Notas de aula - Análise Funcional - Rodney Josu¶e Biezuner

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Notas de Aula
Ana´lise Funcional
Rodney Josue´ Biezuner 1
Departamento de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula do curso Ana´lise Funcional do Programa
de Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica, ministrado no primeiro semestre de 2009.
6 de julho de 2009
1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
Suma´rio
1 Espac¸os Vetoriais Normados e Espac¸os de Banach 3
1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exemplo 1: Os espac¸os `p (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Exemplo 2: Os espac¸os das sequeˆncias `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exemplo 3: Os espac¸os Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exemplo 4: Os espac¸os Ck
(
Ω
)
e os espac¸os de Ho¨lder Ck,α
(
Ω
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Aplicac¸o˜es Lineares 12
2.1 Aplicac¸o˜es Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 O Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Formas Geome´tricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Os Teoremas da Limitac¸a˜o Uniforme, da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado 25
3.1 O Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Os Teoremas da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Operadores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Espac¸os Reflexivos 36
4.1 Espac¸os Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Espac¸os Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Exemplo 1: Espac¸os `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Espac¸os Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Exemplo 2: Espac¸os Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Topologia Fraca e Topologia Fraca* 54
5.1 Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Sequeˆncias Fracamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Topologia Fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Convexidade Uniforme e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Reflexividade, Separabilidade e Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Metrizabilidade e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1
Rodney Josue´ Biezuner 2
6 Espac¸os de Hilbert 70
6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Teorema de Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Bases de Schauder e Bases de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 Operadores Compactos 81
7.1 Operadores Completamente Cont´ınuos e Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Teoria de Riesz-Fredholm para Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3 O Espectro de Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Teoria Espectral para Operadores Autoadjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Aplicac¸a˜o: Problemas de Sturm-Liouville e Operadores Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Espac¸os de Sobolev e Equac¸a˜o de Laplace 100
8.1 O Princ´ıpio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2 A Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.2 Um Teorema de Aproximac¸a˜o para Func¸o˜es Fracamente Diferencia´veis . . . . . . . . . 103
8.2.3 Caracterizac¸a˜o das Func¸o˜es Fracamente Diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2.4 Regra do Produto e Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4 Caracterizac¸a˜o dos Espac¸os W 1,p0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5 Imersa˜o Cont´ınua de Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.6 Imersa˜o Compacta de Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.7 Resoluc¸a˜o do Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.8 O Problema de Autovalor para o Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Cap´ıtulo 1
Espac¸os Vetoriais Normados e
Espac¸os de Banach
1.1 Definic¸a˜o
1.1 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial real. Uma norma em E e´ uma func¸a˜o ‖·‖ : E −→ R que satisfaz
as seguintes propriedades:
(i) ‖x‖ > 0 para todo x ∈ E e ‖x‖ = 0 se e somente se x = 0;
(ii) (Homogeneidade) para todo α ∈ R e para todo x ∈ E vale
‖αx‖ = |α| ‖x‖ ;
(iii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y ∈ E vale
‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ .
Um espac¸o vetorial E munido de uma norma ‖·‖ e´ chamado um espac¸o vetorial normado e denotado
(E, ‖·‖).
1.2 Definic¸a˜o. Seja M um conjunto. Uma me´trica em M e´ uma func¸a˜o d : M ×M −→ R que satisfaz as
seguintes propriedades:
(i) d (x, y) > 0 para todos x, y ∈M e d (x, y) = 0 se e somente se x = y;
(ii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y, z ∈M vale
d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) .
Um espac¸o vetorial normado torna-se naturalmente um espac¸o me´trico com a me´trica derivada da norma:
d (x, y) = ‖x− y‖ .
Desta forma, um espac¸o vetorial normado torna-se um espac¸o topolo´gico com a topologia induzida pela
me´trica.
1.3 Proposic¸a˜o. Seja (E, ‖·‖) um espac¸o vetorial normado. Enta˜o as func¸o˜es soma de vetores E ×E −→
E, (x, y) 7→ x + y, multiplicac¸a˜o de vetores por escalares R × E −→ E, (α, x) 7→ αx, e norma ‖·‖ :
E −→ R, x 7→ ‖x‖ sa˜o cont´ınuas.
3
Rodney Josue´ Biezuner 4
1.4 Corola´rio. Fixado x0 ∈ E, a aplicac¸a˜o x 7→ x+ x0 (translac¸a˜o) e´ um homeomorfismo. Fixado α ∈ R
na˜o nulo, a aplicac¸a˜o x 7→ αx (homotetia) e´ um homeomorfismo.
Lembramos que um espac¸o me´trico completo e´ um espac¸o me´trico em que todasas sequeˆncias de Cauchy
sa˜o convergentes, isto e´, convergem para um elemento do pro´prio espac¸o.
1.5 Definic¸a˜o. Um espac¸o vetorial normado completo e´ chamado um espac¸o de Banach.
1.2 Exemplo 1: Os espac¸os `p (n)
1.6 Definic¸a˜o. Seja 1 6 p 6∞. Definimos o espac¸o `p (n) como sendo o espac¸o Rn dotado da norma
‖x‖p =
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
(1.1)
se 1 6 p <∞, e
‖x‖∞ = max16i6n |xi| . (1.2)
1.7 Proposic¸a˜o. `p (n) e´ um espac¸o vetorial normado.
Prova. As propriedades (i) e (ii) de uma norma na Definic¸a˜o 1.1 sa˜o claramente verificadas. Para provar a
desigualdade triangular (que neste caso especial tambe´m recebe o nome de desigualdade de Minkowski)(
n∑
i=1
|xi + yi|p
)1/p
6
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
+
(
n∑
i=1
|yi|p
)1/p
, (1.3)
recorremos a` desigualdade de Ho¨lder (que sera´ demonstrada no final):
n∑
i=1
|xiyi| 6 ‖x‖p ‖y‖p′ onde
1
p
+
1
p′
= 1. (1.4)
O nu´mero p′ e´ chamado o expoente conjugado de p; observe que p′ = p/ (p− 1). De fato, escrevemos
n∑
i=1
|xi + yi|p 6
n∑
i=1
(|xi|+ |yi|) |xi + yi|p−1 6
n∑
i=1
|xi| |xi + yi|p−1 +
n∑
i=1
|yi| |xi + yi|p−1
6 ‖x‖p
∥∥∥(|x1 + y1|p−1 , . . . , |xn + yn|p−1)∥∥∥ p
p−1
+ ‖y‖p
∥∥∥(|x1 + y1|p−1 , . . . , |xn + yn|p−1)∥∥∥ p
p−1
=
(
n∑
i=1
|xi + yi|p
) p−1
p (
‖x‖p + ‖y‖p
)
.
Logo,
‖x+ y‖p =
(
n∑
i=1
|xi + yi|p
)1− p−1p
6 ‖x‖p + ‖y‖p .
A desigualdade de Ho¨lder, por sua vez, segue da desigualdade mais geral
aλb1−λ 6 λa+ (1− λ) b (1.5)
sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Esta desigualdade pode ser provada da seguinte forma: se b = 0, ela e´
o´bvia; se b 6= 0, divida a desigualdade por b e tome t = a/b > 0, de modo que provar a desigualdade torna-se
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equivalente a mostrar que a func¸a˜o f (t) = tλ − λt e´ menor que ou igual a 1− λ para todo t > 0. E, de fato,
como f ′ (t) = λ
(
tλ−1 − 1), f e´ estritamente crescente para 0 6 t < 1 e estritamente decrescente para t > 1,
logo f atinge o seu ma´ximo em t = 1, onde f vale exatamente 1− λ. Tomando
a =
∣∣∣∣∣ xi‖x‖p
∣∣∣∣∣
p
, b =
∣∣∣∣∣ yi‖y‖p′
∣∣∣∣∣
p′
e λ =
1
p
,
para cada ı´ndice i, segue que
|xiyi|
‖x‖p ‖y‖p′
6 1
p
|xi|p
‖x‖pp
+
1
p′
|yi|p
′
‖y‖p′p′
.
Da´ı, somando desde i = 1 ate´ i = n, obtemos
1
‖x‖p ‖y‖p′
n∑
i=1
|xiyi| 6 1
p
n∑
i=1
|xi|p
‖x‖pp
+
1
p′
n∑
i=1
|yi|p
′
‖y‖p′p′
=
1
p
+
1
p′
= 1.
¥
1.8 Proposic¸a˜o. `p (n) e´ um espac¸o de Banach.
Prova. Para ver que `p (n) e´ completo, basta observar que uma sequeˆncia em `p (n) e´ de Cauchy se e
somente se cada uma das sequeˆncias de coordenadas e´ de Cauchy e que, ale´m disso, uma sequeˆncia em `p (n)
e´ convergente se e somente se cada uma das sequeˆncias de coordenadas e´ de Cauchy. Outra maneira de ver
que `p (n) e´ um espac¸o de Banach e´ lembrar que todas as normas em Rn sa˜o equivalentes e usar o fato bem
conhecido que Rn com a norma usual e´ completo. ¥
Observe que `2 (n) e´ o espac¸o Rn munido da norma euclidiana, a qual e´ derivada de um produto interno.
1.3 Exemplo 2: Os espac¸os das sequeˆncias `p
1.9 Definic¸a˜o. Seja 1 6 p <∞. Definimos o espac¸o `p como sendo o espac¸o das sequeˆncias reais p-soma´veis,
isto e´,
`p =
{
x : N −→ R :
∞∑
i=1
|xi|p <∞
}
,
dotado da norma
‖x‖p =
( ∞∑
i=1
|xi|p
)1/p
, (1.6)
e o espac¸o `∞ como sendo o espac¸o das sequeˆncias reais limitadas, isto e´,
`∞ =
{
x : N −→ R : sup
i∈N
|xi| <∞
}
,
dotado da norma
‖x‖∞ = sup
i∈N
|xi| . (1.7)
1.10 Proposic¸a˜o. `p e´ um espac¸o vetorial normado.
Prova. Basta passar o limite na desigualdade de Minkowski fazendo n→∞. ¥
1.11 Proposic¸a˜o. `p e´ um espac¸o de Banach.
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Prova. Seja {xn}n∈N uma sequeˆncia de Cauchy em `p ({xn} e´ uma sequeˆncia de sequeˆncias reais). Denote os
termos de cada sequeˆncia xn por xn,m. Para cada m fixado, {xn,m}n∈N e´ tambe´m uma sequeˆncia de Cauchy,
logo converge para um certo nu´mero am; em outras palavras, a sequeˆncia de sequeˆncias {xn} converge termo
a termo para a sequencia real a = {am}. Afirmamos que esta sequeˆncia esta´ em `p e que xn → a em `p.
De fato, como {xn}n∈N e´ de Cauchy em `p, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que
‖xk − xl‖p < ε
sempre que k, l > N ; em particular, para todo m ∈ N, vale
m∑
i=1
|xk,i − xl,i|p < εp
sempre que k, l > N . Fixando k e fazendo l→∞, obtemos
m∑
i=1
|xk,i − ai|p < εp
para todo m ∈ N, sempre que k > N . Da´ı, fazendo m→∞, temos que
∞∑
i=1
|xk,i − ai|p < εp
sempre que k > N,o que implica que xk − a ∈ `p sempre que k > N , e portanto a ∈ `p. Esta mesma
desigualdade tambe´m implica que xk → a em `p. ¥
1.12 Exemplo. Subespac¸os de `∞ que sa˜o tambe´m espac¸os de Banach sa˜o
`∞c = {x ∈ `∞ : x e´ uma sequeˆncia convergente} ,
`∞0 = {x ∈ `∞ : limxn = 0} .
A demonstrac¸a˜o deste fatos e´ deixada como exerc´ıcio. ¤
1.4 Exemplo 3: Os espac¸os Lp (Ω)
1.13 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto mensura´vel. Seja 1 6 p <∞. Definimos o espac¸o Lp (Ω) como
sendo o espac¸o das (classes de equivaleˆncia de) func¸o˜es reais p-integra´veis no sentido de Lebesgue, isto
e´,
Lp (Ω) =
{
f : Ω −→ R :
∫
Ω
|f |p <∞
}
,
dotado da norma
‖f‖p =
(∫
Ω
|f |p
)1/p
, (1.8)
e o espac¸o L∞ (Ω) como sendo o espac¸o das (classes de equivaleˆncia de) func¸o˜es reais mensura´veis
limitadas, isto e´,
L∞ (Ω) =
{
f : Ω −→ R : sup
Ω
|f | <∞
}
,
dotado da norma
‖f‖∞ = sup
Ω
|f | . (1.9)
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Observe que nesta definic¸a˜o,
sup
Ω
|f | = inf {c ∈ R : |f (x)| 6 c q.t.p.} .
1.14 Proposic¸a˜o. Lp (Ω) e´ um espac¸o vetorial normado.
Prova. Lp (Ω) e´ um espac¸o vetorial porque se f, g ∈ Lp (Ω) e λ ∈ R, enta˜o f + g ∈ Lp (Ω) e λf ∈ Lp (Ω).
De fato,
|f (x) + g (x)| 6 |f (x)|+ |g (x)| 6 2max {|f (x)| , |g (x)|} ,
de modo que
|f (x) + g (x)|p 6 2pmax {|f (x)|p , |g (x)|p} 6 2p (|f (x)|p + |g (x)|p) ,
donde ∫
Ω
|f + g|p 6 2p
(∫
Ω
|f |p +
∫
Ω
|g|p
)1/p
.
