou [2, 4[ 
Im = {y ∈ ℝ|1 < y ≤ 5} ou ]1, 5]__________________________________________________________________________ 
 
3.3 FUNÇÕES 
 
Em várias situações do cotidiano depara-se com a necessidade de relacionarem-se duas 
grandezas. Por exemplo, ao se colocar uma chaleira com água no fogo e, se for feito o 
acompanhamento da temperatura da água, verifica-se que, com o passar do tempo, a 
temperatura da água aumenta. Logo se tem uma relação entre a temperatura da água e o 
tempo, ou seja, a temperatura da água pode ser determinada em função do tempo. 
Em uma viagem de carro a distância percorrida, ou os quilômetros rodados, aumentam 
conforme passa o tempo da viagem, estabelece-se então a relação entre quilômetros 
percorridos e o tempo, ou seja, a distância percorrida pode ser determinada em função do 
tempo. 
Um alpinista, ao subir uma montanha, verifica que a temperatura diminui conforme a 
altura em que se encontra. Logo se pode estabelecer uma relação entre altura e temperatura, 
ou seja, pode-se determinar a temperatura em função da altura. 
Deste modo a noção intuitiva de função é a relação de duas grandezas, de maneira que o 
valor de uma delas pode ser determinado em função do valor da outra. 
Definição: Dados 2 conjuntos A e B não vazios, uma função é uma relação f de A em 
B, onde cada elemento de A tem um único elemento correspondente de B. Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
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a) Para as relações f = {(x, y) ∈ AxB |xRy}, para R o critério de relacionamento entre x e y, 
temos que: 
 
 
Esta relação é uma função, 
pois para cada x ∈ A existe 
um y ∈ B. Note que existem 
elementos em B que 
“sobram” na relação. Isto não 
impede que seja uma função. 
Esta relação é uma função, 
pois para cada x ∈ A existe 
um y ∈ B. Note que para 
cada elemento de A se tem 
somente uma seta partindo 
do mesmo. 
 
Esta relação não é uma 
função, pois alguns x ∈ A se 
relacionam com mais de um 
y ∈ B. Note que para x = 2 se 
tem y = 2 e y = 4. 
 
b) Para as relações 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 |𝑥𝑅𝑦}, para 𝑅 o critério de relacionamento entre 𝑥 e 𝑦, 
temos que: 
 
A relação é função, pois 
para cada x ∈ ℝ existe um 
y ∈ ℝ. 
 
A relação é função, pois 
para cada 𝑥 ∈ ℝ existe um 
𝑦 ∈ ℝ. 
 
A relação não é função, pois 
para cada 𝑥 ∈ ℝ se tem dois 
𝑦 ∈ ℝ. No ponto 𝑥 = 1, temos 
 𝑦 = 2 e 𝑦 = 4. Note que para 
todos os valores de 𝑥 se tem 
dois valores em 𝑦, logo não é 
uma função. 
 
O critério de relacionamento geralmente é uma sentença aberta y = f(x) que expressa a 
lei, ou regra, mediante a qual para um dado valor x, determina-se um valor de y tal que 
(x, y) ∈ f, isto é, a relação f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}. 
Notação: Para representarmos uma função 𝑓, definida em A com imagem em B de 
acordo com a lei de correspondência 𝑦 = 𝑓(𝑥), usamos: 
          










x
y
          










x
y
          










x
y
 
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𝑓: 𝐴 → 𝐵 
𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) 
 
 ou 𝐴
𝑓
→ 𝐵 
𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) 
Exemplos: 
a) Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função 𝑓: 𝐴 → ℕ e 𝑥 ↦ 𝑥 + 1 
Observe que o conjunto A tem poucos elementos, e por isso é possível representar por 
extensão o conjunto dos pares ordenados que pertença a função f de A em ℕ, para x ∈ A e 
y = x + 1. Logo: f(x) = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7)}. 
Este conjunto de pares ordenados foi formado da seguinte maneira: 
 
Elementos de A 
valor de x 
𝒚 = 𝒙 + 𝟏 Par ordenado (x, y) 
0 y = 0 + 1 = 1 (0, 1) 
1 y = 1 + 1 = 2 (1, 2) 
2 y = 2 + 1 = 3 (2, 3) 
3 y = 3 + 1 = 4 (3, 4) 
4 y = 4 + 1 = 5 (4, 5) 
5 y = 5 + 1 = 6 (5, 6) 
6 y = 6 + 1 = 7 (6, 7) 
 
O Domínio e a Imagem são dados por: 
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (Todos os valores de x). 
Im = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (Todos os valores de y). 
 
A representação da função 𝑓(𝑥) no plano cartesiano é dada pelo gráfico: 
 
Observação: 
No gráfico da representação de f(x) note que apenas foram “marcados” os pontos que 
representam o par ordenado (sem uní-los). Isso se deve a estarmos trabalhando, neste 
        








x
y
 
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15 
exemplo, com o conjunto dos números Naturais. Isto é, estamos trabalhando com uma 
grandeza discreta. 
 
b) Para a mesma função f de A em ℝ, para x ∈ A e y = x + 1 com A, um intervalo fechado, 
dado por A = {x ∈ ℝ|0 ≤ x ≤ 6}, temos que: f: A → ℝ, x ↦ x + 1 
Como o conjunto A é um subconjunto dos Reais, o mesmo tem infinitos elementos, não 
sendo possível representar a função por extensão como no exemplo anterior. No plano 
cartesiano a função é representada pelo gráfico: 
 
 
 
Para função f(x), temos que os conjuntos Domínio e Imagem são respectivamente dados 
por D = {x ∈ ℝ|0 ≤ x ≤ 6} e Im = {y ∈ ℝ|1 ≤ y ≤ 7}. 
 
