exercicios_resolvidos_cap_5

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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 42 
 
FORMULÁRIO 
Desconto Racional Simples 
; ; ;
1 1
R R R R R R
N i n N
D D V i n V V N D
i n i n
 
      
   
 
Desconto Comercial Simples 
 ; 1 ;C C C CD N d n V N d n V N D       
 
Desconto Bancário Simples 
   ; 1 ;b b b bD N d n s V N d n s V N D         
 
 1; bb
s
D N d n N d n V N d n
n
 
         


 
Relações entre o Desconto Racional Simples e o Desconto Comercial Simples 
 1 ; ;
1
C
C R C R
D i n
D D i n D D se d i
i n
 
      
 
 
Taxa de Juros Implícita Linear ou Efetiva Linear do desconto Comercial e Bancário Simples 
1 1
1 1
; ;
1
;
c bl l
c c b
l l
b
s
d
d
N N
V V dni i
sd n d n
d
i
n n
n
n
i
  
 
  
   

    
 

 





 
Taxa de Juros Implícita Exponencial ou Efetiva Exponencial 
 
 
111
1
111
1 ; ; 1 ; ;
1
1 1 1
1
1 1
11 ; 1
1 1
nnn
e e
R c
R c
n
e
b
e e
n
R c
nn
e
b
b
N N
i i
V V
N
i i n i
d n
i
d n s s
i
dV n
  
     
   
 
 



      
  
  
               
 
Desconto Racional Composto ou Desconto Financeiro 
 
 
   
1 1
; 1 1 ; ;
1 1
n
n
f f f f f fn n
i N
D N V D V i D N V
i i
  
        
     
 
Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora 
 
1 (1 )
; 1 (1 ) ; ;
(1 )1
n
n cc
cc cc cc cc ccn n
V d
D N V D N d N D V
dd
  
             
 
Taxa de Juros Implícita do Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora 
;
1 1
d i
i d
d i



 
 
 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 43 
 
5.5 — Exercícios Propostos 
1) Considere um título de valor nominal N e termo de 3 anos, emitido no dia de hoje. Qual 
deve ser a taxa de desconto mensal que devo pagar daqui a seis meses para que o valor de 
resgate seja a metade do valor nominal, considerando os seguintes tipos de desconto: 
a) Desconto Racional Simples 
b) Desconto Comercial Simples 
c) Desconto Racional Composto 
d) Desconto Comercial Composto 
 
Solução 
a) Desconto Racional Simples 
1 1
0,5 1
0,03333 3,3333% . .
1 30 30
R
R
N N
VN N
V i i ou a m
i n n
   
    
         
  
 
b) Desconto Comercial Simples 
 
0,5
1 1
0,5
1 0,016667 1,6667% . .
30 30
C
C
V N
N N
V N d n d ou a m
n
   
    
          
 
c) Desconto Racional Composto 
 
1 1
30
1 1 0,023374 2,3374% . .
0,51
n
f n
f
N N N
V i i ou a m
V Ni
   
              
 
 
d) Desconto Comercial Composto 
 
1 1
300,5
1 1 0,02284 2,284% . .
1
n
cc cc
n
V V N
N d d ou a m
N Nd
   
         
  
 
2) Um título de valor nominal de R$ 50.000,00 foi descontado em um banco 100 dias antes 
do vencimento. Qual o valor descontado e a taxa de juros efetiva diária, linear e 
exponencial, para as seguintes condições: 
a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples? 
b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples? 
c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título 
de taxas bancárias, e desconto bancário simples? 
d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto? 
e) Taxa de juros compostos de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto? 
 
 
 
 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 44 
 
Solução 
a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples. 
50000
46875,00
0,241
1 100
360
R
N
V
i n
  
 
 
 
No caso de desconto racional simples a taxa efetiva linear é igual à taxa corrente de 
desconto simples, no caso, 24% a.a. Logo a taxa efetiva linear, diária, é: 
0,24
0,000667 0,0667% . .
360
l
Ri ou a d  
Por outro lado, a taxa efetiva exponencial é: 
1 1
10050000
1 1 0,00646 0,0646% . .
46875
n
e
R
R
N
i ou a d
V
   
       
  
 
 
b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples 
 
0,03
1 50000 1 100 $ 45.000,00
30
cV N d n R
 
       
 
 
0,03
0,00130 0,00111 0,111% . .
0,031 0,9
1 100
30
l
c
d
i ou a d
d n
   
 
 
 
1
100
1
1 1
1 1 0,001054 0,1054% . .
0,031
1 100
30
n
e
ci ou a d
d n
 
  
      
     
 
 
c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título 
de taxas bancárias, e desconto bancário simples. 
 
