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Razão entre Amplitudes de Oscilador Amortecido

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Física II – Oscilador amortecido 
 
João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia -- 8549323 
Maiara Fernanda Moreno -- 8549344 
Otávio Massola Sumi -- 8549452 
 
 
Ex. 14.77 •• Mostre que a razão entre as amplitudes de duas 
oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente 
amortecido. 
 
• Introdução 
Um oscilador harmônico, em física, é qualquer sistema que apresenta 
movimento harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma 
entidade física oscilar, isto é, mover-se de algum modo, num movimento 
de vai-vem, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por 
ser o seu movimento caracterizado e descrito por uma função harmônica 
do tempo. 
Um oscilador harmônico corresponde a um sistema que quando tirado da 
posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F, proporcional ao 
deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke: 
 F = -k x 
onde k é uma constante positiva, dita constante elástica. 
Se houver uma força de atrito que contraria o movimento (como, por 
exemplo, a força de resistência do ar) temos um oscilador harmônico 
amortecido. Nessa situação a frequência de oscilação é menor que no 
oscilador sem amortecimento, a amplitude da oscilação diminui conforme 
o tempo passa e a energia mecânica é dissipada. 
A amplitude de um oscilador amortecido num tempo t qualquer é: 
𝑥 = 𝐴𝑒−(𝑏/2𝑚)𝑡cos⁡(𝜔𝑡 + ⁡𝛿) 
Onde: 
A = amplitude máxima; 
b = constante de amortecimento; 
m = massa do oscilador; 
t = tempo do movimento; 
ω = frequência do oscilador; 
δ = fase; 
τ = m/b -> é o tempo de decaimento. 
 
Abaixo, um gráfico posição x tempo que ilustra esse comportamento dos 
osciladores: 
 
 
 
 
 
• Resolução 
Para resolver a questão, podemos expressar primeiramente as 
amplitudes, separadas por um período T, e então mostrar a razão entre as 
duas. 
 
 
Para que a amplitude seja máxima em x, cos(𝜔𝑡 + ⁡𝛿) deve ser igual a 1, 
maior valor possível para cos(𝜔𝑡 + ⁡𝛿), e que, portanto, proporcionará a 
maior amplitude. 
Lembrando ainda que τ = m/b, simplifica-se a equação do operador 
amortecido para outra que retorna o valor da amplitude em função do 
tempo t: 
 
𝑥 = 𝐴𝑒−(𝑏/2𝑚)𝑡cos⁡(𝜔𝑡 + ⁡𝛿) 
 
𝑥 = 𝐴𝑒−(𝑏/2𝑚)𝑡 ∗ 1 
 
𝑥 = 𝐴𝑒−(1/2𝜏)𝑡 
 
𝐴(𝑡) = 𝐴𝑒−𝑡/2𝜏 
 
 
 
Considerando um tempo t qualquer, a equação é a mesma: 
 
𝐴(𝑡) = 𝐴𝑒−𝑡/2𝜏 
 
O intervalo de tempo necessário para o corpo completar uma oscilação 
em torno da posição de equilíbrio, o período, é dado por 
 T = (2/ksendo k um número inteiro qualquer . Ou seja, o próximo 
máximo de amplitude será observado um período T após o tempo t inicial 
escolhido. Logo, este acontecerá no tempo t’ = (t + T). Portanto: 
 
𝐴(𝑡′) = 𝐴(𝑡 + 𝑇) ⁡= 𝐴𝑒−(𝑡+𝑇)/2𝜏 
 
 
Com isso, é possível medir a razão entre as duas amplitudes sucessivas: 
 
𝐴(𝑡 + 𝑇)
𝐴(𝑡)
=
𝐴𝑒−(𝑡+𝑇)/2𝜏
𝐴𝑒−(𝑡)/2𝜏
 
 
𝐴(𝑡 + 𝑇)
𝐴(𝑡)
= 𝑒(−⁡
𝑡+𝑇
2𝜏 )−(−⁡
𝑡
2𝜏) 
 
𝐴(𝑡 + 𝑇)
𝐴(𝑡)
= 𝑒
−𝑇
2𝜏 
 
que é uma constante, uma vez que T e τ = m/b são constantes. 
 
 
• Bibliografia 
Paul A.Tipler - Física para cientistas e engenheiros – Quarta edição; V1.

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