Ale´m disso, ‖λf‖p = |λ| ‖f‖p e ‖f‖p = 0 se e somente se f = 0 q.t.p.
Como nos espac¸os `p, para provar a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski,(∫
Ω
|f + g|p
)1/p
6
(∫
Ω
|f |p
)1/p
+
(∫
Ω
|g|p
)1/p
, (1.10)
recorremos a` desigualdade de Ho¨lder∫
Ω
|fg| 6 ‖f‖p ‖g‖p′ onde
1
p
+
1
p′
= 1. (1.11)
Escrevemos ∫
Ω
|f + g|p 6
∫
Ω
(|f |+ |g|) |f + g|p−1 6
∫
Ω
|f | |f + g|p−1 +
∫
Ω
|f | |g|p−1
6 ‖f‖p
∥∥∥|f + g|p−1∥∥∥
p
p−1
+ ‖g‖p
∥∥∥|f + g|p−1∥∥∥
p
p−1
=
(∫
Ω
|f + g|p
) p−1
p (
‖f‖p + ‖g‖p
)
.
Logo,
‖f + g‖p =
(
n∑
i=1
|f + g|p
)1− p−1p
6 ‖f‖p + ‖g‖p .
A desigualdade de Ho¨lder segue, como na demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1.7, da desigualdade mais geral
aλb1−λ 6 λa+ (1− λ) b
sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Desta vez tomamos, para cada x ∈ Ω,
a =
∣∣∣∣∣f (x)‖f‖p
∣∣∣∣∣
p
, b =
∣∣∣∣∣ g (x)‖g‖p′
∣∣∣∣∣
p′
e λ =
1
p
,
segue que
|f (x) g (x)|
‖f‖p ‖g‖p′
6 1
p
|f (x)|p
‖f‖pp
+
1
p′
|g (x)|p′
‖g‖p′p′
.
Da´ı, integrando sobre Ω, obtemos
1
‖f‖p ‖g‖p′
∫
Ω
|fg| 6 1
p
∫
Ω
|f |p
‖f‖pp
+
1
p′
∫
Ω
|g|p
‖g‖p′p′
=
1
p
+
1
p′
= 1.
¥
Rodney Josue´ Biezuner 8
1.15 Proposic¸a˜o. Lp (Ω) e´ um espac¸o de Banach.
Prova. Consideraremos primeiro o caso L∞ (Ω). Seja {fn} ⊂ L∞ (Ω) uma sequeˆncia de Cauchy. Enta˜o,
dado k ∈ N, existe Nk ∈ N tal que
‖fn − fm‖∞ <
1
k
sempre que n,m > Nk. Em particular,
|fn (x)− fm (x)| < 1
k
q.t.p. em Ω, sempre que n,m > Nk. Isso implica que {fn (x)} e´ uma sequeˆncia de Cauchy para quase todo
ponto x ∈ Ω e podemos definir f (x) = lim fn (x) q.t.p. Resta mostrar que f ∈ L∞ (Ω) e que fn → f em
L∞ (Ω). Isso decorre da u´ltima desigualdade, fazendo m→∞:
|fn (x)−f (x)| < 1
k
.
Segue que fn → f na norma de L∞ (Ω); ale´m disso, como para qualquer n, k fixados temos |f (x)| 6
|fn (x)|+ 1/k, logo f ∈ L∞ (Ω).
Examinaremos agora o caso 1 6 p < ∞. Seja {fn} ⊂ Lp (Ω) uma sequeˆncia de Cauchy. Em particular,
podemos extrair uma subsequeˆncia {fnk} tal que∥∥fnk+1 − fnk∥∥p < 12k .
Considere a sequeˆncia
gn =
n∑
k=1
∣∣fnk+1 − fnk ∣∣ .
Enta˜o existe g = lim gn. Pelo Teorema da Convergeˆncia Mono´tona,
∫
Ω
|g|p = lim ∫
Ω
|gn|p. Mas, usando a
desigualdade de Jensen,∫
Ω
|gn|p 6
∫
Ω
(
n∑
k=1
∣∣fnk+1 − fnk ∣∣
)p
6
n∑
k=1
∫
Ω
∣∣fnk+1 − fnk ∣∣p
6
n∑
k=1
(
1
2k
)p
=
n∑
k=1
(
1
2p
)k
6
∞∑
k=1
(
1
2p
)k
=
1
2p
1− 12p
=
1
2p − 1 < 1,
logo conclu´ımos que ‖g‖p 6 1 e, em particular, g assume valores reais em quase todo ponto.
Usaremos a sequeˆncia {gn} e seu limite g para verificar que a subsequeˆncia {fnk (x)} e´ de Cauchy em
quase todo ponto x. Com efeito, sejam k > l > 1 e escreva
|fnk (x)− fnl (x)| 6
∣∣fnk (x)− fnk−1 (x)∣∣+ . . .+ ∣∣fnl+1 (x)− fnl (x)∣∣ = gk−1 (x)− gl−1 (x) 6 g (x)− gl−1 (x) .
Como gl (x)→ g (x) q.t.p., para quase todo x ∈ Ω fixado, existe N ∈ N tal que g (x)− gl−1 (x) < ε sempre
que l > N ; ja´ que k > l, segue que |fnk (x)− fnl (x)| < ε sempre que k, l > N .
Portanto, podemos definir, em quase todo ponto,
f (x) = lim fnk (x) .
Falta provar que f ∈ Lp (Ω) e que fn → f em Lp (Ω). Fazendo k →∞ na desigualdade |fnk (x)− fnl (x)| 6
g (x)− gl−1 (x), obtemos
|f (x)− fnl (x)| 6 g (x)− gl−1 (x) .
Rodney Josue´ Biezuner 9
Como g−gl−1 ∈ Lp (Ω), segue em particular que f−fnl ∈ Lp (Ω) e, portanto, f ∈ Lp (Ω) ja´ que fnl ∈ Lp (Ω).
Ale´m disso, integrando esta desigualdade sobre Ω, temos∫
Ω
|f − fnl |p 6
∫
Ω
|g − gl−1|p → 0
quando l→∞ pelo Teorema da Convergeˆncia Dominada (|g − gl−1| e´ dominada por 2 |g|). Provamos, enta˜o,
que uma subsequeˆncia da sequeˆncia de Cauchy {fn} converge para f em Lp (Ω); portanto, toda a sequeˆncia
converge para f . ¥
1.16 Exemplo. O espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C
(
Ω
)
com a norma L1 e´ um espac¸o vetorial normado mas
na˜o e´ um espac¸o de Banach. Por exemplo, tome Ω = [0, 1] e considere a sequeˆncia de func¸o˜es
fn (t) =

0 se 0 6 t 6 1
2
,
n
(
t− 1
2
)
se
1
2
6 t 6 1
2
+
1
n
,
1 se
1
2
+
1
n
6 t 6 1.
Assumindo n > m para fixar ide´ias, temos que
‖fn − fm‖1 =
∫ 1
0
|fn (t)− fm (t)| dt
e´ a a´rea do triaˆngulo de altura 1 e comprimento da base
1
m
− 1
n
, de modo que
‖fn − fm‖1 < ε
sempre que n,m > ε, ou seja {fn}n∈N e´ uma sequeˆncia de Cauchy em C ([0, 1]) na norma L1. Mas
ela na˜o converge para nenhuma func¸a˜o cont´ınua na norma L1. De fato, convergeˆncia L1 implica em
convergeˆncia q.t.p., a menos de uma subsequeˆncia, e fn (t)→ 0 se 0 6 t 6 12 , enquanto que fn (t)→ 1
se
1
2
6 t 6 1. Para uma demonstrac¸a˜o mais direta, suponha por absurdo que existe f ∈ C ([0, 1]) tal
que ‖fn − f‖1 → 0. Como
‖fn − f‖1 =
∫ 1
0
|fn (t)− f (t)| dt =
∫ 1
2
0
|f (t)| dt+
∫ 1
2+
1
n
1
2
|fn (t)− f (t)| dt+
∫ 1
1
2+
1
n
|1− f (t)| dt
e as treˆs integrais sa˜o na˜o-negativas, cada uma delas deve ser igual a 0 ou convergir para 0 quando
n→∞. Conclu´ımos que
f (t) =

0 se 0 6 t 6 1
2
,
1 se
1
2
6 t 6 1,
e portanto f na˜o e´ cont´ınua. ¤
1.5 Exemplo 4: Os espac¸os Ck
(
Ω
)
e os espac¸os de Ho¨lder Ck,α
(
Ω
)
Usaremos a notac¸a˜o de multi-´ındice para denotar a derivada parcial
Dγf (x) =
∂|γ|f
∂xγ11 . . . ∂x
γn
n
(x)
onde γ = (γ1, . . . , γn) e |γ| = γ1 + . . .+ γn.
Rodney Josue´ Biezuner 10
1.17 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Definimos o espac¸o Ck(Ω) como o espac¸o das func¸o˜es
reais definidas em Ω cujas derivadas parciais ate´ a ordem k (inclusive) sa˜o limitadas e uniformemente
cont´ınuas (isso garante que elas possuem uma u´nica extensa˜o cont´ınua para Ω), isto e´,
Ck(Ω) =
{
f ∈ Ck(Ω) : Dγf e´ limitada e uniformemente cont´ınua em Ω para todo |γ| 6 k} .
dotado da norma
‖f‖Ck(Ω) = max|γ|6k ‖D
γf‖L∞(Ω) . (1.12)
Frequ¨entemente denotamos o espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C0(Ω) simplesmente por C(Ω), e definimos
C∞(Ω) =
⋂
k∈N
Ck(Ω).
Relembramos o conceito de continuidade de Ho¨lder:
1.18 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn. Dizemos que uma func¸a˜o f : Ω→ R e´ cont´ınua de Ho¨lder com expoente
α, se
sup
x,y∈Ω
x6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|α <∞
para algum 0 < α 6 1. Neste caso, denotaremos f ∈ Cα(Ω), se α < 1, e f ∈ C0,1(Ω) se α = 1. Ale´m
disso, denotamos tambe´m
[f ]Cα(Ω) = sup
x,y∈Ω
x 6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|α . (1.13)
Em particular, note que se f e´ cont´ınua de Ho¨lder com expoente α em Ω, enta˜o
|f(x)− f(y)| 6 [f ]Cα(Ω) |x− y|α para todos x, y ∈ Ω.
Claramente, se uma func¸a˜o e´ cont´ınua de Ho¨lder em Ω, enta˜o ela e´ cont´ınua em Ω; na verdade, ela e´
uniformemente cont´ınua em Ω, o que motiva o nome de func¸a˜o uniformemente cont´ınua de Ho¨lder em Ω, a`s
vezes usado na literatura. Uma func¸a˜o cont´ınua de Ho¨lder com expoente α = 1 e´ uma func¸a˜o cont´ınua de
Lipschitz.
1.19 Definic¸a˜o. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Os espac¸os de Ho¨lder Ck,α (Ω) sa˜o definidos como
os subespac¸os de Ck
(
Ω
)
consistindo das func¸o˜es cujas derivadas parciais ate´ a ordem k (inclusive) sa˜o
todas cont´ınuas de Ho¨lder com expoente α em Ω:
Ck,α
(
Ω
)
=
{
f ∈ Ck (Ω) : Dγf ∈ Cα(Ω) para todo |γ| 6 k}
com norma
‖f‖Ck,α(Ω) = ‖f‖Ck(Ω) + max|γ|6k [D
γf ]Cα(Ω) . (1.14)
Permitindo α = 0, podemos incluir os espac¸os Ck
(
Ω
)
entre os espac¸os de Ho¨lder:
Ck
(
Ω
)
= Ck,0
(
Ω
)
.
1.20 Proposic¸a˜o. Ck,α
(
Ω
)
e´ um espac¸o vetorial normado.
Prova. Provemos a validade da desigualdade triangular. Para isso, ja´ que ‖f‖Ck(Ω) nada mais e´ que a soma
de normas do ma´ximo, portanto claramente uma norma, basta provar que a desigualdade triangular vale
Rodney Josue´ Biezuner 11
para a seminorma [Dγf ]Cα(Ω) (uma seminorma e´ uma func¸a˜o que satisfaz todas as propriedades que uma
norma satisfaz, exceto a condic¸a˜o (i) da Definic¸a˜o 1.1). Isso significa provar que
sup
x,y∈Ω
x 6=y
|(f + g) (x)− (f + g) f(y)|
|x− y|α 6 supx,y∈Ω
x6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|α + supx,y∈Ω
x 6=y
|g(x)− g(y)|
|x− y|α .
Mas isso segue diretamente da desigualdade triangular
|(f + g) (x)− (f + g) f(y)| 6 |f(x)− f(y)|+ |g(x)− g(y)|
e do fato que
sup (A+B) 6 supA+ supB.
¥
1.21 Proposic¸a˜o. Ck,α
(
Ω
)
e´ um espac¸o de Banach.
Prova. Exerc´ıcio. ¥
1.6 Exerc´ıcios
1.1 Mostre que
‖x‖∞ = limp→∞ ‖x‖p .
1.2 C1(Ω) com a me´trica L∞ e´ um espac¸o vetorial normado? E´ um espac¸o de Banach?
1.3 Seja E um espac¸o vetorial normado em relac¸a˜o a duas normas, ‖·‖1 e ‖·‖2. Dizemos que estas duas
normas sa˜o equivalentes se existirem constantes C,D > 0 tais que
‖x‖1 6 C ‖x‖2 ,
‖x‖2 6 D ‖x‖1 ,
para todo x ∈ E. Suponha que ‖·‖1 e ‖·‖2 sa˜o normas equivalentes. Prove que (E, ‖·‖1) e´ de Banach
se e somente se (E, ‖·‖2) e´ de Banach.