0,02
1 50000 1 100 0,02 $ 45.666,67
30
bV N d n s R
 
         
 
 
0,02 0,02
30 100 0,0009489 0,09489% . .
0,02 0,02
1 1 100
30 100
l
b
s
d
ni ou a d
s
d n
n
 
  
   
       
   
 
1
100
1
1 1
1 1 0,0009070 0,09070% . .
0,021
1 100 0,02
30
n
e
bi ou a d
d n s
 
  
      
       
 
 
d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto. 
 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 45 
 
   
100
30
50000
$ 46.806,11
1 1,02
f n
N
V R
i
  

 
 
A taxa de juros efetiva de desconto é 2%a.m., que é equivalente à taxa diária de: 
     
 
1
30
30
1
30
1 1 1 1
1,02 1 0,00066031 . . 0,066031% . .
m d d m
d
d d d d
d a d ou a d
      
  
 
 
No caso de desconto racional composto a taxa efetiva é igual à taxa corrente de 
desconto composto, isto é 0,066031%a.d. 
 
e) Taxa de juros composto de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto. 
 
 
   
100
301 50000 1 0,03 $ 45.172,67
1
ncc
ccn
V
N V N d R
d
      
 
A taxa efetiva mensal de juros,
*
mi
, é: 
* 0,03 0,030928 3,0928% . .
1 1 0,03
m
d
i ou a m
d
  
 
 
Logo, a taxa efetiva diária de juros, 
*
di
, é: 
     
 
1
30
* * * * 30
1
*
30
1 1 1 1
1,030928 1 0,001016 . . 0,1016 . .
m d d m
d
i i i i
i a d ou a d
      
  
 
3) João tem compromissos assumidos, em uma mesma data, com Pedro, através de duas 
notas promissórias: 
 A nota promissória A com valor de face de R$ 100.000,00 e termo de três meses, à 
taxa de 36%a.a.c.m. 
 A nota promissória B com valor de face de R$ 50.000,00 e termo de 6 meses, à taxa de 
36%a.a.c.m. 
Pergunta-se: 
I. Se, decorrido 1 mês da data dos empréstimos, o João propor a Pedro saldar seus 
débitos por meio de um único pagamento, com vencimento no fim de 4 meses, qual o 
valor que deverá pagar, se Pedro estipular: 
a) desconto racional composto à taxa de 4% a.m.? 
b) desconto comercial composto à taxa de 4%a.m.? 
 
II. No momento da negociação com João, Pedro notou que ganharia mais se especificasse 
desconto comercial composto para a nota A, e desconto racional compostopara a 
nota B. Nesta nova condição, quanto que João deveria pagar a Pedro, mantidos a taxa 
de desconto de 4% a.m. e um único pagamento com vencimento na época 5? 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 46 
 
Solução 
 
O primeiro passo é encontrar os valores nominais das notas promissórias A e B; levando 
em conta a taxa efetiva de 36%/12= 3%a.m. 
 
 
 
3
6
100000 1 0,03 109272,70
50000 1 0,03 59702,61
a
b
N
N
  
  
 
 
O Esquema que representa a transação é dado por: 
 
onde a data 0 denota a data dos empréstimos. 
 
Item i 
a) Dada a relação no desconto racional composto 
 1
f n
N
V
i


, temos a seguinte 
equação de valor, com data focal na época 5. 
 
 
2 59702,61
109272,70 1 0,04 $175.595,71
1 0,04
P R   
 
b) Dada a relação no desconto comercial composto 
 1
cc
n
V
N
d


, temos a seguinte 
equação de valor, com data focal na época 5. 
 
 
 
1
2
109272,70
59702,61 1 0,04 $175.882,97
1 0,04
P R   
 
 
Item ii 
Considerando as condições ditadas pelo credor de desconto comercial composto, para 
a nota A, e desconto racional composto para a nota B, temos a seguinte equação de 
valor, com data focal na época 5 e taxa de desconto de 4%a.m. 
 
   
2
109272,70 59702,61
$175.974,82
1 0,041 0,04
P R  

 
 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 47 
 
4) Um empréstimo de R$ 200.000,00 deve ser amortizado em 4 prestações mensais 
sucessivas e iguais, a primeira um mês após a concessão do mesmo. Considerando a taxa 
corrente de juros de 6%a.m., determinar o valor da prestação mensal para: 
a) Desconto Racional Simples 
b) Desconto Comercial Simples 
c) Desconto Financeiro 
d) Desconto Comercial Composto 
 
Solução 
O esquema que representa a transação é dado por: 
 
a) Considerando a relação no desconto racional simples 
1
R
N
V
i n

 
, a seguinte 
equação de valor deve ser satisfeita (tomando a época 0 como data focal): 
 