Observação: 
Neste gráfico unimos os pontos, isto é, traçamos uma reta ligando-os. Neste exemplo estamos 
trabalhando no conjunto dos números Reais e, portanto, com grandezas contínuas. 
 
3.3.1 Características das funções 
A análise matemática das características das funções permite uma compreensão do 
comportamento das grandezas representadas pelas mesmas. Por exemplo, para uma chaleira 
com água no fogo por um determinado período de tempo, podemos determinar uma função 
que relaciona a temperatura da água e o tempo, de maneira que podemos realizar análises 
sobre o comportamento da temperatura. No caso podemos afirmar, com base na experiência 
empírica do dia a dia, que a temperatura aumentará com o passar do tempo. 
        








x
y
 
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16 
Para um experimento onde se coloca um recipiente com água a 25ºC em um congelador 
temos que, com o passar do tempo, a temperatura da água diminuirá até 0ºC, a água mudará 
do estado líquido para o sólido, e depois a temperatura continuará diminuindo até -5ºC 
(temperatura mínima média para um congelador residencial). 
 
Desta maneira as características de uma função f de A em B, 
f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}, são determinadas pela análise dos valores de y para um 
dado valor x. 
 
3.3.1.1 Intervalo para função crescente e decrescente 
Considerando que para cada valor de 𝑥 tem-se um valor correspondente para 𝑦, definido 
por y = f(x). Adotando-se uma variação crescente de 𝑥 em um dado intervalo (𝑥1, 𝑥2), temos 
a noção intuitiva de que a função é: 
 
a) crescente no intervalo [x1, x2], se os valores de y também são crescentes no dado intervalo; 
 
b) decrescente no intervalo [x1, x2] se os valores de y decrescem no dado intervalo. 
 
Definindo tem-se: 
a) para f de A em B, definida por y = f(x), f é crescente quando 
f(x1) < f(x2) no intervalo [x1, x2] para x1 e x2 ∈ A tal que x1 < x2. 
 
b) para f de A em B, definida por y = f(x), f é decrescente quando 
f(x1) > f(x2) no intervalo[x1, x2] para x1 e x2 ∈ A tal que x1 < x2. 
 
Exemplos: 
a) Dada a função 𝑓(𝑥) representada no gráfico a seguir, analise o intervalo onde a função é 
crescente e decrescente. 
 
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Observe a tabela: 
x y x y 
-2 -3 3 2 
-1 -2 4 1 
0 -1 5 0 
1 0 6 -1 
2 1 
3 2 
 
3.3.1.2 Raiz da função 
Denomina-se raiz ou zero da função, todo número 𝑥 para o qual 
𝑓(𝑥) = 0, ou seja, o conjunto de valores de 𝑥 para 𝑦 = 0. 
Observe o exemplo do gráfico: 
 
O gráfico corta o eixo do x em dois pontos: (1 , 0) e (5 , 0). Esses pontos estão sobre o 
eixo da abscissa e, portanto, temos os valores de y = 0, logo as raízes da função são dadas 
pelo conjunto solução, ou conjunto verdade, 𝑉 = {1, 5}. 
Algebricamente o(s) valor(es) da(s) raiz(es), são determinados pela solução da equação 
𝑓(𝑥) = 0. 
 
 
       








x
y
       








x
y
Observe o gráfico e a tabela: 
Temos que a função é crescente no intervalo 
{𝑥 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑥 < 3} e decrescente no 
intervalo {𝑥 ∈ ℝ|3 < 𝑥 ≤ 6}. 
No intervalo {𝑥 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑥 < 3}, os valores 
de x e y crescem, portanto a função é crescente 
neste intervalor. 
No intervalo {𝑥 ∈ ℝ|3 < 𝑥 ≤ 6}, os valores de 
x crescem e os de y decrescem, logo a função é 
decrescente neste intervalo. 
O ponto (3, 2) é chamado de ponto de inflexão. 
 
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Exemplos: 
a) Determine a raiz ou zero da função f(x) = 2x − 1. (A raiz é determinada pela solução de 
f(x) = 0, ou seja, é necessário substituir f(x) por zero e depois determinar o valor de x). 
f(x) = 2x − 1 
0 = 2x − 1 
1 = 2x 
1
2
= x 
Logo o conjunto verdade é V = { 
1
2
 } 
 
b) Para f(x) = x2 − 3x + 2 a raiz é determinada pela solução de f(x) = 0, ou seja, 
 
x2 − 3x + 2 = 0 
{ x′ = 1
x′′ = 2
 
Aplique Baskara para solucionar a equação de 2º grau 
Encontre os valores de x′e x′′. 
Logo o conjunto solução, ou conjunto verdade é V = {1, 2}. 
 
3.3.1.3 Intervalo para função positiva e negativa (sinais da função) 
Considerando que para cada valor de x tem-se um valor correspondente para y, definido 
por y = f(x), o estudo dos sinais da função significa determinar se f(x) > 0 ou se f(x) < 0 
em um dado intervalo [x1, x2]. Logo temos que a função é: 
a) Positiva (+) no intervalo [x1, x2], se f(x) > 0 , ou seja, y > 0 para x variando no intervalo 
[x1, x2] ; 
b) Negativa (-) no intervalo [x1, x2], se f(x) < 0 , ou seja, y < 0 para x variando no intervalo 
(a, b). 
 
Exemplo: 
a) Dada a função 𝑓(𝑥) representada pelo gráfico, determine os intervalos onde a função é 
positiva e negativa. 
 
