Aula 2

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MÉTODOS NUMÉRICOS
PARA ENGENHARIA CIVIL
Prof.ª Me. Suise C. Carmelo de Almeida
suise.almeida@estacio.br
OBJETIVO GERAL DA DISCIPLINA
• Promover o entendimento dos conceitos básicos do método dos elementos finitos e
apresentá-lo como ferramenta na solução de problemas específicos de Engenharia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Introduzir o método dos elementos finitos;
• Propiciar a compreensão dos conceitos e recursos do método;
• Apresentar o método como ferramenta para resolução de problemas estruturais.
INTRODUÇÃO
• As estruturas de edifícios, pontes, barragens, viadutos, etc., devem ser projetadas
para que cumpram, durante toda a sua vida útil, as finalidades de utilização para as
quais foram projetadas.
• Para tal, deve-se projetá-las para que respondam às ações a que serão submetidas,
de forma adequada, sem comprometer sua segurança, durabilidade e conforto.
• Para que esses objetivos sejam alcançados, utilizam-se Cálculos Numéricos para
prever as possíveis falhas estruturais, uma vez que nem sempre é viável a
construção de protótipos e análises empíricas;
• Através do Cálculo Numérico são aplicados Métodos Numéricos para se chegar à
solução do problema, que será caracterizado por um conjunto de números, exatos
ou aproximados.
• Isso só foi possível com o desenvolvimento de computadores mais potentes e
eficientes, aumentando significativamente o papel dos métodos numéricos na
resolução de problemas de engenharia nos últimos anos.
INTRODUÇÃO
• Na era pré-computador, em geral havia 3 formas diferentes pelas quais os
engenheiros abordavam a solução de problemas:
1. Métodos Analíticos ou Exatos; (Resoluções para um número limitado de
problemas, resoluções lineares simples)
2. Soluções Gráficas; (Resoluções para problemas complexos porém pouco
precisas)
3. Calculadoras e regras de cálculos eram usadas para implementar os métodos
numéricos manualmente. (Muito demorado e alta probabilidade de erro
humano)
INTRODUÇÃO
•Os métodos numéricos são ferramentas extremamente
poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar
com um grande número de equações não linearidades e
geometrias complicadas comuns na prática da engenharia e, em
geral, impossíveis de resolver analiticamente.
•Dessa forma, eles aumentam muito a capacidade de resolver
problemas.
INTRODUÇÃO
CÁLCULO 
DIFERENCIAL/INTEGRAL
• Método analítico de resolução
• Resultados exatos
• Aplicação limitada
INTRODUÇÃO
CÁLCULO NUMÉRICO
• Método numérico de resolução
• Aproximações + ou – precisas 
dependendo do método 
empregado
• Resoluções mais abrangentes para 
problemas mais complexos
O QUE SÃO MÉTODOS NUMÉRICOS?
• Método Numérico é um algoritmo composto por um número finito de operações envolvendo
apenas números (operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a uma tabela
de valores, consulta a um gráfico, arbitramento de um valor, etc...)
Problema 
Físico
Modelo 
Matemático
Solução Análise
ALGORITMO
1.MATEMÁTICA: Sequência finita de regras, raciocínios ou operações que, aplicada a um número finito de
dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas.
2.INFORMÁTICA: Conjunto das regras e procedimentos lógicos perfeitamente definidos que levam à solução
de um problema em um número finito de etapas.
Modelagem Resolução
• MODELAGEM: É a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o
comportamento do sistema físico que deseja-se analisar.
• RESOLUÇÃO: É a fase de obtenção da solução através da aplicação de
métodos numéricos (Este é o objetivo de estudo do Cálculo Numérico).
• A Análise de Elementos Finitos (FEA) é um método informatizado que pode
ser empregado para prever como um elemento construtivo reage a forças
no mundo real às quais ele será submetidos ao longo de sua vida útil;
O QUE SÃO MÉTODOS NUMÉRICOS?
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
• O método de elementos finitos é uma técnica numérica para a obtenção de
uma resposta aproximada para problemas através da representação do
objeto por um conjunto de elementos finitos (nós, hastes, placas, blocos,
tijolos).
• Consiste em discretizar o sistema sob análise em vários elementos sem que
haja alteração das propriedades do meio original.
• A cada um destes elementos podem ser atribuídas propriedades materiais
e os mesmos podem ser ligados a elementos adjacentes.