200000
1 0,06 1 1 0,06 2 1 0,06 3 1 0,06 4
200000 0,9434 0,8929 0,8475 0,8065
200000
$ 57.301,66
3,4903
P P P P
P
P R
   
       
   
 
 
b) Considerando a relação no desconto comercial simples 
 1cV N d n  
, a seguinte 
equação de valor deve ser satisfeita: 
       
 
200000 1 0,06 1 1 0,06 2 1 0,06 3 1 0,06 4
200000 0,94 0,88 0,82 0,76
200000
$ 58.823,53
3,4
P P P P
P
P R
           
   
 
 
c) Considerando a relação no desconto financeiro 
 1
f n
N
V
i


, a seguinte equação de 
valor deve ser satisfeita: 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 48 
 
       
 
1 2 3 4
200000
1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 0,06
200000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921
200000
$ 57.718,39
3,4651
P P P P
P
P R
   
   
   
 
 
d) Considerando a relação no desconto comercial composto
 1
cc
n
V
N
d


, a seguinte 
equação de valor deve ser satisfeita: 
       
 
1 2 3 4
200000 1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 0,06
200000 0,94 0,8836 0,8306 0,7807
200000
$ 58.225,86
3,4349
P P P P
P
P R
       
   
 
 
5) Seja o caso de uma loja de departamentos que, para desconto de títulos, qualquer que 
seja o prazo, deseja ganhar, em termos reais, a taxa de 5% a.m. 
Tendo sido estimado pelo seu Departamento de Operações, que a taxa de inflação mensal, 
para cada um dos 3 meses na frente, seja respectivamente 
1 2 30,6%, 0,5% e 0,8%I I I  
, pede-se determinar, para operações de desconto 
de 1, 2 e 3 meses, as respectivas taxas mensais de desconto 
a) Considerando desconto Racional Simples 
b) Considerando desconto Comercial Simples 
c) Considerando desconto Financeiro 
d) Considerando desconto Composto por Fora 
Solução 
As taxas aparentes 
*
ki
, para k períodos, são: 
   
     
       
*
1
2*
2
3*
3
1 0,05 1 0,006 1 0,0563 ou 5,63% a.m.
1 0,05 1 0,006 1 0,005 1 0,11466 ou 11,466% a.b.
1 0,05 1 0,006 1 0,005 1 0,008 1 0,17976 ou 17,976% a.t.
i
i
i
       
        
 
          
 
 
a) Desconto Racional Simples 
 
 *
*
1 1
1 1 1
k
R
k k
iN N N
V i
i n i k ki
 
    
    
 
 
k = 1 
   *1
1
1 1 1 0,0563 1
0,0563 5,63% . .
1 1
i
i ou a m
   
  
 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 49 
 
k = 2 
   *2
2
1 1 1 0,11466 1
0,05733 5,733% . .
2 2
i
i ou a m
   
  
 
k = 3 
   *3
3
1 1 1 0,17976 1
0,05992 5,992% . .
3 2
i
i ou a m
   
  
 
b) Desconto Comercial Simples 
   
   
 *
* *
1
1
1
11
1 1 1
1 1
k
C k k k
k
iN
V N d n N d k d k d
ki i


            
 
 
k = 1 
 
1
1
1
1 0,0563
0,0533 5,33% . .
1
d ou a m


  
k = 2 
 
2
1
1
1 0,11466
0,05143 5,143% . .
2
d ou a m


  
k = 3 
 
3
1
1
1 0,17976
0,05079 5,079% . .
3
d ou a m


  
c) Desconto Financeiro 
     
 
1
*
*
1 1
11 1
k
f kn k
kk
N N N
V i i
ii i
      
 
 
k = 1 
 
1
1
1 1 0,0563 1 0,0563 5,63% . .i ou a m   
 
k = 2 
 
1
2
2 1 0,11466 1 0,05577 5,577% . .i ou a m   
 
k = 3 
 
1
3
3 1 0,17976 1 0,05665 5,665% . .i ou a m   
 
 
d) Desconto Composto Por Fora 
 
 
   
1
* *
1
1 1
1 11
k
kcc
k kn
k k
V N
N N d d
i id
 
       
    
 
 
 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 50 
 
k = 1 
 1
1
1 0,0533 5,33% . .
1 0,0563
d ou a m
 
   
  
 
k = 2 
 
1
2
2
1
1 0,05283 5,283% . .
1 0,11466
d ou a m
 
   
  
 
k = 3 
 
1
3
3
1
1 0,05361 5,361% . .
1 0,17976
d ou a m
 
   
  
 
6) Um título de valor de face de R$ 50.000,00, termo de 30 meses e taxa de juros compostos 
de 10%a.a., teve um desconto financeiro de R$ 9.977,54, no seu resgate, considerando a 
taxa de juros compostos de 25%a.a.. Qual o prazo da operação em dias? 
Solução 
Primeiro devemos calcular o valor nominal do título, que é de: 
   