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19 
 
 
Para resolver este problema precisamos testar valores. 
 
a) Vamos “analisar” os pontos assinalados no gráfico: 
 
x y 
-2 -3 
-1 -2 
0 -1 
1 0 
2 1 
3 2 
4 1 
5 0 
6 -1 
 
Algebricamente podemos determinar o intervalo no qual a função é positiva 
solucionando a inequação f(x) > 0 e negativa solucionando a inequação f(x) < 0. Exemplos: 
a) Para f(x) = 2x + 1 a função é positiva para f(x) > 0, ou seja, 
2x − 1 > 0 
2x > 1 
x >
1
2
 Logo o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x >
1
2
} 
 
b) Para f(x) = 2x + 1 a função é negativa para f(x) < 0, ou seja, 
2x − 1 < 0 
2x < 1 
x <
1
2
 Logo o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x <
1
2
} 
       








x
y
 
Os valores em y negativos indicam que neste intervalo de x a função é 
negativa. Portanto: 
A função é negativa para o intervalo {x ∈ ℝ| − 2 ≤ x < 0 ou 5 < x ≤ 6} 
 
Os valores em y positivos indicam que neste intervalo de x a função é 
positiva. Portanto: 
A função é positiva para o intervalo {x ∈ ℝ|1 < x < 5}. 
 
Nos valores de y = 0 a função não é nem negativa, nem positiva. 
 
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20 
c) Para a função dada pelo gráfico a seguir determine as características da função: 
 
OBS: Note que a função segue até a “borda” da imagem, isto denota a ideia de que a mesma 
continua para o infito, ou seja, a função continua para 𝑥 < 2 e para 𝑥 > 4. 
 
1) Determine as raízes ou zeros da função. (Raízes ou zero da função são os pontos em que 
y = 0, ou seja, pontos que estão sobre o eixo das abscissas). 
f(x) = 0 em x = −1 e x = 3, logo V = {−1,3} 
 
2) Determine o intervalo onde a função é crescente. 
A função é crescente no intervalo {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1} 
 
3) Determine o intervalo onde a função é decrescente. 
A função é decrescente no intervalo {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 1} 
 
4) Determine o intervalo onde a f(x) é positiva. Observe no gráfico ou faça uma tabela com 
valores dos pontos cartesianos. 
 
A f(x) é positiva no intervalo para f(x) > 0, V = {x ∈ ℝ|x < 1 ou x > 3} 
 
5) Determine o intervalo onde a f(x) é negativa. Observe no gráfico ou faça uma tabela com 
valores dos pontos cartesianos. 
        








x
y
 
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21 
 
A f(x) é negativa no intervalo para 𝑓(𝑥) < 0, 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 < 3} 
 
6) Determine o intervalo onde a f(x) é crescente e positiva. 
Este intervalo é determinado pela intersecção do intervalo no qual a função é crescente e do 
intervalo no qual a função é positiva. 
 
Portanto, a função é crescente e positiva no intervalo {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3} 
 
7) Determine o intervalo onde a f(x) é crescente e negativa. 
Este intervalo é determinado pela intersecção do intervalo no qual a função é crescente e do 
intervalo no qual a função é negativa. 
 
A função é crescente e negativo no intervalo ]1, 3[. 
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
ATIVIDADES 
 
1) Classifique a relações dadas como para funções ou não funções. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
2) Para a função dada no gráfico, determine a raiz e o intervalo para 𝑓(𝑥) crescente. 
 
 
3) Para a função dada no gráfico, determine o intervalo para 𝑓(𝑥) < 0 e o intervalo em que a 
função crescente. 
 
 
4) Para a função dada no gráfico, determine o intervalo para intervalo para 𝑓(𝑥) > 0 e o 
x
y
x
y
x
y
     







x
y
      






x
y
 
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23 
intervalo para 𝑓(𝑥) decrescente. 
 
5) Para a função dada no gráfico, determine as raízes e o intervalo no qual a função é 
decrescente. 
 
 
RESPOSTAS 
1a) Função b) Não função c) Não função 
2) A raiz da função é x = 1. A função é crescente no intervalor [−1, 5[. 
3) A 𝑓(𝑥) é < 0 no intervalo [−1, 0[. A f(x)é crescente no intervalo [−1, 3[. 
4) 𝑓(𝑥) > 0 no intervalo ]−1, 3[ e 𝑓(𝑥) decrescente no intervalo ]1, +∞[. 
5) Raízes S = {1, 3}. A função é decrescente no intervalo ]−2, 3[. 
___________________________________________________________________________ 
 
3.4 FUNÇÃO CONSTANTE 
 
A função f, definida no conjunto dos Reais, tal que para todo e qualquer x se tem 
associado um, e somente um, número Real constante c, ou seja, para ∀x ∈ ℝ com f(x) = c 
temos que y = c, é denominada como função constante. 
      






x
y
      






x
y
 
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24 
Como exemplo temos a função w(x) = 3 onde, pela regra de relação, verifica-se que 
para x = −4, w(−4) = 3; x = 0, w(0) = 3; x = 2, w(2) = 3, logo para qualquer valor de x 
temos que y = 3. 
 
Exemplos: 
1) Analisando as características da função exemplo 𝑤(𝑥) = 3 para 𝐷 = ℝ, temos: 
 
 
 
a) Para qualquer valor de x temos que y = 3, logo Im = {3} 
b) Raízes: como não se tem um ponto no qual w(x) = 0, temos que o conjunto solução, ou 
conjunto verdade é vazio, V = ∅; 
c) Intervalo no qual a função é crescente: para qualquer intervalo de x, w(x) não tem variação 
crescente, então não existe intervalo onde a função seja crescente, logo o conjunto verdade é 
vazio, V = ∅; 
d) Intervalo no qual a função é decrescente: para qualquer intervalo de x, w(x) não tem 
variação decrescente, então não existe intervalo onde a função seja decrescente, logo o 
conjunto verdade é vazio, V = ∅; 
e) w(x) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva: para qualquer valor de x temos y = 3, 
logo w(x) > 0 , ou seja, o conjunto verdade é o domínio da função, V = ℝ. 
f) w(x) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa: para qualquer valor de x temos y = 3, 
logo w(x) < 0, ou seja, o conjunto verdade é vazio, V = ∅. 
 
