Aspectos Tecnológicos da Produção

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Aplicações Aspectos Tecnológicos da Produção
1. Um administrador de campanha política precisa decidir se veiculará propagandas na televisão ou enviará correspondências para potenciais eleitores, durante uma campanha de reeleição. Descreva a função de produção para os votos da campanha. De que modo informações a respeito
desta função (por exemplo, o formato das isoquantas) poderiam ajudar o administrador da campanha a planejar sua estratégia?
Resposta
O administrador da campanha está interessado na produção de
votos. A função de produção relevante utiliza dois insumos,
propaganda na televisão e mala direta. O uso desses insumos requer o conhecimento das possibilidades de substituição entre eles. Se os insumos são substitutos perfeitos, as isoquantas resultantes são linhas retas, e o administrador da campanha deve usar apenas o insumo relativamente mais barato. Se os insumos não são substitutos perfeitos, as isoquantas apresentam formato convexo e o administrador da campanha deve usar uma combinação dos dois insumos.
2.Uma empresa tem um processo produtivo no qual os insumos de produção são perfeitamente substituíveis a longo prazo. Você poderia dizer se sua taxa marginal de substituição técnica é alta ou baixa, ou seria necessário dispor de mais informações para poder responder? Discuta.
Resposta
A taxa marginal de substituição técnica, TMST, é o valor absoluto da inclinação da isoquanta. Se os insumos são substitutos perfeitos, as isoquantas são lineares. Para calcular a inclinação de uma isoquanta, e portanto a TMST, é necessário saber a taxa à qual um insumo pode ser substituído pelo outro.
3. O produto marginal do trabalho é sabidamente superior ao produto médio do trabalho para um determinado nível de emprego. O produto médio estaria aumentando ou diminuindo? Explique.
Resposta
Se o produto marginal do trabalho, PMgL, é maior do que o produto médio do trabalho, PMeL, cada unidade adicional de 
trabalho é mais produtiva que a média das unidades previamente empregadas.
Logo, a adição da última unidade aumenta a média geral. Se o PMgL é maior do que o PMeL, então o PMeL é crescente. Se o PMgL é menor que o PMeL, então a última unidade diminui a média. O PMeL atinge um máximo no ponto onde a produtividade da última unidade é igual à média das unidades previamente empregadas (isto é, quando PMgL = PMeL).
4. O produto marginal do trabalho na produção de chips para
computadores é de 20 chips por hora. A taxa marginal de substituição técnica de horas de trabalho por horas de maquinário é de 1/2. Qual é o produto marginal do capital?
Resposta
A taxa marginal de substituição técnica é definida como a razão dos produtos marginais. Nesta questão, conhecemos o produto marginal do trabalho e a taxa marginal de substituição técnica. Logo, para determinar o produto marginal do capital, deve-se substituir os valores do produto marginal do trabalho e da taxa marginal de substituição técnica:
PMgL /PMgk = TMST ou 20/ PMgk=1/2
PMgK = 40 chips de computador por hora.
5. A seguinte função de produção apresenta rendimentos decrescentes, constantes ou crescentes de escala?
Q(K,L) = 10K2L1/3
Resposta
Os rendimentos de escala referem-se à relação entre o nível de produção e aumentos proporcionais em todos os insumos. Esse conceito pode ser representado da seguinte forma, onde λ representa um aumento proporcional nos insumos:
f(λK, λL) > λf(K, L) implica rendimentos crescentes de escala;
f(λK, λL) = λf(K, L) implica rendimentos constantes de escala; e
f(λK, λL) < λf(K, L) implica rendimentos decrescentes de escala.
Logo, podemos substituir K por λK e L por λL, e comparar o resultado com um aumento proporcional em Q.
Q* = 10(λK)2(λL)1/3 = (10K2L1/3)λ7/3 = Qλ7/3 > λQ
Esta função de produção apresenta rendimentos crescentes de
escala.
Q(K,L) = 2L2 + 3K2 + 4LK + 5L + 6K + 7
Resposta
Q* = 2(λL)2 + 3(λK)2 + 4(λLK)+ 5(λL) + 6(λK)+ 7= 
(2L2 + 3K2)λ2 + (4LK + 5L + 6K)λ + 7 = Qλ = λQ.
Seria possível afirmar que esta função de produção apresenta rendimentos crescentes de
Escala. Contudo como existe a constante 7 nada é possível afirmar já que o conceito de rendimentos de escala é de longo prazo quando tudo deve variar.
6. A função de produção da empresa fabricante de computadores pessoais, Empresa 1, é expressa por Q = 10K0,5L0,5, em que Q é o número de computadores produzidos diariamente, K é o número de horas de máquina, e L é o número de horas do insumo trabalho. Um concorrente da empresa 1, a empresa 2, está utilizando a função de produção: Q = 10K0,6L0,4.
a.Se ambas as empresas utilizam quantidades iguais de capital e trabalho, qual das duas produz mais?
Resposta
Sejam Q1 a produção da empresa 1, Q2 a produção da empresa2, e X as quantidades iguais de capital e trabalho das duas empresas.
Logo, a partir de suas funções de produção,
Q = 10X0,5X0,5 = 10X(0,5 + 0,5) = 10X
e
Q2 = 10X0,6X0,4 = 10X(0,6 + 0,4) = 10X.
