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Notas de Aula Ana´lise Funcional Rodney Josue´ Biezuner 1 Departamento de Matema´tica Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Ana´lise Funcional do Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica, ministrado no primeiro semestre de 2009. 6 de julho de 2009 1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney. Suma´rio 1 Espac¸os Vetoriais Normados e Espac¸os de Banach 3 1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Exemplo 1: Os espac¸os `p (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Exemplo 2: Os espac¸os das sequeˆncias `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Exemplo 3: Os espac¸os Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Exemplo 4: Os espac¸os Ck ( Ω ) e os espac¸os de Ho¨lder Ck,α ( Ω ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Aplicac¸o˜es Lineares 12 2.1 Aplicac¸o˜es Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 O Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Formas Geome´tricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Os Teoremas da Limitac¸a˜o Uniforme, da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado 25 3.1 O Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Os Teoremas da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Operadores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Espac¸os Reflexivos 36 4.1 Espac¸os Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Espac¸os Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Exemplo 1: Espac¸os `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 Espac¸os Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.5 Exemplo 2: Espac¸os Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Topologia Fraca e Topologia Fraca* 54 5.1 Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 Sequeˆncias Fracamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Topologia Fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4 Convexidade Uniforme e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.5 Reflexividade, Separabilidade e Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.6 Metrizabilidade e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1 Rodney Josue´ Biezuner 2 6 Espac¸os de Hilbert 70 6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2 Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3 Teorema de Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.4 Bases de Schauder e Bases de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7 Operadores Compactos 81 7.1 Operadores Completamente Cont´ınuos e Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.2 Teoria de Riesz-Fredholm para Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.3 O Espectro de Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.4 Teoria Espectral para Operadores Autoadjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.5 Aplicac¸a˜o: Problemas de Sturm-Liouville e Operadores Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8 Espac¸os de Sobolev e Equac¸a˜o de Laplace 100 8.1 O Princ´ıpio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.2 A Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2.2 Um Teorema de Aproximac¸a˜o para Func¸o˜es Fracamente Diferencia´veis . . . . . . . . . 103 8.2.3 Caracterizac¸a˜o das Func¸o˜es Fracamente Diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2.4 Regra do Produto e Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.3 Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.4 Caracterizac¸a˜o dos Espac¸os W 1,p0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.5 Imersa˜o Cont´ınua de Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.6 Imersa˜o Compacta de Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.7 Resoluc¸a˜o do Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.8 O Problema de Autovalor para o Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Cap´ıtulo 1 Espac¸os Vetoriais Normados e Espac¸os de Banach 1.1 Definic¸a˜o 1.1 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial real. Uma norma em E e´ uma func¸a˜o ‖·‖ : E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: (i) ‖x‖ > 0 para todo x ∈ E e ‖x‖ = 0 se e somente se x = 0; (ii) (Homogeneidade) para todo α ∈ R e para todo x ∈ E vale ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ; (iii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y ∈ E vale ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ . Um espac¸o vetorial E munido de uma norma ‖·‖ e´ chamado um espac¸o vetorial normado e denotado (E, ‖·‖). 1.2 Definic¸a˜o. Seja M um conjunto. Uma me´trica em M e´ uma func¸a˜o d : M ×M −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: (i) d (x, y) > 0 para todos x, y ∈M e d (x, y) = 0 se e somente se x = y; (ii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y, z ∈M vale d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) . Um espac¸o vetorial normado torna-se naturalmente um espac¸o me´trico com a me´trica derivada da norma: d (x, y) = ‖x− y‖ . Desta forma, um espac¸o vetorial normado torna-se um espac¸o topolo´gico com a topologia induzida pela me´trica. 1.3 Proposic¸a˜o. Seja (E, ‖·‖) um espac¸o vetorial normado. Enta˜o as func¸o˜es soma de vetores E ×E −→ E, (x, y) 7→ x + y, multiplicac¸a˜o de vetores por escalares R × E −→ E, (α, x) 7→ αx, e norma ‖·‖ : E −→ R, x 7→ ‖x‖ sa˜o cont´ınuas. 3 Rodney Josue´ Biezuner 4 1.4 Corola´rio. Fixado x0 ∈ E, a aplicac¸a˜o x 7→ x+ x0 (translac¸a˜o) e´ um homeomorfismo. Fixado α ∈ R na˜o nulo, a aplicac¸a˜o x 7→ αx (homotetia) e´ um homeomorfismo. Lembramos que um espac¸o me´trico completo e´ um espac¸o me´trico em que todasas sequeˆncias de Cauchy sa˜o convergentes, isto e´, convergem para um elemento do pro´prio espac¸o. 1.5 Definic¸a˜o. Um espac¸o vetorial normado completo e´ chamado um espac¸o de Banach. 1.2 Exemplo 1: Os espac¸os `p (n) 1.6 Definic¸a˜o. Seja 1 6 p 6∞. Definimos o espac¸o `p (n) como sendo o espac¸o Rn dotado da norma ‖x‖p = ( n∑ i=1 |xi|p )1/p (1.1) se 1 6 p <∞, e ‖x‖∞ = max16i6n |xi| . (1.2) 1.7 Proposic¸a˜o. `p (n) e´ um espac¸o vetorial normado. Prova. As propriedades (i) e (ii) de uma norma na Definic¸a˜o 1.1 sa˜o claramente verificadas. Para provar a desigualdade triangular (que neste caso especial tambe´m recebe o nome de desigualdade de Minkowski)( n∑ i=1 |xi + yi|p )1/p 6 ( n∑ i=1 |xi|p )1/p + ( n∑ i=1 |yi|p )1/p , (1.3) recorremos a` desigualdade de Ho¨lder (que sera´ demonstrada no final): n∑ i=1 |xiyi| 6 ‖x‖p ‖y‖p′ onde 1 p + 1 p′ = 1. (1.4) O nu´mero p′ e´ chamado o expoente conjugado de p; observe que p′ = p/ (p− 1). De fato, escrevemos n∑ i=1 |xi + yi|p 6 n∑ i=1 (|xi|+ |yi|) |xi + yi|p−1 6 n∑ i=1 |xi| |xi + yi|p−1 + n∑ i=1 |yi| |xi + yi|p−1 6 ‖x‖p ∥∥∥(|x1 + y1|p−1 , . . . , |xn + yn|p−1)∥∥∥ p p−1 + ‖y‖p ∥∥∥(|x1 + y1|p−1 , . . . , |xn + yn|p−1)∥∥∥ p p−1 = ( n∑ i=1 |xi + yi|p ) p−1 p ( ‖x‖p + ‖y‖p ) . Logo, ‖x+ y‖p = ( n∑ i=1 |xi + yi|p )1− p−1p 6 ‖x‖p + ‖y‖p . A desigualdade de Ho¨lder, por sua vez, segue da desigualdade mais geral aλb1−λ 6 λa+ (1− λ) b (1.5) sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Esta desigualdade pode ser provada da seguinte forma: se b = 0, ela e´ o´bvia; se b 6= 0, divida a desigualdade por b e tome t = a/b > 0, de modo que provar a desigualdade torna-se Rodney Josue´ Biezuner 5 equivalente a mostrar que a func¸a˜o f (t) = tλ − λt e´ menor que ou igual a 1− λ para todo t > 0. E, de fato, como f ′ (t) = λ ( tλ−1 − 1), f e´ estritamente crescente para 0 6 t < 1 e estritamente decrescente para t > 1, logo f atinge o seu ma´ximo em t = 1, onde f vale exatamente 1− λ. Tomando a = ∣∣∣∣∣ xi‖x‖p ∣∣∣∣∣ p , b = ∣∣∣∣∣ yi‖y‖p′ ∣∣∣∣∣ p′ e λ = 1 p , para cada ı´ndice i, segue que |xiyi| ‖x‖p ‖y‖p′ 6 1 p |xi|p ‖x‖pp + 1 p′ |yi|p ′ ‖y‖p′p′ . Da´ı, somando desde i = 1 ate´ i = n, obtemos 1 ‖x‖p ‖y‖p′ n∑ i=1 |xiyi| 6 1 p n∑ i=1 |xi|p ‖x‖pp + 1 p′ n∑ i=1 |yi|p ′ ‖y‖p′p′ = 1 p + 1 p′ = 1. ¥ 1.8 Proposic¸a˜o. `p (n) e´ um espac¸o de Banach. Prova. Para ver que `p (n) e´ completo, basta observar que uma sequeˆncia em `p (n) e´ de Cauchy se e somente se cada uma das sequeˆncias de coordenadas e´ de Cauchy e que, ale´m disso, uma sequeˆncia em `p (n) e´ convergente se e somente se cada uma das sequeˆncias de coordenadas e´ de Cauchy. Outra maneira de ver que `p (n) e´ um espac¸o de Banach e´ lembrar que todas as normas em Rn sa˜o equivalentes e usar o fato bem conhecido que Rn com a norma usual e´ completo. ¥ Observe que `2 (n) e´ o espac¸o Rn munido da norma euclidiana, a qual e´ derivada de um produto interno. 