1.4 Mostre que Ck,α
(
Ω
)
com a norma
‖f‖Ck,α(Ω) =
k∑
i=0
‖f‖Ci(Ω) +
∑
|γ|6k
[Dγf ]Cα(Ω)
e´ um espac¸o vetorial normado. Mostre que esta norma e´ equivalente a` norma definida no texto.
1.5 Demonstre a Proposic¸a˜o 1.21.
Cap´ıtulo 2
Aplicac¸o˜es Lineares
2.1 Aplicac¸o˜es Lineares Limitadas
Em espac¸os vetoriais normados, um crite´rio simples para a continuidade de aplicac¸o˜es lineares e´ encapsulado
na seguinte definic¸a˜o, como veremos a seguir:
2.1 Definic¸a˜o. Sejam (E, ‖·‖E) e (F, ‖·‖F ) espac¸os vetoriais normados. Dizemos que uma aplicac¸a˜o linear
T : E −→ F e´ limitada se existe uma constante M > 0 tal que
‖Tx‖F 6M ‖x‖E
para todo x ∈ E.
Em geral, omitiremos os subscritos das normas quando for claro do contexto a quais espac¸os elas se referem.
2.2 Proposic¸a˜o.Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear. As seguintes
afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) T e´ cont´ınua.
(ii) T e´ cont´ınua na origem.
(iii) T e´ limitada.
Prova. (i)⇒(ii) O´bvio. (ii)⇒(iii) Tomando ε = 1 na definic¸a˜o (ε, δ) de continuidade em espac¸os me´tricos,
existe δ > 0 tal que ‖x‖ 6 δ implica ‖Tx‖ 6 1. Portanto, se y ∈ E e´ um vetor na˜o nulo qualquer, temos∥∥∥∥T ( δy‖y‖
)∥∥∥∥ 6 1.
Por linearidade conclu´ımos que
‖Ty‖ 6 1
δ
‖y‖ .
(iii)⇒(i) Seja M tal que ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E. Enta˜o
‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ 6M ‖x− y‖
e portanto T e´ uma aplicac¸a˜o de Lipschitz, em particular (uniformemente) cont´ınua. ¥
12
Rodney Josue´ Biezuner 13
2.3 Exemplo. Embora aplicac¸o˜es lineares em espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o finita sejam sempre
cont´ınuas, o mesmo na˜o vale para espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o infinita. De fato, se E e´ um
espac¸o vetorial normado de dimensa˜o infinita e F e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o maior ou
igual a 1, podemos sempre construir uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F que na˜o e´ limitada. Para isso,
seja B uma base para E, B′ ⊂ B um subconjunto enumera´vel de vetores e y ∈ F um vetor na˜o nulo
qualquer. Definimos uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F definindo T em B por
Txn = n ‖xn‖ y se xn ∈ B′
e
Tx = 0 se x ∈ B\B′ .
T na˜o e´ limitada, pois
‖Txn‖ = n ‖y‖ ‖xn‖ ,
logo na˜o existe uma constante M > 0 tal que
‖Txn‖ 6M ‖xn‖ .
Em particular, vemos que se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o infinita, sempre existem
funcionais lineares que na˜o sa˜o cont´ınuos, pois podemos tomar F = R. ¤
2.4 Definic¸a˜o. Se E,F sa˜o espac¸os vetoriais normados, denotaremos o espac¸o vetorial das aplicac¸o˜es lin-
eares limitadas por L (E,F ). Definimos a norma de uma aplicac¸a˜o linear limitada por
‖T‖ = inf {M ∈ R : ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E} .
2.5 Proposic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear limitada.
Enta˜o
‖T‖ = sup
x∈E\{0}
‖Tx‖
‖x‖ = supx∈E
‖x‖61
‖Tx‖ = sup
x∈E
‖x‖=1
‖Tx‖ .
Prova. Seja
M = sup
x∈E
x 6=0
‖Tx‖
‖x‖ .
Enta˜o ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E, logoM > ‖T‖. Reciprocamente, como por definic¸a˜o ‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖
para todo x ∈ E, segue que
‖Tx‖
‖x‖ 6 ‖T‖
para todo x ∈ E\ {0}, logo ‖T‖ 6M . Isso prova a primeira identidade.
Para provar que
sup
x∈E\{0}
‖Tx‖
‖x‖ = supx∈E
‖x‖=1
‖Tx‖ = sup
x∈E
‖x‖61
‖Tx‖ ,
basta notar que
‖Tx‖
‖x‖ =
∥∥∥∥T ( x‖x‖
)∥∥∥∥ .
¥
Apesar de uma aplicac¸a˜o linear limitada ser cont´ınua, na˜o podemos trocar o sup na bola unita´ria ou na esfera
unita´ria pelo ma´ximo, pois em espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o infinita a bola e a esfera unita´ria
nunca sa˜o compactas (veja o Corola´rio 1.39).
Rodney Josue´ Biezuner 14
2.6 Proposic¸a˜o. Se E,F sa˜o espac¸os vetoriais normados, enta˜o L (E,F ) e´ um espac¸o vetorial normado.
Prova. Sejam T, S ∈ L (E,F ). Temos
‖(T + S)x‖ = ‖Tx+ Sx‖ 6 ‖Tx‖+ ‖Sx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖+ ‖S‖ ‖x‖
= (‖T‖+ ‖S‖) ‖x‖
para todo x ∈ E, de modo que obtemos simultaneamente que T +S ∈ L (E,F ) e a validade da desigualdade
triangular para a norma de aplicac¸o˜es lineares. ¥
2.7 Proposic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o vetorial normado e F e´ um espac¸o de Banach, enta˜o L (E,F ) e´ um
espac¸o de Banach.
Prova. Seja {Tn} uma sequeˆncia de Cauchy em L (E,F ). Como
‖Tnx− Tmx‖ = ‖(Tn − Tm)x‖ 6 ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ ,
segue que {Tnx} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em F para todo x ∈ E. Defina
Tx := limTnx.
Afirmamos que T = limTn em L (E,F ). De fato, em primeiro lugar, T e´ uma transformac¸a˜o linear, pois
T (αx+ βy) = limTn (αx+ βy) = lim (αTnx+ βTny) = α limTnx+ β limTny
= αTx+ βTy.
Ale´m disso, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que ‖Tn − Tm‖ < ε sempre que n,m > N . Enta˜o
‖Tnx− Tmx‖ 6 ε ‖x‖
para todo x ∈ E e fazendo n→∞ obtemos
‖(T − Tm)x‖ = ‖Tx− Tmx‖ 6 ε ‖x‖
para todo x ∈ E, sempre que m > N . Em particular, T − Tm ∈ L (E,F ), portanto T = (T − Tm) + Tm ∈
L (E,F ) e
‖T − Tm‖ < ε
sempre que m > N , isto e´, Tm → T em L (E,F ). ¥
Reciprocamente, com a ajuda do teorema de Hahn-Banach (veja a pro´xima sec¸a˜o), pode-se provar que (se
E 6= 0) se F na˜o e´ um espac¸o de Banach, enta˜o L (E,F ) na˜o e´ um espac¸o de Banach (Proposic¸a˜o 2.26).
2.8 Definic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o vetorial normado, denotaremos o espac¸o vetorial dos funcionais lineares
limitadas por E∗. Ele e´ chamado o espac¸o dual de E.
2.9 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o vetorial normado, enta˜o E∗ e´ um espac¸o de Banach.
2.10 Proposic¸a˜o. Sejam E,F,G espac¸os vetoriais normados. Se T ∈ L (E,F ) e S ∈ L (F,G), enta˜o
ST ∈ L (E,G) e
‖ST‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ .
Prova. Temos
‖(ST )x‖ 6 ‖S‖ ‖Tx‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ ‖x‖
para todo x ∈ E. ¥
Rodney Josue´ Biezuner 15
2.11 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados. Dizemos que uma aplicac¸a˜o T : E −→ F e´
limitada inferiormente se existe uma constante m > 0 tal que
‖Tx‖ > m ‖x‖
para todo x ∈ E.
2.12 Proposic¸a˜o. Seja T ∈ L (E,F ). Enta˜o a inversa T−1 : ImT −→ E existe e e´ linear e limitada se e
somente se T e´ limitada inferiormente.
Prova. Suponha que T e´ limitada inferiormente. Enta˜o, se x 6= y segue que
‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ > m ‖x− y‖ > 0,
logo T e´ injetiva e portanto a inversa T−1 : ImT −→ E esta´ bem definida. Como T (αx+ βy) = αTx+βTy,
tomando T−1 em ambos os lados desta equac¸a˜o, segue tambe´m que
T−1 (αTx+ βTy) = αx+ βy = αT−1 (Tx) + βT−1 (Ty) ,
logo T−1 e´ linear. Finalmente, ∥∥T−1 (Tx)∥∥ = ‖x‖ 6 m−1 ‖Tx‖
para todo y = Tx ∈ ImT , e portanto T−1 e´ limitada.
Reciprocamente, suponha que T−1 : ImT −→ E existe e e´ linear e limitada. Enta˜o
‖x‖ = ∥∥T−1 (Tx)∥∥ 6 ∥∥T−1∥∥ ‖Tx‖
para todo x ∈ E, ou seja,
‖Tx‖ > ∥∥T−1∥∥−1 ‖x‖ .
¥
2.13 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados. Dizemos que E e F sa˜o topologicamente iso-
morfos quando existe uma aplicac¸a˜o linear bijetiva T : E −→ F tal que T e T−1 sa˜o limitadas.
2.14 Corola´rio. T : E −→ F e´ um isomorfismo topolo´gico entre os espac¸os vetoriais normados E e F se
e somente se existem constantes m,M > 0 tais que
m ‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6M ‖x‖ .
Em particular, isomorfismos topolo´gicos preservam sequeˆncias de Cauchy e sequeˆncias convergentes; da´ı, se
E e F sa˜o topologicamente isomorfos, enta˜o E e´ um espac¸o de Banach se e somente se F e´.
2.15 Proposic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados de dimensa˜o finita com a mesma dimensa˜o.
Enta˜o E e F sa˜o topologicamente isomorfos.
Prova. Como a relac¸a˜o de isomorfismo topolo´gico entre espac¸os vetorias normados e´ uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia, basta mostrar que se dimE = n enta˜o E e´ topologicamente isomorfo a `1 (n). Seja B =
{e1, . . . , en} uma base para E. Considere o isomorfismo T : `1 (n) −→ E definido por
T (x1, . . . , xn) =
n∑
i=1
xiei.
Rodney Josue´ Biezuner 16
Afirmamos que T e´ um isomorfismo topolo´gico. De fato, T e´ limitada porque
‖Tx‖E 6
n∑
i=1
‖xiei‖E =
n∑
i=1
|xi| ‖ei‖E
6
(
max
i=1,...,n
‖ei‖E
) n∑
i=1
|xi|
=M ‖x‖`1(n)
onde denotamos M = max
i=1,...,n
‖ei‖E . Como T e´ cont´ınua, a func¸a˜o x 7→ ‖Tx‖ tambe´m e´ e assume um valor
mı´nimo m na esfera unita´ria B =
{
x ∈ `1 (n) : ‖x‖ = 1}. Necessariamente m > 0, pois {e1, . . . , en} e´ um
conjunto linearmente independente. Portanto, ∥∥∥∥T x‖x‖
∥∥∥∥ > m
para todo x ∈ E, x 6= 0, o que mostra que m ‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6M ‖x‖ para todo x ∈ E. ¥
2.16 Corola´rio. Todo espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e´ de Banach.
Todo subespac¸o vetorial de dimensa˜o finita de um espac¸o vetorial normado e´ fechado.
2.17 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e T : E −→ F e´ linear, enta˜o T
e´ cont´ınua.
2.18 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita, enta˜o um subconjunto de E e´
compacto se e somente se ele for fechado e limitado.
Ale´m disso, se E e´um espac¸o vetorial normado tal que a bola unita´ria B = {x ∈ E : ‖x‖ 6 1} e´
compacta, enta˜o E possui dimensa˜o finita.
Prova. Vamos provar a u´ltima afirmac¸a˜o. Para isso, provaremos antes o seguinte resultado:
Seja E um espac¸o vetorial normado e F ⊂ E um subespac¸o vetorial fechado pro´prio de E. Enta˜o para
todo 0 < ε < 1 existe y ∈ E tal que ‖y‖ = 1 e
dist (y, F ) > ε.
Seja z ∈ E\F e d = dist (z, F ). Como F e´ fechado, d 6= 0 e pela definic¸a˜o de distaˆncia existe x0 ∈ F tal que
d 6 ‖z − x0‖ 6 d
ε
.
Tome
y =
z − x0
‖z − x0‖ ,
de modo que ‖y‖ = 1. Ale´m disso, para todo x ∈ F temos
‖y − x‖ =
∥∥∥∥ z − x0‖z − x0‖ − x
∥∥∥∥
=
1
‖z − x0‖ ‖z − x0 − ‖z − x0‖x‖
> ε
d
‖z − x1‖ ,
Rodney Josue´ Biezuner 17
onde x1 = x0 − ‖z − x0‖x ∈ F , logo
‖y − x‖ > ε
d
d = ε.
