Exercícios calculo 1

com que taxa está aumentando o volume do cone no instante em
que o raio da esfera mede 1m e a altura do cone mede 4/3m.
34 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
Problema 11.O perímetro de um quadrado cresce a uma taxa de 3m/s no instante t = 4.
Neste momento sua área é de 100m2. Com qual velocidade sua área estará aumentando no
instante t = 4.
Problema 12.Uma mulher de 1,80m de altura caminha em direção a um muro a uma razão
de 4m/s. Diretamente atrás dela e a 40m do muro está um re�etor 3m acima do nível do
solo.
Quão rápido o comprimento da sombra da mulher estará variando no muro quando ela
estiver a meio caminho entre o re�etor e o muro? A sombra estará esticando-se ou encurtando-
se?
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���
���
���
���
���
���
���
Problema 13.Um certo trecho do rio Amazonas é praticamente reto. Neste trecho um barco
desce o rio paralelamente a sua margem, a uma distância de 3m da margem, com velocidade
constante de 10Km/h. A casa de um pescador �ca nesta mesma margem do Amazonas, na
beira do rio.
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barco
Determine a velocidade com que o barco se aproxima (ou se afasta) da casa do pescador
no instante em que ele está a 5m de distância da casa sabendo que ele:
(a) se aproxima da casa; (b) já passou, e se afasta da casa.
Problema 14.Mostre que:
(a) se o raio de um círculo cresce a uma taxa constante, então sua área cresce a uma taxa
proporcional ao comprimento do raio.
(b) se a aresta de um cubo cresce a uma taxa constante, então seu volume cresce a uma
taxa proporcional à área da superfície.
(c) se o volume de uma esfera está crescendo a uma taxa proporcional à área de sua
superfície, então seu raio cresce a uma taxa constante.
1.4. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE DERIVADA 35
1.4.5 ?Problemas (Derivação Implícita)
Problema 1. Seja y = f(x) de�nida implicitamente em cada item abaixo. Determine a
equação da reta tangente no ponto indicado:
(a) y3 + x2y = 130 em (1, 5); (b) x2 =
x+ y
x− y em (−1, 0).
Problema 2.Considere a curva x3 + y3 = 3xy. Determine os pontos onde a reta tangente
é vertical e onde é horizontal.
Problema 3. Seja y = f(x) de�nida implicitamente por x2 − y2 + √xy = 2 próximo ao
ponto (2, 2).
(a) Calcule f ′(2).
(b) Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) no ponto (2, 2).
(c) Determine a equação da reta tangente ao grá�co de g(x) = f(x)/x no ponto (2, 1).
Problema 4.Para cada uma das funções y = f(x) de�nidas implicitamente perto de (x, y) =
(a, b) determine ([Co, p.485]):
• se a função é crescente ou decrescente perto de x = a;
• f ′(a);
• f ′′(a).
(a) x5 + xy + y5 = 3 em (a, b) = (1, 1).
(b) x cos(xy) = 0 em (a, b) = (1, pi/2)
Problema 5.Encontre o máximo e o mínimo de y = f(x) de�nida implicitamente por
x4 − xy + y4 = 253.
Problema 6.Determine a, b ∈ R tais que (1, 1) pertence a curva de�nida implicitamente por
x2y + ay2 = b e que a reta tangente nesse ponto é 4x+ 3y = 7.
Problema 7.Determine a equação da reta tangente à curva xy = yx no ponto (k0, k0) com
k0 6= e.
1.4.6 Desa�os
Desa�o 1. (formas indeterminadas) Vamos mostrar que 00, (+∞)0 e 1+∞ podem dar qual-
quer número. Calcule os limites abaixo (use L'Hospital) assumindo que k > 0:
(a) lim
x→0+
x(log k)/(1+log x)[“ =′′ 00];
(b) lim
x→+∞
x(log k)/(1+log x)[“ =′′ (+∞)0];
(c) lim
x→0
(x+ 1)(log k/x)[“ =′′ 1+∞].
Desa�o 2.Aproxime a função f(x) =
x
x− 2 perto do ponto x = 1 por um polinômio do
tipo p(h) = ah2 + bh + c.
36 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
Desa�o 3. O objetivo deste exercício é obter uma fórmula fechada para pi. Para isto vamos
calcular a série de Taylor do arctan.
(a) Veri�que que f(x) =
1
1 + x2
=
1
2i
(
1
x− i −
1
x+ i
)
.
(b) Determine fk(x) para todo k ∈ N (k-ésima derivada).
(c) Determine a série de Taylor do arctan(x).