1.3 Exemplo 2: Os espac¸os das sequeˆncias `p 1.9 Definic¸a˜o. Seja 1 6 p <∞. Definimos o espac¸o `p como sendo o espac¸o das sequeˆncias reais p-soma´veis, isto e´, `p = { x : N −→ R : ∞∑ i=1 |xi|p <∞ } , dotado da norma ‖x‖p = ( ∞∑ i=1 |xi|p )1/p , (1.6) e o espac¸o `∞ como sendo o espac¸o das sequeˆncias reais limitadas, isto e´, `∞ = { x : N −→ R : sup i∈N |xi| <∞ } , dotado da norma ‖x‖∞ = sup i∈N |xi| . (1.7) 1.10 Proposic¸a˜o. `p e´ um espac¸o vetorial normado. Prova. Basta passar o limite na desigualdade de Minkowski fazendo n→∞. ¥ 1.11 Proposic¸a˜o. `p e´ um espac¸o de Banach. Rodney Josue´ Biezuner 6 Prova. Seja {xn}n∈N uma sequeˆncia de Cauchy em `p ({xn} e´ uma sequeˆncia de sequeˆncias reais). Denote os termos de cada sequeˆncia xn por xn,m. Para cada m fixado, {xn,m}n∈N e´ tambe´m uma sequeˆncia de Cauchy, logo converge para um certo nu´mero am; em outras palavras, a sequeˆncia de sequeˆncias {xn} converge termo a termo para a sequencia real a = {am}. Afirmamos que esta sequeˆncia esta´ em `p e que xn → a em `p. De fato, como {xn}n∈N e´ de Cauchy em `p, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que ‖xk − xl‖p < ε sempre que k, l > N ; em particular, para todo m ∈ N, vale m∑ i=1 |xk,i − xl,i|p < εp sempre que k, l > N . Fixando k e fazendo l→∞, obtemos m∑ i=1 |xk,i − ai|p < εp para todo m ∈ N, sempre que k > N . Da´ı, fazendo m→∞, temos que ∞∑ i=1 |xk,i − ai|p < εp sempre que k > N,o que implica que xk − a ∈ `p sempre que k > N , e portanto a ∈ `p. Esta mesma desigualdade tambe´m implica que xk → a em `p. ¥ 1.12 Exemplo. Subespac¸os de `∞ que sa˜o tambe´m espac¸os de Banach sa˜o `∞c = {x ∈ `∞ : x e´ uma sequeˆncia convergente} , `∞0 = {x ∈ `∞ : limxn = 0} . A demonstrac¸a˜o deste fatos e´ deixada como exerc´ıcio. ¤ 1.4 Exemplo 3: Os espac¸os Lp (Ω) 1.13 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto mensura´vel. Seja 1 6 p <∞. Definimos o espac¸o Lp (Ω) como sendo o espac¸o das (classes de equivaleˆncia de) func¸o˜es reais p-integra´veis no sentido de Lebesgue, isto e´, Lp (Ω) = { f : Ω −→ R : ∫ Ω |f |p <∞ } , dotado da norma ‖f‖p = (∫ Ω |f |p )1/p , (1.8) e o espac¸o L∞ (Ω) como sendo o espac¸o das (classes de equivaleˆncia de) func¸o˜es reais mensura´veis limitadas, isto e´, L∞ (Ω) = { f : Ω −→ R : sup Ω |f | <∞ } , dotado da norma ‖f‖∞ = sup Ω |f | . (1.9) Rodney Josue´ Biezuner 7 Observe que nesta definic¸a˜o, sup Ω |f | = inf {c ∈ R : |f (x)| 6 c q.t.p.} . 1.14 Proposic¸a˜o. Lp (Ω) e´ um espac¸o vetorial normado. Prova. Lp (Ω) e´ um espac¸o vetorial porque se f, g ∈ Lp (Ω) e λ ∈ R, enta˜o f + g ∈ Lp (Ω) e λf ∈ Lp (Ω). De fato, |f (x) + g (x)| 6 |f (x)|+ |g (x)| 6 2max {|f (x)| , |g (x)|} , de modo que |f (x) + g (x)|p 6 2pmax {|f (x)|p , |g (x)|p} 6 2p (|f (x)|p + |g (x)|p) , donde ∫ Ω |f + g|p 6 2p (∫ Ω |f |p + ∫ Ω |g|p )1/p . Ale´m disso, ‖λf‖p = |λ| ‖f‖p e ‖f‖p = 0 se e somente se f = 0 q.t.p. Como nos espac¸os `p, para provar a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski,(∫ Ω |f + g|p )1/p 6 (∫ Ω |f |p )1/p + (∫ Ω |g|p )1/p , (1.10) recorremos a` desigualdade de Ho¨lder∫ Ω |fg| 6 ‖f‖p ‖g‖p′ onde 1 p + 1 p′ = 1. (1.11) Escrevemos ∫ Ω |f + g|p 6 ∫ Ω (|f |+ |g|) |f + g|p−1 6 ∫ Ω |f | |f + g|p−1 + ∫ Ω |f | |g|p−1 6 ‖f‖p ∥∥∥|f + g|p−1∥∥∥ p p−1 + ‖g‖p ∥∥∥|f + g|p−1∥∥∥ p p−1 = (∫ Ω |f + g|p ) p−1 p ( ‖f‖p + ‖g‖p ) . Logo, ‖f + g‖p = ( n∑ i=1 |f + g|p )1− p−1p 6 ‖f‖p + ‖g‖p . A desigualdade de Ho¨lder segue, como na demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1.7, da desigualdade mais geral aλb1−λ 6 λa+ (1− λ) b sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Desta vez tomamos, para cada x ∈ Ω, a = ∣∣∣∣∣f (x)‖f‖p ∣∣∣∣∣ p , b = ∣∣∣∣∣ g (x)‖g‖p′ ∣∣∣∣∣ p′ e λ = 1 p , segue que |f (x) g (x)| ‖f‖p ‖g‖p′ 6 1 p |f (x)|p ‖f‖pp + 1 p′ |g (x)|p′ ‖g‖p′p′ . Da´ı, integrando sobre Ω, obtemos 1 ‖f‖p ‖g‖p′ ∫ Ω |fg| 6 1 p ∫ Ω |f |p ‖f‖pp + 1 p′ ∫ Ω |g|p ‖g‖p′p′ = 1 p + 1 p′ = 1. ¥ Rodney Josue´ Biezuner 8 1.15 Proposic¸a˜o. Lp (Ω) e´ um espac¸o de Banach. Prova. Consideraremos primeiro o caso L∞ (Ω). Seja {fn} ⊂ L∞ (Ω) uma sequeˆncia de Cauchy. Enta˜o, dado k ∈ N, existe Nk ∈ N tal que ‖fn − fm‖∞ < 1 k sempre que n,m > Nk. Em particular, |fn (x)− fm (x)| < 1 k q.t.p. em Ω, sempre que n,m > Nk. Isso implica que {fn (x)} e´ uma sequeˆncia de Cauchy para quase todo ponto x ∈ Ω e podemos definir f (x) = lim fn (x) q.t.p. Resta mostrar que f ∈ L∞ (Ω) e que fn → f em L∞ (Ω). Isso decorre da u´ltima desigualdade, fazendo m→∞: |fn (x)−f (x)| < 1 k . Segue que fn → f na norma de L∞ (Ω); ale´m disso, como para qualquer n, k fixados temos |f (x)| 6 |fn (x)|+ 1/k, logo f ∈ L∞ (Ω). Examinaremos agora o caso 1 6 p < ∞. Seja {fn} ⊂ Lp (Ω) uma sequeˆncia de Cauchy. Em particular, podemos extrair uma subsequeˆncia {fnk} tal que∥∥fnk+1 − fnk∥∥p < 12k . Considere a sequeˆncia gn = n∑ k=1 ∣∣fnk+1 − fnk ∣∣ . Enta˜o existe g = lim gn. Pelo Teorema da Convergeˆncia Mono´tona, ∫ Ω |g|p = lim ∫ Ω |gn|p. Mas, usando a desigualdade de Jensen,∫ Ω |gn|p 6 ∫ Ω ( n∑ k=1 ∣∣fnk+1 − fnk ∣∣ )p 6 n∑ k=1 ∫ Ω ∣∣fnk+1 − fnk ∣∣p 6 n∑ k=1 ( 1 2k )p = n∑ k=1 ( 1 2p )k 6 ∞∑ k=1 ( 1 2p )k = 1 2p 1− 12p = 1 2p − 1 < 1, logo conclu´ımos que ‖g‖p 6 1 e, em particular, g assume valores reais em quase todo ponto. Usaremos a sequeˆncia {gn} e seu limite g para verificar que a subsequeˆncia {fnk (x)} e´ de Cauchy em quase todo ponto x. Com efeito, sejam k > l > 1 e escreva |fnk (x)− fnl (x)| 6 ∣∣fnk (x)− fnk−1 (x)∣∣+ . . .+ ∣∣fnl+1 (x)− fnl (x)∣∣ = gk−1 (x)− gl−1 (x) 6 g (x)− gl−1 (x) . Como gl (x)→ g (x) q.t.p., para quase todo x ∈ Ω fixado, existe N ∈ N tal que g (x)− gl−1 (x) < ε sempre que l > N ; ja´ que k > l, segue que |fnk (x)− fnl (x)| < ε sempre que k, l > N . Portanto, podemos definir, em quase todo ponto, f (x) = lim fnk (x) . Falta provar que f ∈ Lp (Ω) e que fn → f em Lp (Ω). Fazendo k →∞ na desigualdade |fnk (x)− fnl (x)| 6 g (x)− gl−1 (x), obtemos |f (x)− fnl (x)| 6 g (x)− gl−1 (x) . Rodney Josue´ Biezuner 9 Como g−gl−1 ∈ Lp (Ω), segue em particular que f−fnl ∈ Lp (Ω) e, portanto, f ∈ Lp (Ω) ja´ que fnl ∈ Lp (Ω). Ale´m disso, integrando esta desigualdade sobre Ω, temos∫ Ω |f − fnl |p 6 ∫ Ω |g − gl−1|p → 0 quando l→∞ pelo Teorema da Convergeˆncia Dominada (|g − gl−1| e´ dominada por 2 |g|). Provamos, enta˜o, que uma subsequeˆncia da sequeˆncia de Cauchy {fn} converge para f em Lp (Ω); portanto, toda a sequeˆncia converge para f . ¥ 1.16 Exemplo. O espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C ( Ω ) com a norma L1 e´ um espac¸o vetorial normado mas na˜o e´ um espac¸o de Banach. Por exemplo, tome Ω = [0, 1] e considere a sequeˆncia de func¸o˜es fn (t) = 0 se 0 6 t 6 1 2 , n ( t− 1 2 ) se 1 2 6 t 6 1 2 + 1 n , 1 se 1 2 + 1 n 6 t 6 1. Assumindo n > m para fixar ide´ias, temos que ‖fn − fm‖1 = ∫ 1 0 |fn (t)− fm (t)| dt e´ a a´rea do triaˆngulo de altura 1 e comprimento da base 1 m − 1 n , de modo que ‖fn − fm‖1 < ε sempre que n,m > ε, ou seja {fn}n∈N e´ uma sequeˆncia de Cauchy em C ([0, 1]) na norma L1. Mas ela na˜o converge para nenhuma func¸a˜o cont´ınua na norma L1. De fato, convergeˆncia L1 implica em convergeˆncia q.t.p., a menos de uma subsequeˆncia, e fn (t)→ 0 se 0 6 t 6 12 , enquanto que fn (t)→ 1 se 1 2 6 t 6 1. Para uma demonstrac¸a˜o mais direta, suponha por absurdo que existe f ∈ C ([0, 1]) tal que ‖fn − f‖1 → 0. Como ‖fn − f‖1 = ∫ 1 0 |fn (t)− f (t)| dt = ∫ 1 2 0 |f (t)| dt+ ∫ 1 2+ 1 n 1 2 |fn (t)− f (t)| dt+ ∫ 1 1 2+ 1 n |1− f (t)| dt e as treˆs integrais sa˜o na˜o-negativas, cada uma delas deve ser igual a 0 ou convergir para 0 quando n→∞. Conclu´ımos que f (t) = 0 se 0 6 t 6 1 2 , 1 se 1 2 6 t 6 1, e portanto f na˜o e´ cont´ınua. ¤ 1.5 Exemplo 4: Os espac¸os Ck ( Ω ) e os espac¸os de Ho¨lder Ck,α ( Ω ) Usaremos a notac¸a˜o de multi-´ındice para denotar a derivada parcial Dγf (x) = ∂|γ|f ∂xγ11 . . . ∂x γn n (x) onde γ = (γ1, . . . , γn) e |γ| = γ1 + . . .+ γn. Rodney Josue´ Biezuner 10 1.17 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Definimos o espac¸o Ck(Ω) como o espac¸o das func¸o˜es reais definidas em Ω cujas derivadas parciais ate´ a ordem k (inclusive) sa˜o limitadas e uniformemente cont´ınuas (isso garante que elas possuem uma u´nica extensa˜o cont´ınua para Ω), isto e´, Ck(Ω) = { f ∈ Ck(Ω) : Dγf e´ limitada e uniformemente cont´ınua em Ω para todo |γ| 6 k} . dotado da norma ‖f‖Ck(Ω) = max|γ|6k ‖D γf‖L∞(Ω) . (1.12) Frequ¨entemente denotamos o espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C0(Ω) simplesmente por C(Ω), e definimos C∞(Ω) = ⋂ k∈N Ck(Ω). Relembramos o conceito de continuidade de Ho¨lder: 1.18 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn. Dizemos que uma func¸a˜o f : Ω→ R e´ cont´ınua de Ho¨lder com expoente α, se sup x,y∈Ω x6=y |f(x)− f(y)| |x− y|α <∞ para algum 0 < α 6 1. Neste caso, denotaremos f ∈ Cα(Ω), se α < 1, e f ∈ C0,1(Ω) se α = 1. Ale´m disso, denotamos tambe´m [f ]Cα(Ω) = sup x,y∈Ω x 6=y |f(x)− f(y)| |x− y|α . (1.13) Em particular, note que se f e´ cont´ınua de Ho¨lder com expoente α em Ω, enta˜o |f(x)− f(y)| 6 [f ]Cα(Ω) |x− y|α para todos x, y ∈ Ω. Claramente, se uma func¸a˜o e´ cont´ınua de Ho¨lder em Ω, enta˜o ela e´ cont´ınua em Ω; na verdade, ela e´ uniformemente cont´ınua em Ω, o que motiva o nome de func¸a˜o uniformemente cont´ınua de Ho¨lder em Ω, a`s vezes usado na literatura. Uma func¸a˜o cont´ınua de Ho¨lder com expoente α = 1 e´ uma func¸a˜o cont´ınua de Lipschitz. 1.19 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Os espac¸os de Ho¨lder Ck,α (Ω) sa˜o definidos como os subespac¸os de Ck ( Ω ) consistindo das func¸o˜es cujas derivadas parciais ate´ a ordem k (inclusive) sa˜o todas cont´ınuas de Ho¨lder com expoente α em Ω: Ck,α ( Ω ) = { f ∈ Ck (Ω) : Dγf ∈ Cα(Ω) para todo |γ| 6 k} com norma ‖f‖Ck,α(Ω) = ‖f‖Ck(Ω) + max|γ|6k [D γf ]Cα(Ω) . (1.14) Permitindo α = 0, podemos incluir os espac¸os Ck ( Ω ) entre os espac¸os de Ho¨lder: Ck ( Ω ) = Ck,0 ( Ω ) . 1.20 Proposic¸a˜o. Ck,α ( Ω ) e´ um espac¸o vetorial normado. Prova. Provemos a validade da desigualdade triangular. Para isso, ja´ que ‖f‖Ck(Ω) nada mais e´ que a soma de normas do ma´ximo, portanto claramente uma norma, basta provar que a desigualdade triangular vale Rodney Josue´ Biezuner 11 para a seminorma [Dγf ]Cα(Ω) (uma seminorma e´ uma func¸a˜o que satisfaz todas as propriedades que uma norma satisfaz, exceto a condic¸a˜o (i) da Definic¸a˜o 1.1). Isso significa provar que sup x,y∈Ω x 6=y |(f + g) (x)− (f + g) f(y)| |x− y|α 6 supx,y∈Ω x6=y |f(x)− f(y)| |x− y|α + supx,y∈Ω x 6=y |g(x)− g(y)| |x− y|α . Mas isso segue diretamente da desigualdade triangular |(f + g) (x)− (f + g) f(y)| 6 |f(x)− f(y)|+ |g(x)− g(y)| e do fato que sup (A+B) 6 supA+ supB. ¥ 1.21 Proposic¸a˜o. Ck,α ( Ω ) e´ um espac¸o de Banach. Prova. Exerc´ıcio. ¥ 1.6 Exerc´ıcios 1.1 Mostre que ‖x‖∞ = limp→∞ ‖x‖p . 