Agora, suponha por absurdo que E e´ um espac¸o de dimensa˜o infinita. Vamos construir uma sequeˆncia
{xn}n∈N ⊂ B que na˜o possui subsequeˆncia convergente, mostrando que B na˜o pode ser compacta. Tome
x1 ∈ B qualquer. Como 〈x1〉 e´ um subespac¸o fechado de E e, por hipo´tese, E 6= 〈x1〉, existe x2 ∈ B tal que
‖x1 − x2‖ > 1/2.
O subespac¸o 〈x1, x2〉 tambe´m e´ um subespac¸o fechado pro´prio de E, logo existe x3 ∈ B tal que
‖x1 − x3‖ > 1/2 e ‖x2 − x3‖ > 1/2.
Continuando desta maneira, obtemos uma sequeˆncia {xn} ⊂ B tal que
‖xn − xm‖ > 1/2
para todos n,m ∈ N. Como nenhuma subsequeˆncia desta sequeˆncia pode ser de Cauchy, ela na˜o possui
nenhuma subsequeˆncia convergente. ¥
2.2 Exerc´ıcios
2.1 Verifique nos casos abaixo que o funcional linear esta´ bem definido e e´ limitado e calcule sua norma.
a) f : `2 −→ R; f (x) =
∞∑
n=1
xn
n
.
b) f : `∞0 −→ R; f (x) =
∞∑
n=1
xn
2n+1
.
c) f : L1 (−1, 1) −→ R; f (x) = ∫ 1−1 tx (t) dt.
2.2 Considere o operador linear Mλ : `p −→ `p definido por
Mλ (x) = (λ1x1, λ2x2, . . .)
onde λ = (λn) ∈ `∞. Mλ e´ chamado multiplicac¸a˜o por λ. Verifique que Mλ e´ um operador linear bem
definido e limitado e calcule sua norma. Para que sequeˆncias λ existe o operador inverso M−1λ ? Para
que sequeˆncias λ o operador inverso M−1λ existe e e´ limitado?
2.3 Considere o operador shift S : `p −→ `p definido por
Sx = (0, x1, x2, . . .) .
S−1 existe e e´ limitado? Considere agora o operador truncamento T : `p −→ `p definido por
Tx = (x2, x3, . . .) .
T−1 existe e e´ limitado?
2.4 Seja T : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por
(Tf) (t) = f (t) +
∫ t
0
f (s) ds.
Mostre que T e´ um isomorfismo topolo´gico.
Rodney Josue´ Biezuner 18
2.5 Seja E um espac¸o de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que ‖T‖ < 1. Mostre que I − T e´ um
operador bijetivo, (I − T )−1 =
∞∑
n=1
Tn, (I − T )−1 e´ limitado e que
∥∥∥(I − T )−1∥∥∥ 6 1
1− ‖T‖ .
2.6 Seja E um espac¸o de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que ‖I − T‖ < 1. Mostre que T−1 existe e
esta´ em L (E).
2.7 Seja E =
{
f ∈ C1 ([0, 1]) : f (0) = 0}. Dada g ∈ C ([0, 1]), considere a aplicac¸a˜o linear Tg : E −→
C ([0, 1]) definida por
(Tgf) (t) = f ′ (t) + g (t) f (t) .
Mostre que T−1 existe e e´ limitada.
2.8 A aplicac¸a˜o linear D : C1 ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por
Df = f ′
e´ limitada? Se for, calcule ‖D‖ .
2.9 Seja E =
{
f ∈ C ([0, 1]) : f e´ de classe C1}. Considere a aplicac¸a˜o linear T : E −→ C ([0, 1]) definida
por
Df = f ′.
D e´ limitada? Se for, calcule ‖D‖ .
2.10 A aplicac¸a˜o linear I : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por
(If) (t) =
∫ t
0
f (s) ds.
e´ limitada? Se for, calcule ‖I‖ .
2.11 Prove que na˜o existe norma em C∞ ([0, 1]) que torne o operador derivada Df = f ′ limitado. [Sugesta˜o:
considere as func¸o˜es fλ (x) = eλx.]
2.3 O Teorema de Hahn-Banach
O teorema de Hahn-Banach garante que todo espac¸o vetorial normado e´ ricamente suprido de funcionais
lineares, de modo que pode-se obter uma teoria satisfato´ria de espac¸os duais e de operadores adjuntos.
2.19 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial normado. Dizemos que um funcional p : E −→ R e´ semilinear
se ele for subaditivo, isto e´,
p (x+ y) 6 p (x) + p (y) para todos x, y ∈ E,
e positivo-homogeˆneo, ou seja,
p (αx) = αp (x) para todos x ∈ E, α > 0.
Um exemplo de funcional semilinear em um espac¸o vetorial normado e´ a pro´pria norma deste espac¸o.
Para demonstrarmos o lema principal desta sec¸a˜o, que tambe´m e´ conhecido como o teorema de Hahn-
Banach para espac¸os vetoriais (embora nestas notas na˜o nos referiremos a ele deste modo em geral, preferindo
reservar o nome teorema de Hahn-Banach para o teorema de Hahn-Banach para espac¸os vetoriais normados),
relembramos o lema de Zorn:
Rodney Josue´ Biezuner 19
2.20 Lema. (Lema de Zorn) Seja A 6= ∅ um conjunto parcialmente ordenado. Se todo subconjunto total-
mente ordenado de A possui um limitante superior, enta˜o A tem pelo menos um elemento maximal.
2.21 Lema. Sejam E um espac¸o vetorial e p : E −→ R um funcional semilinear. Seja F um subespac¸o
vetorial de E e f0 : F −→ R um funcional linear tal que f0 (x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Enta˜o f0 se
estende a um funcional linear f : E −→ R satisfazendo f (x) 6 p (x) para todo x ∈ E.
Prova. Este resultado e´ uma consequeˆncia do Lema de Zorn. Seja A o conjunto de todas as extenso˜es
lineares g : L (g) −→ R de f0 a um subespac¸o vetorial L (g) ⊃ F de E tais que g (x) 6 p (x) para todo
x ∈ L (g). Note que A 6= ∅ porque f0 ∈ A. Definimos uma ordem parcial em A declarando
g 6 h se L (g) ⊂ L (h) ,
isto e´, g 6 h se h e´ uma extensa˜o de g. Para ver que A satisfaz a hipo´tese do lema de Zorn, seja A ⊂ A um
subconjunto totalmente ordenado. Enta˜o um limitante superior para A e´ o funcional g : L (g) −→ R onde
L (g) =
⋃
h∈A
L (h)
e g e´ definido por
g (x) = h (x) se x ∈ L (h) para qualquer h ∈ A.
Observe que g esta´ bem definido porque A e´ totalmente ordenado. Pelo lema de Zorn, existe um elemento
maximal f ∈ A. Para provar o resultado, basta mostrar que L (f) = E.
Suponha por absurdo que existe x0 ∈ E\L (f). Considere o subespac¸o L = L (f) + 〈x0〉. Defina uma
extensa˜o linear g : L −→ R de f por
h (x+ tx0) = f (x) + tα,
onde α ∈ R e´ uma constante a ser definida apropriadamente para que tenhamos h (y) 6 p (y) para todo
y ∈ L, e portanto g contradizera´ a maximalidade de f . De fato, dados x1, x2 ∈ L (f), temos
f (x1) + f (x2) = f (x1 + x2) 6 p (x1 + x2) 6 p (x1 + x0) + p (x2 − x0) ,
donde
f (x2)− p (x2 − x0) 6 p (x1 + x0)− f (x1) .
Escolha α tal que
sup
x∈L(f)
[f (x)− p (x− x0)] 6 α 6 inf
x∈L(f)
[p (x+ x0)− f (x)] .
Isso implica que
h (x− x0) = f (x)− α 6 p (x− x0) ,
h (x+ x0) = f (x) + α 6 p (x+ x0) ,
para todo x ∈ L (f). Se t > 0, multiplicando
f
(x
t
)
+ α 6 p
(x
t
+ x0
)
por t obtemos
h (x+ tx0) = f (x) + tα 6 p (x+ tx0) .
Se t < 0, multiplicando
f
(
x
−t
)
− α 6 p
(
x
−t − x0
)
por −t obtemos
h (x+ tx0) = f (x) + tα 6 p (x+ tx0) .
Se t = 0, o resultado e´ o´bvio. ¥
Rodney Josue´ Biezuner 20
2.22 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espac¸o vetorial normado e f0 : F −→ R um
funcional linear limitado definido em um subespac¸o vetorial F ⊂ E. Enta˜o f0 se estende a um
funcional linear f : E −→ R tal que
‖f‖E∗ = ‖f0‖F∗ .
Prova. Basta aplicar o teorema anterior ao funcional semilinear
p (x) = ‖f0‖F∗ ‖x‖ .
¥
2.23 Corola´rio. Sejam E um espac¸o vetorial normado e F um subespac¸o vetorial de E. Suponha que
exista x0 ∈ E tal que
dist (x0, F ) = inf
x∈F
‖x− x0‖ > 0.
Enta˜o existe f ∈ E∗ tal que f (x0) = 1, ‖f‖E∗ = 1/dist (x0, F ) e f ≡ 0 sobre F .
Em particular, se F e´ um subespac¸o vetorial de E que na˜o e´ denso em E, enta˜o existe f ∈ E∗ na˜o-nulo
que se anula em F .
Prova. Considere o subespac¸o vetorial F1 = F + 〈x0〉. Defina um funcional linear f0 : F1 −→ R por
f0 (x+ tx0) = t.
Note que f0 ≡ 0 sobre F e que f0 (x0) = 1. Escrevendo y = x+ tx0, se t 6= 0 temos que
‖y‖ = ‖x+ tx0‖ = |t|
∥∥∥x
t
+ x0∥∥∥ > |t| dist (x0, F ) = |f0 (y)| dist (x0, F ) ,
ou seja,
|f0 (y)|
‖y‖ 6
1
dist (x0, F )
para todo y ∈ F1, donde
‖f0‖F∗1 6
1
dist (x0, F )
. (2.1)
Seja {yn} ⊂ F uma sequeˆncia tal que ‖x0 − yn‖ → dist (x0, F ). Temos
1 = f0 (x0 − yn) 6 ‖f0‖F∗1 ‖x0 − yn‖ ,
de modo que ao passarmos o limite quando n→∞ segue que
‖f0‖F∗1 >
1
dist (x0, F )
. (2.2)
Portanto,
‖f0‖F∗1 =
1
dist (x0, F )
.
Usando o teorema de Hahn-Banach, estendemos f linearmente a todo o espac¸o E. ¥
Este resultado e´ frequentemente usado para verificar se um subespac¸o vetorial de um espac¸o vetorial normado
e´ denso.
2.24 Corola´rio. Seja E um espac¸o vetorial normado. Para todo vetor na˜o-nulo x0 ∈ E existe f ∈ E∗ tal
que
‖f‖E∗ = 1 e f (x0) = ‖x0‖ .
Rodney Josue´ Biezuner 21
Prova. Aplique o teorema de Hahn-Banach ao subespac¸o F = 〈x0〉 e ao funcional linear limitado f0 : F −→
R definido por f0 (tx0) = t ‖x0‖. ¥
2.25 Corola´rio. Seja E um espac¸o vetorial normado. Para todo vetor x ∈ E vale
‖x‖ = sup
f∈E∗\{0}
|f (x)|
‖f‖ = supf∈E∗
‖f‖61
|f (x)| = max
f∈E∗
‖f‖61
|f (x)| .
Prova. Pelo corola´rio anterior existe g ∈ E∗ tal que ‖g‖E∗ = 1 e g (x) = ‖x0‖. Logo,
sup
f∈E∗\{0}
|f (x)|
‖f‖ >
|g (x)|
‖g‖ = ‖x‖ .
Como |g (x)| 6 ‖g‖ ‖x‖, segue o resultado. ¥
2.26 Proposic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados. Se L (E,F ) e´ um espac¸o de Banach, enta˜o F
e´ um espac¸o de Banach.
Prova. Em primeiro lugar, observamos que se f e´ funcional linear sobre E e y ∈ F e´ um vetor qualquer,
enta˜o podemos definir uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F por
Tx = f (x) y.
Ale´m disso, se f for um funcional linear limitado, enta˜o T tambe´m e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada. De fato,
‖T‖ = sup ‖Tx‖‖x‖ = ‖y‖ sup
|f (x)|
‖x‖ = ‖y‖ ‖f‖ .
Seja {yn}n∈N uma sequeˆncia de Cauchy em F . Pelo Corola´rio 2.24, existe um funcional linear f ∈ E∗
tal que ‖f‖ = 1. Para cada n ∈ N, defina uma aplicac¸a˜o linear Tn ∈ L (E,F ) por
Tnx = f (x) yn.
Enta˜o ‖Tn‖ = ‖yn‖ e {Tn}n∈N e´ uma sequeˆncia de Cauchy em L (E,F ). Como L (E,F ) e´ um espac¸o de
Banach, Tn → T em L (E,F ). Em particular, Tnx→ Tx em F para todo x ∈ E. Escolhendo x ∈ E tal que
f (x) = 1, segue que Tnx = yn e portanto yn → Tx. ¥
Assim, juntamente com a Proposic¸a˜o 2.7, este resultado implica que L (E,F ) e´ um espac¸o de Banach se e
somente se F e´ um espac¸o de Banach.
