orientacoes_AP1

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Orientac¸a˜o para a AP1
Ola´, alunos,
Estas orientac¸o˜es buscam auxiliar seu estudo para a AP1, mas na˜o sa˜o
um guia ou resumo do que deve ser estudado! Antes de continuar a ler os
apontamentos e exemplos abaixo, esteja seguro de ter estudado as Aulas e
EPs.
Para a compreensa˜o das discusso˜es contidas nas presentes orientac¸o˜es, e´
importante que voceˆ domine, pelo menos, todo o conteu´do relativo a`s quatro
primeiras aulas (Aulas 1,2 3 e 4 do Mo´dulo, e EPs 1 e 2).
Voceˆ tem duas semanas para se preparar para a AP1, utilize bem esse
tempo!
Equac¸o˜es de retas
E´ bastante importante, no estudo da Geometria Anal´ıtica no R3, saber ex-
pressar a reta atrave´s de diversas maneiras.
As equac¸o˜es parame´tricas costumam ser a forma mais u´til de se descrever
uma reta. Uma parametrizac¸a˜o da reta r e´ uma expressa˜o da forma
r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c), t ∈ R,
indicando que a reta r e´ o conjunto de todos os pontos na forma (x, y, z) que
podem ser obtidos somando-se ao ponto (x0, y0, z0) um mu´ltiplo qualquer do
vetor (a, b, c); o paraˆmetro t ∈ R indica que mu´ltiplo e´ esse. Outra forma
equivalente de escrevermos tal parametrizac¸a˜o e´
r :

x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct,
t ∈ R.
1
O ponto (x0, y0, z0) da parametrizac¸a˜o acima e´, muitas vezes, chamado
de “ponto inicial”, e o vetor (a, b, c), de “vetor direc¸a˜o” da parametrizac¸a˜o.
Verificar se um ponto (x1, y1, z1) pertence a uma reta cuja parametrizac¸a˜o
e´
r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c), t ∈ R,
significa descobrir se existe algum valor de t ∈ R para o qual (x1, y1, z1) =
(x0, y0, z0) + t(a, b, c).
E´ importante tambe´m lembrar que uma reta pode ter infinitas parametrizac¸o˜es!
O EP3, mais especificamente na questa˜o 8, traz va´rios exemplos de como veri-
ficar se duas parametrizac¸o˜es dadas correspondem a uma mesma reta, a retas
paralelas, reversas ou concorrentes.
Outros detalhes importantes sobre parametrizac¸a˜o de retas, e´ saber que:
• As retas verticais (paralelas ao eixo z) podem ser parametrizadas por
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(0, 0, 1), t ∈ R. Isto significa que estas retas
teˆm direc¸a˜o dada por (0, 0, 1).
Mas e´ claro, tambe´m, que qualquer reta da forma (x, y, z) = (x0, y0, z0)+
t(0, 0, c), t ∈ R, com c 6= 0, sera´ uma reta vertical.
• As retas paralelas ao eixo x podem ser parametrizadas por (x, y, z) =
(x0, y0, z0) + t(1, 0, 0), t ∈ R, ou na forma (x, y, z) = (x0, y0, z0) +
t(a, 0, 0), t ∈ R, com a 6= 0.
• As retas paralelas ao eixo y podem ser parametrizadas por (x, y, z) =
(x0, y0, z0) + t(0, 1, 0), t ∈ R, ou na forma (x, y, z) = (x0, y0, z0) +
t(0, b, 0), t ∈ R, com b 6= 0.
Os eixos coordenados (eixo x, y ou z), sa˜o retas bastante particulares:
• Eixo x: conjunto dos pontos em que y = z = 0.
• Eixo y: conjunto dos pontos em que x = z = 0.
• Eixo z: conjunto dos pontos em que x = y = 0.
Outra forma de se representar uma reta e´ atrave´s de suas equac¸o˜es sime´tricas
(veja texto complementar na Paltaforma, Aula 5).
