Aula 8 - Teorema de Castigliano_Porticos

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Teoria das Estruturas
Prof. MSc. Luiz Antonio
Teorema de Castigliano
�Objetivos
�Calcular os deslocamentos de uma estrutura a partir do 
Teorema de Castigliano
� Como vimos o Teorema de Castigliano também nos permite
determinar os deslocamentos de uma estrutura mesmo que
haja mais forças ou momentos atuando.
� Vimos como utilizar esse principio em treliças e vigas, agora
veremos como aplica-lo a pórticos
3
Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano
� Procedimento:
� 1º) Identificamos se a treliça, viga ou pórtico é isostático ou hiperestático.
� 2º) No ponto onde queremos calcular o deslocamento se houver uma carga concentrada, 
substituímos por uma carga de valor “P”, se não houver aplicamos uma carga de valor “P”.
� 2º) Se isostático calculamos as reações nos apoios utilizando as equações da estática. Se 
hiperestático, primeiro determinamos a reação redundante e depois as demais.
� 3º) Para vigas e pórticos calculamos o momento fletor para cada uma das vigas causados pelas forças 
e pelas reações nos apoios.
� 4º) Para treliças, calculamos a força normal atuante em cada uma das vigas
� 5º) Calculamos a derivada parcial das forças normais aplicadas às barras para as treliças
� 6º) Calculamos a derivada parcial de cada um dos momentos aplicados às vigas para vigas e pórticos
� 7º) Tanto para treliças como para vigas e pórticos calculamos a cargas normais e momentos fletores 
simplesmente substituindo P por seu valor se houver
� 8º) Para treliça utilizamos a tabela e a expressão de cálculo apresentada acima 
� 9º) Para vigas e pórticos utilizamos a tabela e expressão da deformação para esse tipo de elemento
Teorema de Castigliano
� Exercícios
� Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico Isostático representado pela
figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia �� � 22000	��.
�	e a barra 2 de
inércia 3EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão.
Teorema de Castigliano
� Cálculo das reações nos apoios
�Pórtico isostático utilizaremos as equações da estática
Σ
� � 0; 			��� � � � 0; ��� � �	��Σ
� � 0; ��� � ��� � 0;
Σ�� � 0; 	��� ∗ 5 � � ∗ 4 � 3 ; ��� � �5 ; ��� � �0,2�	����� � ��� � 0; Ray�0,2P	kN
Teorema de Castigliano
� Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
� Momento da viga BD
Com origem de �	em B	→ �'( � � �� → 0 ) � ) 3
�
0,2�
�
�
Teorema de Castigliano
� Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
� Momento real
Com origem de �	em D → �*( � � 3 ∗ � � 0,2�� → 0 ) � ) 5
��
0,2�
3�
�
Teorema de Castigliano
� Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
� Momento real
Com origem de �	em A	→ ��* � � ��� → 0 ) � ) 4
�
0,2�
�
�
Teorema de Castigliano
�Solução
�Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra Limites + ,�
,�
+	-� � .��/ � ,�,�
BD 0 ) � ) 3 �� � 8� 8��
CD 0 ) � ) 5 3� � 0,2�� 3 � 0,2x 24 � 1,6� 72 � 9.6� � 0,32��
AC 0 ) � ) 4 ��� �� �8� 8��
Teorema de Castigliano
�Aplicando a equação da deformação ∆� 7
�-,�,�/
�� 8�
9
:
∆� 7 -8�
�/
�� 8� � 7
72 � 9.6� � 0,32�� 
3�� 8� � 7
-8��/
�� 8�
;
:
<
:
=
:
1. ∆� 8�
=
3�� >
3
0 �
72� � 9,6��2 �
0,32�=
3
3�� >
5
0 �
8�=
3�� >
4
0
∆� 407,0322000 � 0,0185
	?@	18, 5
Teorema de Castigliano
� Exercícios
� Calcule os deslocamentos horizontal para a direita do nó B do quadro isostático
representado pela figura abaixo. Considere o quadro trabalhando basicamente à flexão
com inércia EI = 80000 kN.m2.
Teorema de Castigliano
� Aplicando a carga P
Teorema de Castigliano
� Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
� Momento real
Com origem de �	em B	→ �'( � � ��� → 0 ) � ) 2
�
�'(
�
Teorema de Castigliano
� Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
� Momento real
Com origem de �	em D → �*( � � � � ∗ 2 � 6�� → 0 ) � ) 5
�*( �
2�
�
12�
Teorema de Castigliano
� Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
� Momento real
Com origem de �	em A	→ ��* � � �� � 150 � 2� → 0 ) � ) 4
�
��*
�
60
2�
150
Teorema de Castigliano
�Solução
�Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra Limites + ,�
,�
+	-� � �AB��/ � ,�,�
AB 0 ) � ) 2 ��� �� 20� �20��
CD 0 ) � ) 5 �2� � 6�� �2 40 � 6�� �80 � 12��
AC 0 ) � ) 4 �2� � 150 � �� � � 2 190 � 20� �380 � 230� � 40��
Teorema de Castigliano
�Aplicando a equação da deformação ∆� 7
� ,�,�
�� 8�
9
:
∆� 7 -�20�
�/
�� 8� � 7
-�80 � 12��/
�� 8� � 7
-�380 � 230� � 40��/
�� 8�
;
:
<
:
�
:
∆�
�20�=
3
�� >
2
0 �
�80� � 12�=3
�� >
5
0 �
�380� � 230��2 �
40�=
3
�� >
4
0
∆� �1060�� � �
1060
80000 � �0,1325	
∆� 13,3	
	C�D�	EFG@ED8�
Teorema de Castigliano
� Exercício
� Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico isostático representado pela
figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia EI=22000 kN.m2 e a barra 2 de inércia
3EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão.
Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é ∆=27,7 mm 
(para esquerda) 
Bibliografia
• HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais
7 ed. –São Paulo - Pearson Education do 
Brasil – 2010 – 670 pg.