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Aula 3 - Distribuição de Probabilidades de Estatísticas Amostrais

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 Distribuições de Probabilidades de Estatísticas Amostrais 
(Estimadores) 
 
◦ 2.1 – A Distribuição da Média Amostral. 
 
◦ 2.2 – O Teorema do Limite Central. 
 
◦ 2.3 – A Distribuição da Proporção Amostral. 
 
◦ 2.4 – Aplicações. 
 
 
 
 
Introdução 
 
 A inferência estatística envolve a formulação de certos julgamentos 
sobre um todo após examinar apenas uma parte, ou amostra, dele. 
 
 Assim é que podemos receber uma amostra de um novo produto 
alimentício num supermercado; certamente queimaremos a língua 
se tentarmos provar um pedaço de torta recém-saída do forno; o 
cozinheiro prova a sopa para ver se precisa de um pouco mais de 
sal. 
 
 Analogamente, quando passamos os olhos sobre um novo livro ou 
uma revista, ou experimentamos uma roupa nova, ou vemos um 
programa de TV por uns poucos minutos para decidir se mudamos 
ou não de canal — na realidade estamos fazendo amostragem. 
 
 
 
Introdução 
 
 A amostragem estatística é semelhante a cada um dos exemplos 
anteriores, embora seus métodos sejam mais formais e precisos e 
incluam tipicamente uma afirmação probabilística. 
 
 Assim, a probabilidade e a amostragem estão estreitamente 
relacionadas e, juntas, formam o fundamento da teoria da 
inferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 A finalidade da amostragem é obter uma indicação do valor de um ou mais 
parâmetros de uma população, tais como a media, o desvio padrão populacional, ou 
a proporção de itens que possuem determinada característica. 
 
 As estatísticas amostrais que correspondem a esses parâmetros populacionais 
são usadas para aproximar os valores desconhecidos daqueles parâmetros. 
 
 Assim é que a média amostral (é uma estatística, uma VA!) é usada para estimar a 
média da população, o desvio padrão amostral é usado para estimar o desvio 
padrão populacional, e a proporção amostral serve para estimar a proporção na 
população. 
Introdução 
 
 Uma das realidades da amostragem aleatória é que, quando se extraem 
repetidas amostras da mesma população, há uma tendência de a estatística 
amostral variar de uma amostra para outra, e também em relação ao 
verdadeiro valor do parâmetro, simplesmente em razão de fatores casuais 
relacionados com a amostragem. 
 
 Essa tendência é conhecida como variabilidade amostral. (Por essa razão, 
quase sempre podemos estar certos de que determinada estatística amostral 
não é igual ao correspondente parâmetro populacional.) 
Introdução 
 
 Então, qualquer tentativa para fazer inferências sobre uma população deve 
levar em conta a variabilidade amostral. 
 
 De modo geral, pode parecer difícil lidar, de maneira racional, com a 
variabilidade amostral. 
 
 No caso da amostragem aleatória, entretanto, demonstra-se 
matematicamente que a variabilidade pode ser descrita por 
distribuições de probabilidades tais como a normal e a binomial. 
 
 
Introdução 
 
 Quando as distribuições de probabilidade são usadas dessa maneira, são 
conhecidas como distribuições amostrais. 
 
 E como essas distribuições só podem ser utilizadas quando se trata de 
amostras aleatórias, é essencial usar somente amostras aleatórias para 
fazer inferência estatística. 
 
Introdução 
 
 A questão a responder para cada amostra é: 
 
 
 
 
 
Quão próxima está a estatística amostral do verdadeiro valor do 
parâmetro populacional? 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 A resposta depende de três fatores: 
 
◦ a estatística que está sendo considerada (para descrever a variabilidade 
associada a diferentes estatísticas amostrais, usam-se diferentes 
distribuições de probabilidade). 
 
◦ o tamanho da amostra (há menor variabilidade entre estatísticas de 
grandes amostras do que entre estatísticas de pequenas amostras). 
 