1.2 C1(Ω) com a me´trica L∞ e´ um espac¸o vetorial normado? E´ um espac¸o de Banach? 1.3 Seja E um espac¸o vetorial normado em relac¸a˜o a duas normas, ‖·‖1 e ‖·‖2. Dizemos que estas duas normas sa˜o equivalentes se existirem constantes C,D > 0 tais que ‖x‖1 6 C ‖x‖2 , ‖x‖2 6 D ‖x‖1 , para todo x ∈ E. Suponha que ‖·‖1 e ‖·‖2 sa˜o normas equivalentes. Prove que (E, ‖·‖1) e´ de Banach se e somente se (E, ‖·‖2) e´ de Banach. 1.4 Mostre que Ck,α ( Ω ) com a norma ‖f‖Ck,α(Ω) = k∑ i=0 ‖f‖Ci(Ω) + ∑ |γ|6k [Dγf ]Cα(Ω) e´ um espac¸o vetorial normado. Mostre que esta norma e´ equivalente a` norma definida no texto. 1.5 Demonstre a Proposic¸a˜o 1.21. Cap´ıtulo 2 Aplicac¸o˜es Lineares 2.1 Aplicac¸o˜es Lineares Limitadas Em espac¸os vetoriais normados, um crite´rio simples para a continuidade de aplicac¸o˜es lineares e´ encapsulado na seguinte definic¸a˜o, como veremos a seguir: 2.1 Definic¸a˜o. Sejam (E, ‖·‖E) e (F, ‖·‖F ) espac¸os vetoriais normados. Dizemos que uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F e´ limitada se existe uma constante M > 0 tal que ‖Tx‖F 6M ‖x‖E para todo x ∈ E. Em geral, omitiremos os subscritos das normas quando for claro do contexto a quais espac¸os elas se referem. 2.2 Proposic¸a˜o.Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes: (i) T e´ cont´ınua. (ii) T e´ cont´ınua na origem. (iii) T e´ limitada. Prova. (i)⇒(ii) O´bvio. (ii)⇒(iii) Tomando ε = 1 na definic¸a˜o (ε, δ) de continuidade em espac¸os me´tricos, existe δ > 0 tal que ‖x‖ 6 δ implica ‖Tx‖ 6 1. Portanto, se y ∈ E e´ um vetor na˜o nulo qualquer, temos∥∥∥∥T ( δy‖y‖ )∥∥∥∥ 6 1. Por linearidade conclu´ımos que ‖Ty‖ 6 1 δ ‖y‖ . (iii)⇒(i) Seja M tal que ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E. Enta˜o ‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ 6M ‖x− y‖ e portanto T e´ uma aplicac¸a˜o de Lipschitz, em particular (uniformemente) cont´ınua. ¥ 12 Rodney Josue´ Biezuner 13 2.3 Exemplo. Embora aplicac¸o˜es lineares em espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o finita sejam sempre cont´ınuas, o mesmo na˜o vale para espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o infinita. De fato, se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o infinita e F e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o maior ou igual a 1, podemos sempre construir uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F que na˜o e´ limitada. Para isso, seja B uma base para E, B′ ⊂ B um subconjunto enumera´vel de vetores e y ∈ F um vetor na˜o nulo qualquer. Definimos uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F definindo T em B por Txn = n ‖xn‖ y se xn ∈ B′ e Tx = 0 se x ∈ B\B′ . T na˜o e´ limitada, pois ‖Txn‖ = n ‖y‖ ‖xn‖ , logo na˜o existe uma constante M > 0 tal que ‖Txn‖ 6M ‖xn‖ . Em particular, vemos que se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o infinita, sempre existem funcionais lineares que na˜o sa˜o cont´ınuos, pois podemos tomar F = R. ¤ 2.4 Definic¸a˜o. Se E,F sa˜o espac¸os vetoriais normados, denotaremos o espac¸o vetorial das aplicac¸o˜es lin- eares limitadas por L (E,F ). Definimos a norma de uma aplicac¸a˜o linear limitada por ‖T‖ = inf {M ∈ R : ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E} . 2.5 Proposic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear limitada. Enta˜o ‖T‖ = sup x∈E\{0} ‖Tx‖ ‖x‖ = supx∈E ‖x‖61 ‖Tx‖ = sup x∈E ‖x‖=1 ‖Tx‖ . Prova. Seja M = sup x∈E x 6=0 ‖Tx‖ ‖x‖ . Enta˜o ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E, logoM > ‖T‖. Reciprocamente, como por definic¸a˜o ‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖ para todo x ∈ E, segue que ‖Tx‖ ‖x‖ 6 ‖T‖ para todo x ∈ E\ {0}, logo ‖T‖ 6M . Isso prova a primeira identidade. Para provar que sup x∈E\{0} ‖Tx‖ ‖x‖ = supx∈E ‖x‖=1 ‖Tx‖ = sup x∈E ‖x‖61 ‖Tx‖ , basta notar que ‖Tx‖ ‖x‖ = ∥∥∥∥T ( x‖x‖ )∥∥∥∥ . ¥ Apesar de uma aplicac¸a˜o linear limitada ser cont´ınua, na˜o podemos trocar o sup na bola unita´ria ou na esfera unita´ria pelo ma´ximo, pois em espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o infinita a bola e a esfera unita´ria nunca sa˜o compactas (veja o Corola´rio 1.39). Rodney Josue´ Biezuner 14 2.6 Proposic¸a˜o. Se E,F sa˜o espac¸os vetoriais normados, enta˜o L (E,F ) e´ um espac¸o vetorial normado. Prova. Sejam T, S ∈ L (E,F ). Temos ‖(T + S)x‖ = ‖Tx+ Sx‖ 6 ‖Tx‖+ ‖Sx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖+ ‖S‖ ‖x‖ = (‖T‖+ ‖S‖) ‖x‖ para todo x ∈ E, de modo que obtemos simultaneamente que T +S ∈ L (E,F ) e a validade da desigualdade triangular para a norma de aplicac¸o˜es lineares. ¥ 2.7 Proposic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o vetorial normado e F e´ um espac¸o de Banach, enta˜o L (E,F ) e´ um espac¸o de Banach. Prova. Seja {Tn} uma sequeˆncia de Cauchy em L (E,F ). Como ‖Tnx− Tmx‖ = ‖(Tn − Tm)x‖ 6 ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ , segue que {Tnx} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em F para todo x ∈ E. Defina Tx := limTnx. Afirmamos que T = limTn em L (E,F ). De fato, em primeiro lugar, T e´ uma transformac¸a˜o linear, pois T (αx+ βy) = limTn (αx+ βy) = lim (αTnx+ βTny) = α limTnx+ β limTny = αTx+ βTy. Ale´m disso, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que ‖Tn − Tm‖ < ε sempre que n,m > N . Enta˜o ‖Tnx− Tmx‖ 6 ε ‖x‖ para todo x ∈ E e fazendo n→∞ obtemos ‖(T − Tm)x‖ = ‖Tx− Tmx‖ 6 ε ‖x‖ para todo x ∈ E, sempre que m > N . Em particular, T − Tm ∈ L (E,F ), portanto T = (T − Tm) + Tm ∈ L (E,F ) e ‖T − Tm‖ < ε sempre que m > N , isto e´, Tm → T em L (E,F ). ¥ Reciprocamente, com a ajuda do teorema de Hahn-Banach (veja a pro´xima sec¸a˜o), pode-se provar que (se E 6= 0) se F na˜o e´ um espac¸o de Banach, enta˜o L (E,F ) na˜o e´ um espac¸o de Banach (Proposic¸a˜o 2.26). 2.8 Definic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o vetorial normado, denotaremos o espac¸o vetorial dos funcionais lineares limitadas por E∗. Ele e´ chamado o espac¸o dual de E. 2.9 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o vetorial normado, enta˜o E∗ e´ um espac¸o de Banach. 2.10 Proposic¸a˜o. Sejam E,F,G espac¸os vetoriais normados. Se T ∈ L (E,F ) e S ∈ L (F,G), enta˜o ST ∈ L (E,G) e ‖ST‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ . Prova. Temos ‖(ST )x‖ 6 ‖S‖ ‖Tx‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ ‖x‖ para todo x ∈ E. ¥ Rodney Josue´ Biezuner 15 2.11 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados. Dizemos que uma aplicac¸a˜o T : E −→ F e´ limitada inferiormente se existe uma constante m > 0 tal que ‖Tx‖ > m ‖x‖ para todo x ∈ E. 2.12 Proposic¸a˜o. Seja T ∈ L (E,F ). Enta˜o a inversa T−1 : ImT −→ E existe e e´ linear e limitada se e somente se T e´ limitada inferiormente. Prova. Suponha que T e´ limitada inferiormente. Enta˜o, se x 6= y segue que ‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ > m ‖x− y‖ > 0, logo T e´ injetiva e portanto a inversa T−1 : ImT −→ E esta´ bem definida. Como T (αx+ βy) = αTx+βTy, tomando T−1 em ambos os lados desta equac¸a˜o, segue tambe´m que T−1 (αTx+ βTy) = αx+ βy = αT−1 (Tx) + βT−1 (Ty) , logo T−1 e´ linear. Finalmente, ∥∥T−1 (Tx)∥∥ = ‖x‖ 6 m−1 ‖Tx‖ para todo y = Tx ∈ ImT , e portanto T−1 e´ limitada. Reciprocamente, suponha que T−1 : ImT −→ E existe e e´ linear e limitada. Enta˜o ‖x‖ = ∥∥T−1 (Tx)∥∥ 6 ∥∥T−1∥∥ ‖Tx‖ para todo x ∈ E, ou seja, ‖Tx‖ > ∥∥T−1∥∥−1 ‖x‖ . ¥ 2.13 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados. Dizemos que E e F sa˜o topologicamente iso- morfos quando existe uma aplicac¸a˜o linear bijetiva T : E −→ F tal que T e T−1 sa˜o limitadas. 2.14 Corola´rio. T : E −→ F e´ um isomorfismo topolo´gico entre os espac¸os vetoriais normados E e F se e somente se existem constantes m,M > 0 tais que m ‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6M ‖x‖ . Em particular, isomorfismos topolo´gicos preservam sequeˆncias de Cauchy e sequeˆncias convergentes; da´ı, se E e F sa˜o topologicamente isomorfos, enta˜o E e´ um espac¸o de Banach se e somente se F e´. 2.15 Proposic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o finita com a mesma dimensa˜o. Enta˜o E e F sa˜o topologicamente isomorfos. Prova. Como a relac¸a˜o de isomorfismo topolo´gico entre espac¸os vetorias normados e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia, basta mostrar que se dimE = n enta˜o E e´ topologicamente isomorfo a `1 (n). Seja B = {e1, . . . , en} uma base para E. Considere o isomorfismo T : `1 (n) −→ E definido por T (x1, . . . , xn) = n∑ i=1 xiei. Rodney Josue´ Biezuner 16 Afirmamos que T e´ um isomorfismo topolo´gico. De fato, T e´ limitada porque ‖Tx‖E 6 n∑ i=1 ‖xiei‖E = n∑ i=1 |xi| ‖ei‖E 6 ( max i=1,...,n ‖ei‖E ) n∑ i=1 |xi| =M ‖x‖`1(n) onde denotamos M = max i=1,...,n ‖ei‖E . Como T e´ cont´ınua, a func¸a˜o x 7→ ‖Tx‖ tambe´m e´ e assume um valor mı´nimo m na esfera unita´ria B = { x ∈ `1 (n) : ‖x‖ = 1}. Necessariamente m > 0, pois {e1, . . . , en} e´ um conjunto linearmente independente. Portanto, ∥∥∥∥T x‖x‖ ∥∥∥∥ > m para todo x ∈ E, x 6= 0, o que mostra que m ‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E. ¥ 2.16 Corola´rio. Todo espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e´ de Banach. Todo subespac¸o vetorial de dimensa˜o finita de um espac¸o vetorial normado e´ fechado. 