Na reta
r :

x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct,
t ∈ R,
2
nos casos em que a 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0, temos, isolando t em cada uma das
equac¸o˜es,
t =
x− x0
a
,
t =
y − y0
b
,
t =
z − z0
c
.
Portanto, podemos escrever
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
.
Exemplo 1: Sabemos, pela Geometria Euclidiana, que dois pontos deter-
minam uma reta. Assim, dados dois pontos, existe, no espac¸o, uma u´nica
reta r passando por estes dois pontos. Assim, dados P0 = (x0, y0, z0) e
P1 = (x1, y1, z1), devemos ser capaz de obter uma parametrizac¸a˜o para a
reta que conte´m P0 e P1.
Ja´ vimos que, para parametrizar uma reta, precisamos apenas de um
ponto e uma direc¸a˜o paralela a esta reta, representada por um vetor. Como
ponto inicial da parametrizac¸a˜o, podemos tomar, por exemplo, o ponto P0
(poder´ıamos ter tomado tambe´m o P1!). Como vetor direc¸a˜o da parametrizac¸a˜o,
podemos tomar o vetor
−−→
P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0). Assim, a reta r
pode ser parametrizada Portanto
r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0), t ∈ R,
ou, em forma de sistema,
r :

x = x0 + (x1 − x0) t
y = y0 + (y1 − y0) t
z = z0 + (z1 − z0) t,
t ∈ R.
Vejamos um caso particular. Dados P0 = (2, 0, 1) e P1 = (4, 3,−1), temos−−→
P0P1 = (2, 3,−2), logo
r : (x, y, z) = (2, 0, 1) + t (2, 3,−2), t ∈ R,
ou, em forma de sistema,
r :

x = 2 + 2 t
y = 0 + 3 t
z = 1− 2 t,
t ∈ R.
3
Exemplo 2: A parametrizac¸a˜o
r :

x = 1 + 2t
y = 2 + t
z = −1 + 3t,
t ∈ R
nos leva a
t =
x− 1
2
,
t = y − 2,
t =
z + 1
3
,
logo, a` equac¸a˜o sime´trica
x− 1
2
= y − 2 = z + 1
3
para a reta r.
Exemplo 3: A equac¸a˜o sime´trica
r :
x− 2
2
=
1− y
3
= z + 1,
nos da´
x− 2
2
= t ∴ 2t = x− 2 ∴ x = 2 + 2t,
1− y
3
= t ∴ 3t = 1− y ∴ y = 1− 3t,
z + 1 = t ∴ z = −1 + t,
ou seja, temos a parametrizac¸a˜o
x = 2 + 2t
y = 1− 3t
z = −1 + t,
t ∈ R.
Da mesma forma que uma reta pode ser parametrizada de infinitas maneiras,
ela tambe´m admite infinitas equac¸o˜es sime´tricas equivalentes. Para verificar
se duas equac¸o˜es sime´tricas representam uma mesma reta, podemos con-
verter as equac¸o˜es para parame´tricas (como no Exemplo 3 acima) e, enta˜o,
comparar as parametrizac¸o˜es, da forma como feito no EP3, por exemplo.
Alguns exerc´ıcios de EPs envolvem a intersec¸a˜o de retas com
outras retas, com esferas e com planos (veja abaixo). Estude bem
4
estes casos!
Ha´ algumas vantagens em se trabalhar com a reta de forma parametrizada.
Alguns problemas que, em princ´ıpio, envolvem 3 varia´veis (as coordenadas
x, y e z) podem ser reduzidos a uma u´nica varia´vel, o paraˆmetro t. Vejamos
um exemplo:
Exemplo 4: Determine o ponto da reta dada pela equac¸a˜o sime´trica
r :
x− 2
2
=
1− y
3
= z + 1
que esta´ mais pro´ximo do ponto (3,−2, 2).
Pelo Exemplo 3 acima, esta reta pode ser parametrizada por
x = 2 + 2t
y = 1− 3t
z = −1 + t,
t ∈ R,
que nos da´
(x, y, z) = (2 + 2t, 1− 3t,−1 + t), t ∈ R.
