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Capítulo 9:
Choppers DC
Profa. Dr. – Ing. Vera Lúcia D. S. Franco
Engenharia Mecatrônica
O Conversor de DC para DC
-A principal função deste conversor obter uma tensão DC variável a partir de uma
fonte de tensão DC constante.
-O valor médio da tensão de saída varia quando se altera a proporção do tempo no
qual a saída fica ligada à entrada. Essa conversão pode ser obtida pela combinação
de um indutor e?ou um capacitor e um semicondutor que opere no modo de
chaveamento.
-O que vai definir o tipo de semicondutor é o valor da corrente e tensão a ser
chaveada.
-Altas tensões e correntes utiliza-se tiristores (SCR, GTO etc..)
-Baixas e médias potências utiliza-se transistores (IGBT, BJT, MOSFET etc.)
-Lembrando que os SCRs quando utilizados em circuitos DC devem passar por uma 
comutação forçada uma vez que não tem a facilidade da comutação natural, como 
ocorre nos circuitos AC.
-A técnica de chaveamento utilizada em chopper DC é a denominada de PWM 
(pulse width modulation)
- Há dois tipos fundamentais de circuitos de chopper:
-Step-down ou buck;
-Step-up ou boost;
-Step-down ou buck é aquele que produz na sua saída uma tensão menor ou igual o
sinal de entrada.
- Step-up ou boost é o conversor que produz na sua saída uma tensão igual ou
maior que o sinal de entrada.
- Ambos são usadas em várias aplicações industriais nas quais há uma fonte DC
constante. As aplicações mais comuns incluem controle de motores DC para tração
elétrica, fontes UPS (uninterruptible power suplies) e equipamentos alimentados
por bateria.
Chopper DC básico
Princípio dos choppers DC básicos
-O princípio fundamental de um chopper básico é mostrado na figura abaixo:
-Um semicondutor é ligado em série com a fonte de tensão DC (Vi ) e a carga. O 
semicondutor funcionando como chave S, pode ser um tiristor (SCR, GTO etc..) 
ou um transistor (IGBT, MOSFET, etc...), neste caso deve-se considerar que os 
semicondutores são chaves ideais: 
-1. resistência zero (queda de tensão nula) quando ligadas;
-2. resistência infinita (corrente de fuga nula) quando desligadas;
-3. podem chavear instantaneamente a partir de cada um dos dois estados.
Em condições ideais, a perda de potência no chopper é zero. Portanto a potência 
de saída é igual à potência de entrada:
V0I0 = ViIi
Onde:
V0 - tensão média de saída;
Vi – tensão de entrada;
I0 - corrente média na saída;
Ii – corrente média na entrada.
Supondo que a tensão de saída seja ajustável em uma certa faixa, de 0 V até o 
valor máximo Vi. A chave funciona da seguinte maneira: quando está ligada 
(fechada) é por um tempo TON e desligada (aberta) TOFF em cada ciclo de um 
período pré-determinado.
A forma de onda resultante da tensão de saída, mostrada na figura abaixo é um trem
de pulsos retangulares de duração TON .
A tensão DC na saída em um ciclo é dada por:
Sendo: T o período (TON + TOFF ) e a frequência de chaveamento do chopper é f =
1/T. Se utilizarmos a idéia do ciclo de trabalho (d), que é a relação entre a largura do
pulso TON e o período da forma de onda, d = TON /T
i
ON
i
OFFON
ON V
T
T
V
TT
T
V 