2) Analisando as características da função exemplo 𝑡(𝑥) == 1 para 𝐷 = ℝ, temos: 
        




x
y
 
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25 
 
 
a) Para qualquer valor de x temos que y = −1, logo Im = {−1} 
b) Raízes: como não se tem um ponto no qual t(x) = 0, temos que o conjunto solução, ou 
conjunto verdade é vazio, V = ∅; 
c) Intervalo no qual a função é crescente: para qualquer intervalo de x, t(x) não tem variação 
crescente, então não existe intervalo onde a função seja crescente, logo o conjunto verdade é 
vazio, V = ∅; 
d) Intervalo no qual a função é crescente: para qualquer intervalo de x, t(x) não tem variação 
decrescente, então não existe intervalo onde a função seja decrescente, logo o conjunto 
verdade é vazio, V = ∅; 
e) t(x) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva; para qualquer valor de x temos y = −1, 
logo t(x) < 0 , ou seja, o conjunto verdade é vazio, V = ∅; 
f) t(x) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa; para qualquer valor de x temos 
y = −1, logo t(x) < 0 , ou seja, o conjunto verdade é o domínio da função, V = ℝ. 
 
3.5 FUNÇÃO DE 1° GRAU 
 
As funções na forma f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ⋯ + a2x
2 + a1x + a0 são 
denominadas funções polinomiais de grau n. 
Para n = 1, temos f: ℝ → ℝ, com f(x) = a1x + a0 é denominada como função 
polinomial do 1º grau. 
Dentre as funções de 1º grau temos algumas com características próprias. Este é o 
objeto de estudo a seguir. 
 
3.5.1 Função identidade 
A função polinomial de 1° grau 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0, para 𝑎1 = 1 𝑒 𝑎0 = 0 é denominada 
como função identidade. 
        




x
y
 
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26 
A função identidade f de ℝ em ℝ, tal que para todo e qualquer x se tem associado o 
próprio x, ou seja, para ∀x ∈ ℝ com f(x) = x temos y = x, representando graficamente a 
função, f(x) = x, verifica-se que x = −2, f(−2) = −2; x = 0, f(0) = 0; x = 2, f(2) = 2, 
logo para qualquer valor de x temos que y = x. 
 
Exemplo: 
1) Analisando as características da função f(x) = x para D = ℝ (Domínio nos Reais): 
 
 
a) Para qualquer valor de x temos que y = x, logo Im = D, ou seja, Im = ℝ. 
b) Raízes: para as raízes determinadas quando f(x) = 0 e para f(x) = x ⇒ 𝐱 = 𝟎, logo temos 
que o conjunto solução, ou conjunto verdade é V = {0}. 
c) Intervalo no qual a função é crescente: pela definição, se f(x1) < f(x2) no intervalo 
[x1, x2], com x1, x2 ∈ D e x1 < x2, temos que a função é crescente no intervalo [x1, x2]. Como 
a função é crescente em todo o Domínio, o conjunto solução, ou conjunto verdade é V = ℝ. 
d) Intervalo no qual a função é decrescente: pela definição, se f(x1) > f(x2) no intervalo 
[x1, x2], com x1, x2 ∈ D e x1 < x2, temos que a função é decrescente no intervalo [x1, x2]. 
Como a função não diminui em nenhum intervalo, o conjunto verdade é vazio, V=∅. 
e) Intervalo no qual a função é positiva: é determinado pela solução da inequação f(x) > 0, 
para f(x) = x ⇒ 𝐱 > 0 logo, o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x > 0}. 
f) Intervalo no qual a função é negativa: é determinado pela solução da inequação f(x) < 0, 
para f(x) = x ⇒ 𝐱 < 0 logo, o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x < 0}. 
 
3.5.2 Função linear 
     





x
y
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
27 
A função polinomial de 1° grau f(x) = a1x + a0, para a1 ≠ 0 e a0 = 0 é denominada 
como função. Portanto, f(x) = ax. Uma função linear corta o plano cartesiano na origem, isto 
é, no ponto (0, 0). 
Exemplos: 
1) a > 0 
 
a) D = ℝ 
b) Im = ℝ 
c) Raiz: S = {0} 
c) A função é crescente para todo x ∈ ℝ. 
d) A função é positiva no intervalo ]0, +∞[. 
e) A função é negativa no intervalo ]−∞, 0[. 
 
2) a < 0 
 
a) D = ℝ 
b) Im = ℝ 
c) Raiz: S = {0} 
c) A função é decrescente para todo x ∈ ℝ. 
d) A função é positiva no intervalo ]−∞, 0[ 
e) A função é negativa no intervalo ]0, +∞[. 
 