A distaˆncia de um ponto desta reta ao ponto (3,−2, 2), pode ser dada,
em func¸a˜o de t, por
d(t) =
√
(3− (2 + 2t))2 + (−2− (1− 3t))2 + (2− (−1 + t))2
=
√
(1− 2t)2 + (3t− 3)2 + (3− t)2
=
√
1− 4t+ 4t2 + 9t2 − 18t+ 9 + 9− 6t+ t2
=
√
14t2 − 28t+ 19.
Queremos o ponto mais pro´ximo de (3,−2, 2), ou seja, queremos descobrir
o valor de t para o qual a distaˆncia d(t) calculada acima e´ mı´nima. Mas isso
ocorrera´ quando o 14t2−28t+19 tiver seu valor mı´nimo, o que acontece para
t = − b
2a
= − 28
2 · 14 = 1.
Para t = 1 temos (x, y, z) = (2 + 2t, 1 − 3t,−1 + t) = (2 + 2(1), 1 −
3(1),−1 + (1)) = (4, 2, 0).
5
Equac¸o˜es de planos
Um plano pode ser representado atrave´s de uma parametrizac¸a˜o, que sera´
uma expressa˜o da forma
pi : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(ux, uy, uz) + s(vx, vy, vz), s, t ∈ R,
ou, equivalentemente,
pi :

x = x0 + uxt+ vxs
y = y0 + uyt+ vys
z = z0 + uzt+ vzs,
s, t ∈ R.
Esta parametrizac¸a˜o representa o plano formado pelos pontos que podem
ser obtidos a partir do ponto (x0, y0, z0), somando-se mu´ltiplos dos vetores
~u = (ux, uy, uz) e ~v = (vx, vy, vz). Este sera´ enta˜o “o plano paralelo aos
vetores ~u e ~v e que passa por (x0, y0, z0)” ou “gerado pelos vetores ~u e ~v a
partir do ponto (x0, y0, z0)”.
Exemplo 5: Parametrizar o plano que conte´m a reta
r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(4, 5, 6), k ∈ R,
e o ponto P = (−1,−2, 4).
Para parametrizar o plano procurado, precisamos conhecer um de seus
pontos (qualquer um!) e dois vetores quaisquer paralelos ao plano, desde
que estes na˜o sejam paralelos entre si (na˜o sejam mu´ltiplos). O ponto do
plano pode ser, por exemplo, o P = (−1,−2, 4) ou o (1, 2, 3) (ponto inicial
da parametrizac¸a˜o). Escolhamos, sem crite´rioalgum, o P .
Uma das direc¸o˜es paralelas ao plano pode ser o pro´prio vetor direc¸a˜o da
reta r dada, uma vez que esta reta esta´ contida no plano. Assim, ja´ temos a
direc¸a˜o ~u = (4, 5, 6) e precisamos agora de apenas uma outra direc¸a˜o. Ora,
o vetor que sai do ponto P e vai ate´ a o ponto inicial da parametrizac¸a˜o de
r, isto e´, o vetor
~v = (1− (−1), 2− (−2), 3− 4) = (2, 4,−1)
e´ tambe´m uma direc¸a˜o paralela ao plano pedido, logo, podemos parametrizar
pi : (x, y, z) = (−1,−2, 4) + t(4, 5, 6) + s(2, 4,−1), s, t ∈ R.
Exemplo 6: Determinar a intersec¸a˜o da reta
r : (x, y, z) = (−1, 10, 2) + k(1, 2, 3), k ∈ R,
6
com o plano
pi : (x, y, z) = (0, 2, 7) + t(1, 3, 2) + s(−1, 2,−3), s, t ∈ R.
A intersec¸a˜o entre os dois objetos sera´ o(s) ponto(s) (x, y, z) que possa(m)
ser descritos de ambas as formas, isto e´, os pontos (x, y, z) para os quais
existam k, t, s ∈ R tais que
(x, y, z) = (−1, 10, 2) + k(1, 2, 3)
e
(x, y, z) = (0, 2, 7) + t(1, 3, 2) + s(−1, 2,−3).