2.4 Formas Geome´tricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos
Convexos
2.27 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial. Um hiperplano afim e´ um conjunto da forma
H = f−1 (α) = {x ∈ E : f (x) = α} ,
onde f : E −→ R e´ um funcional linear na˜o-nulo e α ∈ R.
2.28 Proposic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial normado. O hiperplano H = f−1 (α) e´ fechado se e somente
se f e´ limitada.
Rodney Josue´ Biezuner 22
Prova. Suponha que H e´ fechado. Enta˜o E\H e´ aberto e na˜o-vazio (porque f e´ na˜o-nulo). Escolha
x0 ∈ E\H tal que f (x0) < α, para fixar ide´ias, e uma bola Br (x0) ⊂ E\H. Afirmamos que f (x) < α para
todo x ∈ Br (x0). Com efeito, se f (x1) > α para algum x1 ∈ Br (x0), considere o segmento
L = {(1− t)x0 + tx1 : 0 6 t 6 1}
que esta´ inteiramente contido em Br (x0). Tomando t =
f (x1)− α
f (x1)− f (x0) temos
f ((1− t)x1 + tx0) = (1− t) f (x1) + tf (x0)
=
(
1− f (x1)− α
f (x1)− f (x0)
)
f (x1) +
f (x1)− α
f (x1)− f (x0)f (x0)
=
[α− f (x0)] f (x1) + [f (x1)− α] f (x0)
f (x1)− f (x0)
= α,
contradizendo Br (x0) ⊂ E\H. Portanto, conclu´ımos que
f (x0 + rz) < α
para todo z ∈ B1 (0), donde (usando o fato que f (z) = −f (−z))
|f (z)| 6 1
r
(α− f (x0))
para todo z ∈ B1 (0), o que implica que f e´ limitada e
‖f‖ 6 1
r
(α− f (x0)) .
A rec´ıproca e´ o´bvia. ¥
2.29 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial e A,B ⊂ E subconjuntos quaisquer.
Dizemos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido amplo se f (x) 6 α para todo
x ∈ A e f (x) > α para todo x ∈ B.
Dizemos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que
f (x) 6 α− ε para todo x ∈ A e f (x) > α+ ε para todo x ∈ B.
2.30 Lema. (Funcional de Minkowski) Seja E um espac¸o vetorial normado e C ⊂ E um conjunto aberto
convexo contendo a origem. Defina o funcional pC : E −→ R por
pC (x) = inf
{
α > 0 :
x
α
∈ C
}
.
Enta˜o pC e´ um funcional semilinear que satisfaz
(i) existe M > 0 tal que 0 6 pC (x) 6M ‖x‖ para todo x ∈ E;
(ii) C = {x ∈ E : pC (x) < 1} .
Prova. Para simplificar a notac¸a˜o, denotaremos pC por p.
Prova de (i): Seja r > 0 tal que Br [0] ⊂ C. Enta˜o, para todo x ∈ E, r x‖x‖ ∈ C, logo por definic¸a˜o
p (x) 6 r‖x‖ .
Rodney Josue´ Biezuner 23
Prova de (ii): Seja x ∈ C. Como C e´ aberto, existe ε > 0 tal que (1 + ε)x ∈ C, logo por definic¸a˜o
p (x) 6 1
1 + ε
< 1
Reciprocamente, se p (x) < 1, enta˜o existe 0 < α < 1 tal que
x
α
∈ C, donde x = αx
α
+ (1− α) 0 ∈ C, ja´ que
C e´ convexo e conte´m a origem.
Por fim, vamos verificar que p e´ semilinear. E´ fa´cil ver que p e´ positivo-homogeˆneo. Para verificar a
subaditividade de p, sejam x, y ∈ E e ε > 0. De (ii) e do fato de p ser positivo-homogeˆneo segue que
x
p (x) + ε
,
y
p (y) + ε
∈ C.
Da´ı,
t
x
p (x) + ε
+ (1− t) y
p (y) + ε
∈ C para todo 0 6 t 6 1.
Em particular, escolhendo t =
p (x) + ε
p (x) + p (y) + 2ε
, temos que
x+ y
p (x) + p (y) + 2ε
∈ C.
Pela positivo-homogeneidade de p e por (ii), conclu´ımos que
p (x+ y) < p (x) + p (y) + 2ε.
Como ε > 0 e´ arbitra´rio, segue a subaditividade de p. ¥
2.31 Lema. Seja E um espac¸o vetorial normado e C ( E um conjunto aberto convexo na˜o-vazio. Seja
x0 ∈ E\C. Enta˜o existe f ∈ E∗ tal que f (x) < f (x0) para todo x ∈ C.
Em particular, o hiperplano H = f−1 (f (x0)) separa x0 e C no sentido amplo.
Prova. Fazendo uma translac¸a˜o, podemos assumir que 0 ∈ C e definir o funcional de Minkowski p de C.
Considere F = 〈x0〉 e o funcional linear sobre F dado por f0 (tx0) = t. Como p (x0) > 1 (por (ii) do lema
anterior), temos p (tx0) = tp (x0) > t se t > 0; se t < 0, p (tx0) > t trivialmente, porque o funcional de
Minkowski p e´ na˜o-negativo. Segue que f0 (x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Podemos portanto usar o teorema de
Hahn-Banach (Lema 2.21) para concluir que f0 possui uma extensa˜o linear f : E −→ R tal que f (x) 6 p (x)
para todo x ∈ E. De (i) do lema anterior, segue que f e´ limitada. Finalmente, como p (x) < 1 para todo
x ∈ C, segue que f (x) 6 p (x) < 1 = f (x0) para todo x ∈ C. ¥
2.32 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, primeira forma geome´trica) Seja E um espac¸o vetorial nor-
mado. Sejam A,B ⊂ E conjuntos convexos na˜o-vazios disjuntos, com A aberto. Enta˜o existe um
hiperplano fechado que separa A e B no sentido amplo.
Prova. Seja
C = A−B = {x− y : x ∈ A e y ∈ B} .
C e´ convexo, pois se x1 − y1, x2 − y2 ∈ C enta˜o
t (x1 − y1) + (1− t) (x2 − y2) = tx1 + (1− t)x2 − [ty1 + (1− t) y2] ∈ C,
e C e´ aberto porque C = ∪y∈B (A− y), unia˜o de abertos (translac¸a˜o e´ um homeomorfismo). Ale´m disso,
0 /∈ C porque A e B sa˜o disjuntos. Pelo lema anterior, tomando x0 = 0, existe f ∈ E∗ tal que f (z) < 0 para
todo z ∈ C, ou seja, f (x) < f (y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Escolhendo α tal que
sup
A
f 6 α 6 inf
B
f,
conclu´ımos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido amplo. ¥
Rodney Josue´ Biezuner 24
2.33 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, segunda forma geome´trica) Seja E um espac¸o vetorial nor-
mado. Sejam A,B ⊂ E conjuntos convexos na˜o-vazios disjuntos, com A fechado e B compacto.
Enta˜o existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido estrito.
Prova. Dado ε > 0, sejam
Aε = A+Bε (0) e Bε = B +Bε (0) ,
de modo que A e B sa˜o abertos, convexos e na˜o-vazios. Ale´m disso, tomando ε < dist (A,B), segue que Aε
e Bε sa˜o disjuntos. Pelo teorema anterior, existe um hiperplano fechado H = f−1 (α) que separa Aε e Bε
no sentido amplo, logo
f (x+ εz) 6 α6 f (y + εz)
para todos x ∈ A, y ∈ B e z ∈ B1 (0). Da´ı,
f (x) + ε ‖f‖ 6 α 6 f (y) + ε ‖f‖ .
¥
2.5 Exerc´ıcios
2.12 Sejam E um espac¸o vetorial e f : E −→ R um funcional linear. Mostre que a codimensa˜o do nu´cleo
de f e´ 1, ou seja, podemos escrever
E = ker f ⊕ 〈x0〉
onde x0 e´ qualquer vetor de E tal que f (x0) 6= 0.
2.13 Seja E um espac¸o vetorial normado. Se f : E −→ R e´ um funcional linear tal que para toda sequeˆncia
{xn}n∈N convergente para 0 a sequeˆncia {f (xn)}n∈N e´ limitada, mostre que f e´ limitado.
2.14 Seja E um espac¸o vetorial normado. Prove que um funcional linear f : E −→ R e´ limitado se e somente
se ker f e´ fechado.
2.15 Sejam E um espac¸o vetorial normado e L = 〈x1, x2, . . .〉 um subespac¸o vetorial gerado por um conjunto
enumera´vel de vetores. Mostre que x ∈ L se e somente se para todo f ∈ E∗ tal que f (xn) = 0 para
todo n tem-se f (x) = 0.
2.16 Sejam E um espac¸o vetorial normado e f : E −→ R um funcional linear limitado na˜o-nulo. Considere
o hiperplano H = f−1 (1). Mostre que
‖f‖ = 1
inf
x∈H
‖x‖ .
2.17 Sejam E um espac¸o vetorial normado e F um subespac¸o vetorial pro´prio de E. Mostre que se T0 : F −→
RN e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada, enta˜o T se estende a uma aplicac¸a˜o linear limitada T : E −→ RN
com ‖T‖ = ‖T0‖.
Cap´ıtulo 3
Os Teoremas da Limitac¸a˜o Uniforme,
da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico
Fechado
3.1 O Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme
3.1 Lema. (O Teorema da Categoria de Baire) Seja X um espac¸o me´trico completo. Seja {Fn}n∈N uma
colec¸a˜o enumera´vel de conjuntos fechados de X. Se intFn = ∅ para todo n, enta˜o int
( ⋃
n∈N
Fn
)
= ∅.
Alternativamente, seja X um espac¸o me´trico completo na˜o-vazio. Seja {Fn}n∈N uma colec¸a˜o enu-
mera´vel de conjuntos fechados de X tal que X =
⋃
n∈N
Fn. Enta˜o existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅.
3.2 Teorema. (Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme) Sejam E,F espac¸os vetoriais normados, sendo E um
espac¸o de Banach. Seja {Tλ}λ∈Λ uma colec¸a˜o de operadores lineares limitados de E em F puntual-
mente limitados, isto e´, para todo x ∈ E existe Cx > 0 tal que
‖Tλx‖ 6 Cx para todo λ ∈ Λ.
Enta˜o {Tλ}λ∈Λ e´ uniformemente limitada, ou seja, existe C > 0 tal que
‖Tλ‖ 6 C para todo λ ∈ Λ.
Prova. Para cada n ∈ N, considere o conjunto
Fn = {x ∈ E : ‖Tλx‖ 6 n para todo λ ∈ Λ} .
Enta˜o Fn e´ fechado, porque Fn =
⋂
λ∈Λ
G−1λ [0, n] onde Gλ e´ a func¸a˜o cont´ınua Gλ = ‖·‖ ◦ Tλ. Por hipo´tese,
X =
⋃
n∈N
Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅. Seja Br (x0) ⊂ Fn0 .
Temos
‖Tλ (x0 + rz)‖ 6 n0
para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ. Logo,
‖Tλ (z)‖ 6 n0 + ‖Tλx0‖
r
25
Rodney Josue´ Biezuner 26
para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ, ou seja,
‖Tλ‖ 6 n0 + Cx
r
para todo λ ∈ Λ. ¥
3.3 Corola´rio. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados, sendo E um espac¸o de Banach. Seja {Tn}n∈N uma
sequeˆncia de operadores lineares limitados de E em F tais que para todo x ∈ E a sequeˆncia {Tnx}n∈N
converge para um elemento de F que denotaremos Tx. Enta˜o {Tn}n∈N e´ uniformemente limitada, T
e´ um operador linear limitado e
‖T‖ 6 lim inf ‖Tn‖ .
Prova. A limitac¸a˜o uniforme da sequeˆncia decorre do teorema anterior. O fato de T ser linear decorre das
propriedades de limites de somas e multiplicac¸a˜o por escalar de sequeˆncias e da linearidades dos operadores da
sequeˆncia, como na Proposic¸a˜o 2.7. Como, pelo teorema anterior, existe uma constante C > 0 independente
de x tal que
‖Tnx‖ 6 C ‖x‖
para todo x ∈ X, tomando o limite quando n→∞ obtemos que T e´ limitado. Finalmente, como
‖Tnx‖ 6 ‖Tn‖ ‖x‖ ,
da definic¸a˜o de norma de um operador segue o u´ltimo resultado. ¥
3.4 Corola´rio. Sejam E um espac¸o vetorial normado e B ⊂ E um subconjunto. Se para todo f ∈ E∗ o
conjunto f (B) e´ limitado, enta˜o B e´ limitado.
Prova. Aplicamos o Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme substituindo E = E∗ (que e´ um espac¸o de Banach,
como vimos no Corola´rio 2.9), F = R e Λ = B. Para todo b ∈ B definimos um operador linear limitado
Tb : E∗ −→ R por
Tbf = f (b) .
De fato,
‖Tbf‖ = ‖f (b)‖ 6 ‖f‖ ‖b‖ = ‖b‖ ‖f‖
A colec¸a˜o {Tbf}b∈B e´ limitada para cada f ∈ E∗ por hipo´tese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe
uma constante C > 0 independente de f tal que
|f (b)| 6 C ‖f‖
para todo f ∈ E∗. Usando o Corola´rio 2.25 conclu´ımos que
‖b‖ 6 C
para todo b ∈ B. ¥
3.5 Corola´rio. Sejam E um espac¸o de Banach e B∗ ⊂ E∗ um subconjunto. Se para todo x ∈ E o conjunto
〈B∗, x〉 = ⋃
f∈B∗
f (x) e´ limitado, enta˜o B∗ e´ limitado.