 
 
 
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28 
3.5.3Função afim 
A função polinomial de 1° grau f(x) = a1x + a0, para a1 ≠ 0 e a0 ≠ 0 é denominada 
como função afim. 
Por convenção adotamos a1 = a e a0 = b, então f(x) = ax + b. Denomina-se 𝐚 como 
coeficiente angular da função e 𝐛 como coeficiente linear da função. Portanto: 
Seja P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) dois pontos da função f(x) = ax + b temos que: 
y1 = ax1 + b 
y2 = ax2 + b 
Subtraindo membro a membro temos que: 
 
y2 − y1 = (ax2 + b) − (ax1 + b) 
y2 − y1 = ax2 + b − ax1 − b 
y2 − y1 = ax2 − ax1 
y2 − y1 = a(x2 − x1) 
y2−y1
x2−x1
= a 
 
Desse modo para 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑥2 − 𝑥1 > 0, se: 
 
a) y1 < y2 ⇒ y2 − y1 > 0 então 
y2−y1
x2−x1
> 0 ⇒ a > 0 para a função crescente. 
b) y1 > y2 ⇒ y2 − y1 < 0 então 
y2−y1
x2−x1
< 0 ⇒ a < 0 para a função decrescente. 
 
Graficamente a função de 1º grau em ℝ é representada por uma reta que intercepta o 
eixo da ordenadas no ponto y = b, ou seja, para x = 0, 
f(0) = a. 0 + b 
f(0) = b 
y = b 
 
Para f(x) de ℝ em ℝ, ou seja, com D = ℝ tem-se como Imagem o conjunto dos 
números Reais, Im = ℝ, de modo que qualquer número Real x, no eixo das abscissas, tem 
um número Real y, correspondente no eixo das ordenadas.Profª Tania Elisa Seibert 
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29 
Exemplos 
1) Dada a função c(x) = 2x + 1, analisa-se: 
a) O gráfico da função: 
 
b) Para qualquer valor de x temos um y correspondente tal que y = 2x + 1, logo Im = D, ou 
seja, Im = ℝ. 
 
c) Para as raízes determinadas quando c(x) = 0, com c(x) = 2x + 1 
2x + 1 = 0 
2x = −1 
𝐱 = −
𝟏
𝟐
 
Logo, temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é V = {−
1
2
}. Observe no 
gráfico o ponto onde a reta intercepta o eixo do x. 
 
d) Intervalo no qual a função é crescente: pela definição, se c(x1) < c(x2) no intervalo 
[x1, x2], com x1, x2 ∈ D e x1 < x2, temos que a função é crescente no intervalo [x1, x2]. Para 
a = 2, a > 0, logo a função é crescente em todo o Domínio, então o conjunto solução, ou 
conjunto verdade é o Domínio, V = ℝ. 
 
e) Intervalo no qual a função é decrescente: pela definição, se c(x1) > c(x2) no intervalo 
(x1, x2), com x1, x2 ∈ D e x1 < x2, temos que a função é decrescente no intervalo (x1, x2). 
Como a função é crescente em todo o Domínio, então o conjunto verdade é vazio, V=∅. 
 
f) c(x) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela solução da 
inequação c(x) > 0, com c(x) = 2x + 1 
 
     






x
y
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
30 
2x + 1 > 0 
2x > −1 
𝐱 > −
𝟏
𝟐
 
Logo, o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x > −
1
2
} 
 
g) c(x) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela solução da 
inequação c(x) < 0, para c(x) = 2x + 1 
2x + 1 < 0 
2x < −1 
𝐱 < −
𝟏
𝟐
 
Logo, o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x < −
1
2
} 
 
1) Dada a função d(x) = −2x + 3, analisa-se: 
a) O gráfico da função: 
 
 
b) Para qualquer valor de x temos um y correspondente tal que y = −2x + 3, logo Im = D, ou 
seja, Im = ℝ. 
 
c) Para as raízes determinadas quando d(x) = 0, para d(x) = −2x + 3 
−2x + 3 = 0 
3 = 2x 
𝟑
𝟐
= 𝐱 
        








x
y
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
31 
Logo, temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é 𝑉 = {−
1
2
}. Observe no gráfico o 
ponto onde a reta intercepta o eixo do x. 
 
d) Intervalo no qual a função é decrescente: pela definição, se d(x1) > d(x2) no intervalo 
(x1, x2), com x1, x2 ∈ D e x1 < x2, temos que a função é decrescente no intervalo (x1, x2). 
Para a = −2, a < 0, logo a função é decrescente em todo o Domínio, então o conjunto 
solução, ou conjunto verdade é o Domínio, V = ℝ. 
 
e) Intervalo no qual a função é crescente: pela definição, se d(x1) < d(x2) aumenta no 
intervalo (x1, x2), com x1, x2 ∈ D e x1 < x2, temos que a função é crescente no intervalo 
(x1, x2). Como a função é decrescente em todo o Domínio, o conjunto verdade é vazio, V=∅. 
 
f) d(x) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela solução da 
inequação d(x) > 0, com d(x) = −2x + 3 
−2x + 3 > 0 
3 > 2x 
3
2
> x 
𝐱 <
𝟑
𝟐
 
Logo, o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x <
3
2
}. 
 
g) d(x) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela solução da 
inequação d(x) < 0, com d(x) = −2x + 3 
−2x + 3 < 0 
3 < 2x 
3
2
< x 
𝐱 >
𝟑
𝟐
 
Logo, o conjunto verdade é V = {x ∈ ℝ|x < −
1
2
}. 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
32 
Observações: 
a) Quando temos uma função afim, o seu gráfico é sempre uma reta não perpendicular ao eixo 
x, e que não passa pela origem. Já o gráfico da função linear, também é sempre uma reta não 
perpendicular ao eixo x, porém passa pela origem do plano cartesiano. 
b) O coeficiente de x (a) é chamado de coeficiente angular e está ligado à inclinação da reta 
em relação ao eixo Ox. 
c) O termo constante (b) é chamado de coeficiente linear. Para x = 0, temos y = a . 0 + b = b. 
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Ou. 
d) Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado 
por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência 
y = f(x), de modo que, efetuados os cálculos, resulte um y real. 
e) Uma relação matemática entre duas grandezas x e y é uma função quando para cada valor 
atribuído a x existe, em correspondência, um único valor de y. Dizemos que y é uma função 
de x e escrevemos y = f(x). 
 