0
V0 = dVi - esta equação mostra que a tensão de saída varia de modo linear, com o
ciclo de trabalho. A figura abaixo mostra a tensão de saída a medida varia o ciclo de
trabalho d, que é de zero a um. É portanto, possível controlar a tensão de saída na
faixa de zero a Vi.
Se a chave S for um transistor, a corrente de base controlará os períodos ligado e
desligado da chave do transistor. Se a chave for um GTO, um pulso positivo na
porta o passará para o estado ligado, enquanto um pulso negativo o levará ao
estado desligado. A forma de onda é similar a forma de onda já apresentada.
A forma corrente média é dada por:
O valor eficaz (RMS) da tensão de saída é:
A tensão média de saída pode ser variada por uma das seguintes maneiras:
1- Modulação por largura de pulso (PWM – pulse width modulation).
Nesse método, a largura de pulso TON varia enquanto o período de chaveamento
total T é constante.
A figura a seguir mostra como as formas de onda de saída variam à medida que o
ciclo de trabalho aumenta.
R
dV
R
V
I i 00
dV
T
T
V
T
TV
V i
ON
i
ONi
RMS 
2
)(0
Formas de onda da tensão de saída com frequência de chaveamento fixa
Formas de onda da tensão de saída com frequências de chaveamento variável
1- Modulação por frequência de pulso– pulse frequency modulation).
Nesse método, TON é mantido constante enquanto o período (frequência). A figura
abaixo mostra que a tensão de saída reduz-se à medida que a frequência diminui e é
alta nas frequências mais altas.
Tanto para o controle por PWM como por FFM, a tensão de saída é nula quando a
chave S estiver aberta e é igual a tensão de entrada quando a chave estiver fechada.
No método PFM é necessário reduzir a frequência de chaveamento do chopper para
obter uma tensão de saída mais baixa. Isso pode resultar em uma descontinuidade
nas baixas frequências. Além disso a redução na frequência aumenta a ondulação
da corrente na saída e, em conseqüência disso, as perdas e o calor na carga
aumentam. Por outro lado as perdas aumentam nas frequências mais elevadas.
O PWM tem a vantagem da baixa ondulação, o que significa componentes
menores para os filtros.
-Choppers Step-down (buck)
Um circuito muito mais prático do que o apresentado anteriormente, que serve
apenas para alimentar cargas resistivas, é o circuito mostrado a seguir: no arranjo
inclui um indutor L e um diodo D acrescentados para eliminar a pulsação de
corrente. Este circuito fornece uma corrente DC linear para cargas práticas, como
um motor DC.
-Quando a chave S for fechada, o diodo ficará desligado, uma vez que está
inversamente polarizado, o mesmo fica desligando enquanto S permanece ligada. A
corrente na entrada cresce de maneira exponencial e flui através do indutor L e da
carga. A tensão de saída é igual a Vi . A chave S é mantida ligada por um tempo TON
e depois passa para o estado desligado.
-Quando a chave é aberta, a corrente no indutor começa a cair até se anular. Isso
provoca no indutor, uma tensão induzida de polaridade oposta. A tensão no indutor
polariza o diodo diretamente e a corrente agora fluindo no indutor , atua como
retorno através do diodo D e da carga. A tensão é nula e a corrente cai a zero durante
o tempo em que S permanece desligada, isto é, durante o período do TOFF .
-A energia armazenada em L é entregue à carga. Esse arranjo de circuito permite o
uso de um filtro simples, como a indutância L, para propiciar uma corrente DC
linear satisfatória na carga, para várias aplicações.
-Quando a frequência de chaveamento for alta, uma indutância relativamente
pequena será suficiente para reduzir a ondulação a um grau aceitável.
a) Circuito básico do Chopper step-down; b) circuito equivalente para a chave 
ligada; c) circuito equivalente para a chave desligada
Formas de onda de tensão e de corrente para TON ≈ TOFF e T << τ: a) tensão de 
saída; b) corrente no FWD; c) fonte de corrente; d) corrente na carga; e) tensão no 
indutor
Modo de corrente contínua
A figura a) mostra a forma de onda da tensão na carga e em D.
-Ela é igual a tensão Vi de entrada quando a chave está fechada e o diodo D
reversamente polarizado.
-No momento em que a chave S é aberta, a tensão de saída mantém-se em zero
pela ação do diodo de retorno D, que fornece um caminho para a corrente na carga.
Como a tensão média no indutor L é desprezível quando não há componente
resistiva, a tensão de saída deve ser a tensão média no diodo.
-A figura b) mostra a corrente no diodo D, é a mesma da carga (d) durante TOFF .
Em TON,a corrente de saída i0 é a mesma da entrada ii . Quando a chave for aberta
for aberta (TOFF ) a corrente cairá na carga cairá de seu valor máximo Imax a um
valor final Imin. Durante esse intervalo, ela fluirá pelo indutor, pela carga e pelo
diodo de retorno. Quando tiver caído a um valor valor Imin, ocorrerá o fechamento
da chave. A corrente no diodo, para de fluir nesse instante, a corrente fornecida pela
fonte agora é Imin . Ela então começa aumentar e, quando alcança o valor Imax,
depois de um tempo TON , provoca abertura da chave. O diodo de retorno fornece
outra vez o caminho para a corrente na carga e o ciclo se repete a corrente portanto
oscila entre Imax e Imin . A ondulação da corrente de saída reduz a medida que a
frequência de chaveamento do chopper aumenta. O valor médio da corrente no
indutor é dado por:
2
minmax IIIL