2.17 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e T : E −→ F e´ linear, enta˜o T e´ cont´ınua. 2.18 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita, enta˜o um subconjunto de E e´ compacto se e somente se ele for fechado e limitado. Ale´m disso, se E e´um espac¸o vetorial normado tal que a bola unita´ria B = {x ∈ E : ‖x‖ 6 1} e´ compacta, enta˜o E possui dimensa˜o finita. Prova. Vamos provar a u´ltima afirmac¸a˜o. Para isso, provaremos antes o seguinte resultado: Seja E um espac¸o vetorial normado e F ⊂ E um subespac¸o vetorial fechado pro´prio de E. Enta˜o para todo 0 < ε < 1 existe y ∈ E tal que ‖y‖ = 1 e dist (y, F ) > ε. Seja z ∈ E\F e d = dist (z, F ). Como F e´ fechado, d 6= 0 e pela definic¸a˜o de distaˆncia existe x0 ∈ F tal que d 6 ‖z − x0‖ 6 d ε . Tome y = z − x0 ‖z − x0‖ , de modo que ‖y‖ = 1. Ale´m disso, para todo x ∈ F temos ‖y − x‖ = ∥∥∥∥ z − x0‖z − x0‖ − x ∥∥∥∥ = 1 ‖z − x0‖ ‖z − x0 − ‖z − x0‖x‖ > ε d ‖z − x1‖ , Rodney Josue´ Biezuner 17 onde x1 = x0 − ‖z − x0‖x ∈ F , logo ‖y − x‖ > ε d d = ε. Agora, suponha por absurdo que E e´ um espac¸o de dimensa˜o infinita. Vamos construir uma sequeˆncia {xn}n∈N ⊂ B que na˜o possui subsequeˆncia convergente, mostrando que B na˜o pode ser compacta. Tome x1 ∈ B qualquer. Como 〈x1〉 e´ um subespac¸o fechado de E e, por hipo´tese, E 6= 〈x1〉, existe x2 ∈ B tal que ‖x1 − x2‖ > 1/2. O subespac¸o 〈x1, x2〉 tambe´m e´ um subespac¸o fechado pro´prio de E, logo existe x3 ∈ B tal que ‖x1 − x3‖ > 1/2 e ‖x2 − x3‖ > 1/2. Continuando desta maneira, obtemos uma sequeˆncia {xn} ⊂ B tal que ‖xn − xm‖ > 1/2 para todos n,m ∈ N. Como nenhuma subsequeˆncia desta sequeˆncia pode ser de Cauchy, ela na˜o possui nenhuma subsequeˆncia convergente. ¥ 2.2 Exerc´ıcios 2.1 Verifique nos casos abaixo que o funcional linear esta´ bem definido e e´ limitado e calcule sua norma. a) f : `2 −→ R; f (x) = ∞∑ n=1 xn n . b) f : `∞0 −→ R; f (x) = ∞∑ n=1 xn 2n+1 . c) f : L1 (−1, 1) −→ R; f (x) = ∫ 1−1 tx (t) dt. 2.2 Considere o operador linear Mλ : `p −→ `p definido por Mλ (x) = (λ1x1, λ2x2, . . .) onde λ = (λn) ∈ `∞. Mλ e´ chamado multiplicac¸a˜o por λ. Verifique que Mλ e´ um operador linear bem definido e limitado e calcule sua norma. Para que sequeˆncias λ existe o operador inverso M−1λ ? Para que sequeˆncias λ o operador inverso M−1λ existe e e´ limitado? 2.3 Considere o operador shift S : `p −→ `p definido por Sx = (0, x1, x2, . . .) . S−1 existe e e´ limitado? Considere agora o operador truncamento T : `p −→ `p definido por Tx = (x2, x3, . . .) . T−1 existe e e´ limitado? 2.4 Seja T : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por (Tf) (t) = f (t) + ∫ t 0 f (s) ds. Mostre que T e´ um isomorfismo topolo´gico. Rodney Josue´ Biezuner 18 2.5 Seja E um espac¸o de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que ‖T‖ < 1. Mostre que I − T e´ um operador bijetivo, (I − T )−1 = ∞∑ n=1 Tn, (I − T )−1 e´ limitado e que ∥∥∥(I − T )−1∥∥∥ 6 1 1− ‖T‖ . 2.6 Seja E um espac¸o de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que ‖I − T‖ < 1. Mostre que T−1 existe e esta´ em L (E). 2.7 Seja E = { f ∈ C1 ([0, 1]) : f (0) = 0}. Dada g ∈ C ([0, 1]), considere a aplicac¸a˜o linear Tg : E −→ C ([0, 1]) definida por (Tgf) (t) = f ′ (t) + g (t) f (t) . Mostre que T−1 existe e e´ limitada. 2.8 A aplicac¸a˜o linear D : C1 ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por Df = f ′ e´ limitada? Se for, calcule ‖D‖ . 2.9 Seja E = { f ∈ C ([0, 1]) : f e´ de classe C1}. Considere a aplicac¸a˜o linear T : E −→ C ([0, 1]) definida por Df = f ′. D e´ limitada? Se for, calcule ‖D‖ . 2.10 A aplicac¸a˜o linear I : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por (If) (t) = ∫ t 0 f (s) ds. e´ limitada? Se for, calcule ‖I‖ . 2.11 Prove que na˜o existe norma em C∞ ([0, 1]) que torne o operador derivada Df = f ′ limitado. [Sugesta˜o: considere as func¸o˜es fλ (x) = eλx.] 2.3 O Teorema de Hahn-Banach O teorema de Hahn-Banach garante que todo espac¸o vetorial normado e´ ricamente suprido de funcionais lineares, de modo que pode-se obter uma teoria satisfato´ria de espac¸os duais e de operadores adjuntos. 2.19 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial normado. Dizemos que um funcional p : E −→ R e´ semilinear se ele for subaditivo, isto e´, p (x+ y) 6 p (x) + p (y) para todos x, y ∈ E, e positivo-homogeˆneo, ou seja, p (αx) = αp (x) para todos x ∈ E, α > 0. Um exemplo de funcional semilinear em um espac¸o vetorial normado e´ a pro´pria norma deste espac¸o. Para demonstrarmos o lema principal desta sec¸a˜o, que tambe´m e´ conhecido como o teorema de Hahn- Banach para espac¸os vetoriais (embora nestas notas na˜o nos referiremos a ele deste modo em geral, preferindo reservar o nome teorema de Hahn-Banach para o teorema de Hahn-Banach para espac¸os vetoriais normados), relembramos o lema de Zorn: Rodney Josue´ Biezuner 19 2.20 Lema. (Lema de Zorn) Seja A 6= ∅ um conjunto parcialmente ordenado. Se todo subconjunto total- mente ordenado de A possui um limitante superior, enta˜o A tem pelo menos um elemento maximal. 2.21 Lema. Sejam E um espac¸o vetorial e p : E −→ R um funcional semilinear. Seja F um subespac¸o vetorial de E e f0 : F −→ R um funcional linear tal que f0 (x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Enta˜o f0 se estende a um funcional linear f : E −→ R satisfazendo f (x) 6 p (x) para todo x ∈ E. Prova. Este resultado e´ uma consequeˆncia do Lema de Zorn. Seja A o conjunto de todas as extenso˜es lineares g : L (g) −→ R de f0 a um subespac¸o vetorial L (g) ⊃ F de E tais que g (x) 6 p (x) para todo x ∈ L (g). Note que A 6= ∅ porque f0 ∈ A. Definimos uma ordem parcial em A declarando g 6 h se L (g) ⊂ L (h) , isto e´, g 6 h se h e´ uma extensa˜o de g. Para ver que A satisfaz a hipo´tese do lema de Zorn, seja A ⊂ A um subconjunto totalmente ordenado. Enta˜o um limitante superior para A e´ o funcional g : L (g) −→ R onde L (g) = ⋃ h∈A L (h) e g e´ definido por g (x) = h (x) se x ∈ L (h) para qualquer h ∈ A. Observe que g esta´ bem definido porque A e´ totalmente ordenado. Pelo lema de Zorn, existe um elemento maximal f ∈ A. Para provar o resultado, basta mostrar que L (f) = E. Suponha por absurdo que existe x0 ∈ E\L (f). Considere o subespac¸o L = L (f) + 〈x0〉. Defina uma extensa˜o linear g : L −→ R de f por h (x+ tx0) = f (x) + tα, onde α ∈ R e´ uma constante a ser definida apropriadamente para que tenhamos h (y) 6 p (y) para todo y ∈ L, e portanto g contradizera´ a maximalidade de f . De fato, dados x1, x2 ∈ L (f), temos f (x1) + f (x2) = f (x1 + x2) 6 p (x1 + x2) 6 p (x1 + x0) + p (x2 − x0) , donde f (x2)− p (x2 − x0) 6 p (x1 + x0)− f (x1) . Escolha α tal que sup x∈L(f) [f (x)− p (x− x0)] 6 α 6 inf x∈L(f) [p (x+ x0)− f (x)] . Isso implica que h (x− x0) = f (x)− α 6 p (x− x0) , h (x+ x0) = f (x) + α 6 p (x+ x0) , para todo x ∈ L (f). Se t > 0, multiplicando f (x t ) + α 6 p (x t + x0 ) por t obtemos h (x+ tx0) = f (x) + tα 6 p (x+ tx0) . Se t < 0, multiplicando f ( x −t ) − α 6 p ( x −t − x0 ) por −t obtemos h (x+ tx0) = f (x) + tα 6 p (x+ tx0) . Se t = 0, o resultado e´ o´bvio. ¥ Rodney Josue´ Biezuner 20 2.22 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espac¸o vetorial normado e f0 : F −→ R um funcional linear limitado definido em um subespac¸o vetorial F ⊂ E. Enta˜o f0 se estende a um funcional linear f : E −→ R tal que ‖f‖E∗ = ‖f0‖F∗ . Prova. Basta aplicar o teorema anterior ao funcional semilinear p (x) = ‖f0‖F∗ ‖x‖ . ¥ 2.23 Corola´rio. Sejam E um espac¸o vetorial normado e F um subespac¸o vetorial de E. Suponha que exista x0 ∈ E tal que dist (x0, F ) = inf x∈F ‖x− x0‖ > 0. Enta˜o existe f ∈ E∗ tal que f (x0) = 1, ‖f‖E∗ = 1/dist (x0, F ) e f ≡ 0 sobre F . Em particular, se F e´ um subespac¸o vetorial de E que na˜o e´ denso em E, enta˜o existe f ∈ E∗ na˜o-nulo que se anula em F . Prova. Considere o subespac¸o vetorial F1 = F + 〈x0〉. Defina um funcional linear f0 : F1 −→ R por f0 (x+ tx0) = t. Note que f0 ≡ 0 sobre F e que f0 (x0) = 1. Escrevendo y = x+ tx0, se t 6= 0 temos que ‖y‖ = ‖x+ tx0‖ = |t| ∥∥∥x t + x0∥∥∥ > |t| dist (x0, F ) = |f0 (y)| dist (x0, F ) , ou seja, |f0 (y)| ‖y‖ 6 1 dist (x0, F ) para todo y ∈ F1, donde ‖f0‖F∗1 6 1 dist (x0, F ) . (2.1) Seja {yn} ⊂ F uma sequeˆncia tal que ‖x0 − yn‖ → dist (x0, F ). Temos 1 = f0 (x0 − yn) 6 ‖f0‖F∗1 ‖x0 − yn‖ , de modo que ao passarmos o limite quando n→∞ segue que ‖f0‖F∗1 > 1 dist (x0, F ) . (2.2) Portanto, ‖f0‖F∗1 = 1 dist (x0, F ) . Usando o teorema de Hahn-Banach, estendemos f linearmente a todo o espac¸o E. ¥ Este resultado e´ frequentemente usado para verificar se um subespac¸o vetorial de um espac¸o vetorial normado e´ denso. 2.24 Corola´rio. Seja E um espac¸o vetorial normado. Para todo vetor na˜o-nulo x0 ∈ E existe f ∈ E∗ tal que ‖f‖E∗ = 1 e f (x0) = ‖x0‖ . Rodney Josue´ Biezuner 21 Prova. Aplique o teorema de Hahn-Banach ao subespac¸o F = 〈x0〉 e ao funcional linear limitado f0 : F −→ R definido por f0 (tx0) = t ‖x0‖. ¥ 2.25 Corola´rio. Seja E um espac¸o vetorial normado. Para todo vetor x ∈ E vale ‖x‖ = sup f∈E∗\{0} |f (x)| ‖f‖ = supf∈E∗ ‖f‖61 |f (x)| = max f∈E∗ ‖f‖61 |f (x)| . Prova. Pelo corola´rio anterior existe g ∈ E∗ tal que ‖g‖E∗ = 1 e g (x) = ‖x0‖. Logo, sup f∈E∗\{0} |f (x)| ‖f‖ > |g (x)| ‖g‖ = ‖x‖ . Como |g (x)| 6 ‖g‖ ‖x‖, segue o resultado. ¥ 2.26 Proposic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados. Se L (E,F ) e´ um espac¸o de Banach, enta˜o F e´ um espac¸o de Banach. Prova. Em primeiro lugar, observamos que se f e´ funcional linear sobre E e y ∈ F e´ um vetor qualquer, enta˜o podemos definir uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F por Tx = f (x) y. Ale´m disso, se f for um funcional linear limitado, enta˜o T tambe´m e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada. De fato, ‖T‖ = sup ‖Tx‖‖x‖ = ‖y‖ sup |f (x)| ‖x‖ = ‖y‖ ‖f‖ . Seja {yn}n∈N uma sequeˆncia de Cauchy em F . Pelo Corola´rio 2.24, existe um funcional linear f ∈ E∗ tal que ‖f‖ = 1. Para cada n ∈ N, defina uma aplicac¸a˜o linear Tn ∈ L (E,F ) por Tnx = f (x) yn. Enta˜o ‖Tn‖ = ‖yn‖ e {Tn}n∈N e´ uma sequeˆncia de Cauchy em L (E,F ). Como L (E,F ) e´ um espac¸o de Banach, Tn → T em L (E,F ). Em particular, Tnx→ Tx em F para todo x ∈ E. Escolhendo x ∈ E tal que f (x) = 1, segue que Tnx = yn e portanto yn → Tx. ¥ Assim, juntamente com a Proposic¸a˜o 2.7, este resultado implica que L (E,F ) e´ um espac¸o de Banach se e somente se F e´ um espac¸o de Banach. 