AULA 7

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19/08/2019 Disciplina Portal
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Prática de Ens. Est. Sup. em
Matemática III
Aula 7 - Tema estruturador – Álgebra: números
e funções
INTRODUÇÃO
No Ensino Médio, um conjunto de temas que possibilitam o desenvolvimento das competências almejadas com
relevância cientí�ca e cultural, e com uma articulação lógica das ideias e conteúdos matemáticos, pode ser
sistematizado em três grandes eixos ou temas estruturadores, desenvolvidos de forma concomitante nas três séries:
Álgebra (números e funções), Geometria e medidas e a Análise de dados. Nesta Aula 7, abordaremos o Tema
Estruturador Álgebra: números e funções.
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O primeiro tema ou eixo estruturador, Álgebra, na vivência cotidiana, se apresenta com enorme importância enquanto
linguagem, como na variedade de grá�cos presentes diariamente nos noticiários e jornais, e também enquanto
instrumento de cálculos de natureza �nanceira e prática, em geral. Para o desenvolvimento desse eixo, são propostas
duas unidades temáticas: estudo das funções e trigonometria.
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para
expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e
permitindo várias conexões dentro e fora da própria Matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções
deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus grá�cos
e nas aplicações dessas funções.
Com relação à Trigonometria, o que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de
problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que
correspondem a fenômenos periódicos.
OBJETIVOS
Proporcionar a vivência e a análise de situações reais de ensino–aprendizagem em Matemática;
Considerar criticamente os aspectos cientí�cos, éticos, sociais, econômicos e políticos, que envolvem a prática
docente;
Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e
modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e fazer conexões dentro e fora da
Matemática;
Analisar o conhecimento cientí�co e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo
histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.
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Unidade temática I: estudo das funções
O ensino de funções no Ensino Médio.
O conceito de função é considerado um dos mais importantes da Matemática e seus aspectos mais simples estão
presentes nas noções mais básicas dessa ciência, como por exemplo, na contagem.
O conceito de função envolve concepções diversas e múltiplas representações, fazendo-se necessário compreender o
sentido que esse conceito pode assumir em diferentes contextos, quais signi�cados o aluno pode produzir e de que
formas isto se desenvolve no ambiente escolar. A relação funcional ocorre em todos os campos do conhecimento
humano e está, em sua origem, associada à ideia de regularidade, ultrapassando o domínio matemático.
O ENSINO DE FUNÇÕES NO ENSINO MÉDIO
No Ensino Médio, com vistas às aplicações, funções podem ser entendidas como um conceito que trata de problemas
de variação e quanti�cação de fenômenos. Ou, em outras palavras, o estudo das funções pode ser entendido como o
estudo de relações entre grandezas que variam. Dentro dessa concepção, uma variável representa os valores do
domínio de uma função, surgindo a noção de variáveis dependente e independente. Tendo isso em vista, Barreto (2008)
destaca alguns aspectos do ensino de funções que consideramos importantes de serem desenvolvidos no Ensino
Médio. São eles:
Também está diretamente associada à ideia de variável. Quando a Álgebra é vista como o estudo das relações entre grandezas,
as variáveis representam valores do domínio de uma função ou números dos quais dependem outros números. Assim, a ideia de
função surge naturalmente. Em um nível mais avançado, quando a Álgebra é considerada Aritmética generalizada, as variáveis
são usadas como generalizadoras de informações numéricas.
Por tabelas, grá�cos e modelos. Essas múltiplas representações, quando desenvolvidas de forma articulada, levam a uma
compreensão mais abrangente do conceito assim como do problema ou situação que pode estar sendo representada. As tabelas
se apresentam como uma forma de representar relações funcionais, e o seu uso é adequado quando se pretende encontrar
relações generalizadas, como aquelas advindas de situações que envolvem relações de recorrência. Os grá�cos têm fundamental
importância para a Matemática, pois além do apelo visual favorecem a observação de determinados comportamentos, que em
outras representações (tabela e algébrica) são difíceis de perceber. Os modelos matemáticos descrevem, através de
representações numéricas, algébricas, grá�cas e outras, um fenômeno, uma situação ou aquilo que se pretende representar.
As aplicações da Matemática nas outras ciências e noutros contextos são instrumentos por excelência para estudar problemas
de variação e trazem consigo, de sua origem histórica, a ideia de instrumento indispensável para o estudo qualitativo de
fenômenos naturais.