Agora,
Portanto,
R
V
IIL
0
0 
R
VII 0minmax
2


R
V
II 0minmax 2
A tensão no indutor é:
dt
di
LVVL
0
0 
L
V
dt
di 00 
t
L
V
i  00
Com a chave aberta TOFF
OFFT
L
V
IIi 0minmax0 
Somando as duas equações anteriores *
*
*
 OFFT
L
V
R
V
I 00max 22
OFFT
L
V
R
V
I
2
00
max 
De modo semelhante, Imin é dada por:
OFFT
L
V
R
V
I
2
00
min 
A corrente de ondulação pico a pico é:
A corrente média no diodo é:
L
V
TIII OFFpp
0
minmax 
L
IT
I OFFD
0
Embora a corrente na carga de um chopper seja basicamente constante, na entrada ela
ainda consiste em um trêm de pulsos agudos. Um filtro capacitivo pode ser usado em
paralelo com a fonte de potência de entrada, para manter a linearidade da corrente na
entrada.
Formas de onda de tensão e de corrente para TON ≈ TOFF e T << τ: a) tensão de saída;
b) corrente no FWD; c) fonte de corrente; d) corrente na carga; e) tensão no indutor
As formas de onda de corrente e de tensão no slide anterior pressupõem uma
frequência de chaveamento e uma carga, tal que T<<. Onde  é a constante de
tempo do circuito e depende da relação L/R.
A corrente é linear e a ondulação, bem pequena, por causa da constante de tempo
grande.
A corrente de saída i0 está sempre presente; portanto, esse modo de operação se
chama modo de corrente contínua de operação.
A corrente é contínua porque o indutor absorve energia durante TON e a descarga em
TOFF . Como conseqüência , a tensão média em L cai a zero no estado estacionário e
a tensão na carga resistiva deve ser igual a V0(avg) .
Os valores médios de tensão de saída, de potência de saída e de potência de entrada
são dados por:
V0 = Vid
P0 = V0 I0
Pi = Vi Ii
Como os semicondutores são considerados ideais, a potência DC drenada da fonte
deve ser igual à potência DC absorvida pela carga.
P0 = Pi
V0 I0 = Vi Ii
d
I
dV
I
V
V
I
VI i
i
i
i
i
i 
0
0
Observando as equações acima são semelhantes a de um transformador, no qual o
ciclo de trabalho d corresponde à relação de espiras do transformador. Portanto, um
chopper DC, em circuito DC, consegue o mesmo que o transformador em circuito
AC. Ao mudar o ciclo de trabalho em um chopper step down, pode-se obter tensões
de saída menores ou iguais à tensão de entrada. Mais ainda, a corrente na saída sobe
de nível quando baixamos o nível da tensão.
Modo de corrente não contínua
Para valores de d baixos, em especial com a indutância baixa, a corrente na carga
diminui e pode cair a zero durante a parte do de cada ciclo em que a chave estiver
desligada. Ela, porém crescerá de novo, a partir de zero, quando a chave for ligada,
no ciclo seguinte. Nesse caso diz-se que a corrente na carga é não contínua.
Formas de onda de tensão e de corrente para TON < TOFF e TON ≈ τ.
A figura abaixo mostra as formas de onda da corrente e tensão quando TON é
aproximadamente igual a τ(τ=L/R). A forma de onda da tensão v0 é a mesma da
figura mostrada anteriormente porém a corrente não pode pular para Vi /R por causa
da natureza indutiva da carga L.
A corrente de saída cresce de
modo exponencial até Vi /R. De
maneira semelhante, quando o
transistor estiver desligado, a
mesma corrente, fluindo no
diodo de retorno, cairá a zero.
Como pode-se ver na figura anterior a corrente flui na carga em pulsos e o chopper 
opera no modo não contínuo. /essa é uma operação indesejável e pode ser evitada se 
a frequência apropriada de funcionamento do chopper ou um valor adequado de 
indutância for escolhido. 
O valor mínimo da indutância, necessário para garantir a corrente contínua é obtido 
com adoção de Imin =0
Então:
RTL
L
V
T
R
V
T
L
V
R
V
I OFFOFFOFF  2
2
0
2
0000
min
R
T
L OFF .
2