2.4 Formas Geome´tricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos 2.27 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial. Um hiperplano afim e´ um conjunto da forma H = f−1 (α) = {x ∈ E : f (x) = α} , onde f : E −→ R e´ um funcional linear na˜o-nulo e α ∈ R. 2.28 Proposic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial normado. O hiperplano H = f−1 (α) e´ fechado se e somente se f e´ limitada. Rodney Josue´ Biezuner 22 Prova. Suponha que H e´ fechado. Enta˜o E\H e´ aberto e na˜o-vazio (porque f e´ na˜o-nulo). Escolha x0 ∈ E\H tal que f (x0) < α, para fixar ide´ias, e uma bola Br (x0) ⊂ E\H. Afirmamos que f (x) < α para todo x ∈ Br (x0). Com efeito, se f (x1) > α para algum x1 ∈ Br (x0), considere o segmento L = {(1− t)x0 + tx1 : 0 6 t 6 1} que esta´ inteiramente contido em Br (x0). Tomando t = f (x1)− α f (x1)− f (x0) temos f ((1− t)x1 + tx0) = (1− t) f (x1) + tf (x0) = ( 1− f (x1)− α f (x1)− f (x0) ) f (x1) + f (x1)− α f (x1)− f (x0)f (x0) = [α− f (x0)] f (x1) + [f (x1)− α] f (x0) f (x1)− f (x0) = α, contradizendo Br (x0) ⊂ E\H. Portanto, conclu´ımos que f (x0 + rz) < α para todo z ∈ B1 (0), donde (usando o fato que f (z) = −f (−z)) |f (z)| 6 1 r (α− f (x0)) para todo z ∈ B1 (0), o que implica que f e´ limitada e ‖f‖ 6 1 r (α− f (x0)) . A rec´ıproca e´ o´bvia. ¥ 2.29 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial e A,B ⊂ E subconjuntos quaisquer. Dizemos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido amplo se f (x) 6 α para todo x ∈ A e f (x) > α para todo x ∈ B. Dizemos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que f (x) 6 α− ε para todo x ∈ A e f (x) > α+ ε para todo x ∈ B. 2.30 Lema. (Funcional de Minkowski) Seja E um espac¸o vetorial normado e C ⊂ E um conjunto aberto convexo contendo a origem. Defina o funcional pC : E −→ R por pC (x) = inf { α > 0 : x α ∈ C } . Enta˜o pC e´ um funcional semilinear que satisfaz (i) existe M > 0 tal que 0 6 pC (x) 6M ‖x‖ para todo x ∈ E; (ii) C = {x ∈ E : pC (x) < 1} . Prova. Para simplificar a notac¸a˜o, denotaremos pC por p. Prova de (i): Seja r > 0 tal que Br [0] ⊂ C. Enta˜o, para todo x ∈ E, r x‖x‖ ∈ C, logo por definic¸a˜o p (x) 6 r‖x‖ . Rodney Josue´ Biezuner 23 Prova de (ii): Seja x ∈ C. Como C e´ aberto, existe ε > 0 tal que (1 + ε)x ∈ C, logo por definic¸a˜o p (x) 6 1 1 + ε < 1 Reciprocamente, se p (x) < 1, enta˜o existe 0 < α < 1 tal que x α ∈ C, donde x = αx α + (1− α) 0 ∈ C, ja´ que C e´ convexo e conte´m a origem. Por fim, vamos verificar que p e´ semilinear. E´ fa´cil ver que p e´ positivo-homogeˆneo. Para verificar a subaditividade de p, sejam x, y ∈ E e ε > 0. De (ii) e do fato de p ser positivo-homogeˆneo segue que x p (x) + ε , y p (y) + ε ∈ C. Da´ı, t x p (x) + ε + (1− t) y p (y) + ε ∈ C para todo 0 6 t 6 1. Em particular, escolhendo t = p (x) + ε p (x) + p (y) + 2ε , temos que x+ y p (x) + p (y) + 2ε ∈ C. Pela positivo-homogeneidade de p e por (ii), conclu´ımos que p (x+ y) < p (x) + p (y) + 2ε. Como ε > 0 e´ arbitra´rio, segue a subaditividade de p. ¥ 2.31 Lema. Seja E um espac¸o vetorial normado e C ( E um conjunto aberto convexo na˜o-vazio. Seja x0 ∈ E\C. Enta˜o existe f ∈ E∗ tal que f (x) < f (x0) para todo x ∈ C. Em particular, o hiperplano H = f−1 (f (x0)) separa x0 e C no sentido amplo. Prova. Fazendo uma translac¸a˜o, podemos assumir que 0 ∈ C e definir o funcional de Minkowski p de C. Considere F = 〈x0〉 e o funcional linear sobre F dado por f0 (tx0) = t. Como p (x0) > 1 (por (ii) do lema anterior), temos p (tx0) = tp (x0) > t se t > 0; se t < 0, p (tx0) > t trivialmente, porque o funcional de Minkowski p e´ na˜o-negativo. Segue que f0 (x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Podemos portanto usar o teorema de Hahn-Banach (Lema 2.21) para concluir que f0 possui uma extensa˜o linear f : E −→ R tal que f (x) 6 p (x) para todo x ∈ E. De (i) do lema anterior, segue que f e´ limitada. Finalmente, como p (x) < 1 para todo x ∈ C, segue que f (x) 6 p (x) < 1 = f (x0) para todo x ∈ C. ¥ 2.32 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, primeira forma geome´trica) Seja E um espac¸o vetorial nor- mado. Sejam A,B ⊂ E conjuntos convexos na˜o-vazios disjuntos, com A aberto. Enta˜o existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido amplo. Prova. Seja C = A−B = {x− y : x ∈ A e y ∈ B} . C e´ convexo, pois se x1 − y1, x2 − y2 ∈ C enta˜o t (x1 − y1) + (1− t) (x2 − y2) = tx1 + (1− t)x2 − [ty1 + (1− t) y2] ∈ C, e C e´ aberto porque C = ∪y∈B (A− y), unia˜o de abertos (translac¸a˜o e´ um homeomorfismo). Ale´m disso, 0 /∈ C porque A e B sa˜o disjuntos. Pelo lema anterior, tomando x0 = 0, existe f ∈ E∗ tal que f (z) < 0 para todo z ∈ C, ou seja, f (x) < f (y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Escolhendo α tal que sup A f 6 α 6 inf B f, conclu´ımos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido amplo. ¥ Rodney Josue´ Biezuner 24 2.33 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, segunda forma geome´trica) Seja E um espac¸o vetorial nor- mado. Sejam A,B ⊂ E conjuntos convexos na˜o-vazios disjuntos, com A fechado e B compacto. Enta˜o existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido estrito. Prova. Dado ε > 0, sejam Aε = A+Bε (0) e Bε = B +Bε (0) , de modo que A e B sa˜o abertos, convexos e na˜o-vazios. Ale´m disso, tomando ε < dist (A,B), segue que Aε e Bε sa˜o disjuntos. Pelo teorema anterior, existe um hiperplano fechado H = f−1 (α) que separa Aε e Bε no sentido amplo, logo f (x+ εz) 6 α6 f (y + εz) para todos x ∈ A, y ∈ B e z ∈ B1 (0). Da´ı, f (x) + ε ‖f‖ 6 α 6 f (y) + ε ‖f‖ . ¥ 2.5 Exerc´ıcios 2.12 Sejam E um espac¸o vetorial e f : E −→ R um funcional linear. Mostre que a codimensa˜o do nu´cleo de f e´ 1, ou seja, podemos escrever E = ker f ⊕ 〈x0〉 onde x0 e´ qualquer vetor de E tal que f (x0) 6= 0. 2.13 Seja E um espac¸o vetorial normado. Se f : E −→ R e´ um funcional linear tal que para toda sequeˆncia {xn}n∈N convergente para 0 a sequeˆncia {f (xn)}n∈N e´ limitada, mostre que f e´ limitado. 2.14 Seja E um espac¸o vetorial normado. Prove que um funcional linear f : E −→ R e´ limitado se e somente se ker f e´ fechado. 2.15 Sejam E um espac¸o vetorial normado e L = 〈x1, x2, . . .〉 um subespac¸o vetorial gerado por um conjunto enumera´vel de vetores. Mostre que x ∈ L se e somente se para todo f ∈ E∗ tal que f (xn) = 0 para todo n tem-se f (x) = 0. 2.16 Sejam E um espac¸o vetorial normado e f : E −→ R um funcional linear limitado na˜o-nulo. Considere o hiperplano H = f−1 (1). Mostre que ‖f‖ = 1 inf x∈H ‖x‖ . 2.17 Sejam E um espac¸o vetorial normado e F um subespac¸o vetorial pro´prio de E. Mostre que se T0 : F −→ RN e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada, enta˜o T se estende a uma aplicac¸a˜o linear limitada T : E −→ RN com ‖T‖ = ‖T0‖. Cap´ıtulo 3 Os Teoremas da Limitac¸a˜o Uniforme, da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado 3.1 O Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme 3.1 Lema. (O Teorema da Categoria de Baire) Seja X um espac¸o me´trico completo. Seja {Fn}n∈N uma colec¸a˜o enumera´vel de conjuntos fechados de X. Se intFn = ∅ para todo n, enta˜o int ( ⋃ n∈N Fn ) = ∅. Alternativamente, seja X um espac¸o me´trico completo na˜o-vazio. Seja {Fn}n∈N uma colec¸a˜o enu- mera´vel de conjuntos fechados de X tal que X = ⋃ n∈N Fn. Enta˜o existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅. 3.2 Teorema. (Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme) Sejam E,F espac¸os vetoriais normados, sendo E um espac¸o de Banach. Seja {Tλ}λ∈Λ uma colec¸a˜o de operadores lineares limitados de E em F puntual- mente limitados, isto e´, para todo x ∈ E existe Cx > 0 tal que ‖Tλx‖ 6 Cx para todo λ ∈ Λ. Enta˜o {Tλ}λ∈Λ e´ uniformemente limitada, ou seja, existe C > 0 tal que ‖Tλ‖ 6 C para todo λ ∈ Λ. Prova. Para cada n ∈ N, considere o conjunto Fn = {x ∈ E : ‖Tλx‖ 6 n para todo λ ∈ Λ} . Enta˜o Fn e´ fechado, porque Fn = ⋂ λ∈Λ G−1λ [0, n] onde Gλ e´ a func¸a˜o cont´ınua Gλ = ‖·‖ ◦ Tλ. Por hipo´tese, X = ⋃ n∈N Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅. Seja Br (x0) ⊂ Fn0 . Temos ‖Tλ (x0 + rz)‖ 6 n0 para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ. Logo, ‖Tλ (z)‖ 6 n0 + ‖Tλx0‖ r 25 Rodney Josue´ Biezuner 26 para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ, ou seja, ‖Tλ‖ 6 n0 + Cx r para todo λ ∈ Λ. ¥ 3.3 Corola´rio. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados, sendo E um espac¸o de Banach. Seja {Tn}n∈N uma sequeˆncia de operadores lineares limitados de E em F tais que para todo x ∈ E a sequeˆncia {Tnx}n∈N converge para um elemento de F que denotaremos Tx. Enta˜o {Tn}n∈N e´ uniformemente limitada, T e´ um operador linear limitado e ‖T‖ 6 lim inf ‖Tn‖ . Prova. A limitac¸a˜o uniforme da sequeˆncia decorre do teorema anterior. O fato de T ser linear decorre das propriedades de limites de somas e multiplicac¸a˜o por escalar de sequeˆncias e da linearidades dos operadores da sequeˆncia, como na Proposic¸a˜o 2.7. Como, pelo teorema anterior, existe uma constante C > 0 independente de x tal que ‖Tnx‖ 6 C ‖x‖ para todo x ∈ X, tomando o limite quando n→∞ obtemos que T e´ limitado. Finalmente, como ‖Tnx‖ 6 ‖Tn‖ ‖x‖ , da definic¸a˜o de norma de um operador segue o u´ltimo resultado. ¥ 3.4 Corola´rio. Sejam E um espac¸o vetorial normado e B ⊂ E um subconjunto. Se para todo f ∈ E∗ o conjunto f (B) e´ limitado, enta˜o B e´ limitado. Prova. Aplicamos o Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme substituindo E = E∗ (que e´ um espac¸o de Banach, como vimos no Corola´rio 2.9), F = R e Λ = B. Para todo b ∈ B definimos um operador linear limitado Tb : E∗ −→ R por Tbf = f (b) . De fato, ‖Tbf‖ = ‖f (b)‖ 6 ‖f‖ ‖b‖ = ‖b‖ ‖f‖ A colec¸a˜o {Tbf}b∈B e´ limitada para cada f ∈ E∗ por hipo´tese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe uma constante C > 0 independente de f tal que |f (b)| 6 C ‖f‖ para todo f ∈ E∗. Usando o Corola´rio 2.25 conclu´ımos que ‖b‖ 6 C para todo b ∈ B. ¥ 3.5 Corola´rio. Sejam E um espac¸o de Banach e B∗ ⊂ E∗ um subconjunto. Se para todo x ∈ E o conjunto 〈B∗, x〉 = ⋃ f∈B∗ f (x) e´ limitado, enta˜o B∗ e´ limitado. Prova. Aplicamos o Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme substituindo F = R e Λ = B∗. Para todo b∗ ∈ B∗ considere o funcional linear limitado Tb∗ = b∗. A colec¸a˜o {Tb∗x}b∗∈B∗ e´ limitada para cada x ∈ E por hipo´tese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe uma constante C > 0 tal que ‖b∗‖ 6 C para todo b∗ ∈ B∗. ¥ Rodney Josue´ Biezuner 27 3.2 Os Teoremas da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado 3.6 Teorema. (Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta) Sejam E,F espac¸os de Banach e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear limitada e sobrejetiva. Enta˜o existe r > 0 tal que T (B1 (0)) ⊃ Br (0) Em particular, T e´ uma aplicac¸a˜o aberta. Prova. Passo 1. Seja T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear sobrejetiva. Enta˜o existe r > 0 tal que T (B1 (0)) ⊃ B2r (0) . Seja Fn = nT (B1 (0)). Enta˜o Fn e´ fechado e F = ⋃ n∈N Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire (F e´ de Banach) existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅. Em particular, intT (B1 (0)) 6= ∅. Sejam y ∈ F e r > 0 tais que B4r (y) ⊂ T (B1 (0)). Em particular, y,−y ∈ T (B1 (0)). Obtemos B4r (0) = −y +B4r (y) ⊂ T (B1 (0)) + T (B1 (0)) = 2T (B1 (0)) a u´ltima igualdade valendo porque T (B1 (0)) e´ convexo (pois aplicac¸o˜es lineares sa˜o aplicac¸o˜es convexas, isto e´, levam conjuntos convexos em conjuntos convexos, o fecho de um conjunto convexo e´ convexo e podemos sempre escrever x+ y = 2 ( 1 2x+ 1 2y ) ). Como B4r (y) ⊂ 2T (B1 (0)), segue o resultado. Passo 2. Seja T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear limitada. Se existe r > 0 tal que T (B1 (0)) ⊃ B2r (0) , enta˜o T (B1 (0)) ⊃ Br (0) . Dado y ∈ Br (0) ⊂ F , queremos encontrar x ∈ B1 (0) ⊂ E tal que Tx = y. Sabemos que, dado ε > 0, existe z ∈ B1/2 (0) ⊂ E tal que Tz ∈ Bε (y). De fato, como 2y ∈ B2r (0), existe z′ ∈ B1 (0) tal que ‖Tz′ − 2y‖ < ε; da´ı, ∥∥∥∥T z′2 − y ∥∥∥∥ < ε2 e podemos tomar z = z′/2. Escolhendo ε = r/2 obtemos z1 ∈ E tal que ‖z1‖ < 12 e ‖y − Tz1‖ < r 2 . Aplicando o mesmo argumento a y − Tz1 e escolhendo ε = r/4, encontramos z2 ∈ E tal que ‖z2‖ < 14 e ‖(y − Tz1)− Tz2‖ < r 2 . Procedendo desta forma, obtemos uma sequeˆncia {zn}n∈N tal que ‖zn‖ < 12n e ‖y − T (z1 + . . .+ zn)‖ < r 2n para todo n. Em particular, a sequeˆncia {xn}n∈N definida por xn = z1 + . . .+ zn e´ de Cauchy. Como E e´ de Banach, podemos tomar x = limxn e x satisfaz ‖x‖ < ∞∑ n=1 1 2n = 1 Rodney Josue´ Biezuner 28 e y = limTxn = T (limxn) = Tx. Juntando os dois passos, o teorema fica provado. Para ver que T e´ aberta, seja U ⊂ E um aberto e mostremos que T (U) e´ aberto. Dado y ∈ T (U), seja x ∈ E tal que y = Tx. Seja ε > 0 tal que Bε (x) ⊂ U , ou seja, x+Bε (0) ⊂ U . Enta˜o y + T (Bε (0)) ⊂ T (U). Pelo teorema T (Bε (0)) ⊃ Bεr (0), logo Bεr (y) ⊂ T (U). ¥ 3.7 Corola´rio. Sejam E,F espac¸os de Banach. Se T : E −→ F e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada bijetiva, enta˜o a aplicac¸a˜o linear T−1 : F −→ E e´ cont´ınua. Prova. Pois a inversa de uma aplicac¸a˜o aberta e´ cont´ınua. ¥ Em outras palavras, um operador linear limitado bijetivo entre espac¸os de Banach e´ automaticamente um isomorfismo topolo´gico. 3.8 Corola´rio. Seja E um espac¸o de Banach. Se ‖·‖1 , ‖·‖2 sa˜o duas normas tais que existe uma constante C > 0 tal que ‖x‖1 6 C ‖x‖2 para todo x ∈ E, enta˜o elas sa˜o normas equivalentes. 3.9 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸osvetoriais normados. Dizemos que uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F e´ fechada se seu gra´fico G (T ) = {(x, Tx) : x ∈ E} e´ fechado em E × F . Observe que o gra´fico de uma aplicac¸a˜o linear e´ um subespac¸o vetorial de E×F . E´ claro que toda aplicac¸a˜o linear cont´ınua e´ fechada, entretanto existem muitos exemplos de operadores lineares importantes na pra´tica que na˜o sa˜o cont´ınuos mas pelo menos sa˜o fechados. Se E e F sa˜o espac¸os de Banach, os dois conceitos sa˜o equivalentes: 3.10 Teorema. (Teorema do Gra´fico Fechado) Sejam E,F espac¸os de Banach e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear fechada. Enta˜o T e´ limitada. Prova. Consideremos duas normas em E: ‖x‖1 = ‖x‖E e ‖x‖2 = ‖x‖E + ‖Tx‖F . (A segunda norma e´ a`s vezes chamada norma do gra´fico.) Como G (T ) e´ fechado, E sob a norma do gra´fico ainda e´ um espac¸o de Banach. De fato, se {xn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em (E, ‖·‖2), enta˜o em particular {xn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em (E, ‖·‖1) pois ‖x‖1 6 ‖x‖2 e {Txn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em (F, ‖·‖F ) pois ‖Tx‖F 6 ‖x‖2. Se x = limxn e y = limTxn, segue que (xn, Txn)→ (x, y) em E × F . Como G e´ fechado, temos que (x, y) ∈ G, logo y = Tx. Podemos enta˜o usar o Corola´rio 3.8 para concluir que existe uma constante C > 0 tal que ‖x‖2 6 C ‖x‖1 para todo x ∈ E. Em particular, segue que ‖Tx‖F 6 C ‖x‖1 . ¥ A hipo´tese dos espac¸os E,F serem de Banach e´ necessa´ria (veja os Exerc´ıcios 3.7 e 3.14). Rodney Josue´ Biezuner 29 3.3 Operadores Adjuntos O teorema de Hahn-Banach tambe´m e´ crucial para estabelecer uma teoria satisfato´ria de operadores adjuntos. A partir desta sec¸a˜o, frequentemente usaremos a notac¸a˜o 〈f, x〉 = f (x) se x ∈ E e f : E −→ R e´ um funcional linear. 3.11 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e A : E −→ F um operador linear limitado. O operador adjunto A∗ : F ∗ −→ E∗ e´ o u´nico operador linear limitado que satisfaz 〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 para todos x ∈ E e g ∈ F ∗. 3.12 Proposic¸a˜o. O operador adjunto esta´ bem definido. Ale´m disso, ‖A∗‖ = ‖A‖ . Prova. De fato, se A : E −→ F e´ um operador linear limitado e g ∈ F ∗, enta˜o o funcional f : E −→ R definido por f (x) = g (Ax) e´ um funcional linear limitado, pois |f (x)| = |g (Ax)| 6 ‖g‖ ‖Ax‖ 6 ‖g‖ ‖A‖ ‖x‖ . Logo, podemos definir A∗ : F ∗ −→ E∗ por A∗g = f. A desigualdade que provamos acima implica que ‖A∗g‖ = ‖f‖ 6 ‖A‖ ‖g‖, portanto ‖A∗‖ 6 ‖A‖ . Por outro lado, ‖A∗‖ = sup g∈F∗\{0} ‖A∗g‖ ‖g‖ . Pelo teorema de Hahn-Banach (Corola´rio 2.24), se x0 ∈ E e´ tal que ‖x0‖ = 1 e Ax0 6= 0, enta˜o existe g ∈ F ∗ tal que ‖g‖ = 1 e g (Ax0) = ‖Ax0‖ . Logo ‖A∗g‖ ‖g‖ = ‖A ∗g‖ > |〈A ∗g, x0〉| ‖x0‖ = |〈g,Ax0〉| = ‖Ax0‖ . Assim, ‖A∗‖ > ‖Ax0‖ para todo x0 ∈ E tal que ‖x0‖ = 1, donde ‖A∗‖ > sup ‖x0‖=1 ‖Ax0‖ = ‖A‖ . ¥ Usaremos a seguinte noc¸a˜o padra˜o no que se segue. Rodney Josue´ Biezuner 30 3.13 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais e A : E −→ F um operador linear. O nu´cleo de A e´ o subespac¸o vetorial de E definido por N (A) = {x ∈ E : Ax = 0} e a imagem de A e´ o subespac¸o vetorial de F definido por R (A) = {y ∈ F : y = Ax para algum x ∈ E} . Uma das razo˜es de se considerar operadores adjuntos e´ dada a seguir. Muitos problemas em matema´tica pura e aplicada podem ser formulados da seguinte forma: dados espac¸os vetoriais normados E,F e um operador linear A : E −→ F , encontrar uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o Ax = y. Se y ∈ R (A), esta equac¸a˜o possuir uma soluc¸a˜o x. Enta˜o, para cada g ∈ F ∗ no´s temos g (Ax) = g (y) e tomando o operador adjunto segue que (A∗g) (x) = g (y) Se g ∈ N (A∗), isto da´ g (y) = 0 Portanto, uma condic¸a˜o necessa´ria para que y ∈ R (A) e´ que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗). A questa˜o fundamental a ser respondida e´ se esta condic¸a˜o tambe´m e´ suficiente. Em dimensa˜o finita, esta condic¸a˜o e´ verdadeira, conhecida como a alternativa de Fredholm. Veremos como essa condic¸a˜o e´ traduzida para espac¸os vetoriais normados em geral. Antes, estabelecemos notac¸a˜o. 3.14 Definic¸a˜o. Sejam E um espac¸o vetorial normado e V ⊂ E um subespac¸o vetorial. O anulador de V e´ o subespac¸o vetorial V ⊥ de E∗ dos funcionais lineares que anulam V , isto e´, V ⊥ = {f ∈ E∗ : f (x) = 0 para todo x ∈ V } . Analogamente, se W e´ um subespac¸o vetorial de E∗, o anulador de W e´ o subespac¸o vetorial W⊥ de E dos vetores que sa˜o anulados pelos funcionais lineares de W , ou seja, W⊥ = {x ∈ E : f (x) = 0 para todo f ∈W} . 