◦ a variabilidade existente na própria população submetida a amostragem 
(populações com muita variabilidade produzem estatísticas amostrais com 
maior variabilidade do que populações com pequena variação entre os 
valores populacionais). 
 
 
 
◦ 
Introdução 
 Inicialmente é difícil assimilar o conceito de distribuição amostral. 
Examinemos por isso uma distribuição amostral simples. 
 
 Suponhamos que um fazendeiro deseja vender alguns porcos. Para 
simplicidade, limitemos a população a 5 porcos. Para nossos propósitos, 
suponhamos sejam conhecidos os pesos dos porcos (embora o fazendeiro 
não os conheça). Os pesos constam da Tabela abaixo. 
 
Introdução 
 
 Suponhamos que qualquer porco com menos de 205 lb de peso seja 
considerado magro, não podendo ser vendido a preço razoável. 
 
 Vemos que 2 deles, ou seja, 2/5 da população, estão nessa categoria. O 
fazendeiro quer agora estimar a proporção de seus porcos que estão 
abaixo do peso. 
 
 Como é muito trabalhoso pesar todos os animais, ele resolve tomar uma 
amostra de 2 e usar a proporção amostral para estimar a proporção 
populacional. 
 
 As perguntas que devemos responder são: 
 
◦ Que proporções amostrais são possíveis? 
◦ e quão viável é cada uma? 
◦ Em outras palavras, queremos a distribuição amostral da situação. 
Introdução 
 
 Como uma distribuição amostral deve indicar os resultados possíveis, 
comecemos por identificá-los. 
 
 Presumivelmente, o fazendeiro faria amostragem sem reposição, pois não 
desejaria pesar o mesmo porco duas vezes. 
 
 A Tabela a seguir ilustra os resultados amostrais possíveis. 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 A distribuição amostral aponta que as proporções amostrais possíveis são 
0/2, 1/2 e 2/2, ou 0%, 50% ou 100%. 
 
 Mostra também quão provável é cada proporção, sob a hipótese de que 
cada porco tenha a mesma chance de ser incluído na amostra (isto e, 
amostragem aleatória). 
 
 
Introdução 
 
 Por exemplo, há uma probabilidade de 0,6 de a proporção amostral ser 1/2, 
o que está próximo da proporção real (como são usadas amostras de 2, 
seria impossível termos uma proporção amostral de 2/5). 
 
Introdução 
 
 Se escolhêssemos a distribuição para amostras de 3 observações para a 
mesma população, a distribuição da proporção de porcos com deficiência 
de peso seria a da Figura abaixo. Note-se que nesse último caso os 
resultados são diferentes dos do caso de amostras de tamanho 2. 
Introdução 
 
 Conquanto essa abordagem empírica das distribuições amostrais não seja 
prática, pois exige a listagem de todos os resultados possíveis, permite, 
não obstante, considerar em pequena escala o que uma distribuição 
amostral realmente é. 
 
 Na prática, as distribuições amostrais são deduzidas matematicamente e 
colocadas à disposição dos analistas sob forma de tabelas e gráficos. 
 
 Vamos, em seguida, explorar algumas formas como uma população pode 
influenciar uma distribuição amostral. 
Efeito dos parâmetros populacionais sobre uma 
distribuição amostral 
 
 Sabemos que as distribuições amostrais tendem a produzir estatísticas 
amostrais representativas dos parâmetros populacionais (Isto é, apesar 
do fato de apresentarem certa variabilidade, as estatísticas amostrais 
devem aproximar parâmetros populacionais de forma bastante satisfatória). 
 
 Esta característica de ser representativa resulta em estatísticas amostrais 
que tendem a se acumular na vizinhança dos verdadeiros valores 
populacionais. 
 
 Assim, população com médias (ou qualquer outro parâmetro populacional) 
determinadas tendem a gerar amostras cujas médias (ou outro parâmetro 
de interesse) orbitem em torno do verdadeiro valor, seu valor populacional. 
Efeito do tamanho da amostra sobre