Portanto com uma indutância maior do que a especificada pela equação acima é
possível evitar o modo descontínuo.
Quando a indutância da carga se tornar idealmente infinita, é possível conseguir
uma corrente sem ondulação.
Exercício 1:
Na figura abaixo a frequência de chaveamento é de 30 Hz e TON = 3ms.
Determinar a fonte de corrente média se o valor médio da corrente de saída for de
40 A.
Da equação: I0 =Ii /d Ii = dI0
Exercício 2: A tensão do circuito anterior Vi =100V, a resistência de carga R=10 e
L = 100mH. A frequência de chaveamento é f=1 kHz e o intervalo de tempo no
estado ligado, de 0,5ms. Determine, se a fonte de corrente média for de 1A.
Exercício 2: A tensão do circuito anterior Vi =100V, a resistência de carga R=10
e L = 100mH. A frequência de chaveamento é f=1 kHz e o intervalo de tempo no
estado ligado, de 0,5ms. Determine, se a fonte de corrente média for de 1A.
a) A tensão média na carga
b) A corrente de saída
c) A potência de saída
d) O valor mínimo necessário de L
a) V0 = dVi
c) P0 = V0I0
d) TOFF = T - TON
T
T
d ON
d
I
I i0
2
RT
L OFF
b)
Exercício3: Um chopper buck DC opera na frequência de 1,2kHz a partir de uma
fonte DC de 100V e alimenta uma carga resistiva de 10 . A componente indutiva
da carga é de 50 mH. Se a tensão média de saída for de 50 V, determine:
a) O ciclo de trabalho
b) TON
c) O valor da tensão RMS na carga
d) O valor médio da corrente na carga
e) Imax e Imin
f) A potência de entrada
g) A corrente de ondulação pico a pico
iV
V
d 0
a)
b) T=1/f e ainda TON /T
c)
dVV iRMS )(0
d)
R
V
I 00 
e)
OFFT
L
V
R
V
I 00max  OFFT
L
V
R
V
I 00min 
f)
d
II
I avgi
2
)( minmax
)(


Pi = Vi Ii(avg)
g) Ip-p = Imax - Imin
No circuito step-up, a tensão de saída pode variar desde a fonte de tensão de entrada 
até diversas vezes a essa fonte. O circuito básico do chopper step-up é mostrado na 
figura abaixo. Usa-se o indutor L para fornecer uma corrente linear na entrada.
Quando S passar para o estado ligado, o indutor ficará conectado à alimentação. A
tensão no indutor vL pulará no mesmo instante para a Vi , mas a corrente no indutor
ii aumentará de maneira linear e armazena energia no campo magnético. Quando a
chave for aberta a corrente cairá de modo violento e a energia armazenada no
indutor será transferida par ao capacitor, através do diodo D. A tensão induzida vL
no indutor mudará de polaridade e a tensão do indutor se somará com a tensão da
fonte Vi e assim aumentará a tensão de saída.
Circuito equivalente do chopper step-up: a) estado ligado; b) estado desligado
A corrente que estava fluindo por S, fluirá agora através de L, D e C para a carga. 
Portanto, a energia armazenada no indutor será liberada para a carga. Quando S 
for fechada, D se tornará inversamente polarizado, a energia do capacitor fornecerá 
a tensão na cargae o ciclo se repetirá.
A tensão na carga (e no capacitor) é:
v0 = Vi - vL
As formas de onda de tensão e de corrente para d=0,5 são mostradas na figura a
seguir.
A corrente no diodo iD se comporta como segue:
iD = 0 quando a chave é fechada (ligada)
iD = ii quando a chave for aberta (desligada)
Assim a corrente no diodo pulsará como mostrada na figura.
Se a indutância L for muito grande, a fonte de corrente ii não terá ondulação e
poderá ser constante. A energia armazenada no indutor durante o intervalo (TON ),
quando o chopper estiver ligado, será:
WON = Vi Ii TON
Formas de onda de tensão e de corrente (d = 0,5) para um chopper step-up.
De modo semelhante, supondo que a capacitância seja grande o bastante para
desprezar a tensão de saída v0 pode ser considerada constante. Durante o tempo
(TOFF ) em que o chopper estiver desligado, a energia transferida pelo indutor para
a carga será:
WOFF = (V0 – Vi ) Ii TOFF
Uma vez que estamos desprezando as perdas, a energia transferida pela indutância
durante TOFF deve ser igual à energia ganha por ela durante o período TON .
WON = WOFF
Vi IiTON = (VO – Vi )IiTOFF
ou