• Aos nós são dadas as restrições para corrigi-los em posição, temperatura,
tensão, etc., de acordo com o problema a ser estudado;
• Os nós se deslocam com a aplicação de carregamento imposto e podem
fornecer respostas sobre o fenômeno que está se estudando.
• Atualmente o Método de Elementos Finitos (MEF) encontra aplicação em
praticamente todas as áreas de engenharia, como na análise de tensões e
deformações, transferência de calor, mecânica dos fluidos e geologia,
eletromagnetismo, etc.
• Existem uma série de softwares que empregam este método, esses
softwares trabalham como uma espécie de “calculadora superpotente”, que
consegue prever realisticamente o comportamento de muitas estruturas
complexas e seus componentes.
• Para otimizar a apresentação, computação gráfica é utilizada para exibição
do modelo gerado e seus resultados.
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS
• A análise de elementos finitos mostra se um produto/elemento construtivo vai
quebrar, se desgastar ou funcionar da maneira como foi projetado para ser.
• Embora seja chamada de análise, no processo de desenvolvimento do
produto/elemento, é usada com o intuito de prever o que vai acontecer quando o
produto/elemento for usado.
• A análise de elementos finitos divide um objeto real em um grande número (de
milhares a centenas de milhares) de elementos finitos, como pequenos cubos.
• Equações matemáticas ajudam a prever o comportamento de cada elemento. Em
seguida, um computador soma todos os comportamentos individuais para prever o
comportamento do objeto.
• Para que os trabalhos sejam mais precisos em sua interpretação, torna-se primordial
que o profissional da engenharia civil conheça os conceitos básicos deste método.
• A análise de elementos finitos ajuda a prever o comportamento de produtos
afetados por muitos efeitos físicos, incluindo:
• Tensão mecânica;
• Vibração mecânica;
• Fadiga;
• Movimento;
• Transferência de calor;
• Vazão de fluidos;
• Eletrostática;
• Moldes de injeção plástica...
ELEMENTOS FINITOS
Quais são os passos da análise de elementos 
finitos?
• Possuir o modelo do sistema sob análise;
• Definir as propriedades do material;
• Fazer a malha do modelo de elementos finitos;
• Definir as cargas e condições de restrição;
• Resolver a análise;
• Verificar os resultados (tensão, deformação e deslocamento);
Aplicação do método de elementos finitos
Elemento Construtivo: Consola Curta (Azevedo,2003)
Temos como exemplo de aplicação do
MEF a análise de uma estrutura do
tipo consola curta de pequena
espessura.
Trata-se de uma peça saliente que
serve para sustentar estátuas, objetos
decorativos, ou também uma sacada
ou cornija.
Figura 1 – Ilustração de uma Consola
• Divide-se inicialmente, o domínio do problema, em
subdomínios de dimensões finitas tais que, o
conjunto de todos os subdomínios seja igual ao
domínio original.
• Em seguida, sobre cada subdomínio, isoladamente,
adota-se um comportamento aproximado, local,
para as incógnitas do problema.
• A Figura 2 apresenta a malha de elementos finitos
e a ação exterior a qual o elemento está sendo
submetido. A mesma é composta por 92 elementos
finitos quadriláteros formados a partir da união de
8 nós. Também encontram-se assinalados os 10 nós
que estão ligados ao meio exterior.
• Nestas condições pode-se admitir que se trata de
um meio contínuo, sujeito a um estadoplano de
tensão.
Aplicação do método de elementos finitos
Figura 2 Consola curta: 
malha de elementos 
finitos e ação exterior.
Aplicação do método de elementos finitos
• A Figura 3 apresenta a malha deformada pela
aplicação das forças aplicadas à estrutura.
• Para permitir uma melhor visualização dos
deslocamentos, estes são multiplicados por
um fator de ampliação. Como referência, é
também representada a malha original
indeformada.
• Depois de utilizada o MEF para completar a
análise da estrutura, se conhece os valores
aproximados dos deslocamentos e das tensões
instaladas.
Figura 3 Consola curta: malha deformada representada sobre a estrutura indeformada.
Aplicação do método de elementos finitos
• É possível ter uma percepção imediata dos
locais em que as tensões principais
apresentam maiores valores, com o tipo de
visualização utilizado na Figura 4, bem como
da trajetória das tensões dentro da estrutura.
• Neste tipo de representação cada segmento
de reta está orientado segundo uma direção
principal de tensão e a sua grandeza é
proporcional ao valor da tensão normal
correspondente.
• A cor verde indica que se trata de uma tração
e à cor vermelha está associada uma
compressão.
Figura 4 Consola curta: tensões principais e respectivas direções.