Prova. Aplicamos o Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme substituindo F = R e Λ = B∗. Para todo b∗ ∈ B∗
considere o funcional linear limitado
Tb∗ = b∗.
A colec¸a˜o {Tb∗x}b∗∈B∗ e´ limitada para cada x ∈ E por hipo´tese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe
uma constante C > 0 tal que
‖b∗‖ 6 C
para todo b∗ ∈ B∗. ¥
Rodney Josue´ Biezuner 27
3.2 Os Teoremas da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado
3.6 Teorema. (Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta) Sejam E,F espac¸os de Banach e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o
linear limitada e sobrejetiva. Enta˜o existe r > 0 tal que
T (B1 (0)) ⊃ Br (0)
Em particular, T e´ uma aplicac¸a˜o aberta.
Prova. Passo 1. Seja T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear sobrejetiva. Enta˜o existe r > 0 tal que
T (B1 (0)) ⊃ B2r (0) .
Seja
Fn = nT (B1 (0)).
Enta˜o Fn e´ fechado e F =
⋃
n∈N
Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire (F e´ de Banach) existe n0 ∈ N
tal que intFn0 6= ∅. Em particular, intT (B1 (0)) 6= ∅. Sejam y ∈ F e r > 0 tais que B4r (y) ⊂ T (B1 (0)).
Em particular, y,−y ∈ T (B1 (0)). Obtemos
B4r (0) = −y +B4r (y) ⊂ T (B1 (0)) + T (B1 (0)) = 2T (B1 (0))
a u´ltima igualdade valendo porque T (B1 (0)) e´ convexo (pois aplicac¸o˜es lineares sa˜o aplicac¸o˜es convexas, isto
e´, levam conjuntos convexos em conjuntos convexos, o fecho de um conjunto convexo e´ convexo e podemos
sempre escrever x+ y = 2
(
1
2x+
1
2y
)
). Como B4r (y) ⊂ 2T (B1 (0)), segue o resultado.
Passo 2. Seja T : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear limitada. Se existe r > 0 tal que
T (B1 (0)) ⊃ B2r (0) ,
enta˜o
T (B1 (0)) ⊃ Br (0) .
Dado y ∈ Br (0) ⊂ F , queremos encontrar x ∈ B1 (0) ⊂ E tal que Tx = y. Sabemos que, dado ε > 0, existe
z ∈ B1/2 (0) ⊂ E tal que Tz ∈ Bε (y). De fato, como 2y ∈ B2r (0), existe z′ ∈ B1 (0) tal que ‖Tz′ − 2y‖ < ε;
da´ı,
∥∥∥∥T z′2 − y
∥∥∥∥ < ε2 e podemos tomar z = z′/2. Escolhendo ε = r/2 obtemos z1 ∈ E tal que
‖z1‖ < 12 e ‖y − Tz1‖ <
r
2
.
Aplicando o mesmo argumento a y − Tz1 e escolhendo ε = r/4, encontramos z2 ∈ E tal que
‖z2‖ < 14 e ‖(y − Tz1)− Tz2‖ <
r
2
.
Procedendo desta forma, obtemos uma sequeˆncia {zn}n∈N tal que
‖zn‖ < 12n e ‖y − T (z1 + . . .+ zn)‖ <
r
2n
para todo n. Em particular, a sequeˆncia {xn}n∈N definida por
xn = z1 + . . .+ zn
e´ de Cauchy. Como E e´ de Banach, podemos tomar x = limxn e x satisfaz
‖x‖ <
∞∑
n=1
1
2n
= 1
Rodney Josue´ Biezuner 28
e
y = limTxn = T (limxn) = Tx.
Juntando os dois passos, o teorema fica provado. Para ver que T e´ aberta, seja U ⊂ E um aberto
e mostremos que T (U) e´ aberto. Dado y ∈ T (U), seja x ∈ E tal que y = Tx. Seja ε > 0 tal que
Bε (x) ⊂ U , ou seja, x+Bε (0) ⊂ U . Enta˜o y + T (Bε (0)) ⊂ T (U). Pelo teorema T (Bε (0)) ⊃ Bεr (0), logo
Bεr (y) ⊂ T (U). ¥
3.7 Corola´rio. Sejam E,F espac¸os de Banach. Se T : E −→ F e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada bijetiva,
enta˜o a aplicac¸a˜o linear T−1 : F −→ E e´ cont´ınua.
Prova. Pois a inversa de uma aplicac¸a˜o aberta e´ cont´ınua. ¥
Em outras palavras, um operador linear limitado bijetivo entre espac¸os de Banach e´ automaticamente um
isomorfismo topolo´gico.
3.8 Corola´rio. Seja E um espac¸o de Banach. Se ‖·‖1 , ‖·‖2 sa˜o duas normas tais que existe uma constante
C > 0 tal que
‖x‖1 6 C ‖x‖2 para todo x ∈ E,
enta˜o elas sa˜o normas equivalentes.
3.9 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸osvetoriais normados. Dizemos que uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ F e´
fechada se seu gra´fico
G (T ) = {(x, Tx) : x ∈ E}
e´ fechado em E × F .
Observe que o gra´fico de uma aplicac¸a˜o linear e´ um subespac¸o vetorial de E×F . E´ claro que toda aplicac¸a˜o
linear cont´ınua e´ fechada, entretanto existem muitos exemplos de operadores lineares importantes na pra´tica
que na˜o sa˜o cont´ınuos mas pelo menos sa˜o fechados. Se E e F sa˜o espac¸os de Banach, os dois conceitos sa˜o
equivalentes:
3.10 Teorema. (Teorema do Gra´fico Fechado) Sejam E,F espac¸os de Banach e T : E −→ F uma aplicac¸a˜o
linear fechada. Enta˜o T e´ limitada.
Prova. Consideremos duas normas em E:
‖x‖1 = ‖x‖E e ‖x‖2 = ‖x‖E + ‖Tx‖F .
(A segunda norma e´ a`s vezes chamada norma do gra´fico.) Como G (T ) e´ fechado, E sob a norma do gra´fico
ainda e´ um espac¸o de Banach. De fato, se {xn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em (E, ‖·‖2), enta˜o em particular
{xn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em (E, ‖·‖1) pois ‖x‖1 6 ‖x‖2 e {Txn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy em
(F, ‖·‖F ) pois ‖Tx‖F 6 ‖x‖2. Se x = limxn e y = limTxn, segue que (xn, Txn)→ (x, y) em E × F . Como
G e´ fechado, temos que (x, y) ∈ G, logo y = Tx. Podemos enta˜o usar o Corola´rio 3.8 para concluir que
existe uma constante C > 0 tal que
‖x‖2 6 C ‖x‖1
para todo x ∈ E. Em particular, segue que
‖Tx‖F 6 C ‖x‖1 .
¥
A hipo´tese dos espac¸os E,F serem de Banach e´ necessa´ria (veja os Exerc´ıcios 3.7 e 3.14).
Rodney Josue´ Biezuner 29
3.3 Operadores Adjuntos
O teorema de Hahn-Banach tambe´m e´ crucial para estabelecer uma teoria satisfato´ria de operadores adjuntos.
A partir desta sec¸a˜o, frequentemente usaremos a notac¸a˜o
〈f, x〉 = f (x)
se x ∈ E e f : E −→ R e´ um funcional linear.
3.11 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e A : E −→ F um operador linear limitado. O
operador adjunto A∗ : F ∗ −→ E∗ e´ o u´nico operador linear limitado que satisfaz
〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉
para todos x ∈ E e g ∈ F ∗.
3.12 Proposic¸a˜o. O operador adjunto esta´ bem definido. Ale´m disso,
‖A∗‖ = ‖A‖ .
Prova. De fato, se A : E −→ F e´ um operador linear limitado e g ∈ F ∗, enta˜o o funcional f : E −→ R
definido por
f (x) = g (Ax)
e´ um funcional linear limitado, pois
|f (x)| = |g (Ax)| 6 ‖g‖ ‖Ax‖ 6 ‖g‖ ‖A‖ ‖x‖ .
Logo, podemos definir A∗ : F ∗ −→ E∗ por
A∗g = f.
A desigualdade que provamos acima implica que ‖A∗g‖ = ‖f‖ 6 ‖A‖ ‖g‖, portanto
‖A∗‖ 6 ‖A‖ .
Por outro lado,
‖A∗‖ = sup
g∈F∗\{0}
‖A∗g‖
‖g‖ .
Pelo teorema de Hahn-Banach (Corola´rio 2.24), se x0 ∈ E e´ tal que ‖x0‖ = 1 e Ax0 6= 0, enta˜o existe g ∈ F ∗
tal que
‖g‖ = 1 e g (Ax0) = ‖Ax0‖ .
Logo
‖A∗g‖
‖g‖ = ‖A
∗g‖ > |〈A
∗g, x0〉|
‖x0‖ = |〈g,Ax0〉| = ‖Ax0‖ .
Assim,
‖A∗‖ > ‖Ax0‖
para todo x0 ∈ E tal que ‖x0‖ = 1, donde
‖A∗‖ > sup
‖x0‖=1
‖Ax0‖ = ‖A‖ .
¥
Usaremos a seguinte noc¸a˜o padra˜o no que se segue.
Rodney Josue´ Biezuner 30
3.13 Definic¸a˜o. Sejam E,F espac¸os vetoriais e A : E −→ F um operador linear. O nu´cleo de A e´ o
subespac¸o vetorial de E definido por
N (A) = {x ∈ E : Ax = 0}
e a imagem de A e´ o subespac¸o vetorial de F definido por
R (A) = {y ∈ F : y = Ax para algum x ∈ E} .
Uma das razo˜es de se considerar operadores adjuntos e´ dada a seguir. Muitos problemas em matema´tica
pura e aplicada podem ser formulados da seguinte forma: dados espac¸os vetoriais normados E,F e um
operador linear A : E −→ F , encontrar uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o
Ax = y.
Se y ∈ R (A), esta equac¸a˜o possuir uma soluc¸a˜o x. Enta˜o, para cada g ∈ F ∗ no´s temos
g (Ax) = g (y)
e tomando o operador adjunto segue que
(A∗g) (x) = g (y)
Se g ∈ N (A∗), isto da´
g (y) = 0
Portanto, uma condic¸a˜o necessa´ria para que y ∈ R (A) e´ que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗). A questa˜o
fundamental a ser respondida e´ se esta condic¸a˜o tambe´m e´ suficiente. Em dimensa˜o finita, esta condic¸a˜o e´
verdadeira, conhecida como a alternativa de Fredholm. Veremos como essa condic¸a˜o e´ traduzida para espac¸os
vetoriais normados em geral. Antes, estabelecemos notac¸a˜o.
3.14 Definic¸a˜o. Sejam E um espac¸o vetorial normado e V ⊂ E um subespac¸o vetorial. O anulador de V
e´ o subespac¸o vetorial V ⊥ de E∗ dos funcionais lineares que anulam V , isto e´,
V ⊥ = {f ∈ E∗ : f (x) = 0 para todo x ∈ V } .
Analogamente, se W e´ um subespac¸o vetorial de E∗, o anulador de W e´ o subespac¸o vetorial W⊥ de
E dos vetores que sa˜o anulados pelos funcionais lineares de W , ou seja,
W⊥ = {x ∈ E : f (x) = 0 para todo f ∈W} .
3.15 Proposic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o vetorial normado, V e´ um subespac¸o vetorial de E e W e´ um subespac¸o
vetorial de E∗, enta˜o V ⊥ e W⊥ sa˜o fechados. Ale´m disso,(
V ⊥
)⊥
= V
e (
W⊥
)⊥ ⊃W
Prova. Seja {fn}n∈N ⊂ V ⊥ tal que fn → f em E∗. Enta˜o
fn (x)→ f (x) para todo x ∈ E.
Em particular isso vale para x ∈ V , logo f (x) = 0 para todo x ∈ V , donde f ∈ V ⊥.
Rodney Josue´ Biezuner 31
Seja {xn}n∈N ⊂W⊥ tal que xn → x em E. Enta˜o
f (xn)→ f (x) para todo f ∈ E∗
pois f e´ cont´ınuo. Em particular isso vale para f ∈W , logo f (x) = 0 para todo f ∈W , donde x ∈W⊥.
Claramente V ⊂ (V ⊥)⊥ e como (V ⊥)⊥ e´ fechado, segue que V ⊂ (V ⊥)⊥. Reciprocamente, suponha por
absurdo que existe x0 ∈
(
V ⊥
)⊥ tal que x0 /∈ V . Pelo teorema de Hahn-Banach existe f ∈ E∗ tal que f ≡ 0
em V e f (x0) 6= 0. Mas enta˜o f ∈ V ⊥ e na˜o podemos ter x0 ∈
(
V ⊥
)⊥. ¥
Em particular, se V e´ um subespac¸o fechado de E, vale a igualdade(
V ⊥
)⊥
= V.
Veremos no pro´ximo cap´ıtulo que se E e´ reflexivo vale a igualdade(
W⊥
)⊥
=W
3.16 Teorema. Sejam E,F espac¸os vetoriais normados e A : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear. Enta˜o vale:
(i) N (A) = R (A∗)⊥ .
(ii) N (A∗) = R (A)⊥ .
(iii) R (A) = N (A∗)⊥ .
(iv) R (A∗) ⊂ N (A)⊥ .