OFF
ON
i
OFF
ON
ii
T
T
V
T
T
VVV 10
OFF
i
OFF
ONOFF
i
T
T
V
T
TT
V
)(





 

Uma vez que : T = TOFF + TON
TOFF = T - TON





















T
T
V
TT
T
VV
ON
i
ON
i
1
1
0








d
VV i
1
1
0
Se a chave estiver aberta (d=0), a tensão de saída será igual à tensão de entrada. À
medida que d aumentar, a tensão de saída se tornará maior do que a de entrada.
Portanto, a tensão de saída na carga será sempre maior do que a tensão de entrada
se a chave S for operada em uma alta frequência apropriada.
O valor médio da fonte de corrente pode ser obtido por:
Pi = P0 : desprezando as perdas
R
V
IV ii
2
0 RV
V
I
i
i
1
2
0 
O capacitor C, do circuito do chopper step-up reduz a ondulação na tensão de saída e
mantém linear a corrente fornecida à carga. Se o capacitor for grande o suficiente, a
corrente na saída terá uma componente de ondulação desprezível e será igual à
média do tempo da corrente no diodo. Portanto, o valor médio da corrente I0, a partir
da figura acima (formas de onda do chopper step up), é dado por:
T
T
II OFFi0
 dIi  1
As equações: e 








d
VV i
1
1
0
 dII i  10
mostram que o circuito funciona como um transformador elevador DC. À medida
que d (ou TON ) se aproximar de zero, a tensão de saída V0 se iguala a fonte de
tensão Vi . Por outro lado, quando d se aproximar da unidade (ou TON = T), a tensão
de saída irá se aproximar do infinito.
Na prática, a tensão máxima não pode ser infinita, por causa da perda de potência
associada aos componentes não-ideais. Essas restrições de ordem prática limitam a
tensão de saída em cerca de cinco vezes a tensão de entrada.
Determinar as equações para as correntes de entrada máxima e mínima.
A potência de entrada é:
Pi = Vi . Ii
A potência de saída é:
P0 = V0 / R
Desprezando-se as perdas, a potência de saída deve ser igual àquela fornecida
pela fonte:
  Rd
V
R
V
IV iii 2
22
0
1

  Rd
V
I ii 2
1

Agora, considerando: e IL = Ii portanto:
2
minmax IIIL


iI
II


2
minmax
Imax + Imin = 2 Ii * 
A tensão no indutor é:
L
V
dt
di
dt
di
LVV iiiiL 
Com a chave fechada (TON ),
ON
i
i T
L
V
I 
ou
ON
i T
L
V
II  minmax
**
Somando as equações * e **
  ON
ii
ON
i
i
ONi
i T
L
V
Rd
V
T
L
V
II
L
TV
II
212
22
2maxmax



  







L
T
dR
VI ONi
21
1
2max
De maneira semelhante, Imin é dada por:
  







L
T
dR
VI ONi
21
1
2min
A ondulação pico a pico da corrente na entrada Ii é dada por:
L
TV
III ONipp  minmax
Para condições de corrente contínua, o valor mínimo de indutância requerida é
obtido quando se estabelece a equação de Imin = 0
L
T
dRL
T
dR
VI ONONi
2)1(
1
2)1(
1
0
22min











Resolvendo L:
2)1(
2
d
RT
L ON 
Exercício:
Um chopper Step-up básico é alimentado por uma fonte DC de 120V. A tensão
requerida pela carga é de 440V. Determine a frequência do chopper se a chave for
ligada durante 0,25 ms.
Equações para solução:








d
VV i
1
1
0
d=TON / T = TON . f ou f=d/TON
Exercício: O chopper do exercício anterior opera em uma frequência de 1kHz. A
fonte de tensão DC de 100V e a resistência de carga é de 2. Se o valor médio da
corrente na carga for de 100 A. determine:
a) A potência dissipada pela carga resistiva
b) O ciclo de trabalho
c) O valor médio da corrente na fonte
d) O valor médio da corrente na chave
a) P0 = I0
2 R
b) Da equação: 