A articulação com as progressões aritmética e geométrica serve ao mesmo propósito que as funções lineares e exponenciais
respectivamente, isto é, modelar diferentes tipos de crescimentos.
Figura: Software Educacional Matemático
Geogebra.
Funções no GeoGebra
O GeoGebra é um software gratuito de Geometria dinâmica, criado por
Markus Hohenwarter, desenvolvido para o ensino e aprendizagem da
Matemática, tanto no nível básico como universitário.
A grande vantagem didática desse programa é que ele apresenta, ao
mesmo tempo e no mesmo ambiente visual, representações
geométricas e algébricas de objetos que interagem entre si.
Esse programa, escrito em JAVA e disponível também em português,
encontra-se no endereço:
<http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download (glossário)>.
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Figura: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download (glossário)>.
VOCÊ SABIA?
Para aprender os comandos básicos do GeoGebra, o próprio programa dispõe de um tutorial, na opção “Ajuda”, simples
e explicativo.
PDF
Clique aqui (galeria/aula7/docs/a07_t04.pdf) e leia mais sobre o GeoGebra.
UNIDADE TEMÁTICA II: TRIGONOMETRIA
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Fonte da Imagem:
O uso de materiais manipulativos na Trigonometria
O material concreto é um instrumento importante para:
motivar;
inovar;
auxiliar na construção do conhecimento;
desenvolver o pensamento matemático;
criar, confrontar e veri�car hipóteses;
desenvolver a criatividade, entre outras.
Manipular os materiais concretos permite aos alunos criar imagens mentais de conceitos abstratos. Porém, ele
sozinho não consegue atingir essas funções. É preciso uma participação ativa do professor, pois, materiais concretos
sozinhos não garantem a compreensão de conceitos. Usando um material é necessário que o professor o conheça
bem, saiba aplicá-lo e tenha claro os seus objetivos ao utilizá-lo. Os professoresdevem criar uma sequência didática
que promova a re�exão e a construção de signi�cados pelo aluno.
Fonte: http://www.mmpmateriaispedagogicos.com.br/wp-
content/uploads/2014/01/img_produtos_jogo_jogo_mandala_trigonometrica.jpg
Atenção!
A crença do professor e dos alunos, em como se aprende Matemática, também vai in�uenciar no resultado �nal. Se o professor o
utiliza apenas porque está na moda ou para fazer uma aula diferente, divertida, e não orienta as ações do aluno para criar um
ambiente favorável à aprendizagem, o material perderá sua �nalidade e não promoverá a aprendizagem.
Multiplano
Fonte: <http://www.multiplano.com.br/style/fotos-conteudos/TRI%C3%82NGULO%20RET%C3%82NGULO%20INSCRITO1.png
(http://www.multiplano.com.br/style/fotos-conteudos/TRI%C3%82NGULO%20RET%C3%82NGULO%20INSCRITO1.png)>
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O teodolito no ensino de
Trigonometria
Teodolito é um instrumento ótico utilizado principalmente na
construção civil e na agrimensura para realizar medidas indiretas de
grandes distâncias, alturas e curvas de nível. Um conjunto, ótico sobre
uma base na forma de tripé, permitindo que se mire em referenciais,
podendo ser uma árvore, uma casa ou uma régua de curva de nível.
Dependendo do objetivo da utilização, podemos determinar ângulos
verticais e horizontais.
O professor deve construir esse aparelho com materiais alternativos de
baixo custo. São eles: cartolina, isopor, �o de nylon, al�nete, canudo e
argila. Além disso, pode utilizar o transferidor para determinar os
ângulos. Com o teodolito, podemos medir alturas de sobrados,
edifícios, árvores, dentre outros.
PDF
Clique aqui (galeria/aula7/docs/a07_t07.pdf) e leia sobre A confecção de um teodolito.
A TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
Fonte da Imagem:
A apresentação das leis dos senos e dos cossenos pode ser motivada com questões relativas à determinação das
medidas de elementos de um triângulo. Por exemplo: conhecendo-se a medida de dois lados de um triângulo e a
medida do ângulo formado por esses lados, sabe-se que esse triângulo é único e, portanto, é possível calcular a
medida dos demais elementos do triângulo.
Também é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela sua importância na resolução de diversos
tipos de problemas. Problemas de cálculos de distâncias inacessíveis são interessantes aplicações da Trigonometria, e
esse é um assunto que merece ser priorizado na escola. Por exemplo, como calcular a largura de um rio? Que
referências (árvore, pedra) são necessárias para que se possa fazer esse cálculo em diferentes condições – com régua
e transferidor ou com calculadora?