Prova. (i) Se x ∈ N (A), enta˜o
〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g, 0〉 = 0
para todo g ∈ F ∗, ou seja, x ∈ R (A∗)⊥. Reciprocamente, se x ∈ R (A∗)⊥, enta˜o
〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 = 0
para todo g ∈ F ∗, ou seja, Ax = 0 e x ∈ N (A).
(ii) Se g ∈ N (A∗), enta˜o
〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 = 〈0, x〉 = 0
para todo x ∈ E, logo g ∈ R (A)⊥. Reciprocamente, se g ∈ R (A)⊥, enta˜o
〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 0
para todo x ∈ E, logo A∗g = 0 e g ∈ N (A∗).
(iii) e (iv) decorrem da aplicac¸a˜o da proposic¸a˜o anterior a (ii) e (i), respectivamente. ¥
3.17 Corola´rio. Seja E um espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e A : E −→ E um operador linear.
Enta˜o
A e´ injetiva se e somente se A∗ e´ sobrejetiva
e
A e´ sobrejetiva se e somente se A∗ e´ injetiva.
No caso de espac¸os de Banach mais gerais, podemos concluir que se A e´ sobrejetiva enta˜o A∗ e´ injetiva:
3.18 Teorema. Sejam E,F espac¸os de Banach e A : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear fechada. Enta˜o sa˜o
equivalentes
(i) R (A) = F.
Rodney Josue´ Biezuner 32
(ii) A∗ e´ limitado inferiormente.
(iii) A e´ uma aplicac¸a˜o aberta.
Prova. Pelo teorema do gra´fico fechado, A e´ limitada.
(i)⇒(ii) Como A e´ sobrejetiva, pelo teorema da aplicac¸a˜o aberta existe r > 0 tal que A (B1 (0)) ⊃ Br (0).
Logo,
‖A∗g‖ = sup
‖x‖61
|〈A∗g, x〉| = sup
‖x‖61
|〈g,Ax〉| > r sup
‖y‖61
|〈g, y〉| = r ‖g‖ .
(ii)=⇒(iii)Vamos mostrar que A satisfaz o primeiro passo da demonstrac¸a˜o do teorema da aplicac¸a˜o aberta:
existe r > 0 tal que
A (B1 (0)) ⊃ Br (0) .
Como A e´ limitada, seguira´ do segundo passo da demonstrac¸a˜o daquele teorema que A e´ aberta. Seja r > 0
tal que
‖A∗g‖ > r ‖g‖
para todo g ∈ F ∗. Equivalentemente, mostraremos que se y0 /∈ A (B1 (0)), enta˜o ‖y0‖ > r. Aplicando a
segunda forma geome´trica do teorema de Hanh-Banach aos conjuntos convexos {y} e A (B1 (0)), obtemos
g ∈ F ∗ tal que
|g (y)| < 1 < |g (y0)|
para todo y ∈ A (B1 (0)) (podemos tomar g = f/α para f, α do enunciado daquele teorema). Em particular,
isto implica que
‖A∗g‖ = sup
‖x‖61
|〈A∗g, x〉| = sup
‖x‖61
|〈g,Ax〉| 6 1
e
r < r |g (y0)| 6 r ‖g‖ ‖y0‖ 6 ‖A∗g‖ ‖y0‖ 6‖y0‖ ,
conforme quer´ıamos.
(iii)⇒(i) Como A e´ aberta, R (A) e´ um subespac¸o vetorial aberto de F . Isso so´ e´ poss´ıvel se R (A) = F . ¥
3.19 Teorema. (Teorema da Imagem Fechada de Banach) Sejam E,F espac¸os de Banach e A : E −→ F
uma aplicac¸a˜o linear fechada. Enta˜o sa˜o equivalentes
(i) R (A) e´ fechado.
(ii) R (A∗) e´ fechado.
(iii) R (A) = N (A∗)⊥ .
(iv) R (A∗) = N (A)⊥ .
Prova. (i)⇔(iii) segue diretamente do Teorema 3.16, logo e´ suficiente provar a cadeia de implicac¸o˜es
(i)⇒(iv)⇒(ii)⇒(i).
(i)⇒(iv) Pelo Teorema 3.16, temos R (A∗) ⊂ N (A)⊥, logo resta apenas mostrar que N (A)⊥ ⊂ R (A∗). Seja
f ∈ N (A)⊥; vamos obter g ∈ F ∗ tal que A∗g = f . Defina um funcional linear g0 : R (A) −→ R por
g0 (Ax) = f (x)
para todo x ∈ E. g0 esta´ bem definido, porque se Ax1 = Ax2 enta˜o x1 − x2 ∈ N (A), logo f (x1 − x2) = 0.
Para ver que g0 e´ limitada, considere a restric¸a˜o de contradomı´nio A : E −→ R (A); como R (A) e´ um
subespac¸o vetorial fechado de um espac¸o de Banach, ele tambe´m e´ um espac¸o de Banach e podemos aplicar
o teorema da aplicac¸a˜o aberta para concluir que existe r > 0 tal que
A (B1 (0)) ⊃ Br (0)R(A)
Rodney Josue´ Biezuner 33
onde Br (0)R(A) denota a bola aberta de centro na origem e raio r no espac¸o de Banach R (A). Isso implica
que existe C > 0 tal que para todo y ∈ R (A) existe x ∈ E satisfazendo Ax = y e ‖x‖ 6 C ‖y‖. De fato, se
y ∈ R (A), enta˜o r
2 ‖y‖y ∈ Br (0)R(A), logo existe z ∈ B1 (0) tal que
Az =
r
2 ‖y‖y
e podemos tomar
x =
2 ‖y‖
r
z
de modo que Ax = y e ‖x‖ 6 r
2
‖y‖. Da´ı,
|g0 (y)| = |g0 (Ax)| = |f (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ 6 C ‖f‖ ‖y‖ .
Portanto, pelo teorema de Hahn-Banach g0 pode ser estendida a um funcional g ∈ F ∗ com
〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g0, Ax〉 = f (x) .
(iv)⇒(ii) Pelo Teorema 3.16,
R (A∗) ⊂ R (A∗) ⊂ N (A)⊥ ,
logo se R (A∗) = N (A)⊥, segue que R (A∗) = R (A∗).
(ii)⇒(i) Seja Z = R (A). Como R (A) e´ denso em Z, o anulador de R (A) em Z so´ pode ser o funcional nulo.
Defina S : E −→ Z por Sx = Ax (S e´ uma extensa˜o do contradomı´nio de A). Observe que como A e´ fechada,
pelo teorema do gra´fico fechado A e´ limitada e portanto S tambe´m e´. Ale´m disso, R (S) = R (A), donde
R (S)⊥ = 0, como acabamos de observar. Mas, pelo Teorema 3.16, N (S∗) = R (S)⊥, portanto conclu´ımos
que S∗ e´ injetiva.
Agora vamos mostrar que R (S∗) = R (A∗). Seja g0 ∈ Z∗. Pelo teorema de Hahn-Banach, existe g ∈ F ∗
extensa˜o de g0. Da´ı,
〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g, Sx〉 = 〈g0, Sx〉 = 〈S∗g0, x〉
para todo x ∈ E, o que mostra que S∗g0 ∈ R (A∗), ou seja, provamos que R (S∗) ⊂ R (A∗). Reciprocamente,
se g ∈ F ∗, considere a restric¸a˜o g0 = g|Z . Temos, de modo ana´logo,
〈S∗g0, x〉 = 〈g0, Sx〉 = 〈g, Sx〉 = 〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉
para todo x ∈ E, donde R (A∗) ⊂ R (S∗). Por hipo´tese, temos enta˜o que R (S∗) e´ fechado, portanto e´ um
espac¸o de Banach, ja´ que e´ um subespac¸o vetorial fechado do espac¸o de Banach Z∗ (lembre-se que o dual de
um espac¸o vetorial normado sempre e´ um espac¸o de Banach).
Obtemos enta˜o que a restric¸a˜o de contradomı´nio S∗ : Z∗ −→ R (S∗) e´ um operador linear cont´ınuo
bijetivo. Pelo Corola´rio 3.7, a inversa (S∗)−1 existe e e´ cont´ınua. Em particular, S∗ e´ limitada inferiormente
e existe m > 0 tal que
‖S∗g0‖ > m ‖g0‖
para todo g0 ∈ Z∗. O teorema anterior implica que R (S) = Z, logo R (A) = Z e portanto R (A) e´ fechado.
¥
Portanto, se R (A) e´ fechado (por exemplo, se A for limitado), uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que
y ∈ R (A) e´ que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗).
Rodney Josue´ Biezuner 34
3.4 Exerc´ıcios
3.1 Seja T : E −→ F um operador linear limitado inferiormente tal que ImT e´ um subespac¸o fechado de
F . Mostre que T−1 e´ um operador linear fechado.
3.2 Mostre que se a inversa de um operador linear fechado existir, enta˜o ela tambe´m e´ um operador linear
fechado.
3.3 Mostre que operador linear D : C1 ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definido por
Df = f ′
e´ fechado.
3.4 Seja
E =
{
f ∈ C ([0, 1]) : existe lim
t→0+
f (t)
t
}
.
Defina uma aplicac¸a˜o linear T : E −→ C ([0, 1]) por
Tf (t) =

f (t)
t
se t 6= 0,
lim
t→0+
f (t)
t
se t = 0.
Mostre que T e´ fechado.
3.5 Sejam E,F espac¸os de Banach e {Tn}n∈N ⊂ L (E,F ) tal que {f (Tnx)}n∈N e´ uma sequeˆncia limitada
para todo x ∈ E e para todo f ∈ F ∗. Mostre que {Tn}n∈N e´ uniformemente limitada.
3.6 Se E,F sa˜o espac¸os vetoriais normados, mostre que (E × F )∗ = E∗ × F ∗.
3.7 Considere o seguinte subespac¸o de `1:
F =
{
(xn)n∈N ∈ `1 :
∞∑
n=1
n |xn| <∞
}
a) Mostre que F e´ um subespac¸o vetorial pro´prio denso de `1, portanto F na˜o e´ um espac¸o de
Banach.
b) Verifique que a aplicac¸a˜o linear T : F −→ `1 definida por
T
(
(xn)n∈N
)
= (nxn)n∈N
e´ uma aplicac¸a˜o fechada que na˜o e´ limitada.
c) Mostre que a inversa de T esta´ bem definida, e´ limitada, sobrejetiva, mas na˜o e´ aberta.
3.8 Sejam E,F espac¸os de Banach e T : E −→ F um operador linear limitado. Suponha que existam um
espac¸o de Banach G e operadores lineares A : E −→ G e B : G −→ F tais que T = B ◦ A. Usando o
teorema do gra´fico fechado, mostre que se B e´ limitado e injetivo, enta˜o A e´ limitado.
3.9 Sejam E um espac¸o de Banach e F um espac¸o vetorial normado. Seja {Tn}n∈N ⊂ L (E,F ) uma sequeˆncia
de operadores lineares limitados tal que sup
n∈N
‖Tn‖ = ∞. Mostre que existe um ponto x ∈ E tal que
sup
n∈N
‖Tnx‖ =∞.
Rodney Josue´ Biezuner 35
3.10 Sejam E,F espac¸os de Banach. Se T : E −→ F e´ uma aplicac¸a˜o linear tal que f ◦ T ∈ E∗ para todo
f ∈ F ∗, mostre que T e´ limitada.
3.11 Sejam L,M subespac¸os vetoriais fechados de um espac¸o vetorial normado E. Mostre que se L 6= M ,
enta˜o L⊥ 6=M⊥.
3.12 Sejam E um espac¸o de Banach e F um subespac¸o vetorial pro´prio de E. Mostre que se T0 : F −→ `∞
e´ uma aplicac¸a˜o linear limitada, enta˜o T se estende a uma aplicac¸a˜o linear limitada T : E −→ `∞ com
‖T‖ = ‖T0‖.
3.13 Considere `∞ e suponha que ‖·‖ e´ outra norma em `∞ tal que (`∞, ‖·‖) tambe´m e´ um espac¸o de
Banach. Se para cada i ∈ N a projec¸a˜o na i-e´sima coordenada pii
(
(xn)n∈N
)
= xi e´ cont´ınua na norma
‖·‖, mostre que existe uma constante C > 0 tal que
‖x‖ 6 C ‖x‖`∞
para todo x ∈ `∞ (sugesta˜o: use o teorema do gra´fico fechado). Conclua que as normas ‖·‖`∞ e ‖·‖
sa˜o equivalentes.
3.14 Mostre que a aplicac¸a˜o identidade I :
(
C0 [0, 1] , L1
) −→ (C0 [0, 1] , L∞) tem gra´fico fechado mas na˜o
e´ limitada.
Cap´ıtulo 4
Espac¸os Reflexivos
4.1 Espac¸os Reflexivos
Seja E um espac¸o vetorial normado. Denote
(E∗)∗ = E∗∗.
E∗∗ e´ chamado o espac¸o bidual de E. Podemos definir um operador linear limitado canoˆnico
J : E −→ E∗∗ (4.1)
da seguinte forma: para cada x ∈ E, o funcional linear limitado Jx : E∗ −→ R e´ dado por
(Jx) (f) = f (x) (4.2)
para todo f ∈ E∗. De fato, Jx e´ um funcional linear limitado em E∗ pois
|(Jx) (f)| = |f (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ = ‖x‖ ‖f‖ ,
ou seja,
‖Jx‖ 6 ‖x‖ .