Mas obter tal ponto equivale a resolver o sistema
(−1, 10, 2) + k(1, 2, 3) = (x, y, z) = (0, 2, 7) + t(1, 3, 2) + s(−1, 2,−3),
que pode ser escrito como
−1 + 1k = 0 + 1t− 1s
10 + 2k = 2 + 3t+ 2s
2 + 3k = 7 + 2t− 3s
(em cada equac¸a˜o, o lado esquerdo vem da parametrizac¸a˜o da reta, e o
direito, da parametrizac¸a˜o do plano.)
O sistema nos da´ como soluc¸a˜o, k = 1, s = 2 e t = 2. Substituindo k na
parametrizac¸a˜o da reta, ou s e t na do plano (tanto faz!), obtemos o ponto
de intersec¸a˜o (0, 12, 5).
Outra forma de se representar um plano e´ atrave´s de uma equac¸a˜o carte-
siana, isto e´, na forma
r : ax+ by + cz + d = 0.
O interessante nesta representac¸a˜o e´ que temos (de grac¸a!) um vetor nor-
mal (ortogonal) ao plano, que sera´ o vetor ~η = (a, b, c). Isto pode ser muito
u´til, por exemplo, se precisarmos obter uma reta perpendicular a um plano
dado.
Exemplo 7: Determinar uma parametrizac¸a˜o da reta perpendicular ao plano
2x+ 3y − z − 1 = 0, passando pelo ponto (7, 5, 0).
A reta que procuramos e´ perpendicular ao plano, logo, sua direc¸a˜o pode
ser dada pelo vetor ~η = (2, 3,−1) (obtido a partir dos coeficientes de x, y e
7
z na equac¸a˜o cartesiana do plano). E, como a reta passa pelo ponto (7, 5, 0),
ela pode ser parametrizada por
(x, y, z) = (7, 5, 0) + t(2, 3,−1), t ∈ R.
Uma aplicac¸a˜o do exemplo acima e´, por exemplo, a determinac¸a˜o da
projec¸a˜o ortogonal de um ponto sobre um plano.
Exemplo 8: Determinar a projec¸a˜o ortogonal de (7, 5, 0) sobre o plano
2x+ 3y − z − 1 = 0.
A reta obtida no exemplo anterior e´ perpendicular ao plano
2x + 3y − z − 1 = 0 e passa pelo ponto (7, 5, 0). Assim, a projec¸a˜o or-
togonal de (7, 5, 0) sobre o plano 2x + 3y − z + 1 = 0 e´ a intersec¸a˜o entre a
reta e o plano, que e´ obtida resolvendo-se o sistema de quatro equac¸o˜es{
(x, y, z) = (7, 5, 0) + t(2, 3,−1)
2x+ 3y − z − 1 = 0.
(veja que sa˜o quatro equac¸o˜es, pois, na primeira linha, temos treˆs, uma
em x, uma em y e uma em z).
Mas esse sistema e´ bem mais simples que parece, pois, temos
x = 7 + 2t, y = 5 + 3t, z = 0− t,
que, substituindo em 2x+ 3y − z − 1 = 0, nos da´
2(7 + 2t) + 3(5 + 3t)− (−t)− 1 = 0 ∴ 14t+ 28 = 0 ∴ t = −2.
Assim, a intersec¸a˜o e´ dada por
(x, y, z) = (7, 5, 0) + (−2)(2, 3,−1) = (3,−1, 2).
Com isso, a projec¸a˜o ortogonal de (7, 5, 0) sobre o plano 2x+ 3y− z + 1 = 0
e´ o ponto (3,−1, 2).