2,5
1 50000 1 0,1 $ 63.452,94
n
N C i R    
 
A taxa de desconto equivalente ao dia é: 
       
1 1
360
360 3601 1 1 1 1,25 1 0,00062 0,062% . .a d d ai i i i ou a d         
 
Portanto 
 
 
 
 
   
 
1 1 1,00062 1
9977,54 63452,94
1 1,00062
1 9977,54 1
1 1 0,157243
63452,941,00062 1,00062
1,00062 1,18658 LN(1,00062) LN(1,18658)
0,171075
276
0,0006198
n n
f n n
n n
n
i
D N
i
n
n dias
     
     
      
    
   
 
 
7) A razão entre o valor nominal de um título e seu valor descontado é 1,07. Sabendo-se que 
o título foi descontado 90 dias antes do seu vencimento, quala taxa de juros efetiva, linear 
e exponencial, mensal utilizada, considerando: 
a) Desconto Racional Simples 
b) Desconto Comercial Simples 
c) Desconto Financeiro 
d) Desconto Composto por Fora 
 Solução 
a) Desconto Racional Simples 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 51 
 
1 1,07 1 3
1
0,07
0,0233 2,33% . .
3
R
R
N N
V i n i
i n V
i ou a m
       
 
 
 
No desconto racional simples a taxa de juros corrente é igual a efetiva racional linear. 
A taxa efetiva racional exponencial é dada por: 
 
 
1
1
31 1,07 1 0,0228 2,28% . .
n
e
R
R
N
i ou a m
V
 
     
 
 
 
 
b) Desconto Comercial Simples 
 
11
3
0,021
1 1
1 1,07
1 1 3
1
3 1 0,02181 . . 2,181%
81
0,02334 2,334% . .
1 1 0,02181 3
1 1
1 1
1 1 0,02181 3
. .
1,07
l
c
n
e
c
C
C
d
i
N
V N d n
V d n d
d d a m
ou a m
d n
i
d
ou a m
taxa efetiva linear
taxa efetiva exponencial
n
  
  
      
  
 

  
       
      
  
0,02281 2,281% . .ou a m
 
c) Desconto Financeiro 
 
   
 
3
1
3
1 1,07 1
1
1,07 1 0,0228091 2,28091% . .
n
f n
f
N N
V i i
Vi
i ou a m
      

  
 
d) Desconto Composto por Fora 
     
3
1
3
*
1 1
1,07
1 1 1
1
1 0,0223 . .
1,07
0,0223
0,02280863 2,280863% . .
1 1 0,0223
cc
n n
cc
V N
N
Vd d d
d a m
d
i ou a m
d
    
  
 
   
 
  
 
 
8) João é detentor de uma nota promissória com valor nominal de R$ 100.000,00, que vence 
no fim de 2 meses e meio. Precisando de dinheiro, João procurou um banco que lhe 
ofereceu desconto comercial simples à taxa de 4%a.m. 
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 52 
 
Seu amigo Luís, sabendo de sua necessidade, lhe faz uma proposta de desconto racional 
simples, garantindo a João que o valor recebido por ele seria, no mínimo, igual ao 
montante recebido na proposta do banco. 
Qual a maior taxa de juros simples que Luís pode cobrar para honrar sua palavra? 
 Solução 
No banco o valor recebido por João seria de: 
   1 100000 1 0,04 2,5 $ 90.000,00CV N d n R      
 
No caso de Luís, o valor da taxa de juros simples máxima que ele poderá cobrar é de: 
100000
1
100000 90000
90000 0,044444 4,4444% . .
1 1 2,5 2,5
R
N
V i ou a m
i n i
 
 
      
  
 
 
 
9) Sendo d a taxa mensal de desconto composto por fora, qual deve ser o seu valor para que 
o valor descontado seja igual a 80% do valor nominal, no caso do prazo de 2 anos? 
Solução 
 
 
1
1 1
1
nncc cc cc
n
V V V
N d d
N Nd
 
       
 
 
Logo 
1 1
240,8
1 1 0,009255 0,9255% . .
n
ccV Nd ou a m
N N
   
      
  
 
10) Sendo da = 15%, a taxa anual de desconto composto por fora, determinar qual a taxa 
mensal dm de desconto composto por fora, que lhe seja equivalente? 
Solução  
 
     
 
1
1 12
12
1
12
1
1
Logo, para 1 ano ou 12 meses o valor de deve ser o mesmo, ou seja:
1 1 1 1
1 0,15 1 0,013457 1,3452% . .
ncc
ccn
cc
a m m a
m
V
N V N d
d
V
N d N d d d
d ou a m
   

      
   