Ale´m disso, J e´ realmente uma isometria de E sobre sua imagem J (E). Com efeito, pelo teorema de
Hahn-Banach, para cada x ∈ X existe um funcional linear f0 ∈ E∗ tal que ‖f0‖ = 1 e f0 (x) = ‖x‖, logo
‖Jx‖ = sup
‖f‖=1
|(Jx) (f)| > |(Jx) (f0)| = f0 (x) = ‖x‖ ,
portanto
‖Jx‖ = ‖x‖ (4.3)
para todo x ∈ E. Em particular, J e´ injetivo. Se J for tambe´m sobrejetivo, dizemos que E e´ reflexivo.
Isso implica que J e´ ao mesmo tempo um isomorfismo e uma isometria, em particular e´ um isomorfismo
topolo´gico. Como E∗∗ = (E∗)∗ e´ um espac¸o de Banach, segue que uma condic¸a˜o necessa´ria para que um
espac¸o vetorial normado seja reflexivo e´ que ele seja de Banach. Em vista disso, definimos
4.1 Definic¸a˜o. Dizemos que um espac¸o de Banach E e´ reflexivo se o operador J : E −→ E∗∗ for um
isomorfismo isome´trico.
E´ importante saber que E e E∗∗ serem isometricamente isomorfos atrave´s de um isomorfimo isome´trico
diferentedo operador J na˜o garante que E seja reflexivo, pois pode ocorrer que apesar disso o operador J
na˜o seja sobrejetivo (veja [James1] e [James2]).
Todo espac¸o vetorial normado de dimensa˜o finita e´ reflexivo (veja Exerc´ıcio 4.1). Existem importante
exemplos de espac¸os de Banach de dimensa˜o infinita que na˜o sa˜o reflexivos, como veremos mais tarde.
36
Rodney Josue´ Biezuner 37
4.2 Teorema. Seja E um espac¸o reflexivo. Se F ⊂ E e´ um subespac¸o vetorial fechado, enta˜o F e´ reflexivo.
Prova. Dado f∗ ∈ F ∗ temos que mostrar que existe x ∈ F tal que f∗ = Jx. Considere a submersa˜o
cont´ınua I : E∗ ↪→ F ∗ definida por
If = f |F .
Pelo teorema de Hahn-Banach a submersa˜o e´ sobrejetiva, pois todo funcional linear limitado definido em F
se estende a um funcional linear limitado definido em E (obviamente ela na˜o e´ injetiva se F e´ um subespac¸o
pro´prio de E). Esta submersa˜o e´ cont´ınua pois
‖If‖F∗ = sup
x∈F\{0}
|If (x)|
‖x‖ = supx∈F\{0}
|f (x)|
‖x‖ 6 supx∈E\{0}
|f (x)|
‖x‖ = ‖f‖E∗ ,
logo
‖If‖ = sup
f∈E∗\{0}
‖If‖F∗
‖f‖E∗
6 1.
Atrave´s desta submersa˜o, f∗ induz um funcional linear g∗ ∈ E∗∗ quando definimos
g∗ (f) = (f∗ ◦ I) (f) = f∗ (f |F ) .
Como E e´ reflexivo, existe x ∈ E tal que g∗ = Jx, ou seja,
f∗ (f |F ) = (Jx) (f)
para todo f ∈ E. Afirmamos que x ∈ F . De fato, se x /∈ F , como F e´ fechado podemos aplicar o teorema
de Hahn-Banach para concluir que existe um funcional linear f0 que se anula em F tal que f0 (x) = 1 o que
e´ uma contradic¸a˜o, pois
f∗ (f0|F ) = 0
enquanto que
(Jx) (f0) = f0 (x) = 1.
¥
Um subespac¸o vetorial de um espac¸o reflexivo que na˜o e´ fechado obviamente na˜o pode ser reflexivo, ja´ que
todo espac¸o reflexivo e´ de Banach.
4.3 Proposic¸a˜o. Se E e´ um espac¸o reflexivo e W e´ um subespac¸o vetorial de E∗, enta˜o(
W⊥
)⊥
=W.
Prova. Ja´ vimos na Proposic¸a˜o 4.15 que
(
W⊥
)⊥ ⊃W . Suponha por absurdo que existe f0 ∈ (W⊥)⊥ tal que
f0 /∈ W . Pelo teorema de Hahn-Banach, existe f∗ ∈ E∗∗ tal que f∗ (f) = 0 para todo f ∈ W e f∗ (f0) 6= 0.
Como E e´ reflexivo, existe x ∈ E tal que f∗ (f) = f (x) para todo f ∈ E∗. Em particular, f (x) = 0 para
todo f ∈W , logo x ∈W⊥. Mas enta˜o f0 (x) = 0, pois f0 ∈
(
W⊥
)⊥, contradizendo f0 (x) = f∗ (f0) 6= 0. ¥
4.4 Teorema. Seja E um espac¸o de Banach. Enta˜o E e´ um espac¸o reflexivo se e somente se E∗ for.
Prova. Suponha que E seja reflexivo. Sejam J : E −→ E∗∗ e J∗ : E∗ −→ E∗∗∗ as aplicac¸o˜es canoˆnicas,
isto e´,
(Jx) (f) = f (x)
e
(J∗f) (f∗) = f∗ (f) .
Rodney Josue´ Biezuner 38
Seja f∗∗ ∈ E∗∗∗. Para provar que E∗ e´ reflexivo, precisamos encontrar f ∈ E∗ tal que f∗∗ = J∗f . Considere
f := f∗∗ ◦ J ∈ E∗:
E
J−→ E∗∗ f
∗∗
−→ R.
Logo,
f∗∗ (Jx) = f (x) = (Jx) (f)
para todo x ∈ E. Como E e´ reflexivo, para todo f∗ ∈ E∗∗ existe x ∈ E tal que f∗ = Jx. Substituindo na
u´ltima equac¸a˜o acima, segue que
f∗∗ (f∗) = f∗ (f)
para todo f∗ ∈ E∗∗, ou seja,
f∗∗ = J∗f.
Reciprocamente, suponha que E∗ e´ reflexivo. Para provar que E tambe´m e´ reflexivo, observamos em
primeiro lugar que porque E e´ um espac¸o de Banach, o subespac¸o vetorial R (J) e´ um subespac¸o fechado de
E∗∗. De fato, como J e´ uma isometria, se Jxn → f∗ em E∗∗ enta˜o em particular {xn} e´ uma sequeˆncia de
Cauchy em E. Como E e´ um espac¸o de Banach, existe x ∈ E tal que xn → x em E. Logo, Jxn → Jx e
portanto f∗ = Jx ∈ R (J).
Suponha por absurdo que R (J) 6= E∗∗. Seja f∗ ∈ E∗∗\R (J). Pelo teorema de Hahn-Banach, existe
f∗∗ ∈ E∗∗∗ tal que f∗∗ = 0 em R (J) e f∗∗ (f∗) 6= 0. Como E∗ e´ reflexivo, existe f ∈ E∗ tal que f∗∗ = J∗f
. Da´ı, para todo x ∈ E vale
f (x) = (Jx) (f) = (J∗f) (Jx) = f∗∗ (Jx) = 0,
isto e´, f e´ o funcional nulo. Mas
f∗ (f) = (J∗f) (f∗) = f∗∗ (f∗) 6= 0,
contradic¸a˜o. ¥
4.2 Espac¸os Separa´veis
Lembramos que um espac¸o topolo´gico e´ separa´vel se ele possui um subconjunto denso enumera´vel.
4.5 Teorema. Seja E um espac¸o vetorial normado. Se E∗ e´ separa´vel, enta˜o E tambe´m e´.
Prova. Seja {fn}n∈N um subconjunto enumera´vel denso em E∗. Como
‖fn‖ = sup
x∈E
‖x‖=1
|fn (x)| ,
podemos escolher para cada n um elemento xn ∈ E tal que ‖xn‖ = 1 e
|fn (xn)| > ‖fn‖2 .
Seja
M = 〈x1, x2, . . .〉
o fecho do subespac¸o gerado pelo conjunto {xn}n∈N. Observe que M e´ separa´vel, pois o subconjunto das
combinac¸o˜es lineares dos xn com coeficientes racionais formam um subconjunto enumera´vel denso em M .
Afirmamos que M = E. De fato, se x0 ∈ E\M , pelo teorema de Hahn-Banach (Corola´rio 2.23) existe
f ∈ E∗ ∩M⊥ tal que ‖f‖ = 1 e f (x0) 6= 0. Em particular, f (xn) = 0 para todo n, logo
‖fn‖
2
6 |fn (xn)| = |fn (xn)− f (xn)| 6 ‖fn − f‖ ‖xn‖ = ‖fn − f‖ ,
Rodney Josue´ Biezuner 39
donde
1 = ‖f‖ 6 ‖fn − f‖+ ‖fn‖ 6 3 ‖fn − f‖ ,
ou seja,
‖fn − f‖ > 13 ,
contradizendo o fato que {fn} e´ denso em E∗. ¥
Vale a rec´ıproca quando E e´ um espac¸o reflexivo:
4.6 Corola´rio. Se E e´ um espac¸o reflexivo separa´vel, enta˜o E∗ tambe´m e´.
Prova. Pela Proposic¸a˜o 4.4 temos que E∗ e´ reflexivo. Para mostrar que E∗ e´ separa´vel, pelo teorema
anterior basta provar que E∗∗ e´ separa´vel. Seja {xn}n∈N um subconjunto enumera´vel denso em E. Dado
f∗ ∈ E∗∗, existe x ∈ E tal que Jx = f∗, e dado ε > 0 existe n ∈ N tal que ‖xn − x‖ < ε. Como J e´ uma
isometria, segue que ‖Jxn − f∗‖ < ε. Vemos portanto que {Jxn}n∈N e´ um subconjunto enumera´vel denso
em E∗∗. ¥
4.3 Exemplo 1: Espac¸os `p
Os espac¸os `p (n) tem dimensa˜o finita, logo sa˜o reflexivos (veja o Exerc´ıcio 4.1). Por outro lado, os espac¸os
`p sa˜o reflexivos se e somente se 1 < p <∞, isto e´, `1 e `∞ sa˜o exemplos de espac¸os de Banach que na˜o sa˜o
espac¸os reflexivos. Vamos provar estes fatos, ale´m de alguns fatos auxiliares que por si so´ ja´ sa˜o muito u´teis.
4.7 Proposic¸a˜o. `p sa˜o espac¸os separa´veis para 1 6 p <∞.
Prova. Seja
en = (0, . . . , 0, 1
n
, 0, . . .),
de modo que todo elemento x ∈ `p se escreve de maneira u´nica na forma
x =
∞∑
n=1
xnen.
[Como veremos mais tarde, {en}n∈N e´ uma base de Schauder para `p.] Enta˜o o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares com coeficientes racionais dos en e´ um subconjunto enumera´vel denso em `p.¥
4.8 Proposic¸a˜o. `∞ na˜o e´ separa´vel.
Prova. Observe que em `∞, o fecho do subespac¸o gerado por {en}n∈N e´ apenas o subespac¸o `∞0 das
sequeˆncias convergentes para 0. Para ver que `∞ na˜o e´ enumera´vel, considere o subconjunto na˜o-enumera´vel
{0, 1}ω ⊂ `∞ das sequeˆncias cujos elementos sa˜o apenas 0 ou 1 (uma tal sequeˆncia tem norma 1 em `∞).
Se x, y ∈ {0, 1}ω e x 6= y, enta˜o ‖x− y‖`∞ = 1, logo existe um nu´mero na˜o-enumera´vel de bolas com centro
nos pontos de {0, 1}ω e raio 1/2 que na˜o se interceptam. ¥
4.9 Proposic¸a˜o. Se 1 < p <∞, enta˜o
(`p)∗ = `p
′
no sentido que estes espac¸os sa˜o isometricamente isomorfos.
Prova. Afirmamos que a aplicac¸a˜o linear
Φ : `p
′ −→ (`p)∗
y 7→ f (x) =
∞∑
n=1
xnyn.
Rodney Josue´ Biezuner 40
e´ um isomorfismo isome´trico. Pela desigualdade de Ho¨lder temos
|f (x)| 6
∞∑
n=1
|xnyn| 6 ‖y‖`p′ ‖x‖`p ,
de modo que f ∈ (`p)∗ e
‖f‖(`p)∗ 6 ‖y‖`p′ , (4.4)
logo Φ e´ cont´ınua.
Agora exibiremos a inversa de Φ e mostraremos que ela tambe´m e´ cont´ınua. Ja´ vimos que todo elemento
x ∈ `p se escreve de maneira u´nica na forma
x =
∞∑
n=1
xnen.
Enta˜o, dado f ∈ (`p)∗, por continuidade temos
f (x) =
∞∑
n=1
xnf (en) .
De fato, se para cada k ∈ N denotamos
zk =
k∑
n=1
xnen,
por linearidade temos
f (zk) =
k∑
n=1
xnf (en) .
de modo que
f (x) = f
(
lim
k→∞
zk
)
= lim
k→∞
f (zk) = lim
k→∞
k∑
n=1
xnf (en) =
∞∑
n=1
xnf (en) .
Notando que f (en) = (Φy) (en) = yn, vemos agora que a inversa de Φ e´ dada por
Ψ : (`p)∗ −→ `p′
f 7→ (f (en))n∈N
Para mostrar que Ψ esta´ de fato bem definida e e´ cont´ınua, defina zk ∈ `p por
z
(i)
k =
 |f (ei)|
p′