(d) Prove que
pi
4
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
· · · .
Desa�o 4. Sua casa possui um corredor longo de largura a que termina num corredor per-
pendicular a este de largura b. Você deseja mover um sofá de largura c (menor que a e b !).
Desprezando a altura (considere o sofá como um retângulo), qual o comprimento máximo do
sofá que pode fazer a curva ? (Somente monte o problema, as contas são complicadas, e
podem ser resolvidos somente numericamente).
Desa�o 5.Prove que a menor distância entre o ponto (a, b) até o grá�co de y = f(x) é
medido na reta normal ao grá�co de f .
Desa�o 6.Prove que a distância entre o ponto (x0, y0) e a reta ax + by + c = 0 é igual a
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
.
Desa�o 7.Podemos aproximar log a (onde a > 1) pela soma das áreas de dois trapézios, con-
forme a �gura abaixo. Determine o ponto x de maneira que o erro da aproximação seja mínimo.
1 x a
 x
 y
y=1/x
1 x a
 x
 y
y=1/x
1 x a
 x
 y
y=1/x
1 x a
 x
 y
y=1/x
1 x a
 x
 y
y=1/x
1 x a
 x
 y
y=1/x
Desa�o 8.Maximize a área:
(a) lateral do cone reto inscrito numa esfera de raio R;
(b) do cilindro circular reto inscrito num cone circular reto de raio R e altura H .
1.5. EXERCÍCIOS DE INTEGRAL 37
Desa�o 9.Deseja-se atravessar um lago circular até um ponto diametralmente oposto. Pode-
se nadar e correr. A velocidade correndo é o dobro da velocidade nadando. Qual deve ser o
percurso para se chegar mais rapidamente ao lado oposto?
Desa�o 10. (curvatura) Dado uma curva y = f(x) queremos determinar o raio do círculo
que oscula esta curva no ponto x = c. Mais precisamente, queremos determinar o raio do
círculo que passa por (c, f(c)) com mesma tangente e mesma derivada segunda que f .
Mostre que se η0 = f(c), η1 = f
′(c) e η2 = f ′′(c) então o raio do círculo é igual a
(1 + η21)
3/2
|η2| . O inverso do raio é chamado de curvatura da curva no ponto x = c.
Desa�o 11. Se a1 < · · · < an, encontre o mínimo global de g(x) =
n∑
i=1
|x− ai|.
Dica: como a função é linear entre os intervalos, o mínimo ocorre em um dos ai's.
Considere como g(x) se modi�ca quando se passa de um intervalo a outro. Tente fazer com
n = 2 e depois com n = 3.
Desa�o 12.Considere f(x) =
{
e−1/x
2
; x > 0;
0; x ≤ 0. . Prove que f
(n)(0) = 0 para todo n ∈ N
(isto é, as derivadas de qualquer ordem vale 0 em x = 0).
Obs: Neste caso o polinômio de Taylor calculado em x = 0 será sempre p(x) = 0, e a
aproximação não melhora com o aumento do grau do polinômio.
1.5 Exercícios de Integral
1.5.1 Exercícios de Fixação
Exercício 1.Determine se é Verdadeiro (provando a a�rmativa) ou Falso (dando um contra-
exemplo):
(a) Se
∫ b
a
f(x) dx = 0, então f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].
(b) Se f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], então
∫ b
a
f(x) dx ≤ 0.
(c) Se
∫ 3
0
h(x) dx = 9 e mudarmos o valor da função em x = 1 e em x = 2, a integral
vai mudar de valor.
Exercício 2.Estude a De�nição 26 da p.149 e o Lema 9 da p.149 e resolva.
Sabendo que
∫ 2
−1
f(x) dx = 5,
∫ 2
−1
g(x) dx = −3 e
∫ 0
−1
f(x) dx = 7, calcule:
(a)
∫ −1
2
f(x) dx; (b)
∫ 2
−1
(
f(x) + 2g(x)
)
dx; (c)
∫ 1
1
g(sen(x2)) dx;
2
06.oct.2011
38 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS
(d)
∫ 2
0
f(x) dx; (e)
∫ 2
−1
(∫ 0
−1
f(s)g(t) ds
)
dt.
(f)
∫ 2
−1
h(x) dx se h(x) =
{
f(x); x 6= 1;
5; x = 1.
Exercício 3.Considere a função f(x) representada na �gura abaixo.
x
y
f(x)
1 2 3 4 5
2
−1
De�na F (x) =
∫ x
0
f(s) ds. Usando a ideia de que a integral é área com sinal responda
aos seguintes itens.
(a) Determine F (0), F (1), F