3.15 Proposic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o vetorial normado, V e´ um subespac¸o vetorial de E e W e´ um subespac¸o vetorial de E∗, enta˜o V ⊥ e W⊥ sa˜o fechados. Ale´m disso,( V ⊥ )⊥ = V e ( W⊥ )⊥ ⊃W Prova. Seja {fn}n∈N ⊂ V ⊥ tal que fn → f em E∗. Enta˜o fn (x)→ f (x) para todo x ∈ E. Em particular isso vale para x ∈ V , logo f (x) = 0 para todo x ∈ V , donde f ∈ V ⊥. Rodney Josue´ Biezuner 31 Seja {xn}n∈N ⊂W⊥ tal que xn → x em E. Enta˜o f (xn)→ f (x) para todo f ∈ E∗ pois f e´ cont´ınuo. Em particular isso vale para f ∈W , logo f (x) = 0 para todo f ∈W , donde x ∈W⊥. Claramente V ⊂ (V ⊥)⊥ e como (V ⊥)⊥ e´ fechado, segue que V ⊂ (V ⊥)⊥. Reciprocamente, suponha por absurdo que existe x0 ∈ ( V ⊥ )⊥ tal que x0 /∈ V . Pelo teorema de Hahn-Banach existe f ∈ E∗ tal que f ≡ 0 em V e f (x0) 6= 0. Mas enta˜o f ∈ V ⊥ e na˜o podemos ter x0 ∈ ( V ⊥ )⊥. ¥ Em particular, se V e´ um subespac¸o fechado de E, vale a igualdade( V ⊥ )⊥ = V. Veremos no pro´ximo cap´ıtulo que se E e´ reflexivo vale a igualdade( W⊥ )⊥ =W 3.16 Teorema. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e A : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear. Enta˜o vale: (i) N (A) = R (A∗)⊥ . (ii) N (A∗) = R (A)⊥ . (iii) R (A) = N (A∗)⊥ . (iv) R (A∗) ⊂ N (A)⊥ . Prova. (i) Se x ∈ N (A), enta˜o 〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g, 0〉 = 0 para todo g ∈ F ∗, ou seja, x ∈ R (A∗)⊥. Reciprocamente, se x ∈ R (A∗)⊥, enta˜o 〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 = 0 para todo g ∈ F ∗, ou seja, Ax = 0 e x ∈ N (A). (ii) Se g ∈ N (A∗), enta˜o 〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 = 〈0, x〉 = 0 para todo x ∈ E, logo g ∈ R (A)⊥. Reciprocamente, se g ∈ R (A)⊥, enta˜o 〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 0 para todo x ∈ E, logo A∗g = 0 e g ∈ N (A∗). (iii) e (iv) decorrem da aplicac¸a˜o da proposic¸a˜o anterior a (ii) e (i), respectivamente. ¥ 3.17 Corola´rio. Seja E um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e A : E −→ E um operador linear. Enta˜o A e´ injetiva se e somente se A∗ e´ sobrejetiva e A e´ sobrejetiva se e somente se A∗ e´ injetiva. No caso de espac¸os de Banach mais gerais, podemos concluir que se A e´ sobrejetiva enta˜o A∗ e´ injetiva: 3.18 Teorema. Sejam E,F espac¸os de Banach e A : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear fechada. Enta˜o sa˜o equivalentes (i) R (A) = F. Rodney Josue´ Biezuner 32 (ii) A∗ e´ limitado inferiormente. (iii) A e´ uma aplicac¸a˜o aberta. Prova. Pelo teorema do gra´fico fechado, A e´ limitada. (i)⇒(ii) Como A e´ sobrejetiva, pelo teorema da aplicac¸a˜o aberta existe r > 0 tal que A (B1 (0)) ⊃ Br (0). Logo, ‖A∗g‖ = sup ‖x‖61 |〈A∗g, x〉| = sup ‖x‖61 |〈g,Ax〉| > r sup ‖y‖61 |〈g, y〉| = r ‖g‖ . (ii)=⇒(iii)Vamos mostrar que A satisfaz o primeiro passo da demonstrac¸a˜o do teorema da aplicac¸a˜o aberta: existe r > 0 tal que A (B1 (0)) ⊃ Br (0) . Como A e´ limitada, seguira´ do segundo passo da demonstrac¸a˜o daquele teorema que A e´ aberta. Seja r > 0 tal que ‖A∗g‖ > r ‖g‖ para todo g ∈ F ∗. Equivalentemente, mostraremos que se y0 /∈ A (B1 (0)), enta˜o ‖y0‖ > r. Aplicando a segunda forma geome´trica do teorema de Hanh-Banach aos conjuntos convexos {y} e A (B1 (0)), obtemos g ∈ F ∗ tal que |g (y)| < 1 < |g (y0)| para todo y ∈ A (B1 (0)) (podemos tomar g = f/α para f, α do enunciado daquele teorema). Em particular, isto implica que ‖A∗g‖ = sup ‖x‖61 |〈A∗g, x〉| = sup ‖x‖61 |〈g,Ax〉| 6 1 e r < r |g (y0)| 6 r ‖g‖ ‖y0‖ 6 ‖A∗g‖ ‖y0‖ 6‖y0‖ , conforme quer´ıamos. (iii)⇒(i) Como A e´ aberta, R (A) e´ um subespac¸o vetorial aberto de F . Isso so´ e´ poss´ıvel se R (A) = F . ¥ 3.19 Teorema. (Teorema da Imagem Fechada de Banach) Sejam E,F espac¸os de Banach e A : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear fechada. Enta˜o sa˜o equivalentes (i) R (A) e´ fechado. (ii) R (A∗) e´ fechado. (iii) R (A) = N (A∗)⊥ . (iv) R (A∗) = N (A)⊥ . Prova. (i)⇔(iii) segue diretamente do Teorema 3.16, logo e´ suficiente provar a cadeia de implicac¸o˜es (i)⇒(iv)⇒(ii)⇒(i). (i)⇒(iv) Pelo Teorema 3.16, temos R (A∗) ⊂ N (A)⊥, logo resta apenas mostrar que N (A)⊥ ⊂ R (A∗). Seja f ∈ N (A)⊥; vamos obter g ∈ F ∗ tal que A∗g = f . Defina um funcional linear g0 : R (A) −→ R por g0 (Ax) = f (x) para todo x ∈ E. g0 esta´ bem definido, porque se Ax1 = Ax2 enta˜o x1 − x2 ∈ N (A), logo f (x1 − x2) = 0. Para ver que g0 e´ limitada, considere a restric¸a˜o de contradomı´nio A : E −→ R (A); como R (A) e´ um subespac¸o vetorial fechado de um espac¸o de Banach, ele tambe´m e´ um espac¸o de Banach e podemos aplicar o teorema da aplicac¸a˜o aberta para concluir que existe r > 0 tal que A (B1 (0)) ⊃ Br (0)R(A) Rodney Josue´ Biezuner 33 onde Br (0)R(A) denota a bola aberta de centro na origem e raio r no espac¸o de Banach R (A). Isso implica que existe C > 0 tal que para todo y ∈ R (A) existe x ∈ E satisfazendo Ax = y e ‖x‖ 6 C ‖y‖. De fato, se y ∈ R (A), enta˜o r 2 ‖y‖y ∈ Br (0)R(A), logo existe z ∈ B1 (0) tal que Az = r 2 ‖y‖y e podemos tomar x = 2 ‖y‖ r z de modo que Ax = y e ‖x‖ 6 r 2 ‖y‖. Da´ı, |g0 (y)| = |g0 (Ax)| = |f (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ 6 C ‖f‖ ‖y‖ . Portanto, pelo teorema de Hahn-Banach g0 pode ser estendida a um funcional g ∈ F ∗ com 〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g0, Ax〉 = f (x) . (iv)⇒(ii) Pelo Teorema 3.16, R (A∗) ⊂ R (A∗) ⊂ N (A)⊥ , logo se R (A∗) = N (A)⊥, segue que R (A∗) = R (A∗). (ii)⇒(i) Seja Z = R (A). Como R (A) e´ denso em Z, o anulador de R (A) em Z so´ pode ser o funcional nulo. Defina S : E −→ Z por Sx = Ax (S e´ uma extensa˜o do contradomı´nio de A). Observe que como A e´ fechada, pelo teorema do gra´fico fechado A e´ limitada e portanto S tambe´m e´. Ale´m disso, R (S) = R (A), donde R (S)⊥ = 0, como acabamos de observar. Mas, pelo Teorema 3.16, N (S∗) = R (S)⊥, portanto conclu´ımos que S∗ e´ injetiva. Agora vamos mostrar que R (S∗) = R (A∗). Seja g0 ∈ Z∗. Pelo teorema de Hahn-Banach, existe g ∈ F ∗ extensa˜o de g0. Da´ı, 〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g, Sx〉 = 〈g0, Sx〉 = 〈S∗g0, x〉 para todo x ∈ E, o que mostra que S∗g0 ∈ R (A∗), ou seja, provamos que R (S∗) ⊂ R (A∗). Reciprocamente, se g ∈ F ∗, considere a restric¸a˜o g0 = g|Z . Temos, de modo ana´logo, 〈S∗g0, x〉 = 〈g0, Sx〉 = 〈g, Sx〉 = 〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 para todo x ∈ E, donde R (A∗) ⊂ R (S∗). Por hipo´tese, temos enta˜o que R (S∗) e´ fechado, portanto e´ um espac¸o de Banach, ja´ que e´ um subespac¸o vetorial fechado do espac¸o de Banach Z∗ (lembre-se que o dual de um espac¸o vetorial normado sempre e´ um espac¸o de Banach). Obtemos enta˜o que a restric¸a˜o de contradomı´nio S∗ : Z∗ −→ R (S∗) e´ um operador linear cont´ınuo bijetivo. Pelo Corola´rio 3.7, a inversa (S∗)−1 existe e e´ cont´ınua. Em particular, S∗ e´ limitada inferiormente e existe m > 0 tal que ‖S∗g0‖ > m ‖g0‖ para todo g0 ∈ Z∗. O teorema anterior implica que R (S) = Z, logo R (A) = Z e portanto R (A) e´ fechado. ¥ Portanto, se R (A) e´ fechado (por exemplo, se A for limitado), uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que y ∈ R (A) e´ que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗). Rodney Josue´ Biezuner 34 3.4 Exerc´ıcios 3.1 Seja T : E −→ F um operador linear limitado inferiormente tal que ImT e´ um subespac¸o fechado de F . Mostre que T−1 e´ um operador linear fechado. 3.2 Mostre que se a inversa de um operador linear fechado existir, enta˜o ela tambe´m e´ um operador linear fechado. 3.3 Mostre que operador linear D : C1 ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definido por Df = f ′ e´ fechado. 3.4 Seja E = { f ∈ C ([0, 1]) : existe lim t→0+ f (t) t } . Defina uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ C ([0, 1]) por Tf (t) = f (t) t se t 6= 0, lim t→0+ f (t) t se t = 0. Mostre que T e´ fechado. 3.5 Sejam E,F espac¸os de Banach e {Tn}n∈N ⊂ L (E,F ) tal que {f (Tnx)}n∈N e´ uma sequeˆncia limitada para todo x ∈ E e para todo f ∈ F ∗. Mostre que {Tn}n∈N e´ uniformemente limitada. 3.6 Se E,F sa˜o espac¸os vetoriais normados, mostre que (E × F )∗ = E∗ × F ∗. 3.7 Considere o seguinte subespac¸o de `1: F = { (xn)n∈N ∈ `1 : ∞∑ n=1 n |xn| <∞ } a) Mostre que F e´ um subespac¸o vetorial pro´prio denso de `1, portanto F na˜o e´ um espac¸o de Banach. b) Verifique que a aplicac¸a˜o linear T : F −→ `1 definida por T ( (xn)n∈N ) = (nxn)n∈N e´ uma aplicac¸a˜o fechada que na˜o e´ limitada. c) Mostre que a inversa de T esta´ bem definida, e´ limitada, sobrejetiva, mas na˜o e´ aberta. 3.8 Sejam E,F espac¸os de Banach e T : E −→ F um operador linear limitado. Suponha que existam um espac¸o de Banach G e operadores lineares A : E −→ G e B : G −→ F tais que T = B ◦ A. Usando o teorema do gra´fico fechado, mostre que se B e´ limitado e injetivo, enta˜o A e´ limitado. 3.9 Sejam E um espac¸o de Banach e F um espac¸o vetorial normado. Seja {Tn}n∈N ⊂ L (E,F ) uma sequeˆncia de operadores lineares limitados tal que sup n∈N ‖Tn‖ = ∞. Mostre que existe um ponto x ∈ E tal que sup n∈N ‖Tnx‖ =∞. Rodney Josue´ Biezuner 35 3.10 Sejam E,F espac¸os de Banach. Se T : E −→ F e´ uma aplicac¸a˜o linear tal que f ◦ T ∈ E∗ para todo f ∈ F ∗, mostre que T e´ limitada. 3.11 Sejam L,M subespac¸os vetoriais fechados de um espac¸o vetorial normado E. Mostre que se L 6= M , enta˜o L⊥ 6=M⊥. 3.12 Sejam E um espac¸o de Banach e F um subespac¸o vetorial pro´prio de E. Mostre que se T0 : F −→ `∞ e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada, enta˜o T se estende a uma aplicac¸a˜o linear limitada T : E −→ `∞ com ‖T‖ = ‖T0‖. 