Fonte da imagem: A largura de um rio - Fonte:
http://www.amma.com.pt/wpcontent/uploads/2011/04/8Pag133-8.jpg
Atenção!
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É preciso atenção à transição do seno e do cosseno no triângulo retângulo (em que a medida do ângulo é dada em graus), para o
seno e o cosseno, de�nidos como as coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com medida em
radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas então de�nidas para
ângulos com medida entre 0º e 180º.
Os alunos devem ter a oportunidade de traçar grá�cos referentes às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se
escreve f (x) = seno (x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em radianos. As funções
trigonométricas seno e cosseno também devem ser associadas aos fenômenos que apresentam comportamento periódico.
Trigonometria no Winplot
Um dos tópicos que mais consomem as energias dos professores de Matemática é o ensino da Trigonometria no
círculo trigonométrico.
Com a adoção do software livre como novo paradigma tecnológico, apresenta-se como uma solução para equilibrar
com o modelo de software proprietário. O Winplot (glossário) vem sendo utilizado no ensino da Matemática, em vários
países, nos cursos de Nível Médio e Superior.
Os recursos grá�cos do Winplot permitem as mais variadas explorações das funções trigonométricas. Ele está
disponível em <http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html (glossário)>. 
Fonte: Recursos grá�cos do Winplot.
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Atividades Propostas
1. O estudo das funções possibilita ao aluno assimilar a linguagem algébrica como a linguagem das ciências,
necessária para expressar relações entre grandezas e estruturar situações-problema, construindo modelos descritivos
de fenômenos e permitindo várias conexões, dentro e fora da própria Matemática. Assim, a ênfase no estudo dos
diferentes tipos de funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades relativas às operações, na
interpretação de seus grá�cos e nas aplicações dessas funções. Nesse sentido, quatro aspectos são importantes para
o estudo de funções no Ensino Médio:
A) A natureza algébrica; as diferentes formas de representação; aplicação a problemas e situações da vida e de outras ciências;
articulação com outros tópicos da própria Matemática.
B) A memorização das fórmulas; utilizar apenas a representação por tabela; aplicação a problemas e situações da vida e de
outras ciências; articulação com outros tópicos da própria Matemática.
C) A natureza algébrica; utilizar apenas a representação por grá�co; aplicação a problemas e situações da vida e de outras
ciências; articulação com outros tópicos da própria Matemática.
D) A natureza algébrica; utilizar apenas a representação por modelo matemático; aplicação a problemas e situações da vida e de
outras ciências; articulação com outros tópicos da própria Matemática.
E) A natureza algébrica; utilizar somente as representações por grá�co ou tabela; aplicação a problemas e situações da vida e de
outras ciências; articulação com outros tópicos da própria Matemática.
Justi�cativa
2. O __________________________ é um software gratuito de Geometria dinâmica, no qual é possível trabalhar a
Geometria, a Álgebra e o Cálculo, foi desenvolvido em linguagem JAVA. Esse software oportuniza a visualização da
relação entre a representação algébrica e a representação geométrica de um objeto em estudo. O seu autor é o
professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg, na Áustria. Esse sistema de Geometria dinâmica permite
realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas, como com funções que, se feitas de
forma adequada, podem modi�car-se dinamicamente. Também é possível gerar animações, inserindo parâmetros nas
funções e equações.
A) Torre de Hanói.
B) GeoGebra.
C) Tangram.
D) Polytris.
E) Tess.
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Justi�cativa
3. O _________________________ , um dos softwares do grupo Peanut Software, é uma ferramenta computacional
bastante interessante, principalmente para representar grá�cos de funções reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D).
Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris (Rick), da Phillips Exeter Academy, por volta de 1985.
A) Torre de Hanói.
B) Tangram.
C) Winplot.
D) Polytris.
E) Tess.
Justi�cativa
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Glossário
WINPLOT
O Winplot é um software matemático de uso livre desenvolvido por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy, em New
Hampshire.É um programa grá�co muito e�ciente e versátil na plotagens de grá�cos de funções (de uma ou duas variáveis) em
duas dimensões (2D) e em três dimensões (3D), além de fácil utilização ele pode ser rodado em computadores menos modernos.
O Winplot foi criado para ser rodado em plataforma Windows, mas pode ser executado em plataforma Linux com ajuda do wine
(emulador para aplicativos Windows no Linux).