_________________________________________________________________________________________ 
ATIVIDADES (Tente resolvê-las antes de consultar as respostas). 
 
1) A tabela abaixo relaciona duas grandezas variáveis: a medida do comprimento do lado de 
um pentágono regular (l) e o seu perímetro (P). Lembre-se que um pentágono regular tem 
cinco lados de mesma medida. 
a) Complete-a: 
Lado (cm) 0 0,5 1 1,6 3,5 4,8 6 10 
Perímetro (cm) 
 
b) Observe os dados da tabela, descubra qual é o padrão e escreva a fórmula que dá o 
perímetro (P) em função da medida do lado (l). 
c) Se l = 11,75 cm, qual é o valor de P? 
d) Se P(l) = 21,3 cm, determine o valor de l. 
 
2) O estoque de minério de ferro de uma usina é hoje de 4 000 toneladas. A previsão é que 
sejam utilizadas 500 dessas toneladas mensalmente na fabricação de lingotes de aço. 
Supondo que não haja reposição de estoque, complete a tabela seguinte e depois responda: 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
33 
Meses 0 1 2 3 4 
Estoque (t) 4 000 
 
a) Determine uma sentença matemática relacionando o estoque (E) ao número de meses (n). 
b) Quantos meses serão necessários para terminar o estoque da usina? 
 
3) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 36,00 mais um custo 
variável de R$ 0,90 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total y de x peças. 
b) a lei de formação corresponde à de uma função afim? Justifique 
c) calcule o custo de 100 peças. 
d) qual é o número máximo de peças que podem ser fabricadas com R$ 195,20? 
 
4) Observe o gráfico e responda: 
 
a) qual a lei de formação da função? 
b) a lei de formação e o gráfico correspondem a de uma função afim? 
c) essa função é crescente ou decrescente? 
d) qual o domínio dessa função? 
e) e a sua imagem? 
f) qual o valor do seu coeficiente angular? 
g) e do coeficiente linear? 
 
5) A fórmula C = 2

r permite-nos calcular o comprimento C de uma circunferência, em 
função da medida r do raio. A medida r pode ser dada em função de C. 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
34 
a) neste caso, qual é a variável dependente e qual a variável independe? 
b) como ficaria a lei de formação dessa função? 
c) qual seu domínio e sua imagem? 
d) essa função é crescente ou decrescente? 
e) qual o seu coeficiente angular? E linear? 
 
6) Observe o gráfico e responda: 
 
a) qual a lei de formação da função? 
b) essa função é crescente ou decrescente? 
c) qual o domínio e a imagem? 
d) qual o valor doseu coeficiente angular? 
e) qual o valor do coeficiente linear? 
 
7) Os valores de um conjunto x estão ligados aos valores de um conjunto y por uma função 
com a seguinte operação: 
x 1
y
4


. Calcule: 
a) o valor de y correspondente a x = 0. 
b) o valor de y correspondente a x = -5. 
c) o valor de x correspondente a y = 0 
d) f(8) 
e) f(-9) 
 
8) Marcelo é vendedor em uma empresa. Seu salário mensal é a soma de duas parcelas. Uma 
parcela é fixa e igual a R$ 500,00 e a outra é variável, dependendo das vendas que realizar, 
calculada sobre 10% do total vendido. 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
35 
a) Complete a tabela: 
Total de vendas (R$) Salário mensal (R$) 
1 000,00 
2 000,00 
4 000,00 
10 000,00 
... 
x 
 
b) Determine a sentença matemática que relaciona o total de vendas (T) ao salário mensal (S). 
c) O salário mensal pode ser expresso por qualquer número real ou há restrições? Quais? 
 
9) Um automóvel parte de uma cidade A, situada no quilômetro 120 de uma estrada, em 
direção à cidade B, situada no quilômetro 520. A velocidade do automóvel pode ser 
considerada aproximadamente constante e igual a 80 km/h durante todo o trajeto. 
a) Complete a tabela seguinte com a posição do automóvel depois de decorrido alguns 
intervalos de tempo. 
Tempo (h) 0 1/4 ½ 1 2 2,5 
Posição(km) 
b) Determine a sentença matemática que relaciona a posição P ao tempo t. 
c) Quanto tempo será necessário para que o automóvel faça todo percurso entre A e B? 
d) É correto dizer que o domínio da função é o conjunto dos números reais? Justifique. 
 
10) (ENEM) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. 
Três portões foram abertos às 12 horas e até às 15 horas entrou um número constante de 
pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de 
pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função 
do horário de entrada estão contidos no gráfico a seguir: 
 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
36 
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e: 
___________________________________________________________________________ 
 
RESPOSTAS 
1) a) 
Lado 
(cm) 
0 0,5 1 1,6 3,5 3,8 6 10 
Perímetro 
(cm) 
0 2,5 5 8 17,5 19 30 50 
 
b) P(l) = 5l (O perímetro de um pentágono regular é a soma das medidas dos seus cinco 
lados. Como todos tem a mesma medida, podemos determinar o perímetro multiplicando o 
valor do lado por 5). 
c) Como temos a lei de formação P(l) = 5l, vamos utilizá-la para responder esta questão. 
P(l) = 5l 
P(11,75) = 5 . 11,75 
P = 58,75 cm 
d) Se P(l) = 21,3 cm, determine o valor de l. 
P(l) = 5l 
21,3 = 5l 
21,3
5
= l 
l = 4,26 cm 
 