Aplicação do método de elementos finitos
• Na Figura 5, o valor da componente vertical
do vetor deslocamento é representado, em
cada ponto, por intermédio de uma
codificação por cores.
• Consultando a escala na lateral, pode-se
conhecer a ordem de grandeza do
deslocamento vertical em qualquer ponto da
estrutura.
Figura 5 Consola curta: campo de deslocamentos verticais.
Aplicação do método de elementos finitos
• O tipo de visualização gráfica coincide na
Figura 6 com o da Figura 5, tratando-se
também da representação de um campo
escalar por intermédio de uma codificação
por cores.
• O campo representado na Figura 6 é o das
tensões normais σy, sendo y o eixo vertical.
Esta componente do tensor das tensões é
sempre perpendicular a facetas horizontais.
Figura 6 Consola curta: campo de tensões normais segundo um eixo vertical.
ERROS NO CÁLCULO NUMÉRICO
• A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico.
• De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as
operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados.
• Os próprios métodos numéricos, frequentemente métodos aproximados, buscam a
minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que
seriam valores exatos.
• Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado.
ERROS NA FASE DE MODELAGEM
• Ao se tentar representar um fenômeno físico por meio de um método matemático,
raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias
várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo.
• Exemplo: Estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Tem-se
a seguinte equação:
d = d0 + v0 x t + 1/2 x α x t2
• onde: 
• d : distância percorrida 
• d0 : distância inicial 
• v0 : velocidade inicial 
• t : tempo 
• α : aceleração
ERROS NA FASE DE MODELAGEM
• Determinar a altura de um edifício considerando que uma esfera metálica
foi solta do seu topo demorando cerca de 3 segundos para alcançar o solo.
d = d0 + v0 x t + 1/2 x α x t2
d = 0 + 0 x 3 + 1/2 x 9,8 x 32
d= 44,1 metros
Esse resultado é confiável? Fatores a considerar:
• Resistência do Ar, Velocidade do Vento, etc...
• Precisão dos dados de entrada:
Se o tempo fosse 3,5s, d=60,025m (Variação de 16,7% no cronômetro
resultaria em 36% na altura medida).
ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO
• Para a resolução de modelos matemáticos muitas vezes torna-se necessária a
utilização de instrumentos de cálculo que necessitam certas aproximações, para o
seu funcionamento. Tais aproximações podem gerar erros, tais como:
• Conversão de bases;
• Erros de arredondamento e;
• Erros de truncamento.
ERROS ABSOLUTOS
• Erro absoluto (EA) é a diferença entre o valor exato de um número N e o seu valor 
aproximado N’.
• N= N’+ EA
• EA= N – N’
• (N>N’ -> EA>0)
• (N<N’ -> EA<0)
• Por exemplo: Sabendo-se que 𝜋 𝜖 (3.14, 3.15) tomaremos para 𝜋 um valor 
dentro deste intervalo e teremos, então, |EA 𝜋| = | 𝜋 - 𝜋 ′| < 0.01
ERROS RELATIVOS
• É claro que EAN só poderá ser determinado se N for exatamente conhecido; como isso é
raro, em cálculos numéricos costuma-se trabalhar com uma limitação máxima para o erro,
indicando-se, então, | E | < ε, onde ε é o limite.
• Por exemplo, se α = 3876.373 e só desejamos a parte inteira α’, o erro absoluto será:
∆α = | α − α' | = 0.373 
• Se fizermos o mesmo com o número β = 1.373, teremos:
∆β = | β − β' | = 0.373
• Obviamente, o efeito de aproximação de β é muito maior do que em α, mas o erro absoluto
é o mesmo nos dois casos. O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este
fato, pois:
• δα =
0,373
3876
≅ 0,000096 < 10-4
• δβ =
0,373
1
≅ 0,373 < 5x100
ERRO DE ARREDONDAMENTO
• Ao se aplicar um método numérico, os erros devidos aos valores iniciais, intermediários e
finais conduzem a um erro global (diferença entre o exato e o obtido) também chamado de
arredondamento.
• Erros iniciais são os cometidos no arredondamento dos dados iniciais. Os erros intermediários
são decorrentes dos erros cometidos durante a aplicação do método numérico e os erros
finais decorrentes da apresentação final do resultado.
• Os tipos de arredondamentos mais conhecidos são:
• Arredondamento para baixo ou por falta;
• Arredondamento para cima ou por excesso;
• Arredondamento para o número de máquina mais próximo.