Dado que Q = Q2, ambas as empresas geram o mesmo nível de
produção com os mesmos insumos. Observe que se as quantidades de capital e trabalho fossem diferentes, o nível de produção das duas empresas não seria igual. De fato, se K>L, então Q2>Q.
b.Suponha que o capital esteja limitado a 9 horas de máquina, porém o trabalho seja ilimitado. Em qual das duas empresas seria maior o produto marginal do trabalho? Explique.
Resposta
Com o capital limitado a 9 unidades, as funções de produção se tornam Q = 30L0,5 e Q2 = 37,37L0,4. Como PMgL= ΔQ/ΔL:
	 L
	 Q empresa 1
	 PMGL 
 empresa 1
	 Q empresa 2
	 PMGL 
 empresa 2
	1
	30,0
	15
	37,37
	15
	2
	42,43
	10,6
	49,31
	9,9
	3
	51,96
	8,6
	58,00
	7,7
Para cada unidade de trabalho acima de 1, o produto marginal do trabalho é maior para a primeira empresa.
7. Suponha que a produção de trigo tenha a seguinte função 
de produção:
 Q = 100(K0,8L0,2).
Iniciando com insumo capital igual a 4 e insumo trabalho igual a 49, mostre que o produto marginal do trabalho e o produto marginal do capital são ambos declinantes.
Resposta
PMgk = 80L0,2/K0,2
Com trabalho fixo (L = 49) e capital variável:
K = 4 ⇒ PMgk = 109,30
K = 5 ⇒ PMgk = 104,54
K = 6 ⇒ PMgk = 100,70
K = 7 ⇒ PMgk = 97,72
PMgL = 20K0,8/L0,8
Com capital fixo (K = 4) e trabalho variável:
L = 49 ⇒ PMgL = 2,69
L = 50 ⇒ PMgL = 2,65
L = 51 ⇒ PMgL = 2,60
L = 52 ⇒ PMgL = 2,56
Observe que os produtos marginais de ambos o capital e o trabalho são decrescentes à medida que o insumo variável aumenta.
b.Esta função de produção exibe rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes?
Resposta
A ocorrência de rendimentos de escala constantes
(crescentes/decrescentes) implica que aumentos proporcionais nos insumos levam a aumentos da produção em proporção igual
(maior/menor). Se as quantidades de trabalho e capital
aumentassem na mesma proporção (λ) para a função de produção
sob análise, a produção aumentaria na mesma proporção:
λQ = 100(λK)0,8 (λL)0,2, ou λQ = 100K 0,8 L 0,2 λ(0,8 + 0,2) = Qλ
Logo, esta função de produção apresenta rendimentos constantes de escala.
(Vasconcelos e Oliveira. Manual de Microeconomia, cap. 11)
8.A função de produção de longo prazo de uma empresa é 
f(K,L) = K0,5 L0,5
sendo K e L as quantidades empregadas de capital e trabalho.
a.Determine se essa função de produção apresenta rendimentos crescentes constantes ou decrescentes de escala.
b.Se os fatores de produção apresentam rendimentos marginais decrescentes
Respostas
a.O grau de homogeneidade da função Cobb-Douglas é dada pela soma dos expoentes dos fatores de produção. Portanto a função de produção apresenta rendimentos constantes de escala.
b.O produto marginal do trabalho é dado por 
PMgL = ∂(K0,5 L0,5)/ ∂L = 0,5 K0,5/ L0,5
Esse produto marginal é portanto tanto menor quanto maior for L o que caracteriza a existência de rendimentos marginais decrescentes do fatortrabalho.
O mesmo pode ser dito do fator capital cujo produto marginal é decrescente em relação a K:
 PMgK = ∂(K0,5 L0,5)/ ∂K = 0,5 L0,5/ K0,5
9. Indique e mostre graficamente o produto médio e a produtividade marginal da função y = 8x – x2
PMe = 8 – x
PMg = dy/dx = 8 – 2x x = 4
y
 PT
8
 PMe 
 4 x
 PMg
10. Uma empresa produz y utilizando dois fatores de produção x1 e x2 de acordo com a seguinte função de produção:
 Y = 100x1 ½ x21/4
 A empresa se depara com os preços p, w1 e w2 para y, x1 e x2, respectivamente.
Determine os retornos à escala dessa tecnologia
Encontre a demanda para os fatores de produção e a oferta do produto
Respostas
a)tf(y)= 100(tx1)½ (tx2)1/4
tf(y)= 100t¾x1½ x21/4
Então tf(y)> f(ty), retornos decrescentes de escala
b)Para determinar a demanda para os fatores de produção e a oferta do produto é preciso maximizar o lucro, ou seja:
Max Py – w1x1 – w2x2
∏ (lucro) = P(100x1 ½ x21/4)- w1x1 – w2x2
∂∏/ ∂x1 = 50Px21/4/x1 ½ = w1 (1)
∂∏/ ∂x2 = 25Px1 ½/ x23/4= w2 (2) 
(1)/(2) (50Px21/4/x1 ½ )/ 25Px1 ½/ x23/4 = w1/w2 2x2/x1 = w1/w2
 x1 = 2x2w2/w1 (3)
Substituindo (3) em (1) se encontra a demanda pelo fator de produção x2:
x2* = (50P)4/(2w1w2)2
Substituindo x2* em (3), obtém-se a demanda pelo fator de produção x1:
X1* = (50P)4/2w2w13
Para determinar a oferta do produto substitui-se x1* e x2* na função de produção:
Y = 100[(50P)4/2w2w13 ] ½ [(50P)4/(2w1w2)2]1/4
Y* = 504P3/ w2w12