3.13 Considere `∞ e suponha que ‖·‖ e´ outra norma em `∞ tal que (`∞, ‖·‖) tambe´m e´ um espac¸o de Banach. Se para cada i ∈ N a projec¸a˜o na i-e´sima coordenada pii ( (xn)n∈N ) = xi e´ cont´ınua na norma ‖·‖, mostre que existe uma constante C > 0 tal que ‖x‖ 6 C ‖x‖`∞ para todo x ∈ `∞ (sugesta˜o: use o teorema do gra´fico fechado). Conclua que as normas ‖·‖`∞ e ‖·‖ sa˜o equivalentes. 3.14 Mostre que a aplicac¸a˜o identidade I : ( C0 [0, 1] , L1 ) −→ (C0 [0, 1] , L∞) tem gra´fico fechado mas na˜o e´ limitada. Cap´ıtulo 4 Espac¸os Reflexivos 4.1 Espac¸os Reflexivos Seja E um espac¸o vetorial normado. Denote (E∗)∗ = E∗∗. E∗∗ e´ chamado o espac¸o bidual de E. Podemos definir um operador linear limitado canoˆnico J : E −→ E∗∗ (4.1) da seguinte forma: para cada x ∈ E, o funcional linear limitado Jx : E∗ −→ R e´ dado por (Jx) (f) = f (x) (4.2) para todo f ∈ E∗. De fato, Jx e´ um funcional linear limitado em E∗ pois |(Jx) (f)| = |f (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ = ‖x‖ ‖f‖ , ou seja, ‖Jx‖ 6 ‖x‖ . Ale´m disso, J e´ realmente uma isometria de E sobre sua imagem J (E). Com efeito, pelo teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ X existe um funcional linear f0 ∈ E∗ tal que ‖f0‖ = 1 e f0 (x) = ‖x‖, logo ‖Jx‖ = sup ‖f‖=1 |(Jx) (f)| > |(Jx) (f0)| = f0 (x) = ‖x‖ , portanto ‖Jx‖ = ‖x‖ (4.3) para todo x ∈ E. Em particular, J e´ injetivo. Se J for tambe´m sobrejetivo, dizemos que E e´ reflexivo. Isso implica que J e´ ao mesmo tempo um isomorfismo e uma isometria, em particular e´ um isomorfismo topolo´gico. Como E∗∗ = (E∗)∗ e´ um espac¸o de Banach, segue que uma condic¸a˜o necessa´ria para que um espac¸o vetorial normado seja reflexivo e´ que ele seja de Banach. Em vista disso, definimos 4.1 Definic¸a˜o. Dizemos que um espac¸o de Banach E e´ reflexivo se o operador J : E −→ E∗∗ for um isomorfismo isome´trico. E´ importante saber que E e E∗∗ serem isometricamente isomorfos atrave´s de um isomorfimo isome´trico diferentedo operador J na˜o garante que E seja reflexivo, pois pode ocorrer que apesar disso o operador J na˜o seja sobrejetivo (veja [James1] e [James2]). Todo espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e´ reflexivo (veja Exerc´ıcio 4.1). Existem importante exemplos de espac¸os de Banach de dimensa˜o infinita que na˜o sa˜o reflexivos, como veremos mais tarde. 36 Rodney Josue´ Biezuner 37 4.2 Teorema. Seja E um espac¸o reflexivo. Se F ⊂ E e´ um subespac¸o vetorial fechado, enta˜o F e´ reflexivo. Prova. Dado f∗ ∈ F ∗ temos que mostrar que existe x ∈ F tal que f∗ = Jx. Considere a submersa˜o cont´ınua I : E∗ ↪→ F ∗ definida por If = f |F . Pelo teorema de Hahn-Banach a submersa˜o e´ sobrejetiva, pois todo funcional linear limitado definido em F se estende a um funcional linear limitado definido em E (obviamente ela na˜o e´ injetiva se F e´ um subespac¸o pro´prio de E). Esta submersa˜o e´ cont´ınua pois ‖If‖F∗ = sup x∈F\{0} |If (x)| ‖x‖ = supx∈F\{0} |f (x)| ‖x‖ 6 supx∈E\{0} |f (x)| ‖x‖ = ‖f‖E∗ , logo ‖If‖ = sup f∈E∗\{0} ‖If‖F∗ ‖f‖E∗ 6 1. Atrave´s desta submersa˜o, f∗ induz um funcional linear g∗ ∈ E∗∗ quando definimos g∗ (f) = (f∗ ◦ I) (f) = f∗ (f |F ) . Como E e´ reflexivo, existe x ∈ E tal que g∗ = Jx, ou seja, f∗ (f |F ) = (Jx) (f) para todo f ∈ E. Afirmamos que x ∈ F . De fato, se x /∈ F , como F e´ fechado podemos aplicar o teorema de Hahn-Banach para concluir que existe um funcional linear f0 que se anula em F tal que f0 (x) = 1 o que e´ uma contradic¸a˜o, pois f∗ (f0|F ) = 0 enquanto que (Jx) (f0) = f0 (x) = 1. ¥ Um subespac¸o vetorial de um espac¸o reflexivo que na˜o e´ fechado obviamente na˜o pode ser reflexivo, ja´ que todo espac¸o reflexivo e´ de Banach. 4.3 Proposic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o reflexivo e W e´ um subespac¸o vetorial de E∗, enta˜o( W⊥ )⊥ =W. Prova. Ja´ vimos na Proposic¸a˜o 4.15 que ( W⊥ )⊥ ⊃W . Suponha por absurdo que existe f0 ∈ (W⊥)⊥ tal que f0 /∈ W . Pelo teorema de Hahn-Banach, existe f∗ ∈ E∗∗ tal que f∗ (f) = 0 para todo f ∈ W e f∗ (f0) 6= 0. Como E e´ reflexivo, existe x ∈ E tal que f∗ (f) = f (x) para todo f ∈ E∗. Em particular, f (x) = 0 para todo f ∈W , logo x ∈W⊥. Mas enta˜o f0 (x) = 0, pois f0 ∈ ( W⊥ )⊥, contradizendo f0 (x) = f∗ (f0) 6= 0. ¥ 4.4 Teorema. Seja E um espac¸o de Banach. Enta˜o E e´ um espac¸o reflexivo se e somente se E∗ for. Prova. Suponha que E seja reflexivo. Sejam J : E −→ E∗∗ e J∗ : E∗ −→ E∗∗∗ as aplicac¸o˜es canoˆnicas, isto e´, (Jx) (f) = f (x) e (J∗f) (f∗) = f∗ (f) . Rodney Josue´ Biezuner 38 Seja f∗∗ ∈ E∗∗∗. Para provar que E∗ e´ reflexivo, precisamos encontrar f ∈ E∗ tal que f∗∗ = J∗f . Considere f := f∗∗ ◦ J ∈ E∗: E J−→ E∗∗ f ∗∗ −→ R. Logo, f∗∗ (Jx) = f (x) = (Jx) (f) para todo x ∈ E. Como E e´ reflexivo, para todo f∗ ∈ E∗∗ existe x ∈ E tal que f∗ = Jx. Substituindo na u´ltima equac¸a˜o acima, segue que f∗∗ (f∗) = f∗ (f) para todo f∗ ∈ E∗∗, ou seja, f∗∗ = J∗f. Reciprocamente, suponha que E∗ e´ reflexivo. Para provar que E tambe´m e´ reflexivo, observamos em primeiro lugar que porque E e´ um espac¸o de Banach, o subespac¸o vetorial R (J) e´ um subespac¸o fechado de E∗∗. De fato, como J e´ uma isometria, se Jxn → f∗ em E∗∗ enta˜o em particular {xn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em E. Como E e´ um espac¸o de Banach, existe x ∈ E tal que xn → x em E. Logo, Jxn → Jx e portanto f∗ = Jx ∈ R (J). Suponha por absurdo que R (J) 6= E∗∗. Seja f∗ ∈ E∗∗\R (J). Pelo teorema de Hahn-Banach, existe f∗∗ ∈ E∗∗∗ tal que f∗∗ = 0 em R (J) e f∗∗ (f∗) 6= 0. Como E∗ e´ reflexivo, existe f ∈ E∗ tal que f∗∗ = J∗f . Da´ı, para todo x ∈ E vale f (x) = (Jx) (f) = (J∗f) (Jx) = f∗∗ (Jx) = 0, isto e´, f e´ o funcional nulo. Mas f∗ (f) = (J∗f) (f∗) = f∗∗ (f∗) 6= 0, contradic¸a˜o. ¥ 4.2 Espac¸os Separa´veis Lembramos que um espac¸o topolo´gico e´ separa´vel se ele possui um subconjunto denso enumera´vel. 4.5 Teorema. Seja E um espac¸o vetorial normado. Se E∗ e´ separa´vel, enta˜o E tambe´m e´. Prova. Seja {fn}n∈N um subconjunto enumera´vel denso em E∗. Como ‖fn‖ = sup x∈E ‖x‖=1 |fn (x)| , podemos escolher para cada n um elemento xn ∈ E tal que ‖xn‖ = 1 e |fn (xn)| > ‖fn‖2 . Seja M = 〈x1, x2, . . .〉 o fecho do subespac¸o gerado pelo conjunto {xn}n∈N. Observe que M e´ separa´vel, pois o subconjunto das combinac¸o˜es lineares dos xn com coeficientes racionais formam um subconjunto enumera´vel denso em M . Afirmamos que M = E. De fato, se x0 ∈ E\M , pelo teorema de Hahn-Banach (Corola´rio 2.23) existe f ∈ E∗ ∩M⊥ tal que ‖f‖ = 1 e f (x0) 6= 0. Em particular, f (xn) = 0 para todo n, logo ‖fn‖ 2 6 |fn (xn)| = |fn (xn)− f (xn)| 6 ‖fn − f‖ ‖xn‖ = ‖fn − f‖ , Rodney Josue´ Biezuner 39 donde 1 = ‖f‖ 6 ‖fn − f‖+ ‖fn‖ 6 3 ‖fn − f‖ , ou seja, ‖fn − f‖ > 13 , contradizendo o fato que {fn} e´ denso em E∗. ¥ Vale a rec´ıproca quando E e´ um espac¸o reflexivo: 4.6 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o reflexivo separa´vel, enta˜o E∗ tambe´m e´. Prova. Pela Proposic¸a˜o 4.4 temos que E∗ e´ reflexivo. Para mostrar que E∗ e´ separa´vel, pelo teorema anterior basta provar que E∗∗ e´ separa´vel. Seja {xn}n∈N um subconjunto enumera´vel denso em E. Dado f∗ ∈ E∗∗, existe x ∈ E tal que Jx = f∗, e dado ε > 0 existe n ∈ N tal que ‖xn − x‖ < ε. Como J e´ uma isometria, segue que ‖Jxn − f∗‖ < ε. Vemos portanto que {Jxn}n∈N e´ um subconjunto enumera´vel denso em E∗∗. ¥ 4.3 Exemplo 1: Espac¸os `p Os espac¸os `p (n) tem dimensa˜o finita, logo sa˜o reflexivos (veja o Exerc´ıcio 4.1). Por outro lado, os espac¸os `p sa˜o reflexivos se e somente se 1 < p <∞, isto e´, `1 e `∞ sa˜o exemplos de espac¸os de Banach que na˜o sa˜o espac¸os reflexivos. Vamos provar estes fatos, ale´m de alguns fatos auxiliares que por si so´ ja´ sa˜o muito u´teis. 4.7 Proposic¸a˜o. `p sa˜o espac¸os separa´veis para 1 6 p <∞. Prova. Seja en = (0, . . . , 0, 1 n , 0, . . .), de modo que todo elemento x ∈ `p se escreve de maneira u´nica na forma x = ∞∑ n=1 xnen. [Como veremos mais tarde, {en}n∈N e´ uma base de Schauder para `p.] Enta˜o o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares com coeficientes racionais dos en e´ um subconjunto enumera´vel denso em `p.¥ 4.8 Proposic¸a˜o. `∞ na˜o e´ separa´vel. Prova. Observe que em `∞, o fecho do subespac¸o gerado por {en}n∈N e´ apenas o subespac¸o `∞0 das sequeˆncias convergentes para 0. Para ver que `∞ na˜o e´ enumera´vel, considere o subconjunto na˜o-enumera´vel {0, 1}ω ⊂ `∞ das sequeˆncias cujos elementos sa˜o apenas 0 ou 1 (uma tal sequeˆncia tem norma 1 em `∞). Se x, y ∈ {0, 1}ω e x 6= y, enta˜o ‖x− y‖`∞ = 1, logo existe um nu´mero na˜o-enumera´vel de bolas com centro nos pontos de {0, 1}ω e raio 1/2 que na˜o se interceptam. ¥ 4.9 Proposic¸a˜o. Se 1 < p <∞, enta˜o (`p)∗ = `p ′ no sentido que estes espac¸os sa˜o isometricamente isomorfos. Prova. Afirmamos que a aplicac¸a˜o linear Φ : `p ′ −→ (`p)∗ y 7→ f (x) = ∞∑ n=1 xnyn. Rodney Josue´ Biezuner 40 e´ um isomorfismo isome´trico. Pela desigualdade de Ho¨lder temos |f (x)| 6 ∞∑ n=1 |xnyn| 6 ‖y‖`p′ ‖x‖`p , de modo que f ∈ (`p)∗ e ‖f‖(`p)∗ 6 ‖y‖`p′ , (4.4) logo Φ e´ cont´ınua. Agora exibiremos a inversa de Φ e mostraremos que ela tambe´m e´ cont´ınua. Ja´ vimos que todo elemento x ∈ `p se escreve de maneira u´nica na forma x = ∞∑ n=1 xnen. Enta˜o, dado f ∈ (`p)∗, por continuidade temos f (x) = ∞∑ n=1 xnf (en) . De fato, se para cada k ∈ N denotamos zk = k∑ n=1 xnen, por linearidade temos f (zk) = k∑ n=1 xnf (en) . de modo que f (x) = f ( lim k→∞ zk ) = lim k→∞ f (zk) = lim k→∞ k∑ n=1 xnf (en) = ∞∑ n=1 xnf (en) . Notando que f (en) = (Φy) (en) = yn, vemos agora que a inversa de Φ e´ dada por Ψ : (`p)∗ −→ `p′ f 7→ (f (en))n∈N Para mostrar que Ψ esta´ de fato bem definida e e´ cont´ınua, defina zk ∈ `p por z (i) k = |f (ei)| p′
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