Produto vetorial, misto e ca´lculo de volumes
Uma importante operac¸a˜o entre vetores e´ o produto vetorial. Dados ~u e
~v, foi definido o produto vetorial ~u × ~v como sendo o vetor que satisfaz
algumas propriedades (e´ perpendicular tanto a ~u quanto a ~v; seu mo´dulo e´
dado pelo produto dos mo´dulos de ~u e ~v, multiplicado pelo seno do aˆngulo
entre os vetores; e ~u, ~v, ~u×~v e´ uma base positivamente orientada). E´ muito
8
importante saber a expressa˜o de ~u × ~v em func¸a˜o das coordenadas de ~u e ~v
(veja Aula 9):
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
ux uy uz
vx vy vz
∣∣∣∣∣∣ ,
onde ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1).
Uma aplicac¸a˜o importante do produto vetorial e´ na determinac¸a˜o de um
vetor perpendicular a dois vetores dados. Isto pode ser particularmente u´til
na determinac¸a˜o de um vetor normal a um plano, quando se conhece dois
vetores paralelos a ele.
Exemplo 9: Dados os vetores ~u = (1, 2, 3) e ~v = (3, 2,−1) paralelos ao
plano pi, e sabendo que (0, 1, 2) ∈ pi, determinar a equac¸a˜o de pi.
O produto vetorial ~u× ~v e´ dado por
~u×~v = (1, 2, 3)×(3, 2,−1) =
∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 2 3
3 2 −1
∣∣∣∣∣∣ = −8~e1+10~e2−4~e3 = (−8, 10,−4).
Assim, o vetor ~η = (−8, 10,−4) e´ normal ao plano. O plano tera´ enta˜o
equac¸a˜o da forma
−8x+ 10y − 4z + d = 0.
Para obtermos d, podemos substituir o ponto (0, 1, 2), por onde sabemos que
o plano passa. Assim,
−8(0) + 10(1)− 4(2) + d = 0 ∴ d = −2,
e enta˜o
pi : −8x+ 10y − 4z − 2 = 0.
Esta equac¸a˜o pode ser siplificada para
pi : 4x− 5y + 2z + 1 = 0.
Outras aplicac¸o˜es importantes do produto vetorial sa˜o o ca´clulo de a´reas
e volumes.
9
Dados dois vetores ~u e ~v na˜o paralelos, podemos formar um paralelo-
gramo tal que dois de seus lados representem o vetor ~u e os outros dois lados
representem o vetor ~v.
A a´rea deste paralelogramo e´ dada por
A = ‖~u× ~v‖,
isto e´, pelo mo´dulo do vetor dado pelo produto vetorial de ~u e ~v.
Exemplo 10: Dados os vetores ~u = (1, 2, 3) e ~v = (−2, 0, 1) o paralelogramo
definido pelos vetores ~u e ~v tem a´rea
A = ‖~u× ~v‖ = ‖(1, 2, 3)× (−2, 0, 1)‖.
Calculando (1, 2, 3)× (−2, 0, 1), temos
(1, 2, 3)× (−2, 0, 1) =
∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 2 3
−2 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 2~e1 − 7~e2 + 4~e3 = (2,−7, 4).
Assim,
A = ‖(1, 2, 3)× (−2, 0, 1)‖ = ‖(2,−7, 4)‖ =
√
22 + (−7)2 + 42 =
√
69.
(Lembrando que o mo´dulo de um vetor (a, b, c) e´ dado por
‖(a, b, c)‖ = √a2 + b2 + c2.)
O produto misto entre treˆs vetores, dado por
[~u,~v, ~w] = 〈~u× ~v, ~w〉 ,
10
e´ particularmente u´til no ca´lculo de volumes. Se cada aresta de um prisma
representa um dos vetores ~u, ~v ou ~w, seu volume e´ dado por
V = |[~u,~v, ~w]| .
Outro fato importante e´ que [~u,~v, ~w] = 0 se, e somente se, os vetores ~u,
~v e ~w sa˜o linearmente dependentes. Como consequeˆncia deste fato, quatro
pontos A, B, C e D sera˜o coplanares se, e somente se,[−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD
]
= 0.
11