d
VV i
1
1
0
A tensão média de saída pode ser determinada a partir de:
P0 = V0
2 /R,
c) A potência de entrada é:
Pi = Vi . Ii
Desprezadas as perdas P0 = Pi então Ii = Pi / Vi
d) a corrente média no diodo é a mesma na carga uma vez que a corrente
capacitor é nula:
ID = I0
A corrente que passa pela chave pode ser encontrada com a aplicação da seguinte
equação:
Ii = Ich + ID
RPV 00 
Formas de onda de corrente para o 
Exemplo 9.9
Plotagens de vL e de ii (fora de escala)
Gráficos do exemplo 9
Chopper buck-boost
O circuito buck-boost DC para DC combina os conceitos dos choppers step-up e 
step-down. A tensão de saída pode ser mais alta, igual ou menor do que a tensão de 
entrada. Uma inversão da polaridade na tensão também pode ocorrer. A 
configuração do circuito é mostrada na figura a seguir:
a) chopper DC buck-boost: b) circuito equivalente com a chave ligada; c) circuito 
equivalente com a chave desligada
Quando S estiver ligada, o diodo D ficará inversamente polarizado e iD será nula.
O circuito pode ser simplificado como mostra a figura b) (da figura anterior). A
tensão no indutor é igual a tensão de entrada, a corrente no indutor iL aumenta de
modo linear com o tempo. Quando S estiver desligada, a fonte será desconectada.
A corrente no indutor não poderá variar de imediato; logo, polarizará o diodo
diretamente e fornecerá um caminho para a corrente na carga. A tensão de saída se
tornará igual a tensão no indutor. O circuito pode ser simplificado, como mostra a
figura c (da figura anterior).
As formas de onda de tensão e de corrente são apresentadas na figura a seguir:
Com a chave ligada (TON ):
WON = Vi Ii TON
Formas de onda de tensão e de corrente para um chopper buck-boost.
Com a chave desligada TOFF
WOFF = V0 Ii TOFF
WON =WOFF
Vi Ii TON = V0 Ii TOFF
Ou
agora,
e 
T= TON + TOFF
TOFF = T - TON
OFF
ON
i
T
T
VV 0
dTT
T
T
d ON
ON 
 dT
T
T
T ON 





 11
Substituindo em V0,
  ii
V
d
d
V
Td
dT
VV




11
00
A tensão de saída pode ser controlada com a variação do ciclo de trabalho d.
Dependendo de d, a tensão de saída pode ser mais alta, igual ou menor do que a
tensão de entrada.
Quando d  0,5, a tensão de saída será maior do que a de entrada e o circuito operará
como step-up. Se d  0,5, a tensão de saída será menor do que a de entrada e o
circuito atuará como um chopper step-down.O chopper buck-boost pode passar do
modo de operação step-down para step-up de modo muito suave e rápido.
Da equação:
2
minmax IIIL


d
II
dII Li 




 

2
minmax
A potência média de entrada é:
Pi = Vi Ii = 
idV
II





 
2
minmax
A potência de saída é:
Desprezadas as perdas de potência, a potência de entrada deve ser igual a de 
saída :
R
V
P
2
0
0 
i
i
RdV
V
II
R
V
dV
II
2
0
minmax
2
0minmax 2
2





 
iV
d
d
V


1
0
Substituindo V0 em:
   22
22
minmax
1
2
1
2
dR
dV
VdRd
Vd
II i
i
i




Com a chave TON 
ou
Somando as duas equações: Imax + Imin e Imax - Imin tem se que:
ON
i
L T
L
V
I 
dT
L
V
T
L
V
II iON
i  minmax
 
dT
L
V
dR
dV
I ii 


2max
1
2
2
 
d
L
T
dR
VI i 








21
1
2max
De maneira semelhante, Imin é dada por:
A ondulação pico a pico da corrente na entrada é dada por:
 
d
L
T
dR
VI i 








21
1
2min
L
TdV
III ipp  minmax
Para condições de corrente contínua, o valor mínimo de indutância requerido 
é obtido ao se estabelecer Imin igual a zero:
    L
T
dR
d
L
T
dR
VI i
21
1
21
1
0
22min











    L
T
dR
d
L
T
dR
VI i
21
1
21
1
0
22min











Resolvendo L:
 
2
1
2
dRTd
L