• Critério de Arredondamento: no cálculo manual, ao registrar um valor aproximado, costuma-se
usar a seguinte regra:
1. Somar meia unidade após a última casa decimal a conservar;
2. Desprezar as demais casas.
Assim, considerando 2 algarismos significativos tem-se:
2 = 1.414 ... ≅ 1.41 (1.414 ... + 0.005 = 1.419 ... → 1.41) 
3
2 = 1.259 ... ≅ 1.26 (1.259 ... + 0.005 = 1.264 ... → 1.26)
O uso deste critério limita o erro a meia unidade da última casa conservada.
1.41 é o valor aproximado, por falta, de 𝟐 ; 1.26 é o valor de
𝟑
𝟐 , aproximado por excesso.
ERRO DE ARREDONDAMENTO
ERRO NA REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
• Para concluir o item de erro de arredondamento, deve-se ressaltar a importância de
se saber o número de dígitos significativos do sistema de representação da
máquina que está sendo utilizada para que se tenha a noção da precisão do
resultado obtido.
• Além da precisão decimal, o cálculo do chamado Épsilon da máquina nos dá uma
ideia da exatidão da máquina.
• O ε da máquina é o menor número de ponto flutuante (como a máquina representa
números reais), tal que: 1 + ε > 1.
• Alguns métodos para cálculo de ε não dão seu valor exato, mas isto nem sempre é
necessário, pois o que importa é a sua ordem de grandeza.
ERRO DE TRUNCAMENTO
• São erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou muito grandes
para a determinação de um valor e que, por razões práticas, são truncados.
• Estes processos infinitos são muito utilizados na avaliação de funções matemáticas, tais
como, exponenciação, logaritmos, funções trigonométricas e várias outras que uma máquina
pode ter.
• Exemplo: Uma máquina poderia calcular a função seno (x) utilizando as seguintes
técnicas:
• A solução é a de interromper os cálculos quando uma determinada precisão é atingida.
• De maneira geral, pode-se dizer que o erro de truncamento pode ser diminuído até chegar a
ficar da ordem do erro de arredondamento; a partir desse ponto, não faz sentido diminuir-se
mais, pois o erro de arredondamento será dominante.
FAZENDO O TRUNCAMENTOCONSEQUÊNCIA DE ERROS
• Explosão de Foguete (04/06/1996 – Guiana Francesa- Foguete Ariane 5)
• Limitação na representação numérica (64 bits/16 bits)
• Erro de trajetória 36,7 segundos após o lançamento.
• Prejuízo de U$ 370 milhões.
• O desastre foi causado por um simples bug em um software, 
que fez cálculos errados ao se tornar sobrecarregado com números 
mais longos do que era capaz de suportar.
• Erros semelhantes foram responsáveis por fazer sondas espaciais 
desaparecerem ou desviando mísseis de seus alvos.
• Falha no Lançamento de Mísseis – 25/02/1991 – Guerra do Golfo – Míssil Patriot.
• Limitação na representação numérica (24 bits) 
• O bit é a menor unidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida, usada 
na Computação e na Teoria da Informação. Um bit pode assumir somente 2 valores: 0 ou 
1, corte ou passagem de energia, respectivamente.
• Erro de 0,34 segundos no cálculo do
tempo de lançamento.
• 28 mortos e 98 feridos.
CONSEQUÊNCIA DE ERROS
ATIVIDADE PROPOSTA
• Buscar exemplos de aplicação de métodos numéricos para solução de
problemas na área da Engenharia Civil, para apresentar na próxima aula.
• Conteúdo: descrição do problema, o método utilizado, os resultados obtidos e
a fonte das informações.
• Formato Impresso.
• Grupos de até 5 pessoas.
• Valor: 1 ponto na AV1.
Referências
• Análise LISA elementos Finitos. Guia para Iniciantes: Introdução ao FEA.
Disponível em: https://www.passeidireto.com/arquivo/44633530/lisa-
manual-en-pt.
• AZEVEDO, A. F. M. Método dos Elementos Finitos. Porto – Portugal, 1ª Edição
– Abril 2003, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
• LOBÃO, D. C. Introdução aos Métodos Numéricos. Universidade Federal
Fluminense- UFF. Volta Redonda, RJ.
• Métodos Numéricos para Engenharia. Modelagem, Computadores e Análise
de Erros. Disponível em:
http://srvd.grupoa.com.br/uploads/imagensExtra/legado/C/CHAPRA_Steven
_C/Metodos_Numericos_Engenharia_7ed/Lib/Amostra.pdf.