2) 
x meses (n) 0 1 2 3 4 
y estoque (E) 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 
 
a) Determine uma sentença matemática relacionando o estoque (E) ao número de meses (n). 
Quando x = 0, temos que y = 4 000. Logo o gráfico não passa pela origem. Portanto, estamos 
trabalhando com uma função afim, cuja lei de formação geral é f(x) = ax + b. 
Temos que determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. 
Para determinar o coeficiente angular podemos proceder de diferentes formas: 
1ª) Escolher dois pontos quaisquer na tabela. Por exemplo, P1 (1, 3500) e P2 (3, 2500). 
Temos que a lei de formação geral é f(x) = ax + b ou y = ax + b 
Substituindo P1 (1, 3500) em y = ax + b, temos: 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
37 
3500 = a.1 + b (I) 
Substituindo P2 (3, 2500) em y = ax + b, temos: 
2500 = a.3 + b (II) 
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II, temos: 
{
a + b = 3500
3a + b = 2 500
 
Isolando b na equação I, temos: 
b = 3500 – a 
Isolando b na equação II, temos: 
b = 2500 – 3a 
Utilizando comparação temos: 
3500 – a = 2500 – 3a 
3500 – 2500 = -3a + a 
1000 = -2 a 
a = - 500 (Observe que a < 0, portanto a função é decrescente. A também é a taxa de variação 
da função, pois a cada mês que passa são consumidos 500 kg de minério). 
Agora vamos substituir o valor encontrado para a, em uma das equações anteriores para 
determinar o valor de b (coeficiente linear). 
b = 3500 – (500) 
b = 4000 (b corresponde ao estoque inicial da indústria, ou seja quando x = 0, y = 4000). 
Logo: 
E(n) = -500n + 4000 
 
2ª) Lembrar que o coeficiente angular pode ser determinado por: 
a =
y2−y1
x2− x1
 
Substituindo os valores de P1 (1, 3500) e P2 (3, 2500) na fórmula, temos: 
a =
2500 −3500
3−1
 
a =
 −1000
2
 
a = −500 
Conhecendo a, um ponto qualquer e a lei de formação geral, pode-se determinar o valor de b. 
a = - 500; P1 (1, 3500); y = ax + b 
y = ax + b (Substituindo: a, x e y) 
3500 = (-500) . 1 + b 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
38 
3500 + 500 = b 
b = 4000 
E(n) = -500n + 4000 
3ª) Podemos também analisar e compreender as informações dadas do problema, e encontrar 
a solução ou parte dela por compreensão: 
Sabendo que o coeficiente linear é o ponto onde o gráfico da reta corta o eixo y (0, y), ao 
observarmos a tabela podemos identificar o valor de b, pois o problema nos diz que o estoque 
inicial é de 4000. Logo b = 4000. 
Também o problema informa que a cada mês a indústria consome 500 toneladas do estoque. 
Isto é, o estoque diminui 500 kg a cada mês. Então a variação do estoque é de 500 t, por isso, 
a = -500. Logo a lei de formação é: E(n) = -500n + 4000. 
 
b) Quantos meses serão necessários para terminar o estoque da usina? 
Quando o estoque terminar temos E(n) = 0. Substituindo na lei de formação: 
E(n) = -500n + 4000 
0 = -500n + 4000 
- 4000 = - 500n 
−4000
−500
= n 
n = 8 meses 
 
3) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 36,00 mais um custo 
variável de R$ 0,90 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total y de x peças. 
x y 
0 36 
1 36 + 1 . 0,90 
2 36 + 2 . 0,90 
3 36 + 3 . 0,90 
... 
x 36 + x . 0,90 
 
b) a lei de formação corresponde à de uma função afim? Justifique. 
Sim, pois o maior expoente da incógnita é 1 e a ≠ 0 e b ≠ 0. 
 
f(x) = 0,90x + 36 ou y = 0,90x + 36 
 
 
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39 
c) calcule o custo de 100 peças. (Lembre-se que o custo está representado por y ou f(x) no 
problema). 
f(x) = 0,90x + 36 
f(100) = 0,90 . 100 + 36 
f(100) = 90 + 36 
f(100) = 126 
 
d) qual é o número máximo de peças que podem ser fabricadas com R$ 195,20? 
f(x) = 0,90x + 36 
195,20 = 0,90x + 36 
195,20 – 36 = 0,90x 
159,20 = 0,90x 
159,20
0,90
= x 
x = 176,888... Cuidado: o nº de peças é uma grandeza discreta (inteiros). Portanto, a 
indústria não pode fabricar número “quebrado” de peças. Como o problema pede o número 
máximo não podemos arredondar para “mais”, portanto a resposta correta é 176 peças. 
 
4) Observe o gráfico e responda: 
 
a) qual a lei de formação da função? 
Temos que identificar pontos no gráfico. Iniciamos pelo ponto no qual x = 0, pois o valor de y 
neste ponto corresponde ao coeficientelinear: (0, -1). Portanto, b = -1. 
Agora vamos identificar mais um ponto: (1, 1). 
A lei de formação geral é: y = ax + b. Vamos substituir os valores: 
y = ax + b 
1 = a . 1 + (-1) 
1 + 1 = a 
a = 2 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
40 
y = ax + b 
y = 2a - 1 
b) a lei de formação e o gráfico correspondem a de uma função afim? 
Sim. Na lei o maior expoente de x é 1 e e a ≠ 0 e b ≠ 0. 
c) essa função é crescente ou decrescente? 
Como a = 2, então a > 0. Se a > 0, então a função é crescente. 
d) qual o domínio dessa função? D = ℝ 
e) e a sua imagem? Im = ℝ 
f) qual o valor do seu coeficiente angular? a = 2 
g) e do coeficiente linear? b = -1 
 
5) A fórmula C = 2

r permite-nos calcular o comprimento C de uma circunferência, em 
função da medida r do raio. A medida r pode ser dada em função de C. 
a) neste caso, qual é a variável dependente e qual a variável independe? 
A variável independente é r (raio) e a dependente é C (comprimento da circunferência). 
b) como ficaria a lei de formação dessa função? 
C(r) = 2

r 
c) qual seu domínio e sua imagem? 
D = [0, +∞[ (não existe raio negativo) 
d) essa função é crescente ou decrescente? 
Im = [0, +∞[ 
e) qual o seu coeficiente angular? E linear? 
a = 2

 e b = 0 (não temos um termo independente, por isso b = 0). A função é linear. 
 
