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Correlação entre duas variáveis. O Modelo de Regressão Linear Simples. O Modelo de Regressão Linear Múltipla. Aplicações. Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ A aplicação a seguir se refere ao experimento em sala de aula com o peso e altura dos alunos. A tabela a seguir sumariza as informações: Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max -------------+--------------------------------------------------------- peso | 46 69.71739 11.75805 50 104 altura | 46 1.712826 .0796845 1.55 1.89 Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ Observemos, inicialmente, se o comportamento das variáveis é linear. O gráfico a seguir nos dá uma ideia dessa relação: Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ Se tomarmos o logaritmo das variáveis, talvez enxerguemos melhor o comportamento linear. O gráfico a seguir nos dá uma ideia dessa relação: Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ Consideremos, então a relação em logaritmo; isto é, um modelo de regressão linear simples da forma proposta a seguir: 𝑦𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑥 Onde 𝑦𝑐 = ln(peso) 𝑥 = ln(altura) a = intercepto y 𝑏𝑖 = coeficiente angular Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ O resultado da regressão é apresentado na tabela abaixo: Source | SS df MS Number of obs = 46 -------------+---------------------------------- F(1, 44) = 26.96 Model | .470633079 1 .470633079 Prob > F = 0.0000 Residual | .768064381 44 .017456009 R-squared = 0.3799 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.3658 Total | 1.23869746 45 .02752661 Root MSE = .13212 ------------------------------------------------------------------------------ lnpeso | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lnaltura | 2.199127 .4235274 5.19 0.000 1.345563 3.05269 _cons | 3.049761 .2283036 13.36 0.000 2.589646 3.509877 ------------------------------------------------------------------------------ 𝑦𝑐 = 3,05 + 2,20𝑥 Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ Assim, nosso modelo de regressão linear simples toma a forma de 𝑦𝑐 = 3,05 + 2,20𝑥, que pode ser representada graficamente, onde a reta em vermelho representa a equação de mínimos quadrados: Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Simples - Aplicação ◦ Assim, nosso modelo de regressão linear simples toma a forma a seguir apresentada: 𝑦𝑐 = 3,05 + 2,20𝑥 Onde 𝑦𝑐 = ln(peso) 𝑥 = ln(altura) a = intercepto y 𝑏𝑖 = coeficiente angular ◦ Note que a forma original é dada por: 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑐 = 𝑒 3,05+2,20ln(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 21,12 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2,20 Ou 21,12 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2,20 Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Múltiplo - Aplicação ◦ A aplicação anterior está, de certa forma, imprecisa. Misturamos indivíduos de gêneros diferentes em uma só análise. Será que nossa análise seria diferente se contássemos com alguma diferenciação? ◦ A tabela a seguir se refere ao experimento em sala de aula com o peso e altura dos alunos, considerando, ainda, a diferença de gênero. Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max -------------+--------------------------------------------------------- peso | 46 69.71739 11.75805 50 104 altura | 46 1.712826 .0796845 1.55 1.89 feminino | 46 .326087 .4739596 0 1 lnpeso | 46 4.230884 .1659115 3.912023 4.644391 lnaltura | 46 .5370869 .0465034 .4382549 .6365768 -------------+--------------------------------------------------------- Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Múltiplo - Aplicação ◦ O resultado da regressão é apresentado na tabela abaixo: Source | SS df MS Number of obs = 46 -------------+---------------------------------- F(2, 43) = 13.46 Model | .476894226 2 .238447113 Prob > F = 0.0000 Residual | .761803234 43 .017716354 R-squared = 0.3850 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.3564 Total | 1.23869746 45 .02752661 Root MSE = .1331 ------------------------------------------------------------------------------------- lnpeso | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] --------------------+---------------------------------------------------------------- feminino#c.lnaltura | 0 | 2.002312 .5400522 3.71 0.001 .9131934 3.091432 1 | 1.93878 .6114241 3.17 0.003 .7057261 3.171835 | _cons | 3.165705 .3015582 10.50 0.000 2.557555 3.773855 ------------------------------------------------------------------------------------- 𝑦𝑐 = 3,17 + 1,94𝑥(𝑠𝑒𝑓𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛𝑜) 𝑦𝑐 = 3,17 + 2,00𝑥(𝑐𝑎𝑠𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜) Análise de Correlação e Regressão Linear O Modelo de Regressão Linear Múltiplo - Aplicação ◦ Assim, nosso modelo de regressão linear múltiplo toma a forma de 𝑦𝑐 = 3,17 + 1,94𝑥 para as mulheres e de 𝑦𝑐 = 3,17 + 2,00𝑥 para os homens. Graficamente, onde dados em vermelho representam as informações para mulheres e em azul para homens:
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