6) Observe o gráfico e responda: 
 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
41 
a) qual a lei de formação da função? 
Como o gráfico corta o plano na origem e é uma reta, temos uma função linear, pois b = 0 
A lei de formação é, portanto: f(x) = ax 
Ponto do gráfico: (-1, -2) 
 
f(x) = ax 
-2 = a(-1) 
a = 2 
f(x) = 2x 
b) essa função é crescente ou decrescente? 
a > 0, logo a função é crescente. 
c) qual o domínio e a imagem? 
D = ℝ e Im = ℝ 
d) qual o valor do seu coeficiente angular? 
a = 2 
e) e do coeficiente linear? 
b = 0 
 
7) Os valores de um conjunto x estão ligados aos valores de um conjunto y por uma função 
com a seguinte operação: 𝑦 =
𝑥+1
4
. Calcule: 
a) o valor de y correspondente a x = 0. 
𝑦 =
𝑥+1
4
 
𝑦 =
0+1
4
 
𝑦 =
1
4
 
b) o valor de y correspondente a x = -5. 
𝑦 =
𝑥+1
4
 
𝑦 =
−5+1
4
 
𝑦 =
−4
4
 
𝑦 = −1 
 
 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
42 
c) o valor de x correspondente a y = 0 
𝑦 =
𝑥+1
4
 
0 =
𝑥+1
4
 
0 . 4 = x + 1 
0 = x + 1 
-1 = x 
 
d) f(8) 
y =
x+1
4
 (Reescrevendo. Lembre-se que y = f(x)) 
f(x) =
𝐱+1
4
 
f(8) =
8+1
4
 
f(8) =
9
4
 
 
e) f(-9) 
y =
x+1
4
 (Reescrevendo. Lembre-se que y = f(x)) 
f(x) =
𝐱+1
4
 
f(−9) =
−9+1
4
 
f(8) =
−8
4
 
f(8) = −2 
 
8) Marcelo é vendedor em uma empresa. Seu salário mensal é a soma de duas parcelas. Uma 
parcela é fixa e igual a R$ 500,00 e a outra é variável, dependendo das vendas que realizar, 
calculada sobre 10% do total vendido. 
a) Complete a tabela: 
Total de vendas (R$) Salário mensal (R$) 
0 500 
1 000,00 500 + 10% 1000 
2 000,00 500 + 10% 2000 
4 000,00 500 + 10% 4000 
10 000,00 500 + 10% 10000 
... 
x 500 + 10% x 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
43 
b) Determine uma sentença matemática relacionando o total de vendas (T) ao salário mensal 
(S). 
Cuidado! Não podemos fazer cálculos utilizando o símbolo de %. Lembre-se que 10% = 
10
100
. 
Logo: 10% = 0,1 
Portanto, a sentença matemática é: T(S) = 0,1x + 500 
c) O salário mensal pode ser expresso por qualquer número real ou há restrições? Quais? 
Não pode ser expresso por qualquer número já que o menor salário do funcionário é 500. O 
salário só pode ser expresso no intervalo [500, +∞[. 
 
9) Um automóvel parte de uma cidade A, situada no quilômetro 120 de uma estrada, em 
direção à cidade B, situada no quilômetro 520. A velocidade do automóvel pode ser 
considerada aproximadamente constante e igual a 80 km/h durante todo o trajeto. 
a) Complete a tabela seguinte com a posição do automóvel depois de decorrido alguns 
intervalos de tempo. 
Tempo (h) 0 1/4 ½ 1 2 2,5 
Posição(km) 120 140 160 200 280 320 
b) Determine a sentença matemática que relaciona a posição P ao tempo t. 
P(t) = 80t + 120 
c) Quanto tempo será necessário para que o automóvel faça todo percurso entre A e B? 
P(t) = 80t + 120 
520 = 80t + 120 
520 – 120 = 80t 
400 = 80t 
400
80
= 𝑡 
t= 5h 
d) É correto dizer que o domínio da função é o conjunto dos números reais? Justifique. 
Não, pois existem restrições, como por exemplo, tempo negativo. 
 
10) (ENEM) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. 
Três portões foram abertos às 12 horas e até às 15 horas entrou um número constante de 
pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de 
pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 3 
44 
do horário de entrada estão contidos no gráfico a seguir. Quando o número de torcedores 
atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e: 
 
Observe que o número de torcedores (45000) está na segunda função do gráfico. Como é uma 
função polinomial de 1º grau, podemos resolver o problema com regra de três. 
Horário (em horas – intervalo) Nº de torcedores (que ingressaram no intervalo dado) 
2 (entre 15h e 17h) 60000 
x 15000 
 
60000 . x = 2 . 15000 
x = 
2 .15000
60000
 
x = 
30000
60000
 
x = 0,5h = 30min 
Logo 15h30min 
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REFERÊNCIAS 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. v. 1. São Paulo: Scipione, 
2010. 
 
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. v.1. Curitiba: Base, 2003.